Построение траекторий и моделирование движения летательного аппарата в среде с препятствиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Лю Вэй

• Лю Вэй
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Лю Вэй

Введение

Глава 1. Планирование траекторий беспилотного летательного аппарата

1.1. Автономное управление

1.2. Методы планирования пути

1.3. Методы сглаживания пути

1.4. Стабилизация движения БПЛА вдоль заданной траектории

1.5. Постановка задачи

Выводы по первой главе

Глава 2. Построение пути БПЛА в пространстве

2.1. Моделирование окружающей среды

2.2. Планирование пути в трехмерной среде с препятствиями

2.2.1. Алгоритм волнового распространения

2.2.2. Поиск пути в графе

2.2.3. Сравнение подходов генерирования путевых точек

2.3. Сглаживание ломаной линии в среде с препятствиями

2.3.1. Методы сглаживания ломаной в сочленениях

2.3.2. Редукция ломаной

2.3.3. Выбор параметра сглаживания

2.4. Пример решения задачи планирования пути

Выводы по второй главе

Глава 3. Задача следования вдоль заданного пути

3.1. Элементы теории нормальных форм

3.2. Модель движения БПЛА в задачах построения траекторий

3.2.1. Используемые системы координат

3.2.2. Динамическая модель движения БПЛА в пространстве

3.3. Задача следования на плоскости

3.3.1. Движение с постоянной скоростью

Стр

3.3.2. Движение с непостоянной скоростью

3.3.3. Пример решения задачи

3.4. Задача следования вдоль пути в пространстве

3.4.1. Метод проекции на плоскость

3.4.2. Метод на основе базиса Бишопа

3.4.3. Пример решения задачи

Выводы по третьей главе

Глава 4. Моделирование полетов БПЛА в среде с препятствиями

4.1. Программный комплекс

4.2. Функциональные модули программного комплекса

4.2.1. Модуль построения окружающей среды

4.2.2. Модуль планирования пути

4.2.3. Модуль сглаживания пути

4.2.4. Модуль следования вдоль заданного пути

4.2.5. Модуль визуализации

4.3. Моделирование миссий БПЛА с помощью программного комплекса

Выводы по четвертой главе

Основные выводы и заключение

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение траекторий и моделирование движения летательного аппарата в среде с препятствиями»

ВВЕДЕНИЕ

Сегодня беспилотные летательные аппараты (БПЛА) играют важную роль во многих областях человеческой деятельности, как гражданских, так и военных и космических. БПЛА отличается от самолетов (или других пилотируемых летательных аппаратов) тем, что у него нет пилота на борту. Его движение обеспечивается: а) с помощью дистанционного управления, при котором функционированием БПЛА управляет оператор на наземной станции; б) автономным способом на основе заранее подготовленных планов полета; в) с помощью более сложной динамической системы автоматизации (беспилотной авиационной системы).

БПЛА имеют серьезное преимущество. Применение таких аппаратов в военной сфере или в гражданской в сложных погодных и географических условиях сохраняет человеческие жизни, так как в нештатной ситуации теряется только сам аппарат. Беспилотный аппарат способен выполнять более сложные маневры, которые могут быть опасны для человека. Эксплуатационные расходы на беспилотные аппараты могут быть ниже, так как не включают дорого -стоящую подготовку высококвалифицированных пилотов и других членов экипажа [1].

По своей сути БПЛА — это летающий робот, который может использоваться для решения самых разных задач. Он может применяться в различных гражданских областях, например в прогнозировании погоды, экологических исследованиях, поисково-спасательных миссиях, наблюдениях за лесными пожарами, управлении дорожным движением. В подобных задачах применяют дистанционное управление. Однако дистанционное управление сильно зависит от качества связи и в чистом виде малоэффективно. Требуется повышение автономности функционирования БПЛА, означающей, что БПЛА часть миссии может выполнять самостоятельно на основе информации, которая поступает от его датчиков. Автономное управление БПЛА охватывает следующие области:

фьюжн-датчики, коммуникация, планирование пути, генерация траекторий, распределение задач и тактики сотрудничества [2].

В диссертационной работе рассматриваются вопросы планирования пути и генерации траекторий. Задача планирования пути решается на основе информации об окружающей среде [3]. Эта информация может готовиться заранее на наземной станции, или приниматься в режиме реального времени с помощью датчиков на борту БПЛА. Здесь возникает сложная задача идентификации окружающей среды по результатам обработки информации с датчиков. В данной работе задача идентификации не рассматривается: считается, что описание окружающей среды известно. Кроме того, предполагается, что окружающая среда статическая, т.е. не содержит движущиеся или каким-то другим образом изменяющиеся объекты. Рассматривается простой случай препятствий, которые являются прямоугольными параллелепипедами, расставленными по горизонтальной плоскости. Это значительно упрощает описание окружающей среды, а также условия столкновений с препятствиями.

