Оценка и приближение сегментных функций полиномиальной полосой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Сорина, Евгения Владимировна

• Сорина, Евгения Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сорина, Евгения Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ ЗАДАЧ.

§ 1. Постановки задач.

1.1. Внешняя оценка сегментной функции полиномиальной полосой.

1.2. Псевдовнутренняя оценка сегментной функции полиномиальной полосой.

1.3. Наилучшее равномерное приближение сегментной функции полиномиальной полосой.

§ 2. Наилучшее приближение сегментной функции полиномиальной полосой фиксированной ширины.

§ 3. Связь задач о внешней и внутренней оценке с задачей приближения полиномиальной полосой фиксированной ширины.

§ 4. Связь задачи о наилучшем приближении с задачей приближения полиномиальной полосой фиксированной ширины.

§ 5. Сравнение задачи о внешней оценке с задачей Б. Сендова.

Глава 2. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

§ 6. Существование решений задач.

§ 7. Критерии решения задач о внешней и псевдовнутренней оценках.

§ 8. Критерий решения задачи о наилучшем приближении полиномиальной полосой фиксированной ширины.

§ 9. Необходимые и достаточные условия решения задачи наилучшего приближения.

Глава 3. УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ.

§ 10. Условия единственности решения задачи о внешней оценке.

§11. Условия единственности решения задачи приближения полосой фиксированной ширины.

§ 12. Условия единственности решения задачи о наилучшем приближении

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка и приближение сегментных функций полиномиальной полосой»

1. Задачи по оценке и приближению сложных многозначных отображений многозначными отображениями простой структуры находят обширные приложения в естествознании, в том числе и в самой математике, и представляют один из разделов негладкого анализа.

Локальными аппроксимациями многозначных отображений занимались многие отечественные и зарубежные математики (Пшеничный Б.Н. ([16] — [17]), Демьянов В.Ф. ([4] - [7]), Рубинов A.M. ([19] - [20]), Половинкин Е.С. ([14] - [15]), Минченко Л.И. ([11]), Обен Ж.П. ([13]), Гороховик В.В. ([1]) и др.)

К задачам, имеющим нелокальный характер, относятся, в частности, внешнее и внутреннее эллипсоидальное оценивание многозначных отображений. Многие известные математики занимались эллипсоидальными оценками множеств достижимости динамических систем (см., например, Черноусько Ф.Л. ([22]), Куржанский А.Б. ([23])).

Относительно немного известно работ по равномерному приближению многозначных отображений на заданном множестве. Так в работе Никольского М.С. ([12]) рассматривается задача о равномерном приближении непрерывного многозначного отображения, заданного на отрезке, постоянным выпукло-значным отображением.

Простейшим примером многозначного отображения является сегментная функция. Диссертация посвящена исследованию некоторых задач по оценке и приближению сегментной функции таким объектом как полиномиальная полоса. Сформулируем эти задачи.

Будем считать, что сегментная функция ^(0 = [/1 (0> /2 (0] задана на отрезке [с,d] двумя непрерывными функциями /}(/) и /2(/), причём f\(t)<f2(t) при всех te;\c,d\. Обозначим через Pn(A,t) = a0 + axt + . + antn полином фиксированной степени п с вектором коэффициентов А = е. Задачу piA)= m^mzK{Pn{A,t)-fx{t)J2(t)-Pn{A,t)}-^ min (0.1)

4eR будем называть задачей о внешней оценке сегментной функции F(t) полиномиальной полосой. Её геометрический смысл состоит в построении полиномиальной полосы наименьшей (по ординате) ширины, содержащей в себе график данной сегментной функции F(t). Под полиномиальной полосой с осью, задаваемой полиномом Pn(A,t), и шириной (по ординате) 2г мы понимаем график сегментной функции ГТ„ (A,r,t) = [Pn(A,t)- г, Рп( A, t) + г].

Задача, отличающаяся от (0.1) перестановкой функций fx(t) и f2(t), ж(А)= mmLm3K{fx(t)-Pn(Aj\Pn(Aj)-f2(j;)}-> min (0.2) называется в диссертации задачей о псевдовнутренней оценке сегментной функции F(t) полиномиальной полосой. Если минимальное значение целевой функции 7г(А) меньше нуля, то её геометрический смысл заключается в построении полиномиальной полосы наибольшей ширины, которая содержится в графике сегментной функции F(t).

