Полиномиальные модели автоматных преобразований над полем GF(2") тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Нурутдинов, Шамиль Рамилович

• Нурутдинов, Шамиль Рамилович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Нурутдинов, Шамиль Рамилович

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ '

СОКРАЩЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ТЕКСТЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Вычислительные модели преобразований над полем GF(2n)

1.1. Определения теории полей Галуа

1.2 Связь между векторным и матричным представлением элементов поля GF(2n).

1.3 Структурная модель, реализующая операцию умножения элементов поля GF(2n).

1.4 Представление функций в GF(2n) многочленами от нескольких переменных.

1.4.1 Реализация многочленом от одной переменной.

1.4.2. Реализация функции от s переменных в GF(2n) многочленом от s переменных.

1.5. Структурные реализации полиномиальной функции и оценки их сложности.

1.5.1. Параллельная структура.

1.5.2. Систолическая векторная структура полинома /(х, q).

1.5.3. Систолическая структура полинома /(х, q).

1.5.4. Итеративная структура многочлена L{u).

ГЛАВА 2. Модели схем умножения в расширениях поля GF(2") •

2.1. Применение алгоритма Карацубы-Офмана для построения схемы умножения в составных полях вида GF((2k )4)

2.2. Модификация алгоритма Карацубы-Офмана для построения схемы умножения в составных полях вида GF((2k )4)

2.3. Алгоритм построения составного поля вида GF((2k)2), изоморфного полю вида GF(2 )

2.4. Построение схемы умножения в составном поле вида GF((22)2).

2.5. Построение схемы умножения в составном поле вида GF(((22)2)2).

ГЛАВА 3. Полиномиальные модели детерминированных автоматных преобразований над полем GF(2n)

3.1. Моделирование конечного автомата однородной сетью элементарных автоматов в поле GF(2n).

3.2. Моделирование в классе комбинационных схем.

3.2.1. Полиномиальная модель на основе многочлена от одной переменной над полем GF(2").

3.2.2. Полиномиальная модель на основе многочлена от двух переменных над полем GF(2n).

3.3. Полиномиальная модель автомата с памятью.

3.4. Синтез типовых элементов однородной вычислительной структуры.

3.4.1. Типовой элемент последовательной структуры.

3.4.2. Типовой элемент параллельной структуры.

3.4.3. Методика синтеза однородных автоматных схем.

3.5. Минимизация структуры полиномиальной модели

ГЛАВА 4. Полиномиальные модели вероятностных автоматов и функций конечных цепей Маркова над полем GF(2n)

4.1. Определения базовых вероятностных автоматных моделей.

4.2. Синтез автоматной марковской модели над полем GF(2").

4.3. Синтез генераторов марковских функций над полем GF(2").

4.3.1. Полиномиальная модель генератора процесса {Y,} над полем GF(2n).

4.3.2. Полиномиальная модель генератора процесса {ZJ над полем GF(2"). 119 4.4. Полиномиальная модель марковской функции вида а-связной цепи Маркова. 123 4.5 Синтез конечноавтоматных случайных последовательностей над полем GF{2n).

4.5.1. Определение вероятностной автоматной модели и постановка задачи

4.5.2. Полиномиальное представление конечноавтоматной модели надполем GF(2n).

4.6. Синтез генератора дискретной случайной величины. надполем GF(2n).

4.7 Автоматное моделирование случайных процессов с последействием на основе эйлеровых стохастических матриц.

4.7.1 Автоматная модель.

4.7.2 Структурная схема автоматной модели.

4.8 Реализация ^^-последовательности в полях GF(2").

4.9 Полиномиальные модели вероятностных автоматов общего вида над полем GF(2").

ГЛАВА 5. Реализация и тестирование полиномиальных моделей средствами программного комплекса и САПР ПЛИС/FPGA

5.1. Программируемые логические интегральные схемы

5.2. Представление и анализ структурных моделей операции умножения в поле GF(2")

5.2.1. Определение базовых математических моделей умножителя.

5.2.2. Структурные модели умножителей и их оценки сложности.

5.3. Оценки сложности структур умножителей над полем GF(2n) в базисе программируемых матрицах логических элементов.

5.3.1. Оценки сложности моделей в базисе ПЛИС.

5.3.2. Сравнение теоретических оценок с оценками реальных аппаратных затрат для схем умножения.

5.4. Пакет программ, реализующий автоматные модели генераторов марковских функций.

5.5. Пакет программ, реализующий полиномиальные модели генераторов марковских функций над полем GF(2n).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полиномиальные модели автоматных преобразований над полем GF(2")»

Вероятностный автомат (ВА) является моделью реальных преобразователей информации, функционирующих в условиях действия случайных факторов. Понятие ВА возникло как обобщение конечного детерминированного автомата путем отказа от однозначного соответствия между входом и выходом: функционирование В А описывается вероятностным законом [1-3].

Вероятностные автоматы имеют глубокую взаимосвязь с цепями Маркова (ЦМ) [3]. Частный случай В А - автономный вероятностный автомат (ABA) без выхода является автоматной моделью генератора однородной цепи Маркова. Процессы, порождаемые ABA с выходом рассматриваются как функции конечных однородных цепей Маркова (марковские функции (МФ))[1-3]. Последовательность состояний ВА общего вида является неоднородной цепью Маркова [1].В свою очередь, матричная теория цепей Маркова является аналитическим аппаратом решения задач синтеза и анализа вероятностных автоматов [1-3].

Марковские последовательности и их функции широко используются для построения вероятностных моделей в таких областях как статистическое моделирование [4-7], распознавание автоматов [11, 25-26], передача и защита информации [23], диагностика и анализ цифровых устройств [2728] и др. Применение моделей цепей Маркова (ЦМ) в качестве базовых при построении вероятностных моделей автоматного типа, обуславливает интерес ученых к теории моделирования марковских последовательностей, функций конечных ЦМ и построению автоматных моделей генераторов ЦМ.

