Об устойчивости показателей Ляпунова трехмерного дифференциального уравнения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Сергеев, Игорь Николаевич

• Сергеев, Игорь Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Сергеев, Игорь Николаевич

Введение

1. Формулировки основных результатов.

2. Список обозначений.

I. Оценка миноранты старшего показателя снизу

3. Допустимые перестановки.

4. Подпространства решений.

5. Допустимые функции.

6. Оценки роста решений.

II. Оценка миноранты старшего показателя сверху

7. Повороты и базисы.

8. Реализация перестановок.

9. Закрепление конечных подпространств.

10. Переключения.

11. Возможные функции.

12. Реализация возможных функций.

III. Доказательство совпадения полученных оценок

13. Мажоранта возможных функций.

14. Формулы для миноранты старшего показателя.

IV. Миноранта среднего показателя

15. Оценка миноранты снизу.

16. Оценка миноранты сверху.

17. Совпадение оценок миноранты.

18. Достижимость миноранты в классе бесконечно малых возмущений

V. Примеры вычисления минорант

19. Диагональные неравномерные функции.

20. Примеры.

VI. О классах Бэра показателей Ляпунова и их минорант

21. Класс Бэра минорант.

22. О локальных классах Бэра показателей Ляпунова.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об устойчивости показателей Ляпунова трехмерного дифференциального уравнения»

Одним из основных направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение характеристических показателей, которые были введены А. М. Ляпуновым [24] в связи с изучением устойчивости по первому приближению. Бурное развитие теории линейных систем привело к созданию целого ряда новых характеристик асимптотического поведения решений, так или иначе связанных с показателями Ляпунова или с исследованием решений на устойчивость. Библиография в обзорах Н. А. Изобова [16, 21] по теории показателей Ляпунова насчитывает несколько сотен наименований.

Важным вопросом теории показателей Ляпунова является вопрос об их зависимости от правых частей системы. О. Перроном впервые был приведен пример [64], показывающий, что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве линейных однородных систем с топологией равномерной сходимости коэффициентов на положительной полуоси, имеет точки разрыва. Таким образом, была открыта содержательная ветвь этой теории, состоящая в изучении устойчивости самих показателей Ляпунова относительно малых возмущений системы.

Напомним [5, 14], что каждая система, состоящая из п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка и называемая ниже п-мерным уравнением, характеризуется набором из п показателей Ляпунова, расположенных в порядке нестрогого возрастания. Отрицательность старшего из них означает экспоненциальную устойчивость нулевого решения, а положительность — соответственно, неустойчивость. Аналогично, к-й показатель отвечает за условную устойчивость относительно /¿-мерного подпространства.

Для исследования непрерывности какого-либо показателя как функционала на пространстве линейных уравнений с равномерной топологией рассмотрим максимальную полунепрерывную снизу миноранту и минимальную полунепрерывную сверху мажоранту этого показателя, связанные с полунепрерывностью показателя снизу и сверху в отдельности и именуемые ниже просто минорантой и мажорантой соответственно (эти функционалы называются также минимальным [17] и максимальным [39] показателями).

Практический смысл минорант и мажорант показателей основан наследующем соображении. Если миноранта старшего показателя Ляпунова для данного уравнения принимает неположительное значение, то уравнение стабилизируемо равномерно малыми возмущениями, т. е. в сколь угодно малой, в смысле равномерной топологии, окрестности этого уравнения существует уравнение с устойчивым нулевым решением. Если же значение миноранты для данного уравнения положительно, то уравнение не стабилизируемо в указанном смысле. С другой стороны, если мажоранта старшего показателя Ляпунова принимает неотрицательное значение, то уравнение дестабилизируемо равномерно малыми возмущениями, а если отрицательное — то не дестабилизируемо. Аналогичную роль, но по отношению к условной устойчивости, играют миноранты и мажоранты остальных показателей Ляпунова.

Р. Э. Виноградом [13] была дана оценка сверху мажоранты старшего показателя и оценка снизу минораты младшего показателя с помощью введенных им верхнего и нижнего центральных показателей. В. М. Миллионщиков [28], используя свой метод поворотов, доказал неулучшаемость этих оценок, или, что то же, достижимость центральных показателей старшим и младшим показателями Ляпунова под действием равномерно малых возмущений. С помощью того же метода он получил [27] (см. также работы Б. Ф. Былова, А.Н.Изобова [6, 7]) критерий устойчивости сразу всех показателей Ляпунова и доказал [26], что в пространстве всех уравнений всюду плотны точки непрерывности и даже грубой непрерывности всех показателей Ляпунова — точки, соответствующие уравнениям с так называемой экспоненциальной (интегральной) разделенно стью [65, 5].

