Применение диадических вейвлетов для цифровой обработки сигналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Строганов, Сергей Александрович

• Строганов, Сергей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Строганов, Сергей Александрович

Содержание

Введение

Глава 1. Диадические вейвлеты в пространстве

1.1. Основные определения

1.2. Диадические вейвлеты первого этапа в

1.3. Итерационные вейвлеты в

1.4. Примеры

1.5. Выводы

Глава 2. Диадичеакие вейвлеты в пространстве 12{Ъ+)

2.1. Основные определения

2.2. Диадические вейвлеты первого этапа в ¿2(2,+)

2.3. Итерационные вейвлеты в 12(

2.4. Примеры

2.5. Выводы

Глава 3. Применение диадических вейвлетов к цифровой обработке сигналов

3.1. Применение диадических вейвлетов для кодирования изображений

3.2. Моделирование эффекта увеличения гладкости шума в результате консолидации блоков земной коры перед землетрясением

3.3. Применение диадических вейвлетов к оценке гладкости микросейсмического шума

3.4. Выводы

Заключение

Литература

Приложение А. Примеры изображений

А.1. Тестовые изображения

А.2. Примеры восстановленных изображений

Приложение Б. Тексты программ

Б.1. Прямое дискретное диадическое вейвлет-преобразование одномерного сигнала

Б.2. Обратное дискретное диадическое вейвлет-преобразование одномерного сигнала

Б.З. Прямое пирамидальное дискретное диадическое вейвлет-пре-

образование двумерного сигнала

Б.4. Обратное пирамидальное дискретное диадическое вейвлет-преобразование двумерного сигнала

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение диадических вейвлетов для цифровой обработки сигналов»

Введение

В последнее время активно развиваются различные методы цифровой обработки сигналов. В России и за рубежом к настоящему времени опубликовано большое количество работ, посвященных цифровой обработке сигналов, в том числе монографии Э. Айфичера и Б. Джервиса [1], Р. Гонсалеса и Р. Вудса [5], С. Малла [13], Г. Штарка [32], а также под редакциями A.A. Потапова [15] и В.А. Сойфера [14]. В частности, широкое распространение и развитие получили методы, основанные на использовании вейвлетов. В некоторых работах на русском языке вейвлеты называют всплесками. Одной из первых задач, в которой вейвлеты продемонстрировали свои преимущества, стала задача хранения дактилоскопических изображений. В США разработан и активно применяется национальный стандарт сжатия дактилоскопических изображений, основанный на применении биортогональных вейвлетов [33]. Этот стандарт позволяет достигать коэффициента сжатия 1:15. Для широкого класса изображений, в том числе для фотографий, методы цифровой обработки, основанные на использовании вейвлетов, показывают лучшие результаты, чем другие методы обработки изображений (см. [5, 13, 27, 32]). В стандарте JPEG2000 для решения задач кодирования и сжатия изображений используется вейвлет-преобразование. В книгах М. Фрейзера [31] и S. А. Broughton, K.M. Bryan [34] в задачах фильтрации сигналов, а также для решения дифференциальных уравнений используются вейвлеты Хаара и Добеши [6, 16]. Применимые в диссертации методы используют элементы общей теории дискретных преобразований Уолша и связаны с недавними результатами Б. Сендова (В. Sendov) [43-45], В. Лэнга (W.C. Lang) [41], В.Ю. Протасова [17], Ю.А. Фаркова [28, 29, 35, 36] и Ф. Шаха (F.A.Shah) [46, 47] о вейвлетах, определяемых с помощью функций Уолша. Одной из центральных проблем

при использовании вейвлетов для цифровой обработки сигналов является выбор вейвлета. Например, в [13] изложен метод выбора оптимального вей-влет-базиса для нелинейной аппроксимации сигнала, а в работе A.A. Любу-шина [9] выбор оптимального вейвлет-базиса позволяет оценивать гладкость низкочастотных микросейсмических колебаний. Таким образом, построение новых вейвлет-базисов и расширение возможностей их адаптации к анализу и обработке сигналов являются актуальными научными задачами.

