Определение прочностных характеристик идеального кристалла при сильном статическом и динамическом деформировании тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Ткачев, Павел Викторович

• Ткачев, Павел Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ткачев, Павел Викторович

Оглавление

Введение

1 Устойчивость идеальной бесконечной кристаллической решётки в поле однородной деформации

1.1 Объект исследования

1.1.1 Основные предположения

1.1.2 Отсчётная и актуальная конфигурации

1.1.3 Силы взаимодействия между частицами

1.2 Обозначения

1.2.1 Векторные и тензорные величины

1.2.2 Условные обозначения в формулах

1.3 Конечная деформирмация кристаллической решётки

1.3.1 Уравнение динамики частиц кристаллической решётки

1.3.2 Длинноволновое приближение

1.4 Произвольная малая деформация кристаллической решётки, наложенная на конечную

1.4.1 Вариация тензора напряжений Пиола

1.4.2 Возмущённое уравнение движения в форме Пиола

1.5 Устойчивость решения возмущённого уравнения движения в

форме Пиола

1.5.1 Поиск волнового решения

1.5.2 Критерий устойчивости волнового решения

1.6 Критерий устойчивости деформированного состояния кристаллической решётки

1.6.1 Одномерная цепочка частиц

1.6.2 Плоская плотноупакованная кристаллическая решётка

1.7 Построение области устойчивости однородной деформации плоской плотноупакованной кристаллической решётки с учётом первой координационной сферы

1.7.1 Вывод критерия устойчивости

1.7.2 Область устойчивости в поле действия потенциала Леннарда-Джонса

1.8 Выводы

Исследование ударного разрушения идеального кристалла

методом динамики частиц

2.1 Объект исследования

2.1.1 Макроскопическая постановка задачи

2.1.2 Постановка задачи на микроуровне

2.2 Метод исследования

2.2.1 Интегрирование уравнений движения

2.3 Потенциалы взаимодействия

2.3.1 Определения

2.3.2 Линеаризация

2.3.3 Динамические характеристики

2.3.4 Безразмерные параметры

2.3.5 Потенциал Леннарда-Джонса

2.3.6 Потенциал Морзе

2.4 Описание компьютерного эксперимента

2.5 Метод сравнения результатов компьютерного моделирования

с данными натурных экспериментов

2.5.1 Определение связи коэффициентов

2.5.2 Механические параметры компьютерного материала

2.5.3 Определение параметров потенциала Леннарда-Джонса

из данных натурного эксперимента

2.5.4 Определение параметров потенциала Морзе из данных натурного эксперимента

2.6 Плоское ударное взаимодействие при свободных граничных условиях

2.7 Моделирование плоского ударного взаимодействия при периодических граничных условиях

2.7.1 Исследование сходимости

2.7.2 Использование потенциала Леннарда-Джонса

2.7.3 Использование потенциала Морзе

2.7.4 Сравнение параметра т для компьютерных материалов со значениями для некоторых металлов

2.8 Выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определение прочностных характеристик идеального кристалла при сильном статическом и динамическом деформировании»

Введение

Актуальность темы

Необходимость эксплуатация машин и механизмов при воздействии больших статических и динамических нагрузок требует исследования поведения материала при сильном деформировании. Для решения подобных задач наиболее разработанной в механике деформируемого твёрдого тела является концепция непрерывности, в рамках которой материал представляется в виде сплошной среды. При данном подходе в случае упругого деформирования влиянием внутренней структуры материала можно пренебречь, однако описание неупругого деформирования зачастую требует учёта её влияния на характер протекающих процессов и свойства вещества. Эта необходимость возникает в силу того, что неупругое деформирование, как правило, сопровождается изменением структуры вещества, а при сильном деформировании происходит разрушение, которое фактически является нарушением сплошности материала. Одним из способов введения информации о поведении структурных элементов материала в рассматриваемую модель является математический переход от уравнений, описывающих микроструктуру, к уравнениям сплошной среды, содержащим информацию о строении, свойствах и поведении структурных элементов.

Длительное воздействие сильной статической нагрузки зачастую приводит к разрушению, одной из причин которого является потеря устойчивости внутренней структуры материала. Поэтому исследование поведения

микроструктуры при сильном статическом деформировании и получение критерия её устойчивости является важным звеном для понимания общей картины разрушения и предсказания поведения конструкций при эксплуатации в условиях критических нагрузок. Одним из типов конструкционных материалов являются металлы, обладающие кристаллической решёткой. Использования модели идеального кристалла для их описания позволяет аналитически определить прочностные характеристики в рамках нелинейной теории. Для теоретического анализа деформирования кристаллических твёрдых тел необходимо получение соотношений, связывающих параметры микроструктуры с макроскопическими параметрами деформирования. Переход от уравнений, описывающих внутреннюю структуру вещества, к уравнениям сплошной среды позволяет использовать разработанный понятийный и математический аппарат механики сплошных сред, при этом сохранив информацию о строении и свойствах микроструктуры. Полученные в результате аналитические соотношения также могут использоваться для постановки задач компьютерного моделирования процессов деформирования и разрушения, а также для верификации результатов компьютерного эксперимента в случаях, когда задача может быть решена как аналитически, так и численно.

Частой причиной разрушения материала при его эксплуатации в экстремальных условиях является сильное динамическое деформирование. В частности, такие его виды, как высокоскоростной удар, взрыв, а также другие импульсные нагрузки. Уникальную возможность изучения прочностных свойств твёрдого тела при подобного рода деформировании дают эксперименты с плоскими ударными волнами, так как в материале создаются чрезвычайно высокие напряжения при простейшем одноосном деформировании. Для исследования ударного взаимодействия и сопротивления ме-

таллов сильному динамическому деформированию компьютерное моделирование такого рода взаимодействий на примере идеального монокристалла является прекрасной моделью, на которой можно проверить исходные теоретические положения, а также провести сравнение с данными натурных экспериментов. Это позволяет исследовать напряжения и скорость деформирования при ударном нагружении, оценив степень влияния микроструктуры на протекающие процессы, а также подобрать значения параметров компьютерного материала, соответствующие свойствам реальных материалов, для последующего их использования при моделировании более сложных видов динамического деформирования.

Таким образом, определение прочностных характеристик идеального кристалла при сильном статическом и динамическом деформировании является актуальной проблемой современной механики деформируемого твёрдого тела.

Методика исследования

Основным методом исследования, используемым в данной диссертационной работе как для аналитических выкладок, так и для компьютерного моделирования, является метод механики дискретных сред. Он состоит в представлении вещества в виде совокупности взаимодействующих частиц (материальных точек или твёрдых тел), поведение которых описывается законами классической механики. Силы взаимодействия между частицами определяются посредством потенциалов взаимодействия, которые на сегодняшний день для важнейших материалов хорошо известны. В данной диссертационной работе для аналитического определения прочностных характеристик при сильном статическом деформировании и получения критерия потери устойчивости внутренней структуры материала используется под-

ход, позволяющий совершить переход от уравнений описывающих микроструктуру материала, к уравнениям механики сплошных сред. Он основан на длинноволновом приближении и потому анализ производится без учёта теплового движения.

В качестве метода компьютерного моделирования для определения прочностных характеристик при сильном динамическом деформировании, выбран метод динамики частиц, основной подход компьютерного моделирования в механике дискретных сред. В основе данного подхода лежит представление твёрдого тела в виде различных упаковок частиц, из которых монокристаллические являются наиболее широко используемыми. Он позволяет исследовать напряжения и скорость деформирования при ударном нагру-жении, оценив степень влияния микроструктуры на протекающие процессы. И тем самым дополнить аналитическое решение задачи компьютерным моделированием поведения внутренней структуры материала. Компьютерный эксперимент даёт возможность увидеть поведение микроструктуры в реальном масштабе времени, чего не позволяет натурный эксперимент, фактически показывающий только два момента времени: до начала эксперимента и по его окончании. Поэтому в настоящее время компьютерный эксперимент является важным звеном, занимающим промежуточное положение между теоретическим исследованием и реальным экспериментом. Рост вычислительной мощности современных компьютеров позволяет всё больше увеличивать сложность вычислительной модели, тем самым добиваться всё более точного соответствия условиям экспериментальных исследований. В конечном итоге такой подход позволяет заменить или многократно дублировать дорогостоящие натурные эксперименты, а также повышает возможности теоретических исследований, так как компьютерное моделирование не может существовать независимо от аналитических исследований, созда-

ющих расчётные модели и обеспечивающих соответствие между моделью и реальностью.

Цель работы

Целью данной работы является разработка подходов к определению прочностных характеристик идеального кристалла при сильном статическом и динамическом деформировании для различных видов взаимодействия между частицами, образующими кристаллическую решётку.

Научная новизна

Научную новизну работы составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

1. Получен критерий устойчивости для идеальной бесконечной плоской плотноупакованной кристаллической решётки при наложении малой деформации на конечную деформацию.