Использование моделей ЦМ дает возможность получить простое и адекватное описание широкого класса систем. Важностью прикладного значения объясняется большое число публикаций по теории моделирования марковских последовательностей и их функций и построению моделей генераторов ЦМ [1-3, 27-29, 31-46]. Известен ряд работ по моделированию марковских последовательностей, основанных на автоматном представлении процессов этого класса [1-7, 27-29, 33-42]. При автоматном моделировании ЦМ конечная однородная цепь Маркова обычно представляется в виде конечного детерминированного автомата со случайным входом [38-39]. В работах [1-4, 7, 27, 32, 34, 36, 46] решены вопросы перехода от описания ЦМ в виде стохастической матрицы к описанию в виде стохастической линейной комбинации булевых стохастических матриц, определены условия автоматного преобразования случайных дискретных величин, предложены принципы построения управляемых генераторов случайных кодов, показано, что МФ можно рассматривать как процессы, порождаемые вероятностными автоматами [2-3,ОД}шм из перспективных подходов построения автоматных моделей ЦМ, предложенных в последние годы, представляется подход, использующий теорию конечных полей. Этот подход позволяет синтезировать структурные модели генераторов конечных ЦМ, состоящие из однородных блоков, с векторной обработкой данных. Для реализации полученных моделей могут быть использованы технологии производства интегральных схем, например программируемые логические интегральные- схемы (ПЛИС). Использование ПЛИС дает возможность синтезировать устройства с перестраиваемой структурой, что позволяет оперативно менять функциональные возможности вероятностных моделей и приводит к сокращению аппаратных затрат, а следовательно и стоимости разрабатываемого устройства.

В работах [4-7] показана перспективность нового подхода моделирования цепей Маркова и их функций, основанного на полиномиальной алгебре в конечном поле типа GF(2n). Достоинством вычислений в поле GF(2n) является то, что они обладают функциональной полнотой и допускают параллельную реализацию. Аппарат конечных полей позволяет строить автоматные схемы в виде однородной сети элементарных автоматов, выполняющих операции сложения и умножения в поле GF(2n) [8]. Эти и другие особенности конечного поля определили широкое использование аппарата теории конечных полей в области обработки процессов информации: в теории кодирования [8-24]; в цифровой обработке сигналов [25]; в анализе динамических стохастических систем [25-26], в задачах синтеза генераторов псевдослучайных последовательностей [28-29] и др.

Многие современные практические задачи предъявляют высокие требования к скорости генерирования формируемых последовательностей. Увеличение быстродействия может быть достигнуто с помощью распараллеливания проводимых вычислений [48-49].

Идея синтеза дискретных вероятностных моделей автоматного типа в однородных вычислительных средах получила развитие в работах [3, 32, 50-51], а использования арифметики конечных полей [9] для синтеза детерминированных цифровых устройств в однородных структурах в [44, 5260]. Известны также решения задачи построения генераторов равномерно распределенных случайных и псевдослучайных чисел в поле GF{2") [11, 28,31,61-65].

Большое число публикаций посвящено решению задачи разработки архитектуры схемы умножения элементов поля GF(2") для реализации в однородных вычислительных средах [67], а также решению задачи уменьшения вычислительной сложности схем умножения [55, 68-77], так как вычислительная сложность, при использовании технологии производства интегральных схем, может служить оценкой необходимой площади кристалла [77]. Использование идеи расширения модели играет важную роль в теории построения вычислительных структур. Применение расширений моделей и переход к более удобному базису возможно для умножения матриц [30, 66], что позволяет уменьшить вычислительную сложность операции умножения в полях Галуа (матричное представление элементов поля).

Известно решение задачи построения автоматных моделей генераторов ЦМ в базисе полиномиальных функций над полем Галуа [58-59]: предложены полиномиальная модель и структурная схема генератора простых однородных ЦМ над GF(2й); предложены альтернативные (по критериям сложности и быстродействия) структурные схемы - параллельного, систолического векторного, систолического и последовательностного типов -для реализации генераторов ЦМ в базисе полиномиальных функций; показана адекватность структуры модели генератора ЦМ над полем Галуа, состоящей из однородных блоков, структуре ПЛИС класса FPGA (Field Programmable Gate Array) [80-82]; показано, что аппарат полей GF{2") является эффективным инструментом для синтеза генераторов ЦМ в виде однородных структур.

Вероятностный автомат является обобщением конечного детерминированного автомата (КДА). В связи с этим возникает необходимость глубокого исследования вопросов представления КДА полиномами над полем GF(2n). По этому направлению важное практическое значение представляет задача отображения полиномиальных моделей КДА в однородные вычислительные среды.

В этой связи представляется актуальным выполнение настоящего исследования, основанного на новом подходе моделирования широкого класса дискретных случайных процессов с дискретным временем в поле GF(2n). Развиваемые методы включают предложенные понятия полиномиальных моделей в поле GF(2n) дискретной случайной величины (ДСВ), простых и сложных цепей Маркова и марковских функций и доказательство соответствующих теорем, устанавливающих взаимосвязь стохастических матриц и полиномиальных функций над GF(2n) и обосновывающих алгоритмы моделирования рассматриваемых процессов.

Целью диссертационной работы является создание теоретических основ, алгоритмов и методик представления детерминированных и вероятностных автоматных моделей полиномиальными функциями над полем GF(2n).

В соответствии с этой целью, исследования проводились в следующих направлениях.

1. Создание теоретических основ для разработки моделей эффективного умножителя в поле GF(2n), как расширение поля GF(2), эффективного умножителя в поле GF(22k), как расширение поля GF(2K).

2. Разработка метода представления КДА полиномиальными моделями над полем GF(2n), повышающих эффективность их реализации в однородных вычислительных структурах.

3. Создание теоретических основ для моделирования и преобразования дискретных случайных процессов с дискретным временем из класса МФ, основанного на полиномиальной алгебре в поле GF(2n), моделирования в поле GF(2n) случайных последовательностей с последействием, представления структурных моделей генераторов МФ и вероятностных автоматов в базисе полиномиальных функций.

По первому направлению решались следующие задачи.

1. Разработка эффективного умножителя в поле GF(2"), как расширения поля GF(2).

2. Разработка способа построения поля вида GF((2k)2), изоморфного полю вида GF(22k).

3. Разработка способа умножения в составных полях Галуа, позволяющего сократить вычислительную сложность.