Задаче планирования пути посвящено много исследований и предложено много подходов к ее постановке и решению. Все соответствующие методы в зависимости от полноты информации об окружающей среде можно разделить на две больших группы: методы с полной информацией (в таком случае говорят о глобальном планировании пути) и методы с неполной информацией (обычно речь идет о знании обстановки в непосредственной близости от робота, в этом случае речь идет о локальном планировании пути). Глобальное планирование пути выполняется, как правило, до выполнения миссии робота. При таком планировании используют всю информацию об объектах окружающей среды, чтобы построить путь от начальной точки до целевой. При этом обрабатывается значительный объем информации, а процесс вычисления трудоемкий, но при этом открывается возможность выбора пути, оптимального в том или ином смысле. Локальное планирование менее трудоемкое и может выполняться в

режиме реального времени, возможно, на борту БПЛА, но при этом оптимальность пути не достигается, обеспечивается лишь безопасность движения робота (т.е. уход от столкновений с препятствиями). При локальном планировании используются данные о текущем состоянии окружающей среды и, как правило, в некоторой окрестности положения робота.

Задача планирования пути в сложной окружающей среде может решаться как оптимизационная задача [4, 5]. Для этого движение объекта надо представить в рамках той или иной модели в виде динамической системы. Препятствия будут описываться некоторыми ограничениями, а качество допустимой траектории должно оцениваться некоторым функционалом. В результате возникает задача оптимального управления, которая не только обеспечивает траекторию объекта в обход препятствий, но и позволяет выбрать в некотором смысле лучший вариант, например, по скорости прохождения, по энергетической эффективности и т.д. Следует отметить, что оптимальное планирование траектории — это задача другого класса [6], нежели задача простого планирования. Решение первой — заметно более трудоемкое, чем решение второй. Классические методы оптимального управления основаны на нетривиальных аналитических вычислениях. Поэтому подход, основанный на оптимальном управлении, эффективен для простых, в частности, линейных систем, а для сложных нелинейных систем его реализовать сложно.

Задача планирования пути и связанные задачи решались многими исследователями для разных типов транспортных средств — манипуляторов, наземных и летательных роботов. Во всех случаях важны критерии оценки методов планирования пути, в качестве которых обычно используют: трудоемкость, длину построенного пути и полноту метода. Алгоритм планирования пути, требующий малое время вычислений, жизненно важен в бортовых комплексах, которые работают в режиме реального времени. Этот критерий особенно желателен в условиях динамической среды, так как важно, чтобы БПЛА

быстро реагировал на изменения окружающей среды. Критерий длины пути направлен на сокращение времени полета, что приводит к сокращению потребляемых ресурсов (например, топлива или электроэнергии), а также к снижению всевозможных рисков. Метод планирования пути удовлетворяет критерию полноты, если он позволяет найти возможный путь, если такой путь существует. Существуют и другие критерии оценки методов планирования пути. Критерий может носить компромиссный характер, но в любой конкретной задаче такие критерии должны быть рассмотрены, и должен быть выбран тот, который отвечает особенностям рассматриваемой задачи.

Спланированный путь фактически представляет собой последовательность положений в пространстве, который БПЛА может достичь. Скорость движения робота вдоль построенного пути — это отдельный вопрос. Понятие «путь» мы разделяем с понятием «траектория». Траекторию можно рассматривать как путь с профилем скорости вдоль него. Таким образом, задача планирования пути оказывается чисто геометрической, поскольку в ней нет учета какого-либо закона времени движения. В то же время, для реализации движения вдоль построенного пути необходимо задать скорость перемещения вдоль этого пути, т.е. преобразовать путь в траекторию. Поэтому построение траекторий можно интерпретировать как двухэтапный процесс: планирование пути и планирование профиля скорости.

Конечно, желательно, чтобы БПЛА были более интеллектуальными и выполняли свои миссии с высокой степенью автономии. При этом желательно, чтобы траектория полета вычислялась во время движения, позволяя роботу реагировать на изменения в окружающей среде и успешно нивелировать любые погрешности, возникающие во время полета. Однако при существующих технологиях такой подход трудно реализовать, поскольку ограниченные вычислительные ресурсы на борту БПЛА не позволяют достаточно быстро решать сложную задачу планирования и управления движением. В результате сфор-

мировались два подхода к планированию движения: при оффлайн-планиро-вании траектория строится перед началом движения БПЛА; при онлайн-плани-ровании траектория строится последовательно, частями или ранее построенная траектория корректируется в процессе движения.

Методы для решения задачи планирования пути в двумерном случае разработаны достаточно детально. Они были успешно применены в таких практических задачах, как автоматическое вождение, складская обработка и т.д. Эти методы строятся на основе графов и деревьев [7, 8, 9], бионического интеллекта [10, 11], потенциальных полей [12, 13] и т. д. Однако для БПЛА планирование пути должно выполняться в трехмерном пространстве. Это более сложная задача, чем планирование пути в двумерном случае и проработана не так тщательно. Поэтому задача планирования пути в пространстве является актуальной проблемой. В данной работе для ее решения используется вариант метода вероятностной дорожной карты.