2. Построены области устойчивости однородной деформации идеальной бесконечной плоской плотноупакованной кристаллической решётки в поле парного потенциала взаимодействия Леннарда-Джонса.

3. Развит подход для численного определения зависимости откольной прочности от скорости деформирования для идеальных кристаллов.

4. Построены зависимости параметров, характеризующих откольное разрушение ряда металлов от параметров парных потенциалов взаимодействия Леннарда-Джонса и Морзе.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов достигается использованием апробированных физических моделей и применением строгих математических методов, сравнением результатов аналитических исследований и численных расчётов с экспериментальными данными, применением современных методов и вычислительных средств, известных методик моделирования, использованием при вычислении тестовых моделей, допускающих точное аналитическое решение.

Практическая значимость работы

Полученный критерий устойчивости для кристаллической решётки позволяет определить значения деформации, при котором наступает нарушение внутренней структуры материала. Подход позволяет подойти к описанию разрушения с позиции теории устойчивости и получить аналитические формулы, описывающие границу деформации, за которой возможно наступление разрушения. Найденные значения параметров потенциала взаимодействия для ряда металлов могут быть применены при компьютерном моделировании откольного разрушения, что позволяет заменить дорогостоящие натурные эксперименты. Полученные результаты в области статического нагружения и откольного разрушения могут быть использованы для прогноза поведения материала и конструкций, находящихся под воздействием критических нагрузок.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры «Теоретическая механика» СПбГПУ, Института проблем машиноведе-

ния РАН (Санкт-Петербург), а также на всероссийских и международных конференциях «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2002, 2003, 2004, 2005), IX Всероссийское совещание по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященное памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2002), II Всероссийская школа-конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2004), 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Poland, Warsaw, 2004).

Публикации по теме исследования

1. Ткачев П.В., Кривцов A.M. Использование потенциала Морзе для описания зависимости откольной прочности материалов от скорости деформирования / П. В. Ткачев, А. М. Кривцов // Наносистемы: Физика, Химия, Математика. — 2012. — Т. 3, № 5. — С. 70-75.

2. Подольская Е. А., Кривцов А. М., Панченко А. Ю., Ткачев П. В. Устойчивость идеальной бесконечной двумерной кристаллической решетки / Е.А. Подольская, A.M. Кривцов, А.Ю. Панченко, П.В. Ткачев // Доклады Академии Наук. — 2012. - Т. 442, № 6. — С. 755-758.

3. Индейцев Д.А., Кривцов A.M., Ткачев П.В. Исследование методом динамики частиц взаимосвязи между откольной прочностью и скоростью деформирования твердых тел / Д. А. Индейцев, А. М. Кривцов, П. В. Ткачев // Доклады Академии Наук. — 2006. — Т. 407, № 3. — С. 341-343.

4. Кривцов А. М., Волковец И. В., Ткачев П. В., Цаплин В. А. Применение метода динамики частиц для описания высокоскоростного разрушения

твердых тел / А. М. Кривцов, И. Б. Волковец, П. В. Ткачев, В. А. Цап-лин // Труды всероссийской конференции «Математика, Механика и Информатика», посвященной 10-летию РФФИ. — 2005. — М.: Физмат-лит. - С. 361-376.

5. Ткачев П. В. Компьютерное моделирование ударного разрушения / П. В. Ткачев // Тезисы докладов II Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова, Абрау-Дюрсо. — 2004. — С. 100-101.

6. Tkachev P. V. Stability loss criterions of the material with microstructure / P. V. Tkachev // Proceedings of the XXXII Summer School «Advanced Problems in Mechanics», Saint-Petersburg. — 2004. — P. 423-424.

7. Tkachev P. V., Krivtsov A. M. Computer simulation of 2D dynamic fracture: anisotropic effects in spall crack formation / P. V. Tkachev, A. M. Krivtsov

// Proceedings of the XXXI Summer School «Advanced Problems in Mechanics» Saint-Petersburg. - 2003. - P. 362-364.

8. Ткачев П. В., Кривцов A. M. Откольное разрушение при плоском ударном взаимодействии пластин / П. В. Ткачев, А. М. Кривцов // XXXI Неделя науки СПбГПУ, 25-30 ноября 2002. Материалы межвузовской научной конференции. — 2003. — С. 25-27.

9. Ткачев П. В., Кривцов А. М. Разрыв связей в плоской системе с парным потенциалом взаимодействия / П. В. Ткачев, А. М. Кривцов // XXXI Неделя науки СПбГПУ, 25-30 ноября 2002. Материалы межвузовской научной конференции. — 2003. — С. 27-28.

10. Ткачев П. В., Кривцов А. М. Учет эффекта Пуассона при плоском ударном взаимодействии пластин / П. В. Ткачев, А. М. Кривцов // XXXI

Неделя науки СПбГПУ, 25-30 ноября 2002. Материалы межвузовской научной конференции. — 2003. — С. 29-31.

11. Ткачев П.В., Кривцов A.M. Определение пороговой скорости отколь-ного разрушения при плоском ударном взаимодействии пластин / П. В. Ткачев, А. М. Кривцов // Тезисы докладов XIV Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики», посвященной памяти К. И. Бабенко. Дюрсо, Новороссийск. — 2002. — С. 154-155.

Структура и объём работы

Работа состоит из введения, двух глав и заключения. Работа содержит 109 страниц, 22 рисунка, 4 таблицы, список литературы содержит 169 наименований. Глава первая посвящена развитию подхода, позволяющего определять устойчивость бесконечной идеальной плотноупакованной кристаллической решётки при сильном статическом деформировании. Глава вторая посвящена развитию подхода для определения параметров потенциалов Леннарда-Джонса и Морзе, которые удовлетворяют откольным свойствам ряда металлов. В заключении представлен список основных результатов, представленных в данной диссертационной работе.

Обзор литературы

В данной работе для аналитического исследования прочностных характеристик идеального кристалла при сильном статическом деформировании используется подход дискретной механики, который заключается в математическом переходе от уравнений описывающих микроструктуру вещества к уравнениям сплошной среды для твёрдых тел с микроструктурой. Его на-

чало положено в работах Коши, который получил формулы для линейных модулей упругости из атомистических парных потенциалов, известные как соотношения Коши [154]. Их обобщение было сделано в работах М. Борна и К. Хуанга [5], и получило название правило Коши-Борна или приближение Коши-Борна, которое устанавливает связь между атомистической и непрерывной моделью для упругой деформации кристалла. Данное правило заключается в том, что в твёрдых кристаллических структурах при малых деформациях, положение атомов в кристаллической решётке следует за общей деформацией среды. Это приближение обычно справедливо для гранецентрированной и объемно-центрированной кубической кристаллических решёток. Для сложных решёток, таких как алмаз, однако, правило должно быть изменено, чтобы обеспечить внутренние степени свободы между подрешётками [109].

В работах Борна по анализу динамики кристаллических решёток [3-5], был применён для идеального кристалла развитый им метод длинных волн, которой позднее получил название длинноволновое приближение. Метод был воспринят многими авторами, которые в основном для получения макроскопических уравнений использовали подобный подход [10,29,43,48,51, 94]. Длинноволновое приближение позволяет совершить математический переход от уравнений описывающих микроструктуру вещества, с учётом геометрии кристаллической решётки [94,105,136], к уравнения сплошной среды без учёта термодинамических эффектов [31,32]. Обзор механики идеальных кристаллов достаточно полно изложен в монографии Г.Лейбфрида [48]. В работах [44,60,71,82] содержится обзор различных теорий кристаллических решёток и сравнение их с экспериментальными данными. Решение задач деформирования кристаллических решёток с трещинами аналитически начатое в работах Л.И.Слепяна [68-70], продолжено в работах

Н.Ф.Морозова [57-59] и М.В.Паукшто [57-59].

Изучая атомистические модели математики А. Брадис, Г. Дал Maco и А. Гаррони, используя концепции Г-сходимости, доказали [99] сходимость некоторых дискретных функционалов с парным взаимодействием к континуальной модели. Данный факт позволил JI. Туркиновски описать разрушение происходящее внутри материала [161]. Кс. Бланк, К. Jle Брис и П.Л. Лионе показали, что микроскопическое смещение атомов следует гладкому макроскопическому смещению поля и как объёмная, так и поверхностная энергия в пределе зависит от атомистической модели [98]. Г. Фрешек и Ф. Тейла исследовали в термодинамическом пределе поведение непрерывных функционалов энергии, полученных из дискретных моделей, показав соотношения параметров, при которых правил Коши-Борна даёт глобальный минимум энергии [111].

