Оптимизация траектории полета самолета с учетом воздействия атмосферной турбулентности и исследование влияния размеров самолета на динамику полета в турбулентной атмосфере тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.09, кандидат технических наук Антонова, А.О.

• Антонова, А.О.
• кандидат технических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат технических наук Антонова, А.О.

Введение

Глава I. Математическая постановка задачи оптимального управления в динамике полета и методы её решения.

§1. Постановка задачи оптимального управления. Ю

§2. Методы решения задачи оптимального управления.

§3. Уравнения- движения самолета

Глава П. Построение функционала усталостной повреждаемости конструкции самолета, вызванной атмосферной турбулентностью и расчет оптимальных траекторий полета

§4. Методы расчета усталостной долговечности при воздействии случайных нагрузок

§5. Математическая модель атмосферной турбулентности

§6. Построение функционала усталостной повреждаемости

§7. Численные методы и алгоритмы оптимизации траектории полета самолета

§8. Построение и анализ оптимальных траекторий полета самолета

Глава Ш. Исследование влияния размеров самолета на спектральные плотности воздействия атмосферной турбулентности

§9. Спектральная плотность вертикальных порывов ветра, усредненная по размаху крыла.

§10. Дисперсия усредненных по размаху крыла вертикальных порывов ветра

§11. Спектральная плотность коэффициента момента крена, обусловленного градиентом нормального ветра по размаху крыла

§12. Расчетные формулы для вычисления усредненных по размаху крыла спектральных плотностей

Глава 1У. Вычисление дисперсии вертикальной перегрузки самолета и числа пересечений нулевого уровня перегрузки при учете неоднородности распределения случайных порывов ветра вдоль размаха крыла . Id

§13. Асимптотические свойства усредненных по размаху крыла спектральных плотностей атмосферной турбулентности.

§14. Влияние неравномерности распределения случайных порывов ветра вдоль размаха крыла на дисперсию вертикальной перегрузки.

§15. Расчет числа пересечений нулевого уровня перегрузки, вызванной атмосферной турбулентностью

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация траектории полета самолета с учетом воздействия атмосферной турбулентности и исследование влияния размеров самолета на динамику полета в турбулентной атмосфере»

Турбулентные движения воздушных масс в атмосфере оказывают существенное влияние на полет самолета. Случайные порывы ветра, вызванные атмосферной турбулентностью, являются источниками дополнительных сил и моментов сил, действующих на самолет. Они приводят к возникновению возмущений траектории полета, усложняют процесс управления самолетом, создают нагрузки на элементы планера, которые вносят вклад в усталостную повреждаемость конструкции самолета и т.д. Поэтому исследования, направленные на изучение влияния атмосферной турбулентности на полет самолета, являются весьма актуальными и имеют важное прикладное значение с точки зрения обеспечения безопасности, эффективности и качества полета.

Целью настоящей работы являлось: анализ возможности экономии топлива и снижения усталостной повреждаемости конструкции планера самолета, вызванной воздействием атмосферной турбулентности, за счет оптимизации траектории полета; развитие метода приближенного описания влияния турбулентнеоти атмосферы на динамику полета самолета.

В работе были поставлены и решены следующие основные задачи:

- построение функционала усталостной долговечности элемента конструкции планера, связанной с атмосферной турбулентностью;

- составление алгоритма и программы для нахождения оптимальной траектории полета самолета;

- нахождение усредненных по размаху крыла спектральных плотностей вертикальных порывов ветра для корреляционной функции атмосферной турбулентности, описываемой формулой Н.Буллена;

- исследование повторяемости вертикальной перегрузки самолета с учетом неравномерного характера распределения случайных порывов ветра вдоль размаха крыла и вдоль направления полета. Диссертационная работа состоит из четырех глав. В первой главе дана общая постановка задачи оптимизации профилей полета самолета, приведены математическая модель движения самолета и указаны основные ограничения на фазовые координаты и параметры управления. В качестве математической модели полета использована система уравнений продольного движения, дополненная уравнением на расход топлива.

Во второй главе диссертации описана методика построения функционалов, по которым производится оптимизация траектории полета самолета, и приводятся результаты оптимизации параметров траектории пассажирского самолета Ан-24 по критериям минимального расхода топлива и усталостной повреждаемости, вызванной воздействием атмосферной турбулентности.

