Параллельная h-версия МКЭ в решении двумерных задач теории упругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Новиков, Александр Константинович

• Новиков, Александр Константинович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Новиков, Александр Константинович

Список обозначений

Введение

I. Метод конечных элементов с адаптивным перестроением сетки в решении задачи теории упругости 10 ,1.1. Математическая постановка задачи теории упругости.

1.2. Конечно-элементная аппроксимация дифференциальных уравнений равновесия.

1.2.1. Триангуляция расчетной области.

1.2.2. Формирование системы линейных алгебраических уравнений МКЭ.

1.2.3. Особенности задания граничных условий первого рода

1.3. Метод решения конечно-элементной СЛАУ.

1.3.1. Элементная схема метода сопряженных градиентов

1.3.2. Начальное приближение в методе сопряженных градиентов.

1.4. Оценки погрешности и выбор критерия адаптации.

1.4.1. Априорные оценки погрешности решения.

1.4.2. Апостериорные оценки погрешности

1.4.3. Критерии адаптивного перестроения сетки.

1.5. Перестроение конечно-элементной сетки.

1.5.1. h-версия МКЭ

1.5.2. Изменение шага сетки и углов в треугольниках

1.5.3. r-версия МКЭ.

1.5.4. Сравнение методов перестроения сетки.

II. Параллельный МКЭ с перестраиваемой сеткой

2.1. Статическая балансировка

2.2. Параллельное решение СЛАУ.

2.2.1. Сокращение числа обменов.

2.2.2. Схема с совмещением вычислений и обменов

2.2.3. Сравнение параллельных схем МСГ.

2.3. Параллельное адаптивное перестроение сетки

2.3.1. Нумерация сеточных объектов.

2.3.2. Алгоритм параллельного перестроения сетки

2.4. Динамическая балансировка вычислительной нагрузки.

2.5. Структура вычислительных затрат алгоритма при решении задач теории упругости

III. Программное обеспечение параллельной h-версии МКЭ

3.1. Архитектура вычислительной системы и модель параллельных вычислений.

3.2. Структура прикладного программного обеспечения.

3.3. Структуры данных для хранения сетки, матриц и векторов 82 '

3.4. Организация и программная реализация коммуникаций

3.4.1. Параллельное перестроение сетки

3.4.2. Перераспределение сетки.

3.4.3. Решение линейных алгебраических уравнений

3.5. Интегрированное программное обеспечение.

IV. Результаты численных исследований двумерных задач теории упругости на многопроцессорной ЭВМ '

4.1. Деформирование цилиндра со сложной внутренней поверхностью.

4.2. Плотина на неоднородном основании.

4.3. Растяжение пластины из композиционного материала.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параллельная h-версия МКЭ в решении двумерных задач теории упругости»

В настоящее время активно развиваются конечно-разностные, конечно-элементные, конечно-объемные методы с уточнением сеточной аппроксимации. Используемые в этих методах расчетные сетки с шагом, зависящим от градиентов решения или от геометрии области, принято называть адаптивными. Адаптивные сетки широко применяются при математическом моделировании различных физических процессов [1-10]. Построению и перестроению адаптивных сеток посвящены работы А.Ф. Сидорова и его учеников, работы Г.П. Прокопова, Н.Н. Яненко, В.Ф. Тишкина, С.А. Иваненко, В.Д. Лисейкина, A.M. Сорокина, В.А. Гаранжи, П.А. Войновича, В.Н. Аптукова, А.И. Садырина и многих других ученых, в том числе и зарубежных.

Один из методов, в котором применяются адаптивные сетки, - это метод конечных элементов (МКЭ). Решение полученное в МКЭ является приближенным к точному [11]. Погрешность решения можно уменьшить с помощью процедур адаптивного перестроения, которые приводят к уменьшению шага сетки. Такими процедурами являются: деление конечных элементов на конечные элементы меньшего размера (h-версия), изменение координат узлов сетки (г-версия) и их комбинации hr-eepcuu МКЭ.

