О полноте и других свойствах некоторых классов функциональных систем в пространствах L и E тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Филиппов, Вадим Иванович

• Филиппов, Вадим Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Филиппов, Вадим Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТОВ

КОТОРЫХ НЕ РАВНЫ НУЛЮ, В ПРОСТРАНСТВАХ Up и Evp

§ I.I. Системы представления в пространствах

Lp , 1 « Р < 0Q

§ 1.2. Примеры полных и неполных систем в пространствах Lp

§ 1.3. Об обобщениях системы Фабера-Шаудера в пространствах Е ц> . 5Г

ГЛАВА 2 СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТОВ КОТОРЫХ РАВНЫ НУЛЮ, В ПРОСТРАНСТВАХ

Lp и Еф

§ 2.1. Системы представления в пространствах

Lp > о < р <

§ 2.2. О возмущениях системы Хаара в пространстве (0,1)

§ 2.3. Системы функций с образующей, интеграл от которой равен нулю, в пространствах

§ 2.4. Пример неполной ортонормированной системы в получающейся из сжатий и сдвигов одной функции

ГЛАВА 3 НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В

ПРОСТРАНСТВАХ Е\р

§ 3.1. Критерий существования линейных непрерывных ненулевых функционалов в многомерных пространствах Evp

§ 3.2. Свойства систем представления в пространствах Е ^ , в которых нет линейных непрерывных ненулевых функционалов

§ 3.3. Об условиях при которых система представления из одного функционального пространства является системой представления в других функциональных пространствах

§ 3.4. Об обобщениях системы Хаара в пространствах Е.1? , в которых нет линейных непрерывных ненулевых функционалов

§ 3.5. Системы представления в пространстве почти всюду конечных измеримых функций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О полноте и других свойствах некоторых классов функциональных систем в пространствах L и E»

Диссертационная работа посвящена рассмотрению нескольких, довольно широких, множеств функциональных систем в пространствах Lp , 0<p<0Q » и Ец>. В работе исследуется при каких условиях функциональные системы будут системами представления или полными системами в пространствах Lp , o<P<oq , и Eif . Рассматриваются также общие вопросы неединственности представления в многомерных пространствах Eif .

Теорема К.Вейерштрасса о приближении непрерывных на отрезке [а, С] функций алгебраическими многочленами послужила началом интенсивных исследований в области приближения функций. В частности, из этого результата следует, что система алгебрам -ческих многочленов с рациональными коэффициентами является системой представления в пространстве Cta, 63 .

С появлением интеграла Лебега стали актуальны вопросы приближения в пространствах Lp . В первой половине 20 века боль -шую роль в формировании отечественной школы по теории функций сыграли задачи Н.Н.Лузина ш . В этой связи необходимо отметить результаты Л.Н.Колмогорова [2] о рядах Фурье и результаты Д.Е.Меньшова [3,4] о сходимости почти всюду тригонометрических рядов. Пример Д.Е.Меньшова о тригонометрическом нуль-ря -де показал, что представление измеримых функций в виде триго -нометрического ряда в смысле сходимости п.в. неединственно.

С.М.Никольский [ 5] , в частности, рассматривал многомер -ные алгебраические и тригонометрические полиномы. Рассматривались количественные и качественные оценки приближения суммируемых функций гладкими функциями. Теоремы вложения представлены в [145] , [5] .

П.Л.Ульянов в работах [б - 14] исследовал топологические свойства обобщенных классов Орлича и привлек внимание математиков к вопросам приближения в этих классах классическими функциональными системами. Поставил проблемы о возможности представления в виде ряда элементов классов ^(i) и приближе -ния в классах (/>,) другими функциональными системами.

Обобщая результаты Д.Е.Меньшова о тригонометрических ря -дах и рассматривая вопросы представления функций по произвольным системам функций, А.А.Талалян jl5 - 2lJ ввел понятие системы представления (с.п.) и получил ряд общих результатов о системах представления в пространствах JLр . В частности, было установлено, что в пространствах Lp[o,l] , 0< р< i » нет базисов [Г7]

В работах [&2 - 25] Б.С.Кашин исследовал общие свойства ортонормированных (ОН) систем и базисов в пространствах 1 < Р< DO .В частности, исследовалось поведение ряда ZlCUl » где с*к - это коэффициенты разложения по базису.

В конце 80-х С.В.Конягин [2б] решил проблему о пред -ставлении п.в. тригонометрическим рядом функции равной бесконечности на множестве положительной меры.

Исследованию условий, когда тригонометрический ряд является рядом Фурье-Лебега, посвящены работы 1X23, 124] С.А.Теля-ковского.

В 80-х В.И.Иванов [27 - 29] ввел линейные симметричные метрические пространства и рассматривал в них вопросы единст -венности представления по функциональным системам.

Системы представления в пространствах функций комплексно -го переменного рассматривались в работах А.Ф.Леонтьева [30,31], Ю.Ф.Коробейника [32,33]и их учеников.

В работах [3^-3?] П.Освальд рассматривал классические он системы (тригонометрическая система, система Хаара и др. ОН системы) в классах С L , где \f удовлетворяет Лд-ус-ловию и невыпукла на LO,o0) , и получил, что тригонометри -ческая система и система Хаара не являются базисами в этих пространствах.

В работе 16] П.Л.Ульянова показано, что система Фабера-Шаудера является системой представления в классах ф(^) при определенных ограничениях на if . Развивая идеи и задачи П.Л.Ульянова, автором рассмотрены системы -j ^ С. Li р удовлетворяющее условиям:

0 I tWdi -ф о , > а i а в пространствах ^р, 0< р< DQ и Eip .

Теория приближений имеет широкие приложения. Последнее время она получила новый импульс развития в связи с применением в вопросах кодирования и передачи изображений и других сигналов

38-40, 125] . Применяется также в вопросах реконструк -ции изображений [41, 42] и в изучении деятельности мозга человека [43 - 47] .