Следующая рассматриваемая задача p(A,r)= max max(|/j(£)-Р (A,t) + r\,\f2(t) — Pn(A,t) — -» min (0.3) называется задачей наилучшего равномерного хаусдорфова приближения сегментной функции F(t) полиномиальной полосой.

Последнюю задачу p(A,r)-^ min , (0.4) которая отличается от (0.3) тем, что минимизация осуществляется только по А е МЛ+1 при фиксированном значении г, будем называть задачей наилучшего равномерного приближения сегментной функции F(t) полиномиальной полосой фиксированной ширины 2г.

Цель диссертации состоит в следующем

- установить взаимосвязь задач (0.1) - (0.4),

- получить необходимые и достаточные условия их решения,

- получить достаточные условия единственности их решения.

Целевые функции всех экстремальных задач (0.1) - (0.4) являются выпуклыми конечными функциями. При исследовании в основном применялись методы выпуклого анализа, использовались также некоторые факты из теории приближений и многозначного анализа.

2. Приведём сравнение с некоторыми известными задачами.

Нетрудно убедиться, что при /j (/) = f2 (t) для t е \c,d\ все задачи становятся эквивалентными задаче П.Л.Чебышёва о равномерном приближении непрерывной функции полиномом заданной степени max \Рп(А,0-/(0|-> min • (0:5) te[c,dy ЛеКя+1

Задача (0.1) даёт также повод для гипотезы: не является ли она эквивалентной задаче (0.5) для /(0 = (/i(0 + fiif))!^- Однако простые примеры говорят, что это не так.

В монографии Б. Сендова [21] рассматривалась задача о приближении графика сегментной функции графиком полинома в метрике Хаусдорфа двумерного пространства. Эта задача (в условиях специфики выбранной метрики Хаусдорфа ([21, с.37]), как следует из примера, приведённого самим автором ([21, с. 117 — 11В]), не является задачей выпуклого программирования в отличие от задач (0.1) - (0.5).

Уместно также вспомнить задачу об ужах (см. [8, с. 34]), в которой требуется найти полиномы заданной степени п (верхний и нижний ужи), которые п +1 раз своим графиком касаются поочерёдно графиков заданных непрерывных функций £](/) и g2(0 на отрезке при условии, что g\(t) < g2{t) на всём отрезке, и при этом графики полиномов содержатся в графике сегментной функции Ф(0 = [g\ (t), g2 (01 • Нами будет показано, что при определённых условиях решение задачи (0.1) будет давать решение задачи об ужах, но для такого ужа обязательно имеет место "избыточный" альтернате, в том смысле, что этот уж, по крайней мере, п + 2 раза поочерёдно касается графиков некоторых функций ^0) и g2(t).

Наконец, отметим, что в дискретной постановке задача (0.1) рассматривалась И.Ю. Выгодчиковой ([2] - [3]), то есть когда в (0.1) отрезок \c,d\ заменяется конечным набором точек.

Более подробно с примерами эти сравнения делаются по мере изложения текста диссертации.

Диссертация состоит из трёх глав, содержащих 12 параграфов. Приведём основные результаты исследований.

3. Главная цель, поставленная в первой главе, — установить взаимосвязь рассматриваемых задач.

В методическом плане проводимое здесь исследование опирается на работу С.И. Дудова [9], где выявлена взаимосвязь некоторых задач по оценке и приближению выпуклого компакта шаром некоторой нормы. Задачи (0.1) - (0.4) можно рассматривать как некоторые аналоги рассматриваемых в [9] задач.

В §§ 1-2 даются постановки задач (0.1) - (0.3), обсуждается их сравнение с известными задачами, вводятся обозначения для оптимальных значений целевых функций и множества решений: р* = min р{А), = Arg min р(А), я* = min 7г(А), Qv=Arg min к{А\, AeRn+l V ' V ' p = min (p(A,r), Q :3r>0,(p(A,r) = (p*}, r> 0 p(r) = Arg min a>(A,r).

Отметим, что из-за некоторых соображений, связанных с удобством изложения, существование решений задач (0.1) - (0.4), то есть непустота множеств С1р, Ож,

Qp и Q^(r), а также их выпуклость и компактность, доказаны позже в § 6 главы 2.

