О геометрии линейно выпуклых областей и интегральных представлениях в них тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кривоколеско, Вячеслав Павлович

• Кривоколеско, Вячеслав Павлович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кривоколеско, Вячеслав Павлович

л Введение

1 Предварительные сведение Некоторые определения, связанные с понятием линейной выпуклости.

2 Интегральная формула Кошн-Фамтаппье.

2 Линейно выпуклые области с гладкими границами в С"

1 Стягиваемость сечений комплексными прямыми (С-выпуклость).

2 Связь между локальной п глобальной линейной выпуклостью.2!

3 Гомеоморфность шору линейно выпуклых областей с гладкими границами

3 Интегральные представления в ограниченных кусочно-регулярных линейно выпуклых областях в С"

I Смешанные девиат,[ и формулировка основной теоремы об интегральном предоставлении 2 Доказательство теоремы .'5.1.

3 Интегральные представления в линейно выпуклых «-круговых полиэдрах

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О геометрии линейно выпуклых областей и интегральных представлениях в них»

Данная диссертационная работа посвящена описанию геометрических свойств линейно выпуклых областей с гладкими границами и получению интегральных представлений для ограниченных линейно выпуклых областей с кусочно-регулярными границами.

Понятие линейной выпуклости было введено в середине 30-х годов прошлого столетия в работе Генриха Венке (Henrich Belmkc) и Эрнста Пешля (Ernst Peschl) [22] для областей в С2; их цель была построить комплексный аналог выпуклости, в котором роль опорных гиперплоскостей играли бы комплексные гиперплоскости.

Область D С С" называется линейно выпуклой (локально линейной выпуклой), если для каждой точки z0 £ 0D существует комплексно (и — 1)- мерная аналитическая плоскость, проходящая через z0 и не пересекающая D (в некоторой окрестности точки

Для областей D в С2 (или в проективном пространстве) с дважды гладкой границей Бенке и Пещль [22] указали дифференциальное необходимое и отдельно достаточное условие локальной линейной выпуклости в точке zQ G dD, а также доказали, что для таких областей из локальной линейной выпуклости следует и их линейная выпуклость. Линейная выпуклоегь-это понятие, лежащее между понятиями обычной выпуклости и псевдовыпуклости.

Напомним, что свойство выпуклости для областей

D = {х = (xl}. ,хт) : </(х) < 0} С IT с дважды гладкой границей выражается дифференциальным неравенством, а именно положительной определенностью d2g(x) \та — сужения второго дифференциала d2g(x) на касательную гиперплоскость Та в точке а 6 0D. В комплексном пространстве С" = Ргп второй дифференциал (вещественный гессиан) представляется в виде

HR{z]s) = 2(RcH{z,t)+L{z,t)),z 6 С"\ * G R2\t, = s2j.x + is2j, где H(z,t)— это комплексный гессиан a L(z,t,)— форма Леви

Хорошо известно, что псевдовыпуклость области выражается свойством положительной определенности L(z,t) (^-сужения формы Леви на комплексную касательную плоскость в течке a 6 OD. В то же время, как недавно доказал К. Киеельман (C.Kiseliuan) [27], свойство неотрицательноети HK(z,x) [/><■ — сужения формы Hk(z,.s) на комплексные касательные плоскости Т^ в точках a £ 3D характеризует линейную выпуклость области. Здесь также любопытно отметить, что форма Лови (отвечающая за псевдовыпуклость) будет играть существенную роль в интегральных представлениях для линейно выпуклых областей (см. главу 3).

В 60-70-х годах прошлого столетия было продолжено изучение линейно выпуклых областей в С" многими математиками, прежде всего в красноярской школе по комплексному анализу. С одной стороны, глубоко изучалась теория функций в линейно выпуклых областях в статьях Л.А. Айзенберга [1], А. Марти-но (A. Maitiuoau) [29], [30], Л.Я. Макаровой, В.М. Трутнева. С другой стороны, появилась потребность изучения геометрического аспекта понятия линейной выпуклости. В этом направлении ире?кде всего следует отметить результаты

Д.П. Южакова, Ш.А. Даутова, В.А. Степаненко, 13.С. Зиновьева С.С. Знаменского [10], [11] и др. В последнее десятилетие возродился интерес к линейной выпуклости и близкому к нему понятию С-выпуклости в работах скандинавских математиков ( М. Andcrsson, М. Passare, R. Sigurdsson [21]; L. Honnander [25], С. Kiselnum [27] и др.).

