Применение численного моделирования и регуляризирующих алгоритмов для изучения конвекции и акустики в задачах физики Солнца и экологии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Парчевский, Константин Владимирович

• Парчевский, Константин Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Парчевский, Константин Владимирович

Введение.

Глава 1. Численное моделирование солнечной конвекции и рассеяние звуковых волн.

1.1 Численное моделирование двумерной сжимаемой солнечной конвекции и супергрануляции.

1.2 Моделирование рассеяния акустических волн солнечным пятном.

Глава 2. Применение регуляризирующих алгоритмов для анализа солнечных наблюдений.

2.1 Восстановление угловой скорости внутреннего дифференциального вращения Солнца по гелиосейсмологическим данным.

2.2 Определение аппаратной функции телескопа и восстановление изображений солнечных протуберанцев.

Глава 3. Численное моделирование и анализ экспериментальных данных в задачах экологии.

3.1 Восстановление функции распределения частиц по радиусам из седиментационной кривой.

3.2 Численное моделирование седиментации полидисперсной суспензии в присутствии двумерной сжимаемой конвекции.

3.3 Восстановление скорости роста и функции плотности вероятности из зашумленных экспериментальных данных.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение численного моделирования и регуляризирующих алгоритмов для изучения конвекции и акустики в задачах физики Солнца и экологии»

Любое научное исследование должно последовательно ответить на три вопроса: "Что?", "Как?" и "Почему?". Первый этап соответствует сбору информации. Второй этап связан с обработкой данных. Третий этап способствует выяснению причин, породивших исследуемое явление, и здесь не обойтись без построения моделей. В предлагаемой диссертации используется комплексный подход к научному исследованию, охватывающий этапы моделирования и обработки экспериментальных данных на примере решения различных задач. Так как автор работает в Солнечном отделе Крымской астрофизической обсерватории и занимается численным моделированием конвекции и обработкой наблюдений, то большинство задач, решаемых в диссертации, так или иначе, связаны с физикой Солнца, конвекцией, дифференциальным вращением и гелиосейсмо-логией. Все эти задачи тесно связаны друг с другом.

Актуальность темы. Дифференциальное вращение вызывается взаимодействием вращения и конвекции, что приводит к анизотропии рейнольдсовых напряжений. Солнечные пятна, по-видимому, так же являются результатом конвективных движений — нисходящих потоков холодного вещества, быстро остывающего в областях с сильным магнитным полем и представляют собой самоорганизующиеся магнито-конвективные структуры. Однако, динамика под-фотосферных структур и потоков вещества еще недостаточно хорошо изучена. Прямое наблюдение невозможно из-за непрозрачности вещества, поэтому для диагностики внутренних слоев Солнца приходится решать обратные задачи акустики, применяя технику время-расстояние, используемую в гелиоссйсмо-логии. В целом, проблема солнечной конвекции и ее влияние на вращение и структуру магнитного поля Солнца еще не решена. В диссертации развиваются отдельные модели и методы обработки наблюдательных данных для решения этой фундаментальной проблемы солнечной физики и астрофизики.

Подобные модели и методы могут быть применены для моделирования конвекции и интерпретации данных, полученных в лабораторных условиях. Рассмотрение этих задач позволяет более полно выявить характерные отличия и физические закономерности конвективных процессов, расширить область применения численных методов, и, кроме того, получить результаты важные для экологических приложений. В частности, в диссертации выявлено, что конвекция на Солнце и в лабораторных условиях носит качественно различный характер. Если в лабораторных условиях конвекция развивается в виде хорошо известных ячеек Бенара, в которых горячее вещество поднимается в центре ячеек и опускается на границах, то на Солнце структура конвекции определяется высокоскоростными структурами опускающегося вещества. Образно говоря, если в лабораторных условиях конвекция развивается «снизу вверх», то на Солнце — наоборот «сверху вниз».

Среди других интересных аналогий можно отметить процесс оседания пыли в среде с конвективными движениями при формировании солнечной системы и седиментации в лабораторных и промышленных условиях для разделения суспензий. Конвекция противодействует гравитационному оседанию, действуя по-разному на различные пылевые фракции и элементы. Это приводит к разделению среды по физическим свойствам. Большое внимание в современной физике Солнца уделяется изучению структуры и динамики «тахоклина» — переходной зоны между радиативным ядром и зоной турбулентной конвекции. Считается, что в этой зоне протекают процессы солнечного динамо. Гелио-сейсмологические измерения указывают на существенное отклонение в значениях скорости звука в этой зоне по сравнению со стандартной моделью. Это может быть объяснено процессами гравитационного оседания гелия и тяжелых элементов. Пока эти процессы описываются с использованием феноменологических моделей турбулентной диффузии (Proffitt & Michaud, 1991; Christensen-Dalsgaard et al., 1993), однако, результаты диссертации по моделированию седиментации указывают, что на следующем этапе возможно применение прямого численного моделирования тахоклина.

Солнце — это единственная звезда достаточно близкая к нам, чтобы можно было различать детали конвективных движений. С одной стороны, Солнце является лабораторией для тестирования моделей звездной конвекции, с другой — исследование солнечной конвекции имеет самостоятельный интерес. Динамика конвективной области Солнца является определяющей для таких глобальных явлений, как дифференциальное вращение, солнечное динамо и 11 -ти летний цикл солнечной активности, возбуждение 5-мин. осцилляций. На поверхности мы видим проявление конвекции, как минимум, на двух различных масштабах — грануляции и супергрануляции. В то время, как механизм возникновения гранул хорошо изучен — это приповерхностная турбулентная конвекция, супергрануляция до сих пор, начиная с ранних наблюдений (Hart, 1954), остается загадкой. Харт (Hart, 1956) описал пространственные структуры с характерным размером 26 Мм и средними скоростями порядка 0.3 км/с, однако отклонил гипотезу о конвективной природе этих образований из-за слишком большого масштаба. Симон и Лейтон (Simon & Leighton, 1964) сорок лет назад сформулировали гипотезу, которой придерживаются и современные исследователи, что за возникновение супергрануляции ответственны зоны ионизации гелия.

Грануляционная картина простирается вглубь не более, чем на 2+3 Мм. Однако, глубина супергрануляционного слоя в настоящее время не известна. Существуют предположения, что в сильно стратифицированной атмосфере вертикальный размер супергранул может намного превосходить их горизонтальный размер (Parker, 1973). Вычисляя коэффициенты корреляции между горизонтальной и вертикальной компонентами скорости вещества на различных глубинах, Дюваль (Duvall, 1998) получил оценку глубины супергрануляционного слоя в 8 Мм. Жао и Косовичев (Zhao & Kosovichev, 2003) с помощью усовершенствованного алгоритма многоканальной деконволюции установили наличие сходящихся потоков в супергрануляционной ячейке на глубине около 10 Мм и оценили среднюю глубину супергрануляционного слоя в 15 Мм.

По понятным причинам, для упрощения аналитического или полуаналитического описания, супергрануляцию рассматривают в рамках ламинарной конвекции, не смотря на то, что движения вещества в атмосфере Солнца должны быть исключительно высокотурбулентными и существенно нестационарными, как отмечалось Симоном и Лейтоном (Simon & Leighton, 1964). Недавние результаты численного моделирования конвекции в стратифицированной среде при больших числах Рэлея выявили исключительно сложную структуру движений вещества. В настоящее время не вызывает сомнения, что перенос тепла и импульса в высокотурбулентной солнечной конвекции регулируется серией "плюмов" — узко локализованных высокоскоростных потоков относительно холодного вещества, движущегося вниз от поверхности (Julien et al., 1996; Brummel et al., 1996). Динамика отдельных "плюмов" определяется сильным вихревым взаимодействием с соседними "плюмами" (Julien et al., 1996). Раст и Плонер (Rast, 2002; Ploner et al., 2000) считают, что супергрануляционный масштаб возникает в результате взаимодействия и наложения отдельных грануляционных "плюмов". Похожая модель была предложена (Rieutord et al., 2000), в рамках которой супергрануляция является проявлением нелинейной крупномасштабной неустойчивости грануляционной картины, приводимой в действие расширяющимися гранулами. В обоих этих моделях размер супергранул не является характерным масштабом конвекции, а глубина супергрануляционного слоя определяется исключительно глубиной проникновения "плюмов", пока они остаются стабильными.

До сих пор не ясен вопрос, существуют ли промежуточные характерные масштабы: мезогранулы (November et al., 1981) и гигантские ячейки (Beck et al., 1998). В работе (Hathaway et al., 2000) авторы приходят к выводу, что мезогранулы отсутствуют как отдельный характерный масштаб солнечной конвекции. Ячеистая структура с характерным размером мезогранул присутствует, по объясняется вкладом либо больших гранул, либо малых супергранул. Теория длины пути перемешивания говорит, что для каждого фиксированного уровня существует только один характерный размер конвективных ячеек, связанный со шкалой по давлению на этом уровне. Существование дискретных характерных масштабов дает указания на то, что солнечная конвекция может быть обусловлена чем-то большим, нежели простой стратификацией.

