Новые режимы распространения автоволн в возбудимых системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Цыганов, Игорь Михайлович

• Цыганов, Игорь Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Цыганов, Игорь Михайлович

Введение.

ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ. 1.1.Автоволны.

1.2. Аксиоматическая модель возбудимой среды.

1.3. Модели возбудимых сред, базирующиеся на дифференциальных уравнениях.

1.4.Нервное волокно.

1.5. Модели сердечной ткани.

1.6. Эхо.

1.7. Солитоноподобные (воШоп-Ике) режимы.

ГЛАВА II. КРИТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ОТРАЖЕНИИ ВОЛН ВОЗБУЖДЕНИЯ ОТ НЕПРОВОДЯЩИХ ВКЛЮЧЕНИЙ.

2.1. Модель.

2.2. Круговые непроводящие включения в СП режиме.

2.3. Физика эффектов.

2.4. Эховолна "схода".

2.5. Эхо при набегании волны возбуждения на «косое» прямолинейное непроводящее препятствие.

2.6. Многоимпульсное переизлучение.

2.7. Наличие в среде нескольких локальных непроводящих включений.

ГЛАВА III. ДОЛГОЖИВУЩИЕ СПИРАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ

С ВОГНУТЫМ ПЕРЕДНИМ ФРОНТОМ.

3.1. Спиральные волны, вращающиеся вокруг кругового непроводящего включения.

3.2. Многорукавные спиральные волны.

3.3. Вогнутые спиральные волны как нелокальные объекты.

ГЛАВА IV. "ДИССИПАТИВНЫЙ ПУЛЬСАР".

4.1. Модель.

4.2. Каталог структур.

4.2.1. Солитоноподобный режим взаимодействия при Еа=0.

4.2.2. Многоимпульсный режим переизлучения при Ед=0.001.

4.3. "Диссипативный пульсар".

4.3.1. Ждущий режим.

4.3.2. Автоколебательный режим.

4.4. "Диссипативный пульсар" в различных моделях возбудимых сред.

ВЫВОДЫ.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ И.М.ЦЫГАНОВА

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые режимы распространения автоволн в возбудимых системах»

Актуальность проблемы. Сокращение различных участков сердца обычно хорошо скоординированы между собой. Правильная последовательность сокращений мышечных стенок сердечных камер управляется автоволнами возбуждения - волнами электрической перезарядки мембран сердечных клеток, направленно распространяющимися от синоатриального узла к предсердиям и -через пучок Гиса и систему волокон Пуркинье - к обоим желудочкам. Резкое падение скорости проведения при повреждениях миокарда может приводить к нарушениям сердечного ритма. При этом вместо нормального распространения автоволн могут возникать необычные режимы распространения, которые нарушают синхронность сердечных сокращений и приводят к патологиям - сердечным аритмиям.

Из сказанного уже понятно внимание, уделяемое специалистами исследованию закономерностей генерации, распространения и взаимодействия автоволн в нелинейных сильно диссипативных распределённых системах - возбудимых средах. Автоволны - это самоподдерживающиеся нелинейные волны, сохраняющие свои характеристики неизменными за счет распределенного в среде источника свободной энергии.

Математические исследования режимов управления сокращениями миокарда, связанных с распространением волн возбуждения в нормальных условиях и в условиях патологий, впервые были начаты в работе Винера и Розенблюта (Wiener, Rosenblueth, 1946). Её авторам удалось объяснить трепетание предсердий циркуляцией волны вокруг полых вен. Последующее развитие математических исследований электрических импульсов возбуждения в сердечных тканей связано с моделью Нобла (Noble, 1962) - системой дифференциальных уравнений четвертого порядка. Сведение уравнений Нобла асимптотическим переходом (Кринский, Кокоз, 1973) к системе второго порядка, известной как система Фитцхью-Нагумо (ФХН), позволило проводить качественные исследования распространения волн возбуждения в сердечной ткани на базе математической модели автоволновых процессов ФХН.