Для описания деформируемого твёрдого тела на макроуровне в данной работе используется аппарат механики сплошной среды опирающийся на работы П.А. Жилина, В.И. Кондаурова, А.И. Лурье, В. Новацкого, В.А. Пальмова, К. Трусдела, В.Е. Фортова [27,49,50,61,63,80]. Основой данного подхода являются балансовые соотношения не зависящие от свойств описываемого материала (уравнения баланса массы, импульса, момента импульса и энергии). Однако, система этих уравнений не полна, поэтому для её замыкания используются определяющие уравнения [63] или уравнения состояния [17]. Данный аппарат хорошо разработан и широко применяется для описания различных типов деформаций [153], в частности и для описания ударных волн [7,17,65]. При решении задач в которых нарушается сплошность материала используются как континуальные [56,89,90], так и дискретные методы [19]. Это особенно актуально в задачах моделирования наноразмерных объектов [84,97].

На сегодняшний день разработанные подходы дискретной механики позволяют описать деформирование твёрдых тел с микроструктурой как в статической постановке [165], так и в динамической [167], а также исследовать проблему устойчивости внутренней структуры материала для различных видов кристаллических решёток [98,108,164,165]. Также описать влияние геометрических дефектов микроструктуры [163,166,168]. Также необходимо особенно выделить работы A.M. Кривцова [31] и Г. Стренга [155] описывающих основную стратегию получения континуальных уравнений из дискретных для решения задач описывающих конечную деформацию в рамках нелинейной теории. Построение потенциалов взаимодействия между частицами, формирующими кристаллическую решётку является отдельной и весьма нетривиальной задачей. На данный момент для основных материалов потенциалы взаимодействия хорошо исследованы, наиболее часто применяются парные потенциалы Леннарда-Джонса [135] и Морзе [143], а также многочастичные потенциалы, например, потенциал Терзоффа [156] и модель погружённого атома Доу и Баскеса [102,103]. В данной работе используется описание кристаллической решётки в поле действия парных потенциалов, рассмотрение многочастичных потенциалов выходит за рамки проведённого исследования.

Для определения прочностных характеристик идеального кристалла при сильном динамическом деформировании используется компьютерное моделирование методом динамики частиц, основном метод компьютерного моделирования в дискретной механике. В отличие от методов основанных на представлении материала в виде сплошной среды [67], данный подход основан на описании микроструктуры материала в виде упаковки частиц. Он нашёл широкое применение в механике [31], физике [127], химии и биологии. Данный метод используется для моделирования жидкостей [92], газов,

сыпучих сред, порошков, гранулированных материалов, а также в задачах астрофизики [83]. Метод динамики частиц широко используется для моделирования процессов на всех масштабных уровнях: от систем состоящих всего их нескольких молекул, до систем в которых частицами являются планеты [112]. Метод стал развиваться ещё до появления компьютерной техники, в 1936 году был проведён ручной расчёт траектории движения молекул. Первая работа с использованием компьютерных расчётов вышла в 1957 году [91], в ней Б. Алдер и Т. Вейнарт исследовали фазовую диаграмму системы жёстких сфер. Такая модель, при которой частицы движутся свободно и взаимодействуют между собой только при абсолютно упругом соударении, позволяет отказаться от самой ресурсоёмкой части моделирования — вычисления сил межатомного взаимодействия. Это позволило провести моделирование для системы состоящий из порядка 100 частиц.

Первая статья, в которой было описано моделирование методом динамики частиц с потенциалом, зависящим от расстояния, вышла в 1960 году [114], в ней Дж. Гибсон, А. Голанд, М. Милграма и Г. Виньярд рассматривали образование дефектов в кристаллической меди с помощью модели состоящей из 500 атомов. Потенциал Леннарда-Джонса [135] был использован А. Рахманом в 1964 году для моделирования жидкого аргона [151]. Используя тот же потенциал Л. Верле в 1967 году рассчитал фазовую диаграмму аргона [162], предложенный им алгоритм расчёта (составление списков взаимодействующих пар частиц и расчёта сил согласно этим спискам) получил название метод списков Верле. Также в этой статье Верле предложил метод численного интегрирования уравнений движения частиц, который стал одним из основных методов интегрирования применяемых в методе динамики частиц. Метод Верле является симлектичным, то есть сохраняющим фазовый объём, в котором находится изолированная система,

что является его основным преимуществом над другими методами, например, Рунге-Кутта. Это позволяет избежать систематического ухода энергии, что является важным при моделировании атомарных систем. В своей статье Ф. Абрахам [88] отмечает, что к тому времени максимальное число частиц, которое могло быть использовано в компьютерном моделировании достигло 100000.

Метод динамики частиц также развивался и в нашей стране и к середине 70-х готов возросшее количество исследований в данном направлении потребовало объединения усилий. Так в марте 1976 года, за месяц до первой международной конференции по компьютерному моделированию материалов, организованной в США, на базе Ленинградского политехнического института и Физико-Технического института Академии наук СССР прошёл первый всесоюзный семинар по моделированию радиационных и других дефектов. Вплоть до распада СССР этот семинар был регулярным событием, и затем он был возобновлён в 1997 году под названием «International Workshop of Nondestructive Testing and Computer Simulations in Science and Engineering». И затем под влиянием развития нанотехнологий переименован в «International Workshop of Nano Design, Technology and Computer Simulations» [137].

Поскольку в данной работе прочностные идеального кристалла при сильном динамическом деформировании определяются из моделирования плоских ударных волн, то остановимся подробнее на этом вопросе. Первое подобное моделирование было проведено в 1966 году [159], в нём рассматривалось распространение упругих волн в одномерной среде (хотя фактически рассматривался трёхмерный кристалл, но фиксация атомов в соседних плоскостях сводила задачу к одномерной). Чуть позже были опубликованы работы по моделированию ударных волн в двумерных [160] и трёхмер-

ных [104] кристаллах. В работе [104] была впервые применена методика слежения за фронтом ударной волны, получившая название «подвижное окно». Через несколько лет была опубликована подробная статья [147] по моделированию ударной волны в трёхмерном кристалле. Ростом вычислительной мощности компьютеров позволил проводить более детальные исследования. Б. Холиан и Г. Страуб в своих исследованиях фронта ударной волны в одномерном [121] и трёхмерном [122] кристаллах показали невозможность пластических эффектов в одномерном случае (распад фронта на цепочку солитонов) и аналогичное поведение фронта в трёхмерном случае при отсутствии теплового движения. Как показало исследование, только наличие достаточно высокого уровня теплового движения частиц привело к исчезновению солитонов и перехода энергии в пластическую деформацию кристалла. В 1978 г. советские исследователи В.Ю. Клименко и А.Н Дремин опубликовали работу по моделированию ударных волн в жидкости [25], опередив тем самым американских исследователей [120,124]. А в 1980 г. этими же авторами опубликованы работы по моделированию ударных волн в твёрдом теле [24,26]. Также стоит отметить работы М.А. Могилевского [142]. С развитием многопроцессорных вычислений стало возможно проводить исследования методом динамики частиц с постоянным увеличением объёма рассматриваемых систем. В этом направлении особенно выделяется группа исследователей из Л ос Аломосской лаборатории, среди которых особенно стоит выделить работы Б. Холиана и др. [42,123,125]. По теории моделирования методом динамики частиц стоит отметить работы В. Хувера и др. [126,128]. Важно отметить работы ф. Абрахама, X. Гао и др. по моделированию роста трещин [86,87, ИЗ, 116,117].

В данной работе для верификации и описания процессов, полученных в результате компьютерного моделирования методом динамики частиц, и

оценки прочностных характеристик используются данные натурных экспериментов, проведённых группами В.Е. Фортова [21-23,131] и Ю.И. Мещерякова [54,55,139-141]. Макроскопическая прочность материала существенно зависит от кинетики внутренней структуры материала [64,141], которая может быть измерена в реальном времени при помощи интерферометрических методов в процессе натурных экспериментов по одноосному ударному на-гружению [23,139,141]. Надёжность сопоставления результатов натурных экспериментов по откольному разрушению и результатов компьютерного моделирования методом динамики частиц исследована и подтверждена в работах A.M. Кривцова [39,133]. Предложенная модель хорошо описывает образование откола в зоне встречи волн разгрузки [101], а также даёт хорошее соответствие с известными результатами [141,169]. Также стоит отметить, что предложенный подход компьютерного моделирования позволяет исследовать [40,132] в том числе и влияние на откольную прочность хаотической составляющей скоростей частиц на свободной поверхности, которая также может быть измерена в натурной эксперименте [64,93,131,141]. Описание конструкционных свойств материалов, использованное в данной диссертационной работе, опирается на работы Б.Е. Мельникова, В.В.Лалина и В.А.Санникова [2,28,47,53,62].