Рядом авторов отмечаются необычные свойства супергрануляции. Долготная кросс-корреляция супергрануляционной картины потоков свидетельствует о том, что она (картина) вращается быстрее плазмы на поверхности Солнца (Duvall, 1980; Snodgrass & Ulrich, 1990), скорость которой была получена но прямым допплеровским наблюдениям и быстрее внешней 5% области конвективной зоны (Beck & Schou, 2000), скорость которой была определена с помощью гелиосейсмологии. Еще более загадочным является тот факт, что супргра-нуляционная сетка вращается быстрее, чем магнитное поле (Snodgrass & Ulrich, 1990), причем скорость вращения зависит от размеров ячеек. Крупномасштабные структуры вращаются быстрее, чем мелкомасштабные (Duvall, 1980; Beck & Schou, 2000). Этот феномен был недавно подтвержден для поля скоростей, полученного по наблюдениям /-моды с помощью локальной гелиосейсмологии (Gizon et al., 2003). В свете этих необычных свойств, а так же при отсутствии убедительных доказательств конвективного происхождения супергрануляции, для ее объяснения широко привлекаются альтернативные теории: модулирование конвективных движений гравитационными волнами (Lindzen & Tung,

1976), изменение с глубиной фактора заполнения магнитного поля (Foukal,

1977), взаимодействие конвекции и r-мод (Wolff, 1995), суперпозиция бегущих волн неизвестного происхождения (Gizon et al., 2003). В данной ситуации численное моделирование солнечной конвекции приобретает первоочередное значение.

Существует два дополняющих друг друга подхода к описанию солнечной конвекции. Первый использует упрощенную физику, чтобы исследовать свойства конвекции в глубоких слоях с учетом кориолисовых сил (Brummel ct al., 1996; Weiss et al., 1996; Elliott et al., 1998). Как правило, эти расчеты невозможно продолжить до самой поверхности из-за введенных упрощающих предположений (Miesch, 2000). Другой подход, использующий реалистичные трехмерные расчеты конвекции (Атрощенко, 1993; Atroshchenko & Gadun, 1994; Stein & Nordlund, 1998, 2000), с большой точностью учитывает уравнение состояния вещества, перенос излучения в линиях, магнитное поле, и дает хорошее согласие с наблюдениями. Однако, такие расчеты требуют больших затрат процессорного времени и охватывают область всего в 1-2 гранулы. Для уверенного моделирования супергрануляции вычислительная область должна содержать десятки гранул, находиться вблизи поверхности и учитывать сжимаемость среды.

Из-за непрозрачности поверхностных слоев Солнца, невозможно непосредственно наблюдать подфотосферные движения вещества, и на настоящее время, практически единственным инструментом для исследования внутреннего строения Солнца посредством прямых наблюдений является гелиосейсмоло-гия. Существует два различных взаимно дополняющих друг друга метода восстановления внутреннего строения по наблюдательным гелиосейсмологиче-ским данным. Первый подход основан на исследовании резонансных свойств внутренних областей Солнца путем определения частот нормальных мод колебаний (глобальная гелиосейсмология). Глобальная гелиосейсмология добилась впечатляющих успехов в исследовании крупномасштабных статических и динамических структур внутри Солнца (глубина конвективной зоны, дифференциальное вращение), что позволило значительно продвинуться в понимании физики процессов, протекающих внутри Солнца и других звезд. Другой подход основан на локальном исследовании бегущих волн (локальная гелиосейсмология), что позволяет исследовать явления меньшего масштаба, которые глобальная гелиосейсмология не в состоянии разрешить. Сюда входит исследование структуры солнечных пятен, магнитного поля и потоков вещества в супергрануляционных ячейках. Существует несколько методов исследования взаимодействия акустических волн с локальными неоднородностями модели. Один из них — подход, использующий технику время-расстояние (time-distance), предложенную Дювалем с соавторами (Duvall et al., 1997). Другими альтернативными подходами являются анализ кольцевых диаграмм (ring-diagram analysis) и гелиосейсмическая голография (helioseismic holography). Ключевой концепцией подхода время-расстояние является понятие времени распространения волны между фиксированными точками на поверхности Солнца, которое можно получить путем вычисления кросс-корреляции колебаний на поверхности. Распространение звуковых колебаний при этом подходе вычисляется в рамках геометрической акустики. Однако, приближение геометрической акустики не применимо вблизи поверхности, где давление и плотность меняются очень быстро и должны приниматься во внимание волновые эффекты (Bogdan, 1997). В частности, время распространения звуковой волны чувствительно к свойствам среды не только вдоль пути распространения волны, но и к условиям в окрестности траектории. Более того, ядра чувствительности, вычисленные в борновском приближении (первое волновое приближение), имеют нулевое значение вдоль траектории (Kosovichev, et al., 2000). Таким образом, переход от геометрической акустики к волновой теории не сводится к простому уширению ядер чувствительности. Важным следствием является то, что чувствительность вдоль траектории распространения уже не пропорциональна обратной локальной скорости звука и может сильно от нее отличаться, особенно вблизи поверхности (Stark & Nikolaev, 1993).

В этой ситуации исключительно большую роль приобретает прямое численное моделирование взаимодействия распространяющихся звуковых волн с неоднородностями среды. Одномерные тестовые расчеты были выполнены Ко-совичевым и Дювалем (Kosovichev & Duvall, 1997), двумерные расчеты были проделаны Йенсеном, Якобсеном и Кристенсеном-Далсгартом (Jensen et al., 1999). Необходимо было провести реалистичные трехмерные расчеты рассеяния звуковых волн на неоднородностях внутреннего строения. Наблюдениями SOHO было подтверждено, что вспышки на поверхности Солнца могут порождать бегущие сейсмические волны и гигантские "солнцетрясения", подобные наблюдавшемуся 6 июля 1996 г.

Глобальная гелиосейсмология позволяет исследовать не только крупномасштабные статичные структуры внутри Солнца, но так же глобальную динамику внутренних областей — дифференциальное вращение. В спектре мощности акустических "пятиминутных" мод колебаний наблюдается тонкая структура пиков, связанная с вращением Солнца (Claverie et al., 1981; Duval & Harvey, 1984; Brown & Morrow, 1987). Измеренные разности частот между пиками в тонкой структуре (так называемое вращательное расщепление) могут быть использованы для нахождения закона внутреннего вращения, который представляет большой интерес для изучения внутреннего строения и динамики Солнца, теорий звездной конвекции и механизма динамо, а также для определения гравитационного квадрупольного момента Солнца (Gough, 1985; Toomre, 1984; Макаров и др., 1987).

Смещения частот собственных колебаний вызваны, в основном, простым переносом волновой картины колебаний относительно наблюдателя в результате вращения. Величина этого смещения пропорциональна угловой скорости вещества внутри Солнца, усредненной с некоторым весовым множителем по области распространения колебаний. Размеры этой области по радиусу и широте различны для разных мод акустических колебаний. Поэтому, зная вращательное расщепление частот для некоторого набора мод, можно попытаться определить пространственную структуру внутреннего вращения. С математической точки зрения эта задача заключается в восстановлении зависимости угловой скорости от радиуса и широты по известным интегральным средним, то есть представляет собой обратную некорректную задачу для интегрального уравнения (Тихонов и Арсенин, 1979). В настоящее время разработаны методы решения этой задачи для определения радиальной зависимости угловой скорости в плоскости экватора (Duvall et al., 1984; Gough, 1984), а также широтного дифференциального вращения, заданного в параметрическом виде:

П(г,в) = Q0(r) + fi,(r)cos2 0 + Q2 (r)cos4 О, или аналогичном представлении через полиномы Лежандра (Durney et al., 1987; Косовичев, 1988). Как известно (Вандакуров, 1967; Shibahashi, 1979), высокочастотные акустические моды собственных колебаний могут быть рассмотрены в приближении ВКБ, поскольку длина волны этих колебаний вдоль радиуса мала по сравнению с характерными масштабами изменения плотности и температуры. При этом для функций, описывающих зависимость угловой скорости от радиуса, получаются интегральные уравнения Абеля, решения которых находятся в явном виде по известной формуле абелевой инверсии (Gough, 1984). Однако, параметрическое представление С2(г, 0) может не достаточно хорошо соответствовать реальному закону солнечного вращения. Например, угловая скорость в конвективной зоне может быть зависящей, в основном, от расстояния от оси вращения г sin 0 (Durney, 1976).

