Течение тонкого слоя идеально-пластического материала по деформируемым поверхностям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Бодунов, Дмитрий Михайлович

• Бодунов, Дмитрий Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бодунов, Дмитрий Михайлович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ.

2. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ.

2.1. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА.

2.2. ЗАДАЧА О ТЕЧЕНИИ В ФИКСИРОВАННОЙ КВАДРАТНОЙ ОБЛАСТИ. ИНСТРУМЕНТ - УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО.

2.3. ЗАДАЧА О ТЕЧЕНИИ В ФИКСИРОВАННОЙ КВАДРАТНОЙ ОБЛАСТИ. ИНСТРУМЕНТ - УПРУГИЙ СЛОЙ НА ЖЕСТКОМ ОСНОВАНИИ.

2.4. ЗАДАЧА О ТЕЧЕНИИ В ФИКСИРОВАННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ. ИНСТРУМЕНТ - УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО.

2.5. ЗАДАЧА О ТЕЧЕНИИ В ФИКСИРОВАННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ. ИНСТРУМЕНТ - УПРУГИЙ СЛОЙ НА

ЖЕСТКОМ ОСНОВАНИИ.

2.6. ВЫВОДЫ.

3. ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КВАДРАТНОЙ ОБЛАСТИ.

3.1. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ К РАСЧЕТАМ ПРОЦЕССА ТЕЧЕНИЯ В КВАДРАТНОЙ ОБЛАСТИ.

ИНСТРУМЕНТ - УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО.

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ К РАСЧЕТАМ ПРОЦЕССА ТЕЧЕНИЯ В КВАДРАТНОЙ ОБЛАСТИ. ИНСТРУМЕНТ -УПРУГИЙ СЛОЙ НА ЖЕСТКОМ ОСНОВАНИИ.

3.3. ВЫВОДЫ.

4. ВЫВОД ИНТЕГАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ

ОБЛАСТИ.

4.1. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ К РАСЧЕТАМ ПРОЦЕССА ТЕЧЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ. ИНСТРУМЕНТ -УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО.

4.2. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ К РАСЧЕТАМ ПРОЦЕССА ТЕЧЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ. ИНСТРУМЕНТ -УПРУГИЙ СЛОЙ НА ЖЕСТКОМ ОСНОВАНИИ.

4.3. ОБОБЩЕИНЕ МЕТОДИКИ НА СЛУЧАЙ ЛЮБОЙ ПОЛИГОНАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ.

4.4. ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Течение тонкого слоя идеально-пластического материала по деформируемым поверхностям»

Постоянное возрастание требований к точности изготовления деталей, в особенности тонкостенных, приводит к разработке новых производственных технологий обработки материалов давлением, которые, в свою очередь, должны иметь четкое математическое обоснование.

В настоящее время актуальны задачи пластических течений материалов с учетом различных сопряженных факторов, таких как анизотропия сил трения на контакте, объемная сжимаемость, течение материала в условиях интенсивного теплообмена, состояние сверхпластичности, деформируемость поверхности инструмента.

Диссертация посвящена исследованию одного; класса нестационарных пространственных задач течения тонкого пластического слоя между двумя сближающимися поверхностями твердых внешних тел, разработке новых подходов и методов их решения. К таким задачам приводят большинство технологических процессов обработки материалов давлением: штамповка и прессование тонкостенных элементов конструкций, дрессировка, тонколистовая прокатка и т.д. Это сложные физические процессы с разнообразием определяющих параметров, протекающие при комбинированных температурных и силовых воздействиях. Важную роль в них чаще играет деформационное и скоростное упрочнение материала. Для процессов пластического течения в тонком слое характерны высокие давления, на порядок превышающие величины сдвиговых напряжений. А значит, неоправданным может оказаться неучет упругих деформаций самих воздействующих тел, что сказывается на точности изготовления конечной детали. Математическое моделирование процессов с развитыми пластическими формоизменениями, и в частности, течений в тонких слоях усложняется тем, что в них, как правило, неизвестными оказываются как границы областей течения, так не определены и сами граничные условия. И хотя на сегодняшний день существуют геометрически нелинейные теории пластичности, в том числе и вариант теории упругопластических процессов А.А. Ильюшина при конечных деформациях, однако, в силу их чрезвычайной математической сложности, они не нашли еще широкого практического применения. Наиболее распространенной и обоснованной для описания процессов пластического течения металлов в широком диапазоне изменения температур и скорости деформации по праву считается теория пластичности для траекторий малой кривизны [7,21,27, 61,73,74, 90] .

