Предельный переход под знаком интеграла и диагональные свойства мер тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Клепнев, Дмитрий Эдуардович

• Клепнев, Дмитрий Эдуардович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Клепнев, Дмитрий Эдуардович

Введение

1 Диагональные свойства последовательностей мер

1.1 Диагональные последовательности мер.

1.2 Диагонально непрерывные последовательности мер.

1.3 Равностепенная абсолютная непрерывность двух последовательностей мер.

2 Предельный переход под знаком интеграла Лебега для переменных мер

2.1 Теорема Витали-Арешкина.

2.2 Сходимость относительно последовательности мер.

2.3 Предельный переход под знаком интеграла Лебега для диагональных и диагонально непрерывных последовательностей

3 Равномерная непрерывность семейств регулярных мер

3.1 Примеры и вспомогательные утверждения.

3.2 Достаточное условие равномерной непрерывности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельный переход под знаком интеграла и диагональные свойства мер»

j

Вопрос о возможности предельного перехода под знаком интеграла — один из важнейших в анализе. Известны три классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, принадлежащие А. Лебегу, Б. Леви и П. Фату. Также известна теорема Дж. Витали, дающая необходимые и достаточные условия возможности предельного перехода иод знаком интеграла Лебега. Теорема Витали обычно формулируется в терминах равномерной интегрируемости последовательности подынтегральных функций [16], но может быть переформулирована следующим образом.

Определение. Говорят, что последовательность неопределённых интегралов { J Д. d/i}k равностепенно абсолютно непрерывна относительно неотрицательной счётно-аддитивной меры /¿, если для любого е > 0 существует Ô > 0 такое, что для всякого множества Е и для всякого натурального к из условия цЕ < 5 следует | JE fy dfi\ < е.

Теорема. (Витали) Пусть J- — сг-алгебра с единицей X, ц — конечная неотрицательная счётно-аддитивная мера на J~\ {/&}/. — последовтельность ц,-интегрируемых функций, сходящаяся к функции / по мере ц. Для того, чтобы функция / была ¿¿-интегрируемой и последовательность {fk}k сходилась к / в пространстве L\(X, Т, необходимо и достаточно, чтобы последовательность неопределённых интегралов {f fk djLi}k была равностепенно абсолютно непрерывной относительно меры /л.

В теореме Витали, как и в классических теоремах Лебега, Б. Лови и Фату, переменной была функция точки, интегрирующая мера оставалась постоянной. Случай предельного перехода под знаком интеграла Лебега в случае, когда меняется не только подынтегральная функция, но и интегрирующая мера, рассматривали В. М. Дубровский [21], Г. Я. Арешкин [11],

13], [14], Ф. Кафьеро [39], В. Н. Алексюк [4], [14], В. М. Климкин [13],

14], [30], X. Ройден [50], Р. Серфозо [51]. В работах Арешкина, Алексюка и Климкина (Арешкин доказал достаточность [11], Алексюк — необходимость [4], в совместной работе [13] Арешкин и Климкин доказали необходимость значительно более простым способом и распространили теорему на случай векторных мер) была установлена следующая теорема, являющаяся обобщением теоремы Витали на случай последовательности мер.

Определение. Говорят, что последовательность неопределённых интегралов {/ Д (¿М/с}^ равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности неотрицательных счётно-аддитивных мер {^к}^ если для любого £ > 0 существует 5 > 0 такое, что для всякого множества Е и для всякого натурального к из условия ^Е < 5 следует | fEfkd^J,k\ <

Теорема. (Арешкин-Алексюк-Климкин) Пусть Т — сг-алгебра с единицей X, {д;г}А. — последовательность конечных неотрицательных счётно-аддитивных мер на Т^ причём для всякого множества Е £ Т последовательность {/¿¿(.Е)}^ сходится к конечному пределу ц(Е). Пусть {/к}^ — последовательность конечных функций, определённых на X, причём для любого натурального к функция является //¿-интегрируемой, и для всякого х Е X последовательность {/к(х)}к сходится к конечному пределу

Тогда для того, чтобы функция / была //-интегрируемой и для всякого множества Е Е Т выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы последовательность неопределённых интегралов {f /к с1ць}к была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности мер {/¿/с}/,.

В дальнейшем будем ссылаться на эту теорему как на теорему Витали-Арешкина. В этой теореме, в отличие от классических теорем о предельном переходе, последовательность функций точки сходится всюду. Применение столь сильного вида сходимости (по сравнению с обычными для теории интеграла сходимостью почти всюду и сходимостью по мере) представляется значительным недостатком теоремы Витали-Арешкина. Заметим также, что как и в теореме Витали, в теореме Витали-Арешкина используется понятие равностепенной абсолютной непрерывности последовательности неопределённых интегралов относительно последовательности мер.

