Оптимизация и управление в моделях "власть - общество - экономика" с базовой и коррумпированной иерархиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Павлов, Александр Александрович

• Павлов, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Павлов, Александр Александрович

Содержание

Введение.

Глава 1. Задача оптимизации объема властных полномочий по критерию удельного потребления макромодели «власть-обществоэкономика».

1.1. Постановка задачи «власть-общество-экономика».

1.2. Оптимизация объема властных полномочий по критерию удельного потребления в стационарной задаче.

1.3. Влияние различных вариантов взаимодействия властных и экономических механизмов на оптимальный объем властных полномочий.

1.4. Оптимизация, объема властных полномочий в условиях коррупции властной иерархии.

1.5. Трактовка условий теоремы Бутузова-Неделько в нелинейной модели «власть-общество-экономика».

1.6. Решение задачи достижимости заданного удельного потребления.

1.6. Примеры. Вычислительный эксперимент.

Глава 2. Оптимизация и управление в модели «власть-общество-экономика» с агрегированной властью.

2.1. Построение модели «власть-общество-экономика» с агрегированной властью.

2.2. Постановка задачи оптимальной стабилизации в нестационарной системе.

2.3. Свойства линейного приближения оптимального синтеза в нестационарной модели «власть-общество-экономика» с агрегированной властью.

2.4. Алгоритм уточнения линейного приближения.

2.5. Примеры. Вычислительный эксперимент.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация и управление в моделях "власть - общество - экономика" с базовой и коррумпированной иерархиями»

За последние годы увеличился интерес к задачам динамики и управления в социальной сфере, в частности при изучении влияния процессов во властной иерархии на социальные процессы и экономическое развитие. Решение таких задач имеет не только теоретическое, но и большое практическое значение. Функционирование власти, ее внутренние механизмы и ее связи с обществом и экономикой всегда привлекают интерес исследователей.

-В Советском Союзе и затем в России, в работах JT.B. Канторовича [31], H.H. Моисеева [48], А.А: Петрова, A.A. Шананина [2], С.Н. Васильева [49], Ю.С. Попкова [55], В.И. Гурмана [9], И.Г. Поспелова [56], A.A. Самарского, А.П. Михайлова [58], Г.Г. Малинецкого [39], С.Ю. Малкова [30], [40] и многих других авторов создавались модели и алгоритмы изучения сложных экономических, социальных, экологических систем на основе сочетания подходов,' сложившихся в физике, механике, математической экономике, экологии, биологии. Были получены многочисленные результаты по моделированию сложных систем, включающих в состав фазовые переменные и социальные показатели, например, социо-эколого-экономические системы, разработаны основы теории равновесных состояний макросистем, включающие в себя методы математического моделирования и качественного анализа стационарных режимов и их параметрических свойств, предложены новые классы вычислительных алгоритмов, разработаны принципы построения математических моделей неравновесных состояний для макросистем с воспроизведением и распределением ресурсов. При этом исследовались вопросы управления нелинейными динамическими системами, в том числе с неопределенностью, с хаотическим поведением, возникающих при моделировании сложных социально-экономических систем. В западной литературе, начиная с 1970-х годов, в работах В. Вайдлиха (W. Weidlich), Е. Монтрол (Е. Montroll), В. Бадгера (W. Badger), Д. Хелбинга (D. Helbing) и др. проводились исследования по систематизации и анализу социальных наук с использованием методов математического моделирования, что, в частности, сформировало междисциплинарное научное направление - социодинамика [7].

Начиная с работ А.П. Михайлова [44] в 90-х годах прошлого века в литературе появились исследования по динамике процессов в системе «власть-общество», где в качестве субъекта власти предлагалось рассматривать властную иерархии - упорядоченную по старшинству совокупность инстанций. Данное направление нашло продолжение в исследовании топологии иерархии и ее «властных» характеристик, моделированию коррумпированных иерархий [45], [47] и построении технологии исследования нелинейных задач «власть-общество» на основе теории контрастных структур в сингулярно возмущенных моделях [12], [26].

Очевидно, что процессы, происходящие во властных иерархиях, влияют на те или иные показатели эффективности в экономических системах. После появления работ, в рамках модели «власть-общество» стало возможным построение моделей, в которых может изучаться влияние систем властного управления на экономическое развитие. Этим и определяется актуальность работы. Естественно, что, на первых порах, необходимо изучить такое влияние на макроуровне.

