Потенциальное течение ограниченного объема жидкости со свободными границами: Линейная и нелинейная задачи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Беккер, Максим Владимирович

• Беккер, Максим Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Беккер, Максим Владимирович

Введение.

1. Постановка задачи о движении жидкости в полости твердого тела.

1.1 Уравнения задачи для неподвижной полости. Безразмерные переменные. Линеаризация. Собственные колебания.

1.2. Гидродинамические коэффициенты уравнений возмущенного движения твердого тела, содержащего жидкость.

1.3. Количественная оценка рассеивания энергии колебаний вследствие вязкости жидкости на основе решения линейной задачи.

2. Вариационный метод решения задачи и численно-аналитический вариант этого метода.

2.1. Вариационная формулировка задачи.

2.2. Метод Ритца.

2.3. Об устойчивости процесса Ритца.

2.4. Реализация численно-аналитического алгоритма решения вариационной задачи.

2.5. Расчетные формулы для элементов матриц в случае сферической полости.

2.6. Вычисление собственных значений.

3. Результаты решения линейных задач.

3.1. Нахождение потенциала скорости жидкости.

3.2. Гидродинамические коэффициенты и коэффициенты демпфирования.

4. Свободные периодические нелинейные колебания жидкости.

4.1. Уравнения нелинейной задачи. Граничные условия.

4.2. Потенциал скорости нелинейных колебаний жидкости.

4.3. Построение кинематической поверхности жидкости для случая, когда потенциал состоит из одной гармоники.

4.4. Определение кинематической поверхности жидкости с учетом сопровождающих членов потенциала скорости.

4.5. Динамическая и свободная поверхность жидкости.

4.6. Нахождение коэффициентов Вк1.

4.7. Зависимость частоты колебаний от амплитуды и глубины.

4.8. Численное решение нелинейной задачи для некритической глубины жидкости.

4.9. Расчет коэффициентов нелинейных уравнений движения жидкости по методу Г.С. Нариманова.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Потенциальное течение ограниченного объема жидкости со свободными границами: Линейная и нелинейная задачи»

Диссертация посвящена применению вариационных методов в задаче о потенциальном течении жидкости в полости неподвижного сосуда как важнейшей составляющей численного исследования динамики жидконаполненных конструкций, включая вопросы применимости результатов численного решения задач линейной теории для решения задач о немалых (нелинейных) колебаниях жидкости и расчетов гидродинамических коэффициентов.

Актуальность темы диссертации. Задача о движении жидкости в полости твердого тела привлекла внимание исследователей еще в XIX веке. С тех пор интерес к этой области гидродинамики только возрастает, в основном, из-за огромного количества технических задач, решение которых невозможно без учета качественной картины и количественных оценок процесса взаимодействия движущейся жидкости с твердыми или упругими поверхностями содержащего ее сосуда. В частности, заключение о динамической устойчивости и прочности летательного аппарата (ЛА) невозможно без исследования движения жидкого топлива в топливных баках и магистралях ЛА. Большой интерес подобные исследования представляют и для судовождения, задач гидротехники и геофизики.

Уже при первых запусках отечественных ракет Р1 на активном участке траектории были замечены незатухающие колебания корпуса с частотой порядка 1Гц. Как было выяснено, причиной этих колебаний являлись колебания жидкого топлива в баках ракет. Частота колебаний корпуса соответствует частотам низших тонов колебаний жидкости. Современная ракета с жидкостными реактивными двигателями (ЖРД) представляет собой систему, основную часть которой составляют жидкие массы топлива и окислителя. Поэтому вопросы взаимодействия корпуса объекта с жидкостью на его борту представляют большой интерес при разработке новых образцов ракетной, авиационной и космической техники. Эти вопросы требуют решения задач динамики твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью.

Появление новых задач в ракетной и космической отраслях, увеличение мощности ЖРД и другие факторы требуют учета нелинейных свойств колебаний жидкости. Все это определяет актуальность темы диссертационного исследования.

Цель работы состоит в разработке и реализации алгоритма, основанного на вариационных методах и позволяющего получать высокоточные решения линейных задач, в том числе и для высших тонов колебаний, для полостей в форме тел вращения и использовании полученных решений для решения задач о присоединенных массах (коэффициенты уравнений возмущенного движения твердого тела с полостью, содержащей жидкость), о нахождении коэффициентов демпфирования, о нелинейных периодических колебаниях жидкости, о движении жидкости в полости сосуда, совершающего заданное движение. При этом не ставилась цель исчерпывающего решения этих задач. Выяснялись лишь основные моменты применимости численных результатов линейной теории для решения всех перечисленных задач.