Основной целью диссертации является, во-первых, найти условия равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей функций множества; во-вторых, ослабить в теореме Витали-Арешкина условие сходимости последовательности функции точки всюду. Соответственно, решению вытекающих отсюда задач посвящены главы 1 и 2 диссертации. Одним из условий равностепенной абсолютной непрерывности последовательности функций множества {(рк}к относительно последовательности {фк}к является равномерная непрерывность последовательности {(рк}к- В главе 3 изучены некоторые условия равномерной непрерывности семейств неаддитивных регулярных функций множества.

В главе 1 изучены условия равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер. Этот вопрос изучался в работах В. А. Аля-кина [6], [7] и В. М. Климкина [27], [29], [30]. В этих работах рассматривались пары последовательностей функций множества ({у^}^., {^а-Ю-Предполагалось, что для каждого натурального к функция (/?/,- абсолютно непрерывна относительно функции фь, как это было бы, если бы ср^ была неопределённым интегралом по мере ф^. Получить условие равностепенной абсолютной непрерывности, не накладывая дополнительных условий, невозможно. Это показывает уже следующий простейший пример: щ = А и ф}. — X/к, где Л — мера Лебега на отрезке. В наиболее ранней работе [27], посвященной данному вопросу, В. М. Климкин накладывал на последовательность неотрицательных мер {фк}^ условие неубывания на каждом множестве. В дальнейшем в работах В. А. Алякина и В. М. Климкина использовалось понятие диагональности последовательности функций множества, которое можно рассматривать, как обобщение этого условия.

В диссертации показано, что последовательность функций множества является диагональной тогда и только тогда, когда диагональной является последовательность их супремаций (полных вариаций, если функции множества аддитивны). Введено понятие слабой диагональности последовательности функций множества, с использованием которого получен критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер, значительно усиливающий ранее известный критерий Климкина.

Также введено понятие диагональной непрерывности последовательности функций множества, которое можно рассматривать, как обобщение условий невозрастания или стремления к нулю последовательности неотрицательных мер {фк}к на каждом множестве. Исследованы некоторые свойства диагонально непрерывных последовательностей. С использованием понятия диагональной непрерывности последовательности мер получен ещё один критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Далее — некоторое кольцо множеств. Рассматриваемые функции множества действуют из 71 в (—со, +оо] и принимают на пустом множестве значение 0. Конечно-аддитивную функцию множества будем называть мерой. Счётно-аддитивную функцию множества будем называть счётно-аддитивной мерой. Неотрицательную монотонную полуаддитивную функцию множества будем называть субмерой. Символы и v(<¿?) обозначают соответственно супремацию и полную вариацию функции множества ^ (определения 1.0.1 и 1.0.2).

Определение 1.3.1. Последовательность функций множества {^>к}к называется равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности функций множества {фк}к, если Для любого £ > 0 существует 6 > 0 такое, что для каждого множества Ее и для каждого натурального к из условия з(фк)(Е) < 5 следует \срк(Е)\ < е.

Определение 1.1.1. Последовательность функций множества {фк}к называется сильно диагональной, если для всякой последовательности множеств {Ек}к С 71 из условия

Них а(фк)(Ек) = 0 к—>оо следует, что для каждого натурального т выполняется условие

Ит фт(Ек) = 0.

А'^оо

Определение 1.1.2. Последовательность функций множества {фк]к на~ зывается диагональной, если для всякой последовательности множеств {Ек}к С из условия lim s{фк)(Ек) = О к—>оо следует, что существует такое натуральное п, что для каждого натурального т > п выполняется условие lim i)m{Ek) = 0. к—>оо

Определение 1.3.3. Последовательность функций множества {<Рк}к называется трансдиагональной, если всякая её подпоследовательность {tpmk}k обладает следующим свойством: для любой последовательности множеств {Ек}к С 7Z такой, что для всякого натурального п выполняется условие lim s((pmn)(Ek) = 0, к—* оо справедливо равенство lim <ртк(Ек) = 0. к—> оо

С использованием этих понятий в работах В. А. Алякина и В. М. Клим-кина были получены некоторые условия равностепенной абсолютной непрерывности, в частности, следующие две теоремы.