В вопросах сжатия образов возник интерес к системам типа нЧЛ-OUz, СОД) где vy t: Lx

Я) . В работах С.Я)в Вооге

R. A. SkVort; A.Rcm L483 , C.K.CUi [5S], S.MaltdLso], Xlevjer L-5ij и других авторов исследуется, когда из систем типа (0.1) можно построить ОН базис, который называется всплесковьтй базис. При этом образующая функция Ч^ » для всплескового ба зиса, формирует систему типа (0.1).

В работах П.Освальда и автора [52, 54J исследуется при каких условиях на ^ система (0.1) является системой пред -ставления в пространствах Lp , 0<р<оо .В работах [53, 55 - 60] автора рассматриваются системы функций более общего вида.

В вопросах восприятия человеком информации нам представляется актуальным в какой метрике это описывается. Поэтому имеют определенный'интерес исследования систем (0.1) в различных Классах [127 - 131] .

В работах [61 - 63] Т .П.Лукашенко рассматривал всплеско-вые базисы на топологических группах, где предложены конструкции всплесковых базисов на локально компактных абелевых группах • Всплесковые и другие базисы в различных пространствах рассмотрены в работах [135 - 139] .

В работах А.АЬулм и A.OfevSKtt [б4 - бб] исследова -лось в каких пространствах DOу системы, получающиеся целочисленными сдвигами одной функции, полны в этих пространствах.

C.K.C.W. иХ-S^t в работах [67 - 7 о] исследовали в каких случаях с помощью системы (0.1) возможно представление в вице ряда элементов из , при этом от системы (0.1) не требуется, чтобы она была ортонормированной. Рассматриваются системы, называемые рамками ( -frame.).

XPresiiiv К. О. P£ohKo,TKiegorc [71 - 75] исследова ли возможность построения всплесковых базисов из алгебраичес -ких и тригонометрических полиномов.

Вопросы наилучшей аппроксимации в пространствах Lp довольно подробно отражены в работах [76, 132 - 134] .

Ряды Фурье в однородных пространствах Банаха рассмотрены в работе [77] , а в других пространствах - в [l40 - 144] .

При конструировании всплесковых базисов широко применяют -ся сплайны, В работах [106, 119] сплайны рассмотрены с раз -личных точек зрения.

Приведем некоторые факты, которые нам понадобятся в даль -нейшем.

Определение 0.1 [78, 81] . Линейное пространство Е называется квазинормированным линейным пространством, если каждому элементу Х4& поставлено в соответствие число \\Х1\ , называемое квазинормой элемента X , таким образом, что выполняются условия':

1) || XI\>,0 ? ||ХЦ = 0<гФ> х^о •

2) .цэс+уц 4 i\*ii+ ии ;

3) H-xlMlxll, MWnxHo, (ton Х4 = 0 , llxhh>o

Квазинормированное линейное пространство Е будем назы -вать V - пространством, если оно полно.

Определение 0.2 [l7] . Система элементов t 10Q i^ivi-si сепарабельного F- пространства (В-пространства) Е называестя системой представления (с.п.) в Е , если со для любого элемента {iE. существует ряд Лс^Хц к=1 такой, что н-i скхл^о. к=\

Определение 0.21. Система элементов -j X*] сепарабельного F-пространства E(£.,IHl) называется полной си стемой в Е: , если для любого элемента -f^E ,произвольного £>о

1 W\ существует сумма Z. С*Хк , такая, что

-X c<xKii < е.

Важным естественным обобщением пространств JL» р > 4 ^ Р < 00, являются классы и пространства Орлича [79 - 80 J . Основные свойства этих классов и пространств достаточно подробно изложены в работах [81 - 83] , где также указана обширная литерату -ра по этому вопросу. Идеальные пространства рассмотрены в

126].

В 1958 г. С.Мазур и В.Орлич [84] предложили более общий класс пространств , содержащий пространства Орлича.

Эти исследования были продолжены

W.Orlcci , МЛа{ц

S IZ.WSKQ

85 - 89] и другими польскими математиками. Наиболее обще эти исследования изложены в работе Ж.Мушелака [8l] и С.Роле -вича [82] , где приводится достаточно полно литература по этим вопросам. Определим эти пространства и приведем их основные свойства.

Пусть Ф - совокупность четных, конечных, неубывающих на полупрямой t0,00) функций ф таких, что ft.W\ if [I) = do

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что для функции iр выполнены следующие условия: ip№>0 U>o), 1р(о) = 0, ^€Cto,oo). (0.2)

Пусть (ТД, /м) - пространство с мерой [81, 90] , то есть "Т - непустое множество, X - некоторая <s~- алгебра его подмножеств и /U - полная, неравная тождественно нулю, сепарабельная, С'- конечная мера. Говорят, что (Т,-пространство с непрерывной мерой, если в нем нет атомов (см. l90l , стр. 58; , стр. 335).

Всюду в дальнейшем мы полагаем, что 9

Т= \ (сЦ&Т J э i , - 00Q< (> 00 ,

В дальнейшем будем предполагать, что для if> выполнено условие (0.2).

Через будем обозначать множество всех тех fl\ - измеримых на множестве *Т функций .J(-t) , для которых

Если и ^(t) принадлежат классу , то величину условно назовем ^-расстоянием между -f и <j хотя, вообще говоря, ^ не определяет во множестве ip{L) обычное расстояние, удовлетворяющее известным трем аксиомам метрического пространства.

Последовательность функций | из класса ^ N называется сходящейся по ^-расстоянию к функции -f^^fl*), если для vuto0j при некотором и0 е и

Класс в общем случае не является линейным. Если класс

V-p(L) пополнить по линейности, то получим множество в котором можно ввести квазинорму ( - норму) элементов с по -мощью функционала

Ч \u>o: у (± )dju <. а |, так, что замыкание по Ц>-норме станет F- пространством. Замыкание по ^-норме будем обозначать символом V^(lv). В этом случае из сходимости по ^-норме следует сходимость по f-рассто янию для элементов из класса Ц> (L) [8l] .

В общем случае включение fL) С. to не имеет места, так как для всякой измеримой и конечной почти всюду на |(<3,6) } функции найдется такая функция , что -ft^M и потому сумма 2. ^(Ц совпадает с множеством измеримых и конечных почти всюду, на С(,ь) [ функций.