В упоминавшейся пионерской статье Бенке и Пешля отмечалось, что существует бесконечное множество топологически различных ограниченных линейно выпуклых областей в Сп(п ^ 2) с негладкой границей. Но, например, вопрос о топологическом типе ограниченных линейно выпуклых областей с гладкой границей оставался открытым многие годы.

Отметим, что для ограниченных линейно выпуклых областей с гладкими границами Л.А. Айзенбергом ([3], формула (8.6)) было нолучено интегральное представление для голоморфных функций с голоморфным ядром. Формула Коши-Фантаппье-Лере позволяет получать удачные интегральные представления в областях с кусочно-гладкой границей. Такие формулы были получены на основе техники, развитой I .M. Хенкиным [17], для строго псевдовыпуклых полиэдров, включающих в себя кусочно-строго псевдовыпуклые области и полиэдры Вейля, и для областей Зигеля, которые являются выпуклыми областями с негладкой границей. Указанная техника предполагает интегрирование по дополнительным параметрам над сингулярными точками границы области, а явно реализовать это интегрирование удается весьма редко. В частности, весьма любопытным является вопрос о возможной реализации интегрирования для линейно выпуклых областей с кусочно-гладкими границами.

Цель диссертации состоит в описании геометрических свойств линейно выпуклых областей с гладкими границами, в частности их топологического типа, и получении интегральных представлений для ограниченных линейно выпуклых областей с кусочно-регулярными границами.

Данная работа состоит из трех глав.

Первая глава носит вспомогательный характер. В первом параграфе этой главы приводятся предварительные сведения о линейно выпуклых областях.

Во втором параграфе изложена интегральная формула Коши-Фантаппье-Лере и ее некоторые детализации для областей с кусочно-гладкими границами.

Основными результатами второй главы являются следующие утверждения, полученные в совместной статье с А.II. Южаковым.

Теорема 2.1. Пусть D С Сп (п ^ 2) ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей, 7- комплексно одномерная плоскость. Если .DPI 7 ф 0, то D П 7 односаязная область 67 с гладкой границей.

Отметим, что в 1968 г. А. Мартино (A. Martiiieciu) [30] ввел понятие сильной линейной выпуклости (fortcmciit lineeleineiit eonvexe.e), для которого в настоящее распространен термин С-выпуклость.

С.В. Знаменским [10], [11] было дано описание класса С-выпуклых множеств: он состоит из таких линейно выпуклых областей или компактов, сечения которых комплексными прямыми ацикличны (в случае областей в С" ацикличность сечения комплексной прямой означает его связность и односвязность).

Со свойствами ацикличности сечений области или компакта комплексными прямыми был связан ряд гипотез, проблем и результатов многомерного комплексного анализа [10], [11], [15], [21], [29], раскрывающих это свойство как естественный комплексный аналог выпуклости. Все это дало основание шведским математикам [21], [25] называть такие множества С-выпуклыми.

В силу теоремы 2.1 ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей С-выпукла.

В упоминавшейся уже статье [30] А. Мартино ввел понятие линейчато выпуклого (liiieelement convexee) множества, у которого через каждую точку его дополнения проходит комплексная гиперплоскость, не задевающая эго множество. За такими множествами в отечественной литературе 70-х годов закрепился термин множеств линейно выпуклых по Мартино.

С.В. Знаменским в [10] было доказано, что С-выпуклые области в Сп являются линейно выпуклыми по Мартино. Из его результатов и теоремы 2.1 следует, что ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей в С" является и линейно выпуклой по Мартино.

Теорема 2.2. Пусть область D С Сп ограничена и имеет гладкую границу. Если D локально линейно выпукла, то она линейно выпукла.