Теорема. Пусть последовательность функций множества {<Рк}к ~ трансдиагональная, последовательность функций множества {ipk}k ~ сильно диагональная, и пусть для любого натурального к функция множества (рк абсолютно непрерывна относительно функции множества фк. Тогда последовательность функций множества {^>к}к равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности функций множества {фк}к

Теорема. Пусть последовательность функций множества {^РкУк ~~ трансдиагональная, последовательность функций множества {фк)к такова, что последовательность их супремаций {з(фк)}к — диагональная, и пусть для любого натурального к функция множества (рк абсолютно непрерывна относительно функции множества фк- Тогда последовательность функций множества {^Рк}к равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности функций множества {Фк}к

Поскольку было известно, что сильная диагональность последовательности {фк}к равносильна сильной диагоиальности последовательности их супремаций {з^)}^ вторая теорема оказывалась некоторым усилением первой. Однако вопрос о том, можно ли заменить условие диагонально-сти последовательности {я(фк)}к условием диагоиальности последовательности {фк}к5 и 0 тсш• насколько это усилило бы вторую теорему, оставался. В диссертации доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.1.13. Последовательность функций множества {фк}к диаго-нальна тогда и только тогда, когда диагональпа последовательность их супремаций {&(г1)к)}к

Теорема 1.1.16. Последовательность функций множества {фк)к диаго-нальна тогда и только тогда, когда существует такое натуральное п, что последовательность {фк}к^п сильн0 диагональна.

Далее в диссертации введено новое понятие слабой диагональпости последовательности функций множества.

Определение 1.1.3. Последовательность функций множества {фк}к на~ зывается слабо диагональной, если каждая её подпоследовательность фтк}к обладает следующим свойством: для всякой последовательности множеств {Ек}к такой, что lim s(фпч)(Ек) = О к—>оо существует такое натуральное т?, что

Hm фггъШ = 0. к—^оо

Ясно, что если последовательность функций множества является диагональной, то она является и слабо диагональной. Обратное неверно: например, последовательность 0, Л, 0, Л, 0, Л,., где Л — мера Лебега на отрезке, является слабо диагональной, по не диагональной.

Теорема 1.1.15. Последовательность функций множества {фк\к слабо диагональна тогда и только тогда, когда слабо диагональна последовательность их супремаций {s^iOljfc

Теорема 1.3.4. Пусть последовательность функций множества {(pk}k — трансдиагональная, последовательность функций множества {фк}к — сла~ бо диагональная, и пусть для любого натурального к функция множества ерь абсолютно непрерывна относительно функции множества Тогда последовательность функций множества равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности функций множества {ipk}k■

С использованием нового понятия слабой диагональности в диссертации получен следующий критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Теорема 1.3.9. Пусть {(рк}к ~~ последовательность субмер на кольце TZ] {фк}к — слабо диагональная последовательность субмер на 7Z; для каждого 9 натурального к субмера срк абсолютно непрерывна относительно субмеры фк. Тогда для того, чтобы последовательность субмер {(fk}k была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности {фк}к необходимо и достаточно, чтобы для любой дизъюнктной последовательности множеств {Ек}к С 1Z из условия lim фк(Ек) = О к—>оо следовало lim (pk(Ek) = 0. к—''оо

Полагая (рк = X и фк = Х/к, где Л — мера Лебега на отрезке, получим контрпример, показывающий, что без условия слабой диагональности последовательности мер {фк}к теорема 1.3.9, вообще говоря, неверна.

Ранее аналогичный критерий был получен В. М. Климкиным [30]. Однако в теореме Климкина требовалась сильная диагональность последовательности {фк}к- Кроме того, требовалось, чтобы каждая субмера фк обладала свойством Орлича.

Определение. Говорят, что субмера ф обладает свойством Орлича, если для любой последовательности множеств {Ек}к С 7Z из условия supV> ( (J Ек I < +оо " \к=1 / следует, что оо /со \ оо

Екеп и уд*) к=1 \к=1 J к=1

Таким образом, наделение субмер фк свойством Орлича фактически делает кольцо 71 сг-кольцом, а сами субмеры — счётно-полуаддитивными. Это является существенным недостатком теоремы Климкина.

Понятие слабой диагоналыюсти последовательности функций множества {фк}к ие охватывает, например, такой простой случай, как фк = Х/к, где Л — мера Лебега на отрезке. В работе В. А. Алякина [7] было введено определение диагональной непрерывности последовательности субмер. В диссертации принято похожее, но более общее определение, к тому же накладывающее на последовательность функций множества более слабые условия.