Н. А. Изобовым в случае двумерного уравнения была выведена формула [17, 18], выражающая миноранту старшего показателя Ляпунова через оператор Коши исходного уравнения, а в случае уравнения произвольной размерности была найдена оценка этого показателя снизу [19]. Эти результаты были получены отчасти благодаря введенной Н. А. Изобовым минимальной функции, призванной ограничивать снизу наибольший рост решений возмущенных уравнений.

Формулы для вычисления мажорант показателей Ляпунова, причем сразу для любого из показателей и для уравнения произвольной размерности, были получены в работе [37]. Вычисление мажорант оказалось сравнительно более простой задачей, связанной с разбиением пространства решений исходного уравнения в прямую сумму экспоненциально отделенных друг от друга подпространств и с нахождением в этих подпространствах уже известных к тому времени центральных показателей.

Кроме того, для вывода указанных формул в той же работе активно применялись бесконечно малые возмущения, и была доказана достижимость мажорант всех показателей Ляпунова и миноранты младшего показателя в классе бесконечно малых возмущений. Заметим, что такие возмущения использовались еще О. Перроном в его примере [64] точки разрыва старшего показателя.

В докладе В. М. Миллионщикова [30] была поставлена задача об описании точек непрерывности данного (любого) показателя Ляпунова в терминах оператора Коши исходного уравнения.

В докладах [40, 41, 47] были сообщены формулы, выражающие через оператор Коши исходного уравнения миноранту старшего показателя Ляпунова трехмерного уравнения и миноранту второго по счету показателя Ляпунова уравнения произвольной размерности. Эти результаты, доказательства которых опубликованы в работах [52, 55, 56, 58, 51], и составляют основу настоящей диссертации.

К указанным исследованиям тесно примыкают работы М. И. Рахим-бердиева [33, 34] и О. Г. Илларионовой [22], в которых получены формулы для минорант особых и центральных показателей соответственно.

В. М. Миллионщиков открыл новое направление в качественной теории дифференциальных уравнений, предложив для описания зависимости различных характеристик асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений использовать классификацию Бэра, разрывных функций [8]. В частности, он установил [29], что показатели Ляпунова как функционалы на пространстве уравнений с компактно-открытой топологией, т. е. топологией равномерной сходимости коэффициентов на любом компакте положительной полуоси, принадлежат второму классу Бэра. Это означает, что каждый из них представим в виде двойного поточечного предела по счетному множеству от непрерывных функций (без ограничения общности можно считать [46, 4], что для вычисления значений этих функций достаточно иметь информацию об уравнении лишь на некотором конечном участке временной полуоси, своем для каждой функции). Далее [31], тому же классу (в той же топологии) принадлежат и мажоранты всех показателей, в то время как миноранта младшего показателя Ляпунова принадлежит третьему классу Бэра, т. е. она пред-ставима в виде тройного поточечного предела от непрерывных функций.

М. И. Рахимбердиевым было установлено [35], что показатели Ляпунова не принадлежат первому классу Бэра на пространстве уравнений с равномерной, а тем более с компактно-открытой топологией. В дальнейшем это направление, как в части доказательства принадлежности, так и в части доказательства непринадлежности конкретных показателей тому или иному классу Бэра, развивалось в работах многих авторов, например, [1, 25, 62, 63].

В докладе В. М. Миллионщикова [32] была поставлена задача о минимальном классе Бэра, которому принадлежат миноранты показателей Ляпунова в компактно-открытой топологии (в равномерной топологии они, будучи полунепрерывными функциями, принадлежат первому классу Бэра). Более точно, задача ставилась в связи с изучением показателей как фзшкций параметра, от которого непрерывно зависят коэффициенты уравнения.

А. Н. Ветохин выделил [9] простое свойство показателя, при отсутствии которого он не принадлежит первому классу Бэра. Он получил также необходимое условие принадлежности функционала второму классу Бэра и с его помощью доказал [10, 12], что миноранты всех показателей Ляпунова не принадлежат второму классу Бэра ни в одной из двух рассмотренных топологий.

Из вида формул [42] для минорант в случае трехмерного уравнения был сделан вывод [44] об их принадлежности третьему классу Бэра в компактно-открытой топологии. Этот вывод впоследствии, с помощью других соображений, был перенесен В. В. Быковым [3] на миноранту пока только старшего показателя уравнения произвольной размерности (см. уточнение [36]).

