Геометрия квазикосимплектических многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Валеев, Руслан Рунарович

• Валеев, Руслан Рунарович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Валеев, Руслан Рунарович

Введение.

Глава 1. Квазикосимплектические многообразия.

§1. Почти контактные метрические структуры.

§2. ^Су-структура и ее структурные уравнения.

§3. Некоторые характеризации класса gCs-многообразий.

§4. Вычисление некоторых классических тензоров (gCs-многообразий в А-репере.

1. Тензор Римана-Кристоффеля.

2. Тензор Риччи.

3. Скалярная кривизна.

§5. Тождества кривизны для ^С^-многообразий.

Глава 2. Псевдокосимплектические многообразия.

§1. Определение PCs-многообразий.

§2. Структурные уравнения PCs'-многообразий.

§3. Вычисление некоторых классических тензоров PCs-многообразий в Арепере.

Глава 3. Постоянство типа PCs-многообразий.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия квазикосимплектических многообразий»

Актуальность темы. Многообразия, которым посвящена настоящая работа, принадлежат классу многообразий, наделенных почти контактной метрической структурой. Почти контактные метрические структуры составляют один из наиболее содержательных примеров дифференциально-геометрических структур. Их теория является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в классической и квантовой механике, в теории геометрического квантования. Кроме того, интерес к теории почти контактных метрических структур объясняется богатством внутреннего содержания самой теории и ее взаимосвязями с другими разделами дифференциальной геометрии, в частности, с теорией гиперповерхностей ри-манова многообразия.

Уже около пятидесяти лет почти контактные многообразия являются предметом интенсивного исследования ученых-геометров. Изучение этого типа многообразий с точки зрения их дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ Чженя (Chern S.-S.) [1], Дж. Грея (Gray J. W.) [2], Сасаки (Sasaki S.) [3]. В 1953 году Чжень обнаружил, что контактное многообразие допускает G-структуру со структурной группой {e}xU(n). Многообразия, допускающие такую структуру, Дж. Грей назвал почти контактными многообразиями. Сасаки заметил [3], что такая (/-структура порождает тройку (Ф, г|), где Ф - тензор типа (1,1), % - вектор, г| - ковек-тор. Эта тройка обладает свойствами: <&2 = -id + Ti<g>$, из которых легко вывести, что:

Ф($) = 0, Л°Ф = О.

Кроме того, исходя из произвольной римановой метрики h на таком многообразии, он построил риманову метрику

X,Y) = h(<&X,<t>Y) + h(02X,02Y) + r](X)r\(r), дополняющую (Ф, rj) до почти контактной метрической структуры.

Почти контактные метрические структуры являются нечетномерным аналогом почти эрмитовых структур, и между этими классами структур существует ряд важных взаимосвязей. Например, почти контактная метрическая структура внутренним образом возникает на гиперповерхностях почти эрмитова многообразия. С другой стороны, если (М,Ф, r|, g) - почти контактное метрическое многообразие, то на многообразии Мх1 канонически индуцируется почти эрмитова структура [4]. Например, как было доказано Кириченко В. Ф. [4], косимплектическое многообразие локально устроено как произведение вещественной прямой на келерово многообразие, точнейше косимплектическое многообразие локально устроено как произведение вещественной прямой на приближенно келерово многообразие.

Изучение взаимосвязи между классами почти контактных метрических и почти эрмитовых структур позволяет выделить новые интересные классы почти контактных метрических структур. Так, например, Оубинья (Oubina J. А.) в 1981 г. в своем докладе «А classification for almost contact structures» на конференции «VIII Jornadas Luso-Espanholas de Matematica» (Коимбра, Португалия) выделил новый класс структур, которые назвал квази-К-косимплектическими структурами. Он определил этот класс структур как линейное расширение квазикелеровых структур. Более того, он доказал, что, если М- почти эрмитово многообразие, то многообразие М х R будет квази-ЯГ-косимплектическим тогда и только тогда, когда М является квазикелеровым. Оубинья также доказал, что этот класс структур характеризуется тождеством

Vx(0)Y + УФА,(Ф)ФУ = лО^фЛ vx,Y <= Х(М), которое позднее возьмут за определение Чинея (Chinea D.) [5] и Капурси (Capursi М.) [6]. В данной работе это тождество также принято за определение. В 1984 году Чинея изучал римановы субмерсии данного класса многообразий. Капурси в 1987 г. назвал этот класс квазикосимплектическими структурами. В статье [6] Капурси показал, что классы почти косимплектических, точнейше косимплектических и косимплектических многообразий являются подклассами класса квазикосимплектических многообразий. Кроме того, он привел пример квазикосимплектических многообразий, отличных от почти косимплектических и точнейше косимплектических многообразий. Капурси показал, что произведение двух почти контактных метрических структур является квазикелеровой структурой тогда и только тогда, когда эти структуры являются квазикосимплектическими. Он также рассматривал инвариантные подмногообразия квазикосимплектических многообразий. В дальнейшем изучение квазикосимплектических многообразий вышло из поля зрения ведущих геометров, во всяком случае, в печати не появлялись работы, посвященные изучению этих многообразий. Поэтому представляет интерес изучить более детально дифференциально-геометрические свойства данного класса многообразий и его подклассов.