Определение 1.2.1. Последовательность функций множества {фк}к на~ зывается диагонально непрерывной, если существует такая субмера ф, что выполнены два условия:

1. для всякой последовательности множеств {Ек}к С TZ из условия lim s(фк)(Ек) = О к—*оо следует lim ф{Ек) = 0; к—у оо

2. для всякого множества Е ETZ из условия ф{Е) — 0 следует lim s(фк){Е) = 0. к—>оо А

Субмеру ф назовём подходящей.

С использованием понятия диагональной непрерывности в диссертации получен следующий критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Определение 1.3.11. Последовательность функций множества {<£к}к на~ зывается равномерно исчерпывающей, если для любой дизъюнктной noli следовательности множеств {Е^]к выполняется lim sup \<рт(Ек)\ = 0.

К—>00 т

Теорема 1.3.18. Пусть 1Z — 5-кольцо; — равномерно исчерпывающая последовательность конечных счётно-аддитивных мер; {фк}к — диагонально непрерывная последовательность мер; для каждого натурального к мера фк абсолютно непрерывна относительно фи- Тогда для того, чтобы последовательность мер была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности {фк}& необходимо и достаточно, чтобы для всякого множества Е £ 7Z и всякой строго возрастающей последовательности натуральных чисел {рк}к из условия lim s(фРк){Е) = 0 к—* оо следовало lim в(<рРк)(Е) = 0. k—>oo

Эту теорему можно рассматривать, как' секвенциальный аналог известной теоремы теоремы об эквивалентности абсолютной непрерывности и нуль-непрерывности двух мер [38].

Построен контрпример (пример 1.3.19), показывающий, что без условия диагональной непрерывности теорема 1.3.18, вообще говоря, неверна. Также построен контрпример (пример 1.3.20), показывающий, что утверждение теоремы 1.3.18 нельзя заменить следующим утверждением: для того, чтобы последовательность мер была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности необходимо и достаточно, чтобы для всякого множества Е £ 1Z и всякой строго возрастающей последовательности натуральных чисел {рк}^ из условия lim s(фРк)(Е) = О к—>оо следовало lim <рРк{Е) = 0.

В главе 2 рассмотрен вопрос о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, точнее — об усилении теоремы Витали-Арешкина.

Далее X — некоторое пространство, Т — некоторая сг-алгебра с единицей X. Рассматриваемые меры действуют из Т в [0, -f-oo) и принимают на пустом множестве значение 0.

Первая теорема заменяет в теореме Витали-Арешкина условие сходимости всюду последовательности подынтегральных функций более слабым условием сходимости последовательности подынтегральных функций по мере относительно предельной меры ¡i.

Теорема 2.1.7. Пусть {/¿aJj. — последовательность конечных неотрицательных счётно-аддитивных мер на сг-алгебре Тпричём для всякого множества Е СЕ Т последовательность {ßk(E)}k сходится к конечному пределу ц(Е). Пусть {fk\k ~ последовательность конечных функций точки, причём для всякого натурального к функция Д является /^-интегрируемой. Пусть последовательность функций {fk}k сходится по мере ¡л к конечной функции /.

Если последовательность неопределённых интегралов {/ Д dfik}k равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности мер {ßk}k, то функция / является /¿-интегрируемой и для всякого множества

Е е Т выполняется равенство

Ит / /к (1[1к = / / йц. к->со JE JE

Построен контрпример (пример 2.1.6), показывающий, что условие равностепенной абсолютной непрерывности в этой теореме не является необходимым.

Вторая теорема заменяет в теореме Витали-Арешкина условие сходимости всюду последовательности подынтегральных функций более слабым условием сходимости последовательности подынтегральных функций по мере относительно каждой из мер последовательности

Теорема 2.1.4. Пусть {цк}к ~~ последовательность конечных неотрицательных счётно-а/щитивных мер на сг-алгебре Т, причём для всякого множества Е е Т последовательность {/2к(Е)}к сходится к конечному пределу ц(Е). Пусть {fk}k последовательность конечных функций точки, причём для всякого натурального к функция /к является ¿¿^-интегрируемой. Пусть последовательность функций {/к}к сходится по мере относительно каждой меры цП1 к конечной функции /.

Для того, чтобы функция / была /¿-интегрируемой и для всякого множества Е £ Т выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы последовательность неопределённых интегралов /к с1(1к}к была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности мер {/¿к}к

В следующих двух теоремах используется понятие сходимости последовательности функций точки относительно последовательности мер, введённое Р. Серфозо [51].