Следующий пример показывает, что теорема становится неверной, если не требовать гладкости границы. Возьмем область D = D\ х D2 С С2, где Di = {zv : 0,9 < |г11 < 1}, D2 = {z2 : \Btz2\ < l,\Imz2\ < 0,1}, и аналитическую плоскость 7 = {(гЬ22) : z\ = z2}. Множество D П 7 = {(21,2-2) : zi = z2, 0,9 < |2:i| < 1, \Imz[\ < 0,1} состоит из двух связных компонент. Обозначим их Bi(Rezi > 0) и В2. Области D и D \ 7 линейно выпуклы. Область D \ В 1, оставаясь локально линейно выпуклой, не является линейно выпуклой. Действительно, через произвольную точку (СьСз) £ С d(D\Bi) проходи! единственная анали тическая плоскость 7, не пересекающая D\B 1 в окрестности (Ci, С2); при этом 7 П {D \ Bv) = В2 ф 0.

Теорема 2.3. В Сп (п ^ 2) всякая ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей гомеоморфна шару.

Заметим, что Ш. А. Даутов и В. А. Сгепаненко [С] привели простой пример ограниченной линейно выпуклой, но нсвыгтуклой области с гладкой границей.

Требование ограниченности в теореме существенно: например, D — {(21,22) : 1 < |2i| < 2}, будучи линейно выпуклой областью с гладкой границей (но неограниченной !), не является односвязной и, следовательно, не гомеоморфна шару.

Перейдем к изложению результатов третьей главы.

Рассмотрим в пространстве С" ограниченную линейно выпуклую область G={z:gl(z,z)< 0, / = 1,.,А'}, где функции gl{z,z) дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности замыкания этой области. Граница dG области G состоит из граней

Sl = {zeG:gt{z1z) = 0}, Z = 1,.

Будем предполагать, что G имеет кусочно-регулярную границу: на всяком непустом ребре

Sil.: S31 п .п SJh = {( е 0G : дп (С, С) = 0,. = 0} выполняется неравенство дуп Л . Л дд1к ф 0, эквивалентное тому, что г a ny

Чучс сЛ где

V/yJ(C) = (

0/ С) Ogj{CX)

3C, c>C,

Ориентация граней 51,.,5'v индуцирована ориентацией границы <9G', и

ОС = U 5\ В свою очередь ориентация каждой грани S\i = 1,., Лг индуциру

1=1 ет ориентацию (2/г — 2)— мерного ребра 5' ', OS1 = (J и с учетом ориентации j мы имеем S',J = —SJ''. Индуктивным образом определяется ориентация ребра - которая фактически задается порядком следования граней Sn,., SJ':. Прежде чем сформулировать основную георему, введем для мулыииндекса J = (j1?. .,jk) обозначение d( A cl( dgj, A . A dgJk' где выражение и?./, суженное на ребро 5J, представляет собой корректно определенную дифференциальную форму со свойством дуп А . A ду]к А и)j = б/С А б/£.

С подходящих координатах, где

Л.-Л форма и)j записывается в виде

Wj =

-1)

7-'Pi qlk у Pi i -\Р1+.+Рк qlk

7^0,

-1)

Др1, —,PA jli — Jk

Здесь f/СЬь • • • ,i>jt] - внешнее произведение дифференциалов d^,. ,d(n, среди которых отсутствуют дифференциалы . ,

При получении интегральной формулы для любой ограниченной кусочно-регулярной линейно выпуклой области было востребовано понятие смешанных левианоо для системы функций (гиперповерхностей), предложенное А. К. Цихом. Это понятие навеяно известной конструкцией Минковского для смешанных объемов системы выпуклых тел в евклидовом пространстве [5]. Известен также алгебраический аспект понятия смешанного объема в виде смешанного дискриминанта (инварианта) системы квадратичных форм [4]. А именно, если Qh ., Q& система квадратичных форм переменных xi,.,xtll то смешанным дискриминантом порядка I — (гь . , гк) называется коэффициент Dj = Dj(Qi,., Qk) в представлении det{\lQl + . + \kQk) = J2D'Xl = Л 0{11,.,гк)У1 .Укг (ч.Ik)