Происхождение ряда аритмий связывают с эффектом "эхо": отражение при взаимодействии бегущих импульсов с геометрическими и/или функциональными неоднородностями возбудимой среды (Кринский, Холопов, 1967; Васильев, Романовский, Яхно, 1979,1987; Кринский, 1981, Ermentrout, Rinzel, 1995;). В тоже время, до недавнего времени аннигиляция импульсов при столкновении друг с другом и с непроницаемыми препятствиями считалась фундаментальным свойством автоволн, базирующимся на основном свойстве возбудимой ткани - рефрактерности, что делает невозможным отражение и сквозное прохождение автоволн.

Результаты численных экспериментов, выполненных в последние шесть лет с привлечением как простых качественных моделей возбудимых сред (Petrov et al, 1994; Kricher, Mikhailov, 1994; Kozek, Marek, 1995; Морнев и др., 1996, 1997), так и систем уравнений высокого порядка, количественно точно описывающих нелинейную динамику импульсов в нервных волокнах и возбудимых волокнах проводящей системы сердца (Асланиди, Морнев, 1996, 1997, 1999), продемонстрировали существование в однородных возбудимых средах необычных режимов, соответствующих отражению автоволн при их столкновениях друг с другом и с непроницаемыми границами среды. Эти режимы были названы солитоноподобными. Экспериментально режим отражения автоволн был обнаружен в химической возбудимой среде (Oertzen et al, 1998).

Области значений параметров возбудимых сред, при которых реализуются солитоноподобные режимы, достаточна малы. Однако их наличие в широком спектре моделей сигнализирует о том, что указанные режимы являются отнюдь не экзотикой, а явлением общего характера. Наряду с этим было показано, что имеется еще один тип отражения: при взаимном столкновении волн возбуждения или при их взаимодействии с границей может возникать многоимпульсное переизлучение волн, с течением времени переводящее среду в автоколебательный режим.

Обнаружение в возбудимых средах солитоноподобных режимов и режимов многоимпульсного переизлучения в корне меняет взгляд на объяснение большого числа экспериментальных фактов, связанных с динамикой электрических импульсов в сердечных тканях. В частности, высказана гипотеза (Асланиди, Морнев, 1999), что именно эффекты эхо, обусловленные интерференцией следовых волн, ответственны за некоторые из нарушений сердечного ритма, наблюдающиеся в условиях так называемой триггерной активности. Механизм развивающихся при этом аритмий может состоять в том, что в условиях солитоноподобного режима регулярный однонаправленный поток волн возбуждения, периодически пробегающих по сердцу от предсердий к желудочкам и вызывающих ритмические скоординированные - сокращения сердечных камер, дезорганизуется в результате каскада переотражений, инициируемого спорадическими встречными волнами. Один из ключевых пунктов в этой картине - появление встречных волн: как они могут возникать? В настоящей работе численными методами исследуется один из возможных сценариев их генерации. Далее будет показано, что в условиях, поддерживающих солитоноподобные режимы, встречные волны могут генерироваться по механизму эхо при падении волн возбуждения на непроводящие включения -локальные участки двумерной возбудимой среды, отделённые от остальных её участков границами с низкой электрической проводимостью. В сердце роль таких включений могут играть, например, невозбудимые устьевые участки вен, поставляющих кровь в предсердия, а также некротические участки, формирующиеся в патологических условиях в местах ишемии - зонах локальных нарушений коронарного кровоснабжения миокарда.

Цели и задачи работы. Основная цель настоящей работы состояла в численном исследовании свойств новых автоволновых режимов в двумерных возбудимых средах.

Для достижения этой цели были поставлены следующие конкретные задачи:

1. В численных экспериментах с системой уравнений Фитцхью-Нагумо, качественно моделирующей динамику биологических возбудимых сред, исследовать эффекты, сопутствующие столкновениям автоволн возбуждения с непроводящими включениями в условиях солитоноподобного режима (и режима многоимпульсного переизлучения (МИП)).

2. Для солитоноподобного режима и режима МИП исследовать процесс формирования и динамику вращения спиральных волн возбуждения - как при наличии непроводящих включений так и в их отсутствии.