Выше мы отметили лишь некоторые характерные особенности, присущие процессам пластического течения в тонком слое. Это оказывается вполне достаточным подтверждением актуальности исследований, проводимых в отмеченной области механики.

Истоки данной тематики исследований уходят к классической задаче JI. Прандтля [72] о сжатии полосы из идеальнопластического материала между двумя сближающимися жесткими плоскостями. JT. Прандтль нашел поле напряжений, а Надаи [64] построил кинематическую картину этого течения, подчиняющегося условию пластичности Мизеса.

Эксперименты по данной проблеме проводились Е.П. Унксовым [88,89], А.Д. Томленовым [82], И.Я. Тарновским [79,80], В.М. Сегалом [75] и другими учеными.

На основе анализа решения Прандтля - Надаи А. А. Ильюшин выдвинул гипотезы кинематического характера, а также относительно сил трения на контакте, с помощью которых построил эффективную теорию течения в тонком пластическом слое [22-26]. В работе А.А. Ильюшина [24] решена задача о растекании тонкого кольцевого пластического слоя постоянной толщины. В работах А. А. Ильюшина [25], И.А. Кийко [39] исследована нестационарная плоская задача течения в полосе с неоднородностью свойств по толщине, вызванной интенсивным теплообменом с внешними телами.

Существенный вклад в развитие теории течения в тонком пластическом слое внес И.А. Кийко [32-38] . Им сформулирована задача течения в тонком пластическом слое в пространстве между двумя сближающимися поверхностями упруго-деформируемых тел, предложен вариационный метод решения задач [32]. В работах П.М. Огибалова, И.А. Кийко и JI.K. Кийко [бб-68] рассчитаны с помощью метода песчаной аналогии контактные давления, общие усилия прессования ребристых пластин, а также проведена экспериментальная проверка теоретических результатов. Следует отметить работы И.В Костарева [45,46], который на основе теории течения тонких пластических слоев разработал методы расчета процессов штамповки ребристых поковок сложной формы. В работе Ю.С. Арутюнова [5] для решения задач течения пластических слоев использован метод преобразования Лежандра, с помощью которого исследованы плоские и осесимметричные задачи, построены эпюры истинных контактных давлений. Можно выделить работы С. С. Григоряна [14], А.Н. Мохель и P.J1. Салганик [62], В. А.

Кадымова [47-58] и многих других авторов [1-4,6,1113,16,17, 19,20,28-31,40-43, 60, 63, 65] .

Задача JI. Прандтля о сжатии пластической полосы, усложненная учетом разных дополнительных факторов, продолжает привлекать внимание многих исследователей.

Из обзора можно сделать следующий вывод: общая теория течения тонких слоев металла по деформируемым поверхностям разработана, однако конкретные приложения ограничены осесимметричными и плоскими задачами. Потребности технологии обработки давлением такими приложениями, естественно, далеко не ограничены. Этими соображениями обусловлена цель диссертации.

Цель исследований состоит в разработке эффективных аналитических и численных методов исследования нового класса задач о течении тонкого слоя пластического материала по поверхностям тел инструмента с учетом их деформируемости.

Научная новизна.

Разработан новый эффективный метод решения класса задач пластического формоизменения, основанный на теории течения в тонком пластическом слое по деформируемым поверхностям. Метод основан на сведении исходной нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений к одному нелинейному интегральному уравнению обобщенного гаммерштейновского типа, которое решается методом приближений. Скорость сходимости метода в зависимости от значений параметров задачи устанавливается численно. Рассмотрены конкретные примеры, проведен их подробный параметрический анализ.

Практическая ценность.

Результаты диссертации представляют интерес для теории и практики расчета технологических процессов обработки давлением. Они могут эффективно использоваться специалистами промышленных предприятий и НИИ, занимающимися проектированием и конструированием инструмента. Разработанные в диссертации подходы и методы решения нестационарных задач течения пластических слоев могут быть включены в спецкурсы для студентов механико-математических и машиностроительных факультетов, а также могут быть использованы в системе переподготовки кадров высшей квалификации, при подготовке магистров и аспирантов.

Публикации.

Исследованиям пластических течений в тонких слоях посвящено 13 работ автора. Основное содержание диссертации отражено в цитированных публикациях автора [8-10,91] .