Научная новизна работы:

1. Разработан и реализован оригинальный алгоритм численно-аналитического варианта вариационного метода Ритца, позволяющий получать решения линейной задачи для полостей различной формы. Непосредственная проверка показала устойчивость численных расчетов для широкого спектра параметров задачи. Полученные решения являются более точными, чем полученные до сих пор.

2. Рассчитаны гидродинамические коэффициенты и коэффициенты демпфирования в полостях вращения, в том числе для высших тонов колебаний.

3. Методом малого параметра получено решение задачи о периодических нелинейных колебаниях жидкости для полостей в форме цилиндра с прямым и сферическим дном с использованием в качестве базовых решений соответствующих линейных задач.

4. Рассчитаны коэффициенты нелинейных уравнений движения жидкости по методу Г.С. Нариманова для полости в форме цилиндра со сферическим дном. Для прямого кругового цилиндра эти коэффициенты рассчитаны с точностью аналитического решения.

Достоверность представленных результатов обеспечивается применением проверенных численных схем и сравнением результатов расчета с экспериментальными и расчетными данными других авторов, проверкой выполнения основных законов механики.

Практическая ценность. Составленный и отлаженный комплекс программ для расчета решений линейных задач, гидродинамических коэффициентов и коэффициентов демпфирования колебаний может использоваться на практике для полостей различной формы (сфера, цилиндр, конус и их комбинации). Программа расчета коэффициентов уравнений движения жидкости в полости подвижного твердого тела по методу Г.С. Нариманова может использоваться при решении задачи о вынужденных колебаниях жидкости в осесимметричных сосудах, образующая которых вблизи линии трехфазного контакта (ЛТК) вертикальна.

На защиту выносятся следующие положения диссертационной работы:

1. Алгоритм и программа реализации численно-аналитического варианта вариационного метода Ритца высокоточного собственных колебаний жидкости в полостях сложной формы в том числе высших тонов.

2. Алгоритмы и результаты расчета задач линейной и нелинейной теории.

Одной из первых работ, в которой рассматривается задача о колебаниях тяжелой идеальной несжимаемой жидкости в твердом сосуде, по-видимому, является статья М.В. Остроградского «Мемуар о распространении волн в цилиндрическом бассейне», датированная 1826 годом. В ней эта задача решена методом Фурье-разделения переменных, причем решение получено в виде определенных интегралов, являющихся по современным представлениям функциями Бесселя.

Позднее в этой области работали Стоке (работы 1842-1847 гг.), Гельмгольц, Рэлей, Кельвин, Нейман, Ламб. Названия их работ и, частично, содержание приводятся в фундаментальной работе Ламба [22], до сих пор не потерявшей своего значения. Однако, первое полное исследование задачи о движении твердого тела, полость которого целиком заполнена идеальной несжимаемой жидкостью принадлежит Жуковскому Н.Е. (1885 г., [26]). Им показано, в частности, что в исследованиях движения такой механической системы в поле потенциальных сил жидкость можно заменить эквивалентным твердым телом. Таким образом, хотя поведение жидкости в полости описывается уравнениями сплошной среды в частных производных, рассматриваемая механическая система имеет то же число степеней свободы, что и твердое тело [26].

Задача о движении твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью значительно более сложна за счет способности свободной поверхности жидкости деформироваться достаточно произвольно, такая механическая система имеет бесконечное число степеней свободы.