Через Е vp будем обозначать замыкание по Vf - норме множества ограниченных измеримых функций в ^f* ( L).

Определение 0.3. Система элементов J пространства Eif (класса (L) ) называется системой представления (с.п.) в Eip (в классе (L) ), если для любого элемента -f £ Ei? (-f £ ^(L)) существует ряд 21 Ск-f к такой, что v\->eo И^со -Г к=< 1

Г Л 1°°

Система j ^ ^ называется абсолютной системой представления (а.с.п.) в Evj? ( Ц> ( L)) , если существует ряд со

X С-к { к такой, что для него выполнено (*) и к к=< тому же выполнено условие к to* ||Х UK-MIU (fcw Wl МкО^коо). h-»W И->00 т чк=, ' 1 1

Легко видеть, что классы Lp , О < р < (X) , являются частным случаем классов f (L) . При этом функция Ц> li) = , 0< р < оо .

Определение 0.4. Будем говорить, что функция Ц> £ Ф удовлетворяет условию, если

44U) = О j VW} , t-»«.

Определение 0.5. Будем говорить, что функция удовлетворяет СО - условию, если

If (t + i) =: 0 j <Mt)J > -t -» 00.

Очевидно, что если функция f £Ф удовлетворяет Л^- условию, то она удовлетворяет и СО - условию.

Пространство не сепарабельно, если не выполнено

Да. - условие. Класс ^(k) сепарабелен, в смысле топологии определяемой - расстоянием, тогда и только тогда, когда ip удовлетворяет СО - условию [б] .

Пусть .для vp выполнено условие (0.2) и уц является ^ (Г - конечной и сепарабельной мерой. Тогда пространство Ei(> сепарабельно по соответствующей ^ ~ норме [8l] .

Пусть для vp и 0 выполнено условие (0.2) и существуют К, > 0 такие, что

6(4) ^ Kvp^) для ±>t0.

Тогда Vp*(b)ce(l) и Еу С Eq и из сходимости по - норме следует сходимость по 9 - норме 181] .

Определение 0.6. Пусть 0 £ Ф . Если существуют "to, А, В >0 такие, что для всех t%to

Avpit) « 0№ ^ В то функции ^ и 0 назовем эквивалентными и будем обозначать Ц) ^ 0.

Очевидно, что если для ^ и 0 выполнено (0.2) и ! , то Еу =Е©; , = 0 (ь) и сходимость по - норме эквивалентна сходимости по & - норме [311 Оказывается, что в условии (0.2) требование, что £ С[0,оо) можно ослабить. Получена

ТЕОРЕМА 0.1 Ш.Л.Ульянов [б] ). Пусть у £ Ф, Vp(f)>0. Тогда, чтобы нашлись функция 0£Я? с 0 fcQqeo), для которой необходимо и достаточно существование такой постоянной 50 , что

W+o) ^ гг\ w^r *s (0-3) при всех t Ъ Z.

При определенных ограничениях на Ц> получаем

ТЕОРЕМА 0.2 (Ж.Мушелак [8l] ). Пусть для у выполнено условие (0.2), а уц является Г - конечной^без атомов, мерой. Тогда следующие соотношения эквивалентны: х) v?U) = ;

2) = ip* IL)

3) vp удовлетворяет Aj, - условию;

4) сходимость no ip - расстоянию эквивалентна сходимости по

- норме.

В общем же случае Ец> С (L.) С (Л) • Диссертация состоит из трех глав. Нумерация формул единая. Так, например (3.2.1) означает I формулу 2 параграфа 3 главы, а номер (0.1) обозначает формулу I введения. Аналогичная, но своя нумерация принята для теорем, лемм, замечаний и следствий. В первой главе рассматриваются системы функций J из пространств Lp, 1 ^ р < DQ , и Ецэ для которых i

I Ф О , И. = 1,2.,. . а

В этом направлении получены следующие основные результаты. Предположим, что функциональная система j Ш | С Lp О» удовлетворяет следующим свойствам: где = j |Qpp Ili)~ АVI/(t)Bp : /itR,Qcra,6){.

Если £>0 такое, что £ = <Г'< 1 , то существуют U

Avi^'R , Qw=- Lal , ] , такие, что

ЮП ЛК^;] =0, ^j, (0.5) и к тому же sup 4 б"1 < 1 .

V\

Пусть система Удовлетворяет также следующему свойству:

00

Vл/€// w*s(Cал)\ \) Q* - = 0. (О.б)

1 V\=r Л/ '

Пусть = } Qth ] }

Обозначим = 5ирр\Ц = j t: %(t)^of.

Пусть dlvl/J-^O.h-^w, (0.7)

Пусть

В**sup\!}£(<>,6): Vi>o

Обозначим

ТЕОРЕМА I.I.I. Предположим, что система с U (А О, -оо*а< удовлетворяет свойству (0.5) и произвольный ограниченный интервал покрывается в смысле Витали семейством | . Тогда для произвольного Л/€система 1 ^^-л/ является системой представления в L\(Q){>). ТЕОРЕМА I.I.2. Пусть система

Wv^v с -оо^ск i & р< оо, удовлетворяет следующим условиям: к —^ оо , |Як1 -ф О , и где

AtR}.

Тогда для произвольного A/GAS система J ^ явля ется системой представления в £>) , тогда и только тогда, когда выполнено условие: VA/ZJV М$\(аЛ)\0 ,01*1=0. v\=V J

Следствием из теоремы I.I.I. является

TE0FEMA 0.3 [52] Пусть Y £ L ( R$)? Тогда система функций

WUH - 0} (i fe Rs) u2s stiV, является системой представления в Ь1 ( R ) •

Изложенные выше результаты могут быть использованы в много-масштабирующей t Vv\U"?"tlresofu"tiov») аппроксимации. Следуя S. M(klla{ [50] мы скажем, что последовательность замкнутых подпространств МП формирует многомасштабирую-щую аппроксимацию в ^(R5) , если выполнены следующие уело -вия:

Ш VjcVjH VjfeZ; fU) ft Vj=> Vj \/jt 2 ,<*eZs;

Rj) ft Vj <=> -fCb-) € Vj+i •

R^) Имеется изоморфизм из Vo > который коммутирует с операторами сдвига.