С другой стороны, по аналогии с общей теорией инвариантов [12] определитель Леви

Ця) =

0 gj . ()п (j\ On ■■■ а\п

Jn Qui

Qnn мо?кно трактовать как инвариант системы двух форм, состоящей из квадрап тичной эрмитовой формы Q — fJjsVjVa и линейной формы l(t]) — (Vt;(C), i* таким образом мы можем записать L(g) = L(QJ). Если система форм состоит п из эрмитовой квадратичной формы Q = ^ ^у/^т^ и набора линейных форм j>=i ls = as)tjj, s = 1,. , к, то можно рассмотреть се инвариант з од,/,,.Л) = 0

0 а ii а и

0 . 0 ак1 . . акп ап • • • сп . с1п ftin. • • • ft кп Cnl . . . I na

Теперь приведем следующее.

Определение. Смешанным левианом порядка I = семейства функций r/i,., gk называется коэффициент Li = L/(f/i,. ,<u) о представлении

L(\iQi + . + ЛkQk~ /ь . Л) = Y, L<X где Q, = ^ rljr}s~ эрмитова форма, сопоставленная g,, а /,— линейная j,s= 1 ' "** форма (V</i(C),7/).

Основным результатом третьей главы является

Теорема 3.1. Пусть G = {z : gl(z,z) < 0, I— 1,., Лг} - ограниченная кусочно-регулярная линейно выпуклая область в Сп. Тогда всякая функция f(z), голоморфная в области G и непрерывная на G, представима в виде: м-Е^'Е' Е rSyJ* k=l t)J=k \l\=n-k V 7 J.1 n n /-/(C)^(^,.,.^) и j YK^^X-z)1^1 1 где ^Г ' означает суммирование по упорядоченным мулыпииндексам J длины DJ=fc k : 1 ^ ji < . < jk ^ N] -суммирование по мулътииндексам I =

I[=n-k i,., ik) со свойством |/| = ii + . + ik — n — к', Ь]-смешанный левиан порядка I, наконец II := i^. • . • г a,!.

В заключительном параграфе третьей главы приводится интегральное представление в п— круговых линейно выпуклых полиэдрах.

Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзном симпозиуме по теории голоморфных функций многих комплексных переменных (Красноярск, 1969г.), Всесоюзной конференции по теории функций комплексного переменного (целые и мероморфные функции и функции многих переменных) (Харьков, 1971 г.), Международной конференции "Многомерный комплексный анализ" (Красноярск, 2002 г.); также полученные результаты неоднократно докладывались на семинаре в лаборатории теории функций Института физики СО АН СССР им Л.В. Киренского (1969-1973гг.) и на городском семинаре по многомерному комплексному анализу в Красноярском государственном университете (199-5 - 2003 гг.).

Автор выражает тлубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задачи и внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Кривоколеско, Вячеслав Павлович

Основные результаты, изложенные в диссертации являются новыми и состоят в следующем: результат Бенке и Пешля об эквивалентности понятий локальной и глобальной линейной выпуклости распространен на ограниченные области в Сп с гладкими границами; доказано, что линейно выпуклая область с гладкой границей гомеоморфна шару; получено интегральное представление для голоморфной функции в ограниченных линейно выпуклых областях с кусочно-регулярными границами.

Результаты диссертации могут быть использованы в многомерном комплексном анализе и других областях математики, связанных с геометрией комплексного пространства и интегральными представлениями для голоморфных функций многих комплексных переменных.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кривоколеско, Вячеслав Павлович, 2003 год

1. лпзеньерг j1.л. О разложении голоморфаых функций многих комплексных переменных ни простейшие дроби// Сиб. мат.ж. 1967. Ч'ЛЗ. №5. (1. 1221 1242.

2. ЛЙЗИПВКРГ J1.A. Линейная выпуклость в С" и разделение особенностей голоморфных функций// Bull. Acad. Pol. Sr., ser. math. 19(57. T. 15, №7. C. -187 Ш5.

