Обобщенные когерентные меры риска и их применение в задачах принятия решений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Мартынова, Татьяна Алексеевна

• Мартынова, Татьяна Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мартынова, Татьяна Алексеевна

Введение

1 Обзор основных методов измерения риска

1.1 Основные понятия теории риска.

1.2 Примеры функционалов меры риска и их свойства.

1.2.1 Классические меры риска - математическое ожидание и дисперсия.

1.2.2 Функционал ожидаемой полезности.

1.2.3 Мера возмущенной вероятности

1.2.4 Меры VaR и Shortfall.

1.3 Класс когерентных мер риска.

1.4 Модификация когерентных мер риска Джарроу и Пурнанан-дама.

2 Обобщенные когерентные меры риска

2.1 Построение меры риска по множеству приемлемых рисков и теорема о представлении

2.2 Предварительные сведения из выпуклого анализа.

2.3 Аксиоматика обобщенных когерентных мер риска.

2.3.1 Свойство кратчайшего пути.

2.3.2 Свойство супераддитивности.

2.3.3 Свойство монотонности.

2.3.4 Свойство положительной однородности.

2.3.5 Эквивалентность подходов по формированию аксиоматики обобщенных когерентных мер риска.

2.4 Выводы об основных отличиях между классическими когерентными мерами риска и обобщенными когерентными мерами

3 Построение обобщенной когерентной меры риска

3.1 Построение конуса приемлемых рисков согласно аксиоматике обобщенных когерентных мер риска.

3.2 Некоторые замечания относительно формы множества приемлемых рисков

3.3 Построение двойственного конуса к конусу приемлемых рисков.

3.4 Вычисление обобщенной когерентной меры риска путем решения задачи оптимизации на конусе А*

3.4.1 Постановка задачи оптимизации на А*.

3.4.2 Решение задачи оптимизации для строго выпуклой нормы.

3.4.3 Нахождение значения меры риска в случаях, если в X задана норма || • ||i или || • ||оо

3.5 Пример вычисления обобщенной когерентной меры риска, соответствующей заданному конусу приемлемых рисков и норме в X.

4 Обобщенные когерентные меры риска в задачах принятия решений.

4.1 Постановка задачи принятия решений.

4.2 Задача формирования портфеля ценных бумаг.

4.2.1 Пример решения задачи формирования портфеля ценных бумаг.

4.3 Рекомендации по использованию обобщенных когерентных мер в задачах принятия решений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенные когерентные меры риска и их применение в задачах принятия решений»

Актуальность темы. Математическая теория риска имеет многочисленные приложения к различным областям человеческой деятельности, в которых решения принимаются в условиях неопределенности. В финансовой области можно выделить такие приложения как банковское дело, страхование, управление рыночными и кредитными рисками, рисками инвестиций. Во всех этих областях после подбора, анализа статистической информации и построения прогнозов (то есть после построения вероятностных распределений на множестве состояний изучаемого объекта) последнее слово остается за лицом, принимающим решение. И здесь возникает проблема измерения риска таким образом, чтобы это согласовывалось с индивидуальными предпочтениями лица, принимающего решение.

Одним из способов количественного описания предпочтений на множестве вероятностных распределений является построение вещественного функционала, называемого мерой риска.

Среди всего многообразия используемых в настоящее время мер риска можно выделить прежде всего классические меры риска - математическое ожидание и дисперсию. С настоящее время эти меры риска в основном используются в совокупности, составляя критерий оценки риска "среднее-дисперсия". Впервые данный критерий был применен Г. Марковицем [69] для решения задачи выбора оптимального портфеля. Разновидности данного критерия активно используются в портфельном и инвестиционном анализе. В качестве примера можно привести критерий Шарпа [76], на основе которого была создана модель ценообразования

САРМ (Capital Asset Pricing Model). К сожалению в случаях, когда распределение случайных величин далеко от нормального, измерение риска дисперсией уже не является эффективным.