Rs) A Vj - |о};

R Ь) U V; ■ плотно в Lp(RS). В работе

R.-Q. 1 lq и С.М есс btth I109] рассматрива ются следующие функции. Пусть ф функция определена на R , пусть X 4 I

Тогда ф° является I - периодической функцией. Определим

W).

Для 1 4 Р 4 00 пусть cC^R*)-' линейное прост -ранство всех функций ф для которых |ф 1р <• оо . Пространство с нормой I - \р становится Банаховым пространст вом.

Очевидно, что Ц <М\р < | и оСр о Lp.

В работе jl09] ? в частности,получена

ТЕОРЕМА 0.4.(3tQ,iLltcclie tfi [l09]) . Если <р £ с£р 1 £ р ^ оо) и ZL - 1 , то для любой функции ^ ^ Lp ;

L с(к u) (IT1- -o()|L^0; где ац (^rf): = ^ I twdx =r J

Теорема 0.4 устанавливает свойство (R6) , где Vo является образом в /ор при отображении d>—I. cf,(.-d)du), daf[2S), фе оСр

Vj=<HV.) , ГА* = {(i1-) для ^ , onределенных на RS.

Легко видеть, что теорема 0.4 является частным случаем теоремы I.I.I для пространства (RS) при установлении полноты системы j f^ J В

В параграфе I.I. рассматриваются также системы представления в смысле сходимости почти всюду. Следуя А.А.Талаляну [2l] , дадим

Определение 0.7. Система функций j ^ ^ называется системой представления в смысле сходимости почти всюду в Eip > если Для любой функции -f £ Ец> существует ряд °°

Qv. который сходится к почти всюду на ПГ .

Получена

ТЕОРЕМА I.I.I1. Предположим, что система удовлетворяет свойству (0.5) и множество покрывается в смысле Витали семейством j Qvi 1 Тогда для произвольного Л/t tJ система

00 является системой представления в Li (сцб) .

В параграфе 1.2 приводятся примеры, которые показывают, что условия в теореме I.I.I важны.

- i<3

В параграфе 1.3 рассматриваются системы (0.1) со специальными ограничениями на образующую функцию ^ (-i) . Получены

ТЕОРЕМА I.3.I. Пусть Т= ЮД] ; /Ц К) = i .

Л 1 OQ

Для того чтобы подсистема | J £ { системы (1.3.1) была абсолютной системой представления в Е ц> , необходимо и достаточно, чтобы

Vt>0, V А/6 Д/ 2ун\>Л/\

W\

ШЬ ft: X. % U) tO ] >!-£. 1 is л/

ТЕОРЕМА 1.3.2. Для того, чтобы подсистема | Ч^ | системы (1.3.1) была системой представления в 3 (0,1) в смысле сходимости почти всюду} необходимо и достаточно^ чтобы о , V Л/ € д/ Л м > л/:

Vv\

6-Л/ J

Во второй главе рассматриваются системы функций ^н(Х) из пространств JLp и Е для которых

1 -k 1-0 dU ^ 0 , и. = . о У

В этом направлении для пространств Lp(oJi)) о< р< 1, получены

ТЕОРЕМА 2.1Л. Предположим, что система

0<p<i, удовлетворяет условии)

2.1.3) и произвольный огра ниченный интервал ( С ,d) с(а,£) покрывается в смысле Витали семейством | оо

Тогда для произвольного N £ Jh/ система | ^ j

00

А/ является системой представления в Lp > 0< р< 4.

Как следствие из этой теоремы получаем

Следствие 2.1 Л. (Теорема I в) см. [52] ).

Пусть У £ U (ОД) } (1 Vp (1^ ф О и Ч7 равна нулю вне

0,1). Тогда j % ц, \ является системой представления в Lp(O.I) , 0< р <1.

Во втором параграфе рассматриваются возмущения системы Хаара в пространстве J^ (0,1)

Этот результат анонсировался автором в работах [ПО, I2l], Рассмотрим систему Хаара в следующем виде. Пусть

Л/1 /I L +1 \

W = +i , -fc t {T*'lF)-> • [i.) ^ 0 , в остальных точках, i= 0,1,., , (t) = 1.

Получена

ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть | } V { Ч* ] , L-O,^,.,^-^, система функций из Ц,(0,1) такая, что ui 11 x:u)- До Yo° (t) Hi = Го, ц nXw- LvUuWi^ С ,

Если

Г* = < 1 , где (Г* = HftQX { С J , VL=U>. , т система { (t) ] \J j ^U)} = 0,2.,., Я*1-2 , является полной системой в Li (Oji).

В параграфе 2.3 рассматриваются системы функций,получающиеся сжатиями и сдвигами одной функции^при условии, что интеграл от образующей функции равен нулю.

Получена

ТЕОРЕМА 2.3.3. Пусть [0,1] ; уцК) = I , =0 и U ) вогнута на [ О 00).

Пусть функция V|/(i) £ С [о, 1] , vncs vp(t)= где | Wwx , = K=p-*>o, i€.lo,i] i

1 VUMt = о, ч'К) = о (t i [o,i]). о '

Для того чтобы подсистема j V ^ системы

1 Vh jyU^-t-K) J , 4 = 1,1,., к-- 0,1. была системой представления в Е Ц> необходимо и достаточно, чтобы

Ve>o , V л/€ А/ 3 w\> л/:

W\ l^es U: Z. 1%, U)\ *ol> 1-Е . 1 j

В четвертом параграфе приводится пример неполной ортонор-мированной системы, получающейся из сжатий и сдвигов одной функции. Образующей функцией для такой системы является в остальных точках.

В третьей главе рассматриваются общие свойства систем представления в пространствах Е ^ .

В первом параграфе показывается в каких пространствах £ ip нет линейных непрерывных ненулевых функционалов. Получены

ТЕОРЕМА 3.1.1. Для того чтобы в пространстве Ец> с непрерывной мерой /U = /U(^), ty = ( ^и.) , существовали линейные непрерывные ненулевые функционалы, необ -ходимо и достаточно, чтобы и Ш >0.