Спланированный путь должен удовлетворять не только ограничениям окружающей среды, но и ограничениям, характерным для неголономных систем. Так, робот не может изменять скорость мгновенно. Колесный робот не может двигаться в боковом направлении без проскальзывания, угол поворота передних колес и скорость их вращения также ограничены. Аналогичные ограничения имеются и у БПЛА, например, для некоторых БПЛА трудно реализовать остановку для поворота. Эти требования означают, в частности, что путь должен быть гладкой кривой класса С2. Могут быть и другие ограничения, например, непрерывное изменение кривизны кривой. Такое требование равносильно гладкости кривой класса С3. На кривизну могут накладываться дополнительные ограничения: ограниченный диапазон изменения к < ктах = 1 /Ят1П, отсутствие участков нулевой кривизны и т.п.

Решение задачи планирования пути недостаточно для выполнения миссии БПЛА, необходимо также учесть скорость перемещения вдоль пути, а глав-

ное — на основании построенного пути и скорости перемещения вдоль него нужно рассчитать управляющие воздействия, т.е. решить задачу следования вдоль пути. Управляющие воздействия должны быть рассчитаны так, чтобы компенсировать возможные отклонения БПЛА от построенного пути, т.е. управление должно быть стабилизирующим. Вследствие этого задачу следования вдоль пути мы также называем задачей путевой стабилизации (path following problem) [14, 15]. Задача путевой стабилизации отличается от задачи траекторной стабилизации (trajectory tracking [16, 17]) тем, что стабилизирующие свойства управления не распространяются на скорость движения вдоль пути [18].

Задача следования вдоль пути может решаться разными методами [19]. В кинематической постановке возможен геометрический подход, в основе которого лежит преследование некоторой точки на пути, например, чистое слежение [20] и линия визирования (line of sight) [21]. В рамках теории управления задача может решаться путем преобразования уравнений движения к специальному виду и применения концепции обратных задач динамики. В настоящей работе применяется именно этот подход.

Цели и задачи. Целью диссертационной работы является автоматическое построение траекторий БПЛА в среде с препятствиями.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Проведен анализ существующих методов решения задач планирования пути, сглаживания и следования вдоль пути.

2. Проведен анализ методов моделирования трехмерной окружающей среды.

3. Разработан новый алгоритм планирования допустимого пути в трехмерной среде с препятствиями.

4. Проведен анализ методов сглаживания пути, представленного последовательностью путевых точек и выбраны методы для решения задачи в рамках данной работы.

5. Разработаны методы следования вдоль пути на основе обобщения путевых координат, известных в двумерном случае.

6. Разработан программный комплекс в среде Matlab, в котором реализованы методы автоматического планирования траекторий, и проведено комплексное моделирование, направленное на оценку принятых решений.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории нелинейного управления, теории устойчивости, дифференциальной геометрии, методы интерполяции и численные методы. Математическое моделирование процессов автоматического планирования траекторий проводилось в среде Matlab.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Разработан метод планирования пути в трехмерном пространстве с препятствиями.

2. Разработан метод решения задачи путевой стабилизации в пространстве, основанный на пространственных путевых координатах, ранее использованных для решения задачи путевой стабилизации на плоскости.

3. Разработан программный комплекс в среде Matlab, в котором реализованы методы автоматического планирования траекторий, и проведено комплексное моделирование, направленное на оценку принятых решений.

Практическая значимость полученных результатов состоит в том, что предложены Методы автоматического планирования траекторий в трехмерной среде с препятствиями, эффективность которых подтверждена компьютерным моделированием. Эти методы могут использоваться для планирования и реализации сложных миссий БПЛА.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2017), International Workshop on Computer Science and Engineering «WCSE 2015-IPCE» (Москва, 2015), Modeling, Identification and Control of Nonlinear

Systems «MICNON 2015» (Санкт-Петербург), «Физико-математические проблемы создания новой техники» (Москва, 2014).

Публикации. Результаты диссертационной работы отражены в 6 научных публикациях, в том числе 3 публикации из Перечня ВАК РФ рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций (в том числе 2 публикации, индексируемые в базе публикаций SCOPUS).

ГЛАВА 1. ПЛАНИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИЙ БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

1.1. Автономное управление

Современные беспилотные летательные аппараты (БПЛА) обладают возможностью работать в автономном режиме, если окружающая обстановка известна и в достаточной степени структурирована, т.е. окружающая среда статична. Однако в реальных условиях окружающая среда имеет неопределенности, например, связанные с подвижными объектами, т.е. окружающая среда является динамической. Это ограничивает возможности функционирования БПЛА в автономном режиме.