Существенным прорывом в решении проблемы количественного измерения риска стала теория ожидаемой полезности, основоположниками которой являются Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн [28]. Предложенная ими модель является более гибкой относительно индивидуального отношения к риску. Эта гибкость связана с наличием в модели функции полезности, которая отражает предпочтения лица, принимающего решения.

Именно в рамках теории ожидаемой полезности Дж. Праттом [72] и К. Эрроу [57] было введено такое важное понятия как "неприятие риска" и предложены количественные его характеристики.

Однако мера ожидаемой полезности представляет предпочтения, обладающие линейной структурой, которые на практике встречаются довольно редко, что подтверждается парадоксами М. Алле [56] и П. Сэмуэльсона [74].

В плане представления нелинейных отношений предпочтения перспективными являются когерентные меры риска, которые 1999 г. предложили Ф. Арцнер, Ф. Делбаен, Ж.-М. Эбер и Д. Хиф [58]. В качестве примера когерентной меры риска можно привести функционал возмущенной вероятности Ш. Вонга [80] и меру Expected Shortfall К. Ачерби [54].

Практически сразу после появления когерентных мер риска стали предлагаться различные их модификации, такие как выпуклые меры риска, введенные Г. Фолмером и А. Шидом и меры риска Р. Джарроу и А. Пурна-нандама, названные авторами обобщенными когерентными мерами риска. Однако строго говоря их нельзя считать обобщением когерентных мер в виду того, что они позволяют оценивать лишь неприемлемые для инвестора риски.

Обобщение когерентных мер согласно подходу Джарроу и Пурнананда-ма было продолжено А.А. Новоселовым в работе [70]. Предложенные им меры являются действительным обобщением когерентных мер и в дальнейшем именно их мы будем называть обобщенными когерентными мерами риска. Они могут считаться более гибким инструментом для представления индивидуальных предпочтений в связи с тем, что предпочтения задаются не только с помощью разделения рисков на приемлемые и неприемлемые (как при построении когерентных мер), но и с помощью указания формы единичной сферы в пространстве рисков, что достигается введением нормы в этом пространстве.

Автором указан способ задания функционала по определенному аксиоматически множеству приемлемых для индивидуума рисков и норме в пространстве рисков, и доказана теорема о представлении меры риска в виде инфимума линейных функционалов, отвечающих некоторым требованиям.

Однако вычисление функционала непосредственно с помощью этой теоремы представляет весьма трудоемкую задачу, что неудобно при решении практических задач. В связи с этим встает вопрос об эффективности использования обобщенных когерентных мер риска на практике.

Объектом исследования является класс обобщенных когерентных мер риска и соответствующие им множества приемлемых рисков, а предметом исследования выступает аксиоматическое описание функционала, методика вычисления значений меры риска для различных отношений предпочтения и возможность применения данного функционала в задачах принятия решений в условиях неопределенности.

Целью работы является построение аксиоматического описания обобщенных когерентных мер риска, разработка методов вычисления значений функционала меры риска для предпочтений индивидуума, заданных множествами приемлемых рисков и нормами в пространстве рисков, а также исследование возможности применения данной меры риска в задачах принятия решений.

Исходя из цели работы были определены задачи исследования:

1. Построить аксиоматическое описание обобщенных когерентных мер риска.

2. Получить аналитическое представление для конуса приемлемых рисков и создать алгоритм построения двойственного конуса.

3. Применить теорему о представлении обобщенной когерентной меры риска для создания процедуры вычисления функционала по построенному двойственному конусу и норме, заданной в пространстве рисков.

4. На примере задачи формирования портфеля ценных бумаг продемонстрировать возможность использования обобщенных когерентных мер риска в задачах принятия решений.

Основная идея диссертации состоит в применении методов выпуклого анализа для построения взаимосвязей между множеством приемлемых рисков, представляющим предпочтения индивидуума, и двойственным конусом, что позволит применить теорему о представлении обобщенной когерентной меры риска для непосредственного вычисления значений функционала.