Функционал топлива строится стандартным способом по известному километровому (или часовому) расходу топлива. Построение функционала усталостной повреждаемости представляет собой более сложную задачу, так как нужно иметь расчетные формулы для суммирования повреждений, возникающим в конструкции планера самолета из-за воздействия внешней случайной широкополосной нагрузки. В главе П дан обзор некоторых работ, связанных с этим вопросом. Для построения функционала усталостной повреждаемости выбрана методика, развитая в работах ВЛ.Байхера. Она основана на применении т.н. гипотезы спектрального суммирования и позволяет выразить использованную долговечность через некоторые моменты от спектральной плотности случайных нагружений, вызванных атмосферной турбулентностью. В этой главе также дано описание программы для ЭШ численного решения задачи оптимального управления, применявшейся при нахождении оптимальных траекторий полета самолета.

В третьей главе диссертации исследуются свойства спектральных плотностей реакций самолета на случайные порывы ветра, вызванные турбулентностью атмосферы, с учетом усредняющего действия крыла. Эти величины используются при исследовании динамики полета самолета в атмосфере (см., например,/?£/). Они позволяют оценить влияние размаха крыла на реакции самолета, вызванные случайными ветровыми нагрузками, и на повторяемость этих нагрузок в процессе полета. Однако в литературе формулы для усредненных спектральных плотностей известны для драйденовской модели атмосферной турбулентности. В работе было проведено обобщение этих формул на случай, когда поперечная корреляционная функция атмосферной турбулентности описывается распределением Н.Буллена /76/, которое включает в себя, как частные случаи драйденовскую и кармановскуто модели.

Получены общие аналитические выражения для спектральной плотности подъемной силы и ее дисперсия. Аналогичные выражения получены для спектральной плотности коэффициента момента 1фена Stn и дисперсии • Приведены расчетные формулы для сс ЭСчисленного нахождения усредненных по размаху крыла спектральных плотностей для драйденовской и кармановской моделей турбулентности.

В четвертой главе исследованы асимптотические свойства усредненных спектральных плотностей в области высоких частот. Это позволило предложить простую аппроксимационную формулу для случайной подъемной силы. С помощью уравнений движения жесткого самолета по известной спектральной плотности подъемной силы рассчитана спектральная плотность вертикальной перегрузки. На ее основе рассмотрено влияние размаха крыла на дисперсию перегрузки. Получено аналитическое выражение для числа пересечений нулевого уровня перегрузки на единицу пути. Проанализированы зависимости дисперсии перегрузки и числа пересечений нулевого уровня от соотношения между геометрическими размерами самолета и масштабом турбулентности, от массового параметра самолета. Получена расчетная формула для определения повторяемости вертикальной перегрузки от атмосферной турбулентности.

В работе содержатся следующие новые научные результаты:

- показано, что за счет оптимального выбора траектории полета можно добиться снижения усталостной повреждаемости конструкции планера самолета, вызванной случайными нагрузками от атмосферной турбулентности;

- с учетом неравномерного характера распределения случайных порывов ветра вдоль размаха крыла получены аналитические выражения для спектральных плотностей подъемной силы и коэффициента момента крена для корреляционной функции атмосферной турбулентности, описываемой формулой Н.Буллена;

- исследованы асимптотические свойства усредненных по размаху спектральных плотностей и предложена простая аппрокеимацион-ная формула для спектральной плотности подъемной силы, учитывающая геометрические размеры самолета;

- получены расчетные формулы для вычисления дисперсии вертикальной перегрузки и числа пересечений нулевого уровня перегрузки на единицу пути.

Практическая полезность работы состоит в следующем:

- составленная программа расчета оптимальных профилей полета может быть применена при решении оптимизационных задач динамики полета самолета;

- исследования по минимизации усталостной повреждаемости конструкции самолета, обусловленной атмосферной турбулентностью, путем оптимизации траектории могут быть использованы в практических рекомендациях по летной эксплуатации;

- полученные в работе аналитические формулы, связанные с усредненными по размаху крыла спектральными плотностями, дают возможность улучшить моделирование движения самолета в турбулентной атмосфере;

- исследования повторяемости вертикальной перегрузки представляют интерес для оценок влияния атмосферной турбулентности на ресурс самолета.