На функционирование БПЛА влияет также время реализации миссии. Чем более долгосрочная миссия БПЛА, тем более высоким должен быть уровень автономности его функционирования. Таким образом, для выполнения различных миссий уровень автономности БПЛА может быть различным. Отметим, что более высокий уровень автономности БПЛА требует и более сложной системы управления.

В статье [22] введены десять уровней автономности управления БПЛА. Наивысший уровень автономности соответствует ситуации, когда миссия БПЛА реализуется без участия человека. В этом случае безопасность БПЛА должна полностью обеспечиваться самим БПЛА на основе системы уклонения (Sense & Avoid). Более того, желательно, чтобы уровень безопасности, обеспечиваемый системой уклонения, не уступал уровню безопасности пилотируемых летательных аппаратов. Конечно, это требование приводит к усложнению всей системы управления. Как показано на Рис. 1.1, полная подсистема уклонения включает аппаратные сенсоры, систему принятия решения, планировщик пути, контроллер полета. Информация о движении БПЛА и окружающей среде собирается с помощью сенсоров. Система принятия решений на основе полученных данных проводит анализ, необходимо ли перепланирование пути. Если

решение о перепланировании принято, планировщик строит оптимальный или допустимый путь с учетом выявленных ограничений. В соответствии с перепланированном путём и динамикой БПЛА контроллер формирует управляющие сигналы (на Рис. 1.1 символ А обозначает внешнюю информацию).

V

Рис. 1.1. Функциональная структура системы уклонения

Работа системы уклонения должна строиться в соответствии с миссией БПЛА, под которой мы понимаем полет из заданной начальной точки в заданную конечную с обходом всех препятствий, как статических, так и динамических. Подсистема планирования здесь является одним из ключевых компонентов, определяющих уровень автономности БПЛА.

После того как путь БПЛА спланирован, контроллер полета формирует управление, обеспечивающее этот путь. Задача расчета управлений, обеспечивающих заданный путь БПЛА, известна как задача следования пути (path following problem). В задаче следования пути важно, чтобы аппарат двигался по заданному пути, в то время как скорость перемещения вдоль траектории полета не является существенным фактором. В этом задача следования пути отличается от близкой задачи слежения траектории (trajectory tracking), в которой контролируется не только геометрическая траектория движения, но и скорость перемещения по ней. Таким образом, с математической точки зрения подсистема «контроллер полета» есть подсистема, решающая задачу следования пути. Решение этой задачи должно обеспечивать компенсацию тех возможных отклонений от заданного пути, которые возникают в процессе полета из-за неточно-

стей отработки аппаратной части, неточности измерений и т.п., т.е. соответствующее управление должно быть стабилизирующим.

В следующих разделах этой главы будут рассмотрены методы решения задачи планирования пути и методы решения задачи следования.

1.2. Методы планирования пути

Задача планирования пути включает в основном три аспекта. Во-первых, спланированный путь должен пролегать от заданной начальной точки к заданной конечной точке. Во-вторых, этот путь должен обеспечивать движение робота с обходом возможных препятствий. В-третьих, среди всех возможных путей, удовлетворяющих первым двум требованиям, путь должен быть в определенном смысле оптимальным.

Методы планирования пути можно классифицировать по разным признакам. В контексте использования интеллектуальных технологий их можно разделить на традиционные методы и эвристические методы. По характеру окружающей обстановки методы планирования можно разделить на методы планирования в статической окружающей среде и в динамической среде (следует, однако, отметить, что статичная окружающая среда редко встречается на практике). Методы также можно разделить по полноте информации об окружающей среде: методы с полной информацией (в таком случае говорят о глобальном планировании пути) и методы с неполной информацией (обычно речь идет о знании обстановки в непосредственной близости от робота, в этом случае речь идет о локальном планировании пути). Отметим, что неполная информация об окружающей среде может быть следствием меняющейся обстановки, т.е. в условиях динамической среды планирование пути, как правило, локальное.

При этом планирование пути может строиться по следующим технологическим схемам.

1. Планирование пути на основе полной информации об окружающей среде, известной априори (Рис. 1.2).

Модель окружающей среды

А

Планировщик пути

-Ч

Планировщик траектории

В

Рис. 1.2. Планирование пути при полностью известной информации

об окружающей среде

2. Планирование пути на основе информации об окружающей среде, полученной с помощью датчиков, т.е. при отсутствии априорной информация об окружающей среде (Рис. 1.3; здесь А — априорная информация, В — управление, реализующее движение).

с>

Рис. 1.3. Планирование пути на основе информации с датчиков

3. Планирование пути с использованием как априорной информации, так и информации с датчиков, полученной в процессе полета (Рис. 1.4).

Модель окружающей среды

\7

с>

Рис. 1.4. Комбинированная схема планирования пути

Для решения задачи планирования пути необходимо описание окружающей обстановки, которое может иметь разную степень детализации и точности. Значит, необходима некоторая модель окружающей среды. Таким образом, моделирование окружающей среды является подготовительной задачей для решения задачи планирования пути.