Целью настоящей работы является:

1. Построение ортогональных и биортогональных диадических вейвлет-базисов в пространствах периодических и непериодических последовательностей.

2. Разработка алгоритма дискретного диадического вейвлет-преобразова-ния.

3. Применение диадических вейлветов для оценки гладкости шума в модели малых блоков земной коры.

4. Применение диадических вейвлетов в задачах цифровой обработки изображений.

Основные результаты работы:

1. Построены ортогональные и биортогональные диадические вейвлет-бази-сы в пространствах последовательностей и приведено их полное описание.

2. Исследованы системы диадических вейвлет-фильтров, разработан алгоритм построения многоэтапных биортогональных диадических вейвлет-базисов на основе систем вейвлет-фильтров.

3. Разработан алгоритм дискретного диадического вейвлет-преобразова-ния на основе быстрого преобразования Уолша.

4. Приведены примеры применения диадических вейвлетов в задачах кодирования изображений, а также для оценки гладкости низкочастотных микросейсмических колебаний.

К практически значимым результатам относятся разработанные методы, алгоритмы и комплексы программ, которые могут быть использованы при решении следующих задач:

1. Кодирование и сжатие данных, в частности фотографий и рентгеновских снимков.

2. Оценка гладкости низкочастотных микросейсмических колебаний и использование полученных данных в системах мониторинга.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 110 страниц, включая 11 рисунков, 8 таблиц и два приложения. Библиография включает 48 наименований на 6 страницах.

В первой главе рассматриваются биортогональные диадические вей-влеты в пространстве периодических последовательностей ^{Ъы)- Пространство состоит из комплексных последовательностей

х = (..., х(-1), я:(0), ®(1), ж(2),...)

таких, что х^ + N) — х{у) для всех ] б Ъ. Для удобства изложения определены также числа Ыи = Ы/2й, 1 < и < п.

Двоичная свертка векторов х и у из /2(Ждг) определяется по формуле

N-1

(х * у){1) := ^ х{1 0 I е ZN,

з=о

где © - операция поразрядного сложения по модулю 2.

Для каждого х € /2(^дг) определяется оператор сдвига Тк : —

12{Ъм) такой, что (Ткх){1) :=х(1фк), I е Ъ^. Для любых х, у € 12{Zдr), к,1 £ Ън доказываются равенства:

(Ткх,Т1у) = {х,Тшу), (х,Тку) = х * у (Л),

где - система функций Уолша, ах- дискретное преобразование Уолша последовательности гг. По формуле

ленные по формуле (1.12) образуют пару биортогональных базисов в 12(Ж*м), то эти множества называются биорто г опальными диадическими вейвлет-

порождающими последовательностями соответствующих диадических вей-влет-базисов. Доказывается следующая теорема, которая характеризует все возможные порождающие последовательности.

Теорема 1.2.1. Пусть и,у,в,т £ Системы В (и, у) и В(з,т) явля-

ются биорто зональными диадическими вейвлет-базисами в 12{Ъ^) тогда и только тогда, когда

хТу = Иху, (х,у) = М(х,у), Ткх{1) = и)к{1/Ы)х,

базисами первого этапа в 12{^/у). Последовательности и,у,з,т называются

для всех I = 0,1,..., — 1.

Затем показывается, что для построения вейвлет-базисов первого этапа необязательно задавать четыре последовательности, удовлетворяющих условиям этой теоремы. Можно выбрать последовательности и, б € 12(^дг), которые удовлетворяют условию

ЩЩ + и{1 + И^ЩТЩ = 2/И2, (3)

для любого I = 0,1,..., — 1, а последовательности у,т Е 12{Ъдг) задать равенствами

у{1) = (-1)г5(1©0> т{1) = (-1)^(1 ©/), 1еъм. (4)

Доказано, что в этом случае множества В(и, у) и В(в, т) являются биортого-нальными диадическими вейвлет-базисами в /2(Ждг). На основе этого утверждения формулируется следующий метод построения вейвлет-базиса первого этапа:

1) выбираются последовательности и, в Е ¿2(^дг) так, чтобы они удовлетворяли условиям (3);

2) по формуле (4) определяются последовательности у,т Е 12{Ъдг).