Ли и Шибахаши (Lee & Shibahashi, 1986) разработали метод определения Q(r, 0) в общем виде. Они предложили находить зависимость от угла, аппроксимируя ее кусочно-постоянной функцией и решая получающуюся при этом систему линейных уравнений. Однако, данная система может оказаться плохо обусловленной и потребовать задания дополнительной информации об угловой зависимости Q, как это часто бывает при подобном подходе к численному решению интегральных уравнений I рода (Тихонов и Арсенин, 1979). Мы рассмотрели моды колебаний с большими значениями угловой степени /, т. е. колебания с короткими длинами волн не только в радиальном, но и в поперечном направлении. Данное приближение представляет интерес по двум причинам: во-первых, акустические моды с / > 10 захвачены при г > 0.35 RQ, т. е. позволяют исследовать значительную область внутри Солнца; во-вторых, данные наблюдений, во время выполнения работы, были получены, в основном, для таких мод.

Кориолисовы силы, вызываемые вращением, должны оказывать существенное влияние на другие крупномасштабные движения вещества внутри Солнца, в частности на супергрануляцию. Непосредственные наблюдения супергрануляционной сетки затруднены, так как на относительно медленные движения вещества, связанные с супергрануляцией, накладывается быстрая хаотическая грануляционная картина. Супергрануляционная сетка становится видна только после соответствующей обработки поля горизонтальных скоростей отдельных гранул (local correlation tracking). В этой ситуации ключевую роль начинают играть методы восстановления и обработки изображений, позволяющие исследовать тонкую структуру солнечных образований: протуберанцев, пятен, волокон, грануляционной сетки. В данной работе предлагается метод определения аппаратной функции телескопа для последующего восстановления изображений солнечных протуберанцев. Наблюдения протуберанцев исключительно важны, так как они располагаются вдоль нейтральных линий магнитного поля, выявляя крупномасштабную картину, которая, в свою очередь, определяется глубинными конвективными структурами, которые исследуются с помощью гелиосейсмологии.

Влияние атмосферы и неидеальности телескопа приводит к размыванию изображения и, как следствие, ухудшению разрешающей способности. В настоящее время используется несколько принципиально различных подходов к решению проблемы восстановления солнечных изображений.

Метод спекл-интерферометрии широко используется при исследовании мелкомасштабных солнечных структур. Метод позволяет восстанавливать изображение, вычисляя фазу истинного изображения из кросс-корреляционного спектра, полученного из Фурье-образов последовательных кадров. Техника спекл-интерферометрии была предложена в работе (Labeyrie, 1970) и получила дальнейшее развитие в работах (Knox & Thompson, 1974; Weigelt & Wirnitzer 1983). Детальное описание реализации спекл-алгоритма, адаптированного специально для восстановления солнечных изображений дано в (von der Liihe, 1993). Для применения этого метода требуется серия («100) снимков одного и того же объекта с малой экспозицией. Метод позволяет свести к минимуму влияние атмосферы.

Метод фазового разнесения, являющийся разновидностью метода фокального объема. Для восстановления искажений волнового фронта используется информация о распределении интенсивности в трехмерной окрестности фокальной плоскости. Принципы метода фазового разнесения подробно описаны в работах (Gonsalves, 1982; Paxman et al., 1992; Lofdahl & Scharmer, 1994; Paxman et al., 1996). Использование метода применительно к наблюдению солнечных пятен продемонстрировано в работе (Tritschler et al., 1997). На практике, как правило, получают два изображения: одно в фокальной плоскости, другое — слегка не в фокусе. Степень дефокусировки должна быть точно известна.

Метод интегральных уравнений (Тихонов и Арсенин, 1979) использует в качестве дополнительной информации значение аппаратной функции (АФ) К(хУ), после чего решается интегральное уравнение типа свертки относительно истинного изображения. Наблюдаемое сглаженное изображение входит в правую часть уравнения.

Получающееся интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода представляет собой типичную некорректно поставленную задачу, для решения которой необходимо применять те или иные регуляризирующие алгоритмы. Понятие корректности ввел Ж. Адамар (Hadamard, 1902, 1932). Задача называется корректной по Адамару если 1) решение задачи существует; 2) решение единственно; 3) решение устойчиво. Последний пункт означает, что малые изменения исходных данных приводят к малым изменениям решения.

Для решения задачи восстановления изображения методом интегральных уравнений требуется одно изображение и знание АФ. На виде АФ сказывается не только неидеальность прибора, но так же и влияние атмосферы: неоднородности оптической плотности (атмосферные линзы) и рассеяние света. В идеале, АФ должна восстанавливаться из того же снимка, так как дрожание атмосферы будет приводить к тому, что АФ будет меняться от снимка к снимку. Это также важно при обработке архивных фотографий, когда невозможно провести дополнительные наблюдения для определения АФ. Как правило, достаточно трудно отделить вклад в АФ от самого прибора и атмосферы, но для восстановления изображения это не требуется, так как нас интересует суммарный эффект. В дальнейшем, под термином АФ мы будем понимать функцию, получающуюся при суммарном учете вклада атмосферы и неидеальности телескопа.

Идея использования края Солнца для восстановления АФ возникла давно, например (Степанов, 1957). В предположении, что аппаратная функция имеет гауссову форму, в этой работе был предложен метод оценки параметра, определяющего полуширину АФ. Однако, на практике, вид АФ может сильно отличаться от гауссова (АФ может иметь уплощенную вершину или быть сильно скошенной). Использование гауссовой АФ вместо истинной приведет к большим ошибкам в восстановленном изображении.

При исследовании уравнения состояния и переноса излучения на Солнце важную роль играет поведение пылевой компоненты. Динамика пылевой компоненты начинает играть существенную роль при изучении звезд, находящихся на ранних этапах эволюции. Процесс седиментации (оседание пыли) также играет важную роль при исследовании формирования протопланетных дисков. С другой стороны, оседание нерастворимой суспензии в вязкой среде играет важную роль в различных прикладных разделах физики, геологии, экологии. В промышленности седиментация часто используется для разделения суспензий на фракции, состоящие из частиц с различными радиусами. Таким образом, изучение седиментации полидисперсных суспензий представляет большой интерес. Спектр размеров частиц является важной характеристикой полидисперсной суспензии. Не смотря на то, что наиболее естественным способом исследования спектра размеров является построение гистограммы распределения частиц по некоторой выборке, позволяя оценить такие характеристики распределения как скошенность, мультимодальность, положения пиков и т.д., это редко делается. Как показано (Krumbein, 1934), такая гистограмма не является достоверной оценкой для распределения частиц, так как сильно зависит от размеров отобранных частиц. В той же статье предлагается использовать метод графического дифференцирования седиментационной кривой (массовой доли осевшего вещества суспензии в зависимости от времени) для определения функции распределения частиц суспензии по радиусам. Этот метод с небольшими вариациями (Шелудко, 1960) используется и в настоящее время. Обычная техника заключается в построении касательных к седиментационной кривой и измерения длин отрезков, ограниченных точками пересечения касательных и оси OY. Длины отрезков представляют собой массовую долю частиц суспензии в соответствующем диапазоне радиусов частиц. Такая методика позволяет иолучигь только достаточно грубую гистограмму. Точки, в которых проводятся касательные к седиментационной кривой, должны быть достаточно далеко разнесены, так как большая погрешность в определении угла наклона касательных, проведенных в близких точках, даст большой флуктуационный вклад в высоту столбцов гистограммы. Соответственно, ширина отдельных столбцов гистограммы также должна быть достаточно большой. Необходим метод, свободный от вышеперечисленных недостатков. Большинство классических непараметрических методов оценивания плотности распределения так же не приводят к желаемому результату (Izenman, 1991). Для оценки плотности распределения частиц по радиусам больше подходят методы, основанные на сплайн-интерполяции (Wahba, 1975 a, b; Morandi & Costantini, 1989; Beatson & Wolko-wicz, 1989) или сплайн-аппроксимации (Вапник, 1984). Предлагаемый метод не опирается на аппроксимацию функции распределения сплайнами и сводится к задаче решения интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода. В некотором смысле, эта задача занимает промежуточное положение между задачей решения уравнения Вольтеры П-го рода, которая всегда корректна и задачей решения уравнения Фредгольма 1-го рода, которая является некорректно поставленной в любых "разумных" функциональных пространствах. Задача решения уравнения Вольтерры 1-го рода может быть либо корректной, либо некорректной в зависимости от того, в каких пространствах она рассматривается (Апар-цин, 1973, 1976, 1979, 1981; Апарцин и Бакушинский, 1972). Однако, даже в случае если задача корректна, некоторые численные алгоритмы могут порождать неустойчивости. Можно показать (Апарцин, 1973; Верлань и Сизиков, 1986), что методы, основанные на квадратурных формулах Симпсопа, Ныото-на-Котеса и других формулах высокого порядка, порождают расходящиеся алгоритмы. Формулы трапеций и прямоугольников приводят к устойчивым алгоритмам только в случае специального выбора шага интегрирования, зависящего от ошибки правой части и ядра. Таким образом, эти алгоритмы можно трактовать как регуляризирующие, в которых роль параметра регуляризации играет шаг интегрирования. Это накладывает определенные ограничения на использование этих методов, так как правая часть, как правило, известна из эксперимента в виде таблицы значений на нерегулярной сетке. Таким образом, для получения значений правой части в узлах равномерной сетки с оптимальным шагом, нам необходимо решить нетривиальную (в общем случае) задачу интерполяции зашумленных экспериментальных данных.