Окружающая среда бывает двух типов: структурированная и неструктурированная. Структурированная окружающая среда отличается простотой описания: информация о сцене имеет небольшой объем, взаимосвязи относительно простые. Такую среду легко хранить и обрабатывать. Неструктурированная среда трудна для описания, поскольку описание сцены требует много данных, много специфических особенностей во взаимосвязях элементов среды. Данные о такой среде трудно хранить и обрабатывать. В данной работе предполагается, что окружающая среда структурированная.

Модель окружающей среды объединяет в себе как априорную информацию (например, карту местности), так и информацию, получаемую от видеокамер, гидроакустических датчиков, лазерных дальномеров и других датчиков на борту, которая соответствующим образом обрабатывается [23]. Для построения модели нужно решить следующие три основных вопроса: во-первых, как представлять данные об окружающей среде; во-вторых, как обрабатывать информацию об окружающей среде, полученную с помощью датчиков; в-третьих, как интегрировать получаемую информацию о среде и обновлять в соответствии с этой информацией представление окружающей среды. В данной работе обсуждаются методы для решения только первого вопроса.

Для наземных роботов в структурированной среде используется модель окружающей среды в виде двумерной карты, так как наземный робот движется на горизонтальной плоскости. Главные методы построения такой карты: сеточная карта, топологическая карта и гибридная карта. Основная идея метода сеточной карты [24] заключается в том, чтобы рабочую среду робота предста-

вить некоторым набором точек (сеткой), каждый узел сетки характеризуется вероятностью того, что этот узел принадлежит препятствию. Сеточная карта проста в использовании, и её легко создать и поддерживать. Проблемы в использовании подобных карт появляются в случае, когда частота сетки (количество узлов) увеличивается, это приводит к заметному увеличению объема карты.

В отличие от сеточной карты топологическая карта обладает более компактным представлением. Как правило, топологическая карта строится в соответствии со структурой окружающей среды на базе некоторой конкретной информации о местоположении. В топологической карте, однако, отсутствует точная метрическая информация, поэтому точное позиционирование робота по такой карте невозможно. Чтобы компенсировать этот недостаток, сочетают топологическую карту с картой заполнения, содержащей метрическую информацию [25].

Методы моделирования трехмерной окружающей среды аналогичны двумерным методам, отличаясь от последних большими требованиями к вычислительным ресурсам. Наиболее популярными являются трехмерная сеточная карта [26] и карта высот [27, 28]. Для построения трехмерной сеточной карты используется трехмерная регулярная сетка, в каждом узле сетки указывается, принадлежит он препятствию или нет. Метод отличается высокой трудоемкостью, которая быстро возрастает с увеличением частоты сетки. Карта высот строится как двумерная сетка, на которой хранится информация о высоте местности в узлах сетки. Поэтому карту высот можно считать 2.5-мерной картой. Высота определяется как средняя или взвешенная средняя высота в некоторой окрестности каждого узла сетки. По сравнению с методом трехмерной карты метод карты высот имеет определенные преимущества и удобен для решения практических задач на открытом воздухе. Поэтому в данной работе для моделирования трехмерной окружающей среды мы будем использовать метод карты высот.

После того, как выбрать метод построения модели окружающей среды, необходимо определиться с методом планирования пути. В литературе предложено большое количество методов планирования пути, в которых используются различные эвристические приемы, вытекающие, как правило, из содержательного смысла решаемой задачи. В настоящей работе мы ограничимся рассмотрением основных подходов к решению задачи. На Рис. 1.5 показана классификация указанных подходов [29]. Отметим методы с использованием карты окружающей среды или описания ее с помощью графа или дерева; методы на основе клеточной декомпозиции; методы потенциальных полей; оптимизационные методы; методы, основанные на интеллектуальных технологиях, включая поведенческие методы.

Методы планирования пути

I -

На основе графов На основе Методы Оптимизационные На основе

клеточной потенциаль- методы интеллектуальных

декомпозиции технологий

1 ных полей

Рис. 1.5. Классификация методов планирования пути

В методах планирования пути на основе графов окружающую среду представляют в виде графа [8, 30], вершины которого соответствуют определенным положениям в пространстве, а ребра — возможным переходам от одного положения к другому, обычно критерием здесь является прямая видимость [31]. При этом подходе задача планирования пути сводится к задаче поиска пути в графе. Путь в графе затем используется как основа для построения пути в пространстве, проходящего через определенные положения. Методы подобного рода удобны в случае статической окружающей среды, хотя определенные возможности есть и в случае динамической окружающей среды. Также важно то, что в этих методах трудно обеспечивать условия оптимальности, поскольку оптимальный путь на графе не обязательно является опти-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лю Вэй, 2018 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. The UAV [Электронный ресурс] URL: http://www.theuav.com.

2. Nilsson N.J. A mobile automaton: An application of artificial intelligence techniques // Proceedings of International Joint Conference on Artificial Intelligence. 1969. pp. 509-520.