Определение 2.2.1. Пусть {цк\к ~ последовательность неотрицательных мер. Последовательность функций точки {Л-}^ называется сходящейся относительно последовательности мер {{¿к} к к функции точки /, если для любого 5 > 0 выполняется условие

В случае, когда ^ = /¿, это определение совпадает с определением сходимости по мере ¡1.

Теорема 2.3.3. Пусть {¡¿к}к ~~ слабо диагональная последовательность конечных неотрицательных счётно-аддитивных мер на а-алгебре причём для всякого множества Е е Т последовательность {^к(Е)}к сходится к конечному пределу 1±(Е). Пусть {/к}к — последовательность конечных функций точки, причём для всякого натурального к функция является //¿-интегрируемой. Пусть последовательность функций {//,•}/, сходится относительно последовательности мер {¡Лк\к к конечной функции /.

Для того, чтобы функция / была //-интегрируемой и для всякого множества Е £ Т выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы последовательность неопределённых интегралов /к (1[1>к}к была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности мер {¡¿к} к

Теорема 2.3.5. Пусть {[¿к}к ~~ диагонально непрерывная последовательность конечных неотрицательных счётно-аддитивных мер на сг-алгебре Т,

Нш ¡1к({х Е X : \/к(х) - /(х)\ > 6}) = 0.

V—4оо причём для всякого множества Е е Т последовательность сходится к конечному пределу ¡¿(Е). Пусть {¡к}к ~ последовательность конечных функций точки, причём для всякого натурального к функция является //¿-интегрируемой. Пусть последовательность функций {/к}к схо~ дится относительно последовательности мер {^к}к к конечной функции /.

Для того, чтобы функция / была //-интегрируемой и для всякого множества Е € Т выполнялось равенство достаточно, чтобы последовательность неопределённых интегралов была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности мер {^к}к

Тот же контрпример (пример 2.1.0) показывает, что условие равностепенной абсолютной непрерывности в этой теореме не является необходимым.

Пусть {г/с}^0 — последовательность функций Радемахера [23]. Тогда последовательность функций множества {Фк}Т=о^ гДе рассматриваемых на сг-алгебре лебеговых подмножеств Е отрезка [0,1], даёт пример последовательности конечных неотрицательных счётно-аддитивных мер, не являющейся ни слабо диагональной, ни диагонально непрерывной, сходящейся к конечному пределу на каждом множестве Е.

Однако, контрпример, в котором последовательность мер {//к}к не была бы ни диагональной, ни диагонально непрерывной, последовательность неопределённых интегралов была бы равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности мер, но при этом предельный переход под знаком интеграла был бы невозможен, в настоящее время построить не удалось.

В главе 3 рассматриваются иеаддитивные функции множества, заданные на алгебре подмножеств ¿г-топологического пространства, со значениями в [0,+оо], принимающие на пустом множестве значение 0, наделённые некоторыми условиями регулярности. Получены достаточные условия, при выполнении которых из равномерной непрерывности сверху на пустом множестве семейства таких функций следует равномерная непрерывность семейства их супремаций.

В работах [1НЗ] А. Д. Александров рассматривал, в частности, вопрос о соотношении свойств исчерпываемости и непрерывности сверху на пустом множестве для конечной аддитивной регулярной относительно класса замкнутых множеств функции множества <£>, заданной на алгебре <5. Регулярность функции множества с/? понималась как регулярность ее полной вариации v(<£>), то есть как выполнение следующего условия: для любого множества Е Е ¿> и для любого числа £ > 0 существует замкнутое множество Р такое, что Р С Е и V(ф)(Е \ Р) < е.

В частности, А. Д. Александров показал, что в любом некомпактном нормальном сг-топологическом пространстве существует регулярная скалярная конечная аддитивная исчерпывающая функция множества, которая не является счётно-аддитивной, то есть не обладает свойством непрерывности сверху на пустом множестве.

Естественно возник вопрос: будет ли регулярная скалярная конечная счётно-аддитивная функция множества исчерпывающей?

В работе [37] А. Н. Саженков дал положительный ответ па поставленный вопрос: регулярная счётно-аддитивная функция множества является исчерпывающей. В работе [31] В. М. Климкин указал довольно широкий класс неаддитивных функций множества, для которых из регулярности и непрерывности сверху на пустом множестве следует исчерпываемость.

Особо следует отметить случай боре левею IX мер.

В работе [40] Дьедонне доказал теорему:

Теорема. Пусть Ф —- семейство конечных регулярных борелевских мер на сг-кольце борелевских множеств компактного хаусдорфова топологического пространства. Если меры семейства Ф являются равномерно исчерпывающими на классе открытых множеств, то они равномерно непрерывны.