Материалы диссертационной работы были доложены на Всесоюзном совещании "Проблемы управления процессами в сплошных средах" (Киев, 1979 г.), на конференции молодых ученых КНИГА (Киев, 1980г.), на конференции молодых ученых ШИТА (Рига, 1980 г.), на П-ой Всесоюзной конференции по безопасности полетов (Киев, 1981 г.), на Всесоюзном семинаре "Динамика полета, управляемость и идентификация характеристик воздушных судов" (Киев, 1981 г.), на Ш-ей Всесоюзной конференции по безопасности полетов (Ленинград,1982г.).

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю доктору физ.мат.наук, профессору К.Г.Валееву за постоянное внимание и помощь, и кандидату технических наук, доценту Г.Л.Тер-Саакянцу за помощь в работе.

Заключение диссертации по теме «Динамика, баллистика, дистанционное управление движением летательных аппаратов», Антонова, А.О.

Основные выводы диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом.

1. В работе рассмотрены некоторые вопросы численных методов нахождения оптимальных траекторий полета самолета, выполне-ныаналитические расчеты, связанные с учетом влияния турбулентных воздушных движений в атмосфере на динамику полета самолета.

2. Составлена программа на алгоритмическом языке FORTRflAM для численного нахождения оптимальных управлений и соответствующих им траекторий, позволяющая решать широкий круг задач оптимизации продольного движения самолета.

3. Выполнены расчеты по оценке снижения уровня усталостной повреждаемости в конструкции планера и расхода топлива для самолета Ан-24 за счет оптимизации профиля полета. Получены оптимальные управления по углу атаки и режиму работы двигателя. Показано, что путем оптимизации параметров траектории можно добиться снижения усталостной повреждаемости на 10*15$.

4. Получены выражения для усредненных по размаху крыла спектральных плотностей подъемной силы и коэффициента момента крена /тгх для корреляционной функции атмосферной турбулентности, описываемой формулой Н.Буллена и включающей, как частные случаи, драйденовскую и кармановскую модели турбулентности.

Это важно для развития приближенных методов описания воздействия случайных порывов ветра на динамику полета самолета, необходимых для моделирования его движения в неспокойном воздухе.

5. Исследовано асимптотическое поведение усредненных спектральных плотностей в области высоких частот и предложена ап-проксимационная формула для расчета спектральной плотности подъемной силы, вызванной случайными порывами ветра, с учетом размеров самолета - хорды и размаха крыла.

6. Получены аналитические выражения для дисперсии вертикальной перегрузки самолета и коэффициента момента крена. Пока я зано, что дисперсия момента крена ътх имеет максимум при t/L * 2.

7. Показано, что при учете усредняющего действия:крыла:вто^ рой момент от спектральной плотности вертикальной перегрузки будет конечным. Получены расчетные формулы для определения числа пересечений нулевого уровня перегрузки и интегральной повторяемости вертикальной перегрузки на единицу пути.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Применение метода локальных вариаций к исследованию оптимального управления дозвуковым транспортным самолетам. Тезисы докладов конференции "Проблемы нелинейных колебаний механических систем", Киев, 1974, с.24 (совместно с К.Г.Валеевым).

2. А.О.Антонова. Об оптимизации траектории ЛА по критерию минимума доли использованной долговечности при полете в турбулентной атмосфере. В кн.: Прикладная аэродинамика. Межвуз. сб. науч. трудов, Киев, 1980, с.61-63.

3. А.О.Антонова. Об учете влияния размеров самолета на спектральную плотность воздействия атмосферной турбулентности.

Киев, 1980, - 5 с. 1>укопиеь представлена КНИГА. Деп. в УкрНИИНТИ, № 1695.

4. А.О.Антонова. Построение функционала использованной долговечности элемента конструкции самолета под действием атмосферной турбулентности. Киев, 1980, - 5 с. рукопись представлена КНИГА. Деп. в УкрНИИНТИ, В 1696.