Апробация.

Работа велась в соответствии с заданием министерства образования и науки Российской Федерации на проведение научных исследований по разработке физико-математических основ технологий пластического формоизменения с целью повышения пластичности металла и улучшения эксплуатационных характеристик штампуемых изделий (гос. per. 01.2.00311033, гос. per. № 01.200.210.855) при поддержке гранта министерства образования и науки РФ № А

03-2.10-757. Результаты работы обсуждались на: XXXIX Международной научно-технической конференции ААИ «Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров» (Москва, МГТУ-«МАМИ», 25-26 сентября 2002); московской конференции молодых ученых «Научно-технические проблемы развития московского мегаполиса» (Москва, ИМАШ РАН им. А. А. Благонравова, 19-21 ноября 2002); всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 20-22 ноября 2002 года); международной молодежной научной конференции «XXIX Гагаринские чтения» (Москва, «МАТИ»-РГТУ им. К.Э. Циолковского ,8-11 апреля 2003); научной конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ им. Ломоносова, 17-27 апреля 2003 года, 21-28 апреля 2004 года); международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» поев. 80-летию со дня рождения проф. Л.А. Толоконникова (Тула, ТулГУ, 18-21 ноября 2003); международной научно-технической конференции «Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штамповочного производства» (Москва, МГТУ-«МАМИ»,1-3 декабря 2003); юбилейной XV международной Интернет конференции молодых ученых, аспирантов и студентов по современным проблемам машиноведения (Москва, 3-5 декабря, 2003) .

Считаю своим долгом выразить глубокую признательность моему учителю, заслуженному профессору МГУ им. Ломоносова Игорю Анатольевичу Кийко за постоянное внимание и помощь при выполнении работы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Бодунов, Дмитрий Михайлович

4.4 ВЫВОДЫ

В качестве основного вывода по четвертой главе можно выделить тот факт, что предложенная методика решения данного класса задач течения показывает сходство со случаем течения материала в квадратной области. Скорость сходимости метода приближений в большей степени зависит от толщины слоя, нежели от величины соотношения сторон прямоугольной области.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1.Разработан новый эффективный метод решения задач о течении тонкого пластического слоя в областях, ограниченных выпуклым многоугольником, с учетом конечной жесткости (упругой деформируемости) поверхностей инструмента. Метод основан на сведении нелинейной интегро-дифференциальной системы к интегральному уравнению, которое решается последовательными приближениями (с использованием численных методов).

2.Проведены конкретные расчеты для квадратной и прямоугольной областей. Параметрическим анализом решений установлена достаточно быстрая сходимость метода - во всех случаях третье приближение доставляло необходимую точность.

3.Показано, что первое приближение по разработанной схеме и предложенной в [32], совпадают и дают оценки максимальных деформаций инструмента.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бодунов, Дмитрий Михайлович, 2004 год

1. Акуленко Л.Д., Георгиевский Д.В., Климов Д.М., Кумакшев С.А., Нестеров С.В. Выдавливание вязкопластического материала с малым пределом текучести из плоского конфузора // Изв. РАН, Мех. тв. тела, 2003, № 4, с. 183-197.

2. Александров С.Е., О разрывных полях скоростей при произвольной деформации идеального жесткопластического тела // Докл. РАН. 1992, 324, № 4, с. 769-772.

3. Александров С.Е., Мишурис С.Е. Осесимметричное пластическое течение двухслойного материала через конический канал // Докл. РАН. 2003. 390, № 2, с. 196199.

4. Аргатов И.И. Давление на упругое полупространство штампа с поверхностью, близкой к эллиптическому параболоиду //Пробл. машиностр. и надежности машин, 2000, № 1. с. 101-105.

5. Арутюнов Ю.С., Гонор А. Л. Осаживание тонких поковок произвольной формы в плане // Изв. АН ССР. Мех. и мат-е. 1963, № 1. - с. 166-171.

6. Безухов В.Н. Об осадке пластического слоя некруговой формы в плане // Дис. канд. физ.-мат.н. М, 1955. - 78с.

7. Безухов Н.И. Теория упругости и пластичности // М., Гостехизд. -1953. 420с.

8. Бодунов Д.М. Осесимметричная задача об осадке пластического слоя // Сб. избр. тр. XXXIX Межд. НТК ААИ «Приоритеты развития отеч. автотракторостроения иподготовки инженерных и научных кадров», М., МГТУ, ISBNS' 94-0 9 9- 02 0-7 .