Остановимся на некоторых работах в области моделирования методом динамики частиц. Исследованию разрушения, распространения ударных волн и фазовых переходов посвящены статьи С.И. Анисимова, В.В, Жа-ховского и др. [11,12] E.H. Бродская и А.И. Русанов в своих работах [6,81] применяют метод динамики частиц для моделирования химических процессов. Процессы детонации, разрушения и распространения ударных волн рассматриваются в работах В.Ю. Клименко и А.Н. Дремина [24-26]. Процессы формирования кристаллов, а также задачи о деформировании и раз-

рушении твёрдых тел рассматриваются в работах В.А. Лагунов и A.B. Си-нани [45,46]. Исследованию процессов зарождения разрушения посвящены работы А.И. Мелькера и др. [52,137], также ими рассмотрены процессы деформации полимеров [52] и исследование свойств углеродных наноструктур [138]. Исследованию взаимосвязи макроскопических и микроскопических параметров идеальных кристаллов посвящены работы A.M. Кривцова и др. [18,35,38] В статьях Г.Э. Нормана, В.В. Стегайлова, А.Ю. Куксина, A.B. Янилкина и др. [30,85,134] проведены исследования экстремальных процессов в твёрдых телах при высоких давлениях и температурах. Исследованию поверхностных эффектов [9], прочностных и термодинамических свойств наноструктур посвящены работы В.М. Фомина, И.Ф. Головнева и Е.И. Головневой. Среди зарубежных авторов большой вклад в развитие методом динамики частиц внесли В.Г. Хувер [127], М.П. Аллен [92], Дж. Цикотти [100], Б.Л. Холиан [42], Ф. Эрколесси [106], Р. Хокни [83], Ф. Абрахам [88] и др.

Подробную информацию о моделировании методом динамики частиц содержат следующие статьи [42,95,110,145,146] и монографии [31,92,115,118, 127,152]. Следует также отметить обзорные исторические статьи классиков метода молекулярной динамики — В.Г. Хувера [129,130] и Б.Л. Холи-ана [119], в которых авторы описывают свой пятидесятилетний опыт компьютерного моделирования, а также комментируют основные достижения других авторов.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Ткачев, Павел Викторович

2.8 Выводы

В этой главе развит подход для определения параметров потенциалов Леннарда-Джонса и Морзе, которые позволяют создать компьютерный материал обнаруживающий при откольном разрушении свойства, близкие к свойствам реальных материалов: зависимость откольной прочности от скорости деформирования описывается аналогичной зависимостью. Данный подход основан на сравнении результатов компьютерного моделирования откольного разрушения с результатами натурных экспериментов, что в итоге позволяет создать компьютерный материал для последующего более детального исследования процессов протекающих при сильном динамическом деформировании под действием импульсных нагрузок.

Били изучены откольные свойства компьютерного материала, построенного с помощью потенциала взаимодействия Леннарда-Джонса. В силу наличия у него только двух параметров его откольные свойства являются постоянными и находятся между нержавеющей сталью и высокочистым титаном. Полученные зависимости для трёхпараметрического потенциала Морзе позволяют подобрать значения его параметров так, чтобы описать экспериментальные зависимости откольной прочности от скорости деформирования для ряда металлов: сталь нержавеющая Х18Н10Т, титан высокочистый, медь, алюминий АтгбМ.

Заключение

В заключении перечислим основные результаты, полученные в данной ра! боте.

1. Получен критерий устойчивости для идеальной бесконечной плоской плотноупакованной кристаллической решётки при наложении малой деформации на конечную деформацию.

2. Построены области устойчивости однородной деформации идеальной бесконечной плоской плотноупакованной кристаллической решётки в поле парного потенциала взаимодействия Леннарда-Джонса. Показана анизотропия свойств материала, в том числе различие критических деформаций при растяжении и сжатии.

3. Развит подход для численного определения зависимости откольной прочности от скорости деформирования для идеальных кристаллов. Данный подход основан на сравнении результатов компьютерного моделирования откольного разрушения с результатами натурных экспериментов, что позволяет создавать компьютерные материалы для детального исследования процессов протекающих при сильном деформировании под действием импульсных нагрузок.

4. Построены зависимости параметров, характеризующих откольное разрушение от параметров парных потенциалов взаимодействия Леннарда-Джонса и Морзе. Показано, что откольные свойства компьютерного материала Леннарда-Джонса находятся между свойствами нержавеющей стали и высокочистым титаном. Использование трёхпараметри-ческого потенциала Морзе позволило удовлетворить откольным свойствам ряда металлов: сталь нержавеющая Х18Н10Т, титан высокочистый, медь, алюминий АтгбМ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ткачев, Павел Викторович, 2013 год

Литература

[1] Бабичев А. П., Бабушкина Н. А, Братковский А. М и др. Под ред. Григорьева И. С. и Мейлихова Е. 3. Физические величины. Справочник / А. П. Бабичев, Н. А Бабушкина, А. М Братковский и др. Под ред. И. С. Григорьева и Е. 3. Мейлихова. — М.: Энергоатомиздат, 1991. — 1232 с.

[2] Брытков Е. В., Санников В. А. Механика композиционных материалов / Е. В. Брытков, В. А. Санников. — СПб: Балтийский государственный технический университет, 2012. — 72 с.

[3] Борн М. Динамика кристаллической решетки / М. Борн. — М, 1932.

[4] Борн М., Гепперт-Майер М. Теория твердого тела / М. Борн, М. Гепперт-Майер. — М. — Л, 1938.

[5] Борн М., Кунь X. Динамическая теория кристаллических решеток / М. Борн, X. Кунь. — М.: Иностранная литература, 1958. — 488 с.

[6] Бродская Е. Н., Русанов А. И. Расчет вклада растворителя в работу сольватации иона методом численного эксперимента / Е. Н. Бродская, А. И. Русанов // Журнал физической химии. — 1999. — Т. 73, № 8. — С. 1376-1381.

[7] Глушак Б. Л., Куропатенко В. Ф., Новиков С. А. Исследование прочности материалов при динамических нагрузках / Б. Л. Глушак, В. Ф. Куропатенко, С. А. Новиков. — Новосибирск: Наука, 1992. — 294 с.

[8] Головнева Е. И., Головнев И.Ф., Фомин В. М. Молекулярно-динамический анализ динамического разрушения наноструктур /

Е. И. Головнева, И. Ф. Головнев, В.М. Фомин // Физическая Мезо-механика. - 2003. - Т. 6, В. 2. - С. 37-46.

[9] Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Фомин В.М. Молекулярно-динамическое исследование поверхностного натяжения в наноструктурах / И. Ф. Головнев, Е. И. Головнева, В. М. Фомин // Известия Российской Академии Наук. Механика Твердого Тела. — 2010. - № 3. -С. 45-55.

[10] Жарков В.Н., Калинин В. А. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах / В. Н. Жарков, В. А. Калинин. — М.: Наука, 1968. - 311 с.

[11] Жаховский В. В., Анисимов С. И. Численное моделирование испарения жидкости методом молекулярной динамики / В. В. Жаховский, С. И. Анисимов // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. - 1997. - Т. 11, № 4. - С. 1328-1346.

[12] Жаховский В. В., Нишихара К., Анисимов С. И., Иногамов H.A. Молекулярно-динамическое моделирование волн разрежения в средах с фазовыми переходами / В. В. Жаховский, К. Нишихара, С. И. Анисимов, H.A. Иногамов // Письма в Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. - 2000. Т. 71, Вып. 4. - С. 241-248.

[13] Жилин П. А. Тензор поворота в описании кинематики твердого тела / П. А. Жилин // Труды СПбГТУ. - 1992. - № 443. - С. 100-121.

[14] Жилин П. А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве / П. А. Жилин. — СПб: Нестор, 2001. — 276 с.

[15] Жилин П. А. Основные уравнения теории неупругих сред / П. А. Жилин // Труды XXVIII летней школы «Актуальные проблемы механики». Санкт-Петербург. — 2001. — С. 14-58.

[16] Жилин П. А. Теоретическая механика / П. А. Жилин. — СПб: издательство СПбГТУ, 2001. — 146 с.

[17] Зельдович Я. Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (2-е издание) / Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер. — М.: Наука. — 1966.

[18] Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток с учетом моментных взаимодействий на микроуровне / Е. А. Иванова, А. М. Кривцов, Н. Ф. Морозов // Прикладная математика и механика. - 2007. - Т. 71, Вып. 4. - С. 595-615.

[19] Иванова Е.А., Морозов Н. Ф., Семенов Б.Н., Фирсова А. Д. Об определении упругих модулей наноструктур: теоретические расчеты и методика экспериментов / Е. А. Иванова, Н. Ф. Морозов, Б.Н. Семенов, А. Д. Фирсова // Известия Российской Академии Наук. Механика Твердого Тела. - 2005. - Ж 4. - С. 75-85.

[20] Индейцев Д.А., Кривцов A.M., Ткачев П.В. Исследование методом динамики частиц взаимосвязи между откольной прочностью и скоростью деформирования твердых тел / Д. А. Индейцев, А. М. Кривцов, П. В. Ткачев // Доклады Академии Наук. — 2006. — Т. 407, № 3. — С. 341-343.

[21] Канель Г.И., Разоренов C.B., Фортов В.Е. Откольная прочность металлов в широком диапазоне длительностей нагрузки / Г. И. Канель, С. В. Разоренов, В. Е. Фортов // Доклады Академии Наук СССР. — 1984. - Т. 275, № 2. - С. 369-371.