Настоящая работа посвящена построению макромодели «власть-общество-экономика» и решению некоторых задач оптимизации и управления, связанных с этой моделью, как для случая базовой, так и для случая коррумпированной иерархий. В качестве подмодели властного управления используется нелинейная модель «власть-общество» А.П. Михайлова [46]. Экономический блок модели «власть-общество-экономика» в работе представляет динамическая модель роста односекторной экономики Солоу [33], [60]. В модели Солоу экономическая система рассматривается как единое целое, производит один универсальный продукт, который может, как потребляться, так и инвестироваться, модель достаточно адекватно отражает важнейшие макроэкономические аспекты процесса воспроизводства.

Согласно работе [42], на протяжении полувека, после выхода работ Р. Солоу, модели экономического роста, основанные на производственных функциях, служат одним из основных инструментов экономического анализа. Особое распространение получила функция Кобба-Дугласса

F(K,L) = (AKKyc {ALL^f а, где Ak,AL> 0 - коэффициенты эффективности факторов. В частном случае Ак = Аь= А. Коэффициент А известен как общая производительность факторов (total factor productivity, TFP). Одним из основных направлений развития теории экономического роста является исследование коэффициентов эффективности факторов или коэффициента TFT. Современные исследования по данному направлению проводились Д. Акемоглу (D. Acemoglu, 2002-2003), Д. Адрехом (D. Audretsch, 2007), Е. Гундлахом (Е. Gundlach, 2007), К. Макквином (К. McQuinn, 2007) и др.

Синтез нелинейной модели «власть-общество» А.П.Михайлова и модели экономического роста позволяет сформулировать задачу поиска такой властной иерархии, которая была бы оптимальной с точки зрения того или иного критерия качества, например, максимизации величины удельного потребления.

В модели А.П. Михайлова «власть-общество» количество власти, которое имеет та или иная инстанция, изменяется с течением времени. Эта изменчивость называется динамикой власти. Причины динамики могут быть как внутренними, так и внешними по отношению к самой иерархии. Внутренние причины связаны с организационными процессами внутри иерархии, с перетеканием полномочий от одних инстанций к другим. Внешние причины динамики власти связаны с отношением объекта к субъекту властвования. Именно: предполагается, что гражданское общество доступными ему способами оказывает влияние как на общий уровень властных полномочий, находящийся в распоряжении всей иерархической структуры, так и на распределение полномочий внутри иерархии.

Уровень той или иной инстанции в иерархии обозначается через х, при этом jc = 0 соответствует высшему уровню иерархии, х = 1 - низшему. Подразумевается, что существует числовая характеристика, характеризующая 6 количество власти той или иной инстанции иерархии. Количество власти инстанции х в момент времени ( обозначается через р(х,г). Сама функция /?(х,/) называется распределением или профилем власти в момент времени t. Реакция гражданского общества описывается функцией 17(р,х).

Основным уравнением, описывающим динамику распределения власти в иерархии, является др д дх К др р,—,х,/ дх дх 0, р(х, 0, х', х) • [р(х', 0 - р(х, 0] с1х'

0.1) где р(х,1) - количество власти в точке иерархии х в момент времени /, 0<х</, ¿>¿0 5 ^ " длина иерархии; Ъ<(р(х,(),др/дх,х,() > 0, х{р(х', 0> р(х, 0?х' •> х> 0 > 0" функции, определяющиеся внутренними свойствами иерархической структуры, /(Р,Р\,Р2>Х>*) ~ функция, определяющая реакцию гражданского общества.

Начальные и краевые условия при этом следующие р{х,^) = р0{х)> 0, 0<х</, - К Ф дх 0, -К х=0 др дх 0

Х = 1

0.2)

Здесь ро(х) - начальный профиль власти. Нулевые краевые условия указывают на отсутствие потоков власти через границы иерархии.

При этом А.П. Михайловым изучение властной динамики проводилось для случая линейной реакции гражданского общества. Монография А.П. Михайлова [46], по-видимому, являлась первой книгой, в которой систематически рассматриваются вопросы разработки и применения достаточно сложных математических моделей общей политологии.