9. Бодунов Д.М. Методы теории пластичности в применении к расчету и проектированию технологических процессов обработки давлением // Труды моек. конф. молодых ученых «Научно-технические проблемы развития московского мегаполиса», М, ИМАШ РАН, 2003.

10. Бодунов Д.М., Кийко И.А. Новая постановка задачи о течении тонкого слоя по деформируемым поверхностям // В сб. научн. тр. межд. научно-технической конф. «Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штампового производства», М., МГТУ-МАМИ, 2003г.

11. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел // УРСС, М., 1998.

12. Гордон В.А., Тинякова Е.В., Шоркин B.C. О пластическом поведении материала в поверхностном слое твердого тела // Исслед. в обл. теории, технол. и обор. ОМД, Орлов.ГТУ, 1998, с. 150-153.

13. Григорьев И.П., Ивлев Д.Д. О сдавливании круглого в плане идеальнопластического слоя шероховатыми плитами //Изв. РАН., Мех. тверд, тела. 2000, № 1, с. 129140.

14. Григорян С. С. Об одной задаче JI. Прандтля и теории течения пластического вещества по поверхностям // ДАН СССР. 1981, т.257, № 5. с. 1075-1077.

15. Губкин С.И. Пластическая деформация металлов // М., Металлургизд. I960. - 190с.

16. Дмитриев A.M., Воронцов A.JI. Определение с учетом упругой деформации матрицы технологическихпараметров штамповки выдавливанием // Вестн. МГТУ, Сер. машиностр., 2002, № 2, с. 7 6-93.

17. Друянов Б. А. О применимости жесткопластического анализа к некоторым технологическим задачам // Изв. АН СССР, Мех. тв. Тела. 1971, № 3, - с. 179-183.

18. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики // Изд. Наука, М., 1970, 664с.

19. Ершов JI. В., Ивлев Д. Д., Романов А. Д. Об обобщениях решения JI. Прандтля о сжатии пластического слоя шероховатыми плитами // Сборн. «Соврем, пробл. мех. и авиации». М.,1962, - с. 137-144.

20. Ершов J1.B. О приближенном решении осесимметричных упруго пластических задач методом малого параметра // Пробл. мех. деф. тв. тел и горных пород. Сб. статей к 70-летию Ершова Л.В., 2002.

21. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности // Тверь, Изд-во ТГТУ, 2002, 300с.

22. Ильюшин А. А. Пластичность // Изд. АН СССР, 1963. 376с.

23. Ильюшин А. А. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхностям // Прикл. матем. и мех. 1954, т. 18, № 3. - с. 265-288.

24. Ильюшин А.А. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения // Прикл. матем. и мех. -1955, т. 19, № 6. с. 693-713.

25. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы теории пластического течения // Изв. АН СССР. 1958, № 2, с. 64-86.

26. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды // М., МГУ- 1978. 288с.

27. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности // М., Наука. 1966, - 231с.

28. Ивлев Д. Д., Ишлинский А.Ю., Максимова JI.A. О свойствах течений изотропной среды // Докл. РАН. 2000, 375, № 2., с. 191-194.

29. Ивлев Д. Д., Максимова JI.A. О плоских течениях идеально жесткопластической среды // Докл. РАН, 2000, 370, № 1, с. 43-45.

30. Кальменев А.А., Лукашкин Н.Д. Состояние теории расчета давления и усилия при холодной тонколистовой прокатке // Сталь., 2001., № 11, с. 44-47.

31. Капланова Е.В. Давление металла на валки при холодной круговой прокатке тонких дисков / / Захист металлургилних машин вл.д поломок. 2002., №6, с. 61-67.

32. Кийко И. А. Вариационный принцип в задачах течения тонкого слоя пластического вещества // ДАН СССР.- 1964, т. 157, № 3, с. 551-553.

33. Кийко И. А. Течение тонкого слоя пластического материала по упруго-деформируемым поверхностям // Инжен. журн. 1965, т. 5, вып. 2. - с. 372-375.

34. Кийко И. А. Точное решение одной задачи пластического течения в тонком слое по упругим поверхностям // ДАН СССР. 1965, т. 161, № 1. - с. 4042.