Соответствующие теоретические исследования получили бурное развитие в 50-е годы XX века в связи с разработкой все более совершенных объектов аэрокосмической техники, использующих жидкостные реактивные двигатели (ЖРД). В работах отечественных ученых, прежде всего JI.H. Сретенского [45,46,47], Г.С. Нариманова [29,37], H.H. Моисеева [3,27,36], Б.И. Рабиновича [1,23,48], Ф.Л. Черноусько [49,50] и других, были созданы математические модели движения твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью и изучены принципиальные аспекты проблемы, включая разработку методов ее решения. Практически одновременно, теми же путями проводились аналогичные исследования и зарубежными учеными [32,40]. Наибольший прогресс достигнут при решении задач линейной теории динамического взаимодействия твердого тела и жидкости, когда движения частиц жидкости обладает потенциалом скоростей. Задачи линейной теории наиболее просты для математического анализа и опираются на фундаментальные результаты Н.Е. Жуковского при построении потенциала скоростей частиц жидкости в перемещающемся сосуде. Существу решаемых технических задач на начальных этапах развития ракетной техники вполне соответствовала именно линейная теория движения: сами задачи не предполагали, а энерговооруженность первых ракет не допускала выполнения «энергичных» маневров на траектории, сопровождающихся значительными отклонениями свободной поверхности с достаточно большими скоростями от ее равновесного положения на старте, что вызывает необходимость применения нелинейной теории. Линейной теории посвящены многочисленные публикации, прежде всего, монографии H.H. Моисеева и В.В. Румянцева [27], Г.Н. Микишева и Б.И. Рабиновича [1]. В этих работах приведена и обширная библиография. Развитие линейной теории движения тела с полостями, содержащими жидкость, за последние десятилетия можно проследить в ряде работ Б.И. Рабиновича, Г.С. Нариманова, И.А. Луковского, И.Б. Богоряда, И.А. Дружинина, Э.Е. Либина, Л.В. Докучаева и других авторов [11, 30, 1, 34, 27, 3, 29, 23, 28, 32, 12, 24, 25].

Применение описываемой теории в инженерных задачах, связанных с динамикой объектов аэрокосмической техники, всегда предполагает решение вопроса об определении гидродинамических коэффициентов соответствующих уравнений движения. Это, в свою очередь, связано с разработкой в определенной степени универсальных методов решения краевых задач описывающих движение системы «тело-жидкость» для полостей произвольной формы.

Такими, в частности, являются вариационные методы, позволяющие учесть геометрию полостей довольно сложной формы и получить для них численные оценки с удовлетворительной точностью. Теоретической основой метода служит то, что уравнения движения рассматриваемых механических систем могут быть получены как уравнения Эйлера для функционала действия по Гамильтону [22] в евклидовом конфигурационном пространстве. Соответственно, задачу интегрирования исходных уравнений можно заменить эквивалентной вариационной задачей о поиске функции, сообщающей наименьшее значение функционалу действия. В свою очередь, вариационная задача может быть решена вариационными методами, которые предполагают представление искомого решения в виде линейной комбинации конечного числа функций из системы, обладающей полнотой в рассматриваемой области (в виде отрезка обобщенного ряда Фурье по элементам координатной системы) [4]. Коэффициенты ряда вычисляются из системы линейных алгебраических уравнений, представляющих собой необходимые и достаточные условия минимальности, в общем случае-стационарности, значения функционала. Такой подход имеет не только важное прикладное значение, но и определенные теоретическое достоинства, например, строгое обоснование необходимости и достаточности решаемых уравнений и граничных условий в математической постановке задачи.

До сих пор речь шла о линейных задачах, т.е., строго говоря, о колебаниях с бесконечно малой амплитудой. Результаты сравнения многочисленных теоретических и экспериментальных данных, полученных для различных форм полостей, полностью подтвердили достоверность постановки задачи и уравнений возмущенного движения, а, следовательно, и правомерность сделанных при их выводе допущений. Однако, оставались открытыми вопросы, связанные с обоснованием границ применимости линейной теории. Эта теория противоречит опыту, если в процессе движения амплитуда колебаний жидкости начинают существенно возрастать. Практический интерес рассмотрения колебаний жидкости с большими отклонениями свободной поверхности привлек внимание экспериментаторов как при оценке границ применимости линейной теории, так и при определении свойств немалых (нелинейных) колебаний жидкости.

Экспериментально была установлена для нелинейных колебаний зависимость частоты от амплитуды, ограниченность амплитуды колебаний жидкости в резонансном режиме [1]. Волны на поверхности колеблющейся с немалой амплитудой жидкости не имеют неподвижных узловых линий, свободная поверхность никогда не бывает плоской, а профиль волны становится асимметричным: высота горба превышает глубину со временем образующейся вместо него впадины. При определенных амплитудах и частотах возмущающей силы возникает своеобразное вращение свободной поверхности жидкости вокруг продольной оси полости, поперечное сечение которой может быть не только круговым, но и прямоугольным. Последнее явление названо круговой волной и связано с потерей динамической устойчивости свободной поверхности жидкости в некотором диапазоне параметров возмущающей силы и возникновению качественно новых видов деформации свободной поверхности, приводящих к ее пространственному движению. Все перечисленные выше нелинейные эффекты начинают проявляться с амплитуд, превышающих 0.25 радиуса свободной поверхности, а линейная теория в общем случае верна примерно до амплитуд, равных 0.15 радиуса свободной поверхности [29].