Адаптивные версии МКЭ обеспечивают заданную точность решения при меньших затратах, чем применение МКЭ на сетках постоянного шага с однородными по области интегрирования базисными функциями. Особенно эффективны адаптивные методы, когда решение задачи имеет особенности.

В задачах теории упругости, являющихся основой расчетов конструкций на прочность и жесткость, особенности решения вызваны:

1) неоднородностью конструкции (наличие отверстий,углов);

2) неоднородностью материала (включения других материалов, пористость, наличие "раковин");

3) неоднородностью нагрузки (сосредоточенные или локально распределенные нагрузки).

При моделировании реальных физических процессов вычислительные затраты сеточных методов даже с адаптивными расчетными сетками остаются значительными. Сократить время вычислений за счет их параллельного выполнения позволило бы применение многопроцессорных ЭВМ. Разработки параллельных алгоритмов для решения задач математической физики и линейной алгебры ведутся в многих институтах Академии наук (МММ РАН, ИАП РАН, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, ВЦ РАН, ИММ УрО РАН, ИМСС УрО РАН, ИВМ и МГ СО РАН). Это работы О.М. Белоцерковского, Б.Н. Четверушкина, А.В. Забродина, Ю.А. Кузнецова и их учеников [15-19].

Сочетание адаптивного перестроения сетки и параллельных вычислений позволило бы совместить преимущества этих подходов. Поэтому стала актуальной задачей разработка параллельного алгоритма метода конечных элементов с адаптивным перестроением сетки (параллельной h-eepcuu МКЭ).

Целями данной работы являются:

1. Построение алгоритма метода конечных элементов с адаптивным (исходя из погрешности решения) перестроением сетки и параллельной организацией вычислений.

2. Разработка алгоритмов параллельного перестроения треугольной конечно-элементной сетки.

3. Сравнение алгоритмов перестроения сетки.

4. Исследование критериев адаптации сетки.

5. Численное исследование эффективности алгоритма при решении двумерных задач теории упругости.

Работа состоит из введения, четырех глав, восемнадцати параграфов (нумерация параграфов по главам), заключения, списка литературы и содержит 55 рисунков, 5 таблиц. Объем работы 117 страниц. Библиографический список включает 103 наименования.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, изложено краткое содержание работы по главам.

Первая глава содержит: постановку задачи теории упругости в перемещениях, конечно-элементную аппроксимацию уравнений теории упругости, алгоритм МКЭ с адаптивным перестроением сетки. Обосновывается выбор метода решения систем линейных алгебраических уравнений (элементной схемы метода сопряженных градиентов). Приводятся существующие априорные оценки погрешности МКЭ. Вводится апостериорная оценка погрешности и обосновывается выбор критерия перестроения сетки. На примере, имеющем аналитическое решение, показывается достоверность оценки погрешности. Приводится анализ способов перестроения неструктурированных сеток. Завершает главу сравнение способов перестроения сетки.

Во второй главе предлагается параллельный алгоритм метода конечных элементов с адаптивным перестроением сетки, включающий: параллельные алгоритмы метода сопряженных градиентов (МСГ) и перестроения сетки, а также балансировку вычислительной нагрузки. Вводятся параллельные алгоритмы МСГ. Обсуждаются особенности параллельного построения и перестроения расчетной сетки. Предлагаются алгоритмы параллельного построения и перестроения сетки. Обосновывается необходимость балансировки вычислительной нагрузки в параллельной реализации МКЭ с адаптивным перестроением сетки. В завершении главы приводится структура вычислительных затрат параллельной h-eepcuu МКЭ и эффективность распараллеливания.

Третья глава посвящена программной реализации алгоритмов. В этой главе показывается модель параллельных вычислений, примененная в работе, структура данных для представления расчетной сетки, конечно-элементных матриц и векторов; обсуждается организация межпроцессорных коммуникаций на основе библиотеки MPI (Message Passing Interface), обсуждение иллюстрируется фрагментами программ, приводится использованное программное обеспечение и характеристики вычислительной техники, на которой производились вычисления.