Кроме того, в § 2 фиксируется важная связь целевых функций поставленных задач.

Теорема 2.1. При любых А е ]R"+1 и г> 0 справедливо равенство р (А, г ) = max {/? ( А) - г, л (А) + г }.

Главные результаты главы получены в § 3. Здесь устанавливается параметрическая связь задачи (0.4) с задачами (0.1) и (0.2). Для этого вводятся обозначения р+ = max р(А), р~ = min р(А), ж+ - max ж(А), it~ = min ж(А),

AeClp AeQp р -Ж~ р -7Т+ + р+-7Г* р~-7Г*

ГР ~ о ' Гр о ' 0 ' гп

Тр (г) = пр n {А е R"+l: р - г > ж{А) + г}, TP (г) = ПжС\{Ае 1Г+1: р(А) -г < я*+г].

Показывается (леммы 3.1 - 3.2), что справедливы соотношения

0<г~<г+<г~</£<+оо, rt=r- ПРС\ПЖ*0.

Конкретную связь решений задач (0.1) и (0.2) с решениями задачи (0.4) выражает цдон

Теорема 3.1 \) Справедлива формула

Q.p, если г e[o,r~J, Тр {г\ если г е [г~, г], Т£(г\ если г е J,

Од., если г е [г;, +со j.

2) Если Q,p ПФ 0, mo fp—r~ — (/?* — ж ) /2 и при этом *

3) Если Qp П =0, то

О/r) П{Пр11Ож} = 0, Vre(r;,r"), wo есть на интервале {гр,г~) среди решений задачи (0.4) нет решений задач (0.1) и (0.2).

Также в § 3 доказано, что как многозначное отображение ттаЯ+1 Г И

Q^(-): М+ -> 2 на отрезке \гр ,гр непрерывно по Какутани и строго монотонно убывает по включению (теорема 3.2), а на отрезке J оно также непрерывно по Какутани, но строго монотонно возрастает по включению (теорема 3.3).

В § 4 для функции f(r)= min (р(А,г) показано (теорема 4.1), что она является выпуклой и конечной при г > 0, причём р*-г, если re

Rr) = ж* + г, если г е JV^., +оо j.

Принимая обозначение rl,rl\ = Argmmf{r)t l j г> о устанавливается связь задачи (0.3) с задачей (0.4).

Теорема 4.2. Для того, чтобы пара (А ,г ) доставляла минимальное значение функции (р{А,г) в задаче (0.3) необходимо и достаточно, чтобы г* и /еП^/): p(A*,r*) = min (р{А,г) 1 r е г> 0

Эту связь можно выразить в виде

Устанавливаются также важные свойства решения задачи (0.4) на интервале (гр,г~У

Теорема 4.3. Если Qp П^д- =0, то справедливы соотношения р{А)-г = ж{А) + г, AeQ^(r),

В § 5 показывается, как заменив метрику, используемую Б. Сендовым в [21, с. 37], и наложив некоторые дополнительные условия, можно говорить об эквивалентности задачи о внешней оценке (0.1) и задачи, рассматриваемой в [21].

4. Главная цель главы 2 — характеризация решений, рассматриваемых задач в форме, сравнимой с чебышевским альтернансом.

В § 6 показано, что решения всех задач (0.1) - (0.4) существуют и ограничены. Поэтому из выпуклости и конечности (а следовательно^ и непрерывности (см. [6, с. 43])) целевых функций в целом получаем, что множества Qp,

Qp и 0.ф(г) являются выпуклыми компактами.

В § 7 средствами выпуклого анализа на основе полученных формул субдифференциалов функций р(А) и 7г(А) установлены критерии решения задач о внешней и псевдовнутренней оценках (0.1) - (0.2). Введём обозначения

RP (А) = {/ е [c,d]: р(А) = Pn{A,t) - fx(t) > f2(t) - Pn{A,t)},

R2 (a) = {>e M • P(A) = /2(0 " РпШ) > Pn{A,t) - №}, R? (A) = {t g [c,d]: p{A) = Pn{A,t)- fx{t) = f2(t) - Pn{A,t)},

Rp{A) = Rf(A) U Rg(A) U R3P(A). Критерий решения задачи (0.1) устанавливает

Теорема 7.1 Для того, чтобы функция р(А) принимала в точке А минимальное на значение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