35. Кийко И. А. К теории пластического течения в тонком слое по деформируемым поверхностям // Изв. АН СССР, Мех. тв. тела. 1966, № 5, с. 123-126.

36. Кийко И.А. Теория пластического течения в тонком слое металла // Научн основы прогресс. техники и технологии. М., Машин-е, 1985. с. 102-133.

37. Кийко И.А., Морозов Н.А. Методы теории пластичности в ОМД // Сб. Пластическая деформация легких и спец. сплавов, М., Металлургия, 1971.

38. Кийко И. А., Кадымов В. А. Обобщение задачи J1. Прандтля о сжатии полосы // Вестник Моск. ун-та, Сер. Математика. Механика., 2003, № 4, с. 50-56.

39. Кийко И.А. Теория пластического течения // М., МГУ 1975, 75с.

40. Козлова О. В. Накопление деформаций при осесимметричном пластическом течении // Дальневост. мат. школа-семинар им. ак. Золотова Е.В., Владивосток, 2002, с. 79-80.

41. Качанов JI.M. Основы теории пластичности // М., Наука. 1969. - 420с.

42. Kachanov L.M. Foundations of the theory of plasticity // Amsterdam 1971/

43. Клюшников В.Д. Плоское установившееся течение жестко-пластического материала // Докл. АН СССР. 1988, 303, № 4. - с. 815-817.

44. Колмогоров B.J1. Механика обработки металлов давлением // Изд. УрГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2001.

45. Костарев И.В., Казьмин А.В. Исследование процесса штамповки деталей с ребрами жесткости // Изв. вузов. Машин-е. 1981, № 5. - с.114-116.

46. Костарев И.В., Баев Б.А. Использование положений теории течения тонкого пластического слоя дляпроектирования технологических процессов // Технология легких сплавов. 1979, № 7, - с.47-50.

47. Кадымов В. А. Некоторые задачи теории пластического течения // Изв. АН Азерб. ССР. 1981, № 3. -с. 45-52.

48. Кадымов В.А. Некоторые точные решения задач теории течения пластического вещества // В. сб. «Некот. вопр. матем. и механ.» М., МГУ - 1981. - с. 93.

49. Кадымов В.А., Чулафич 3. Метод и точные решения задач течения в тонком слое металла // Изв. АН Азерб. ССР. 1983, № 3. - с.50-55.

50. Кадымов В.А., Огибалов П.М. Некоторые основные аспекты теории течения металла // В сб. тр. XVI Югосл. симпоз. по теор. и прикл. механике. 1984 - бс.

51. Кадымов В.А., Огибалов П.М. К постановке и решению краевой задачи течения металла в тонком слое // Тез. докл. III Всесоюзн. конф. «Смешан, зад. мех. деф. тв. тела». Харьков. - 1985.

52. Кадымов В.А., Чулафич 3. Prikaz torije tecenja plasticnog materijala po povrsima I neki novi staticki problemi // Zb. radova sa III Jugoslav. Simpoz. iz teorije plasticnosti. Plitvicka. - 1983. - 13s.

53. Кадымов В. A. Beriicksichtigung des Einflussesfester Schmierstoffe bei Kontaktaufgaben der Umformtechnik // Technische Mechanik (Germany) , 10(1989)3. p. 178-182.

54. Кадымов В.А. Расчет пластических течений в тонком слое металла // Teorijska i primenjena mechanika (Белград). -1987, № 13, с. 55-63.

55. Кадымов В.А. К постановке и решению одного класса задач штамповки с учетом активного влияния промежуточной среды // В сб. «Исслед. в обл. теории, технол. и обор, штамп, пр-ва». Тула, 1990 - с. 22-31.

56. Кадымов В. А. Граничные уравнения теории обработки металлов давлением // Деп. в ВИНИТИ АН СССР. № 8284 В88. -18с.

57. Кадымов В. А. Нестационарные задачи течений в тонком пластическом слое // Дисс. докт. физ.-мат. наук. -Баку., Ин-т математики и механкики. 1994 - 226с.

58. Кадымов В. А. К решению задачи JI. Прандтля об осадке полосы из идеально-пластического материала // В сб. «Трехмерные зад. мех-ки структ.-неодн. сред». -Воронеж, 1991. с. 107-114.

59. Курант Р. Уравнения с частными производными // М., Мир. 1964. -830с.