Уравнение Вольтерры 1-го рода можно формально рассматривать как специальный случай уравнения Фредгольма 1-го рода с ядром, содержащим ступенчатую функцию. Следовательно, регуляризирующие алгоритмы, разработанные для решения уравнений Фредгольма 1-го рода, с успехом могут быть применены и к решению интегральных уравнений Вольтерры 1-го рода. Здесь всюду в дальнейшем применялся метод регуляризации А.Н. Тихонова.

Рассмотренные методы восстановления функции распределения частиц по радиусам, применимы в случае, когда суспензия оседает в неподвижной среде. Очень часто приходится рассматривать поведение суспензии в движущейся среде. В некоторых случаях движение среды имеет выделенное направление, как при течении жидкости по трубам, в других, как в случае конвекции, — нет. Конвективные движения среды возникают из-за наличия температурных градиентов. Если мы не предпринимаем специальных мер по стабилизации температуры, сплошная среда почти всегда приходит в конвективное движение. В этой ситуации исключительно важно знать какое влияние окажет конвекция на процесс седиментации, и как исказятся результаты восстановления функции распределения частиц по радиусам в присутствии конвекции. Херман (Herrmann et al., 1999) провел численное моделирование седиментации монодисперсной и бидисперсных суспензий в статичной вязкой среде, однако, эти результаты не могут быть прямо перенесены на седиментацию полидиспресной суспензии в конвективно-неустойчивой среде. Для этого требуется дополнительное моделирование. Большой интерес представляет сравнение картины конвективных движений в субфотосферных слоях Солнца и в лабораторных условиях. Выявляются принципиальные качественные различия, связанные с большим градиентом плотности вещества на Солнце и большим значением ускорения свободного падения. На Солнце характерной особенностью конвекции является наличие пространственно узко локализованных высокоскоростных нисходящих потоков холодного вещества, которое у поверхности быстро остывает как за счет адиабатического расширении при подъеме, так и за счет излучения. Скорости поднимающегося на большой площади горячего вещества существенно ниже. В лабораторных условиях картина противоположная. Горячее поднимающееся вещество собирается в высокоскоростной тонкий "жгут", в то время, как холодное вещество медленно опускается на большой площади.

Очень часто при реализации алгоритмов, предлагаемых в данной работе, нам приходилось численно вычислять производную от зашумленных экспериментальных данных. Эта задача имеет и самостоятельное значение. Понятие "скорости процесса", например, исключительно важно в биологии, где оно играет фундаментальную роль. Помимо очевидного использования понятия скорости при исследовании роста организмов, существует масса других областей применения. Жизнедеятельность любого отдельного организма связана с дыханием, питанием, ростом, (у растений добавляется фотосинтез, при исследовании целых экосистем необходимо принимать во внимание миграцию особей, изменение численности популяции). Все эти процессы могут быть описаны в терминах потоков кислорода, питательных веществ, скоростей роста, миграции. Так или иначе, но для количественного описания этих процессов необходимо уметь измерять (или вычислять) скорости. Как правило, в эксперименте не измеряется непосредственно скорость процесса, ее приходится вычислять путем численного дифференцирования.

На фоне важности понятия «скорости» для исследования биологических объектов, не понятен разнобой, присутствующий в биологической литературе в использовании этого термина. Помимо мгновенной скорости и удельной скорости d/ г, 1 d/ часто используются средние скорости на некотором интервале времени. Операция временного усреднения <•> некоторой функции Д/) по временному интервалу l/i> h] определяется следующим образом:

Используя эти определения нетрудно получить выражения для средних скоростей в виде

Необходимо подчеркнуть, что выражения для средних скоростей, справедливы для произвольной зависимости /от времени. Очень часто, в биологической литературе авторы опускают слово "средняя" в понятии "средняя скорость", что может приводить к недоразумениям. Только в случае, когда /зависит от t линейно, средняя скорость совпадает с мгновенной скоростью. Аналогично, средняя удельная скорость совпадает с мгновенной удельной скоростью только для случая экспоненциального поведения функции J{t). Второе уравнение было впервые введено в биологии в 1927 году одновременно американским и русским учеными Броди и Шмальгаузеном (Brody, 1945; Шмальгаузен, 1984а,б). Они рассматривали его как мгновенную удельную скорость роста, неявно предполагая экспоненциальный закон роста.

Наряду с неточностями в использовании понятия "скорость", присутствуют явные ошибки. Например, множество исследователей (DeBoer et al., 1978; Fujita & Goldman, 1985; Gordon et al., 1981; Hwang et al., 1987; Lobban et al., 1985; Liming, 1990), следуя друг другу, умножают (Vrc\) на 100% и интерпретируют получающуюся величину как скорость увеличения массы, выраженной в процентах, не замечая, что Vrei — размерная величина. Некоторые исследователи (Винберг, 1968; Карманова, 1976; Neish et al., 1977), для удельной средней скорости, используют выражение

1 /02 )-/(/,) 'J"', Л',) или его модификацию о=

1 /(':)-/(/,)

Эти же выражения используются авторами (Хайлов и др., 1992; Lebedev et al., 1989) для исследования потоков веществ в экосистемах. Эти выражения не только не дают правильное значение средней удельной средней скорости, они вообще не являются средними какой-либо величины на произвольном интервале [/], /2]. Некоторые исследователи (Haglund & Pedersen, 1992, 1993; Lignel et al., 1987; Ohno & Mairth, 1982; Soe-Htun et al., 1986) используют выражение ошибочно трактуя его как скорость роста. На самом деле, величины Vn,i и связаны следующим соотношением:

Такое разнообразие ошибочного использования понятия "скорость" в биологической литературе и побудило нас написать небольшое введение (Парчевский и Парчевский, 1998).

Средняя скорость является хорошим интегральным показателем, который хорошо описывает процесс в целом. Однако, если мы начинаем дробить интервалы усреднения на более мелкие для того, чтобы проследить динамику процесса, ошибки средней скорости начинают увеличиваться. Ошибки могут стать в несколько раз больше самой величины и мы, вместо гладкой функции, получим пилообразную функцию большой амплитуды. Таким образом, мы видим, что средняя скорость не подходит для изучения динамики процессов с достаточно хорошим временным разрешением. Нам необходимо использовать другие подходы для восстановления производной из экспериментальных данных. В данной работе приводится сравнение подходов, основанных на сплайн-аппроксимации и решении интегрального уравнения на производную методом тихоновской регуляризации.

С задачей восстановления производной тесно связана другая не менее важная задача — восстановление функции плотности вероятности (ФПВ) по выборке конечного объема. Стандартный метод разбиения на классовые интервалы с последующим подсчетом количества точек в каждом интервале приводит к грубой гистограмме, не дающей представления о тонкой структуре ФПВ. Чтобы получить непрерывную ФПВ необходимо аппроксимировать полученную гистограмму каким-либо выборочным распределением и подобрать его коэффициенты с использованием критерия у}. Как правило, малое количество свободных параметров в выборочных распределениях не дает возможности детально описать тонкую структуру ФПВ. В случае сложных многомодовых распределений вообще невозможно подобрать подходящую выборочную функцию плотности. Большинство классических непараметрических методов оценивания плотности распределения не приводят к желаемому результату (Izenman, 1991). Один из подходов заключается в использовании аппроксимирующих (Вапник, 1984) или интерполирующих (Wahba, 1975 a, b; Morandi & Costantini, 1989; Beatson & Wolkowicz, 1989) кубических сплайнов. Другой подход основан на решении интегрального уравнения, связывающего кумулятивную функцию распределения и функцию плотности, и, по-сути, сводится к вычислению производной от эмпирической кумулятивной функции распределения. Метод позволяет получать непрерывную гладкую ФПВ и свободен от недостатков методов, использующих сплайн-аппроксимацию.

Цели и задачи исследования.