1) Rf(A*)*0,

2)существует упорядоченная последовательность точек Ц <t2<.<tn+2 из R\ {A) U R2 (А) такая, что если t{ <е Rf(A*) то ti+leRg(A*) (Rftfj), i =

Формулировка критерия решения задачи (0.2) имеет аналогичный вид (теорема 7.2). В ней множества Rf(A), / = 1,3, заменяются на множества

Rf{A), где

R? (А) = {/ е [c,d]: я(А) = Pn(A,t) - f2(t) > fx{t) - Pn(A,t)}, Rl (A) = {te [c,d]: ж{А) = ДО) - Pn{A,t) > Pn{A,t) - /2(f)},

R* (A) = {t e [c,d]: ж(А) = Pn{A,t) - f2{t) = fY(t) - Pn{A,t)} .

Также в § 7 устанавливается связь задачи (0.1) с задачей об ужах (следствия 7.1 — 7.2).

В § 8 даётся характеризация задачи (0.4). По теореме 3.1 при г е j^O,^ J и r>r~ её решения выражают решения соответственно задачи (0.1) и (0.2). Поэтому принципиально важным является случай г е (г*,г~), то есть когда задача

0.4) имеет самостоятельное от задач (0.1) и (0.2) значение. Этот случай отражён ниже в теореме 8.3, где

Ri(A) = RP(A){)Rf(A), / = 1,2. Теорема 8.3. Пусть г <е (г*,г~). Для того, чтобы функция <р(А,г) принимала в точке А минимальное на М"+1 значение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) р(А*)-г = ж(А*) + г,

2) существует упорядоченная последовательность точек п+2 ^ tx < t2 < • • • < tn+2 такая, что если tt €^(^4*) то h+\ * = 1>w + 1.

Получить в общем случае критерий решения задачи (0.3) в форме, близкой к чебышевскому альтернансу не удалось. В § 9 приводятся необходимые и отдельно достаточные условия решения задачи (0.3).

Обозначим через R3 (А) = Rf (A) U (А). Необходимые условия даёт *

Теорема 9.3. Если пара (А ,г ) доставляет минимальное значение (р{А, г) в задаче (0.3), то

1)r*=(p{A*)-7rU))l2,

2) выполняется хотя бы одно из условий: a) R3(A*)*0, I I * б) существует последовательность n+2 ^ R\ (A )U Щ(А ) такая, что если t^R^A*) ^R2(A*)^, то ti+x eR2(A*) A/ = 1,и + 1. Введём дополнительные обозначения Rf (А) = Rf(A) U Rf(A), Rf (А) = Rf(A) U Rf(A), i = 1,2.

Достаточные условия решения даёт

Теорема 9.5. Пусть вектор коэффициентов А таков, что существует последовательность из п +1 пар точек < удовлетворяющая условиям: m —р * I * * * \

1) если t>' eR\ (А ) (A ),Ri (A ),R2(A )1, то соответственно

2) если t\2) eRf (A*){JR\(A*) (RP(A*){jR%{A*)), то и f£> zRf(A*)[}Rf(A*) RStfj),

-V 4 1> ч ^-4+1' ч ^4+2 ф jj; -jj jjj

Тогда пара (A ,r ), где r — (p(A ) — 7i(A ))/ 2, доставляет минимальное значение функции rp( A,r) в задаче (0.3).

Приводятся также относительно вырожденные ситуации, когда достаточные условия решения являются одновременно и необходимыми.

Примером такой ситуации является

Теорема 9.6. Пусть вектор А таков, что

1) R3(A*) = 0,

2) либо Rf(A*) = 0, либо Rf(A*) = 0.

Тогда для того, чтобы пара (А*,г*), где г* = (р(А*) — ж(А*)) / 2, была одним из решений задачи (0.3), необходимо и достаточно, чтобы существовала упорядоченная последовательность {Y/}/=1 п+2 cr Rf(A*) U R2(A*) : h <h<---<^n+2 такая, что если Ц е (Л*)), то ti+l (Л*)^^*)), / = 1,w + 1.

5. Если чебышевская задача о равномерном приближении непрерывной функции полиномом заданной степени всегда имеет единственное решение, то в задачах (0.1) — (0.4) вопрос о единственности решения может зависеть от свойств оцениваемой или приближаемой сегментной функции F(t).

Цель главы 3 - получить достаточные условия единственности решения данных задач.