3. LaValle S.M. Planning algorithms. Cambridge University Press, 2006. 844 p.

4. Kuwata Y. Real-time trajectory design for unmanned aerial vehicles using receding horizon control. Master thesis. Massachusetts Institute of Technology, 2008.

5. Schouwenaars T. Mixed integer programming for multi-vehicle path planning // ECC. 2001. pp. 2603-2608.

6. Гордиенко С.Е., Ивашкин В.В., Лю В. Анализ оптимальных маневров разгона и торможения космического аппарата при полете к Луне // Космонавтика и ракетостроение. 2015. №1. С. 37-47.

7. Bohlin R., Kavraki E.L. Path planning using lazy PRM // Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation. 2000. pp. 521-528.

8. Geraerts R., Overmars M.H. A comparative study of probabilistic roadmap planners // In: Algorithmic Foundations of Robotics V. Springer, 2004. P. 43-57.

9. Zhong D.J., Su B.J. Robot path planning in narrow passage based on probabilistic roadmap method // Control and Decision. 2010. Vol. 25. No. 10. P. 1831-1836.

10. Гэн K.K. Планирование маршрута для квадрокоптера в неизвестной среде на основе монокулярного компьютерного зрения // Автоматизация. Современные технологии. 2015. №12. С. 14-19.

11. Jung L.F. Three-dimensional path planning of unmanned aerial vehicles using particle swarm optimization // 11th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference. Reston, VA, USA. 992-1001. P. 2006.

12. Khatib O. Real-Time Obstacle Avoidance for Manipulators and Mobile Robots // The International Journal of Robotics Research. 1986. Vol. 5. No. 1. P. 90-98.

13. Fan X., Li S., Chen Tefang T. Dynamic obstacle avoiding path plan for robots based on a new artificial potential field function // Control Theory & Applications. 2005. Vol. 22. No. 5. P. 703-707.

14. Канатников А.Н., Касаткина Т.С. Особенности перехода к путевым координатам в задаче // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. No. 7. С. 211-222.

15. Пестерев А.В., Рапопорт Л.Б., Ткачев С.Б. Каноническое представление нестационарной задачи путевой стабилизации // Известия РАН. Теория и системы управления. 2015. №4. P. 160-176.

16. Hoffmann G.M., Waslander S.L., Tomlin C.J. Quadrotor helicopter trajectory tracking control // AIAA guidance, navigation and control conference and exhibit. 2008. P. 7410.

17. Cabecinhas D., Cunha R., Silvestre C. A nonlinear quadrotor trajectory tracking controller with disturbance rejection // Control Engineering Practice. 2014. No. 26. P. 1-10.

18. Aguiar A.P., Hespanha J.P. Trajectory-tracking and path-following of underactuated autonomous vehicles with parametric modeling uncertainty // IEEE Transactions on Automatic Control. 2007. Vol. 52. No. 8. P. 1362-1379.

19. Sujit B.P., Saripalli S., Borges Sousa J. Unmanned Aerial Vehicle Path Following: A Survey and Analysis of Algorithms for Fixed-Wing Unmanned Aerial Vehicless // Control Systems. 2014. Vol. 34. No. 1. P. 42-59.

20. Samuel M., Hussein M., Mohamad M.B. A review of some pure-pursuit based path tracking techniques for control of autonomous vehicle // International Journal of Computer Applications. 2016. Vol. 135. No. 1. P. 35-38.

21. Park S., Deyst J., How P.J. A new nonlinear guidance logic for trajectory tracking // AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit. Providence, Rhode Island, 16-19 August 2004. Art. No. AIAA 2004-4900.

22. Eric S. Evolution of a UAV autonomy classification taxonomy // Proceedings of the IEEE International Conference on Aerospace. 2007. pp. 1-16.

23. Thrun S. Robotic mapping: A survey // Exploring artificial intelligence in the new millennium. 2002. No. 1. P. 1-35.

24. Elfes A. Using occupancy grids for mobile robot perception and navigation // Computer. 1989. Vol. 22. No. 6. P. 46-57.

25. Thrun S. Learning metric-topological maps for indoor mobile robot navigation // Artificial Intelligence. 1998. Vol. 99, No. 1. P. 21-71.

26. Martin C.M., Moravec P.H. Robot Evidence Grids // Carnegie-Mellon Univ. Pittsburgh PA robotics inst., 1996. №. CMU-RI-TR-96-06.

27. Fong H.L.E., Adams W., Crabbe F.L. Representing a 3-d environment with a 2.5-d map structure // Proceedings of IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. 2003. pp. 2986-2991.

28. Pfaff P., Triebel R., Burgard W. An efficient extension to elevation maps for out-door terrain mapping and loop closing // The International Journal of Robotics Research. 2007. Vol. 26. No. 2. P. 217-230.

29. Лю В. Методы планирования пути в среде с препятствиями (обзор) // Математика и математическое моделирование. 2018. №1. С. 15-58.