В четвертой главе параллельная h-версия МКЭ применяется при моделировании напряженно-деформированного состояния конструкций с концентраторами напряжений различной природы; приводятся результаты моделирования (изоповерхности напряжений, перемещений, деформированные конструкции).

Заключение содержит основные результаты и выводы по работе.

Результаты, представленные в работе, докладывались: на V Международном конгрессе по математическому моделированию в г. Дубна (2002г.); VIII Всероссийском съезде механиков в г. Пермь (2001г.); Международной конференции по вычислительной гидродинамике Parallel CFD в г. Москве (2003г.); 15-й Международной конференции по методам декомпозиции области в г. Берлине (2003г.); Всероссийских совещаниях по проблемам построения сеток в п. Абрау-Дюрсо (1996г.), в г. Пущино (2000г.); Всероссийской конференции "Высокопроизводительные вычисления и их приложения", г. Черноголовка (2000г.); Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики "в г. Екатеринбург (2003г.); на I, II конференциях "Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике"в г. Ижевске (1996, 1998гг.); Всероссийских молодежных школах-конференциях (по математическому моделированию, геометрии и алгебре, 1995г; "Итерационные методы решения линейных и нелинейных сеточных задач", 1999г; "Численные методы решения линейнрх и нелинейных краевых задач", 2001, 2003гг.) в г. Казани.

Основные результаты опубликованы в двадцати четырех работах.

Выражаю глубокую признательность профессору М.Ю. Альесу за постоянное внимание к работе и сделанные в процессе работы важные замечания. Искренне благодарю к.ф-м.н., с.н.с. С.П. Копысова за консультации и полезные обсуждения адаптивных процедур метода конечных элементов, параллельных алгоритмов и оценок погрешности, а также за ценные замечания по структуре диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Новиков, Александр Константинович

Заключение

1. Разработан алгоритм решения задач теории упругости на основе h-eepcuu МКЭ и параллельных вычислений, включающий: параллельную элементную схему метода сопряженных градиентов; апостериорную оценку погрешности и критерий адаптации; параллельное адаптивное перестроение треугольной конечно-элементных сетки; балансировку вычислительной нагрузки, в том числе для гетерогенных вычислительных систем.

2. Разработаны алгоритмы параллельного перестроения сетки, которые реализуют несколько способов деления треугольных КЭ и требуют менее 0.1% в вычислительных затратах алгоритма h-eepcuu МКЭ.

• 3. Созданы и численно исследованы параллельные алгоритмы метода сопряженных градиентов с сокращенной коммуникационной нагрузкой для СЛАУ, с расщепляющейся матрицей коэффициентов, которые позволили сократить время вычислений на 15 — 20%.

4. Разработан алгоритм параллельного построения треугольных конечно-элементных сеток, обеспечивающий построение распределенной по процессорам сетки и может быть использован для статической балансировки вычислительной нагрузки. I

5. Проведены численные исследования напряженно-деформированного состояния: цилиндрической конструкции с внутренней границей сложной формы нагруженной давлением; плотины на неоднородном основании под действием сил тяжести и гидростатического давления воды; композиционного материала с реальным распределением включений, имеющих разный размер и ориентацию в пространстве. Выполненные исследования показали, что предложенные оценка погрешности и критерий перестроения хорошо отражают особенности решений, вызванные: нерегулярностью границ деформируемого тела; локальным приложением нагрузки и неоднородностью материала. Исследована эффективность алгоритма и вклады во временные затраты его отдельных шагов при проведении расчетов на нескольких многопроцессорных вычислительных системах. Результаты исследований показали, что алгоритм достаточно эффективен (88%), а наибольшие затраты времени счета приходятся на решение СЛАУ (до. 78%) и вычисление оценки погрешности (20 — 30%).