В § 10 приводятся достаточные условия единственности решения задачи (0.1). Нижеследующая теорема даёт условия единственности, в которых не используются дифференциальные свойства функций f{(t) и /2(f)

Теорема 10.1. Если вектор коэффициентов А удовлетворяет одному из условий:

1) множество Rf(A ) содержит не менее п +1 точек,

2) существует упорядоченный набор точек t\<t2<---<tn+2 таких, что если t^RfiA*) {&%(А*)), то ti+x<ER%(A*) {kf(A*)}, i = \,n + l, % то А является, причём единственным решением задачи (0.1). Введём следующее

Определение 10.1. Будем говорить, что точка t е R^ А) обладает Iкратностъю, если выполняется хотя бы одно из условий: а) функции f\{t) и f2(/) дифференцируемы в этой точке справа (или слева) 1 — 1 раз, причём yj(/V+0) = /20"V + ()), / = ЦП, или соответственно f^ (t* — 0) = f^ (t* — 0), / = 1, / -1), б) в случае чётного значения I = 2к достаточно, чтобы одна из функций была в этой точке дифференцируема 2к — \, а вторая 2к — 2 раза, причём i(V) = /2(V), 1 = 12^2.

Следующая теорема даёт достаточные условия единственности решения, учитывающие дифференциальные свойства сегментной функции:

Теорема 10.2. Пусть = т<п + \, где точки tt обладают кратностью lt, i = \,mt и выполняется одно из условий а) 1} + . + 1т >п + \, б) I = + . + lm <п +1 и существует к = п + \ — 1 пар точек <^p^-f^r.'

42><41><42><.<41><42) таких, что [/}1),/Р)]П^О4*) = 0 и если til) е Rf(A*) (r%{A*)}, то е R-2 (A*) Тогда А* - единственное решение задачи (0.1).

В § 11 для задачи (0.4) получено следующее условие единственности решения.

Теорема 11.3. Если для вектора А существует последовательность h <t2<---<tn+2 такая, что если то i = l,n + \, то *

А является единственным решением задачи (2.1) при г = (р(А ) — ж (А ))/ 2.

Из теоремы 11.3 вытекает важный выводдля случая г е •

Теорема 11.4. Если гр , то для значений г е (гр,г~) решение задачи (0.4) всегда единственно.

В последнем § 12 получены достаточные условия единственности решения задачи (0.3).

Теорема 12.1. Пусть вектор коэффициентов А таков, что существует последовательность из п +1 пар точек {/f^ < tj2^}, i = \,п +1, удовлетворяющих условиям:

1) если е RfU) (*g(A< )Л\{А*)Д2 (Л*)), то соответственно

2) если t\2) eRP(A*)\}R?(A*) то и

Jj Ц < '/+1, Г/ <f/+l> <'/+2' кроме того,

4) либо Rf(A*) ф 0 и (Л*) * 0, либо * 0,

5) либо R?(A*)*0 и Р%(А*)Ф0,либо Rg(A*)*0. Тогда пара

А ,г ), где г ={р{А )-я(А ))/2, является единственным решением задачи (0.3).

Результаты исследований опубликованы в работах [24] - [34] и докладывались на научных семинарах по негладкому анализу кафедры математической экономики (2005-2010), на весенних научных конференциях механико-математического факультета (2005, 2006, 2008), на Саратовских зимних школах-конференциях «Современные проблемы теории функций и их приложения» (2006, 2008,2010), на восьмой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2007), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология» (Москва, 2008), на школе-конференции «Современные методы теории функций и смежные вопросы» (Воронеж, 2009).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сорина, Евгения Владимировна, 2010 год

1. Гороховик В.В. Дифференцируемость мультиотображений в смысле Фреше Текст. / В.В. Гороховик, П.П. Забрейко // Труды институт математики НАН Беларуси-1998-Т.1.- С. 34-49.

2. Выгодчикова И.Ю. О наилучшем приближении дискретного мультиотбражения алгебраическим полиномом Текст. / И.Ю. Выгодчикова // Математика. Механика: Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2001. - Вып. 3. - С. 25-27.

3. Выгодчикова ИЛО. О единственности решения задачи наилучшего приближении: многозначного отображения алгебраическим полиномом Текст. / И.Ю. Выгодчикова // Известия Сарат. ун-та. 2006. - Вып. 1/2. - С. 11-19.