В [26] М.Г. Дмитриевым и А.П. Петровым рассматривалась модель

5 Г,/, ф дt дх дх

3 Х) I

ЛФЛ дх /{р,х, О др дх х=0 др дх У 0, р{х,^) = р0(х) х=1

0.3)

0-4) которая, в условиях к = ätq = е = const «1 и / = f(p,x) - достаточно гладкая, принимает вид ff+ (0.5)

St дх 2

Множитель £ при старшей производной есть системный параметр задачи (0.4),(0.5), и в частных случаях является достаточно малым (при большой длине иерархии или безответственной власти или большой величине реакции гражданского общества), поэтому уравнение (0.5) является сингулярно возмущенным [12]. Для задачи (0.4),(0.5) в [26] исследован случай

1 / существования двух устойчивых стационарных распределений власти.

Исследование соответствующей динамики проходило с акцентом на следующие новые моменты. Во-первых, реакция гражданского общества рассматривалась как существенно нелинейная

F(p,х) = ß(x){p - (р\ (х))(р ~ ф2 (х))(р - q>2 (х)), и, во-вторых, системный параметр для многих реальных, протяженных иерархий (государство, регион, большая организация) является малым, а, следовательно, и уравнение Михайлова часто можно рассматривать как сингулярно возмущенное. Краевые условия в данном случае описывают «идеальную» ситуацию, при которой отсутствуют потоки власти через концы иерархии. Надо отметить, что такие граничные условия, как правило, не имеют место на практике, т.к. все страны (регионы, организации) взаимосвязаны между собой системой договоров и таким образом над высшей инстанцией иерархии есть некий «внешний» орган, от которого (или к которому) власть может перетекать от этой высшей инстанции. Математический аппарат, используемый при решении таких сингулярно возмущенных задач основывается на теореме Бутузова-Неделько [б] и теории контрастных структур (см., например, [4], [5]), разработанный в 8090-е годы профессорами А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузовым, H.H. Нефедовым и их учениками. В

Уже в процессе написания данного диссертационного исследования стали появляться работы, расширяющие вопросы исследования модели «власть-общество».

Так, в работе М.Г. Дмитриева, А.П. Петрова и B.C. Пилюгина [27] рассматривались качественные свойства оптимального взаимодействия в системе «власть-общество», формулируются задачи управления «средой». Здесь под «средой» понимается все то, что влияет на поведение и принятие решений конкретного человека в иерархической системе «власть-общество». Например, если речь идет о государстве, то на поведение конкретного человека в системе «власть-общество» оказывает влияние множество факторов. Среди этих факторов можно выделить экономические и экологические показатели состояния, действия СМИ, качество работы властей, качество функционирования социальных систем и другие.

В работе Г.И. Лаптева и H.A. Лаптевой [35] построено решение математической модели «власть-общество», в случае учета механизма команд через голову» и наличия в нем интегрального возмущения

I ^ q2 I p{x,t)dx —--~- = f{x,t)+ \fi(x',x,t)\p(x',t)-p{x,t)\dx' с начальными и dt дх

КО J ил О dp краевыми условиями — дх 0, р(х,0) = р°(х). х=1

Приведенная модель имеет вид нелинейного уравнения теплопроводности. Кроме того, уравнение содержит слагаемые интегрального типа, что не позволяет для ее решения применять готовые теории. Для решения приведенной модели строится специальный аппарат, основанный на методе Галеркина (см., например, [1]) и теории рядов Фурье.

Сравнительно недавно появились работы по моделированию коррупции [36], [37]. Отметим здесь монографию А.П. Михайлова [46], в которой, на мой взгляд, изложен системный подход к противодействию коррупции в иерархических властных системах. Указанный подход был развит в работе [47].

Уравнение для коррумпированной властной иерархии, полученное А.П.Михайловым [45], [46] имеет вид

Г Л /(х,1,рс,р1,р2), О <х<1, />/0 (0.6) дрс д ( , дрс V д1 дх дх у с такими же начально-краевыми условиями, как и в случае «идеальной» иерархии (0.1) и заданными поведенческими свойствами /, 2о,4+,4-образует замкнутую математическую модель коррумпированной иерархии, из которой для всех 0<х</, />/0 однозначно находится решение - функция рс(х,0.