Наконец, было обнаружено [48] одно свойство локального поведения показателей Ляпунова (доказанное, правда, лишь для некоторых из них), а именно: они не могут иметь локально в точности первый класс Бэра, т. е. в окрестности любой точки каждый из них либо непрерывен, либо не имеет и первого класса Бэра (а сразу второй). С другой стороны, как функции от параметра показатели Ляпунова могут быть и в точности второго класса Бэра (что следует из примера М. И. Рахимбердиева [35]), и в точности первого [49], не говоря уже нулевом.

Теперь подробнее остановимся на основных результатах, включенных в настоящую диссертацию.

Центральное место в предлагаемом исследовании занимает вопрос о нахождении формул для вычисления максимальных полунепрерывных снизу минорант показателей Ляпунова. Подчеркнем, что речь идет о получении выражений, использующих информацию только об исходном, невозмущенном, уравнении и не требующих никаких сведений о близких возмущенных уравнениях.

Автору удалось, во-первых, найти формулу указанного типа для миноранты старшего показателя трехмерного уравнения. Доказательство этой формулы занимает первые три главы диссертации и состоит, соответственно, из трех логически связанных друг с другом частей.

В первой части получена оценка миноранты снизу, использующая так называемую минимальную допустимую функцию. Для ее описания числовая ось разбивается на отрезки равной длины, и изучаются возможные варианты склейки решений при переходе с одного отрезка на другой в зависимости от поведения решений на отрезках разбиения и от взаимного расположения решений с разным ростом в точках разбиения.

Вторая часть посвящена оценке миноранты сверху, правда, через другую функцию, названн}чо в работе минимальной возможной функцией. При доказательстве этой оценки активно применяется метод поворотов В. М. Миллионщикова [28] и разрабатывается аппарат, позволяющий с помощью равномерно малых возмущений коэффициентов уравнения строить фундаментальную систему решений, рост которых близок к заданным сингулярным числам операторов Коши на отрезках разбиения.

Наконец, в третьей части доказывается совпадение полученных в первых двух частях оценок и, тем самым, равенство соответствующих выражений значению оцениваемой миноранты. В результате этого совпадения появляются сразу несколько формул для миноранты старшего показателя, из которых наиболее проста по описанию формула, порожденная оценкой снизу из первой части доказательства.

Как оказалось, структура формулы, выражающей миноранту через минимальную функцию, практически не отличается от структуры найденной ранее Н. А. Изобовым [18] формулы для миноранты старшего показателя двумерного уравнения: обе они содержат одинаковое количество предельных переходов от минимальной (допустимой) функции, значения которой полностью определяются решениями исходного уравнения на конечных участках временной полуоси.

Однако сложность построения минимальной функции (при увеличении размерности фазовой переменной на единицу) резко возрастает. Так, если ранее при исследовании возможных переходов от предыдущего отрезка временной шкалы к следующему требовалось рассмотреть лишь один вид отделенности (запрещающий один из двух возможных вариантов склейки двух решений), то теперь таких видов отделенности насчитывается целых четыре, не считая их комбинаций друг с другом (и каждых из них накладывает свои собственные ограничения на множество из шести возможных вариантов склейки трех решений).

Указанный скачок сложности связан со значительно более сложной комбинаторной природой самой вычисляемой миноранты. В подтверждение этого в пятой главе диссертации приводятся примеры [61] вычисления миноранты, которые показывают, что все отмеченные выше виды отделенности, участвующие в описании переходов при построении минимальной фз'нкции, являются существенными, т. е. действительно могут оказывать свое независимое влияние на численное значение миноранты.

Говоря о примерах вычисления миноранты, стоит упомянз^ть, что для их реализации понадобилось усовершенствовать формулу для миноранты в двух направлениях: приспособить ее к случаю диагонального уравнения [54, 57] (в указанном частном случае формула выглядит проще, и это обстоятельство использовалось ранее в работе [17]) и распространить эту формулу на неравномерную шкалу времени [60] (интерес к неравномерным шкалам, восходящий к работам [15, 20], не иссякает и поныне [2]).

Во-вторых, в четвертой главе диссертации найдена формула для вычисления миноранты среднего показателя трехмерного уравнения. При этом минимальная допустимая функция определяется во многом сходно с аналогичной функцией Н. А. Изобова [18] для миноранты старшего показателя двумерного уравнения, а доказательство формулы усложняется в связи с тем, что в трехмерном пространстве решений нельзя, вообще говоря, выделить двумерное подпространство, отвечающее за миноранту среднего показателя. Автором получен [51] и более общий результат (не включенный в диссертацию), позволяющий в случае уравнения произвольной размерности вычислять миноранту второго из показателей Ляпунова, расположенных в порядке нестрогого возрастания.