[22] Канель Г.И., Разоренов C.B., Фортов В.Е. Откольная прочность металлов в широком диапазоне амплитуд ударной нагрузки / Г. И. Канель, C.B. Разоренов, В.Е. Фортов // Доклады Академии Наук СССР. - 1987. - Т. 294, № 2. - С. 350-352.

[23] Канель Г.И., Разоренов C.B., Уткин A.B., Фортов В.Е. Ударно-волновые явления в конденсированных средах / Г. И. Канель, С. В. Разоренов, A.B. Уткин, В.Е. Фортов. — М.: «Янус-К», 1996. — 408 с.

[24] Клименко В. Ю., Дремин А. Н. О кинетике реакций распада во фронте ударной волны / В. Ю. Клименко, А. Н. Дремин // Сборник «Химическая физика процессов горения и взрыва. Детонация», (ред. Брюсов и др.) — Черноголовка, М.: Академия Наук, 1980. — С. 69-73.

[25] Клименко В.Ю., Дремин А.Н. Структура фронта ударной волны в жидкости / В.Ю. Клименко, А.Н. Дремин // Доклады Академии Наук СССР. - 1979. - Т. 249, № 4. - С. 840-843.

[26] Клименко В.Ю., Дремин А.Н. Структура фронта ударной волны в твердом теле / В. Ю. Клименко, А. Н. Дремин // Доклады Академии Наук СССР. - 1980. - Т. 251, № 6. - С. 1379-1381.

[27] Кондауров В. И., Фортов В. Е. Основы термомеханика конденсированных сред / В. И. Кондауров, В. Е. Фортов. — М.: МФТИ, 2002. — 336 с.

[28] Константинов И. А., Лалин В. В., Лалина И. И. Строительная механика / И. А. Константинов, В. В. Лалин, И. И. Лалина. — М.: КноРус, 2011. - 425 с.

[29] Косевич A.M. Теория кристаллической решетки / A.M. Косевич. — Харьков: Вища школа, 1988.

[30] Красников В. С., Куксин А. Ю., Майер А. Е., Янилкин А. В. Пластическая деформация при высокоскоростном нагружении алюминия. Многомасштабный подход / В. С. Красников, А. Ю. Куксин, А. Е. Майер, А. В. Янилкин // Физика Твердого Тела. — 2010. Т. 52, Ж 7. — С. 12951304.

[31] Кривцов А. М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой / А. М. Кривцов. — М.: Физматлит, 2007. — 304 с.

[32] Кривцов А. М. К теории сред с микроструктурой / А. М. Кривцов // Труды СПбГТУ. - 1992. - № 443. - С. 9-17.

[33] Кривцов A.M., Волковец И.В., Ткачев П.В., Цаплин В.А. Применение метода динамики частиц для описания высокоскоростного разрушения твердых тел / А. М. Кривцов, И. Б. Волковец, П. В. Ткачев, В. А. Цаплин // Труды всероссийской конференции «Математика, Механика и Информатика», посвященной 10-летию РФФИ. — 2005. — М.: Физматлит. — С. 361-376.

[34] Кривцов A.M., Кривцова Н.В. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела / А. М. Кривцов, Н. В. Кривцова // Дальневосточный математический журнал. — 2002. — Т. 3, № 2. - С. 254-276.

[35] Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов / А. М. Кривцов, Н. Ф. Морозов // Доклады Академии Наук. - 2001. - Т. 381, № 3. - С. 825-827.

[36] Кривцов А. М., Мясников В. П. Моделирование методом динамики частиц изменения внутренней структуры и напряженного состояния в материале при сильном термическом воздействии / А. М. Кривцов, В. П. Мясников // Известия Российской Академии Наук. Механика Твердого Тела. — 2005. - № 1. - С. 87-102.

[37] Кривцов A.M. Описание пластических эффектов при молекулярно-динамическом моделировании откольного разрушения / А. М. Кривцов // Физика Твердого Тела. - 2004. - Т. 46, В. 6. -С. 1025-1030.

[38] Кривцов A.M. Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов: учебное пособие / А. М. Кривцов. — СПб: издательство Политехнического университета, 2009. — 124 с.

[39] Кривцов A.M., Мещеряков Ю.И. Компьютерное исследование возбуждения дисперсии скоростей мезочастиц в результате прохождения ударной волны / A.M. Кривцов, Ю.И. Мещеряков // Труды XXV-XXVI летних школ «Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем», Санкт-Петербург. — 1998. — Т. 2. — С. 258-267.

[40] Кривцов A.M. Компьютерное исследование взаимосвязи между откол ьной прочностью и дисперсией скоростей мезочастиц / А. М. Кривцов // Труды XXV-XXVI летних школ «Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем», Санкт-Петербург. — 1998. — Т. 2. - С. 246-257.

[41] Куксин А.Ю., Стегайлов В.В., Янилкин A.B. Атомистическое моделирование пластичности и разрушения нанокристаллической меди при высокоскоростном растяжении / А. Ю. Куксин, В. В. Стегайлов,

A.B. Янилкин // Физика твердого тела. — 2008. — Т. 50, № 11. — С. 1984-1990.

[42] Куксин А.Ю., Янилкин A.B. Кинетическая модель разрушения при высокоскоростном растяжении на примере кристаллического алюминия / А.Ю. Куксин, A.B. Янилкин // Доклады Академии Наук. — 2007. - Т. 413, Ж 5. - С. 615-619.

[43] Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой / И. А. Кунин. — М.: Наука, 1975. - 416 с.

[44] Кучин В. А., Ульянов В. J1. Упругие и неупругие свойства кристаллов / В. А. Кучин, В. JI. Ульянов. — М.: Энергоатомиздат, 1986.

[45] Лагунов В.А., Синани A.B. Компьютерное моделирование деформирования и разрушения кристаллов / В.А. Лагунов, A.B. Синани // Физика Твердого Тела. - 2001. - Т. 43, № 4. — С. 644-650.

[46] Лагунов В. А., Синани А. Б. Образование биструктуры твердого тела в компьютерном эксперименте / В. А. Лагунов, А. Б. Синани // Физика Твердого Тела. - 1998. — Т. 40, № 10. - с. 1919-1924.

[47] Лалин В. В., Колосова Г. С. Курс лекций по теории упругости /

B. В. Лалин, Г. С. Колосова. — СПб: Издательство Политехнического университета, 2008. — 135 с.

[48] Лейбфрид Г. Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов (Перевод с немецкого) / Г. Лейбфрид. — М: Физ-матгиз, 1963.

[49] Лурье А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. — М.:Наука, 1970. — 940 с.

[50] Лурье А. И. Нелинейная теория упругости / А. И. Лурье. — М.:Наука, 1980. - 512 с.

[51] Марадудин А., Монтролл Э., Вейс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении / А. Марадудин, Э. Монтролл, Дж. Вейс. — М.: Мир, 1965.

[52] Мелькер А. И., Соловьев Д. В. Деформационные дефекты в полиэтилене. Угловые дилатоны / А. И. Мелькер, Д. В. Соловьев // Письма в ЖТФ. - 1998. - Т. 24, № 6. - С. -68-71.

[53] Мельников А. И., Семенов А. С., Семенов С. Г. Многомодельный анализ упругопластического деформирования материалов и конструкций. Современное состояние / А. И. Мельников, А. С. Семенов, С. Г. Семенов // Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова. — 2010. — № 53. - С. -85-92.

[54] Мещеряков Ю. И., Диваков А. К., Фадиенко Л. П. О распределении частиц по скоростям на упругом предвестнике волны сжатия в алюминии / Ю. И. Мещеряков, А. К. Диваков, Л. П. Фадиенко // ЖТФ. — 1983. - Т. 53, № 10. - С. 2050-2054.

[55] Мещеряков Ю.И., Диваков А. К., Кудряшов В. Г. О динамической прочности при отколе и пробое / Ю. И. Мещеряков, А. К. Диваков, В. Г. Кудряшов // Физика Взрыва и Горения. — 1988. — № 2. — С. 126134.

[56] Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н., Товстик П. Е. Моделирование методами механики сплошных сред процесса формирования нанообъектов /

Н. Ф. Морозов, Б. Н. Семенов, П. Е. Товстик // Физическая мезомеха-ника. - 2002. - Т. 5, №. 3. - С. 5-8.

[57] Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Динамика трещин в дискретной постановке // Вестник Ленинградского университета / Н. Ф. Морозов, М.В. Паукшто. - 1987. - Сер. 1, Вып. 3. - С. 67-71.

[58] Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения / Н. Ф. Морозов, М. В. Паукшто. — СПб: издательство СПбГУ, 1995. - 160 с.

[59] Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. К вопросу о «решетчатом захвате» / Н. Ф. Морозов, М. В. Паукшто // Доклады Академии Наук. — 1988. — Т. 1, № 3. - С. 323-325.