Получившиеся в итоге последовательности и, 5, г>, т удовлетворяют условиям теоремы 1.2.1 и порождают пару биортогональных диадических вейвлет-базисов первого этапа в 12{Ъ^).

Далее рассматривается разложение вектора х Е 12{1>дг) по базисам В(и, у) и £>(з,т). Для вычисления координат вектора х в этих базисах путем умножения х на матрицу перехода требуется ./V2 комплексных умножений. Чтобы быстро вычислить координаты вектора х в базисе В(и,у) (или В(з,т)) требуется использовать тот факт, что (^Т^и) = х*й(2к) и аналогично для у. В итоге вектор х в базисе В(и, у) можно представить в виде двух сверток с последующим отбрасыванием координат с нечетными индексами. Для описания

быстрого перехода от евклидового стандартного базиса к вейвлет-базису и обратно, для 0 < v < п вводятся следующие операторы: Dv : 12{Ъ^) —> ¿2(Z/v„) и Uv : 12{ZNv) —> l2{Zjv), определяемые по формулам

D"(x)(j)=x(2»j),

y(j/2v), если j делится на 21/,

^(î/)C7')=<

I 0, если j не делится на 2",

где х g /2(Zjv), у g 12(Znu), j? = 0,1,.. ., tv — 1. Эти операторы называются операторами сгущающей и разрежающей выборки соответственно.

Разложение вектора х g 12{^n) по базисам B(u,v) и B(s,t) происходит по формулам

Ni~l Ni-1

x=Y, * u)(k))T2ku + J2 (D(x * v)(k))T2kv (5).

k=0 k=0

и

Ni — 1 iVi-1

® = № * s)(k))T2ks + ^ (£>(* * r){k))T2kt. (6)

k=Q k=0

Формулы (5), (6) называются формулами анализа первого этапа. Восстановление вектора х происходит по формулам синтеза первого этапа:

т * U(D(x * v)) + s * U(D(x * и)) — x

и

v * U(D(x * г)) + й * U(D(x * s)) = ж.

Затем для некоторого натурального m < п рассматривается система В(ср,ф), определяемая по формуле

{адлйо1 U {^^jSo1 U • • • U {Т*»кФт№О1 U (7)

где Ф1, ф2, ■ ■ ■ ? Фт, Рт ^ ¿2(Z?v), и система определяемая аналогично

по векторам ^ ф2,..., фт, (рт g /2(zjv). Если системы В((р,ф) и В((р,ф)

9

образуют пару биортогональных базисов в тогда они называются

т-этапными биортогоналъными диадическими вейвлет-базисами в пространстве 12{ЪЫ).

Доказывается, что для построения подобных вейвлет-базисов нужно выбрать т-этапную последовательность диадичесикх биортогональных вейвлет-фильтров и\, 51, VI, гьи2, 52, т2,... ,ит, 5т, ит, тто, таких, ЧТО и„,Уу, ву.Ту 6 для любого V = 1, 2,..., га и любого I = 0,1,..., Л^ выполнено равенство

ии{1) и„{1 + К)

%{1) зд + лд

( Ш Ш \ 2/10,

•

С П I ЛГ \ О П I ЛГ ^ / /V" 1 П 1 I

\

%{1 + лд т„(/ + Иу) ) М1-1 \ О 1

Если положить = щ, (р = 51, ф\ = ф — т\ и определить (ри, (ри, фу, фь для V = 2,..., га по формулам

^ = 1 * и" (и„), фи = (ру-1 * г/" (9)

и

- * ^1(51/), ^ = * (10)

то последовательности <р„, фу, фу порождают га-этапный вейвлет-базис с пространстве 12(Ъ^). Соответственно, задача построения диадических многоэтапных базисов сводится к выбору последовательности вейвлет-фильтров. Кроме того, доказано, что последовательность вейвлет-фильтров может быть построена с использованием порождающих последовательностей вейвлет-бази-са первого этапа. Такие последовательности фильтров называют стационарными.