Методы исследования основаны на использовании элементов теории вероятностей, линейной алгебры, функционального анализа и методов выпуклого анализа.

Основные новые научные результаты, выносимые на защиту:

1. Построено аксиоматическое описание обобщенных когерентных мер риска.

2. Получено представление множества приемлемых рисков в виде конуса, задаваемого с помощью системы линейных неравенств при сформулированных ограничениях на коэффициенты. Создан алгоритм построения двойственного конуса к конусу приемлемых рисков.

3. Создан алгоритм решения задачи оптимизации на двойственном конусе, позволяющий вычислять значения соответствующей обобщенной когерентной меры риска.

4. На примере задачи формирования портфеля ценных бумаг продемонстрирована возможность применения обобщенных когерентных мер риска в задачах принятия решений в условиях неопределенности.

Значение для теории заключается в построении целостной аксиоматики обобщенных когерентных мер риска, которые позволяют количественно оценить риск для различных нелинейных отношений предпочтения, а также в создании метода вычисления указанных мер риска.

Значение для практики. Благодаря разработанному методу вычисления значений обобщенной когерентной меры риска, эта мера может быть применена при решении прикладных задач, например, таких как задача формирования портфеля ценных бумаг. Данная мера риска является гибким инструментом относительно индивидуальных предпочтений. Это свойство делает ее особенно востребованным инструментом для решения таких задач, в которых особенно важно учитывать индивидуальное отношение к риску лица, принимающего решения.

Достоверность результатов определяется корректным применением указанных методов исследования. Все результаты работы подтверждены сформулированными и доказанными теоремами.

Использование результатов диссертации. Результаты данного исследования могут быть применены в задачах принятия решений в условиях неопределенности.

Апробация работы. Основные результаты исследования докладывались на Международной научной школе "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" (Санкт-Петербург, 2005, 2006), Всероссийской конференции "Финансово-актуарная математика и смежные вопросы" (Красноярск, 2006, 2007), Всероссийской научной конференции молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" (Новосибирск, 2006), IX Эвентологической конференции (Красноярск, 2005), конференции-конкурсе молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 2006), межвузовской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Информатика и информационные технологии" (Красноярск, 2003), на семинарах по финансово-актуарной математике ИВМ СО РАН (Красноярск, 2003-2007)

Публикации По теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ, в том числе 7 статей, из которых 1 в периодическом издании по перечню ВАК.

Личный вклад автора. Вся работа по созданию аксиоматики обобщенных когерентных мер риска, построению конуса приемлемых рисков и двойственного к нему конуса, а также по созданию метода вычисления функционала меры риска была проделана автором самостоятельно.

Объем и структура работы Диссертация состоит из введения, четырех разделов и заключения. Текст изложен на 109 страницах, дополнен 14 иллюстрациями и 1 таблицей. Список литературы включает 91 наименование.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Мартынова, Татьяна Алексеевна

Заключение

Анализ различных подходов к измерению финансовых рисков, представленных в современной литературе и используемых на практике, позволяет сделать вывод о том, что построение цельной теории измерения финансовых рисков находится на определенном этапе развития. А именно, на этапе перехода от накопленных эмпирических данных и первоначальных теоретических конструкций к этапу аксиоматизации.

При этом все больше внимания уделяется проблеме гибкости разрабатываемых подходов к оценке риска. Это связано с тем, что риск - это категория, которая кроме объективной компоненты, связанной с неопределенностью, включает также и субъективную компоненту, отражающую отношение к неопределенности заинтересованного лица.

В аксиоматике когерентных мер риска эта субъективная компонента находит свое отражение, и в качестве "параметра", характеризующего отношение к риску конкретного лица, в ней выступает множество приемлемых рисков, с помощью которого и задается отношение предпочтения индивидуума на множестве рисков. Появление когерентных мер риска можно считать существенным прорывом в решении задач представления нелинейных отношений предпочтений вещественными функционалами.