Цель диссертационной работы. Состоит в изучении дифференциально-геометрических свойств класса квазикосимплектических (короче, QCs-) многообразий и его подклассов.

Основные задачи. В соответствии с целью выделим следующие задачи нашего исследования:

1. Получить структурные уравнения квазикосимплектических многообразий и на их основе вычислить выражение классических тензоров этих многообразий в специализированном репере.

2. Изучить некоторые аспекты геометрии класса квазикосимплектических многообразий, выделить его подклассы: класс псевдокосимплектических (короче, PCs-) и класс строго псевдокосимплектических (короче, SPCs-) многообразий. Исследовать свойства многообразий этих классов.

3. Изучить свойства постоянства типа псевдокосимплектических многообразий.

Новизна результатов. Результаты, полученные в процессе решения поставленных задач, являются новыми. Выделим основные из них:

1. Выделены подклассы класса квазикосимплектических многообразий: класс псевдокосимплектических и класс строго псевдокосимплектических многообразий. Получена полная группа структурных уравнений QCs-, PCs- и SPCs-многообразий и исследованы их свойства.

2. Получены некоторые соотношения между классом квазикосимплектических многообразий и другими классами почти контактных метрических многообразий.

3. Найдены условия, при которых почти контактная метрическая структура, индуцированная на гиперповерхности квазикелерова многообразия, будет квазикосимплектической структурой.

4. Доказано, что псевдокосимплектические структуры индуцируются на ^Су-гиперповерхностях приближенно келерова многообразия, а строго псевдокосимплектические структуры - на £?Сз-гиперповерхностях келерова многообразия.

5. Вычислены компоненты тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи, Вейля квазикосимплектических и псевдокосимплектических многообразий; вычислена скалярная кривизна на пространстве присоединенной G-структуры в терминах структурных тензоров.

6. В терминах структурных тензоров охарактеризованы тождества, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля квазикосимплектических и псевдокосимплектических многообразий. На их основе выделены классы этих многообразий, являющиеся контактными аналогами классов Грея для почти эрмитовых многообразий.

7. Получена исчерпывающая геометрическая характеристика строения псевдокосимплектических многообразий постоянного типа.

Методы исследования. Результаты работы получены систематическим использованием современной версии метода внешних форм Картана - метода присоединенных G-структур. Исследования геометрических свойств ква-зикосимплектических и псевдокосимплектических многообразий проводятся на пространстве некоторой G-структуры, естественным образом присоединенной к многообразиям. По мере необходимости использовались также метод инвариантного исчисления Кошуля [7] и метод присоединенных (2-алгебр [8], [9].

Теоретическое и прикладное значение. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения почти контактных метрических многообразий, в частности квазикосимплектических, псевдокосимплектических и строго псевдокосимплектических многообразий, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и теоретической физике. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов по теории почти контактных метрических структур в высших учебных заведениях.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на заседании научно-исследовательского семинара кафедры геометрии Mill У под руководством доктора физико-математических наук, профессора В. Ф. Кириченко; на Международном геометрическом семинаре «Лаптевские чтения - 2003», г. Пенза; на Международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 200-летию КГУ и 70-летию НИИ математики и механики КГУ, г. Казань.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 5 публикациях [34] - [38].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих восемь параграфов, и списка литературы. Список литературы содержит 33 наименования работ отечественных и зарубежных авторов. Диссертация изложена на 79 страницах машинописного текста.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Валеев, Руслан Рунарович, 2004 год

1. Chern S.-S. Pseudo-groupes continus infinis 1. Colloque de Geometrie Differentielle, Strasbourg, 1953, p. 119-136.

2. Gray J. W. Some global properties of contact structures II Ann. Math., 69, №2, 1959, p. 421-450.

3. Sasaki S. On dijferentiable manifolds with certain structures which are closely related with almost contact structures II Tohoku Math. J., 12, №3, 1960, p. 459-476.

4. Kiritchenko V. F. Sur la geometrie des varietes approximativement cosymplectiques IIC. R. Acad. Sc. Paris, t. 295. Serie 1, 1982, p. 673-676.