Численные исследования показали, что временные затраты на решение по h-версии МКЭ существенно меньше, чем при решении на равномерной перестроенной сетке (до двух порядков). Так же следует отметить, что для рассмотренных задач с неоднородностью материала погрешность (1.38) в интервале 1 — 5% достигалась на сетках с числом конечных элементов 105-10G.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Новиков, Александр Константинович, 2004 год

1. Serezhnikova T.I., Sidorov A.F. and Ushakova O.V. On one method of construction of optimal curvilinear grids and its applications // Sov. J. Numer. Anal, and Math. Modelling. 1989. - V. 4. - №. - P. 137-155.

2. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построения разностных сеток // Журн. вычисл. математики и ма-тем. физики. 1967. - Т. 7. - №5. - С. 1031-1059.

3. Лисейкин В.Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1996. - Т. 36. - т. - С. 3-41.

4. Андрианов А.Н., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Использование параллельных алгоритмов для расчетов газодинамических течений на нерегулярных сетках // В сб. Прикладная математика и информатика. М.: Изд. факультета ВМиК МГУ. 2000. - N4.

5. Похилко В.И., Тишкин В.Ф. Однородный алгоритм расчета разрывных решений на адаптивных сетках // Матем. моделирование. 1994. -Т. 6.-Ml. - С. 25-40.

6. Емельянов К.В. Применение оптимальных разностных сеток к решению задач с сингулярным возмущением // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1994. - Т. 34. - №6. - С. 936-943.

7. Дегтерев Л.М., Дроздов В.В. Адаптирующиеся к решению сетки в эллиптических задачах на плоскости // Дифференц. уравнения. -1984. Т. 20. - №7. - С. 1194-1203.

8. Аптуков В.Н., Фонарев А.В. Расчет упругопластических течений на нерегулярных треугольных сетках с перестройкой // Прикл. матем. и техн. физ. 1990. - Т. 6. - С. 109-115.

9. Садырин А.И. Применение треугольных сеток к решению динамических упругопластических задач // Всес. межвуз. сб. Прикл. пр'обл.прочн. и пластичности. Статика и динамика деформируемых систем.- Горький.: Горьк. ун-т. 1983.- С. 39-46.

10. Вабищевич П.Н., Салаева Т.В. Пространственно-адаптивные сетки с локальным сгущением для эллиптических задач // Вест. Москв. ун-та. Сер. 15, Вычисл.матем. и киберн. 1991. - №2. - С. 15-20.

11. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация М.: Мир, 1986. - 318 с.

12. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 349 с.

13. Круглякова JI.B., Неледова А.В., Тишкин В.Ф., Филатов А.Ю. Неструктурированные адаптивные сетки для задач математической физики (обзор) // Матем. моделирование. 1998. - Т. 10. - №3.- С. 93-116.

14. Копысов С.П., Новиков А.К. Оценка погрешности и h-версия МКЭ для решения задач упругости // Сб. науч. тр. "Проблемы механики и материаловедения", ИПМ УрО РАН, Ижевск, 2001, Изд. ИПМ УрО РАН, Ижевск, 2001. С. 106-114.

15. Белоцерковский О.М. Математическое моделирование на суперкомпьютерах (опыт и тенденции)// Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2000. - Т. 40. - № 8. - С. 1173-1188.

16. Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике: новая модель вязкого газа, алгоритмы, параллельная реализация, приложения М.: Изд. МГУ, 1999. - 232с.

17. Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и высокопроизводительные многопроцессорные вычисления в газовой динамике // Вычислительные технологии. Новосибирск. Изд. СО РАН. - 2002. - Т. 7. - №6.

18. Zabrodin A.V., Levin V.K., Korneev V.V. The Massively Parallel Computer System MBC-100 // Proc. of the Int. Conf. on Parallel Computing Technologies (PaCT 95). Lecture Notes in Computer Science. 1995. -Vol. 964. - P. 342-356.

19. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 349 с.

20. Норри Д.,де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981. - 304 с.

21. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastine C.Wayne. Numerical grid generation: Foundation and applications. New York etc.: North-Holland, 1985. - 483 p.

22. Хайруллина О.Б. Методы расчета блочных оптимальных сеток в двумерных многосвязных областях // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделир. физ. процессов. 1992. Вып. 1. С. 62-66.

23. Прокопов Г.П. Об организации сравнения алгоритмов и программ построения регулярных двумерных разностных сеток // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделир. физ. процессов. 1989. Вып. 3. С. 98-108.

24. Уманский С.Э. Алгоритм и программа триангуляции двумерной области произвольной формы // Проблемы прочности. 1978. - №6. -С. 83-87.

25. Гаранжа В.А. Построение, распутывание и оптимизация трехмерных гибридных расчетных сеток // Прикл. геометрия, построение сеток и высокопроизводительные вычисления. Под ред. Ю.Г. Евтушенко, М.К. Керимов, В.А. Гаранжа. М. ВЦ РАН, 2004.

26. Cavendish J.C. Automatic triangulation of arbitary planar domains for the finite element method // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1978, V.8, №4, P. 679-696.

27. Дворников M.B., Тишкин В.Ф., Филатов А.Ю. Триангуляция произвольной многосвязной области со сложной границей. М., 1995.- 23 с. (Препринт РАН, Ин-т. мат. моделирования: 7).

28. Яненко Н.Н., Данаев Н.Т., Лисейкин В.Д. О вариационном методе построения сеток // Числ. методы механики сплош. среды. Новосибирск. 1977. - Т. 8. - т. - С. 157-163.

29. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. -М.: Мир, 1989, 478 с.

30. Кузнецов Ю.А. Построение динамических триангуляций Делоне // Вариационные методы в задачах численного анализа. АН СССР СО, ВЦ, 1991. - С.76-83.

31. Watson D.F. Computing the n-Dimensional Delaunay Tesselations with Application to Voronoi Polytopes //Comput. J. 1981. - V. 24. - K°-2. -P. 167-172.

32. Sloan S.W. A Fast Algorithm for Constructing Delannay Triangulations in the Plane//Adv. Eng. Soft. 1987. - V. 9. - №. - P. 34-55.

33. Комарницкий В.И. Основания аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. М.: Гостехиздат, 1933, 263 с.

34. Альес М.Ю., Копысов С.П., Варнавский А.И., Новиков А.К. Построение диаграмм Вороного и триангуляции Делоне на плоскости и в пространстве. Ижевск, 1996. - 39с. (Препринт УрО РАН, Ин-т. при-кл. механики).

35. Жермен-Лакур П., Жорж П.Л., Пистр Ф., Безье П. Математика и САПР. В 2-х кн. Кн. 2 М.:Мир, 1989. - 264 с.

36. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988.410 с.

37. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984.- 333 с.

38. Сегерлинд Jl. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. - 392 с.

39. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984.428 с.

40. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987. 600 с.

41. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. М.: Физ-матлит, 1994. - 336 с.

42. Амосов А.А., Дубинский Н.П., Копченова Г.М. Вычислительные методы для инженеров. М.:Высшая Школа, 1994. - 544 с.

43. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

44. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. -548 с.•47. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 320 с.

45. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1999. - 548 с.

46. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.- 608 с.

47. Кузнецов Ю.А. Метод сопряженных градиентов, его обобщения и применения //Вычислительные процессы и системы/ Под ред. Г.И. Марчука. М.: Наука, 1983. - С.264-300.

48. Фрид. И. Еще о градиентных итерационных методах в конечноэле-ментных исследованиях //Ракетная техника и космонавтика. 1969. - Т. 7. - т. - С. 213-215.

49. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980. 512 с.

50. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы М.: Наука, 1981. - 416 с.

51. Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей. JL: Изд.ЛГУ, 1988. - 334 с.