Однако то, как индивидуум разделяет риски на приемлемые и неприемлемые, можно считать лишь одной из характеристик его отношения к риску. Не менее важным является то, как именно участник рынка сравнивает между собой различные риски по предпочтительности. Работа по учету данной характеристики при построении меры риска была начала Р. Джарроу и А. Пурнанандамом и продолжена А.А. Новоселовым в обобщенных когерентных мер риска. В обобщенных когерентных мерах эта характеристика учитывается с помощью нормы, заданной в пространстве рисков.

В данной диссертационной работе решена задача создания целостной аксиоматики обобщенных когерентных мер риска.

Создан метод, позволяющий вычислять значения функционала меры риска на основе заданного множества приемлемых рисков и нормы в пространстве рисков, представляющих предпочтения индивидуума.

Продемонстрирована возможность применения обобщенных когерентных мер риска в задачах принятия решений в условиях неопределенности (на примере задачи формирования портфеля ценных бумаг).

Показано, что норма, заданная в пространстве рисков, может оказать существенное влияние на результат решения задачи принятия решений с помощью соответствующей обобщенной когерентной меры риска. Это показывает важность полноты учета характеристик индивидуального отношения предпочтения при построении меры риска и позволяет считать обобщенные когерентные меры риска перспективным инструментом для применения в практических приложениях теории риска.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мартынова, Татьяна Алексеевна, 2007 год

1. акилов Г.П. Упорядоченные векторные пространства / Г.П. Акилов, С.С. Кутателадзе Новосибирск: Наука, 1978. - 368 с.

2. БАРАНОВ В.В. Процессы принятия управляющих решений, мотивированных интересами / В.В. Баранов М.: Физматлит. - 2005. - 295 с.

3. БАРСОВ А.С. Что такое линейное программирование / А.С. Барсов -М: Гос изд-во физ.-мат. литературы, 1959,- 104 с.

4. БЕКЛЕМИШЕВ Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемишев М.: Высш.шк. 1998. - 320 с.

5. БОРОВКОВ А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровков М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1986. - 432 с.

6. Бенинг В.Е. Введение в математическую теорию риска / В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев М.: МАКС Пресс, 2000. - 190 с.

7. БЕНИНГ В.Е. Введение в математическую теорию актуарных расчетов / В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев, С.Ю. Шоргин М.: МАКС Пресс, 2002. -160 с.

8. БЕРТСЕКАС Д.П. Условная оптимизация и методы множителей Jla-гранжа / Д.П. Бертсекас М.: Радио и связь, 1987. - 400 с.

9. ВАРОЧКИНА Т.С. Стохастическое доминирование I и II рода / Т.С. Варочкина // Тр. II Всеросс. ФАМ-конференции, т.1 Красноярск, 2003.- С. 14-22

10. ВИТЛИНСКИЙ В.В. Применение методологии Value-at-risk при отсутствии нормальности распределения / В.В. Витлинский, А.Б. Каминский // Тр. Международной Научной Школы МА БР-2005 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2005.- С. 46-51.

11. И. ВИТЛИНСКИЙ В.В. Учет риска в формировании портфеля реальных инвестиций / В.В. Витлинский, JI.JI. Маханец //Тр. Международной Научной Школы МА БР-2005 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2005.-С. 158-164.

12. ВИТЛИНСКИЙ В.В. Измерение финансовых рисков на пути построения цельной теории / В.В. Витлинский, А.Б. Каминский //Тр. Международной Научной Школы МА БР-2006 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2006.- С. 28-38.

13. ВИТЛИНСКИЙ В.В. Модель выбора инвестиционного проекта / В.В. Витлинский. В.О. Макаренко // Финансы Украины.- 2002. К0- 4. - С. 63-73.

14. ВОЕВОДИН В.В. Матрицы и вычисления /В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.- 320 с.