По второму направлению решались следующие задачи. 1. Исследование условия представления любого отображения в поле Галуа в виде многочлена от s переменных, а также разработка формальных зависимостей, с помощью которых можно вычислить коэффициенты таких многочленов.

2. Исследование возможности и разработка алгоритма представления конечного автомата однородной сетью над GF(2n) и оценка сложности такого представления.

3. Разработка метода проектирования однородных схем по описанию конечного автомата.

4. Разработка алгоритма минимизации количества элементов однородной вычислительной сети над GF(2n), реализующей конечный автомат с памятью.

По третьему направлению решались следующие задачи.

1. Исследование задач представления стохастических матриц и моделирования дискретных случайных величин, и марковских функций средствами полиномиальных функций в поле GF(2n).

2. Разработка структурных моделей автономных вероятностных автоматов (ABA), генераторов ДСВ, МФ и методики их построения в базисе полиномиальных функций над полем GF(2n).

3. Разработка автоматной модели из класса вероятностных автоматов с перестраиваемой структурой и метода моделирования на её основе случайных дискретных процессов с последействием в поле GF(2n).

4. Разработка метода представления неоднородных ИМ и их функций в поле GF(2").

Методы исследований. Для решения поставленных задач использованы методы теории вероятностей, теории вероятностных автоматов, теории графов, теории чисел, аппарат конечных полей, линейной и полиномиальной алгебры и дискретной математики.

Исследования поддержаны грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 99-01-00163 «Энтропийно-сложностные свойства дискретных вычислительных моделей»; грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 03-01-00769 «Сложностные свойства классических и квантовых вычислений»; программой «Университеты России», проект № 015-04-01-52 «Синтез и сложность детерминированных и вероятностных дискретных вычислительных моделей».

Научная новизна работы.

1. Доказана теорема и разработаны: метод построения составных полей GF((2k)2), изоморфных полю GF(22k), методика построения схем ум

2' ножения в составном поле вида GF(2 ), позволяющие сократить вычислительную сложность и повысить скорость выполнения операции умножения - базовой операции, необходимой для реализации схем генераторов МФ. Разработана методика построения составных полей для предлагаемых схем умножения.

2. Доказана теорема, обосновывающая возможность представления произвольно-заданного детерминированного отображения в поле GF(2n) в виде многочлена от s переменных, а также доказана теорема и разработан метод, с помощью которого можно вычислить коэффициенты такого многочлена. Доказана теорема и разработан алгоритм уменьшения количества ненулевых коэффициентов при высших степенях полиномиальной функции над полем GF(2n). Разработан алгоритм представления КДА однородной вычислительной сетью.

3. Введено понятие полиномиальных моделей марковских функций над GF(2n). Предложены полиномиальные модели случайных процессов вида МФ над полем GF(2") из класса, порождаемого ABA с заданными ограничениями на функции перехода и выхода, в частности модели сложных ЦМ, марковского источника и конечноавтоматных случайных последовательностей. Модели МФ представлены в виде суперпозиций полиномиальных функций от одной и двух переменных над полем GF(2n).

4. Разработаны метод и алгоритм синтеза генераторов МФ в виде суперпозиции полиномиальных функций над полем Галуа. Доказаны теоремы, обосновывающие метод.

5. Разработана полиномиальная модель над полем GF(2n) генератора дискретной случайной величины (ДСВ).

6. Решена задача автоматного Моделирования процессов с последействием, как расширение модели ABA. Предложен метод моделирования над полем GF(2n) подкласса случайных последовательностей на основе ABA с динамически перестраиваемой структурой.

7. Разработан метод моделирования неоднородных цепей Маркова и вероятностных автоматов на основе полиномиальной алгебры в поле GF(2n).

Практическая значимость. На основании теоретических исследований построены схемы устройств, реализующих операцию умножения в поле Галуа и в его расширениях. Разработанный метод построения схем умно

2' жения в составных полях вида GF(2 ) позволяет сократить необходимую для реализации умножения вычислительную сложность. Спроектированные по предлагаемой методике схемы умножения могут быть использованы в качестве базовых блоков в широком классе устройств, применяющих алгебру полей Галуа. Построены структурные схемы типовых элементов синтезируемых параллельных и последовательных однородных цифровых схем. Разработан алгоритм, позволяющий по описанию конечного автомата синтезировать однородную (параллельную или последовательную) цифровую схему. Предложенные полиномиальные модели генераторов ЦМ и МФ позволяют использовать аппарат полей Галуа при моделировании рассматриваемых случайных процессов, что дает возможность представить их в виде алгебраических выражений, допускающих параллельную реализацию. Предложенные структурные схемы генераторов ЦМ и МФ над полем GF(2n) дают возможность их непосредственного использования при проектировании специализированных автоматных моделей. Предложены генераторы тестовых последовательностей, новизна которых защищена 6-ю авторскими свидетельствами. Полученные оценки аппаратных затрат, представленные описания алгоритмов и программ дают разработчикам возможность их непосредственного использования при проектировании специализированных устройств по современной технологии программируемых логических интегральных схем (ПЛИС). Разработанный метод моделирования МФ полиномиальными функциями над полем GF(2n) дает метод решения задачи управления вероятностными характеристиками МФ. На базе полученных теоретических результатов разработаны новые технические решения, защищенные авторскими свидетельствами.

Результаты использованы в НИР за 2001-2005гг. по гранту РФФИ № 99-01-00163 «Энтропийно-сложностные свойства дискретных вычислительных моделей», по гранту РФФИ № 03-01-00769 «Сложностные свойства классических и квантовых вычислений», по проекту № 015-04-01-52 «Синтез и сложность детерминированных и вероятностных дискретных вычислительных моделей» программы «Университеты России», в ОАО «КНИАТ» (г. Казань), в Центре новых информационных технологий Республики Татарстан (г. Казань), в ГИБДД МВД Республики Татарстан (г. Казань) и в учебных процессах кафедры прикладной математики и кафедры теоретической кибернетики Казанского государственного университета и кафедры КСИБ Казанского технического университета (КАИ) им. А.Н.Туполева.