[60] Никаноров С. П., Кардашов Б. К. Упругость и дислокационная неупругость кристаллов / С. П. Никаноров, Б. К. Кардашов. — М.: Наука. — , 1985.

[61] Новацкий В. Динамические задачи термоупругости / В. Новацкий. — М.: Мир, 1970. - 256 с.

[62] Павлов П. А., Мельников Б. Е. Сопротивление материалов / П. А. Павлов, Б. Е. Мельников. — СПб: Лань, 2007. — 553 с.

[63] Пальмов В. А. Колебания упруго-пластических тел / В. А. Пальмов. — М.: Наука, 1976. — 328 с.

[64] Панин В. Е. (Ред.) Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / В.Е. Панин. — Новосибирск: Наука, 1995.

[65] Петров Ю. В., Ситникова Е. В. Эффект аномальных температур плавления при ударно-волновом нагружении / Ю. В. Петров, Е. В. Ситникова // Доклады Академии Наук. — 2005. — Т. 400, № 4. — С. 480-482.

[66] Подольская Е. А., Кривцов А. М., Панченко А. Ю., Ткачев П. В. Устойчивость идеальной бесконечной двумерной кристаллической решетки

/ Е. А. Подольская, А. М. Кривцов, А. Ю. Панченко, П. В. Ткачев // Доклады Академии Наук. — 2012. — Т. 442, № 6. — С. 755-758.

[67] Санников В. А. Решение уравнений математической физики методом конечных элементов / В. А. Санников. — СПб: Балтийский государственный технический университет, 2011. — 50 с.

[68] Слепян JI. И. Антиплоская задача о трещине в решетке / J1. И. Слепян // Механика Твердого Тела. — 1982. — №5. — С. 101-115.

[69] Слепян Л.И. Механика трещин / Л. И. Слепян. — Л.: Судостроение, 1981. - 295 с.

[70] Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны / Л.И. Слепян. — Л.: Судостроение, 1972. — 374 с.

[71] Смирнов Б.М. Скейлинг в атомной и молекулярной физике / Б. М. Смирнов // Успехи Физических Наук. — 2001. — Т. 171, № 12. — С. 1291-1315.

[72] Ткачев П.В., Кривцов A.M. Использование потенциала Морзе для описания зависимости откольной прочности материалов от скорости деформирования / П.В. Ткачев, A.M. Кривцов // Наносистемы: Физика, Химия, Математика. — 2012. — Т. 3, № 5. — С. 70-75.

[73] Ткачев П. В. Устойчивость и разрушение тел с микроструктурой / П. В. Ткачев // Аннотации работ по грантам конкурса 2005 года для студентов и аспирантов вузов и академических институтов Санкт-Петербурга. — 2005. - С. 16-17.

[74] Ткачев П. В. Компьютерное моделирование ударного разрушения / П. В. Ткачев // Тезисы докладов II Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова, Абрау-Дюрсо. — 2004. — С. 100-101.

[75] Ткачев П. В. Устойчивость и разрушение тел с микроструктурой / П. В. Ткачев // Аннотации работ по грантам Санкт-Петербургского конкурса 2004 г. для молодых ученых и специалистов. — 2004. — С. 2122.

[76] Ткачев П. В., Кривцов А. М. Откольное разрушение при плоском ударном взаимодействии пластин / П.В. Ткачев, A.M. Кривцов // XXXI Неделя науки СПбГПУ. Материалы межвузовской научной конференции. - 2003. - С. 25-27.

[77] Ткачев П. В., Кривцов А. М. Разрыв связей в плоской системе с парным потенциалом взаимодействия / П.В. Ткачев, A.M. Кривцов // XXXI Неделя науки СПбГПУ. Материалы межвузовской научной конференции. - 2003. — С. 27-28.

[78] Ткачев П.В., Кривцов A.M. Учет эффекта Пуассона при плоском ударном взаимодействии пластин / П.В. Ткачев, A.M. Кривцов // XXXI Неделя науки СПбГПУ. Материалы межвузовской научной конференции. - 2003. - С. 29-31.

[79] Ткачев П. В., Кривцов А. М. Определение пороговой скорости отколь-ного разрушения при плоском ударном взаимодействии пластин / П. В. Ткачев, А. М. Кривцов // Тезисы докладов XIV Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики», посвященной памяти К.И. Бабенко. Дюрсо, Новороссийск. — 2002. — С. 154-155.

[80] Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. — М.: Мир, 1975.

[81] Филюков Д. В., Бродская Е. Н., Пиотровская Е. М., Jley С. В. Моделирование нанокластеров кристаллических модификаций диоксида титана методом молекулярной динамики / Д. В. Филюков, Е. Н. Бродская, Е. М. Пиотровская, С. В. Леу // Журнал общей химии. — 2007. — Т. 77, Вып. 1. - с. 13-20.

[82] Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов / Г. Хантингтон // Успехи Физических Наук. — 1961. - Т. 74, № 303. - С. 461-520.

[83] Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц / Р. Хокни, Дж. Иствуд // М.: Мир, 1987. - 640 с.

[84] Ченцов А. В., Гольдштейн Р. В. Дискретно-континуальная модель на-нотрубки / А. В. Ченцов, Р. В. Гольдштейн // Известия Российской Академии Наук. Механика Твердого Тела. — 2005. — № 4. - С. 57-74.

[85] Янилкин А. В., Жиляев П. А., Куксин А. Ю. и др. Применение суперкомпьютеров для молекулярно-динамического моделирования процессов в конденсированных средах / А. В. Янилкин, П. А. Жиляев, А. Ю. Куксин // Вычислительные методы и программирование. — 2011. - Т. 11. - С. 111-116.

[86] Abraham F. F., Brodbeck D., Rudge W. E., Broughton J. Q., Schneider D., Land В., Lifka D., Gerner J., Rosenkrantz M., Skovira J., Gao H. Ab initio dynamics of rapid fracture / F. F. Abraham, D. Brodbeck, Rudge W. E., J. Q. Broughton, D. Schneider, B. Land, D. Lifka, J. Gerner, M. Rosenkrantz, J. Skovira, H. Gao // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 1998. - V. 6, № 5. — P.639-670.

[87] Abraham F.F., Gao H. How Fast Can Cracks Propagate? / F.F. Abraham, H. Gao // Physical Review Letters. - 2000. — V. 84. — P. 3113-3116.

[88] Abraham F. F., Walkup R., Gao H., Duchaineau M., De La Rubia T. D., Seager M. Simulating materials failure by using up to one billion atoms and the world's fastest computer: Work-hardening / F.F. Abraham, R. Walkup, H. Gao, M. Duchaineau, T. D. De La Rubia, M. Seager // Proceedings of National Academy of Sciences (USA). — 2002. — V. 99, I. 9. - P. 5783-5787.

[89] Abramyan A. K., Bessonov N.M., Indeitsev D.A., Mirantsev L.V. Influence of the confining wall structure on the fluid flow in nanochannels / A.K. Abramyan, N.M. Bessonov, D.A. Indeitsev, L.V. Mirantsev // Mechanics of Solids. - 2010. - V. 45, I. 3. - P. 379-389.

[90] Abramyan A.K., Mirantsev L.V. Behavior of fluid in plane nanochannels with different boundary walls // International Journal of Nanomechanics Science and Technology / A. K. Abramyan, L. V. Mirantsev. — 2010. — V. 1, I. 9. - P. 169-186.

[91] Alder B. J., Waingwright T. E. Phase transition for a hard sphere system / B. J. Alder, T. E. Waingwright // Journal of Chemical Physics. — 1957. — V. 27 - P. 1208.

[92] Allen M. P., Tildesley A. K. Computer Simulation of Liquids / M. P. Allen, A. K. Tildesley. - NY: Oxford University Press. - 1987. - 401 p.

[93] Asay J. R., Barker L. M. Interatomic measurement of shock-induced internal particle velocity and spatial variation of particle velocity / J.R. Asay, L.M. Barker // J. of Applied Physics. — 1974. — I. 45. — P. 2545-2550.

[94] Ashcroft N.W., Mermin N.D. Solid State Physics / N.W. Ashcroft, N. D. Mermin. - NY: Holt Rinehart and Winston, 1976.

[95] Baskes M.I. The status role of modeling and simulation in materials science and engineering / M.I. Baskes // Current Opinion in Solid State & Materials Science. - 1999. — V. 4,1. 3. - P. 273-277.

[96] Berendsen H. J. P., Van Gunsteren W. F. Practical algorithms for dynamic simulations. Molecular dynamics simulation of statistical mechanical systems / H.J.P. Berendsen, W.F. Van Gunsteren // «Molecular-Dynamics Simulation of Statistical-Mechanical Systems», Proceedings of the International School of Physics «Enrico Fermi», course 97, Ciccotti G. and Hoover W. G. eds., North-Holland, Amsterdam. — 1985. — P. 43-65.