5. Chinea D. Quasi-K-cosymplectic submersions II Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Serie II, Tomo XXXIII, 1984, p. 319-330.

6. Capursi M. Quasi cosymplectic manifolds II Rev. Roumane Math. Pures Appl., 32, 1, 1987, p. 27-35.

7. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: «Мир», 1970.

8. Кириченко В. Ф. Квазиоднородные многообразия и обобщенные почти эрмитовы структуры II Изв. АН СССР, т. 47, №6, 1983, с. 1208-1223.

9. Кириченко В. Ф. К-алгебры и К-пространства постоянного типа с индефинитной метрикой И Мат. заметки, т. 29, №2, 1981, с. 265-278.

10. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М., МПГУ, 2003, 495 с.

11. Yano К., Ishihara S. Almost contact structures induced on hypersurfaces incomplex and almost complex spaces II Kodai Math. Semin. Repts, 1965, 17, №3, p. 222-249.

12. Blair D. E. Contact manifolds in Riemannian geometry. Lecture Notes in Mathematics, 509, Springer-Verlag, Berlin, 1976, p. 146.

13. Кириченко В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий //.Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М., ВИНИТИ, т. 18, 1986, с. 25-71.

14. Кириченко В. Ф. Аксиома Ф -голоморфных плоскостей в контактной геометрии // Известия АН СССР, Сер. Мат., 48, №4, 1984, с. 711-734.

15. Кириченко В. Ф., Рустанов А. Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Мат. сборник, т. 193, №8, 2002, с. 71-100.

16. Chinea D., Marrero J. С. Classification of almost contact metric structures II Rev. roum de math, pures et appl., 37, №3,1992, p. 199-211.

17. Kirichenko V. F. Generalized quasi-Kahlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry II I, Geometriae Dedicata 51, 1984, p. 75-104.

18. Gray A. Minimal varieties and almost Hermitian submanifolds II Michigan Math. J. 12 (1965), p. 273-278.

19. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. М., «Наука», 1981, 414 с.

20. Бишоп Р., Криттенден Р. Дж. Геомтерия многообразий. М.: «Мир», 1967.

21. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М., МГУ, 1980, 439 с.

22. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds II Tohoku Math. J., v. 28, 1976, p. 601-812.

23. Barros M., Ramirez A. Decomposition of quasi-Kahler manifolds which satisfy the first curvature condition II Demonstr. Math. 11, №3, 1978, p. 685-694.

24. Sawaki S. Sekigawa K. Almost Hermitian manifolds with constant holomor-phic sectional curvature II J. of Diff. Geom., v. 9, 1974, p. 123-134.

25. Rizza G. -В. Varietaparakahleriane II Ann. Math, pure and appl., v. 98, № 4, 1974, p. 47-61.

26. Vanhecke L. Some almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature И J. of Diff. Geom., v. 12, № 4, 1977, p. 461-471.

27. Naveira A. Hervella L. M. Quasi-Kahler manifolds II Proc. Amer. Math. Soc. Univ., 49, №2, 1975, p. 327-333.

28. Волкова E. С. О геометрии нормальных многообразий киллингова типа II Деп. в ВИНИТИ РАН, №2111-В96, 1996, 25 с.

29. Степанова JI. В. О контактной геометрии на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий II Смоленский пединститут. Деп. в ВИНИТИ, №1038-В94, 1994,-23 с.

30. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., гос. изд. технико-теоретич. литературы, 1953, 635 с.

31. Кириченко В. Ф. Почти эрмитовы многообразия постоянного типа Н Докл. АН СССР, т. 259, №6, 1981, с. 1293-1297.

32. Gray A. Nearly Kahler manifolds II J. Diff. Geom. 4, №4, 1970, p. 283-309.

33. Кириченко В. Ф. Аксиома голоморфных плоскостей в обобщенной эрмитовой геометрии II Докл. АН СССР, т. 260, №4, 1981, с. 795-799.Публикации автора по теме диссертации

34. Валеев Р. Р., Кириченко В. Ф. О геометрии псевдокосимплектических многообразий И Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования. Юбилейный сборник 70 лет кафедре мат. анализа МПГУ. М.: МПГУ, 2004, с. 220 - 229.

35. Валеев Р. Р. Некоторые примеры квазикосимплектических многообразий II Научные труды МПГУ. Серия: естественные науки. Сборник статей. М.: «Прометей», 2004, с. 48-53.

36. Валеев Р. Р., Рустанов А. Р. О геометрии квазикосимплектических многообразий //Университетский вестник, №3, Смоленск: «Универсум», 2003, с. 12 -19.

37. Валеев Р. Р. Об одном классе квазикосимплектических многообразий II Деп. в ВИНИТИ РАН, №1314-В2004, 2004, 25 с.