На базе полученных теоретических результатов разработаны новые технические устройства, защищенные авторскими свидетельствами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Итоговых научно-технических конференциях Казанского государственного университета (Казань, 1988-2005rr.);VIII Всесоюзной конференции по теоретической кибернетике (Горький, 1988г.), Всесоюзной научно-технической конференции "Повышение качества и надежности продукции, программного обеспечения ЭВМ и технических средств обучения" (Куйбышев, 1989г.), Международная конференция «Информатизация правоохранительных систем»(Москва, 1997г.),Международная конференция «Безопасность информации»(Москва, 1997г.), Всеросс. научно-метод. Конференция "Интеграция образования, науки и производства -главный фактор повышения эффективности инженерного образования" (Казань, 2000г.), научно-практической конференции по актуальным вопросам информатики, вычислительной техники и информационной безопасности (Казань, 2001г.); Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2000г., 2002г., 2004г., 2005г.); VII-m Международном семинаре «Дискретная математика и её приложения» (Москва, 2001г.), научно-практическая конференция по актуальным вопросам информатики, вычислительной техники и информационной безопасно-сти(Казань, 2001г.), Республ. Научн.-практ. конференция «Интеллектуальные системы и информационные технологии» (Казань, 2001г.), International conference OFEA'2001(S.-PETERBURG,2001), IX Всероссийская- школа-семинар «Современные проблемы математического моделирования» (Ростов - на Дону, 2001 г.), XIII Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики» (Казань, 2002г.); V Международной научно-технической конференции «Новые информационные технологии и системы» (Пенза, 2002г.); Двенадцатой Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 2003г.); Первая Всероссийская научная конференция «Методы и средства обработки информации»(Москва, 2003г.), городском семинаре «Методы моделирования» (Казань, 2002-2005гг.), ряде семинаров кафедры Теоретической кибернетики Казанского государственного университета (Казань, 2001-2005гг.), VIII Международном семинаре «Дискретная математика и ее приложения» (Москва, 2004г.), международная научная конференция «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2004г.), VI Международная конференция «Дискретные модели в теории управляющих систем»(Москва, 2004г.), XIV Международная конференция «Проблемы теоретической кибернетики» (Пенза, 23-28 мая 2005г.), Вторая Всероссийская научная конференция «Методы и средства обработки информации (МСО'2005)» (Москва, 5-7 октября 2005г.).

На защиту выносятся следующие результаты, полученные лично: 1. Метод вычисления коэффициентов многочлена, реализующего отображение поля GF(2n) в себя.

2. Теорема, устанавливающая возможность реализации конечного автомата однородной сетью над GF(2").

3. Алгоритм и методика реализации конечного автомата однородной сетью над GF(2").

4. Теорема, устанавливающая возможность вычисления коэффициентов примитивного многочлена для построения поля вида GF((2k)2), изоморфного полю вида GF(22k).

5. Методика построения схем умножения в составных полях Галуа, позволяющая сократить вычислительную сложность и повысить скорость выполнения операции умножения.

6. Теорема, доказывающая существование алгоритма уменьшения количества ненулевых коэффициентов при высших степенях полинома над полем GF(2P), используемого при полиномиальном моделировании отображения. GF(2m) *GF(2k) -> GF(2k), р=т+к

7. Полиномиальные модели и метод представления МФ над полем GF(2n). Теоремы, устанавливающие взаимосвязь МФ и полиномиальных функций над полем GF(2").

8. Структурные модели генераторов ЦМ и МФ над полем GF(2n) и методика их построения в базисе полиномиальных функций над полем GF(2").

9. Полиномиальная модель представления генератора дискретной случайной величины полиномиальной функцией в поле GF(2").

10.Автоматная модель из класса вероятностных автоматов с перестраиваемой структурой и её полиномиальное представление над полем GF(2").

11.Комплекс прикладных программ, реализующих предложенные методики и алгоритмы.

Основное содержание диссертации опубликовано в 40 работах, включая одну монографию, статей [74-79] и тезисов докладов[80-89].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы, включающего 140 наименований, и приложения. Общий объем работы составляет 222 страницы, включая 36 рисунков и 18 таблиц. В конце каждой главы имеются выводы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Нурутдинов, Шамиль Рамилович

Выводы по главе 5

1. Разработана структурная модель умножителя в поле GF{2") в виде комбинационной схемы, которая позволяет распараллелить процесс вычисления операции умножения. Предложены структурные модели умножителей в GF(2") с одним постоянным множителем. Получены теоретические оценки сложности для предложенных моделей.

2. Вычислены реальные затраты для реализации структурных моделей умножителей в базисе ПЛИС путем их компьютерного моделирования с использованием САПР фирмы Xilinx.

3. Выполнено сравнение реальных затрат, полученных на САПР/Xilinx, с теоретическими оценками сложности. Получены оценки, показывающие адекватность структурных моделей умножителей однородной структуре ПЛИС:

4. Разработан комплекс прикладных программ, позволяющий строить программные модели рассматриваемых генераторов МФ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные выводы и результаты диссертационной работы

1) Разработаны теоретические основы (Теоремы 1.3, 1.5-1.6 и следствие Теоремы 1.6) вычисления полиномиальных функций от двух переменных однородными вычислительными структурами. Разработана структурная модель умножения двух произвольных элементов поля GF(2n), позволяющая при схемной реализации использовать однотипные элементы и получать однородные вычислительные структуры. На основе доказанных результатов разработана цифровая схема из однотипных элементов с однородными связями для умножения двух произвольных элементов поля GF(2n) (а.с. 167243 8). Разработан метод вычисления коэффициентов многочлена над GF(2n), моделирующего произвольное отображение поля GF(2") в себя, а также разработаны однородные вычислительные структуры, вычисляющие значения многочленов в поле GF(2n). Структуры отвечают различным ограничениям по сложности и быстродействию.

2) Разработан метод построения схем умножения в составных полях вида

2'

GF(2 ). Сформулированы и доказаны Теорема 2.1 и следствие Теоремы 2.1, что является основой метода построения составных полей вида к 2 'Т.к.