4- no "t

0.

ТЕОРЕМА 3.1.3. Пусть fa uw\ " ^ - - О .

Тогда. если

- система представления в Е ip с непрерывной мерой, то и система .для любого фиксированного А/£ /У , также является системой представления в Е \р.

В случае, если мера Лебега-Стильтьеса раз рывна, то имеем ZH —

ТЕОРЕМА 3.1.5. Пусть T-(0,i). Пусть мера Лебега-Стильтьеса разрывна в конечном числе точек <>i<--< & - ^ ^ Co,i>, . с ч Ф Ы)

Пусть Uw —j— = 0 • Тогда общий вид линейных непреt->oo ь рывных ненулевых функционалов в Еф следующий: Vv f(X) = Z Х^) <*■<", с/к} « R\

К— (

В параграфе 3.2. рассматриваются общие свойства систем представления в пространствах Evp , в которых нет линейных непрерывных ненулевых функционалов. Получены

ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть Т= -j ( а, 6) ^ t>Q 4 Q< i £ + (Х) . Пусть мера /и - непрерывная мера. Для того чтобы система элементов | пространства с h W) А

Uw> г— - О } была системой представления в этом про--fc-хя странстве, необходимо и достаточно, чтобы для произвольных

-f(^) £ Eip , натурального числа А/ и положитель ного числа £>0 существовала линейная комбинация

W\

Л M* 1ч) , к- Л/Н а удовлетворяющая условиям:

Vf\

III - X L <t ;

Ivp

K=/V+< T

Vu

II Z 4* L $ с* |Ц I /\Al ^ к ^ w\} T где C^ - постоянная, зависящая только от vp.

Так как в случае vf (t) = |i|p } о < р< ± } условие UW —— - Q выполнено, то для пространств

-Ь-Ъ 60 ^

Lp> о'< р< 4- » имеем

Следствие 3.2.1. Пусть ~Т*= •[ (tf, j ,

- ЪО 40 < & 4 Ч- 00 ^ k. £ т Пусть уц - непрерывная мера. Для того чтобы система элементов j (ij) ^ пространства Lyu(T) , О < р < 4. , была системой представления в этом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы для произвольных ^ L)u (Т) } 0< р < i > натурального числа /V и положительного числа £ >О существовала линейная комбинация

W\

С к -fv< > Л/ удовлетворяющая условиям:

Ili-Z к=/\/+{ г

И/

112. L 4 Ср )| j L У-fi ^Vt ^

K=/\/-M г ' где С- p - постоянная, зависящая только от р .

В параграфе 3.3. устанавливается при каких условиях система представления в одном пространстве является системой пред -ставления в других пространствах.

Получены

ТЕОРЕМА 3.3.2. Пусть Т= |(0,i)h] . Пусть |Ц - непрерывная мера. Пусть у у vy £ ^ ,

М* Н) < Ч7 (-t) • Для всех i >, i0 > О , где р. Ф К) to - некоторое число, И uw\ —т— ~ 0 • Если

1 "" система представления в Ef , то j ^(у) является системой представления в Eif.

Для пространств 1*р следствием является Следствие 3.3.1. Пусть - непрерывная мера.

Если . j система представления в пространстве l?/w \ (М* \ , 0< %< W , * k А/ > ™ j *f< является также системой представления в пространствах Lju ^ (0,l) | ?0<чр<1 7 р ^ fy , k t

В параграфе 3.4. рассматривается более общая система, чем система Хаара, в пространствах Ец) без линейных непрерывных ненулевых функционалов. Получены

ТЕОРЕМА 3.4.2. Пусть Uw\ ^^ = О , Т = [О, l) , boo ^ yUU) ~ ^ » Для V выполнено условие (0.2).

Тогда для того чтобы подсистема j | системы

3.4.3) - (3.4.4) была системой представления в Е^ необхо -димо и достаточно, чтобы zx —

Vt>0 ,V/\/€ N Л Л/ такое, что

Va

W\e5 11: Z Ke J >d-£. e=/V I . л oO

ТЕОРЕМА 3.4.4. Для того чтобы подсистема ] Ц/ I 1 системы (3.4.3) - (3.4.4) была системой представления в про -странстве 5(0,1) в смысле сходимости по мере, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

Vt >0 V л/£ // 3 W\ > а/ такое, что

VY\ ws Z. Фо } > i-г .

1 L- л/ L J

В параграфе 3.5. рассматриваются системы представления в пространстве 5(0,i) в смысле сходимости по мере.

Получены

ТЕОРЕМА 3.5.1. Пусть УН) € U (o,L) и ^ || ^ = ^ ф О , f К) = 0 (t 4 ( 0;l)j . Тогда система является системой представления в i) , пространстве почти всюду конечных измеримых на (0,1) функций, в смысле сходимости по мере.

ТЕОРЕМА 3.5.2. Предположим, что система Уи ^Vie/У ^ (0,1 удовлетворяет условию

2.1.3) и множество (0,1) покрывается в смысле Витали семейством -1 Qv, • Тогда для

1 JK=1 сО произвольного Л/ £ Ж/ система I Уи ] является

I и J системой представления в о (ОД) .

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Филиппов, Вадим Иванович, 2002 год

1. Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. ГИТТЛ, Москва-Ленинград. 1951.

2. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и механика. -М.: Наука, 1985.

3. Меньшов Д.Е. Зцг la re present a Uovt dtSfoKC-tCovxS vv\esura^{es par series trC^owovv\tirc^ue // Мат. сб. 1941. № 9. C.667-692.

4. Меньшов Д.Е. О сходимости по мере тригонометрических рядов// Тр. матем. инст. им. В.А.Стеклова. 1950. Т. 32. С.1-98.

5. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

6. Ульянов П.Л. Представление функций рядами и классы // УМН. 1972. Т. 27. В.2 (164). С.3-52.

7. Ульянов П.Л. Представление функций класса рядами // Труды МИАН СССР. 1971. Т. 112. С.372-384.

