Некоторые вопросы теории показателей Ляпунова тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Быков, Владимир Владиславович

• Быков, Владимир Владиславович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы теории показателей Ляпунова»

Для заданного натурального числа п рассмотрим множество Sn уравнений х = A{t)x, х £ Rn, te R+, (1) с кусочно-непрерывными по £ £ R+ = [0, оо) оператор-функциями А.

Пользуясь вольностью речи, всюду в дальнейшем будем отождествлять уравнение (1) с функцией A: R+ —»• EndRn, фигурирующей в записи этого уравнения. Множество Sn наделим структурой линейного пространства с естественными для функций операциями сложения и умножения на действительные числа.

Через Л4п обозначим подпространство тех уравнений из Sn, для которых соответствующая оператор-функция А ограничена на полупрямой R+.

Определение 1. Будем обозначать через S^ топологическое пространство, получаемое введением в Sn равномерной топологии при помощи нормы

А\\= sup \A(t)I, te R+ где обозначено

A(t)\ = sup \A(t)x\, x\ = l x\ — \J ~t~ • ■ • ~Ь i 3C — . . 7 xn^.

Через S^ будем обозначать топологическое пространство, получаемое введением в Sn компактно-открытой топологии, задаваемой счетным набором полунорм pk(A)= sup |A(f)|, fc = 0,l,. te[k,k+1]

Кроме того, теми же символами U и С условимся отмечать топологические пространства, получаемые из подпространства Л4п заданием в нем соответствующей индуцированной топологии.

Определение 2 [26, 17]. Показателями Ляпунова уравнения (1) называются числа k(A)= inf ÏÏmilnl* |L(i,0)|,

L£Gк t-+oo t где к G {1,., /г}, Gk —множество ^-мерных подпространств пространства Rn, а X \L — сужение оператора Коши уравнения (1) на подпространство L с Rn.

Определение 3. Для всякого функционала (p\Sn —»• R обозначим через Тр минимальную полунепрерывную сверху мажоранту этого функционала в смысле равномерной топологии, т.е. функционал, определяемый в каждой точке A G Sn равенством

Тр(А) = lim sup (р(А + С).

В докладе В. М. Миллионщикова [27] был поставлен вопрос об одновременной достижимости всеми показателями Ляпунова своих минимальных полунепрерывных сверху мажорант во всякой окрестности данного уравнения A G ■

На данный вопрос получен положительный ответ, а именно, доказана следующая

Теорема I (следствие 25). Для всякого уравнения A G Sn и всякого s > 0 найдется уравнение В G Sn, обладающее свойствами:

1) \\А — В\\ < е;

2) Ак(В) = Хк(А) при всех к G {1,. ., п}.

Данный вопрос в случае пространства Л4п решен ранее И. Н. Сергеевым [36] с использованием полученного в [35] выражения для величины

Xk{A) через семейство операторов Коши уравнения А. 3

Теорема I получена на основе формулируемой ниже более общей теоремы И.

Определение 4 [41]. Функционал (p:Sn —>• R будем называть ограниченно-зависимым, если существует такой отрезок полупрямой R+, что для любой пары оператор-функций А, В Е

Определение 5. Функционал (p:Sn R назовем, следуя [35], остаточным, если для каждой пары оператор-функций А, В Е Sn, совпадающих на всей полупрямой R+, кроме, быть может, некоторого отрезка конечной длины, выполнено равенство

Определение 6. Функционал ср: Sn —>• R назовем верхне-пределъным от семейства {^ры}, / £ N, если в каждой точке А Е Sn имеет место представление р{А)= inf suрсры(А). (2) keNieN

Теорема II (теорема 24). Пусть {(рг Е N, — совокупность функционалов, каждый из которых лвллетсл остаточным и верхне-пределъным от семейства ограниченно-зависимых функционалов. Тогда для любого уравнения А Е Sn и любого £ > О существует уравнение BeSn, обладающее свойствами:

1) \\А-В\\

2) lim \B(t) - A(t)\ = 0; i—> oo

3)

В. M. Миллионщиковым получена [31] формула для показателей Ляпунова, из которой, в частности, следует, что они являются верхнепредельными функционалами от семейства ограниченно-зависимых (и даже непрерывных) функционалов. Таковыми являются также верхний особый показатель и верхний центральный показатель, как следует из их определения [10] (см. также определение 8 ниже). 4

Обозначим через О наименьшее несчетное порядковое число [33]. Определение 7 [25]. Пусть М — топологическое пространство. Для каждого порядкового числа а < О определим класс Фа, называемый а-м классом Бэра, следующим образом:

• класс Фо состоит из непрерывных функционалов;

• класс Фа, а > 0, состоит из функционалов (р, допускающих представление вида р(А) = lim (pk(Ä), А Е М, k—too где каждый из функционалов (рь, к Е N, принадлежит какому-либо классу Ф^, £ < а.