Строго математически нелинейные краевые задач динамики ограниченного объема жидкости мало изучены; чрезвычайно редки публикации их точных решений; известные найдены для весьма частных случаев. В нелинейной постановке задача существенно усложняется главным образом из-за больших математических трудностей определения потенциала скорости жидкости в эволюционирующей во времени области, свободная часть границы которой заранее неизвестна. Наиболее существенные результаты получены с помощью метода Ляпунова-Пуанкаре разложением решения в ряд по малому параметру. В различных модификациях метод малого параметра был применен H.H. Моисеевым [36], Г.С. Наримановым [37], И.А. Луковским [30,31], Э.Е. Либиным [25] и др.

В первом разделе диссертации описаны общая (нелинейная) постановка задачи в эйлеровых переменных и ее линейное приближение, приведены расчетные формулы для гидродинамических коэффициентов жидкости в полости подвижного сосуда, а также для коэффициентов демпфирования, полученных в приближении теории ламинарного пограничного слоя [1,24].

Для решения линейной задачи о собственных колебаниях применяется смешанный численно-аналитический вариант вариационного метода, который описывается во втором разделе диссертации. Суть его реализации на ЭВМ заключается в применении на первых этапах расчета (расчет элементов рабочих матриц, преобразование исходной обобщенной проблемы собственных значений к проблеме собственных значений симметричной матрицы) аналитических выкладок и арифметики простых дробей и на последующих этапах (приведение матриц к трехдиагональной форме, расчет собственных значений матрицы методом деления пополам, определение собственных векторов исходного пучка) вычислений в арифметике с плавающей запятой с увеличенной длиной мантиссы. Практика применения алгоритма доказала его высокую эффективность, устойчивость при расчете частот и форм собственных колебаний в сосудах канонической формы (сфера, цилиндр, конус) даже при малой глубине жидкости-общепризнанно неблагоприятном в смысле устойчивости счета случае.

В третьем разделе этот алгоритм используется для расчета собственных частот и форм колебаний в жестких сосудах сферической и цилиндрической формы, в том числе для сосудов, являющихся комбинацией центральной цилиндрической части и сферических дна и крышки. Различные по качеству решения задачи о взаимодействии сферического сосуда с жидкостью известны сравнительно давно.

Сопоставление численных результатов для сосудов достаточно произвольной формы и проведенное в [1] сравнение их с экспериментальными данными доказывает, что наиболее точное решение задачи позволяют получить вариационные методы (конечно, когда не существует аналитического решения). Тем очевиднее необходимость увеличения устойчивости и уменьшения совокупных ошибок численных процессов их реализации. Это позволит не только определить частоту основного тона с гарантированной точностью, но и рассчитать с приемлемой для практики точностью высшие частоты и формы собственных колебаний. Уточнение форм и высших частот колебаний приобрело особое практическое значение при создании новой техники, резком усложнении решаемых задач, требующих учета нелинейного характера движения и реальных свойств жидкости (вязкости, поверхностного натяжения и т.д.). Сопоставление полученных результатов для сферического сосуда с уже известными [2], [12], а для цилиндрического с результатами точного решения, позволяет говорить об их совпадении с определенной точностью, как по частоте, так и по форме колебаний жидкости. Кроме того, в третьем разделе приведены результаты расчетов гидродинамических коэффициентов и коэффициентов демпфирования для полостей разной формы.

Четвертый раздел диссертации посвящен исследованию периодических нелинейных колебаний жидкости. Для получения основных характеристик нелинейного течения жидкости используется метод малого параметра сходный с методом, изложенным в [25]. В качестве малого параметра используется безразмерная амплитуда потенциала скорости. Центральным моментом в применении метода малого параметра является решение соответствующей линейной задачи в виде, удобном для дальнейших преобразований. В [25] указывается, что таким является только аналитическое решение линейной задачи. Однако, таковое известно для весьма небольшого числа полостей. Тем не менее, как показано в третьем разделе настоящей диссертации, полученные с помощью алгоритма, изложенного во втором разделе, приближенные решения линейной задачи качественно и, что не менее важно, количественно стремятся к аналитическим решениям (т.е. повторяют их свойства) при увеличении точности этих приближенных решений. Важно, что не было обнаружено неустойчивости при увеличении длины минимизирующего ряда приближенного решения линейной задачи при весьма широком варьировании параметров задачи (формы полости, номера мод и тонов, глубины заполнения сосуда и т.д.). Все это позволило