GF((2)), изоморфных полю вида GF( 2гк) и метода вычисления коэффициентов примитивного многочлена второй степени над GF(2k), являющегося модулярным для GF((2k)2). Разработанный метод, позволяет сократить вычислительную сложность и повысить скорость выполнения операции умножения по сравнению с АКО и его модификацией. При сравнении с традиционным подходом уменьшено число необходимых для реализации двухвходовых элементов, при 'этом время задержки не увеличено.

3) Доказана возможность реализации конечного автомата в виде однородной сети, производящей однотипные операции в GF(2") (Теорема 3.1). Разработан алгоритм, позволяющий по описанию конечного автомата строить однородную цифровую схему, выполняющую потоковые вычисления над л-мерными двоичными векторами. Разработаны методики синтеза однородных схем по описанию конечного автомата. Сформулирована и доказана Теорема 3.2, устанавливающая способ уменьшения количества ненулевых коэффициентов при высших степенях многочлена над полем GF(2n), реализующего произвольное отображение поля GF(2n) в себя. На основании этого результата построен формальный метод, при помощи которого решается задача уменьшения количества элементов однородной сети, реализующей конечный автомат с памятью.

4) Разработаны теоретические основы моделирования цепей Маркова и марковских функций полиномиальными моделями в поле GF(2n), введено понятие полиномиальной модели Марковской'функции над полем GF(2n). Предложены и разработаны полиномиальные модели случайных процессов из класса марковских функций на основе суперпозиции полиномов от одной и двух переменных над полем GF(2n). Адекватность предложенных ПМ, метода их построения и моделирования на их основе различных подклассов функций ЦМ обоснованы соответствующими теоремами (Теоремы 4.1 - 4.7). Разработан метод синтеза структурных моделей генераторов марковских функций в базисе полиномов над полем GF(2n), который позволяет эффективно осуществить распараллеливание выполняемых вычислений в однородных вычислительных средах. Предложена и разработана полиномиальная модель над полем GF(2n) управляемого генератора ДСВ. Предлагаемые методы и методика построения полиномиальных моделей в виде суперпозиции полиномов обобщены до класса конечноавтоматных случайных последовательностей. Этот класс включает, как частные случаи, простые и сложные однородные ЦМ. Разработана полиномиальная модель для моделирования в поле GF(2n) случайных дискретных процессов с последействием, обобщающая полиномиальную модель ABA (Теорема 4.8). Выполнено обобщение результатов решения задачи полиномиального представления простых однородных цепей Маркова на более широкий класс дискретных случайных процессов, порождаемых ВА - неоднородные цепи и их функции. Разработан метод представления вероятностных автоматов общего вида в базисе полиномиальных функций над полем GF(2n) (Теорема 4.9).

5) Разработана структурная модель умножителя в поле Галуа GF{2") в виде комбинационной схемы, которая позволяет распараллелить процесс вычисления операции умножения. Предложены структурные модели умножителей в GF(2") с одним постоянным множителем - умножители на константу. Получены теоретические оценки сложности для предложенных моделей. Определены реальные затраты при реализации структурных моделей умножителей в базисе ПЛИС путем их компьютерного моделирования с использованием САПР фирмы Xilinx. На основе сравнения реальных затрат, полученных на САПР/Xilinx, с теоретическими оценками сложности получены оценки, показывающие адекватность структурных моделей умножителей однородной структуре ПЛИС. Разработан комплекс прикладных программ, позволяющий строить программные модели рассматриваемых генераторов МФ.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Нурутдинов, Шамиль Рамилович, 2005 год

1. Бухараев Р.Г., Захаров В.М. Управляемые генераторы случайных кодов. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1978. - 160 с.

2. Бухараев Р.Г. Автоматное преобразование вероятностных последовательностей // Вероятностные методы и кибернетика. Вып. 4. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1966. С. 24-33.

3. Бухараев Р.Г. Основы теории вероятностных автоматов. М.: Наука, 1985.-287 с.

4. Макаров С.В. О реализации стохастических матриц конечными автоматами // Вычислительные системы. Вып. 9. Новосибирск, 1963. С. 65-70.

5. Хамитов Г.П. Имитация случайных процессов. Иркутск: Изд-во Ир-кут. ун-та, 1983.- 184 с.

6. Четвериков В.Н., Баканович Э.А., Меньков А.В., Вычислительная техника для статистического моделирования. М.: Сов. радио, 1978. -312с.

7. Ченцов В.М. Об одном методе синтеза автономного стохастического автомата. // Кибернетика. 1968. - №3. - С. 32-35.

8. Гилл А. Линейные последовательностные машины. М.: Наука, 1974. -288 С.

9. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Пер. с англ. М.: Мир, 1988.

10. Ю.Чеботарев Н.Г. Теория Галуа. Кн. 1 М.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. -156 с.

11. Столов Е.Л. Методы компактного тестирования цифровых устройств. Казань: изд-во Казан, ун-та, 1993, - 116 с.

12. Вензин О.С., Иванов М.А. Стандарт криптографической защиты AES. Конечные поля. М.: КУДНЦ- ОБРАЗ, 2002.

13. Нечаев В.И. Элементы криптографии. Основы теории защиты информации. -М.: Высшая школа, 1999.

14. М.Крот A.M. Дискретные модели динамических систем на основе полиномиальной алгебры. Минск: Навука i тэхнжа. 1990.

15. Столов E.JI. Исчерпывающее тестирование и сигнатурный ана-лиз//АиТ .- 1992,- №6.- С. 167-172.

16. А.С. 1302285. Устройство для контроля цифровых блоков./Латы-пов Р.Х., Мансуров P.M., Нурутдинов Ш.Р., Столов Е.Л. //Б.И. 1987. №13.- 4с.

17. А.С. 1397920. Устройство для встроенного контроля цифровых блоков./Баранов А.И., Комаров Ю.С., ЛатыповР.Х., Нурутдинов Ш.Р., Столов Е.Л. //Б.И. №19. 1988.- 4с.

18. А.С. 1619276 СССР. Устройство для оперативного контроля цифровых блоков/ Латыпов Р.Х., Нурутдинов Ш.Р., Столов Е.Л. // Б.И.№ 1, 1990.-Зс.

19. А.С. 1714604. Устройство для контроля двоичных последовательностей/ Латыпов Р.Х., Нурутдинов Ш.Р., Столов Е.Л. // Б.И. №7. 1991.-Зс.