• Используя упрощенную физику, провести моделирование сжимаемой солнечной конвекции в двух измерениях в области, охватывающей по горизонтали несколько десятков гранул и простирающейся до глубины, где высокотурбулентные высокоскоростные приповерхностные движения вещества будут сильно подавлены. Основываясь на результатах численного моделирования, исследовать эволюцию отдельных гранул, их взаимодействие и горизонтальное движение, выявить наличие крупномасштабных структур, соответствующих на Солнце мезо- и супергрануляции.

• Используя реалистичную физику, промоделировать в трех измерениях рассеяние звуковых волн на солнечном пятне. Исследовать задержку и изменение амплитуды волнового фронта при прохождении сейсмической волны через солнечное пятно. Построить численную модель "солнцетрясения" — распространения сейсмической волны от солнечной вспышки, наблюдавшейся 6 июля 1996 г. Исследовать численную модель на наличие колебаний и волн, возбуждаемых конвекцией и найти их спектр.

• Провести дальнейшее развитие асимптотического метода для определения внутреннего дифференциального вращения и разработать непараметрический метод для определения зависимости угловой скорости дифференциального вращения Солнца от широты и глубины.

• Разработать непараметрический метод, позволяющий восстанавливать АФ из наблюдений солнечного лимба, причем АФ должна восстанавливаться из того же снимка, который в дальнейшем будет подвергнут обработке с целью увеличения разрешения.

• Разработать непараметрический метод, позволяющего восстановить непрерывную гладкую функцию распределения частиц суспензии по радиусам, используя экспериментальную седиментационную кривую. Провести численное моделирование седиментации полидисперсной суспензии в конвективно-неустойчивой среде и выявить характерные закономерности поведения такой системы.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Проведенное моделирование двумерной сжимаемой солнечной конвекции доказывает существование спонтанно возникающих крупномасштабных структур, по размеру и времени жизни соответствующих супергрануляционным ячейкам на Солнце. Показано, что турбулентная конвекция вблизи дна вычислительной области возбуждает гравитационные волны с дискретным спектром.

2. Построена численная модель "солнцетрясения" — распространения сейсмической волны от солнечной вспышки, наблюдавшейся спутником SOHO 6 июля 1996 г. Расчет рассеяния акустических волн на солнечном пятне позволил определить задержку волнового фронта рассеянной волны. Показано, что амплитуда звуковых волн в пятне увеличивается, поверхностная скорость также увеличивается по мере удаления фронта волны от источника.

3. Предлагается метод восстановления угловой скорости внутреннего дифференциального вращения Солнца по наблюдаемому вращательному расщеплению 5-мин. колебаний. Показано, что в асимптотическом приближении задача может быть сведена к решению двумерного интегрального уравнения Абеля. На угловую скорость вращения априори не накладывается никаких функциональных ограничений. Получено аналитическое решение задачи в квадратурах.

4. Предлагается непараметрический метод определения аппаратной функции солнечного телескопа для восстановления изображений протуберанцев. Аппаратная функция определяется из На наблюдений спокойного края солнечного диска как решение двумерного интегрального уравнения типа свертки. Показано, что сечение двумерной аппаратной функции плоскостью X0Z равно производной по х от профиля яркости, усредненного вдоль лимба.

5. Предлагается новый непараметрический метод восстановления функции распределения частиц полидисперсной суспензии по радиусам. Подход основан на решении интегрального уравнения, описывающего процесс седиментации (оседания) суспензии в вязкой среде, методом тихоновской регуляризации. Предлагаемый метод позволяет получать гладкую функцию распределения сложной многомодовой формы и может использоваться для анализа смеси двух и более суспензий с различными функциями распределения частиц по размерам.

6. Проведенное численное моделирование седиментации полидисперсной суспензии в прямоугольной области в конвективно-неустойчивой среде показало, что конвекция действует как размерный фильтр, сепарируя частицы суспензии на взвешенную и осевшую фракции в зависимости от их радиусов. Радиусы частиц во фракциях зависят только от разности температур верхней и нижней граней.

Научная новизна полученных результатов.

1. Численное моделирование двумерной сжимаемой солнечной конвекции показало, что супергрануляционные структуры спонтанно возникают при взаимодействии соседних гранул.

2. Впервые построена численная модель события 6 июля 1996 г. — распространения сейсмической волны от солнечной вспышки, наблюдавшейся спутником SOHO. Впервые проведено реалистичное 3D моделирование рассеяния акустических волн солнечным пятном.

3. Подход к обработке различных наблюдательных и экспериментальных данных с единой позиции решения обратных некорректных задач позволяет разработать новые непараметрические методы для 1) восстановления угловой скорости внутреннего дифференциального вращения Солнца, 2) определения аппаратной функции солнечного телескопа. 3) восстановления функции распределения частиц полидисперсной суспензии по радиусам.

4. Численное моделирование седиментации полидисперсной суспензии в прямоугольной области в конвективно-неустойчивой среде показало, что конвекция действует как размерный фильтр, сепарируя частицы суспензии на взвешенную и осевшую фракции в зависимости от их радиусов.

Личный вклад соискателя. Диссертационная работа является самостоятельным научным исследованием. Лично автором разработан план исследований. Используемые алгоритмы распараллелены и реализованы в виде пакетов программ на С++. Для расчета солнечной конвекции и распространения акустических волн были отдельно разработаны распараллеленные версии программ, оптимизированные для работы на векторных многопроцессорных системах. Программа восстановления изображений солнечных протуберанцев реализована в среде Matlab. При вычислении коэффициентов численной схемы при расчете распространения акустических волн использовалась система аналитических вычислений Mathematica. Расчеты проводились на суперкомпьютерах Отдела суперкомпьютерных вычислений исследовательского центра НАСА, Центра турбулентных исследований Стэнфордского университета и суперкомпьютерах Ханзеновской лаборатории экспериментальной физики Стэнфордского университета (Калифорния, США). Лично автором проведена интерпретация полученных результатов.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались автором на семинарах Отдела физики Солнца Крымской астрофизической обсерватории (НИИ КрАО) 1990-2003 гг., заседании президиума Академии наук Украины (Киев, 1999 г.), конференциях по физике Солнца (НИИ КрАО, 1998, 1999, 2001, 2002, 2003 гг.), первой международной конференции по математической экологии (Мадрид, Испания, 3-8 сентября 1998 г.), рабочей группе по математическим проблемам потоков суспензий (Штутгарт, Германия, 9-10 октября 1999 г.), конференции по сепараторным системам жидкость-твердое тело (Гавайи, США, 18-23 апреля 1999 г.), конференции по эволюционному моделированию систем частиц (Гавайи, США, 23-28 января 2000 г.), рабочей группе по локальной гелиосейсмологии (Стэнфордский университет, Калифорния, США, 6-7 апреля 2001 г.), конференции по локальной и глобальной гелиосейсмологии SOHO12/GONG+ (обсерватория Биг Бэр, США, 27 октября - 1 ноября 2002 г), объединенном семинаре Института астрономии Кембриджского университета (ЮА, Кембридж, Великобритания), семинарах Исследовательского центра НАСА (NASA Ames Research Center, Калифорния, США), Ханзеновской лаборатории экспериментальной физики Стэнфордского университета (HEPL, Стэнфордский университет, Калифорния, США), Центра турбулентных исследований Стэнфордского университета (CTR, Стэнфордский университет, Калифорния, США), Геологоразведочной службы США (US Geological Survey, Калифорния, США).

Публикации. Результаты диссертационной работы полностью опубликованы в 15 научных работах (6 без соавторов), в числе которых 8 статей в зарубежных изданиях.

Содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Во введении обосновывается актуальность темы, дается литературный обзор по выделенным проблемам и, исходя из этого, проводится постановка задач. Первая глава посвящена исследованию крупномасштабных свойств солнечной конвекции и рассеянию акустических волн на неоднородностях внутреннего строения Солнца путем численного моделирования. Во второй и третьей главах разрабатываются новые методы обработки различных наблюдательных и экспериментальных данных с единой позиции решения обратных некорректных задач. Вторая глава посвящена разработке новых методов обработки солнечных наблюдений: восстановлению внутреннего дифференциального вращения из гелиосейсмологических данных, определению аппаратной функции телескопа по наблюдениям солнечного лимба и восстановлению На изображений протуберанцев. В третьей главе разрабатываются методы решения различных прикладных задач промышленности и экологии, имеющих большое практическое значение: определение размеров частиц суспензий, разработка методов тонкого фракционирования суспензий с использованием конвекции, определение скорости роста организмов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Парчевский, Константин Владимирович

Заключение

В предлагаемой диссертации используется комплексный подход к научному исследованию, охватывающий этапы моделирования и обработки экспериментальных данных. Исследуются крупномасштабные свойства солнечной конвекции и рассеяния акустических волн солнечным пятном путем численного моделирования, разрабатываются новые методы обработки наблюдательных и экспериментальных данных с позиций решения некорректных обратных задач. Все эти задачи тесно связаны друг с другом. Использование новых методов обработки наблюдательных данных позволяет получить информацию, которая в дальнейшем будет использована при численном моделировании.