[97] Berinskiy I.E., Ivanova E.A., Krivtsov A.M., Morozov N.F. Application of moment interaction to the construction of a stable model of graphite crystal lattice / I. E. Berinskiy, E. A. Ivanova, A. M. Krivtsov, N.F. Morozov // Mechanics of Solids. - 2007. V. 42, I. 5. - P.663-671

[98] Blanc X., Le Bris C., Lions P. L. From molecular models to continuum mechanics / X. Blanc, C. Le Bris, P. L. Lions // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 2002. - V. 164. - P. 341-381.

[99] Braides A., Dal Maso G., Garroni A. Variational formulation of softening phenomena in fracture mechanics: The one-dimensional case / A. Braides, G. Dal Maso, A. Garroni // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1999. - V. 146. - P.23-58.

[100] Ciccotti G., Hoover W. G. Molecular dynamics simulation of statistical-mechanical systems / G. Ciccotti, W. G. Hoover. — North-Holland: Amsterdam, 1986. — 614 p.

[101] Curran D.R., Seaman L. Dynamic failure of solids / D. R. Curran, L. Seaman // Physics Reports. — 1987. — V. 147. — P. 253-388.

[102] Daw M. S., Baskes M. I. Semiempirical, quantum mechanical calculation of hydrogen embrittlement in metals / M. S. Daw, M. I. Baskes // Physical Review Let. - 1983. - V. 50,1. 17. - P. 1285-1288.

[103] Daw M.S., Baskes M.I. Embedded-atom mehod: Derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals / M.S. Daw, M.I. Baskes // Physical Review B. - 1984. - V. 29, I. 12. — P. 6443-6453.

[104] Duff R.E., Gust W.H., Royce E.B., Mitchell A.C., Keeler R.N., Hoover W. G. Behaviour of dense media under high dynamic pressures / R.E. Duff, W.H. Gust, E.B. Royce, A.C. Mitchell, R.N. Keeler, W. G. Hoover // Proceedings of IUTAM International Symposium on the

Behavior of Dense Media Under High Impulsive Pressures, Prance, Paris, 1967. - NY: Gordon and Breach, 1968. - P. 397-406.

[105] Engel P. Geometric Crystallography: An Axiomatic Introduction to Crystallography / P. Engel. — Holland, Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, 1986.

[106] Ercolessi F. A molecular dynamics primer / F. Ercolessi. — ICTP, Trieste: Spring College in Computational Physics, 1997.

[107] Erkoc S. Empirical Many-Body Potential Energy Function Used In Computer Simulations Of Condensed Matter Properties / S. Erkoc // Physics Reports. - 1997. - V. 278. - P. 79-105.

[108] Ericksen J.L. The Cauchy and Born hypotheses for crystals / J.L. Ericksen // Phase Transformations and Material Instabilities in Solids. Gurtin, M.E. (ed.). - NY: Academic Press, 1984. - P. 61-77.

[109] Ericksen J.L. On the Cauchy-Born Rule / J.L. Ericksen // Mathematics and Mechanics of Solids. - 2008. - V. 13, I. 3-4. - P. 199-220.

[110] Fineberg J., Marder M. Instability in dynamic fracture / J. Fineberg, M. Marder // Physics Reports. - 1999. - V. 313, I. 1-2. - P. 1-108.

[111] Friesecke G., Theil F. Validity and failure of the Cauchy-Born hypothesis in a twodimensional mass-spring lattice / G. Friesecke, F. Theil // Journal of Nonlinear Science. — 2002. - V. 12. - P. 445-478.

[112] Galimov E.M., Krivtsov A.M. Origin of the Moon. New Concept. Geochemistry and Dynamics / E. M. Galimov, A. M. Krivtsov. — Berlin: de Gruyter Studies in Mathematical Physics, 2012. — 168 p.

[113] Gao H., Huang Y., Abraham F. F. Continuum and atomistic studies of intersonic crack propagation / H. Gao, Y. Huang, F. F. Abraham // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 2001. — V. 49. — P. 2113-2132.

[114] Gibson J.B., Goland A.N., Milgram M., Vineyard G.H. Dynamics of Radiation Damage / J.B. Gibson, A.N. Goland, M. Milgram, G. H.Vineyard // Physical Review. - 1960. - V. 120, I. 4. - P. 12291253.

[115] Griebel M., Knapek S., Zumbusch G. Numerical Simulation in Molecular Dynamics / M. Griebel, S. Knapek, G. Zumbusch. — Berlin: Springer, 2007. - 470 p.

[116] Gumbsch P., Gao H. Dislocations Faster Than the Speed of Sound / P. Gumbsch, H. Gao // Science. - 1999. - V. 283, I. 5404. - P. 965668.

[117] Gumbsch P., Gao H. Driving force and nucleation of supersonic dislocations / P. Gumbsch, H. Gao // Journal of Computer-Aided Materials Design. - 1999. - V. 6. - P. 137-144.

[118] Haile J. M. Molecular dynamics simulation - Elementary methods / J. M. Haile. - NY: Wiley, 1992. - 489 p.

[119] Holian B.L. History of constitutive modeling via molecular dynamics: Shock waves in fluids and gases // New Models and Hydrocodes for Shock Wave Processes in Condensed Matter, Paris, France, Edited by Laurent Soulard; EPJ Web of Conferences / B. L. Holian. - 2010. - V. 10. -Id. 00002.

[120] Holian B. L., Hoover W. G., Moran B., Straub G. K. Shock-wave structure via nonequilibrium molecular dynamics and Navier-Stokes continuum mechanics / B.L. Holian, W.G. Hoover, B. Moran, G.K. Straub // Physical Review A. — 1980. — V. 22, I. 6. - P. 2798-2808.

[121] Holian B.L., Straub G.K. Molecular dynamics of shock waves in one-dimensional chains /B.L. Holian, G. K. Straub // Physical Review B. — 1978. - V. 18,1. 4. - P. 1593.

[122] Holian B.L., Straub G. K. Molecular Dynamics of Shock Waves in Three-Dimensional Solids: Transition from Nonsteady to Steady Waves in Perfect Crystals and Implications for the Rankine-Hugoniot Conditions / B. L. Holian, G. K. Straub // Physical Review Letters. - 1979. - V. 43, I. 21. - P. 1598-1600.

[123] Holian B. L., Lomdahl P. S. Plasticity induced by shock waves in nonequilibrium molecular-dynamics simulations / B. L. Holian, P.S. Lomdahl // Science. - 1998. - V. 280, I. 5372. - P. 2085-2088.

[124] Holian B. L. Modeling Shock-Wave Deformation Via Molecular-Dynamics / B. L. Holian // Physical Review A. - 1998. - V. 37,1. 7. - P. 2562-2568.

[125] Holian B.L., Voter A.F., Wagner N.J., Ravelo R.J., Chen S.P., Hoover W. G., Hoover C. G., Hammerberg J.E., Dontje T. D. Effects of Pairwise versus Many-Body Forces on High-Stress Plastic Deformation / B.L. Holian, A.F. Voter, N.J. Wagner, R.J. Ravelo, S.P. Chen, W. G. Hoover, C. G. Hoover, J. E. Hammerberg, T. D. Dontje // Physical Review A. - 1991. - V. 43, I. 6. - P. 2655-2661.

[126] Hoover W. G. Computational statistical mechanics / W. G. Hoover. — Amsterdam: Elsevier, 1991.

[127] Hoover W. G. Molecular dynamics. Lecture Notes in Physics, V. 258 / W. G. Hoover. - Berlin: Springer, 1986. - 138 p.

[128] Hoover W.G., Holian B.L. Kinetic moments method for the canonical ensemble distribution / W.G. Hoover, B.L. Holian // Physics Letters A. - 1996. - V. 211, I. 5. - P. 253-257.

[129] Hoover Wm. G. 50 Years of Computer Simulation - a Personal View / Wm.G Hoover // Ensemble. - 2010. - V. 12. - P. 17-29.

[130] Hoover Wm.G. Non-equilibrium Molecular Dynamics at Los Alamos and Livermore / Wm.G. Hoover // Microscopic Simulation of Complex

Hydrodynamic Phenomena (ed. M. Mareschal and B.L. Holian). — NY: Plenum Press NY, 1992. - P. 47-73.

[131] Kanel G.I., Razorenov S.V., Bogatch A., Utkin A.V., Grady D.E. Simulation of spall fracture of aluminum and magnesium over a wide range of load duration and temperature / G.I. Kanel, S.V. Razorenov, A. Bogatch, A. V. Utkin, D. E. Grady // International Journal of Impact Engineering. - 1997. - V. 20. - P. 467-478.

[132] Krivtsov A.M. Relation between Spall Strength and Mesoparticle Velocity Dispersion / A. M. Krivtsov // International Journal of Impact Engineering. - 1999. - V. 23. - P. 477-487.

[133] Krivtsov A.M., Mescheryakov Y.I. Molecular Dynamics Investigation of Spall Fracture / A.M. Krivtsov, Y.I. Mescheryakov // Proceedings of SPIE - the international society for optics and photonics. — 1999. — V. 3687. - P. 205-212.