В конце первой главы приведены примеры последовательностей, порождающих ортогональные и биортогональные диадические вейвлет-базисы в пространстве

Во второй главе рассматриваются диадические вейвлеты в пространстве непериодических последовательностей 12{Ъ+). Процесс построения диа-дических вейвлетов в этом пространстве в целом аналогичен подходу, изложенному в главе 1. Основное отличие заключается в том, что пространство +) является бесконечномерным, поэтому дополнительно требуется доказывать полноту полученных вейвлет-систем.

Еще одним отличием является тот факт, что свертка двух последовательностей из пространства не всегда принадлежит этому пространству, поэтому при построении диадических вейвлет-систем порождающие последовательности приходится выбирать из более узкого класса последовательностей - пространства 11('Ж+).

Несмотря на то, что пространство 12(Ъ+) позволяет рассматривать бесконечные сигналы, на практике встречаются только сигналы конечной длины. Поэтому отдельно рассматриваются последовательности и,ь, в, т, все элементы которых, начиная с некоторого индекса М, равны нулю. Доказаны следующие две леммы.

Лемма 2.4.1. Пусть М Е Щ, М < N = 2п и и, у, в^т таковы, что системы {Т2ки}кеъ+^{Т2к^}ке1+ и {Т^й^^и^^т}^^ являются биорто г опальными диадическими вейвлет-базисами первого этапа в пространстве 12(Ъ+). Положим

и(т) = й(ш) = у(т) — т(т) = 0 для всех т > М.

Определим последовательность и^щ равенствами

и{Ы){т) — и(т), т ~ 0,1,..., N — 1, (11)

и аналогично определим последовательности з^уу^ут^у Тогда множества {Т2кЩм)}£01 и {Т2ку(М)}к=0 и {т2к8(м)}к=о и {т2кЦм)}к=о являются

биортогоналъными диадическими вейвлет-базисами первого этапа в пространстве 12{Ъц).

Лемма 2.4.2. Пусть п 6 М, Я = 2п и и,у,в,т таковы, что множества {Т2ки}к^ и {Т2ки}^ и {Т2кв}^ и {Т2кт}^ являются биортогоналъными диадическими вейвлет-базисами первого этапа в пространстве 12{Ъц). Определим последовательность и^ равенствами

= и(т), га = 0,1,..., ЛГ — 1, (12)

и аналогично определим последовательности «(дг), ^(дг)) г(ло- Положим

щы){т) = 5(дг)(т) = = т^){т) — О для всех га > N.

Тогда множества {Т2ки^)}к^+^{Т2кУ{щ}кеЪ+ и {Т2кЗ(М)}к^+и{Т2кцМ)}ке%+ являются биортогоналъными диадическими вейвлет-базисами первого этапа в пространстве 12{Ъ+).

Эти две леммы показывают, что последовательности вейвлет-фильтров с конечным количеством ненулевых элементов могут порождать как базисы в пространстве 12(йр}), так и базисы в пространстве ¿2(Z+).

В третьей главе рассматриваются примеры применения диадических вейвлетов в задачах цифровой обработки сигналов. В первом разделе рассматривается задача кодирования изображений. Для адаптации диадических вейвлетов приводится метод кодирования изображений с "обратной связью"[38], состоящий из следующих шагов:

1) представление входного изображения в виде массива его вейвлет-коэф-фициентов;

2) квантование вейвлет-коэффициентов;

3) восстановление изображения и подсчет величины РЭМИ,;

4) замена параметров для достижения наилучшего значения PSNR.