4. Демьянов В.Ф. Минимакс: дифференцируемость по направлениям Текст. /В.Ф. Демьянов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974.

5. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс Текст. / В.Ф. Демьянов, В.Н. Малоземов. М.: Наука, 1972.

6. Демьянов В.Ф. Недифференцируемая оптимизация Текст. / В.Ф. Демьянов, Л.В. Васильев. М.: Наука, 1981.

7. Демьянов В.Ф., Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление Текст. / В.Ф. Демьянов, A.M. Рубинов. М.: Наука, 1990.

8. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами Текст. / В.К. Дзядык. М.: Наука, 1977.

9. Дудов С.И. Взаимосвязь некоторых задач по оценке выпуклого компакта шаром Текст. / С.И. Дудов // Матем. сборник. 2007. - Т. 198. - № 1. - С. 4358.

10. Лейхтвейс К. Выпуклые множества Текст. / К. Лейхтвейс М.: Наука,. 1985.

11. Минченко Л.И., Многозначный анализ и возмущённые задачи нелинейного программирования Текст. / Л.И. Минченко, О.Ф. Борисенко, С.И. Грицай. Минск: Наука и техника, 1993.

12. Никольский М.С. Об аппроксимации непрерывногоОб аппроксимации непрерывного многозначного отображения постоянными119многозначными отображениями Текст. / М.С. Никольский // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. Матем. и кибернетика. 1990. - № 1. - С. 76- 80.

13. Обен Ж.-П. Прикладной нелинейный анализ Текст. / Ж.-П. Обен, И. Эк-ланд. М.: Мир, 1988.

14. Половинкин Е.С. Элементы теории многозначных отображений Текст. / Е.С. Половинкин. М.: Изд-во МФТИ, 1982.

15. Половинкин Е.С. Теория многозначных отображений Текст. / Е.С. Половинкин. М.: Изд-во МФТИ, 1983.

16. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи Текст. / Б.Н. Пшеничный. М.: Наука, 1980.

17. Пшеничный Б.Н. О дифференцируемости функции минимума со связанными ограничениями Текст. / Б.Н. Пшеничный // Кибернетика. — 1985. № 1. -С. 123 - 125.

18. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ Текст. / Р. Рокафеллар. М.: Мир, 1973.

19. Рубинов A.M. Сопряжённая производная многозначного отображения и дифференцируемость максимума при связанных ограничениях Текст. / A.M. Рубинов // Сиб. матем. ж. 1985. - Т. 26. - № 3. - С. 147- 155.

20. Рубинов A.M. Аппроксимация многозначных отображений и дифференцируемость маргинальных функций Текст. / A.M. Рубинов // ДАН СССР. -1987. Т. 292. - № 2. - С. 269 -272.

21. Сендов Б. Хаусдорфовые приближения Текст. / Б. Сендов. София, 1979.

22. Черноусько ФЛ. Оценивание фазового состояния динамических систем: метод эллипсоидов / ФЛ. Черноусько. М.: Наука, 1988.

23. Kurzhanski А.В., Valui I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Burkhanser, 1977.ПЕЧАТНЫЕ РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

24. Сорина Е.В. О приближении многозначного отображения полиномиальной полосой фиксированной ширины Текст. / Е.В. Сорина // Математика. МехаIника: Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2005. - Вып. 7. - С. 114-117.

25. Сорина Е.В. Критерий решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения полиномиальной полосой фиксированной ширины Текст. / Е.В. Сорина // Математика. Механика: Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2006. - Вып. 8. - С. 127-130.

26. Сорина Е.В. Условия единственности решения задачи о внешней оценке сегментной функции полиномиальной полосой Текст. / Е.В. Сорина // Математика. Механика: Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2008. - Вып. 10. - С. 76-78.

27. Дудов С.И. Критерий решения задачи наилучшего приближения сегментной функции полиномиальной полосой Текст. / С.И. Дудов, Е.В. Сорина // Математика. Механика: Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2008. - Вып. 10. - С. 20-23.

28. Выгодчикова И.Ю. Внешняя оценка сегментной функции полиномиальной полосой Текст. / И.Ю. Выгодчикова, С.И. Дудов, Е.В. Сорина // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. — Т. 49. - № 7. — С. 1175-1183.