8. Ульянов П.Л. Замечание о сходимости в среднем // Матем.за -метки. 1977. Т. 21. № б. С.807-816.

9. Ульянов П.Л. 0 некоторых аппроксимативных и топологических свойствах пространства функций НЧ k) // ДАН СССР. 1972. Т.203. № 3. С.534-536.

10. Ульянов П.Л. О некоторых свойствах рядов по системе Шауде-ра // Матем. заметки. 1970. Т. 7. № 4. С.431-442.

11. Ульянов П.Л. О некоторых свойствах пространства функций if(Lj // ДАН СССР. 1974. Т. 216. № 2. C.278-28I.

12. Ульянов П.Л. О метризуемости одного топологического пространства // ДАН СССР. 1977. Т. 234. № 4. С.768-771.

13. Ульянов П.JI. О различных видах сходимости в классах м) // Труды МИ АН СССР. 1975. Т. 134. С.327-352.

14. Ульянов П.Л. О счетной базе и сопряженном классе одного топологического пространства // матем. сб. 1976. Т. 100. № I. С.14-36.

15. Талалян А.А. Представление измеримых функций рдцами по функциям системы Шаудера // Изв. АН Арм. ССР, сер. матем.1959. Т. 12. № 3. С.3-14.

16. Талалян А.А. О сходимости и суммируемости почти всюду об -щих ортогональных рццов // Изв. АН Арм. ССР, сер. матем.1960. Т. 13. № 2. C.3I-60.

17. Талалян А.А. Представление функций классов Lp0,l. ,0< р < 1, ортогональными рядами // Лс±с\ vv\aH. Acad. Set. Wv^. 1970. Т. 21. »» 1-2. P. 1-9.

18. Талалян А.А. О системах, рдды по которым представляют лю -бые измеримые функции // Матем. сб. 1968. Т. 76 (118).С. 39-51.

19. Талалян А.А. О существовании нуль-рдцов по некоторым системам функций // Матем. заметки. 1969. Т. 5. В. I. С.3-12.

20. Талалян А.А. О системах функций, ряды по которым представляют в метрике LptO,i. функции пространства L^lo.i] ,i 4 р ^ О/ // Изв. АН СССР. 1968. Т. 3. №№ 4-5. С.327.357.

21. Талалян А.А. Об аппроксимационных свойствах некоторых не -полных систем // Матем. сб. 1981. Т. 115 (157). В. 4.С. 499-541.

22. Кашин B.C. О некоторых свойствах пространства тригонометрических полиномов с равномерной нормой // 1980. Труды МИ АН. Т. 145. C.III-II6.

23. Кашин Б.С. О некоторых свойствах функциональных и ортого -нальных рядов (кавд. диссерт.). М.: МИ АН. 1976.

24. Кашин Б.С. О коэффициентах разложения одного класса функций по полным системам // Сибир. Мат. Журн. 1977. Т. 18. № I. C.I22-I3I.

25. Кашин Б.С., Саакян А.А.Ортогональные ряды. М.: Наука. 1984.

26. Конягин С.В. О пределах неопределенности тригонометрических рядов // Матем. заметки. 1988. Т. 44. № 6. С.770-784.

27. Иванов В.И. Представление измеримых функций кратными тригонометрическими рядами // ДАН СССР. 1981. Т. 259. № 2.С. 279-282.

28. Иванов В.И. Представление функций рядами в метрических симметричных пространствах без линейных функционалов // ДАН СССР. 1986. Т. 289. № 3. С.532-535.

29. Иванов В.И. Представление функций рддами в метрических симметричных пространствах без линейных функционалов // Труды МИ АН. 1989. Т. 189. С.34-77.

30. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1976.

31. Леонтьев А.Ф. Последовательность полиномов из экспонент.-М.: Наука. 1980.

32. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Изв. АН СССР, сер. матем. 1978. Т. 42. С.325-355.

33. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // УМН. 1981. Т. 36. В. I (27). С.73-126.

34. Освальд П. Ряды Фурье и сопряженная функция в ( L) // AmtySH JUaiU . 1982. №8. P. 287-303.

35. Oswafd P. тНег die Kon^ergewi von. Haar-RecKen Ы // Preprint Til SrestUn. OV^S.ma.

36. OsVaCd P. ULr комсгуенг iron orUogowafcrdikenж if(L-) Ц Wbss. 2tlUскг. ТЦ Dresden. Ш1. л/30, p. ньнз.

37. Oswald P. On sovwe covw/ergence propertieso-f Haar- Fourier series in tke c2a SS£ S 4>(l) //Acta ШЗ. T. . л/л/З-Ч.Р. Ш-293.38. i£>ctu£ecUes I. Теи &.ctures on u/av/e£etsSIATU. PkiMefcptua . mi.

38. PapoufisA. Sijuag ana sis. JUtGRAW-HILL BOOK С0МРАЮ. Singapore. </926.

39. С U ul C.K. Wave Ills: A Malh e py» a iica г Тооб |or Sdjnafc ProtdSsUj. eiAM.Phihddphti-Mel

40. V/ivwdic Iw*ajje Random Fieldsav\d S^namic JUonte Carto AlethocU. Springer-Vfcrfoj.bereivu HcldeWerj .

41. G-renander M. Lectures on pattern tkeonj (3vo0s).SprCh^er. Шск HeideM*^ A/ew

42. Schur^ann M6a$ar- £ro^(?u C., Ba$ar 6. frawNvna responses си tke £ E tltv^ih tqrj signals wtiK vnuHcpte |ukcttoK.a£ correlates ЦЛ/euro Report. <99?. //J . P. ШЗ-ИЗб.

43. ScUurmaun At. > 6a$ar-£rocj£u C., Ba$ctr £. Evoked EEG a^pka ostii&xliokb in ike cat IraLvi a corre^aie o{ primary sensory processing ?// Л/euro science Letters. 2. V. W .