Здесь Ау =

1 + к(х^,рс,р1,р2) включает

1 + 200,0 +4+0,0. коррупционные характеристики властной структуры и отражает наличие в иерархии фиктивных (обязанных коррупции) потоков власти, 200,0,4+0,0, 4-0,0 " степени коррумпированности института х властной иерархии в момент времени 1;, где 2о(х'0 - степень коррумпированности, соответствующая «обычной» коррупции, т.е. действиям, которые «законопослушный» институт х властной иерархии осуществляет в соответствии с положением, но за дополнительное вознаграждение (взятку); д+0,0 - степень коррумпированности, соответствующая коррупции сверхдействия, т.е. действиям, которые выходят за рамки полномочий института х властной иерархии; 2-0,0 - степень коррумпированности, соответствующая коррупции бездействия, т.е. действиям, не совершаемым институтом х властной иерархии вопреки возложенным полномочиям. Общая локальная коррумпированность инстанции х в момент времени / будет определяться, соответственно, значением 20,0 = 4+0,0 + 4-0,0 + 4о0,0 •

Уровнем (степенью) коррумпированности властной иерархии в целом называется функция

1 А о 1о

0.7)

Если = #(*), т-е- коррумпированность одинакова во всех звеньях властной структуры, то <2(/) = <у(0 и средневзвешенная характеристика совпадает с локальной.

При нулевой коррумпированности Ау = к модель (0.6) с начальнокраевыми условиями (0.4) переходит в модель (0.3),(0.4), а /?с(х,0 = /?(х,/). В модели (0.4),(0.6) рс(х,{) = также в случае

7+(х,/) = ^-(х,^) = 0> о > т-е- обычная коррупция не меняет распределение власти (и потоки власти) в иерархии, и в случае (х, ?) = д (х, С) коррупция бездействия и коррупция сверхдействия «уравновешивают» в данном смысле друг друга.

Вместе с тем, очевидно, что хороша власть та, которая гармонизирует, уравновешивает процессы в обществе на фоне устойчивого экономического и социально-культурного развития. В качестве равновесия желательно выбирать устойчивые, стабильные, в том или ином смысле, взаимодействия различных социально-экономических и политических процессов, более того, и в условиях подверженности этих процессов коррупционным влияниям.

Все выше сказанное делает актуальной задачу разработки методов оптимизация и управления в моделях «власть-общество-экономика», в том числе - для случая коррумпированной иерархии.

Надо отметить, что согласно [62], современные методы моделирования социальной и экономической динамики, нацелены на решение следующих классов задач: '

- анализ социально-экономических систем (см., например, [28], [57]);

- экономическое и социальное прогнозирование (см., например, [33], [59], [63]); выработка управленческих решений на всех уровнях социально-экономических систем (см., например, [29]).

При этом, при анализе используются самые разнообразные разделы математики: теория графов, теория меры (вероятность, статистика), дифференциальные уравнения, динамические системы, геометрия, вариационное исчисление и т.д.

Оптимизационные задачи связаны с нахождением объектов, которые наилучшие в том или ином смысле. Например, задача об оптимальном экономическом росте, которую можно рассматривать как динамическую задачу рационального ведения хозяйства (задачу управления): оо • maxW= \u(c)(t))dt, k = f(k)-Àk-c to) t0 k(t0) = k0, 0<c<f(k) - задача о неоклассическом (в терминологии [29]) оптимальном росте для агрегированной замкнутой экономики с бесконечным горизонтом планирования и положительной нормой дисконтирования, представляющая собой задачу о выборе траектории потребления на одного рабочего {с(/)}, c(t) -кусочно-непрерывная функция. Единственной фазовой координатой в данной задаче является капиталовооруженность рабочего к, единственным управляющим параметром - потребление на одного рабочего с, а в качестве целевого функционала берется интеграл благосостояния; основное дифференциальное уравнение неоклассического роста служит уравнением движения, а начальное значение капиталовооруженности рабочего - граничным условием. Множеством управлений здесь будут все кусочно-непрерывные функции потребления на одного рабочего, причем значения потребления не могут опускаться ниже нуля и в замкнутой экономике подниматься выше продукции на одного рабочего. Решением этой задачи будет оптимальная траектория потребления на одного рабочего |?*(о) и оптимальная траектория для капиталовооруженности рабочего Эти траектории определяются для всех t>tо. Решение зависит от двух функций: функции полезности U(■) и производственной функции /(•) и от трех неотрицательных параметров: нормы дисконтирования S, нормы амортизации плюс темп роста рабочей силы /2 + п = Л и начального значения капиталовооруженности рабочего Atq. Приведенную выше задачу можно решить, используя принцип максимума. Исследованием решений подобного класса задач занимались в частности А.П. Черняев, В.В. Дикуссар и А.Ю. Меерсон ([11], [43])

Еще одним классом задач оптимального управления являются задачи, модель в которых описывается системой дифференциальных уравнений x = F(x,u) и требуется найти такое значение и = и параметра управления и, что Ъ функционал J = JL(x, u)dt принимает наименьшее значение. а

В работе D. Lukes [38], на основе метода динамического программирования, предложен способ решения задачи оптимального управления с бесконечным горизонтом динамической системы, поведение которой описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, и где управление представляет собой функцию обратной связи.