15. ГЛЕБОВ Н.И. Методы оптимизации. Учеб пособие. / Н.И. Глебов, Ю.А. Кочетов, А.В. Плясунов. Новосибирск: Новосибирский университет, 2000. - 105 с.

16. А. ГОЛДМАН Дж.Многогранные выпуклые конусы. / Дж. Голдман, А.У. Таккер. // Линейные неравенства и смежные вопросы. Сб. стат. под ред. Г.У. Куна и А.У. Таккера. М.: Изд-во иностр. литературы.-1959. - с. 143-161

17. ГРИГОРЬЕВ П.В. Оптимальное управление по квантилыюму критерию портфелем ценных бумаг / П.В. Григорьев, Ю.С. Кан //Автоматика и телемеханика, 2004. № 2. - С 179-197.18. иоффе А.Д. Теория экстремальных задач / А.Д. Иоффе, В. М. Тихомиров М., Наука, 1974.

18. КАЛАШНИКОВА JI.B. Мера возмущенной вероятности и отношение предпочтения / JI.B. Калашникова //Тр. I Всеросс. ФАМ-конференции, т.1 Красноярск, 2002,- С. 187-193

19. КИБЗУН А.И. Сравнение критериев VaR и CVaR / А.И. Кибзун, Е.А. Кузнецов // Автоматика и телемеханика, 2003. №7. - с. 153-164.

20. КИБЗУН А.И. Позиционная стратегия формирования портфеля ценных бумаг / А.И. Кибзун, Е.А. Кузнецов // Автоматика и телемеханика, 2003. № 1. - С. 151-166.

21. КОСТРИКИН А.И. Введение в алгебру. Часть И. Линейная алгебра. / А.И. Кострикин М.: Физ.-мат. литература, 2000.- 368 с.

22. КУРОШ А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. М.: Наука, 1968. -160 с.

23. КУТАТЕЛАДЗЕ С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кута-теладзе Новосибирск.: Изд-во Ин-та математики, 2000.- 336 с.

24. МОСКВИН В.А. Управление рисками при реализации инвестиционных проектов / В.А. Москвин М.: Финансы и статистика, 2004. - 352 с.28. фон нейман Дж. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. М.: Наука, 1970

25. НОВОСЕЛОВ А.А. Неприятие риска в нелинейных моделях принятия решений / А.А. Новоселов // Труды II Всеросс. ФАМ-конференции. -Красноярск, 2003, т.1. С.211. - 219.

26. НОВОСЕЛОВ А.А. Неприятие риска: качественный подход и количественные оценки / А.А. Новоселов // Автоматика и телемеханика, 2003.- № 7. С 165-177

27. НОВОСЕЛОВ А.А. Представление предпочтений на множестве рисков вещественными функционалами / А.А. Новоселов // Тр. V Всеросс. ФАМ-конференции, т.1 Красноярск, 2006

28. НОВОСЕЛОВ А.А. Детерминированный эквивалент в моделях принятия решений в условиях неопределенности / А.А. Новоселов // Тр. V Всеросс. ФАМ-конференции, т.1 Красноярск, 2006

29. НОВОСЕЛОВ А.А. Риск модели в оценивании VaR и другими кван-тильными мерами риска / А.А. Новоселов //Управление финансовыми рисками.- 2005. №4.-С. 53-57

30. НОВОСЕЛОВ А.А. Обобщенные когерентные меры риска / А.А. Новоселов //Тр. IV Всеросс. ФАМ-конференции, т.1 Красноярск, 2005. - С. 325-339

31. НОВОСЕЛОВ А.А. Портфельный анализ / А.А. Новоселов //Тр. I Всеросс. ФАМ-конференции, т.1 Красноярск, 2002. - С. 217/230

32. НОВОСЕЛОВ А. А. О свойствах монотонности и выпуклости некоторых мер риска / А.А. Новоселов //Статистическая метафизика Красноярск.: ИВМ СО РАН, 2000.- С. 66-81

33. НОВОСЕЛОВ А.А. Математическое моделирование финансовых рисков: теория измерения / А.А. Новоселов. Новосибирск: Наука, 2001. -102 с.