20. А.С. 1695304. Устройство для контроля логических блоков/ Латыпов Р.Х., Нурутдинов Ш.Р., Столов Е.Л. // Б.И. №44. 1991.- Зс.

21. Нурутдинов Ш.Р. Сигнатурный анализатор с нелинейными обратными связями// Некоторые проблемы вычислительной математики, математической физики и программного обеспечения.-М.: Изд-во МГУ, 1988. С.82-83.

22. Минниханов Р.Н., Нурутдинов Ш.Р., Столов E.J1. Контроль несанкционированной модификации больших файлов данных. //Тезисы докладов международной конференции «Информатизация правоохранительных систем», Москва., 1997, часть 2, С.68-69.

23. D.H. Green and I.S. Taylor. Irreducible polynomials over composite Galois fields and their applications in coding techniques. Proe. IEE, 121(9):93 5-939, September 1974.

24. A.C. 1481755 СССР, МКИ С 06 Г 7/58. Генератор случайного Марковского процесса / А.А.Гремальский, С.М.Андроник // Открытия, изобретения. 1989. - № 19. - С. 223.

25. Гремальский А.А., Андроник С.М. Генерация тестовых программ для микропроцессоров с помощью цепей Маркова // Исследование новых микропроцессорных приборов и устройств. Кишинев: Штинца, 1987.-С. 96-98.

26. Вероятностные автоматы и их приложения. Казань: Изд-во КГУ, 1986.-212 с.

27. Латыпов Р.Х., Нурутдинов Ш.Р., Столов Е.Л., Фараджев Р.Г. Применение теории линейных последовательных машин в системах диагностики. Обзор// Автоматика и телемеханика. 1988. - №8. - С. 3-27.

28. А.С. 664185 СССР. Генератор случайных чисел / Песошин В.А, Тарасов В.М., Мансуров P.M. // Открытия, изобретения. 1979. - № 19.

29. Алексеев В.Б. Сложность умножения матриц. Обзор// Кибернетический сб. М.:Мир, 1988. Вып. 25. С. 189 236.

30. Захаров В.М. Моделирование /-сложных цепей Маркова конечным детерминированным автоматом // Кн. Вероятностные автоматы и их приложения. Казань: Изд-во КГУ, 1986. - С. 155-161.

31. Гиоргадзе А.Х. Пространственно-временная декомпозиция и структурный анализ и синтез стохастических систем: Дисс. д-ра. техн. наук.-Тбилиси, 1981.-320 с.

32. Гладкий B.C. Вероятностные вычислительные модели. М.: Наука, 1973.-300 с.

33. Поспелов Д.А. Вероятностные автоматы. М.: Энергия, 1970. 88 с.

34. Лоренц А.А. Надёжность и быстродействие вероятностных автоматов. Рига: «Зинатне», 1976. - 112 с.

35. Бухараев Р. Г., Геза В.И. Специализированная ЭВМ для моделирования и обработки функций конечных однородных цепей Маркова. // Тезисы докл. Всес. симп. по вероятностным автоматам. Казань.: Изд-воКГУ, 1969.-С. 14-15.

36. Гилл А. Синтез вероятностных преобразователей. // Кибернетический сборник. М.: Мир, 1964. - №8.

37. Murray I.E. Consideration of Assumption. "IEEE Trans. Egng Manag." Vol., N 3, 1963, pp. 94-99.

38. Davis A.S. Markov chains as random input outomata. Amer. Math. Monthly, 1961, 68,3, pp. 264-267,

39. Wing O., Demetrions P. Analysis of probabilistic networks. IEEE trans, commun. techn., 1964, volume 12, N 3.

40. Booth J.L. Random input automata. Ln: JCMCL Conf., Tokyo, 1964.

41. Paz A. Introduction to probabilistic automata. N V, Academic Press., 1971.

42. James F. A review of pseudo-random number generators. // Comput. Phys. Commun., 1990, 60, N 3, pp. 329-344.

43. Столов Е.Л. Об одном классе генераторов псевдомарковских цепей // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казан, унта, 1985. Вып. 8. С. 66-71.

44. А.С. 526909 СССР. Устройство для моделирования марковских процессов / Добрыдень В.А. // Открытия, изобретения. 1976. - № 32.

45. А.С. 1524046 СССР. Генератор случайных чисел. / Бухараев Р.Г., Захаров В.М., Баранов Г.Г., Комаров Ю.С., Кузнецов С.Е., Макаров И.И., Пермитин В.В. // Б.И. 1983. - № 43.

46. Альпин Ю.А., Захаров В.М. Моделирование случайных последовательностей автономными автоматными схемами // Вероятностные автоматы и их приложения. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. С. 22-29.

47. Гиоргадзе А.Х., Сафиуллина А.Г. О декомпозиции вероятностных автоматов // Кибернетика. 1975. - №2.

48. Гиоргадзе А.Х. Некоторые методы пространственно-временной декомпозиции вероятностных автоматов // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 232. - №4.

49. А.С. 2802836 СССР. Устройство для умножения в конечных полях./ Харчистов Б.Ф., Финаев В.И. // БИ №15, 1981.

50. Сюрин В.Н., Иванов Н.Н., Альхимович В.В. Реализация вычислений в конечных полях. // Зарубежная радиоэлектроника. №5. - 1990.

51. Бояринов И.М. О систолических и полусистолических вычислениях в GF(2m). // Вопросы кибернетики. Разработка и использование СУПЕР-ЭВМ. М.: Наука, 1987. - С. 183-190. •

52. А.С. 1672438. Устройство для умножения двух элементов конечного поля GF(2n) / Нурутдинов Ш.Р., Столов Е.Л. // БИ, №31. 1991.

53. С. Paar. A new architecture for a parallel finite field multiplier with low complexity based on composite fields. IEEE Trans, on Computers, 45(7):856-861, July 1996.

54. H.F.Li, R.Jayakumar and C.Low. Restructuring for Fault-Tolerant Systolic Arrays // IEEE Trans, on computer, vol. 38. № 2, February 1989.