В работе [46] А. Гротендик обобщил этот результат на семейство ограниченных аддитивных регулярных функций множества, заданных на <т-кольце борелевских множеств.

В работе [52] этот результат'был обобщен Штейном для семейства ограниченных аддитивных слабо регулярных функций множества, заданных на с-кольце борелевских множеств хаусдорфова регулярного топологического пространства.

В диссертации результат В. М. Климкина [31] обобщается на случай семейств функций множества.

Определение 3.1.1. Назовём пару (Х,т) сг-топологическим пространством, если X — некоторое множество,, г С. 2х — такой класс его подмножеств, что 0, X £ г, г замкнут относительно конечных пересечений и счётных объединений.

Множества из класса т будем называть открытыми, из класса си = {Х\ С : С 6 г} — замкнутыми в (X, т).

Далее S — алгебра множеств с единицей X, причём т С 5; функции множества действуют из S в [0,+оо] и принимают на пустом множестве значение 0.

Определение 3.1.4. Функции множества (р семейства Ф называются равномерно непрерывными, если для всякой последовательности множеств {Ек}к С S такой, что оо оо

П U Е* = 0' т—1к=т выполняется условие lim (sup{ср(Ек) ир£ф}) = 0. к—>оо

Определение 3.1.9. Функции множества <р семейства Ф называются равностепенно абсолютно полуаддитивными, если для любого числа е > 0 существует число 5 > 0 такое, что для любой функции ср £ Ф и для любой пары непересекающихся множеств А, В <G S выполняется:

1. если тах{<^(/1), <р{В)} < 6, то ip(A U В) < е\

2. если max{<p(.4 U В), (р(А)} < S, то (р(В) < е.

В случае, когда семейство Ф состоит из единственной функции ср, ср называется абсолютно полуаддитивной.

Определение 3.1.15. Пусть Т С си — некоторый класс замкнутых множеств. Функция множества ср называется JF-слабо регулярной, если для любого множества Е £ S и для любого числа е > 0 существует множество F <Е Т такое, что F d Е и ср(Е \ F) < е.

Определение 3.1.16. Функции множества семейства Ф называются равностепенно регулярными, если для любого замкнутого множества F Е lü и для любого числа е > 0 существует открытое множество (2 Е т такое, что ^ССи 8ир {<</?)(£ \Е):среФ}<£.

Теорема 3.2.4. Пусть (X, т) — сг-топологическое пространство; пусть — алгебра множеств с единицей X, причем г С Пусть функции множества (р семейства Ф определены на алгебре с>, принимают значения в [0,+оо], удовлетворяют условию <р(0) = 0, равностепенно абсолютно полу аддитивны, равномерно непрерывны сверху на пустом множестве на алгебре ш-слабо регулярны, равностепенно регулярны. Тогда они равномерно непрерывны на алгебре 5".

Теорема 3.2.5. Пусть (X, т) — хаусдорфово топологическое пространство; пусть <5> — алгебра множеств с единицей X, причем т С ¿>; пусть С G и> — некоторый класс компактных подмножеств X; пусть функции множества ср семейства Ф определены на алгебре принимают значения из [0, +оо], удовлетворяют условию <р(0) = 0, равностепенно абсолютно полуаддитивны.

Если для любого числа £ > 0 и любого множества Е Е <5> существует компактное множество С Е С такое, что С С Е и вир^ (</?)(!? \С) : <р £ Ф} < £:, то функции множества семейства Ф равномерно непрерывны на алгебре

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям: покойному профессору Виктору Михайловичу Климкину, под руководством которого данная работа начиналась, и доценту, кандидату физико-математических наук Владимиру Алексеевичу Алякину за постоянное внимание к работе, поддержку и советы при подготовке диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Клепнев, Дмитрий Эдуардович, 2008 год

1. Александров А. Д. Аддитивные функции множества в абстрактных пространствах / А. Д. Александров // Матем. сб. — 1941. — Т. 8(50). — С. 307-348.

2. Александров А. Д. Аддитивные функции множества в абстрактных пространствах / А. Д. Александров // Матем. сб. — 1941. — Т. 9(51). — С. 563-628.

3. Александров А. Д. Аддитивные функции множества в абстрактных пространствах / А. Д. Александров // Матем. сб. — 1943. — Т. 13(55). С. 169-238.

4. Алексюк В. Н. О переходе к пределу под знаком интеграла /B. Н. Алексюк // Изв. вузов. Математика. — 1965. — № 5. — С. 28.