Более того, в четвертой главе доказана достижимость миноранты среднего показателя в классе бесконечно малых возмущений (некоторое обобщение этого результата см. в [43, 59]), а именно, доказано, что для любого трехмерного уравнения существует такое возмущение, стремящееся к нулю на бесконечности, что средний показатель Ляпунова возмущенного уравнения численно совпадает со значением миноранты этого показателя, соответствующим исходному уравнению.

Таким образом, предлагаемое исследование представляет собой определенное продвижение в решении поставленной В. М. Миллионщиковым задачи [30], а в случае трехмерного уравнения решает ее полностью [42].

В качестве приложений полученных результатов о минорантах можно рассматривать утверждения о классах Бэра показателей Ляпунова и их минорант, доказанные в шестой главе диссертации.

Исходя из полученных формул, сделан вывод о принадлежности минорант старшего и среднего показателей третьему классу Бэра, если рассматривать их как функционалы на пространстве трехмерных уравнений, наделенном компактно-открытой топологией. Тем самым, задача [32] о классах Бэра минорант показателей в случае трехмерного уравнения решена полностью [44, 45].

Другой результат использует достижимость миноранты среднего показателя в классе бесконечно малых возмущений и доказанную ранее [39] достижимость в этом классе миноранты младшего показателя, а также мажорант всех показателей Ляпунова. Он состоит в том, что и младший, и средний показатель как функционал на пространстве трехмерных уравнений, наделенном равномерной топологией, ни в какой окрестности какой-либо точки не может иметь в точности первый класс Бэра, т. е. если его сужение на некоторую окрестность принадлежит первому классу, то оно просто непрерывно. Доказательство опирается на идею из работы [11] об инвариантности так называемых остаточных функционалов первого класса Бэра относительно бесконечно малых возмущений, высказанную ранее для остаточных полунепрерывных функционалов [38].

Автор глубоко признателен профессору В. М. Миллионщикову за постановки задач и полезное обсуждение работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Сергеев, Игорь Николаевич, 2000 год

1. Агафонов В. Г. К бэровской классификации показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, №8. С. 1466.

2. Барабанов Е. А. О вычислении показателей линейных дифференциальных систем по временным геометрическим прогрессиям // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, №11. С. 1592 — 1600.

3. Быков В. В. Некоторые свойства минорант показателей Ляпунова // Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, вып. 5. С. 186.

4. Быков В. В. О связи классов Бэра функционалов и формул // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, №6. С. 852.

5. Былое Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости // М.: «Наука». 1966.

6. Былое Б.Ф., Изобов H.A. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей диагональной системы // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №10. С. 1785 — 1793.

7. Былое Б.Ф., Изобов H.A. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №10. С. 1794 — 1803.

8. Бэр Р. Теория разрывных функций // М.-Л.: ГТТИ. 1932.

9. Ветохин А. Н. О классах Бэра остаточных функционалов // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №5. С. 909 — 910.

10. Ветохин А.Н. О классе Бэра минимальных показателей // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №12. С. 2090.

11. Ветохин А. Н. К бэровской классификации остаточных показателей // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, №8. С. 1039 — 1042.

12. Ветохин А. Н. Класс Бэра минимальных полунепрерывных снизу минорант показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, №10. С. 1313 — 1317.

13. Виноград Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Матем. сборник. 1957. Т. 42. С. 207 — 222.

14. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости // М.: «Наука». 1967.

15. Изобов Н. А. О множестве нижних показателей линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1, №4. С. 469 — 477.

16. Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т. 12. С. 71 — 146.

17. Изобов H.A. Минимальный показатель двумерной диагональной системы // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, №1. С. 1954 — 1966.

18. Изобов H.A. Минимальный показатель двумерной линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, №5. С. 848 — 858.

19. Изобов H.A. Оценка снизу для минимального показателя линейной системы // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, №9. С. 1576 — 1588.

20. Изобов H.A. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Докд. АН БССР. 1982. Т. 26, №1. С. 5 — 8.

21. Изобов H.A. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, №12. С. 2034 — 2055.

22. Илларионова О. Г. Об устойчивости центральных показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, №9. С. 1492 — 1503.

23. Куратовский К. Топология. Т. 1 // М.: «Мир». 1966.

24. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения // M.-JL: Гостехиздат. 1950.

25. Морозов О. И. О бэровском классе показателей Ляпунова неоднородных линейных систем // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1991, №6. С. 22 — 30.

26. Миллионщиков В. М. Системы с интегральной разделенностью всюду плотны в множестве всех линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №7. С. 1167 — 1170.

27. Миллионщиков В. М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №10. С. 1775 — 1784.

28. Миллионщиков В. М. Доказательство достижимости центральных показателей // Сибирск. матем. журнал. 1969. Т. 10, №1. С. 99 — 104.