55. Jagma Sh., Aramaki T. Autonomously testable programmable logic arrays // Int. Simp, on FICS, Portland. June 1981. P. 41-43.

56. W.Daehn and J.Mucha. A hardware approach to self-testing of large programmable logic arrays // IEEE Trans. Comput., vol. C-80, N 11, pp. 829833, Nov. 1981.

57. Захаров B.M. Моделирование сложных цепей Маркова конечным детерминированным автоматом // Тезисы докладов III Всесоюзного симпозиума по вероятностным автоматам. Казань: Изд-во КГУ, 1983.-25 с.

58. А.С. 1108614 СССР. Генератор случайных последовательностей / Захаров В.М, Баранов Г.Г., Комаров Ю.С., Латыпов Р.Х., Столов Е.Л. // Б.И. 1984. - № 30.

59. А.с. 1224992 СССР. Генератор псевдослучайных чисел / Захаров В.М, Баранов Г.Г., Комаров Ю.С., Латыпов Р.Х., Столов Е.Л. // Б.И. 1986. -№14.

60. А.С. 1327099 СССР. Генератор случайных последовательностей / Захаров В.М, Баранов Г.Г. // Б.И. 1987. - № 28.

61. Кирьянов Б.Ф. Основы теории стохастических вычислительных машин и устройств. 1976. - Деп. ЦНИИГЭ приборостроения, № 524. -168с.

62. Алексеев В.Б. Некоторые вопросы сложности алгоритмов в дискретной математике и алгебре и их взаимосвязи// Сб. трудов XIII Между-нар. конф. «Проблемы теоретической кибернетики». Казань.: Изд-во КГУ, 2004. С.16 27.

63. Lows В.А., Rushforth С.К. A cellular-array multiplier for GF(2m). IEEE Trans. Comput., 1971, v.C-20, №12, pp 1573-1578.

64. T. Itoh and S. Tsujii. Structure of parallel multipliers for a class of fields GF(2k). Inform, and Сотр., 83:21-40, 1989.

65. E.D. Mastrovito. VLSI design for multiplication over finite fields GF(2m). In Lecture Notes in Computer Science 357, pages 297-309. Springer-Verlag, Berlin, March 1989.

66. M.A. Hasan, M. Wang, and V.K. Bhargava. Division and bit-serial multiplication over GF(qm). IEEE Trans, on Computers, 41(8):972-980, August 1992.

67. M.A. Hasan, M. Wang, and V.K. Bhargava. Modular construction of low complexity parallel multipliers for a class of finite fields GF(2m). IEEE Trans, on Computers, 41(8):962-971, August 1992.

68. S.T.J. Fenn, M. Benaissa, and D. Taylor. GF(2m) multiplication and division over the dual base. IEEE Trans, on Computers, 45(3):319-327, March 1996.

69. Захаров B.M., Нурутдинов Ш.Р. Шалагин С.В. Аппаратная реализация умножения элементов поля Галуа на программируемых микросхемах архитектуры FPGA // Вестник Казан, гос. техн. ун-та им. А.Н. Туполева. 2001. №1. С. 36-41.

70. Нурутдинов Ш.Р., Шалагин С.В. Вычисление произведения элементов поля Галуа // Теория сеточных методов для нелинейных краевыхзадач. Материалы третьего Всеросс. семинара. Казань: Изд-во Казанского мат. общества, 2000. - С. 144.

71. Рааг С., Fleishmann P., Roelse P. Efficient Multiplier Architectures for Galois Fields GF((24)") // IEEE Trans. Computers. 1998. № 2. Vol. 47. P. 162-170.

72. C. Paar and N. Lange. A comparative VLSI synthesis of finite field multipliers. In 3rd International Symposium on Communication Theory and its Applications, Lake District, UK, July 10-14 1995.

73. G. Orlando and C. Paar. A High-Performance Reconfigurable Elliptic Curve Processor for GF(2m). Workshop on Cryptographic Hardware and Embedded Systems (CHES) 2000, Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science 1965, 2000.

74. С. Paar, P. Fleischmann, and P. Soria-Rodriguez. Fast arithmetic for public-key algorithms in Galois fields with composite exponents. IEEE Transactions on Computers, 48(10): 1025-1034, October 1999.

75. Алгебра, коды, диагностика. / Ю.Л. Сагалович.- М: Институт проблем передачи информации. РАН. 1993 г. 196 с.

76. Нурутдинов Ш.Р., Столов Е.Л. Перестраиваемые схемы в системах встроенного тестирования. // Автоматика и телемеханика. 1995. -№3 - С. 179-183.

77. Кун С. Матричные процессоры на СБИС. Пер. с англ. -М.: Мир, 1991.-672с.

78. Нурутдинов Ш.Р. Моделирование цепей Маркова в полях Галуа //Дискретная математика.-М: АкадемИздатЦентр, Наука, РАН, том 16, выпуск 2, 2004. С.136-147.

79. Никонов В.В., Кравцов С.Г., Самошин В.Н. Систолическая обработка информации: элементная база и алгоритмы // Зарубежная радиоэлектроника, 1987, №7. С.34-52.

80. G. Orlando and С. Paar. An Efficient Squaring Architecture for GF(2m) and its Applications in Cryptographic Systems. Electronic Letters, June 2000, vol. 36, no. 13, pp. 1116-1117.

81. C.C. Wang and D. Pei. A VLSI design for computing exponentiation in GF(2m) and its application to generate pseudorandom number sequences. IEEE Trans, on Computers, C-39(2):258-262, Febr. 1990.

82. Нурутдинов Ш.Р. Умножение в поле Галуа GF(16) в базисе поля GF(4). // Сборник трудов IX Всероссийской школы-семинарга «Современные проблемы математического моделирования». Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского гос. ун-та, 2001. С. 272-274.

83. Нурутдинов Ш.Р. Операция умножения в расширениях полей Галуа// Материалы VIII Международного семинара "Дискретная математика и ее приложения" (2-6 февраля 2004г.) 4.1.- М:Изд-во центра прикл. исслед. при Мех-Мат фак-те МГУ, 2004.- С. 145-148.