52. Г^епин С.И., Фролов М.Е. Об апостериорных оценках точности приближенных решений краевых задач для уравнений эллиптического типа // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2002. - Т. 42. - № 12. - С. 1774-1787.

53. Копысов С.П., Альес М.Ю., Устюжанин С.Л. Сравнение способов уточнения в методе конечных элементов //В сб.: Применение мат. моделирования для решения задач в науке и технике. Ижевск, 1996. -С. 222-228.

54. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. - 744 с.

55. Дарьин Н.А., Мажукин В.И. Об одном подходе к построению адаптивных разностных сеток //ДАН СССР. 1986. - Т. 298. - №1. - С. 64-68.

56. Похилко В.И., Тишкин В.Ф. Метод построения адаптивных неструктурированных сеток М., 1994. - 16 с. (Препринт РАН, Инст. матем. моделирования: 18).

57. Похилко В.И., Тишкин В.Ф. О построении адаптивных сеток путем дробления ячеек М., 1995. - 12 с. (Препринт РАН, Инст. матем. моделирования: 14).

58. Mitchell W.F. A comparison of adaptive refinement tecniques for elliptic problems //ACM Trans, on Math. Soft. 1989. - V. 15.- P. 326-347.

59. Войнович П.А., Шаров Д.М. Моделирование разрывных течений газа на неструктурированных сетках. 2. Нестационарная локальная адаптация сетки // Матем, моделирование. 1993. - Т.5. - N27. -С. 101-112.

60. Rivara М.С. Design and Data Structure of Fully Adaptive, Multigrid, Finite element Software //ACM Trans, on Math. Soft. 1984. - V. 10. -№3. - P. 242-264.

61. Копысов С.П., Новиков А.К. Анализ способов перестроения треугольных конечно-элементных сеток // Тр. Мат. центра им. Н.И.

62. Лобачевского. Т.20 Казан, мат. о-во. Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач. Материалы второй Всерос. мо-лодеж. науч. школы-конф. 27.06-1.07.2003, Казань. Изд. Казан, мат. о-ва, Казань, 2003. -С. 170-180.

63. Capon P. J., Jimack Р.К. On the adaptive finite element solution of partial differential equations using h-r-refinement //Tech. Rep. 96.13, School of Сотр. Studies, University of Leeds, 1996.

64. Malcolm A.J. Data-dependent criteria for nodal placement with fixed connectivity in triangular grids //Rep. 16/90, University of Reading,1990.

65. Мажукин В.И., Самарский А.А. и др. Метод динамической адаптации для нестационарных задач с большими градиентами //Матем. моделирование. 1993. - Т. 5. - №4. - С. 32-56.

66. Miller, et al. Moving Finite Elements, I,II. SIAM J. Numer. Anal.,1981, v.18, №6, p. 1019-1057.

67. Jimack P.K. An optimal finite element mesh for linear elastic structural analysis // Tech. Rep. 94.20, School of Computer Studies, University of Leeds, 1994.

68. Копысов С.П., Новиков А.К. Сравнение г- и h-версий МКЭ на примере задач теории упругости // Актуальные проблемы прикл. математики и механики, 3-7 фев. 2003 г., Екатеринбург, 2003. С. 44-45.

69. Альес М.Ю., Копысов С.П., Новиков А.К. Построение и адаптация конечно-элементной сетки при решении эллиптической задачи второго порядка // Матем. моделирование. 1997. - Т.9. - №2. - 43-45.

70. Альес М.Ю., Копысов С.П., Новиков А.К. Параллельное построение плоских конечно-элементных сеток // Матем. моделирование. -1998. Т.10. -№5. - С. 71-76.

71. Альес М.Ю., Копысов С.П., Новиков А.К. Построение и отображение плоских конечно-элементных сеток на параллельной вычислительной системе // В сб.: Применение матем. моделирования для решения задач в науке и технике. Ижевск, 1996. С. 118-126.