5. А.О.Антонова. Применение метода случайного поиска к задаче оптимизации профиля полета самолета. В кн.: Некоторые вопросы аэродинамики и динамики полета. Межвуз.сб.науч.трудов, Киев, КИИГА, 1981, с.34-37.

6. А.О.Антонова. Вычисление усредненной по размаху крыла спектральной плотности вертикальных порывов ветра. Киев, 1983, -7 с. Рукопись представлена КИИГА. Деп. в УщШИНТИ, Ш 303.

7. А.О.Антонова. К вопросу о нахождении моментов от усредненной по размаху крыла спектральной плотности атмосферной турбулентности. Киев, 1983, - 8 с. Рукопись представлена КИИГА. Деп. в УкрНШНТИ, Л 306.

- 129

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Антонова, А.О., 1983 год

1. Атмосферная турбулентность, вызывающая болтанку самолетов /под ред.Н.З.Пинуса/. - М.: Гидрометеоиздат, 1962.-167с.

2. Бахвалов Н.С. Мысленные методы.- М.: Наука, 1975.-631с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966. - 295с.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, I960. -400с.

5. Беллман Р.,Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. - 118с.

6. Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.1. М.: Наука, 1966. - 632с.

7. Бисплингхофф Р.Л., Эшли X., Халфмен Р.Л. Аэроупругость. -М.: ИЛ, 1958. 799с.

8. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике.- М.: Стройиздат, 1965. 279с.

9. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. - 408с.

10. Брайсон Д. Решение задач оптимального програъшфования методом быстрейшего подъема. Прикладная механика, 1962,2

11. Брайсон Д., Хо-Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. Оптимизация, оценка и управление. М.: Мир, 1972. -544с.

12. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Аэродинамика, самолета* Динамика продольного и бокового движения. М.: Машиностроение, 1979- 349с.

13. Бэтчелор Д. Теория однородной турбулентности. М.: ИЛ, 1955. - 197с.

14. Валеев К.Г., Тер-Саакянц Г.Л. Об одном численном методе решения задач теории оптимального управления.-Мат.физика, 1975, вып.17, с.12-18.

15. Валеев.^.Г., Саркисян А.Г., Тер-Саакянц Г.Л. Алгоритмрешения оптимальных задач динамики полета. Рукопись деп. в РФАП ИК АН УССР, 1976, № 109.

16. Валеев К.Г., Тер-Саакянц Г.Л., Антонова А.О. Применение метода градиентов к исследованию оптимальных профилей полета транспортного самолета. Сб. Прикладная аэродинамика, Киев, 1979, с.44-48.

17. Ватсон Г.Н. Теория бесселешх функций, т.1,-М. :ИЛ, 1949. -798с.

18. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Физматгиз,1962. -564с.

19. Винниченко Н.К., Пинус Н.З., Шметер С.М.,Шур Г.Н. Турбулентность в свободной атмосфере. Л.: Гидрометеоиз-дат, 1976. - 288с.

20. Гладкий В.Ф. Прочность, вибрация и надежность конструкции летательного аппарата. М.: Наука, 1975. - 454с.

21. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. -1108с.

22. Гроздовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета с малой тягой. М.: Наука, 1966.-679с.

23. Гудков А.И., Лешаков П.С. Внешние нагрузки и прочность летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1968. -4708.

24. Гусев А.С., .Дмитричешго С.С., Илинич И.М., Никонов В.В., Рощин И.М.Применение методов теории случайных функций в расчетах на усталость. Проблемы прочности,1974, №3,с.22-25.

25. Гусев А.С. 0 распределении амплитуд в широкополосных случайных процессах при схематизации их по методу полных циклов. Машиноведение, 1974, № I, с.65-74.

26. Диментберг М.Ф. О нижней оценке долговечности при стационарных случайных напряжениях. Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, 1962, Р 3, с.167 - 169.

27. Динамика полета /под ред.А.М.Мхитаряна/. М.: Машиностроение, 1978. - 424с.

28. Доброленский Ю.П. Динамика полета в неспокойной атмосфере.- М.: Машиностроение, 1969. 256с.

29. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука,1975.- 496с.30'^ Когаев В.П. Расчеты на прочность при напряжениях переменных во времени. М.: Машиностроение, 1977. - 232с.

30. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.-560с.

31. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. - 475с.

32. Кротов В.Ф., Букреев В.З., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. М.: Машиностроение, 1969. - 288с.

33. Кротов В.Ф. Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. - 446с.

34. Крук Б.В. Влияние формы спектральной плотности случайной нагрузки на усталостную долговечность. Проблемы прочности, 1981, № 10, с.36- 41.

35. Крылов Н.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательныхприближений для решения задач оптимального управления. -и МФ, 1962, т.2. Р 6, с.1132-1139.

36. Ламли Дж., Пановский Г. Структура атмосферной турбулентности. М.: Мир, 1966. - 264с.

37. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1953. - 788с.

38. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета. М.: Оборонгиз, 1962. - 548с.

39. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. -М.: Наука, 1968. 190с.

40. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. - 359с.

41. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов. -А и Т, I960, т.21, № 4-6, с.436-441;561-568*661-665.

42. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Мир, 1980, - 608с.

43. Макаревский А.И., Чижов В.М. Основы прочности и аэроупругости летательных аппаратов. М.:Машиностроение, 1982.-238с.

44. Мельц И.О. Применение метода динамического программирования- А и Т, 1968, т.29, Р I, с.79-85.

45. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета /под ред.Дж.Лейтмана/. М.: Наука, 1965.

46. Моисеев Н.Н. Численные методы теории оптимальных управлений, использующие вариации в пространстве состояний. Кибернетика, 1966, т.5, № 3, сЛ - 23.

47. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем.- М.: Наука, 1971. 124с.

48. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. - 351с.

49. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности, часть 2. М.: Наука, 1967. - 720с.

50. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1968.-499с.

51. Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет. ПММ, 1946, т.Ю, вып.2

52. Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли. -УШ, 1957, т.63, № 1а, с.3-32.

53. Панчев С. Случайные функции и турбулентность. Л.: Гидро-метеоиздат, 1967. - 447с.

54. Полак Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1974. -376с.

55. Понтрягин Л.С.- Оптимальные процессы регулирования. УМН, т.14, вып.1, с.3-20.

56. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. - 384с.

57. Прочность самолета. Методы нормирования расчетных условий прочности самолета /под ред.А.И.Макаревского/. М.: Машиностроение, 1975. - 280с.

58. Райе С. Теория флуктуационных шумов. в кн.: Теория передачи электрических сигналов при наличии помех. - М.: ИЛ, 1953. - 157с.

59. Райхер В.Л. Гипотеза спектрального суммирования и ее применение для определения усталостной долговечности при действии случайных нагрузок. Труды ЦАГИ им.Н.Е.Жуковского, вып.1134, 1969. - 39с.

60. Райхер В.Л., Цымбалюк В.И. Расчетный метод определения эквивалентных режимов испытания на выносливость крыла и фюзеляжа самолета. Труды ЦАГИ им.Н.Е.Жуковского, вып.1336, 1971. - 44с.

61. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. %сленные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Л.: Ленингр.политех.ин-т, 1977. - 84с.

62. Растригин JI.А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974. - 630с.

63. Растригин Л.А. Статистические методы поиска. М.: Наука, 1968. - 376с.

64. Розоноэр A.M. Принцип максимума Л.С.Понтрягина в теории оптимальных -систем. ^А- и Т, 1959, т.20, № 10 12,с.1320 1334; I44I-I458; I56I2I578.

65. Самолет Ан-24. Техническое описание, кн.1. М.: Машиностро' ение, 1968. - 74с.

66. Самолет Ан-24. Летно-техничёские характеристики. К., 1973. - 203с.

67. Семенов А.С., Троицкий В.А. 0 задачах оптимизации с ограничениями на фазовые координаты. ПММ, 1970, т.34, вып.1,

68. Скрипниченко С.Ю. Оптимизация режимов полета самолета. М.: Машиностроение, 1975»-191с.

69. Скрипниченко С.Ю. Экономичность полета самолетов. М.: Транспорт, 1982. - 206с.

70. Справочник по специальным функциям /под ред.М.Абрамовича и Н.Стиган/ . М.: Наука, 1979. - 832с.

71. Табак Д. , Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.: Наука, 1975. - 279с.