Целью данной диссертационной работы является решение стационарных и нестационарных задач оптимизации и управления, связанных с определением оптимальных объемов власти с точки зрения повышения эффективности функционирования системы «власть-общество-экономика» в условиях базовой и коррумпированной иерархий.

Для описания стационарных и нестационарных задач оптимизации и оптимального управления в работе используется язык теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными) [13],[61],[64]. При решении указанных задач и исследовании характеристик оптимальных решений применяются асимптотические методы, в частности, метод пограничных функций А.Б. Васильевой [4]. Задачи оптимизации в стационарных случаях изучаются с помощью методов нелинейного программирования, а задачи оптимального управления, в нестационарных случаях, - с помощью динамического программирования [3].

В диссертации: впервые построены и исследованы стационарные и нестационарные макромодели системы «власть-общество-экономика» в условиях базовой и коррумпированной властных иерархий на базе синтеза модели «власть-общество» А.П. Михайлова и динамической модели роста односекторной экономики Солоу; получены выражения для оптимальных норм накопления и объемов властных полномочий по критерию максимума удельного потребления для макромодели типа «власть-общество-экономика» в стационарных случаях, для различных вариантов влияния объемов власти в иерархии на общую производительность факторов, в условиях базовой и коррумпированной властных иерархий; впервые приведена задача оптимального управления в системе «власть-общество-экономика» и получено ее приближенное решение в форме линейного синтеза, а также предложен алгоритм уточнения управления.

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, содержащего 64 наименования.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Павлов, Александр Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе предложены решения некоторых задач оптимизации и управления, возникающие при анализе системы «власть-общество-экономика».

1. Построена модель «власть-общество-экономика», являющаяся объединением модели «власть-общество» А.П. Михайлова и модели экономического роста Солоу, позволяющая взаимно связать макроэкономическую динамику и процессы, происходящие в системе «власть-общество». Для построенной модели изучена задача проектирования властной иерархии, которая обеспечивает максимум удельного потребления.

Для модели «власть-общество-экономика» в стационарном случае вычислены значения оптимального количества властных полномочий с точки зрения максимизации удельного потребления при различных видах влияния власти на общую производительность факторов, а также в случае коррупции во властной иерархии. Описан качественный характер влияния коррупции во власти на макроэкономические показатели.

Установлено, что в нестационарном случае, при выполнении ряда условий, существует управление, при котором решение нелинейной задачи «власть-общество» будет порождать количество власти, оптимальное с позиции максимизации удельного потребления. Определена область начальных распределений власти, для которых происходит стабилизация к вычисленным стационарным значениям оптимального количества власти.

2. Рассмотрена задача оптимальной стабилизации (удержания систехмы «власть-общество-экономика» вблизи равновесия) в нестационарном случае для модели с агрегированной властью. В данной модели в отличие от модели «власть-общество» А.П. Михайлова вместо переменной состояния рассматривается агрегированная переменная - объем властных полномочий в иерархии в момент времени /. В качестве управления выбирается переменная, связанная с величиной нормы накопления.

Для модели «власть-общество-экономика» доказывается существование и единственность решения. К решению задачи оптимальной стабилизации строится допустимое линейное приближение и предлагается алгоритм его уточнения. Приводятся вычислительные эксперименты, иллюстрирующие оптимальность и допустимость предлагаемых приближений.

Таким образом, в настоящей работе предложены и решены новые задачи управления для макромоделей взаимодействия власти, общества и экономики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Павлов, Александр Александрович, 2009 год

1. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие / Издание второе, дополненное. - М.: Издательство МЭИ, 2003. - 596 с.

2. Автухович Э.В., Гуриев С.М., Оленев H.H., Петров A.A. Поспелов И.Г., Шананин A.A., Чуканов C.B. Математическая модель экономики переходного периода: Научное издание. М.: Издательство ВЦ РАН, 1999. - 144 с.