44. XlUaskar H. Л/., cmd Preston 1 0 к choice. o|Sav^p^hj no<te£> -for opUma? appro-XLtoattoit, of si^oolk functions genera ЕСгг<{ irahsEatcon,networks//Ш?. Arte{dccaC A/tural A/ctworKs,Conference. Pu^fccaitow. л/ЧЧО ,IEE . PHO-US,

45. B>o or С. } jD^Vorc R.A., qy\c( Ron A. JippoxLVAQt£OH, ■froул aU-ft- twa rCant Smispaces of Lx Ц TranS. o{ tKe aуюе r. watK. soctebj. H. V. 3Hi .Л/ . P. ?«- 306.

46. CKul С. K. Ah ^troduticovi to wave his. Acaclev^tc Pr^ss. Boston. 4 99 A.

47. Mattai S. M\xti.Lre£>otu±Lo^ anaa*\o(Trans, УИа-fck Soc. <{<$2 3.)/. US'.P. 69-22.

48. ЛАемег У. Wavtitis a£aorc-tWs owol app&ccvtCons.SI АЛА. PKifcadlelplua: ^993.

49. FcEcppov v. i.^a oswaU p. Rep

50. Lp series o| -translates and diBaie.s o| 0v\e, function // 3. appr -tKeorn, . Ш5". V. П. л/1P. (F-aff.

51. Филиппов В.И. Некоторые вопросы теории функций // 3 Суслин-ская конференция. Саратов. Тез.докл. 1994. С.8-9.

52. Филиппов В.И. Функциональные системы, получающиеся сдвигами и сжатиями одной функции // Тез. докладов Воронежской конференции по современным вопросам теории функций и применениям математики и механики. Воронеж. 1995. С.214-215.

53. Филиппов В.И. Некоторые вопросы классификации всех функциональных систем & L р // Труды конференции по теории• функций и приближений. Махачкала. 1994. С.103-106.

54. Филиппов В.И. 0v\ re prt ьсь -tatCOh SjjS*te^dn // Тезисы докладов 8-й Саратовской зимней школы по современ -ным проблемам теории функций и их приложениям. Саратов. 1996. С. 116.

55. Филиппов В.И. Oh represewtaicovu Lp,o<p<i/f Тезисы докладов международной конференции по теории функ -ций. Калуга. 1996. С.40.

56. Rflppov v. I. Oh sovne. C0Vnp£eic Sy^iewi-к 1ъ Ц Abstracts of Conference,0V\ Spextrat w v^e,dicai Stjhat processonj.GrSF, Л/euWr4erj. C-er^nj. Ш8 . P. 30.

57. Fiecppov \/. I. Ok tKe c.owi ptaichtss and olherproperties of so^e -fuwctlovt S^iei^s in Lp,0<p<oo // 3ourhai of J^pprox. Thtor^ . i 99S.V. 94. P. ЧЗ.-53.

58. Лукашенко Т.П. Всплески на топологических группах // Изв. РАН, серия математическая. 1994. Т. 58. № 3. C.88-I02.

59. Лукашенко Т.П. Система разложения на пространствах с мерой // Изв. РАН, серия математическая. 1996. Т. 60. № I.С.165-174.

60. Лукашенко Т.П. Всплески на топологических группах // ДАН. 1993. Т. 332. № I. С. 15-17.

61. AW w\ow А. ; Qhd (HtvsKll A. Cow\p6e.-tevve.£S о{ LHte^er -trahs£qie£ tv\ •fuwc-tcow spaces ov\ R IIW nal ^ oppr. . < 936. V.S?. P. 2,9b 327.

62. СЛцС C.K., av\c) 5k X. Se.<j,ueKces> and-fravnts II Apptiii a^d co^puxqtConaE U-vnohtc awafysts. 133Ь. V. I. P.

63. СVvuL С. К.,ачс( SlitX. Iht^ua £cfctes o<f Utlfcewood- Pafej for fravnes owdwavelets //SIAM. X ЛЫЬ. ЛпаР. V/. 34 .p. m-m.

64. Kit gore Т., Pres-tivi T, Sett'a K. OrtUoQor\at a^e^raic poC^woiwiaC Schauder lasts o{opiiv*al decree /Iх. Fourier Аьа1. Лрр£.4396.V. 2>U). P. £в}~ 640.

65. РЬика &. Generated Splint Wavelets//Cohstr У?рргох. -(9.96. V. <2. P.

66. Pres-tin T, and Quak E. Tri^ovvovne-tric interpolation,awd wavthi decomposition// /Vuvw. rf&j . 4995". V!p. из-за.

67. Prestlw avid Wig K. On -tKe бгаж i^a-£rcof traws^ates de 6a Vallfo Poussin Kernels// Rostock . /Hath. Kotlo^. ms", V. 43. P. 405"- НЧ.76. £kVW R. A., av\d Loreni^ G. G. Constructive approximation. Spriv^er- Ver£a^. BerEcvt ИеСсW&rg.

68. Lasser R. Iwtroduc/Uon -to Fourier series. Marcef! Йеккег, 1ьс. A/ew Уогк. 1396.

69. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967.79. (Hcci V tlW Rciuvne. UM // Ви К, A cad.Po^ow./sercc A. С га со v Се. /932.

70. Oritc-г V/. Шег eiv\e gewisse, K^asse von Rauweh voh T^pus В / 6u££. Acad. Pofon.,serie A. Cracovie. f932. P. Ш-220.

71. MubLttaK 3. 0r^ic2. spaces a*d moWqr spaces. Spriv^cr-Ver£aj. Berfow.HeideWer^. 435b. V.4054.

72. Ro£ewic2. S. «/Uetrcc spaced. Waszawa. i<3U.

73. Красносельский М.А., ^утицкий Я.В. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз. 1958.

74. Магиг S. ,av\di Огйаг V. Ои, so mi cEa&ses o{ iiwarwitiric spaces / Studca ЛЫК. 1353. V.

75. JUaius^ewsKa У., av4 OrEccz. V. A vvote ovt tW "tVieor^ o| s-viorvvied spaces» o{ Mt «/икс-bcohs //S-Mia AUtk. 1961. Л/U P. fO?-<M5.

76. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1977.

77. Олевский A.M. Об устойчивости оператора ортогонализации Шмидта // Изв. АН СССР, сер. матем. 1970. Т. 34. С.803-826.