72. Альес М.Ю., Копысов С.П., Новиков А.К. Алгоритм и реализация параллельного перестроения сетки // Сб. трудов VIII Всерос. школы-семинара "Современные проблемы матем. моделирования", РГУ, Ростов-на-Дону, 1999. С. 3-9.

73. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Сортировка и поиск. М.: Мир, 1978. - 844 с.

74. Копысов С.П. Методы декомпозиции и параллельные схемы метода конечных элементов. Ижевск, 1999. - 49 с. (Препринт УрО РАН, Инст. прикл. механики).

75. Gilbert J.R., Miller G.L., Teng S.-H. Geometric mesh partitioning // Tech. Rep. CSL-94-13. Xerox PARC. - 1994.

76. Hendrickson В., Leland R. A multilevel algorithm for partitioning graphs // Rep. SAND93-0074. Sandia National Lab., Albuquerque, NM.- 1993.

77. Pilkington J.R., Baden S.B. Partitioning with specefilling curves //CSE Tech. Rep. CS94-349, Dept. Сотр. Science and Eng., University of California, San Diego, CA. 1994.

78. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1991. - 367с.

79. Barragy Е., Carey G.F., van de Geun R. Perfomance and Scalability of Finite Element Analysis for Distributed Parallel Computation. Journal of Parallel and Distributed Computing, 1994. 21, P. 202-212.

80. Новиков А.К., Копысов С.П., Альес М.Ю. Параллельное поэлементное формирование и решение конечно-элементных уравнений // Сб.

81. Современные проблемы матем. моделирования", Ростов-на-Дону,1. РГУ, 1997. С. 107-109.

82. Kopyssov S., Novikov A. Parallel Adaptive Mesh Refinement with Load Balancing for Finite Element Method // V. Malyshkin (Eds.): Parallel Computing Technologies 6th Int. Conf., PaCT 2001, Novosibirsk, Sep. 3-7, 2001, Proceedings. 2001. P. 266-276.

83. Oden J.T., Patra A., Feng Y. Parallel Domain Decomposition Solver for Adaptive hp Finite Element Methods // Tech. Rep. TICAM 94-11.-University of Texas at Austin. -1994. 39 p.

84. Копысов С.П., Новиков А.К. Параллельные алгоритмы адаптивного перестроения и разделения неструктурированных сеток // Матем. моделирование. 2002. - Т. 14. - №9. - С. 91-96.

85. Karypis G., Schloegel. К., Kumar V. ParMetis: Parallel Graph Partitioning and Sparse Matrix Ordering Library //Tech. Rep., Dept. of Сотр. Science, University of Minnesota, 1998.

86. Devine K., Hendrickson В., Boman E., etc. Zoltan: A Dynamic Load-Balancing Library for Parallel Applications. User's Guide //Tech. Rep. SAND99-1377, Sandia National Lab., Albuquerque, 1999.

87. Snir M., Otto S., Huss-Lederman S., Walker D., Dongarra J. MPI: Complete Reference. London: MIT Press, 1996. - 350 p.

88. Alies M.Yu., Kopyssov S.P., Ustushanin S.L., Novikov A.K. Estimation of influence of nonlinear behaviour of SRP at complex loading // Int.conf. on combustion (ICOC(93)) Moscow-St.-Petersburg, Russia 21-26 June 1993. r P. 280-294.

89. Альес M. Ю., Копысов С.П., Новиков А.К., Устюжанин СЛ. Адаптивный конечно-элементный метод при решении задач деформирования зарядов //В сб. "Современные проблемы внутренней баллистики РДТТ". Ижевск, 1996. - С. 218-227.

90. Основы строительной механики ракет /Балабух Л.И., Колесников К.С., Зарубин B.C. и др. М. : Высшая школа, 1969. - 496с.

91. Гидротехнические сооружения. Справочник проектировщика /Под общ. ред. В.П. Недриги. М.: Стройиздат, 1983. - 543 с.