84. Нурутдинов Ш.Р. Реализация операции умножения в поле Галуа GF(16) в базисе поля GF(4)II В сб. "Исследования по прикладной математике". Выпуск 23.-Казань: Изд-во Казан, мат. общ., 2001.-С.1П-П7.

85. Xilinx. The Programmable Logic Data Book 1998, Copyright 1998 Xilinx, Inc., Printed in U.S.A.

86. Нурутдинов Ш.Р., Столов Е.Л. Реализация автомата асинхронной сетью. // Кибернетика. Киев, 1988. - №6. - С. 108-109.

87. Нурутдинов Ш.Р. Обеспечение отказоустойчивости сетевой модели автомата// Исследования по прикладной математике. Вып.№16.: Изд-во Казан, ун-та, 1989. С. 138-144.

88. Нурутдинов Ш.Р. Моделирование конечных детерминированных автоматов в полях Галуа// Труды V Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения"( 17-21 сентября 2004г.) Казань:2004,- С.61-64.

89. Нурутдинов Ш.Р., Шалагин С.В. Минимизация количества элементов однородной вычислительной структуры // Исследования по информатике. Вып. 2. Казань: Отечество, 2000. С. 117-124.

90. Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. М.: Радио и связь, 1985. - 312 с.

91. Захаров В.М. Аппаратно-программная организация специализированных процессоров на основе автономных вероятностных автоматов: Дис. д-ра. техн. наук. Казань. - 1992.

92. Захаров В.М., Нурутдинов Ш.Р., Шалагин С.В., Соколов С.Ю. Представление марковских функций над полем Галуа // Тез. докл. XIII Междунар. конф. «Проблемы теоретической кибернетики». М.: Изд-во МГУ, 2002. 4.1. С.71.

93. Глова В.И., Захаров В.М., Песошин В.А., Шалагин С.В. Моделирование. Дискретные вероятностные модели. Учебное пособие. Казань: Изд-во АБАК, 1998. - 50 с.

94. Захаров В.М., Баранов Г.Г. Синтез циклических многозначных последовательностей с заданной структурой // Тезисы научно-технической конференции «Вероятностные автоматы и их приложения». Тбилиси: «Мецниереба», 1986. - С. 24.

95. Nurutdinov Sh.R. Markov Chains in Galois Fields//International conference OFEA'2001 OPTIMIZATION of FINITE ELEMENT APPROXIMATIONS \& SPLINES AND WAVELETS. S.-PETERBURG-pp.47-49.

96. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970. -272 с.

97. Захаров В.М., Нурутдинов Ш.Р., Соколов С.Ю., Шалагин С.В. Полиномиальное представление конечноавтоматных случайных-последовательностей над полем Галуа // Вестник Казан, гос. техн. ун-та им. А.Н. Туполева. 2003. - № 2. - С. 24-28.

98. Нурутдинов Ш.Р., Соколов С.Ю., Шалагин С.В. Синтез автоматных моделей цепей Маркова и их функций в конечных полях // Труды V Междунар. конф. «Новые информационные технологии и системы». Пенза: Изд-во Пензенск. ун-та, 2002. С. 211-213.

99. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь. М.: Сов. радио, 1974.

100. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т. 1.

101. Нурутдинов Ш.Р. Обеспечение отказоустойчивой сетевой модели автомата. // Исследования по прикладной математике. Вып. 16. Казань: Изд-во Казанского ун-та. 1989. - С. 138-144.

102. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984.

103. Романовский В.И. Дискретные цепи Маркова. M.-JL: Гостехиздат, 1949.-436 с.

104. Zacharov V.M., Kuznetsov S.E. Complexity of the problem of approximation of stochastic matrix by rational elements // International Conference FCT'87. Kazan, June 1987. Springer-Verlag Berlin, 1987. Vol. 278. P. 483-487.

105. Баранов Г.Г., Захаров B.M., Кузнецов C.E. Синтез циклических многозначных последовательностей с заданной структурой // Кибернетика. 1989. № 1.С. 15-18.

106. Захаров В.М., Столов E.JL, Баранов Г.Г., Комаров Ю.С. Генерирование псевдослучайных сигналов с марковскими свойствами // Тезисы докладов на конференции «Синтез и анализ цифровых алгоритмов обработки сигналов». Новгород, 1981.

107. Захаров В.М. Представление вероятностных автоматов некоторыми моделями орграфов // Тезисы докладов конф. «Математические методы в задачах исследования сложных систем». Пенза, 1984. -С.44-45,

108. Соколов С.Ю. Автоматное моделирование случайных процессов с последействием на основе эйлеровых стохастических матриц // Вестник Казан, гос. техн. ун-та им. А.Н. Туполева. 2003. - № 2. - С. 5862.

109. С.Е.Кузнецов, Н.Н.Нурмеев, Ф.И.Салимов. Задача о минимальном имплицирующем векторе.// Мат. Вопр. Киберн. Вып.З.: Сб. ст. /Под ред. С.В.Яблонского.- М.:Наука. Физматлит.С. 199-216.

110. Мальцев П.П. и др. Программируемые логические ИМС на КМОП-структурах и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1998.

111. Березнев А.Г. и др. Применение программируемых логических интегральных схем архитектуры FPGA в проектировании средств вычислительной техники. // Информационные технологии. 1996. - №1. - С. 34-37.

112. Захаров В.М., Нурутдинов Ш.Р., Шалагин С.В. Аппаратная реализация умножения элементов поля Галуа на программируемых микросхемах архитектуры FPGA // В сб. "Вестник Казанского государственного технологического университета", №1, 2001.- С.36-47.

113. Иванов М.А., Чугунов И.В. Теория, применение и оценка качества генераторов псевдослучайных последовательностей. М.: КУДНЦ -ОБРАЗ, 2003.

114. Кнышев Д.А., Кузелин М.О. ПЛИС фирмы «XILINX»: описание структуры основных семейств. М.: «Додэка - XXI», 2001.

115. Проектирование цифровых устройств на основе САПР/Xilinx. Учебное пособие / Бахарев А.Н., Захаров В.М., Кузнецов В.М., Песо-шин В.А., Шалагин С.В. Под редакцией Песошина В.А. Казань: Изд-во КГТУ им. А.Н.Туполева, 2002. - 121 с.