3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления: Учебник для вузов / Издание третье, исправленное и дополненное. М.: Высшая школа, 2003. - 615 с.

4. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений М.: Высшая школа, 1990. - 208 с.

5. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов H.H. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундаментальная и прикладная математика. М.: Издательство ЦНИТ МГУ им. М.В.Ломоносова. - 1998. -том 4, выпуск 3. - с. 799-851.

6. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями // Математический сборник. М. : Издательство НАУКА. - 2001. - том 192, номер 5. - с. 13-52.

7. Вайдлих Вольфганг. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках: Пер. с англ./ Под ред. С.Ю. Попкова, А.Е. Семечкина. Издание второе, стереотипное. М.: Едиториал УРСС.-2005.-480 с.

8. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г., Пилюгин B.C. Стационарные задачи оптимального взаимодействия в системе «Власть-общество» // Ученые записки РГСУ. М.: Издательство РГСУ. - 2008. - номер 6. - с. 108-118.

9. Гурман В.И. Оптимальное управление природно-экономическими системами. М.: Издательство Наука. - 1980. - 296 с.

10. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, Физматлит. 1967. - 472 с.

11. П.Дикуссар В.В., Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Задачи оптимального распределения ресурсов на примере домашних хозяйств (монография). М.: Издательство Вычислительного Центра им. А. А. Дородницына РАН. - 2004. -58 с.

12. Дмитриев М.Г. От асимптотики к модели власти // Моделирование социальных систем и вопросы преподавания математики в высшей школе. -Труды Международной конференции 26-27 марта 2008 года, Москва. М.: Издательство РГСУ. - 2008. - с. 38-64.

13. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Объединение модели «власть-общество» с моделью Солоу // Математическое моделирование социальных процессов. М.: Издательство МАКС Пресс. - 2006. - выпуск 8. -с. 30-36.

14. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Макромодель взаимоотношений бизнеса и власти // Социальная политика и социология. М.: Изд-во РГСУ. - 2007. - номер 3. - с. 219-231.

15. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Оптимальный объем властных полномочий в иерархиях по критерию удельного потребления // Математическое моделирование социальных процессов. М.: Издательство МГУ. - 2007. - выпуск 9. - с. 6-14.

16. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Развитие модели «власть -общество экономика» // Математическое моделирование социальных процессов. - М.: Издательство КДУ. - 2009. - выпуск 10. - с. 17-29.

17. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Моделирование влияния коррупции в системе «власть-общество» // Человеческий капитал. М.: Издательство РГСУ. - 2009. - номер 1 (9). - с. 208-216.

18. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Учет действия коррупции в стационарной модели «власть-общество-экономика» // Социальная политика и социология. М: Издательство РГСУ. - 2009. - номер 5, часть 1.-е. 378-387.

19. Дмитриев М. Г., Петров А.П. Анализ модели «Власть-общество» для случая двух устойчивых распределений власти // Математические методы и приложения. Труды девятых математических чтений МГСУ. - М.: Издательство РГСУ. - 2002. - с. 150-154.

20. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ. М.: Издательство Мир. -1999.-335 с.

21. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория: Пер. с англ. / Под ред. A.A. Конюса. М.: Издательство Прогресс. - 1975. - 606 с.

22. История и математика: Макроисторическая динамика общества и государства / Отв. ред. С. Ю. Малков, JI. Е. Гринин, А. В. Коротаев. М.: Издательство КомКнига. - 2007. - 184 с.

23. Kantorovich L.V. The best use of economic resources. Oxford, New York: Pergamon Press. - 1965. - xxxiii + 349 p.

24. Кириллов А.И., Морозов K.A., Сливина H.A. Математический пакет ODE Программный продукт. http://www.exponenta.ru/soft/Others/ode/ode.asp.

25. Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем: учебник для студентов вузов М.: Издательство ЮНИТИ-ДАНА. - 2005. - 295 с.

26. Крыгин А.Б. Фазовые портреты динамических систем на плоскости (грубые системы). М.: Издательский дом МЭИ. - 2006. - 56 с.

27. Левин М.И., Цирик М.Л. Коррупция как объект математического моделирования // Экономика и математические методы. М.: Издательство НАУКА. - 1998. - том 34, номер 3. - с. 40-61.

28. Левин М.И., Цирик М.Л. Математические модели коррупции // Экономика и математические методы. М.: Издательство НАУКА. - 1998. -том 34, номер 4. - с. 34-55.