78. Крейн М., Мильман Д., Рутман М. Об одном свойстве базиса в пространстве Банаха // Записки матем. т-ва. Харьков. 1940. Т. 16. № 4. С.106-108.

79. Качмаж С. и Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз. 1958.

80. Кротов В.Г. О рядах по системе Фабера-Шаудера и по базисам пространства С С 0,1. // Матем. заметки. 1973. Т. 34. № 2. С. 185-195.

81. Кротов В.Г. Об универсальных рядах Фурье по системе Фабе -ра-Шаудера // Вестник МГУ, сер. матем. 1975. № 4. С.53-57.

82. Данфорд H., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИИЛ. 1962.

83. Кашин Б.С., Темляков В.Н. О наилучших vn членных приближениях и энергии множеств в пространстве L // Матем. заметки. 1995. Т. 56. № 5. С.57-86.

84. Слепченко А.Н. О некоторых обобщениях базисов банаховых пространств // Матем. сб. 1983. Т. 121. № 2. С.272-285.

85. Филиппов В. И. Критерий существования линейных непрерыв -ных ненулевых функционалов и неединственность представления в пространствах Ец> // Труды 3-й Саратовской зимней школы по теории функций и приближений. Саратов. 1986.Ч. 3. С.74-76.

86. Филиппов В. И. О подсистемах системы Хаара в пространствах Ei? с. tcw\ = 0 //Матем. заметки. 1992. Т. 51.t-»oo tВ. 6. С. 97-106.

87. Филиппов В.И. 0 подсистемах системы Фабера-Шаудера в функциональных пространствах // Изв. ВУЗов. Математика. 1991. № 2. С.78-85.

88. Филиппов В.И. Свойство систем представления в пространствах в которых нет линейных непрерывных ненулевых функционалов // Тезисы докладов всесоюзной школы-конференции о современных проблемах теории функций. Баку. 1989. С. 104105.

89. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е. и Полна Г. Неравенства. М.: ГИИЛ. 1948.

90. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 5 изд. 1981.

91. Габег UUr clce Ortkojoha£|uhkiconen dt%\{aar//Wes(сг. MaiV. Vtr. <9^10. V49. SMOWU.

92. ScWuder X 2ur Theoriesieiicjer ./ШсЫии^еи in Fuvikiiowalrauvntw //Maih. {ПЬл/ZG. S. 6b"

93. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция ли -нейных операторов. М.: Наука. 1978.

94. Толстое Г.П. Мера и интеграл. М.: Наука. 1976.119. £)е ВоогС. A practical guide *to Splines. SpringerVer^aj. Л/ew %гк. fg?S.

95. Price S.1., cu\ol "Eihk R. Ои se is ^j? сo^plzkheesfor |awu£ces К a ar (unctions //Trans. MaiU. Sec. /965". V. ^g. л/й. P. Ш-Ш.

96. Филиппов В.И. О сильных возмущениях системы Хаара в пространстве Li //Матем. заметки. бб.- 6. Ч~ C.S36-602.

97. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир. 1969.

98. Теляковский С. А. Условия интегрируемости тригонометрических рядов и их приложения к изучению линейных методов суммирования рядов Фурье // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28. С.1209-1236.т

99. Теляковский С.А. Об одном достаточном условии Сидона интегрируемости тригонометрических рядов// Матем. заметки. 1973. Т. 14. С. 317-328.

100. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. М. Наука. 1987.

101. Бережной Е.И. Точные оценки операторов на конусах в идеальных пространствах// Тр. МИРАН. 1993. Т. 204. С. 3-34.

102. Филиппов В.И. Системы функций, получающиеся сжатиями и сдвигами одной функции, в пространствах Ev с lim*-+co ^ = 0 // Изв. РАН, сер. матем.2001. Т. 65. N 2. С. 187-200.

103. Filippov V.I. P.L. Ul'yanov's problem on representation by series on arbitrary function systems in the classes <p(L)/f Book of abstracts of international conferencc "Differential Equations and Related Topics". Moscow, May 22-27, 2001. P. 130.

104. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2// Матем. заметки. 1967. Т. 2. N 5. С. 513-522.

105. Арестов В.В. О некоторых экстремальных задачах для дифференцируемыхmфункций одной переменной// Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 3-28.

106. Бердышев В.И., Нетрак Л.В. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения. Екатеринбург. УрО РАН. 1999.

107. Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Всплески в пространствах гармонических функций// Изв. РАН, сер. матем. 2000. Т. 64. N 1. С. 14-5-174.

108. Бочкарев С.В. Построение интерполяционного диадического базиса в пространстве непрерывных функций на основе ядер Фейера// Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 172. С. 29-59.

109. Strelkov N.A. Z^-spline-trigonometrical bases// Тезисы докладов международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ". Тула. 26-29 мая 1998. С. 294-295.

110. Strelkov N.A. Wavelets arid widths// Тезисы докладов международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" посвященной 90-летию академика С.М. Никольского. Москва. 27 апреля 3 мая 1995. С. 364-365.

111. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков// Фунд. и прикладная математика. 1997. Т. 3. В. 4. С. 999-1028.

112. Бадков В.М. Аппроксимативные свойства рядов Фурье по ортогональным полиномам// УМН. 1978. Т. 33. В. 4. (202). С. 51-106.

113. Седлецкий A.M. Аппроксимативные свойства систем экспонент в 6)// Диф. уравнения. 1995. Т. 31. N 10. С. 1675-1681.

114. Родин В.А. Тензорное ВМО-свойство последовательности частных сумм кратного ряда Фурье// Мат. сб. 1993. Т. 184. N 10. С. 91-106.

115. Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных иинтегральных операторов// Мат. сб. 1981. Т. 114(156). N 3. С.378-405. *

116. Antonov N.Yu. Convergence of Fourier series// East Journal of Approximations. 1996. V.Z. Л/2. P, Шm

117. Бесов O.B., Ильин В.П. и Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М. "Наука". 1975.

118. Филиппов В.И. Линейные непрерывные функционалы и представление функций рядами в пространствах Е9Ц Annalysis Mathematica. 2001. Т. 27.С. 2.53— 260.