29. Миллионщиков В. М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №8. С. 1408 — 1416.

30. Миллионщиков В. М. Некоторые задачи теории линейных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. 1985. Т. 40, вып. 5. С. 241 — 242.

31. Миллионщиков В. М. О мажорантах показателей Ляпунова линейных систем // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, №6. С. 1090.

32. Миллионщиков В. М. Задачи о минорантах показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, №11. С. 2014 — 2015.

33. Рахимбердиев М. И. Об устойчивости особых показателей линейных систем и замыкании множества линейных систем с экспоненциальнойдихотомией. I // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, №4. С. 659 — 670.

34. Рахимбердиев М. И. Об устойчивости особых показателей линейных систем и замыкании множества линейных систем с экспоненциальной дихотомией. II // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, №10. С. 1797 — 1807.

35. Рахимбердиев М.И. О бэровском классе показателей Ляпунова // Матем. заметки. 1982. Т. 31, №6, С. 925 — 931.

36. Салов Е. Е. О бэровском классе минорант промежуточных показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №11. С. 1573.

37. Сергеев И. Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №3. С. 438 — 448.

38. Сергеев И. Н. Инвариантность центральных показателей относительно возмущений, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №9. С. 1719.

39. Сергеев И. Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 111 — 166.

40. Сергеев И. Н. Минимальный показатель трехмерной линейной системы // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, №6. С. 1096 — 1097.

41. Сергеев И. Н. Критерий полунепрерывности снизу одного из показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, №11. С. 2016 — 2017.

42. Сергеев И. Н. Критерий полунепрерывности снизу показателей Ляпунова трехмерных линейных систем // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49, вып. 4. С. 142.

43. Сергеев И. Н. Вопросы подвижности показателей Ляпунова при бесконечно малых возмущениях // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, №6. С. 1095.

44. Сергеев И. Н. Класс Бэра минимальных показателей трехмерных линейных систем // Успехи матем. наук. 1995. Т. 50, вып. 4. С. 109.

45. Сергеев И. Н. К задаче о классе Бэра минорант показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №9. С. 1600 — 1601.

46. Сергеев И. Н. Бэровские классы формул для показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №12. С. 2092 — 2093.

47. Сергеев И. Н. Уточнение определения минимальной функции трехмерной линейной системы // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, №6. С.858.

48. Сергеев И. Н. О локальных классах Бэра показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, №11. С. 1577.

49. Сергеев И. Н. Пример ступенчатой зависимости от параметра показателей Ляпунова и свойства правильности системы // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, №6. С. 854 — 855.

50. Сергеев И. Н. Доказательство формулы для минимального показателя трехмерной линейной системы // Деп. в ВИНИТИ РАН 31.07.98 №2452-В98. 163 С.

51. Сергеев И. Н. Формула для миноранты одного из показателей Ляпунова // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1999, №4. С. 22 — 29.

52. Сергеев И. Н. Оценка снизу для минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №10. С. 1387 — 1397.

53. Сергеев И. Н. О классе Бэра миноранты одного из промежуточных показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №11. С. 1572.

54. Сергеев И. Н. Формула для минимального показателя диагональной трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №11. С. 1576.

55. Сергеев И. Н. Метод поворотов и сингулярные числа трехмерных систем // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №12. С. 1630 — 1639.

56. Сергеев И. Н. Оценка сверху для минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №1. С. 114 — 123.

57. Сергеев И. Н. Минимальный показатель диагональной трехмерной системы // Тр. Ин-та матем. HAH Беларуси. 2000. Т. 4. С. 140 — 145.

58. Сергеев И. Н. Формула для вычисления минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №3. С. 345 — 354.

59. Сергеев И. Н. О достижимости минимальных показателей в классе бесконечно малых возмущений // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2000, №3. С. 61 — 63.

60. Сергеев И. Н. Формула для минимального показателя в неравномерной шкале времени // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №6. С. 853.

61. Сергеев И. Н. Примеры вычисления минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №6. С. 856 — 857.

62. Феклин В. Г. Классификация нижних вспомогательных показателей по Бэру // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, №11. С. 2009.

63. Ширяев К. Е. О классе Бэра некоторых показателей линейных систем в компактно-открытой топологии // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №5. С. 905.

64. Perron О. Die Ordnungzahlen der Differentialgleichungen // Math. Z. 1930. Bd. 32. S. 703 ^ 728.

65. Perron O. Uber lineare Differentialgleichungen, bei denen die unabhängige Variable reel ist // J. reine und angew. Math. 1931. Bd. 142. S. 254 — 270.