Определение 8 [10]. Верхним центральным показателем уравнения А Е Мп назовем величину к т>о fc-Too кТ

А> = к{ Pf Еln - i^i.

S=1 где X — оператор Коши уравнения А.

Р. Э. Виноградом [16] установлено, что для всякого А Е Л4п показатель О, (А) осуществляет оценку сверху для величины Л п(А). Неулучшаемость этой оценки доказана В. М. Миллионщиковым [29]. Таким образом, для всякого А Е Л4п справедливо равенство О,(А) = Xп(А).

Определение 9. Для всякого функционала (р: ¿>п —у К обозначим через ср максимальную полунепрерывную снизу миноранту этого функционала в смысле равномерной топологии, т.е. функционал, определяемый в каждой точке А Е ¿>п равенством р(А) = Нт Ы ср(А + С). е—»0 ||С||

Из определения 9 и теоремы Бэра [42] следует, что функционал ср принадлежит первому классу Бэра на пространстве

О. Г. Илларионовой [23] получено выражение для величины £1(А) через семейство операторов Коши уравнения А, содержащее три предельных перехода, однако функционалы семейства, от которого берутся эти предельные переходы, не являются непрерывными (и даже полунепрерывными) на Тем не менее, справедлива

Теорема III (следствие 17). Функционал Q принадлежит третьему классу Бэра на пространстве .

В докладе В. М. Миллионщикова [30] была поставлена задача о минимальном классе Бэра, которому принадлежит каждый из функционалов k = 1 ,.,п, на пространстве . А. Н. Ветохиным [12] установлено, что при п > 1 функционал Хк при всех к £ {1,.,п} не принадлежит второму классу Бэра на пространстве М.^ и, тем более, на S^ (при п = 1 функционал принадлежит второму классу Бэра на

Теорема IV (следствие 16). Для любого п £ N функционал Хп принадлежит третьему классу Бэра на пространстве М.

Оказалось, что величина Ап недостижима в классе возмущений, убывающих к нулю заданным образом, более точно, установлена следующая Теорема V (следствие 20). Для любого п > 1 и любого набора функций Sj: R+ R+, j £ N, удовлетворяющих условию lim Sj(t) = 0; t—>oo существует уравнение А £ M.n, для которого

Ьп{А)< inf А„(А + В), 6 где Т>8 — множество оператор-функций, каждая из которых для некоторого ] Е N удовлетворяет неравенству

Б(£)| < з^), г Е 1* + .

Аналогичный вопрос рассматривался ранее для верхнего центрального показателя О (см. определение 8). Н. А. Изобовым [20] описано множество систем, для которых П недостижим в классе возмущений Л, имеющих отрицательный характеристический показатель:

Пп1 -1пШ(£)| < 0. оо г 1 у'

Позднее И. Н. Артамоновым [1] было установлено, что верхний центральный показатель бывает недостижимым даже в классе возмущений В, каждое из которых для некоторого С > 0 удовлетворяет неравенству где я: К+ —>• — монотонная функция, стремящаяся к нулю при £ —>• оо.

Определение 10 [21]. Старшим нижним а-показателем Изобова уравнения (1) называется величина

А;(А)= ш| А„(А + Я), где о > 0, а Еа — множество оператор-функций В, каждая из которых для некоторого С > 0 удовлетворяет неравенству Се~а\ Ь Е К+.

Из результатов А. Н. Ветохина [15] следует, что старший нижний сг-показатель Изобова не принадлежит первому классу Бэра на (и даже на при п > 1).

Теорема VI (следствие 18). Для всякого а > О функционал Д™ принадлежит второму классу Бэра на пространстве

Определение 11. Следуя И. Н. Сергееву [41], скажем, что функционал (р\М.п —» К задается формулой класса 0, если он является ограниченно-зависимым (см. определение 4) и непрерывным на Л4 Далее, скажем, что функционал ср задается формулой класса а > 1, если справедливо представление р(А) = Нт (рк(А), АеМп, к—*оо где каждый из функционалов к Е N5 задается формулой какого-либо класса с номером меньше а. Множество всех функционалов, задаваемых формулами класса а > О, обозначим через @а.