34. ПОЛОВИНКИН Е.С. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа / Е.С. Половинкин, М.В. Балашов М.: Физматлит, 2004. - 416 с.

35. ПОЛЯК Б.Т. Введение в оптимизацию / Б.Т. Поляк М.: Наука, 1983.- 384 с.40. пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи / Б.Н. Пшеничный М.: Наука, 1980. - 320 с.

36. Риск-анализ инвестиционного проекта: учебник для вузов / Под ред. М.В. Грачевой. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 351 с.

37. РОКАФЕЛЛАР Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар М.:Мир. 1973.- 470 с.43. сигал А.В. Основы современной теории портфеля ценных бумаг: Учеб. пособие. Симферополь: КЭИ КНЭУ, 1998. - 60с.

38. СОЛОДОВНИКОВ А.С. Системы линейных неравенств / А.С. Солодовников М: Наука, 1977. - 112 с.45. сорокин Е.А. Параметрическое оценивание фунций полезности / Е.А. Сорокин // Тр. II Всеросс. ФАМ-конференции, т.1 Красноярск, 2003.- с. 242-250

39. СУХАНОВА А.П. Основные методы анализа и снижения риска реальных инвестиций / А.П. Суханова // Тр. Международной Научной Школы МА БР-2005 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2005.- С. 292-297

40. СУХАНОВА А. Управление инвестиционными рисками и методы их снижения / А. Суханова // Тр. Международной Научной Школы МА БР-2006 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2006.- С. 295-300.

41. ТАККЕР А.У. Двойственные системы однородных линейных соотношений / А.У. Таккер // Линейные неравенства и смежные вопросы. Сб. стат. под ред. Г.У. Куна и А.У. Таккера. М.: Изд-во иностр. литературы.-1959. - с. 127-141

42. ШАРП У. Инвестиции / У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бэйли М.: ИНФРА, 2001. - 1024 с.

43. Ширяев А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев М.: Наука, 1980. - 576 с.54. acerbi С. Expected Shortfall: a natural alternative to value at risk / C. Acerbi, D. Tasche // Economic Notes, 2001.- V 31.- pp. 379-388.

44. AGGARWAL R.K. Why do managers diversify their firms. Agency Reconsidered / R.K. Aggarwal, A. A. Samwick // Journal of Finance? 2003. V.58. - pp. 71-118.

45. Allais M. The so-called Allais paradox and rational desicions under uncertainty /М. Allais //Allais and Hagen, 1979

46. ARROW K.J. Essays in the risk-bearing / H.J. Arrow Chicago: Markham, 1971.

47. Artzner. Ph. (1999) Coherent Measures of Risk / Ph. Artzner, F. Delbaen, J.-M. Eber, D. Heath // Mathematical Finance, 1999. N 9, pp. 203-228.

48. GlANNOPOULOS К. Var modeling on long run horisons / K. Giannopoulos //Proc. of Int. Scien. School "Modeling and analyof safety and risk in complex systems", 2002. St. Petersburg: Business Press, 2002

49. JARROW R.A. Generalized Coherent Risk Measures: The Firm's perspective / R.A. Jarrow, A.K. Purnanandam // Finance Research Letters, 2005. V.2, pp. 23-29.

50. MACMlNN R.D. A general diversification theorem: A Note / R.D. MacMinn // The journal of finance.- V. 39.- 1984. N. 2.- PP.541-550

51. MARKOWITZ H. Portfolio selection / H. Markowitz // Journal of Finance, 1952.- March, p. 77-91.

52. NOVOSYOLOV A. Generalized coherent risk measures in decision-making under risk. //Тр. Международной Научной Школы MA БР-2005 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2005, С. 145-150

53. NOVOSYOLOV A. Diversification in a portfolio / A. Novosyolov //Тр. Международной Научной Школы МА БР-2005 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2002.- С. 178-181

54. PRATT J.W. Risk aversion in the small and in the large / J.W. Pratt //Econometrica, 1964.- V.32.- P. 122-136

55. ROCKAFELLAR R.T. Conditional value-at-risk for general loss distributions / R.T. Rockafellar, S. Uryasev //Journal of Banking anf Finance. 2002. - N 26, p. 1443-1471.