72. Тихонов В.И. Выбросы случайных процессов. М.: Наука, 1970. - 392с.

73. Троицкий В.А. 0 вариационных задачах оптимизации процессов управления. ПМЫ, 1962, т.26, вып.1, с.29-38.

74. Турбулентность, принципы и применение /сб.статей под ред. У.Фроста, Т.Моулдена/, т.1. М.:Мир, 1980. - 535с.

75. Тэйлор Дж. Нагрузки, действующие на самолет. М.: Машиностроение, 1969. - 372с.

76. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 488с.

77. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972. - 240с.

78. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1.: Наука, 1966, т.З, 656с.

79. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости. М.: Госиздат физ.-мат.лит., 1959. - 523с.

80. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -М.: Мир, 1975. 534с.

81. Хинце И. 0. Турбулентность, ее механизм и теория. М.: Физматгиз, 1963. - 680с.

82. Щ. Черноусько Ф.Л., Баничук В.П. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. - 238с.

83. Численные методы условной оптимизации /под ред.Ф.Гилла и У.Мюррея/.- М.: Мир, 1977. 290с.

84. Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления. ЖВМ и МФД982, т.2. № 3,с.488 491.

85. Шкадов Л.М., Буханова Р. С., Илларионов В.Ф., Плохих В.П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М.: Машиностроение, 1972. -240с.

86. Энеев Т.М. О применении градиентных методов в теории оптимального управления. Косм.исслед.,1966, №5,

87. Эткин Б. Динамика полета. М.: Машиностроение, 1964. -494с.- f</S29. йМеу H. On- <maJuH^ ЬкиглрО или, <rf aptc^yu-sLocUarL. ЛУЛД Рар^ь /981.90. /$(ЖЖпМла41 gt, V, On, СЬ П&иГ c<?77izcj&bo^ct йь optc'mtd (umtiurc, SI///V & Cm^u?€ гг. 4 mtp.p. /w-m.

88. Jmm,. 9П(Шь, /94$, 49, pp. /-23.9Ц SxkoCvu'cA ХЖ.Лль&ъсСотп, pU&ruA^ajtteL,. A/A С A zjufpvt3^ ids:8-95- £gcpMo<nt tf. 9П. $ъг<?6гЫсА 7П.yVOvrULJtsbi, (Fn* Os ttPj/l^ UV Ъа^рСсУгтЪ .

89. Pcviz -urajvh. ЯкссйАг^ {ыямсАиш^ЪМ -fcU10<L З^ртпаш /X w, Оъ-frke арр&'с&й'т. rf

90. C&HMfit ifv Ut£ ^fctcny УД6^ л/je.

91. JOZ ffU'^A Л. ik^oan^t'aJ ^ъаеСс'&кХ- 'iM^i^Cco-n cUtfobcffimand Дрр?., 1969 > v. ^ л/^ № ТЯс-ве^ у. On, the PtbuctwiaC fastenedu^tdMs гсин,ot&rn MS, V.10Ц. Tridnm, in. jtrffy. fowi

92. Mt {2f>p£. TTUcA.j -IMS', y. SZ, a/3, pp. </5*9-/6^iOS.

93. W* IP, у э A/W, 4924 Ю6 fh'ot S! О. Ф^а^Ал/паЯиыЛ ^ZA^dco^t.niHie. v. V3 p.- 35Q.fbUmayi e. fcti Ef^et <rf fcsvote Jfa^v <гъ cpUi^Uc^cotib'n. fez n&Jk^L. ЛЯС/4 jт. a/<MS&, 4347. 10g Scam, W- W а^^еФХ- жпъ ъог faC Фктд a^id cXi- /yiattc'r*/ a^p^'ccZt'^j

94. Ш d&'e^iced.; И <P., pp. 404-70J.109 dfx^yi St. с?. pjt fk? -Htady~1. Шош. JJAJf j V.pp.

95. HO Ja^&yi (p. £ ftut ifx^frutsn (Г^1. Aoy. Joe. 433J, p.J/U.

96. И4. ZapUzfy А/, £ g. P. J UuiM-ъ X3,/.tMyictirucL. g&usisua Oisuyia/^J v. <P, л/6} 1311 ? pp. 4M- M0.