Получены следующие основные результаты.

1. Численное моделирование качественно воспроизводит основные характерные черты солнечной конвекции: быстрое остывание вещества в приповерхностном слое и образование даундрафтсов — компактных, сравнительно холодных образований, движущихся вниз с большой скоростью 10.433 ± 0.046 км/с и проникающих глубоко в область с более спокойными движениями. Эти движения формируют грануляционную сетку. Характерное время жизни гранулы составляет 10 -г 15 мин., что хорошо согласуется с наблюдениями. Проведенное крупномасштабное численное моделирование двумерной сжимаемой солнечной конвекции при упрощенных физических предположениях, доказывает существование спонтанно возникающих крупномасштабных структур, соответствующих на Солнце супергрануляционным ячейкам. Показано, что турбулентная конвекция возбуждает гравитационные волны с дискретным спектром вблизи дна вычислительной области.

2. Построена численная модель события 6 июля 1996 г. — распространение сейсмической волны от солнечной вспышки, наблюдавшейся спутником SOHO. При численном моделировании воспроизведены характерные черты этого явления: ускорение поверхностной сейсмической волны по мере удаления от источника возмущения, увеличение амплитуды при прохождении через солпечное пятно. Впервые проведено 3D моделирование рассеяния акустических волн солнечным пятном, в результате численного моделирования с учетом реалистичных физических предположений исследовано поведение параметров звуковой волны при прохождении ее сквозь солнечное пятно. Получена величина задержки волнового фронта волны, рассеянной на пятне, по сравнению с невозмущенным фронтом. Результаты моделирования количественно хорошо согласуются с наблюдениями.

Для сравнения результатов численного моделирования с наблюдениями использовались данные, полученные с помощью гелиосейсмологии — восстановление внутреннего строения путем обработки сейсмических наблюдений. Разработка новых методов обработки наблюдательного материала играет большую роль в комплексном исследовании, так как позволяет выявить тонкие детали явления и сравнить с численной моделью. По-видимому, не будет преувеличением сказать, что почти все задачи обработки экспериментальных данных являются некорректно поставленными обратными задачами. Правильная постановка задачи ведет к выбору верного метода ее решения. В диссертации автор единообразно, с позиций решения некорректных задач, подошел к решению различных задач обработки экспериментальных и наблюдательных данных, что позволило получить новые результаты.

3. Предлагается новый непараметрический метод восстановления угловой скорости внутреннего дифференциального вращения Солнца по расщеплению частот 5-мин. акустических колебаний. Наличие большого наблюдательного материала для высокочастотных колебаний с высокими значениями / позволило использовать асимптотические разложения собственных функций колебаний не только по частоте, но и по углу. Показано, что в асимптотическом приближении задача может быть сведена к решению двумерного интегрального уравнения Абеля. Метод выгодно отличается от существующих тем, что в нем не делается никаких априорных предположений о виде функциональной зависимости угловой скорости.

4. Предлагается непараметрический метод определения аппаратной функции (АФ) солнечного телескопа для последующего восстановления изображений протуберанцев. АФ определяется из Н„ наблюдений спокойного края солнечного диска как решение двумерного интегрального уравнения типа свертки. Отличительной особенностью метода является то, что АФ восстанавливается из того же снимка, который в дальнейшем будет подвергаться обработке с целью повышения разрешающей способности. Полученная таким образом АФ позволяет восстанавливать тонко-волокнистую структуру протуберанцев, что важно для понимания крупномасштабной структуры магнитного поля Солнца и супергрануляции.

5. Исследование динамики пылевой компоненты представляет большой интерес как для физики Солнца и звезд, так и для промышленных приложений. Предлагается новый непараметрический метод восстановления функции распределения частиц полидисперсной суспензии по радиусам. Метод основан на решении интегрального уравнения, описывающего процесс седиментации (оседания) суспензии в вязкой среде. В отличие от существующих, предлагаемый метод позволяет восстанавливать тонкую структуру функции распределения даже если она имеет сложную форму с несколькими максимумами. Метод может быть использован для анализа смеси двух и более суспензий с различными функциями распределения частиц по размерам, что исключительно важно в промышленности при контроле качества производства порошкообразных веществ.

6. Сравнение качественного поведения конвекции в лабораторных условиях и на Солнце позволяет более полно выявить характерные отличия и физические закономерности конвективных процессов, расширить область применения численных методов, и, кроме того, получить результаты важные для экологических приложений. Численное моделирование седиментации полидисперсной суспензии в конвективно-неустойчивой среде показало, что конвекция, противодействуя оседанию суспензии, не позволяет оседать частицам с радиусами, меньшими некоторого критического значения, зависящего от параметров конвекции. При этом конвекция действует как размерный фильтр, сепарируя частицы суспензии на взвешенную и осевшую фракции в зависимости от их ра, диусов, что позволяет использовать этот эффект для тонкого фракционирования суспензий. Радиусы частиц во фракциях зависят от конвективных скоростей, которые, в свою очередь, зависят только от разности температур верхней и нижней граней.

Восстановление производной из зашумленных данных использовалось на протяжении второй и третьей глав как составная часть более сложных алгоритмов обработки наблюдательных и экспериментальных данных. Эта задача имеет и самостоятельный интерес. Использование метода тихоновской регуляризации для восстановления производной позволило получить мощное средство, позволяющее биологам исследовать скорость роста организмов и функцию плотности вероятности по выборке конечного объема. Разработанный пакет программ успешно используется в отделе Биотехнологии и фиторесурсов Ин-1 ститута биологии южных морей г. Севастополя. Этот же пакет используется автором для обработки экспериментальных данных по концентрации хлорофилла при исследовании динамики биомассы в экосистеме дельты залива Сан-Франциско для Геологоразведочной службы США.

Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю А.Г. Косовичеву за ценные замечания, плодотворное обсуждение работы и материально-аппаратную поддержку исследований. Автор также выражает благодарность директору Ханзеновской лаборатории экспериментальной физики Стэн-фордского университета Ф. Шереру и директору Центра турбулентных исследований Н. Мансуру за предоставление возможности использовать суперкомпьютеры Стэнфордского университета и Исследовательского центра AMES NASA.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Парчевский, Константин Владимирович, 2004 год

1. Апарцин А.С. О применении различных квадратурных формул для численного решения интегральных уравнений Вольтера I рода методом квадратурных сумм. // Дифференц. и интегр. уравнения. 1973. - Вып.2. - С.107-116.

2. Апарцин А.С. О численном решении систем интегральных уравнений Вольтера I рода методом квадратур. / Методы оптимизации и исследования операций: Прикл. математика. Иркутск, 1976. - Вып.4. - С.79-88.

3. Апарцин А.С. О численном решении интегральных уравнений Вольтера I рода регуляризованным методом квадратур. / Методы оптимизации и их приложения. 1979. - Вып.9. - С.99-107.

4. Апарцин А.С. Численное решение интегральных уравнений I рода типа Вольтера. / Препринт СЭИ № 1. Иркутск, 1981. - 26 с.

5. Апарцин А.С., Бакушинский А.Б. Приближенное решение интегральныхуравнений Вольтера I рода методом квадратурных сумм. //Дифференц. и интегр. уравнения. 1972. - Вып.1. - С.248-258.

6. Атрощенко И.Н. Трехмерные гидродинамические модели солнечнойфотосферы // Кинематика и физика небесных тел. 1993. - Т.9, № 1. -С.3-15.

7. Белоцсрковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985.

8. Бродский М.А., Воронцов С.В. // Письма в Астрон. журн. 1987. - Т. 13. -С.438.

9. Вандакуров Ю.В. // Астрон. журн. 1967. - Т.44. - С.768.

10. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова Думка, 1986. - 544 с.

11. Винберг Г.Г. Рост, скорость развития и плодовитость в зависимости от условий среды / Методы определения продукции водных животных. Минск: Вышэйшая школа, 1968. - С.45-77.

12. Войскобойников Ю.В., Преображенский Н.Т., Сидельников Л.И.

13. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. -Новособирск: Наука, 1984.

14. Карманова И.В. Математические методы изучения роста и продуктивности растений. М.: Наука, 1976. - 222 с.

15. Кокс Дж. Теория звездных пульсаций. М.: Мир, 1983.

16. Колмогоров А.Н. О логарифмически нормальном законе // Докл. Акад. Наук СССР.- 1941.-Т.31.-С.99-101.

17. Косовичев А.Г. // Письма в Астрон. журн. 1988. -Т.14. - С.344.