При проведении численных экспериментов на этапе квантования использовались два метода:

1) аналогично подходу из книги Э. Уэлстида [27] выбиралось заданное количество наибольших по модулю вейвлет-коэффициентов (10%, 5% и 1%), остальные коэффициенты полагались равными нулю (метод А);

2) к вейвлет-коэффициентам применялось равномерное квантование с мертвой зоной в окрестности нуля (этот метод квантования используется в стандарте ЛРЕС2000 [40]). В этом случае каждый вейвлет-коэффициент ¿(х, у) квантуется по формуле

d(x,y) = sign (d(x,y))

А, (13)

А

где J - целая часть числа, а А - шаг квантования (метод В).

На этапе замены параметров вейвлета использовался рекурсивный генетический алгоритм [3], в котором целевой функцией являлась величина PSNR.

Эксперименты проводились на наборе тестовых изображений в градациях серого, размером 256 на 256 точек. Результаты, полученные для семейств диадических вейвлетов сравнивались с результатами классических вейвлетов Хаара, Добеши и биортогональных вейвлетов 9/7. Результаты кодирования изображений с использованием квантования из стандарта JPEG 2000 приведены в таблицах 3.1 - 3.6. Из этих таблиц видно, что при использовании метода кодирования из стандарта JPEG2000 для рассматриваемых изображений диадические вейвлеты имеют преимущество по сравнению с вейвлетами Хаара, Добеши и 9/7.

Во втором разделе третьей главы проводится моделирование эффекта увеличения гладкости шума в результате консолидации блоков земной коры перед землетрясением.

В работе [9] предложен следующий алгоритм оценки гладкости низкочастотных микросейсмических колебаний.

1. Выбирается некоторое множество вейвлет-базисов.

2. Из сигнала производится удаление тренда локальными полиномами восьмого порядка.

3. Для каждого вейвлет-базиса из выбранного множества

- вычисляется дискретное вейвлет-преобразование сигнала;

- по формуле

Е = - Y^Рз 1о§2Pj, Pj = d)/S, S = £4 j j

где dj - вейвлет-коэффициенты сигнала, вычисляется энтропия квадратов вейвлет-коэффициентов.

4. В качестве показателя гладкости сигнала выбирается показатель гладкости вейвлета с наименьшим значением энтропии.

A.A. Любушин использовал в своих работах вейвлеты Добеши порядков 1-10 и симлеты, порядков 4-10 (под порядком понимается число обнуляемых моментов у материнской функции). В качестве показателя гладкости для этих вейвлетов был выбран порядок вейвлета. A.A. Любушиным было показано, свойство гладкости волновых форм сейсмического шума отражает подготовку сильного землетрясения, а именно, задолго перед сейсмической катастрофой 11 марта 2011 г. в Японии среднее число обнуляемых моментов сейсмического шума на станциях сети F-net, после устранения трендов,

обусловленных приливами, существенно возросло, то есть шум стал более гладким [11].

Для моделирования эффекта увеличения гладкости шума каждый малый блок земной коры представляется как линейное колебательное звено, описываемое уравнением авторегрессии 2-го порядка [2]:

+ а[а)Х^(г - 1) + 0^X^(1 -2) = (14)

где Х^а\{) - колебание блока; а = 1,... ,т - индекс, нумерующий различные малые блоки земной коры, общим числом т; Ь е Ъ - целочисленный временной индекс, нумерующий последовательные отсчеты; - случай-

ный процесс, накачивающий энергией блок с номером а ; (а^а^) - параметры блока (коэффициенты авторегрессии), задающие передаточные и резонансные свойства блока. Под случайными процессами будем понимать последовательности независимых случайных величин с нулевым средним и с одинаковой дисперсией а2 , распределенных по Гауссу с плотностью вероятности е~х2/(ал/2п), иными словами, независимые гауссовские белые шумы. Процесс консолидации малых блоков моделируется резким уменьшением стандартного отклонения д разброса параметров (а^, а^) около среднего вектора (а^ = 0= 0.5), что эквивалентно более равномерному распределению свойств земной коры внутри большого консолидированного блока, образующегося из большого числа малых блоков.