30. Kuffner J.J., LaValle S.M. RRT-connect: An efficient approach to single-query path planning // Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation. 2000. Vol. 2. P. 995-1001.

31. Janet J.A., Luo R.C., Kay M.G. The essential visibility graph: An approach to global motion planning for autonomous mobile robots // Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation. 1995. Vol. 2. P. 1958-1963.

32. Sleumer N.H., Tschichold G.N. Exact cell decomposition of arrangements used for path planning in robotics. Technical Report. Institute of Theoretical Computer Science, 1999. 329 p.

33. Mabrouk M.H. M.C.R. Solving the potential field local minimum problem using internal agent states // Robotics and Autonomous System 2008. Vol. 56, No. 12, P. 1050-1060.

34. Culligan K. Three-dimensional flight experiments using on-line mixed-integer linear programming trajectory optimization // American Control Conference, 2007. P. 5322-5327.

35. Habibi G., Masehian E., Beheshti M.T.H. Binary Integer Programming Model of Point Robot Path Planning // IECON. 2007. P. 2841-2845.

36. Liang J.H., Lee C.H. Efficient collision-free path-planning of multiple mobile robots system using efficient artificial bee colony algorithm // Advances in Engineering Software. 2015. No. 79. P. 47-56.

37. Ismail A.T., Sheta A.F., Al-Weshah M. A mobile robot path planning using genetic algorithm in static environment // Journal of Computer Science. 2008. Vol. 4. No. 4. P. 341-344.

38. Shi C., Bu Y., Liu J. Mobile robot path planning in three dimensional environment based on ACO-PSO hybrid algorithm // IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics. Piscataway, NJ, USA. 2008. P. 252-256.

39. Mettler B., Toupet O. Receding horizon trajectory planning with an envi-ron-ment-based cost-to-go function // 44th IEEE Conference on Decision and Control, and the European Control Conference. Piscataway, NJ, USA. 2005. P. 4071-4076.

40. Amato N., Wu. Y. A randomized roadmap method for path and manipulation planning // Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation. 1996. Vol. 1. P. 113-120.

41. Ladd A.M., Kavraki L.E. Measure theoretic analysis of // IEEE Transactions on Robotics and Automation. 2004. Vol. 20. No. 2. P. 229-242.

42. Stuart R., Peter N. Artificial Intelligence: A Modern Approach. 3rd ed. Prentice Hall, 2010. 1132 p.

43. Zhao Y., Tsiotras P. A quadratic programming approach to path smoothing // Proceedings of the American Control Conference, 2011. P. 5324-5329.

44. Гилимьянов Р.Ф. Покомпонентный метод сглаживания кривизны пространственного пути, построенного по зашумленным измерениям в задачах планирования движения роботов // Проблемы управления. 2011. №6. С. 66-72.

45. Yang K., Sukkarieh S. 3D smooth path planning for a UAV in in Cluttered Natural Environments // IEEE/RSJ International Conference. Piscataway, NJ, USA. 2008. P. 794-800.

46. Dubins L.E. On curves of minimal length with a constraint on average curvature, and with prescribed initial and terminal positions and tangents // American Journal of mathematics. 1957. Vol. 79. No. 3. P. 497-516.

47. Nelson W. Continuous-curvature paths for autonomous vehicles // Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation. Scottsdale, AZ, USA, 1989. P. 1260-1264.

48. Van der Molen G.M. Trajectory generation for mobile robots with clothoids // In: Tzafestas S.G. (eds). Robotic Systems. Springer, 1992. P. 399-406.

49. Walto D.J., Meek D.S., Ali J.M. Planar G2 transition curves composed of cubic Bezier spiral segm ents // Journal of Computational and Applied Mathem atics. 2003. Vol. 157, No. 2. P. 453-476.

50. Komoriya K., Tanie K. Trajectory design and control of a wheel-type mobile robot using B-spline curve // Proceedings of IEEE/RSJ International Workshop on The Autonomous Mobile Robots and Its Applications. 1989. P. 398-405.

51. Berglund T., Jonsson H., Soderkvist I. N obstacle-avoiding minimum variation b-spline problem // Proceedings of International Conference on Geometric Modeling and Graphics. 2003. P. 156-161.

52. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Терминальное управление пространственным движением летательных аппаратов // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. №5. С. 51-64.

53. Тараненко В.Т. Динамика самолета с вертикальным взлетом и посадкой. М.: Машиностроение, 1978. 248 с.

54. Канатников А.Н., Шмагина Е.А. Задача терминального управления движением летательного аппарата // Нелинейная динамика и управление. Вып. 7. М.: Физматлит. 2010. С. 79-94.

55. Nelson D.R., Barber D.B., Mclain T.W., Beard R.W. Vector field path following for small unmanned air vehicles // American Control Conference. 2006. P. 14-16.

56. Гилимьянов Р.Ф., Пестерев А.В., Рапопорт Л.Б. Управление движением колесного робота в задаче следования вдоль криволинейного пути // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2008. Vol. 47. №6. С. 158-165.