60. Ломакин Е.В. Пластическое течение дилатирующей среды в условиях плоской деформации // Изв. РАН, Мех. тверд, тела, 2000, № 6, с. 58-68.

61. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести // М., Машин-е. 1975. - 400с.

62. Мохель А.Н., Салганик Р.Л. Тонкий идеальнопластичный слой с произвольным контуром, сжимаемый между жесткими плитами // Докл. АН СССР 1987, 293, № 4. - с. 809-813.

63. Мясищев А. А. Решение в рядах задачи о сжатии жесткопластического слоя шероховатыми плитами // Изв. вузов. Черн. металл-я. 1986, № 1, - с. 81-103.

64. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел // М., Ил. 1954. - 647с.

65. Непершин Р.И. Кинематически определимые плоского пластического течения жесткопластического тела // Пробл. мех. неупр. дефор. Сб. статей. К 70-летию Д.Д. Ивлева, М., Физматлит, 2001, с. 245-259.

66. Огибалов П.М., Кийко И.А., Кийко JI.K. Растекание тонкого пластического слоя // Прикл. механика. 1988, т. 24, № 10. - с. 88-94.

67. Огибалов П.М., Кийко И. А. задачи пластических течений // Инжен. журн. 1961, т.1, вып. 3. - с. 181184.

68. Огибалов П.М., Кийко И.А. Определение усилий штамповки и прессования некоторых элементов конструкций // В кн. «Расчеты процессов пласт, форм-я мет.», М., Мир,- 1962, с. 73-77.

69. Огородников В.А. Оценка деформируемости металлов при обработке давлением // Кузнечно-штамповое производство, 1977, э.З, с. 15-18.

70. Остсемин А.А. Обобщение решения задачи Прандтля о сжатии пластического слоя двумя шероховатыми плитами // Пробл. прочн. 1991, № 12. - с. 70-74.

71. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П. В. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М., Наука. - 1986.

72. Prandtl L. Anwendungsbeispiele zu einem Henckyschen satz iiberdas plastische Gleichgewicht //ZAMM/- 1923, № 3, p. 401-406.

73. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1 и 2 // М., Наука. 1970. - 536с. И 568с.

74. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике // М., Наука. 1967. - 4 68с.

75. Сегал В.М. Технологические задачи теории пластичности // Минск, Наука и техн. 1977 -253с.

76. Смиров-Аляев Г.А., Розенберг В.М. Теория пластических деформаций металлов // М.-Л., Машгиз. -1956. 367с.

77. Соколов Л.Д. Сопротивление материалов пластической деформации // М., Метал-я. 1963. - 284с.

78. Соколовский В. В. Теория пластичности // М., Высшая школа. 1969. - 608с.

79. Тарновский И.Я., Поздеев А.А. и др. Теория обработки металлов давлением // М., Металлургизд. 1963. - 672с.

80. Тарновский И.Я., Леванов А.Н., Посеваткин М.И. Контактные напряжения при пластической деформации // М., Металл-я. 1966. - 279с.

81. Толоконников Л.А., Маркин А. А. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Пробл. мех. деф. тв. тела, Калинин. 198 6. - с. 4 9-57.

82. Томленов А. Д. Теория пластического деформирования металлов // М., Металл-я. 1972. - 408с.

83. Толоконников Л. А., Пеньков В. Б. Некоторые эффективные решения задачи о скольжении металла в слое // Прикл. мех. 1990, 26, № 9. - с. 75-82.

84. Томсен Э., Янг К., Кобояши Ш. Механика пластических деформаций при обработке металлов // М., Машин-е. 1969. 503с.

85. Трикоми Ф. Интегральные уравнения // Изд. ИЛ, М., 1960, 300с.

86. Тутышкин Н.Д. Осадка полосы между плоскопараллельными плитами // Изв. вузов. Машин-е. -1982, № 5. с. 33-37.

87. Тутышкин Н.Д. Осесимметричное сжатие тонкослойного пластического материала // В сб. «Иссл. в обл. пласт, и обраб. мет. давлением». Тула, 1984. - с. 80-85.

88. Унксов Е.П. Инженерные методы расчета усилий при обработке металла давлением // М., Машгиз. 1955. -280с.

89. Унксов Е.П., Джонсон У., Колмогоров B.JI. и др. Теория пластических деформаций металлов // М., Машин-е. -1969. 503с.

90. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления // Изд. Наука, 1969, т. 2., 800с.