На рисунке 3.2 представлены результаты оценки показателя гладкости (числа обнуляемых моментов) в скользящем временном окне до и после консолидации. Видно, что после консолидации среднее значение показателя гладкости существенно выросло, что соответствует оценкам по реальным данным наблюдений.

Во третьем разделе третьей главы рассматриваются диадические масштабирующие функции и соответствующие им вейвлеты в пространстве Ь2(Ш+),

порожденные диадическими вейвлетами из пространств последовательностей, и их применение для оценки гладкости низкочастотных микросейсмических колебаний.

В диссертационной работе рассматриваются масштабирующие функции и соответствующие им вейвлеты из примеров 3.3.1 и 3.3.2. Построение и оценки гладкости этих диадических вейвлетов представлены в работе Е.А. Родионова и Ю.А. Фаркова [19].

На рисунке 3.3 представлены графики изменения показателя гладкости по всем станциям сети Г-пе!;, дополнительно сглаженные во временном окне длиной 30 суток. Видна основная деталь поведения всех показателей гладкости шума: во временном интервале с начала 2002 до 2004 гг. произошло плавное повышение гладкости, причем средний уровень параметров гладкости оставался высоким вплоть до землетрясения 11.03.2001. После сейсмической катастрофы показатели гладкости (а) и (в) резко упали и, таким образом, параметры гладкости волновых форм низкочастотных микросейсм в формах Добеши и примера 3.3.2 обладают прогностическими свойствами, что делает их перспективным в использовании в прогностических системах мониторинга. Что касается оценки показателя гладкости (б) (пример 3.3.1), то пока рано утверждать, что она менее перспективна, чем остальные, рассмотренные в статье - ввиду слишком небольшого опыта использования оценок свойств гладкости микросейсмического шума в задачах мониторинга.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

В приложения вынесены тексты программ основных алгоритмов, изложенных в диссертационной работе, а также набор тестовых изображений и примеры восстановления закодированных изображений.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. IX международная конференция «Новые идеи в науках о Земле» (РГГ-РУ им. Серго Орджоникидзе, г. Москва, 2009 г.).

2. VI Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения"(ЮФУ, г. Новороссийск, 2010 г.).

3. Российская конференция «Методы сплайн-функций», посвященная 80-летик: со дня рождения Ю. С. Завьялова (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, 2011 г.).

4. X международная конференция «Новые идеи в науках о Земле» (РГГ-РУ им. Серго Орджоникидзе, г. Москва, 2011 г.).

Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них три статьи в рецензируемых журналах [25, 30, 37], одна статья в сборниках трудов конференций [22] и 4 тезисов докладов [12, 23, 24, 26].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Строганов, Сергей Александрович

3.4. Выводы

1. Разработан набор программ, позволяющих применять дискретные диа-дические вейвлеты в задачах обработки цифровых сигналов (см. приложение Б).

2. В задачах кодирования изображений, численные эксперименты с использованием диадических вейвлетов показали, что диадические вей-влеты не уступают, а в некоторых случаях и превосходят классические вейвлеты Хаара, Добеши и 9/7 по качеству восстановленного изображения.

3. Применение диадических вейвлетов для оценки гладкости низкочастотных микросейсмических шумов показало, что диадические вейвлеты обладают прогностическими свойствами и могут быть использованы в системах мониторинга.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Построены диадические ортогональные и биортогональные вейвлет-бази-сы в пространствах периодических и непериодических последовательностей. Приведено их полное описание.

2. Разработан алгоритм построения диадических вейвлет базисов с использованием стационарных и нестационарных систем вейвлет-фильтров.

3. Разработаны алгоритмы прямого и обратного дискретных диадических вейвлет-преобразований на основе быстрого преобразования Уолша. Получены оценки быстродействия этих алгоритмов.

4. Разработаны программы на языке реализующих рассмотренные в диссертационной работе алгоритмы.

5. Показано, что в задачах кодирования изображений, диадические вей-влеты не уступают, а зачастую и превосходят классические вейвлеты Хаара и Добеши, а также биортогональный базис 9/7.

6. Показано, что диадические вейвлеты обладают прогностическими свойствами при оценке гладкости низкочастотных микросейсмических колебаний.

7. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в системах обработки цифровых сигналов, кодирования и сжатия изображений, а также для анализа геофизических данных и системах мониторинга. Кроме того, результаты диссертации могут быть полезны при подготовке специалистов в учебном процессе по направлению 231300 «Прикладная математика».

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Строганов, Сергей Александрович, 2012 год

Литература

1. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. М: Вильяме, 2004.

2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М: Мир, 1974.

3. Головешкин В.А., Ульянов М.В. Теория рекурсии для программистов. М: ТЕХНОСФЕРА, 2007.

4. Голубов Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уол-ша: Теория и применения. М: Издательство ЛКИ, 2008.

5. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М: ТЕХНОСФЕРА, 2005.

6. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ: "Регулярная и хаотическая динамика 2001.

7. Любушин A.A. Модель сейсмического процесса в блоковой среде. // Современные методы интерпретации сейсмологических данных (Вычислительная сейсмология). 1991. № 24. С. 50-61.

8. Любушин A.A. Тренды и ритмы синхронизации мультифрактальных параметров поля низкочастотных микросейсм. // Физика Земли. 2009. № 5. С. 15-28.

9. Любушин A.A. Статистики временных фрагментов низкочастотных микросейсм: их тренды и синхронизация // Физика Земли. 2010. JV5 6. С. 86-96.

10. Любушин A.A. Кластерный анализ свойств низкочастотного микросейсмического шума // Физика Земли. // Физика Земли. 2011. № 6. С. 26-34.

11. Любушин A.A. Сейсмическая катастрофа в Японии 11 марта 2011 года. Долгосрочный прогноз по низкочастотным микросейсмам. // Геофизические процессы и биосфера. 2011. Т. 10, № 1. С. 9-35.

12. Максимов А.Ю., Строганов С.А. О применении диадических вейвлетов для сжатия изображений // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 14-й Саратов, зимн. шк., поев, памяти акад. П.Л. Ульянова. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 2008. С. 108-109.

13. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М: Мир, 2005.

14. Методы компьютерной обработки изображений. / Под ред. В.А. Сойфера. М: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

15. Новейшие методы обработки изображений. / Под ред. A.A. Потапова. М: ФИЗМАТЛИТ, 2008.

16. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

17. Протасов В.Ю. Аппроксимация диадическими всплесками. // Математический собрник. 2007. Т. 198, № 11. С. 135-152.

18. Протасов В.Ю., Фарков Ю.А. Диадические вейвлеты и масштабирующие функции на полупрямой. // Математический сборник. 2006. Т. 197, № 10. С. 129-160.

19. Родионов Е.А., Фарков Ю.А. Оценки гладкости диадических ортогональных всплесков типа Добеши. // Мат. Заметки. 2009. Т. 86, № 3. С. 429-444.

20. Садовский М.А. О естественной кусковатости горных пород. // Докл. АН СССР. Т. 247. 1979. С. 829-832.

21. Садовский М.А. Автомодельность геодинамических процессов. // Вестник АН СССР. 1986. № 8. С. 3-11.

22. Строганов С.А. О дискретных диадических вейвлетах их применении для обработки изображений. // XVIII Международная конференция "Математика. Экономика. Образование."VI Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения."Междисциплинарный семинар "Информационно-коммуникационные технологии."Труды. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2010. С. 4-8.

23. Строганов С.А. О дискретных диадических вейвлет-иреобразованиях // X международная конференция «Новые идеи в науках о земле», Москва, РГГРУ, 12-15 апреля 2011. Доклады. Том 3. М: Экстра-принт, 2011. С. 208.

24. Строганов С.А. О применении диадических биортогональных дискретных всплесков для обработки изображений // Методы сплайн-функций. Российская конференция, посвящённая 80-летию со дня рождения Ю. С. Завьялова (Новосибирск, 31 января - 2 февраля 2011 г.): Тез. докладов. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2011.