14 использовать приближенные, но высокоточные, а не аналитические решения линейных задач в качестве базиса для построения решения задачи о нелинейных колебаниях жидкости. Получены формулы, определяющие форму свободной поверхности при нелинейных колебаниях, а также зависимость частоты нелинейных колебаний от глубины жидкости и амплитуды колебаний. Приводятся результаты решения задачи о нелинейных периодических колебаниях для полостей в форме кругового цилиндра (как тестовая) с плоским горизонтальным дном и цилиндра со сферическим дном. Проводится сравнение полученных результатов с уже известными [25], [40].

Основные результаты работы докладывались на Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 1998 г.) и на V Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых «Механика летательных аппаратов и современные материалы» (Томск, 1998 г.).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [34,35,38,39,51].

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Беккер, Максим Владимирович

Заключение.

Главными результатами представленного исследования являются:

1. Разработан оригинальный численно-аналитический алгоритм решения вариационным методом Ритца линейной задачи о колебаниях идеальной несжимаемой жидкости в полости сосуда осесимметричной формы с различными образующими. Алгоритм отличает высокая точность определения частот и форм собственных колебаний жидкости, высокая устойчивость даже для малых глубин заполнения. Так при увеличении длины отрезка ряда, приближающего решение до 80 функций срыва численного процесса не обнаружено. В более ранних работах, посвященных этой теме, неустойчивость наступала при гораздо меньшем (-10) количестве координатных функций.

2. С использованием численно-аналитического алгоритма разработано математическое обеспечение для расчета первых 6-10 собственных частот и форм колебаний жидкости в осесимметричных сосудах. При этом, в отличие от известных работ достигнута поточечная (равномерная), а не в среднем сходимость процесса Ритца. Этот результат позволяет не только рассчитывать с высокой точностью коэффициенты линейного приближения уравнений возмущенного движения летательных аппаратов, с учетом высших гармоник, но и численно получать достаточный набор собственных функций для сосудов вращения сложной формы с целью анализа нелинейных колебаний.

3. Решена с применением численно-аналитического алгоритма задача о нелинейных периодических колебаниях жидкости, частично заполняющей сосуд вращения. В отличие от известных

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Беккер, Максим Владимирович, 2001 год

1. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью - Машиностроение, М., 1968.

2. Богоряд И.Б. К решению задачи о колебаниях жидкости, частично заполняющей полость вариационным методом- ПММ т. XXVI вып.6, 1962.

3. Моисеев Н.Н, Петров А.А Численные методы расчета собственныхчастот колебаний ограниченного объема жидкости изд-во ВЦ АН СССР, 1966.

4. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике Наука, М., 1970.

5. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов Наука, М., 1966.

6. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений-Наука, М., 1970.

7. Уилкинсон Дж.Х., Райнш Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра-Машиностроение, М., 1976.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц Наука, М., 1967.

9. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры Наука, М., 1977.

10. Рыжик И.М., Градштейн И.С. Таблицы интегралов, рядов, сумм и произведений-ГИТТЛ, М., 1951.

11. Богоряд И.Б. и др. Введение в динамику сосудов с жидкостью-Томск, Изд-во ТГУ, Томск, 1977.

12. Стажков Е.В. Быстросходящийся метод, обусловленный выбором оптимального положения начала координат, в задаче о собственных колебания- Тр. III семинара «Динамика упр. и тв. тел, взаимодейств, с жидкостью», изд-во ТГУ, Томск, 1978.

13. Шмаков В.П. К вычислению собственных колебаний жидкости в неподвижных сосудах Тр. III семинара «Динамика упр. и тв. тел, взаимодейств, с жидкостью», изд-во ТГУ, Томск, 1978.

14. Moler С.В., Stewart G.W. An algorithm for generalized matrix eigenvalue problems SIAM journal on Numerical Analysis. Vol. 10, No 22. April, 1973.

15. Ward R.C. The combination shift QZ algorithm- SIAM journal on Numerical Analysis. Vol. 12, No 4. December, 1972.

16. Годунов C.K., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах.-Новосибирск, ВО «Наука», 1992.

17. Годунов С.К., Костин В.И., Митченко А.Д. Вычисление собственного вектора симметричной трехдиагональной матрицы-Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1983.