18. Косовичев А.Г., Парчевский К.В. Асимптотическое решение обратной задачи гелиосейсмологии для определения внутреннего дифференциального вращения Солнца// Письма в Астрон. журн. 1988. - Т. 14. - С.473-480.

19. Макаров В.И., Рузмайкин А.А., Старченко С.В. // Солн. данные. 1987. - №5. -С.82.

20. Мигдал А.Б., Крайнов В.П. Приближенные методы квантовой механики. — М.: Наука, 1966.

21. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959.

22. Парчевский К.В., Парчевский В.П. Определение мгновенных скоростей роста с помощью аппроксимирующих кубических сплайнов // Ж. общ. биол. -1998. Т.59 - С.424-437.

23. Парчевский В.П., Парчевский К.В. Средние скорости роста и их свойства // Экология моря 2000. - Т.53 - С.92-96.

24. Парчевский К.В., Парчевский В.П. Восстановление мгновенной скорости из экспериментальных данных с помощью аппроксимирующих кубических сплайнов // Экология моря 2000. - Т.53 - С.97-101.

25. Парчевский К.В., Парчевский В.П. (2001), Восстановление мгновеннойскорости из экспериментальных данных с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова // Экология моря 2001. - Т.55 - С.87-91.

26. Парчевский В.П., Парчевский К.В. Моделирование восстановления мгновенной скорости из данных с различной степенью изменчивости с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова // Экология моря 2001. - Т.55 -С.92-96.

27. Степанов В.Е. Распределение интенсивности на краю диска Солнца для X 3400, 3670, 4370, 4825, 5310 и 6055 Л // Сообщ. ГАИШ. 1957. - № 100. - С.36-50.

28. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.-288 с.

29. Степанян Н.Н., Долгополова Е.В., Елизаров А.И., Маланушенко Е.В., Парчевский К.В., Суница Г.А. Солнечный универсальный спектрофотометр // Изв. Крымской Астрофиз. Обе. 2000. - Т.96 -С.194-204.

30. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. - 232 с.

31. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей М.: Мир, 1991. -Т. 2. - 552 с.

32. Хайлов К.М., Празукин А.В., Ковардаков С.А., Рыгалов В.Е. Функциональная морфология морских многоклеточных водорослей. Киев: Наукова думка, 1992.-280 с.

33. Шелудко А. Коллоидная химия. / пер. с болгарского, под ред. Б.В. Дкрягина, С.С. Воюцкого. М.: Изд. Иностранной литературы, 1960. - 332 с.

34. Шмальгаузен И.И. Рост и дифференцировка. Киев: Наукова думка, 1984а. -Т.1 -176 с.

35. Шмальгаузен И.И. Рост и дифференцировка. Киев: Наукова думка, 19846. -Т.2-168 с.

36. Atroshchenko I.N., Gadun A.S. Three-dimensional hydrodynamic models of solar granulation and their application to a spectral analysis problem // Astron. Astrophys. 1994. - Vol.291. - P.635-656.

37. Beatson R.K., Wolkowicz H. Post-processing piecewise cubic splines for monotonicity. // SI AM J. Numer. Anal. 1989. - Vol.26. - P.480-502.

38. Beck J.G., Duvall Jr. T.L., Scherrer P.H. Long-lived giant cells detected at the surface of the Sun // Nature. 1998. - Vol.394. - P.653-655.

39. Beck J.G., Schou J. Supergranulation rotation // Solar Phys. 2000. - Vol.193. -P.333.

40. Bogdan T.J. A comment on the relationship between the modal and time-distance formulation of local helioseismology // Astrophys. J. 1997. - Vol.477. - P.475.

41. Brody S. Bioenergetics and growth. N.Y.: Reinhold Publ. Co., 1945. - 1023 p.

42. Brown T.M., Morrow C.A. Depth and latitude dependence of solar rotation // Astrophys. J. Letters 1987. -Vol.314. - P.L21-L26.

43. Brummel N.H., Hurlburt N.E., Toomre J. Turbulent compressible convection with rotation. I. Flow structure and evolution // Astrophys. J. 1996. - Vol.473. -P.494.

44. Christensen-Dalsgaard J. On solar models and their periods of oscillation // Mon. Not. R. Astr. Soc. 1982. - Vol. 199. - P.735-761.

45. Christensen-Dalsgaard J., Proffit C.R., Thompson M.J. Effects of diffusion on solar models and their oscillation frequencies // Astrophys. J. 1993. - Vol.403. -P.L75-L78.

46. Claverie A., Isaak G.R., McLeod C.P., van der Raay H.B., Roca Cortes T. Rapid rotation in solar interior // Nature 1981. - Vol.293. - P.443-445.

47. DeBoer J.A, Guigli H.J, Israel T.L, D'Elia C.F. Nutritional studies of wo red algae. I. Growth rate as a function of nitrogen source and concentration // J. Phycol. -1978.-Vol.14-P.261-266.

48. Durney B.R. / Basic Mechanisms of solar Activity / IAU Symp. No. 71// Eds. V. Bumba, J. Kleczek. Dordrecht: Reidel. - 1976. - P.243.

49. Durney B.R., Goody P.R., Hill F. // Nat. Opt. Astron. Observ. Tucson. 1987. -No.0069.

50. Duvall T.L.Jr. The equatorial rotation rate of the supergranulation cells // Solar Phys. 1980.-Vol.66.-P.213.

51. Duvall T.L.Jr. / in Proc. SOHO 6/GONG 98 Workshop: Structure and Dynamics of the Interior of the Sun and Sun-like Stars/ Eds. S.G. Korzennik, A Wilson, ESA SP-418, ESA Publication Division, Noordwijk, The Netherlands: 1998. P.581.

52. Duvall T.L.Jr., Dziembowski W., Goody P.R., Gough D.O., Harvey J.W., Leibacher J. Internal rotation of the Sun // Nature. 1984. - Vol.310. - P.22-25.

53. Duvall T.L.Jr., Harvey J.W. Rotational frequency slpitting of solar oscillations // Nature 1984. - Vol.310. - P. 19-22.

54. Duvall T.L. Jr., Kosovichev A.G., Scherrer P.H., Bogart R.S., Bush R.I., De Forest C., Hoeksema J.T., Schou J., Saba J.L.R., Tarbell T.D., Title A.M., Wolfson C.J., Milford P.N. // Sol. Phys. 1997. - Vol.170. - P.63.

55. Foukal P. Supergranulation and the dynamics of gas and magnetic field below the solar photosphere // Astrophys. J. 1977. - Vol.218. - P.539.

56. Fujita R.M., Goldman J.C. Nutrient flux and growth of the red alga Gracilariatikvahiae McLachlan (Rhodophyta) // Bot. Mar. 1985. - Vol.38. - P.265-268.

57. Gizon L., Duvall T.L.Jr., Schou J. // Nature 2003. - Vol.421. - P.43.

58. Gonsalves R.A. Phase retrieval and diversity in adaptive optics // Opt. Eng. 1982. -Vol.21.-P.892-832.

59. Gordon D.M, Birch P.B., McComb A.J. Effects of inorganic phosphorus and nitrogen on the growth of an estuarine Cladophora in culture // Bot. Mar. 1981. — Vol. 24 - P.93-106.

60. Gough D.O. // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1984. - Vol.A314. - P.27.

61. Gough D.O. Inverting helioseismic data//Sol. Phys. 1985. - Vol.100. - P.65-99.

62. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique. // Bull.Univ. Princeton. 1902. - Vol.13. - P.49-52.

63. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derives partielles lineaires hiperboliques. Paris: Hermann, 1932. - 352 p.

64. Hansen C.J., Cox J.P., Van Horn H.M. The effects of differential rotation on the splitting of nonradial modes of stellar oscillations // Astrophys. J. 1977. -Vol.217. - P.151-159.

65. Hart A.B. //MNRAS 1954. - Vol.114. - P. 17.

66. Hart A.B. //MNRAS 1956. - Vol.116. - P.38.

67. Hwang S.-P., Williams S.L, Brinkhius B.II. Changes in internal dissolved nitrogen pools as related to nitrate uptake and assimilation in Gracilaria tikvahiae McLachlan (Rhodophyta) // Bot. Mar. 1987. - Vol.30 - P. 11-19.

68. Jensen J.M., Jacobsen B.H., Christensen-Dalsgaard J. Smooth versus sharp Frechet kernel in time-distance helioseismology // preprint. 1999.

69. Haglund K., Pedersen M. Growth of the red alga Gracilaria tenuistipitata at high pH. Influence of some environmental factors and correlation to an increased carbonic-anhydrase activity // Bot.Mar. 1992. - Vol.35. - No.6. - P.579-587.