25. Строганов С.А. Оценка гладкости низкочастотных микросейсмических колебаний при помощи диадических вейвлетов. // Геофизические исследования. 2012. Т. 13, № 1. С. 60-65.

26. Строганов С.А., Фарков Ю.А. О диадических фреймах, определяемых по вейвлетам на полупрямой. //IX Международная конференция «Новые

идеи в науках о Земле». Москва, РГГРУ, 14-17 апреля 2009 года. Доклады. Том 3. М: РГГРУ, 2008.

27. Уэлстид Э. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии. М: Триумф, 2003.

28. Фарков Ю.А. Биортогональные всплески на группах Виленкина. // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2011. Т. 265. С. 110-124.

29. Фарков Ю.А. Дискретные вейвлеты и преобразование Виленки-на-Крестенсона. // Математические заметки. 2011. Т. 89, № 6. С. 914-928.

30. Фарков Ю.А., Строганов С.А. О дискретных диадических вейвлетах для обработки изображений. // Известия вузов. Математика. 2011. № 7. С. 57-66.

31. Фрейзер М. Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний., 2008.

32. Штарк Г. Применение вейвлетов для цифровой обработки сигналов. М: ТЕХНОСФЕРА, 2007.

33. National Institut of Standarts and Technology. Amercian National Standart for Information Systems - Data Format for the Interchange of Fingerprint, Facial and Other Biometric Information, 2011.

34. Broughton S.A., Bryan K.M. Discrete Fourier Analysis and Wavelets: Application to Signal and Image Processing. Hoboken, New Jersey: John Wiley and Sons, 2008.

35. Farkov Yu.A. On wavelets related to the Walsh series. //J. Approx. Theory. 2009. Vol. 161, no. 1. P. 259-279.

36. Farkov Yu.A. Wavelets and frames based on Walsh-Dirichlet type kernels. // Communic. Math. Appl. 2010. no. 1. P. 27-46.

37. Farkov Yu.A., Maksimov A.Yu., Stroganov S.A. On biorthogonal wavelets related to the Walsh functions. // International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing. 2011. Vol. 9, no. 3. P. 485-499.

38. Hereford J., Roach D.V., Pigford R. Image compression using parameterized wavelets with feedback. // Independent Component Analyses,Wavelets, and Neural Networks. 2003. Vol. 5120, no. 7. P. 267-277.

39. Hirata T., Satoh T., Ito K. Fractal structure of spatial distribution of micro-facturing in rock. // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1987. Vol. 90, no. 2. P. 369-377.

40. ISO/IEC JTC1/SC29 WG1. JPEG 2000 Image Coding System, 2000.

41. Lang W.C. Fractal multiwavelets related to the Cantor dyadic group. // Intern. J. Math, and Math. Sci. 1998. Vol. 21, no. 3. P. 307-317.

42. Schipp F., Wade W.R., Simon P. An introduction to dyadic harmonic analysis. N.Y.: Adam Hilger, 1990.

43. Sendov Bl. Multiresolution analysis of functions defined on the dyadic topological group. // East J. Approx. 1997. Vol. 3, no. 2. P. 225-239.

44. Sendov Bl. Walsh-similar functions. // East J. Approx. 1999. Vol. 5, no. 1. P. 1-65.

45. Sendov Bl. Adapted multiresolution analysis and wavelets. // Proceedings of Alexits Memorial Conference "Functions, Series, Operators "(August 9-14, 1999) / Ed. by F. Schipp, J. Szabados. Budapest: 2002. P. 23-38.

46. Shah F.A. Construction of wavelet packets on p-adic field. // Int. J. Wavelets Multiresolut. Inf. Process. 2009. Vol. 7, no. 5. P. 553-565.

47. Shah F.A., Debnath L. p-Wavelet frame packets on a half-line using the Walsh-Fourier transform. // Integral Transforms Spec. Funct. 2011. Vol. 22, no. 12. P. 907-917.

48. Turcotte D.L. Fractals and Chaos in Geology and Geophysics, 2-nd edition. New York: Cambridge Univ. Press, 1997.