Отличие введенных классов формул от классов Бэра (см. определение 7) в пространстве М.^ состоит в дополнительном требовании ограниченной зависимости функционалов семейства, от которого берутся предельные переходы. Данное требование мотивировано желанием вычислять значения этих функционалов, пользуясь информацией об уравнении лишь на конечных участках времени.

В [41] показано, что а С Ф« С ва+Ь причем ©о ф Фо, и поставлен вопрос о совпадении множеств 0а и Фа при а > 1.

В диссертации установлена следующая

Теорема VII (следствие 30). Множество ©а функционалов на ЛЛп, задаваемых формулами класса а > 1, совпадает с а-м классом Бэра Фа в Мсп.

Данная теорема показывает, что именно компактно-открытая топология играет основную роль при изучении вопроса о том, какого наименьшего класса формулой задается некоторый показатель.

Формулируемая ниже теорема возникла в связи со следующим вопросом: можно ли, зная, какому классу Бэра принадлежит данный функционал на пространстве утверждать принадлежность этого функционала какому-либо классу Бэра на пространстве При этом представляется естественным дополнительно предположить, что данный функционал, как и большинство функционалов, применяемых для описания асимптотического поведения решений уравнения (1), является остаточным (см. определение 5).

Определение 12. Условимся говорить, что функционал (р, заданный на топологическом пространстве X, является функционалом в точности а-го класса Бэра, если он принадлежит а-му классу Бэра и не принадлежит никакому классу Бэра с меньшим номером.

Так, из теоремы IV и результатов [12] следует, что Лп для всякого п > 1 является функционалом в точности третьего класса Бэра на пространстве M-ni а из теоремы VI и результатов [15] — что Д™ для всякого п G N и всякого а > 0 является функционалом в точности второго класса Бэра на том же пространстве.

Теорема VIII (теорема 31). Для любых порядковых чисел ¡i и и, удовлетворяющих условию

О < ¡i < v < О, существует остаточный функционал —> R; который:

1) является функционалом в точности /i-го класса Бэра на при ¡i < Q и не принадлежит никакому классу Бэра на М.^ при ц = Q;

2) является функционалом в точности v-го класса Бэра на при v < Q и не принадлежит никакому классу Бэра на при v = Q.

Отметим, что при у = 1, как это следует из результатов [15], остаточного функционала со свойством 2) не существует.

Автор выражает свою глубокую благодарность проф. В. М. Миллио-нщикову за постановку задач и научному руководителю доц. И. Н. Сергееву за постоянное внимание и помощь в работе, а также доц. А. Н. Ве-тохину за ценные замечания и помощь в подготовке текста диссертации и автореферата.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Быков, Владимир Владиславович, 1998 год

1. Артамонов И. Н. О недостижимости верхнего центрального показателя в классе возмущений, убывающих заданным образом. Диф-ференц. уравнения, 1995, Т. 31, №5, с. 915.

2. Богданов Ю. С. Об асимптотически эквивалентных линейных дифференциальных системах. Дифференц. уравнения, 1965, Т. 1, №6, с. 707-716.

3. Быков В. В. Об одновременной достижимости мажорант показателей. Дифференц. уравнения, 1995, Т. 31, №5, с. 911.

4. Быков В. В. Об одновременной достижимости мажорант остаточных функционалов. Дифференц. уравнения, 1995, Т. 31, №9, с. 15961597.

5. Быков В. В. О связи классов Бэра функционалов и формул. Дифференц. уравнения, 1996, Т. 32, №6, с. 852.

6. Быков В. В. О связи классов Бэра функционалов в равномерной и компактно-открытой топологиях. Дифференц. уравнения, 1996, Т. 32, №6, с. 854.

7. Быков В. В. О связи классов Бэра остаточных функционалов в равномерной и компактно-открытой топологиях. Дифференц. уравнения, 1997, Т. 33, №6, с. 855.

8. Быков В. В. Некоторые свойства минорант показателей Ляпунова. УМН, 1996, Т. 51, №5, с. 186.

9. Быков В. В. Классификация Бэра сг-показателей Изобова. Дифференц. уравнения, 1997, Т. 33, №11, с. 1574.

10. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыц-кий В. В. М.: Наука, 1966.