3. Айзениерг Л.Д., Южлкон A.M. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-нне, 1979. 3(j(k\

4. Л.ПККСЛНДРОН А.Д. (.'мешанные дискриминанты и смешанные объемы. Матом, сб.- 1938.3, №2. С. 227 251.

5. Буземлн Г. Выпуклые поверхности. М.: Наука, 1968.

6. Даутон III.А., Степлшонко В.А. Простой пример ограниченной линейно выпуклой, но невыпуклой области с гладкой границей// Голоморфные функции многих комплексных переменных. Красноярск: Институт физики СО All СССР, 1972. С. 175 179.

7. ВЛРЧЕНКО А.Н. Определите.'ib матрицы многомерных геометрических интегралов// Докл. АН СССР. 1989. Т.308. №1. С. 777-780.

8. Знаменский С.В. Геометрический критерий сильной линейной выпуклости // Функц. анализ и его приложения.-1979.-Т.13.-№ З.-С. 83-84.

9. ЗиАМЕНСКИП С.В. Сильная линейная выпуклость. I. Двойственность пространств голоморфных функций// Спб. мат.т.-1985. Т.26.-№ З.-С. 31-43.

10. КлеЙН Ф. Элементарная математики с точки зрения высшей. Том II. Геометрия. М.: Наука, 1987.-416 с.13. лере Ж. Дифференциальное и интегральное исчисление на комплексном аналитическом многообразии . М.: Мир, 1901. 145 с.

11. МАРКУШЕВИЧ Л.И. Теория аналитических функций. Том II. Дальнейшее построение теории. М.: Наука, 1968.-624 с.

12. ТРУТНЕВ В.М. Инвариантные подпространства и сюрьективность дифференциальных операторов// Исследования по линейным операторам и теории функций / 99 задач линейного и комплексною анализа. Ленинград.: Наука, 1978. С. 128 129.

13. ХГСНКИИ Г.М. Интегральное представление функций голоморфных в строго псевдовыпуклых областях и некоторые приложения// Матем. сб. 1969. Т.120, №78. С. 611 632.

14. ХЕНКИН Г.М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе// ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, Т.7 1985. С. 23

15. Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения.- Новосибирск: Наука. 1988.-239 с.19. andersson М. Unuque linearly convex support of an analytical functional // Preprint No1991-15/1SSN0347-2809. Goteborg. 1991.-P 116.

16. Andersson M., Passare M. Complex Kergin interpolation and Fantappie transform // Mathematische Zcitschrift 1991.-V. 208.-P. 257-271.

17. CONRAD M. Nicht-isotrope Abschdtzungen fiir lineal konvexe Gebiete endlichen Typs Jj Dissertation, Universitat YVuppertal, Dezember- 2002,-68pp.

18. Hormander L. Notions of Convexity // viii +414pp. Boston:Birkhuuser, 1991.

19. KlSELMAN C.O. Duality of functions defined in lineally convex sets // Universitatis lagellonicae Acta Math. T. 35.- 1997.-P. 7-3(i.

20. KlSELMAN C.O. A differential inequality characterizing weak lineal convexity j j Math. Ann. T. 311,- 1998.-P. 1-10.

21. KlSELMAN C.O. Lineally convex Ifartogs domains j/ Acta Math. Vietnamic.a, T. 21.- 1996. -P. 69-94.

22. Работы 8ВТОр9 ПО TGMG ДИСССрТЯТДИИ

23. К PI i в о к о л к с и о В. П. Интегральные представления функций, голоморфных в линейно выпуклых областях с кусочно-гладкими границами // Тезисы докладов Всесоюзной конференции но теории функций комплексного переменного. Харьков, 1971. С. 109-1 11.

24. Южлков А.II., Криноколеско В.П. Некоторые свойства линейно выпуклых областей с гладкими границами в С" // Сиб. мат.ж. 1971 .-Т.12.--№ 2.-С. 152-158.

25. Крмвоколеско В.П. Анализ интегральных представлений в линейных полиэдрах/ / Лесоэксплуатации / Ме?квузовский сборник научных трудов. Выпуск 1. Красноярск, 2002. С.235-2-Ш.к