70. Hathaway D.H., Beck J.G., Bogart R.S., Bachmann K.T., Khatri G., Petitto J.M., Han S., Raymond J. The photospheric convection spectrum // Sol. Phys. 2000. -Vol.193.-P.495-508.

71. Julien К., Legg S., McWilliams J., Wernr W. // J. Fluid. Mech. 1996. - Vol.322. -P.243.

72. Knox K.T., Thompson B.J. Recovery of images from atmospherically degraded short-exposure photographs // Astrphys. J. 1974. - Vol.193. - P.L45-L48.

73. Kosovichev A.G., Duvall T.L.Jr., Scherrer P.H. Time-distance inversion methods and results // Sol. Phys. 2000. - Vol. 192. - P. 159-176.

74. Krumbein W.C. Size frequency distributions of sediments. // J. Sedimentary Petrology. Vol.4. - 1934. - P.65-77.1.beyrie A. Attainment of diffraction limited resolution in large telescopes by

75. Veque R.J. Nonlinear conservation laws and finite volume methods /

76. Miesch M.S. The coupling of solar convection and rotation // Sol. Phys. 2000. -Vol.192.- P.59-89.

77. Morandi R., Costantini P. Piecevvise monotone quadratic histosplines. // SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1989. - Vol.10. - P.397-406.

78. Neish A.C., Shacklock P.F., Fox C.H., Simpson F.J. The cultivation of Chonclrus crispus. Factors affecting growth under greenhouse conditions // Can. J. Bot. -1977. Vol.55 - P.2263-2271.

79. November L.J., Toomre J., Gebbie K.B., Simon G.W. //Astrophys. J. 1981. -Vol.245. -L123.

80. Ohno M., Mairth O.P. Ecology of green alga Ulvaceae occurring on the coast of Okha // India. Rep. Usa Mar. Biol. Inst. 1982. - No.4 - P. 1 -8.

81. Parchevsky K.V. Using regularizing algorithms for the reconstruction of growth rate from the experimental data // Ecol. Modelling 2000a. - Vol. 133 - No. 1 -2 -P. 107-115.

82. Parchevsky K.V. A new method for the reconstruction of the particle radiusdistribution function from the sedimentation curve // Chemical Engineering Journal 2000b. - Vol.80. - No. 1-3 - P.73-79.

83. Parchevsky K.V. Numerical simulation of sedimentation in presence of 2Dcompressible convection and reconstruction of the particle-radius distribution function // Journal of Engineering Mathematics 2001 a. - Vol.41. - No.2-3 -P.203-219.

84. Parchevsky K.V. Numerical simulation of 2D compressible solar convection // in Proc. Local Area Helioseismology Workshop, Stanford, CA, April 2001b.

85. Parchevsky K.V. Telescope PSF reconstruction from the solar limb // in Proc. SOHQ12/GONG+ 2002 Local and Global Helioseismology: the Present and

86. Future / Ed. H. Sawaya-Lacoste. Noordwijk: ESA Publication Division, ESA SP-517, 2002a.-P.361-364.

87. Parchevsky K.V. Numerical simulation of 2D compressible heat-driven convection / in Center for Turbulence Research, Annual Research Briefs 2002b. - P.267-280.

88. Parchevsky V.P., Parchevsky K.V. Instantaneous rates obtained by cubic spline approximation as a tool for studying bioenergetic and biothermodynamic processes // 10-th ISBC Conference, Monte Verita, Ascona, Switzerland, April 1997.

89. Parchevsky K.V., Parchevsky V.P. Determination of instantaneous growth rates using a cubic spline approximation // Thermochimica Acta 1998. - Vol.309. -P.181-192.

90. Parker E.N. Convection and magnetic fields in an atmosphere with constanttemperature gradient. I. Hydrodynamic flows // Astrophys. J. — 1973. — Vol.186. -P.643.

91. Paxman R.G., Shulz T.J., Fienup J.R. Joint estimation of object and aberrations by using phase diversity // J. Opt. Soc. Am. A. 1992. - Vol.9. - No.7. - P. 10721085.

92. Paxman R.G., Seldin J.H., Lofdahl M.G., Scharmer G.B., Keller C.U. Evaluation of Phase-Diversity Techniques for Solar-Image Restoration // Astrophys. J. 1996. -Vol.466.-P. 1087.

93. Ploner S.R.O., Solanki S.K., Gadun A.S. // A&A 2000. - Vol.356. - P. 1050.

94. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical recipes in С++. The art of scientific computing, second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. - 1004 p.

95. Proffitt C.R. Michaud G. Gravitational settling in solar models // Astrophys. J. -1991. Vol.380. - P.238-250.

96. Rast M.P. Supergranulation: new observations, possible explanation. // in Proc. SOHO12/GONG+ 2002 Local and Global Helioseismology: the Present and

97. Future / Ed. H. Sawaya-Lacoste. Noordwijk: ESA Publication Division, ESA SP-517, 2002.-P. 163-172.

98. Rieutord M., Roudier Т., Malherbe J.M., Rincon F. // A&A 2000. - Vol.357. -P. 1063.

99. Rogers F.J., Nayfonov A. Updated and expanded OPAL equation-of-state tables: Implications for helioseismology // Astrophys. J. 2002. - Vol.576. -P. 1064-1074.

100. Rogers F.J., Swenson F.J., Iglesias C.A. OPAL equation-of-state tables for astrophysical applications // Astrophys. J. 1996. - Vol.456. - P.902-908.

101. Sekii Т., Gough D.O. A procedure for two-dimensional asymptotic rotationalsplitting inversion. / The Stars, IAU Colloquium 137, ASP Conference Series 40 // Eds. W.W. Weiss and A. Baglin. San Francisco: Astronomical Society of Pacific.-P.569-571.

102. Shibahashi H. // Publ. Astron. Soc. Japan. 1979. - Vol.31. - P.87.

103. Shine R.A., Simon G.W., Hurlburt N.E. Supergranule and mesogranule evolution // Solar Phys. 2000. - Vol. 193. - P.509-527.

104. Simon G.W., Leighton R.B. Velocity fields in the solar atmosphere. III. Large-scale motions, the chromospheric network, and magnetic fields // Astrophys. J. — 1964.-Vol.140.-P.l 120.

105. Simon G.W., Weiss N.O. // Z. Astrophys. 1968. - Vol.69. - P.435.

106. Smagorinsky J. General circulation experiments with primitive equations // Mon. Weather Rew. 1963. - Vol.917. - P.99-165.

107. Soe-Htun U., Ohno M., Mizuta S. Effects of salinity and temperature on the growth of the green alga, Enteromorpha prolifera, in culture // Rep. Usa mar. biol. Inst. Kochi Univ. 1986. - No.8. - P.9-13.

108. Snodgrass H.B., Ulrich R.K. Rotation of doppler features in the solar photosphere // Astrophys. J. 1990. - Vol.351. - P.309.

109. Stark P.B., Nikolaev D.I. // J. Geophys. Res. 1993. - Vol.98. - P.8095.

110. Stein R.F., Nordlund A. Simulations of solar granulation. I. General properties // Astrophys. J. 1998. - Vol.499. - P.914.

111. Stein R.F., Nordlund A. Realistic solar convection simulations // Solar Phys. 2000. -Vol.l92.-P.91-108.

112. Tarn C.K.W., Webb J.C. Dispersion-relation-preserving finite difference schemes for computational acoustics // J. Comput. Phys. 1993. - Vol.107. - P.262-281.

113. Toomre J. /Solar Seismology from Space // Ed. R. Ulrich. Pasadena: Jet Propulsion Laboratory. - 1984.-P.7.

114. Unno W., Osaki Y., Ando H., Shibahashi H. Nonradial oscillations of stars. -University of Tokyo Press. 1979. - P.325.

115. Von der Ltihe O. Speckle imaging of solar small scale structure // Astron. Astrophys. 1993.-Vol.268.-P.374-390.

116. Wahba G. Interpolating spline methods for density estimation I. Equispaced knots. // Ann. Statist. 1975a. - Vol.3. - P.30-48.

117. Wahba G. Histosplines with knots which are order statistics. // J. Roy. Statist. Soc. Ser. В. 1975b.-Vol.38.-P.140-151.

118. Weigelt G.P., Wirnitzer B. Image reconstruction by the speckle-masking method // Opt. Let. 1983. - Vol.8. - P.389-391.

119. Weiss N.O., Brownjohn D.P., Matthews P.C., Proctor M.R.E. // Monthly Noticed Royal Astron. Soc. 1996. - Vol.283. - P.l 153.

120. Wolff C.L. // Astrophys. J. 1995. - Vol.443. - P.423.

121. Yee H.C. A class of high-resolution explicit and implicit shock-capturing methods. NASA technical memorandum 101088. NASA Ames Research Center, 1989.-222 p.