56. SAMUELSON P.A. Risk and uncertainty: a fallacy of large numbers / P.A. Samuelson // Reprinted in CAS forum, Summer 1994, p. 49-56

57. SZEKEY G.J. Paradoxes in probability theory and mathematical statistics / G.J. Szekey.- Budapest: Acadeniai Kiado, 1986. 250 p.

58. SHARP W. Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk / W.Sharp // Journal of finance, 1964. -V.19(3), p. 425442

59. STUTZER M. A simple nonparametric Approach to to derivative security valuation / M Stutzer //Journal of Finance. 1996. - V.51. - pp. 1633-1652.

60. TOBIN J. Liquidity preferance as behavior towads risk / J. Tobin //The Review of Economic Studies.- V. 25.- 1958. N. 2.- PP. 65-68

61. Xu M. Risk measure pricing and hedging in incomplite markets / M. Xu //Annals of Finance. V. 2- 2006.- N. 1.- PP. 51-71

62. WANG S. Premium calculation by transforming the layer premium density / S. Wang // ASTIN Bulletin,1996. v. 26, No 1 pp. 71-92.

63. YOUNG V.R. Discussion of Christofide's Conjecture regarding Wang's Premium Principle / V.R. Young // ASTIN Bulletin, 1999.- V. 29, No 2, pp. 191-195

64. МАРТЫНОВА Т.А.Модифицированные когерентные меры риска (для евклидовой нормы) / Т.А. Мартынова //Тр. Международной Научной Школы МА БР-2005 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2005, С. 228-233.

65. МАРТЫНОВА Т.А.Построение обобщенной когерентной меры риска / Т.А. Мартынова //Тр. Международной Научной Школы МА БР-2006 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2006.- С. 301-304.

66. МАРТЫНОВА Т.А. Обратная задача теории риска для предпочтений, представленных функционалом возмущенной вероятности / Т.А. Мартынова // Тр. III Всеросс. ФАМ-конференции, ч.1 Красноярск: ИВМ СО РАН. - 2004. - С. 187-196

67. МАРТЫНОВА Т.А. Модифицированные когерентные меры риска (для евклидовой нормы) / Т.А. Мартынова //Тр. IV Всероссийской ФАМ-конференции, ч. 1 Красноярск.: ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТЭИ, изд-во "Гротеск". - 2005. - С. 305-316

68. МАРТЫНОВА Т.А. Построение примеров обобщенных когерентных мер риска / Т.А. Мартынова // Тр. V Всеросс. ФАМ-конференции.- Красноярск: ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТЭИ, изд-во "Гротеск". -2006,- 297-302.

69. МАРТЫНОВА Т.А. Модифицированные когерентные меры риска / Т.А. Мартынова // тез. докл. V Всеросс. кон. молодых ученых по мат. моделированию и информационным технологиям. Новосибирск: Ин-т вычислительных технологий СО РАН, 2004. - С. 61-62

70. МАРТЫНОВА Т.А. Создание детерминированного эквивалента для модифицированной когерентной меры риска / Т.А. Мартынова // Тез. докл. Всеросс. научн. конф. молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации", ч.1 Новосибирск.: НГТУ. - 2005.- С.59-60

71. МАРТЫНОВА Т.А. Вычисление обобщенной когерентной меры риска в Rn // Тез. докл. VI Всеросс. ФАМ-конференции. Красноярск: ИЦ Института естественных и гуманитарных наук СФУ, 2007. - с. 41