[134] Kuksin A.Yu., Norman G. E., Pisarev V.V. et al. Theory and molecular dynamics modeling of spall fracture in liquids / A. Yu. Kuksin, G.E. Norman, V.V. Pisarev // Physical Review B. - 2010. — V. 82, I. 17. - Id. 174101.

[135] Lennard-Jones J. On the determination of molecular fields I. From the variation of the viscosity of a gas with temperature / J. Lennard-Jones // Proceedings of the Royal Society of London. — 1924. — V. 106, I. 738. — P. 441-462.

[136] Maradudin A. A., Vosko S.H. Symmetry properties of the normal vibrations of a crystal / A.A. Maradudin, S.H. Vosko // Reviews of Modern Physics. - 1968. - V. 40, I. 1. - P. 1-37.

[137] Melker A.I. Fiftieth anniversary of molecular dynamics / A.I. Melker // Nanodesign, Technology, and Computer Simulations. Edited by Melker, Alexander I.; Breczko, Teodor. Proceedings of the SPIE - The

International Society for Optical Engineering. — 2007. — V. 6597. — P. 659702-1-659702-36.

[138] Melker A. I., Romanov S.N., Kornilov D.A. Computer simulation of formation of carbon fullerenes / A. I. Melker, S. N. Romanov, D. A. Kornilov // Materials Physics and Mechanics. — 2000. — V. 2. — P. 42-50.

[139] Mescheryakov Y. I., Mahutov N.A., Atroshenko S.A. Micromechanisms of dynamic fracture of ductile high-strength steels / Y. I. Mescheryakov, N. A. Mahutov, S. A. Atroshenko // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1994. - Vol. 42, I. 9. - P. 1435-1457.

[140] Mescheryakov Y.I., Divakov A.K., Zhigacheva N.I. Shock-induced phase transformation and vortex instabilities in shock loaded titanium alloys / Y. I. Mescheryakov, A. K. Divakov, N. I. Zhigacheva // Shock Waves. — 2000. - V. 10, I. 1. - P. 43-56.

[141] Mescheryakov Y. I., Divakov A. K. Multiscale kinetics of microstructure and strain-rate dependence of materials / Y. I. Mescheryakov, A.K. Divakov // Dymat J. - 1994. - V. 1, I. 4. - P. 271-287.

[142] Mogilevski M. A. In: H.D.P. Symposium. Paris / M. A. Mogilevski. — 1978.

[143] Morse P.M. Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels / P.M. Morse // Physical Review. — 1929. — V. 34, I. 1. - P. 57-64.

[144] Nordsieck A. On numerical integration of ordinary differential equations / A. Nordsieck // Mathematics of Computation. — 1962. — V. 16, I. 77. — P. 22-49.

[145] Nose S. Constant-Temperature Molecular-Dynamics / S. Nose // J. of Physics-Condensed Matter. — 1990. — V. 2, I. S. — P. 115-119.

[146] Parrinello M. From silicon to RNA: The coming of age of ab initio molecular dynamics / M. Parrinello // Solid State Communications. — 1997. - V. 102, Issue 2-3. - P. 107-120.

[147] Paskin A., Dienes G. J. Molecular Dynamic Simulations of Shock Waves in a Three-Dimensional Solid / A. Paskin, G. J. Dienes // Journal of Applied Physics. - 1972. V. 43, I. 4. - P. 1605-1610.

[148] Podolskaya E.A., Krivtsov A.M., Panchenko A.Yu. Stability and Structural Transitions in Crystal Lattices / E. A. Podolskaya, A.M. Krivtsov, A.Yu. Panchenko // Altenbach/Morozov (Eds), Surface Effects in Solid Mechanics (Series: Advanced Structured Materials) — 2012. - V. 30. - P. 131-141.

[149] Podolskaya E.A., Panchenko A.Yu., Bukovskaya K.S. Influence of shear strain on stability of 2D triangular lattice / E. A. Podolskaya, A.Yu. Panchenko, K. S. Bukovskaya // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2011. - V. 2, Issue. 3. P. 60-64.

[150] Podolskaya E.A., Panchenko A.Yu., Krivtsov A.M. Stability of 2D triangular lattice under finite biaxial strain / E. A. Podolskaya, A.Yu. Panchenko, A.M. Krivtsov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2011. - V. 2, Issue. 2. P. 84-90.

[151] Rahman A. Correlation in the motion of atoms in luquid argon / A. Rahman // Physical Review. — 1968. — V. 136, Issue 2a. — p. 405-411.

[152] Rapaport D. C. The art of molecular dynamics simulation. Cambridge: Cambridge University Press, 1995 / D. C. Rapaport. — 549 p.

[153] Smolnikov B.A., Belyaev A. K. Evolutional dynamics and stability of dissipative solids / B. A. Smolnikov, A. K. Belyaev // Acta Mechanica. — 2008. - V. 195, No. 1-4. - P. 365-377.

[154] Stakgold I. The Cauchy relations in a molecular theory of elasticity / I. Stakgold // Quarterly of Applied Mathematics. — 1950. — V. 8, I. 2. — P. 169-186.

[155] Strang G. Accurate partial difference methods. II: Non-linear problems / G. Strang // Numerische Mathematik. - 1964. - V. 6, I. 1. — P. 37-46.

[156] Tersoff J. Empirical interatomistic potential for Carbon, with applications to amorphous Carbon / J. Tersoff // Physical Review Letters. — 1988. — V. 61,1. 25. - P. 2879-2882.

[157] Tkachev P. V. Stability loss criterions of the material with microstructure / P. V. Tkachev // Proceedings of the XXXII Summer School «Advanced Problems in Mechanics», Saint-Petersburg. — 2004. — P. 423-424.

[158] Tkachev P.V., Krivtsov A.M. Computer simulation of 2D dynamic fracture: anisotropic effects in spall crack formation / P. V. Tkachev, A. M. Krivtsov // Proceedings of the XXXI Summer School «Advanced Problems in Mechanics», Saint-Petersburg. — 2003. — P. 362-364.

[159] Tsai D.H., Beckett C.W. Shock wave propagation in cubic lattices / D. H. Tsai, C.W. Beckett // J. of Geophysical Research. — 1966. — V. 71, I. 10. - P. 2601-2608.

[160] Tsai D. H., Beckett C.W. Proceedings of IUTAM symposium, Paris, 1967. NY: Gordon and Breach / D. H. Tsai, C. W. Beckett. - 1968. - P. 99.

[161] Truskinovsky L. Fracture as a phase transition / L. Truskinovsky // Contemporary Research in the Mechanics and Mathematics of Materials. Batra R. C., Beatty M.F. (ed.), The International Center for Numerical Methods in Engineering (CIMNE), Barcelona. - 1996. — p. 322-332.

[162] Verlet L. Computer «Experiments» on Classical Fluids. I. Thermodynamical Properties of Lennard-Jones Molecules / L. Verlet // Physical Review. - 1967. - V. 159, I. 1. - P. 98-103.

[163] Xiang Y., Weinan E., Ming P., Yang J. The generalized Peierls-Nabarro model for curved dislocations and core structures of dislocation loops in A1 and Cu / Y. Xiang, E. Weinan, P. Ming, J. Yang // Acta Materialia. — 2008. - V. 56, I. 7. - P. 1447-1460.

[164] Xiang Y., Weinan E. Nonlinear evolution equation for the stress-driven morphological instability / Y. Xiang, E. Weinan // Journal of Applied Physics. - 2002. - V. 91, I. 11. - P. 9414-9422.

[165] Weinan E., Ming P. Cauchy-Born Rule and the Stability of Crystalline Solids: Static Problems / E. Weinan, P. Ming // Archive for Rational Mechanics and Analysis February. — 2007. — V. 183, I. 2. — P. 241-297.

[166] Weinan E., Ming P. Analysis of multiscale methods / E. Weinan, P. Ming // J. of Computational Mathematics. - 2004. - V. 22,1. 2. - P. 210-219.

[167] Weinan E., Ming P. Cauchy-Born Rule and the Stability of Crystalline Solids: Dynamic Problems / E. Weinan, P. Ming // Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series. — 2007. — V. 23, I. 4. — P. 529-550.

[168] Yang J.Z., Weinan E. Generalized Cauchy-Born rules for elastic deformation of sheets, plates, and rods: Derivation of continuum models from atomistic models / J. Z. Yang, E. Weinan // Physical Review B. — 2006. - V. 74, I. 18, id. 184110.

[169] Yano K., Horie Y. Numerical Computation of Non-equilibrium Particle Velocities within Shock Structure in Condensed Mixtures / K. Yano, Y. Horie // American Physical Society, Shock Compression Meeting, Topical Group on Shock Compression Meeting Program, Session R2 -Modeling: Molecular and Mesoscale, Amherst, MA, USA, July 27 - August 1, 1997. — abstract R2.04.