5. Алексюк В. Н. Две теоремы о существовании квазибазиса семейства квазимер / В. Н. Алексюк // Изв. вузов. Математика. — 1968. — № 6. —C. 11-18.

6. Алякин В. А. Диагональные семейства функций множества и обобщённая теорема Витали-Хана-Сакса-Никодима / В. А. Алякин // Труды

7. I научно-технической конференции факультета математических знаний. Секция математики и механики. — С. 14-26. — Куйбышевский Политехнический институт. — Куйбышев, 1979. — 13 с. — Деп. в ВИНИТИ, 1979, № 1215.

8. Алякин В. А. Теорема Витали-Хана-Сакса для двух последовательностей мер / В. А. Алякин //В сб.: Вопросы функционального анализа. Мера и интеграл. — Куйбышев: Куйбышев, госуниверситет. — 1984. — С. 8-13.

9. Алякин В. А. Диагональные последовательности мер / В. А. Алякин, Д. Э. Клепнёв // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. — 2006. № 2(42). — С. 5-14.

10. Алякин В. А. Диагонально непрерывные последовательности мер /B. А. Алякин, Д. Э. Клепнёв // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. — 2007. — № 6(56). — С. 176-187.

11. Алякин В. А. Критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер / В. А. Алякин, Д. Э. Клепнёв // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. — 2007. № 9/1(59). - С. 65-74.

12. Арешкин Г. Я. О переходе к пределу под знаком интеграла Лебега-Радона / Г. Я. Арешкин // Сообщ. АН ГССР. 1949. - Т. 10. - № 2.C. 69-76.

13. Арешкин Г. Я. О компактности семейства вполне аддитивных функций множества / Г. Я. Арешкин // Уч. записки ЛГПИ им. А. И. Герцена. 1962. - Т. 238. - № 2. - С. 102-118.

14. Арешкин Г. Я. Об одном обобщении теоремы Витали о переходе к пределу под знаком интеграла. / Г. Я. Арешкин, В. М. Климкин // Уч. записки ЛГПИ им. А. И. Герцена. 1968. - Т. 387. - С. 79-91.

15. Арешкин Г. Я. О некоторых свойствах векторнозначных мер / Г. Я. Арешкин, В. Н. Алексюк, В. М. Климкин // Уч. записки ЛГПИ им. А. И. Герцена. 1971. - Т. 404. - С. 298-321.

16. Арешкин Г. Я. О слабой равностепенной плотности и компактности семейства квазилипшицевых функций множества / Г. Я. Арешкин, Н. С. Гусельников // В сб.: Функциональный анализ. — Ульяновск. — 1975. Вып. 5. - С. 3-12.

17. Богачёв В. И. Основы теории меры. Т. 1: В 2 т. / В. И. Богачёв. — Москва-Ижевск: НИЦ РХД, 2003. 544 с.

18. Богачёв В. И. Основы теории меры. Т. 2: В 2 т. / В. И. Богачёв. — Москва-Ижевск: НИЦ РХД, 2003. 576 с.

19. Гусельников Н. С. Квазилипшицевы и треугольные функции множества и их приложения к теориям векторных мер и полумер: Дис. . .канд. физ.-мат. наук; 01.01.01; — Защищена 9.2.1976; К179940; Дк 76-1/1060. Л., 1976. - 157 с.

20. Гусельников Н. С. Треугольные функции множества и теорема Нико-дима о равномерной ограниченности семейства мер / Н. С. Гусельников // Матем. сб. 1978. - Т. 3(106). - С. 340-356.

21. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Шварц. М.: Изд-во ИЛ, 1962. — 895 с.

22. Дубровский В. М. О базисе семейства вполне аддитивных функций множества и о свойствах равномерной аддитивности и равностепенной непрерывности / В. М. Дубровский // Докл. АН СССР. — 1947. — Т. 58. № 5. - С. 737-740.

23. Дьяченко М. И. Мера и интеграл / М. И. Дьяченко, П. Л. Ульянов. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2002. — 160 с.

24. Кашин Б. С. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А. А. Саакян. — М.: Изд-во АФЦ, 1999. 560 с.

25. Клепнёв Д. Э. О равномерной непрерывности семейства неаддитивных слабо регулярных функций множества / Д. Э. Клепнёв // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучный выпуск. — 2000. — № 2(16). С. 26-33.

26. Клепнёв Д. Э. Теорема Витали-Арешкина для диагональных последовательностей мер / Д. Э. Клепнёв // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. — 2008. — № 3(62). — С. 155-164.