29. Lukes D.L. Optimal regulation of nonlinear dynamical systems // SIAM Journal Control. USA, Philadelphia: SIAM. - 1969. - Volume 7, Number 1. -pp. 75-100.

30. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику / Издание третье, стереотипное М.: Эдиториал УРСС, 2002. - 256 с.

31. Малков С.Ю. Математическое моделирование исторической динамики: подходы и модели // в сб. Моделирование социально-политической и экономической динамики. М.: Издательство РГСУ. - 2004. - с. 76-188.

32. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Издание пятое, дополненное. СПб.: Издательство Лань. - 2003. - 832 с.

33. Матвеенко В.Д. О возможности изменения типа производственной функции: интересы социальных групп и направление технического прогресса //

34. Информационные технологии и вычислительные системы. М.: Издательство ЛКИ. - 2007. - номер 4. - с. 28-37.

35. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Принятие решений при оптимальном управлении при потреблении // Известия Тульского государственного университета. Тула: Издательство Тульского гос. ун-та. - 2007. - Серия Естественные науки. - выпуск 1.-е. 139-150.

36. Михайлов А.П. Математическое моделирование власти в иерархических структурах // Математическое моделирование. М.: Издательство НАУКА. - 1994. - том 6, номер 6.-е. 108-138.

37. Михайлов А.П. Модель коррумпированных властных иерархий // Математическое моделирование. М.: Издательство НАУКА. - 1999. - том 11, номер 1. - с. 3-17.

38. Михайлов А.П. Моделирование системы «власть-общество». М.: Издательство ФИЗМАТЛИТ. - 2006. - 144 с.

39. Михайлов А.П., Ланкин Д.Ф. Моделирование оптимальных стратегий ограничения коррупции // Математическое моделирование. М.: Издательство НАУКА.-2006.-том 18, номер 12.-е. 115-124.

40. Моисеев Никита Николаевич: обзор трудов. М.: Издательство РАН. -2009. - 34 с.

41. Моделирование и управление процессами регионального развития / Под ред. С.Н. Васильева М.: Издательство ФИЗМАТЛИТ. - 2001. - 432 с.

42. Павлов A.A. Об устойчивых профилях власти в условиях нелинейной модели «Власть-Общество» // Математическое моделирование социальной и экономической динамики (MMSED-2007) 20 22 июня 2007 года, Москва.

43. Труды 2-й международной конференции. М.: Издательство РУДН. - 2007. -с. 202-204.

44. Павлов A.A. Об эффективности власти в рамках макромодели «власть-общество-экономика» // Ученые записки РГСУ. М.: Издательство РГСУ. - 2008. - номер 7. - с. 197-210.

45. Павлов A.A. Линейный синтез управления ресурсами в нестационарной модели «власть-общество-экономика» // Ученые записки РГСУ. М: Издательство РГСУ. - 2009. - номер 11. - с. 210-219.

46. Попков Ю.С. Об одном классе динамических моделей макросистем с самовоспроизведением и локально-термодинамическим распределением // Оптимальное управление динамическими макросистемами. М.: Издательство ВНИИСИ. - 1987. - с. 18-27.

47. Поспелов И.Г. Моделирование экономических структур. М.: Издательство Фазис. - 2003. - xiv+194 с.

48. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск: Издательский дом Удмуртский университет. - 2000. - 200 с.

49. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / второе издание, исправленное. М.: Издательство ФИЗМАТЛИТ. - 2001. - 320 с.

50. Стол ерю Л. Равновесие и экономический рост (принципы макроэкономического анализа) / Пер. с франц. под ред. Б. Л. Исаева. М.: Издательство Статистика. - 1974. - 472 с.

51. Solow R. A contribution to the theory of growth // Quarterly Journal of Economist. USA: Cambridge. - 1956. - volume 70. - pp. 65-94.

52. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения: учебник для вузов / четвертое издание. М.: Издательство ФИЗМАТЛИТ. - 2005. - 256 с.

53. Трофимов В.В., Тужилин A.A. Математические модели экономики. 5 лекций. М.: Издательство МГУ. - 2005. - 44 с.

54. Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень: Учебник. -М.: Издательство ИНФРА-М. 2008. - 844 с.

55. Эрроусмит Д., Плейс К, Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями / Пер. с англ. М.: Издательство Мир. - 1986. - 243 с.