18. Митченко А. Д. Алгоритмы исчерпывания трехдиагональных симметричных и двухдиагональных матриц Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1984.

19. Митченко А.Д. Учет вычислительных погрешностей в алгоритме исчерпывания симметричной трехдиагональной матрицы.-Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1984.

20. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений.- Новосибирск, ВО «Наука», 1980.

21. Ламб Г. Гидродинамика.-М.: Гостехиздат, 1947.

22. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов.-М.: Машиностроение, 1975.

23. Богоряд И.Б. Колебания вязкой жидкости в полости твердого тела-Томск: Изд-во Томского государственного университета, 1999.

24. Либин Э.Е. Свободные периодические колебания жидкости в цилиндрическом сосуде при амплитудах, близких к предельным.-Сб. «Динамика упругих и твердых тел взаимодействующих с жидкостью» (Труды семинара). Изд. ТГУ, Томск, 1972.

25. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Собр. соч., т. 2, вып. 1,М.-ГНТИ, 1931.

26. Моисеев H.H. Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость.-М., Наука, 1965.

27. Фещенко С.Ф., Луковский И.А., Рабинович Б.И., Докучаев Л.В. Методы расчета присоединенных масс жидкости в подвижных полостях.-Киев, «Hayкова думка», 1969.

28. Нариманов Г.С., Докучаев Л.В., Луковский И.А. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью.-М., Машиностроение, 1977.

29. Луковский И.А. Нелинейные колебания жидкости в сосудах сложной геометрической формы.-Киев, «Наукова думка», 1975.

30. Луковский И.А. Приближенный метод решения нелинейных задач динамики жидкости в сосуде, совершающем заданное движение-Прикладная механика, 1981, 17, №2 с. 89-96.

31. Abramson H.N. The dynamic behavior of liquids in moving containersWashington, NASA SP-106, 1966.

32. Барняк М.Я., Луковский И.А., Швец Г.А. Численная реализация вариационного метода решения задачи о собственных колебанияхжидкости в сосуде.-В кн.: Динамика и устойчивость управляемых систем. Киев, Ин-т математики АН УССР, 1979.

33. Беккер М.В., Дружинин И.А. Собственные колебания жидкости в полости сферической формы. Численно-аналитический вариант вариационного метода. // Изв. РАН. ЖВМ и МФ, 2000, Т. 40, №4.

34. Моисеев H.H. К теории нелинейных колебаний ограниченного объема жидкости. ПММ, 1958, т. 22, вып. 5.

35. Нариманов Г.С. О движении сосуда, частично заполненного жидкостью, учет немалости движения последней. ПММ, 1957, т. 21, вып. 4.

36. Mack L.R. Periodic finite amplitude axisymmetric gravity waves-Journal of Geophysical Research, 1962, 67, p.823-843.

37. Луковский И.А., Барняк М.Я., Комаренко А.Н. Приближенные методы решения задач динамики ограниченного объема жидкости.-Киев, «Наукова думка», 1984.

38. Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тела с жидкостью.-Сб. статей. М.: ВЦ АН СССР, 1962.-247 с.

39. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.-Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.-255 с.

40. Lawrence H.R., Wang С.J., Reddy R.B. Variational solution of fuel sloshing modes-Jet Propaltion, 1958, vol. 28, №11, p. 729-736.

41. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости.-М.-Л., ГОНТИ, 1936.

42. Сретенский Л.Н. О волнах на поверхности жидкости.-«Труды ЦАГИ», № 541, 1941.

43. Сретенский Л.Н. Колебания жидкости в подвижном сосуде-«Известия АН СССР, ОТН», №10, 1951.

44. Рабинович Б.И. Об уравнениях возмущенного движения твердого тела с цилиндрической полостью, частично заполненной жидкостью.-ПММ, 1956, т. XX, вып. 1, с. 39-50.

45. Черноусько Ф.Л. О движении тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью ПММ, 1966, т. XXX, вып. 6, с 977992.

46. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими жидкость.-ВЦ АН СССР, 1968.

47. Беккер М.В., Богоряд И.Б., Дружинин И.А. К решению задачи о периодических нелинейных колебаниях жидкости в полости вращения. // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики. Вып. 4,-Томск: Изд-во Том. ун-та, Томск, 2000.

48. Луковский И.А. Нелинейные колебания жидкости в сосудах сложной геометрической формы.-Киев: «Наукова думка», 1975.