57. Tkachev B.S., Liu W. Design of Path Following Method for Unmanned Aerial Vehicles using Normal Forms // IFAC-PapersOnLine. 2015. Vol. 48. No. 11. P. 10-15.

58. Kavraki E.L., Svestka P., Latombe C.J. Probabilistic roadmaps for path planning in high-dimensional configuration spaces // IEEE Transactions on Robotics and Automation. 1996. Vol. 12. No. 4. P. 566-580.

59. Boor V., Overmars H.M., van der Stappen F.A. The Gaussian sampling strategy for probabilistic roadmap planners // Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation. 1999. Vol. 2. P. 1018-1023.

60. Amato N.M., Dale L.K. Probabilistic roadmap methods are embarrassingly parallel // Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation. 1999. Vol. 1. P. 688-694.

61. Белоусов А.И., Ткачёв С.Б. Дискретная математика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. 744 с.

62. Hart P.E., Nilsson N.J., Raphael B. A formal basis for the heuristic determination of minimum cost paths // IEEE transactions on Systems Science and Cybernetics. 1968. Vol. 4. No. 2. P. 100-107.

63. Роджерс Д., Адамс Д. Математические основы машинной графики. М.: Мир, 2001. 604 с.

64. Yang K., Gan S.K., Sukkarieh S. An efficient path planning and control algorithm for RUAV's in unknown and cluttered environm ents // Selected papers from the 2nd International Symposium on UAVs. Reno, Nevada, USA. 2009. P. 101-122.

65. Yang K., Jung D., Sukkarieh S. Continuous curvature path-smoothing algorithm using cubic Bezier spiral curves for non-holonomic robots // Advanced Robotics. 2013. Vol. 27, No. 4. Р. 247-258.

66. Wang Z.H. G2 path smoothing using non-uniform B-spline // Systems Engineering and E1ectronics. 2011. Vol. 33. No. 7. P. 1539-1543.

67. Oliveira T., Encarna?ao P., Aguiar A.P. Moving path following for autonomous robotic vehicles // 2013 European Control Conference (ECC). IEEE, 2013. P. 3320-3325.

68. Lapierre L., Soetanto D. Nonlinear path-following control of an AUV // Ocean Engineering. 2007. Vol. 34. No. 11-12. P. 1734-1744.

69. Encarnacao P., Pascoal A. 3D path following for autonomous underwater vehicle // Proceedings of 39th IEEE Conference on Decision and Control, 2000. Vol. 3. P. 2977-2982.

70. Samson C. Path following and time-varying feedback stabilization of a wheeled mobile robot // Proceedings of the international conference on advanced robotics and computer vision. 1992. Vol. 13. P. 1-14.

71. Пестерев А.В., Рапопорт Л.Б. Стабилизация движения колесного робота вдоль криволинейной траектории, проложенной по неровной поверхности // Известия РАН. Теория и системы управления. 2010. №4. С. 167-176.

72. Канатников А.Н., Лю В., Ткачев С.Б. Путевые координаты в задаче следования вдоль пространственного пути // Математическое моделирование. 2017. Vol. 29. №10. С. 5-19.

73. Isidori A. Nonlinear Control Systems. 3rd ed. London: Springer, 1995. 549 р.

74. Пестерев А.В. Синтез стабилизирующего управления в задаче следования колесного робота вдоль заданной кривой // Автоматика и телемеханика. 2012. №7. С. 25-39.

75. Bishop R.L. There is More than One Way to Frame a Curve // The American Mathematical Monthly. 1975. Vol. 82. No. 3. P. 246-251.

76. Канатников А.Н. Моделирование процессов управления вращением твердого тела // Нелинейная динамика и управление. Вып. 7. М.: Физматлит, 2010. С. 335-348.

77. Си (язык программирования) [Электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Си_(язык_программирования)

78. Matlab и Simulink. Центр компетенций компании Mathworks [Электронный ресурс] // Matlab: [сайт]. URL: https://matlab.ru.

79. Дьяконов В.П. MATLAB. Полный самоучитель. М.: ДМК Пресс, 2012. 768 с.

80. Hormann K., Agathos A. The point in polygon problem for arbitrary polygons // Computational geometry. 2001. Vol. 20. No. 3. P. 131-144.

81. Канатников А.Н., Лю В. О задаче путевой стабилизации в пространстве // Международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 7-11 июля 2017 г.: тез. докл. Владимир: ООО «Аркаим», 2017. 180 с. С. 77-78.

82. Лю В. Метод путевой стабилизации беспилотного летательного аппарата // Физико-математические проблемы создания новой техники: тез. докл. Международной научной конференции. М., 2014. С. 59.

83. Лю В. Планирование пути БПЛА в трехмерной среде с препятствиями // Математика. Компьютер. Образование: тез. докл. XXIV Международной конференции. Пущино, 2017. С. 195.