27. Климкин В. М. Некоторые признаки равностепенной абсолютнойнепрерывности семейства масс / В. М. Климкин // Учёные записки ЛГПИ им. А. И. Герцена. 1971. - Т. 404. - С. 380-396.

28. Климкин В. М. Конечно-аддитивные функции множества в топологической группе / В. М. Климкин // Матем. заметки. — 1977. — Т. 21. — № 6. С. 847-854.

29. Климкин В. М. О равностепенной абсолютной непрерывности / В. М. Климкин // Матем. заметки. — 1979. — Т. 25. — № 2. — С. 199209.

30. Климкин В. М. Введение в теорию функции множества: Учебное пособие / В. М. Климкин. — Куйбышев: Изд-во Саратов, унив. Куйбышев, филиал, 1989. 210 с.

31. Климкин В.М. О некоторых свойствах регулярных функций множества / В. М. Климкин // Матем. сб. 1992. - Т. 6(183). - С. 155-176.

32. Климкин В. М. Избранные главы теории меры / В. М. Климкин. — Самара: Изд-во «Самарский университет», 2005. — 143 с.

33. Малюгин С. А. Топология покрывающих множеств и непрерывное продолжение внешних мер / С. А. Малюгин // Мат. заметки. — 1979. — Т. 26. № 2. - С. 285-292.

34. Савельев Л. Я. Продолжение мер по непрерывности / Л. Я. Савельев // Сиб. мат. ж. 1964. - Т. V. - № 3. -С. 639-650.

35. Савельев Л. Я. Продолжение непрерывных мер / Л. Я. Савельев // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 239. - № 2. -С. 272-274.

36. Саженков А. Н. Ограниченность векторных внешних мер / А. Н. Са-женков // Мат. заметки. 1979. - Т. 25. - № 6. - С. 913-917.

37. Саженков А. Н. Принцип ограниченности для мер. — Дисс. канд. физ.-мат. наук, Новосибирск, 1984, 62 с.

38. Халмош П. Теория меры / П. Халмонт. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003. 256 с.

39. Cafiero F. Misura е integrazione / F. Cafiero // Edizione Cremonese. — Roma. 1959. - 451 p.

40. Dieudonne J. Sur la convergence des suites de mesures de Radon /J. Dieudonne // An. Acad. Brasil. — Cienc. — 1951. — Vol.23. R 21-38, P. 277-282.

41. Dobrakov I. On submeasures I / I. Dobrakov // Rozpr. Math. — 1974. — V. 112. P. 30-35.

42. Drewnowski L. Topological rings of sets, continuous set functions, integration. I / L. Drewnowski // — Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Math. Astr. Phys. 1972. - V. 20. - № 4. - P. 269 276.

43. Drewnowski L. Topological rings of sets, continuous set functions, integration. II / L. Drewnowski // — Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Math. Astr. Phys. 1972. - V. 20. - № 4. - P. 277-286.

44. Drewnowski L. Topological rings of sets, continuous set functions, integration. Ill / L. Drewnowski // — Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Math. Astr. Phys. 1972. - V. 20. - № 6. - P. 439 445.

45. GânBler P. A convergence theorem for measures in regular Hausdorff spaces / P. Gânfiler //Math. Scand. 1971. - V. 29. - P. 237-244.

46. Grothendieck A. Sur les applications linéaires faiblement compactes d'espaces du type C{K) / A. Grothendieck // Canad. J. Math. — 1953. — Vol.51. P. 129-173.

47. Landers D. Equicontinuity and convergence of measures / D. Landers, L. Rogge // Manuscripta Math. 1971. - V. 5. - P. 123-131.

48. Orlicz W. Absolute continuity of vector-valued finitely additive set functions. I / W. Orlicz // Stud. Math. 1968. - V. 30. - № 1. -P. 121-133.

49. Orlicz W. Absolute continuity of set functions with respect to a finitely subadditive measure / W. Orlicz // Rocz. Pol. tow. mat. — 1970. — V. 14. Ser. 1. - P. 101-118.

50. Rovden H. L. Real Analysis / H. L. Royden. — 3rd ed. — Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1988. — 444 p. (1st ed.: McMillan, 1963)

51. Serfozo R. Convergence of Lebcsgue Integrals with Varying Measures / R. Serfozo // The Indian Journal of Statistics. — 1982. — Vol. 44. — Ser. A. Pt. 3. - P. 380-402.

52. Stein J. D. Uniform absolute continuity in spaces of set functions / J. D. Stein // Proceedings of the Amer. Math. Soc. — 1975. — Vol. 51. — № 1. P. 137-140.