11. Бэр Р. Теория разрывных функций. М.-Л., ГТТИ, 1932.

12. Ветохин А. Н. О классе Бэра минимальных показателей. Дифферент уравнения, 1995, Т. 31, №12, с. 2090.

13. Ветохин А. Н. О классе Бэра нижнего центрального показателя. Дифференц. уравнения, 1995, Т. 31, №9, с. 1597.

14. Ветохин А. Н. О классе Бэра верхних центральных показателей и верхних особых показателей. Дифференц. уравнения, 1995, Т. 31, №9, с. 1600.

15. Ветохин А. Н. О классах Бэра остаточных функционалов. Дифференц. уравнения, 1995, Т. 31, №5, с. 909-910.

16. Виноград Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений. — Мат. сб., 1957, 42, с. 207222.

17. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

18. Изобов Н. А. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям. Дифференц. уравнения, 1993, Т. 29, №12, с. 2034-2055.

19. Изобов Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: ВИНИТИ, 1974, Т. 12, с. 71-146.

20. Изобов Н. А. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление. Докл. АН БССР. 1982. Т. 26, №1. с. 5-8.

21. Изобов Н. А. О старшем показателе линейной системы с экспоненциальными возмущениями. Дифференц. уравнения, 1969, Т. 5, №7, с. 1186-1192.

22. Изобов Н. А. К теории характеристических показателей Ляпунова линейных и квазилинейных систем. Мат. заметки, 1980, Т. 28, №3, с. 459-476.

23. Илларионова О. Г. Об устойчивости центральных показателей линейных систем. Дифференц. уравнения, 1988, Т. 24, №9, с. 14921503.

24. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

25. Куратовский К. Топология, Т. 1, М., Мир, 1966.

26. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., Гостехиздат, 1950.

27. Миллионщиков В. М. Задача о мажорантах показателей Ляпунова. Дифференц. уравнения, 1993, Т. 29, №11, с. 2013.

28. Миллионщиков В. М. Формулы для показателей Ляпунова семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения. — Мат. заметки, 1986, 39, №1, с. 29-51.

29. Миллионщиков В. М. Доказательство достижимости центральных показателей. — СМЖ, 1969, 10, №1, с. 99-104.

30. Миллионщиков В. М. Задачи о минорантах показателей Ляпунова. Дифференц. уравнения, 1993, Т. 29, №11, с. 2014-2015.

31. Миллионщиков В. М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I. Дифференц. уравнения, 1980, Т. 16, №8, с. 1408-1416.75

32. Миллионщиков В. М. О неустойчивости особых показателей и о несимметричности отношения почти приводимости линейных систем дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1969, Т. 5, №4, с. 749-750.

33. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной, М., Наука, 1974.

34. Сергеев И. Н. Инвариантность центральных показателей относительно возмущений стремящихся к нулю на бесконечности. Дифференц. уравнения, 1980. Т. 16, №10. с. 1719-1719.

35. Сергеев И. Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений. Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 1983. Вып. 9. с. 111-166.

36. Сергеев И. Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях. Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 1986. Вып. 11. с. 32-73.

37. Сергеев И. Н. Класс Бэра минимальных показателей трехмерных линейных систем. УМН, 1995, Т. 50, №4, с. 109.

38. Сергеев И. И. К задаче о классах Бэра минорант показателей Ляпунова. Дифференц. уравнения, 1995, Т. 31, №9, с. 1600-1601.

39. Сергеев И. И. Минимальный показатель трехмерной линейной системы. Дифференц. уравнения, 1993, Т. 29, №6, с. 1096-1097.

40. Сергеев И. Н. Критерий полунепрерывности снизу одного из показателей Ляпунова. Дифференц. уравнения, 1993, Т. 29, №11, с. 20162017.

41. Сергеев И. Н. Бэровские классы формул для показателей линейных систем. Дифференц. уравнения, 1995, Т. 31, №12, с. 2092-2093.

42. Хаусдорф Ф. Теория множеств. M.-JL, ОНТИ, 1937.

43. Cantor G. Math. Ann., 1883, 21, р. 590.

44. Lebesgue Н. Journ. de Math. (6) 1 (1905), 139-216.

45. Perron O. Die Ordnungszahlen der Differentialgleichungen. — Math. Z., 1930, 32, S. 703-728.

46. Perron O. Uber lineare Differentialgleichungen, bei denen die unabhängige Variable reel ist. — J. reine und angew. Math., 1931, 142, S. 254-270.