3. На математических моделях возбудимых сред с двумя ненулевыми коэффициентами диффузии (активатора и ингибитора) исследовать динамику состояния среды в условиях, поддерживающих режимы отражения автоволн.

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие результаты:

1. Установлено, что в условиях, поддерживающих в возбудимой среде солитоноподобный режим, эховолны генерируются в окрестностях только таких непроводящих включений, геометрические размеры которых достаточно велики; включения подкритических размеров огибаются набегающими на них автоволнами без генерации эховолн. Аналогичные результаты получены и в условиях режима многоимпульсного переизлучения (МИП) сталкивающихся автоволн.

2. Построен контрпример к известной теории Курамото (КигатоЬ, 1980), запрещавшей существование автоволн, вогнутых в направлении распространения: в численных экспериментах впервые продемонстрировано существование долгоживущих вогнутых одно- и многорукавных спиральных волн, реализующихся в возбудимой среде в условиях солитоноподобного режима и режима МИП.

3. Возникшее противоречие разрешено путём численного исследования влияния граничных условий на форму переднего фронта спиральных волн, вращающихся в условиях упомянутых режимов. Показано, что вогнутая спиральная волна -нелокальный объект, тогда как теория Курамото является существенно локальной и потому - неуниверсальной.

4. В численных экспериментах с математическими моделями возбудимых сред, содержащими два ненулевых коэффициента диффузии, обнаружен новый тип автоволновых структур - "диссипативный пульсар", в котором источники бегущих импульсов сосуществуют со стационарной структурой.

Практическая ценность диссертационной работы обусловлена возможностью применения полученных в ней результатов как для дальнейшего развития общей теории автоволновых процессов, так и в биомедицинских приложениях. Исследуемые в работе эффекты отражения импульсов возбуждения могут лежать в основе механизмов, ответственных за развитие сердечных аритмий, - в частности, за нарушения сердечного ритма, возникающие в условиях так называемой триггерной активности.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах механико-математического факультета и Института механики МГУ, на семинарах и научных конференциях Института теоретической и экспериментальной биофизики РАН, на международных конференциях "Ломоносов" (МГУ: 1995, 1996, 1997), International Conference "Criteria of selforganization in physical, chemical and biological systems" (Суздаль, 1995), "Nonlinear dynamics in polymer science and related fields" (Москва, 1999), на Втором Всероссийском биофизическом съезде (Москва, 1999). Исследования по теме диссертации выполнялись при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 99-01-00956, № 99-01-01041).

Публикации. Результаты диссертации представлены в 10 научных работах, список которых приведён в конце диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на страницах и состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы из наименований.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Цыганов, Игорь Михайлович

выводы

1. В численных экспериментах с нелинейной параболической системой уравнений Фицхью-Нагумо, качественно моделирующей динамику автоволн в биологических возбудимых средах, исследованы явления эхо, сопутствующие в условиях солитоноподобного режима столкновениям автоволн с "непроводящими включениями" - локальными участками двумерной возбудимой среды, отделёнными от остальных участков границами с нулевой проводимостью. Выявлен новый качественный эффект, отсутствующий в одномерных средах: в условиях солитоноподобного режима отражение набегающей на включение автоволны наблюдается лишь тогда, когда геометрические размеры включения превышают критические. Включение подкритических размеров является "молчащим": оно не отражает набегающих автоволн и "обтекается" ими без генерации эхо. Дана физическая интерпретация этого эффекта. Исследована зависимость критического значения радиуса кругового непроводящего включения от параметров системы. Найдено, что если на ограниченном участке среды количество включений растёт, то величина критического радиуса понижается.

2. В численных экспериментах показано, что в условиях солитоноподобного режима падение плоской волны возбуждения на плоскую же непроводящую границу возбудимой среды сопровождается появлением отражённой волны лишь тогда, когда угол падения меньше некоторого критического значения, зависящего от параметров возбудимой системы: для "скользящих" направлений падения, характеризующихся достаточно большими -надкритическими - значениями указанного угла, отражённая волна отсутствует.

3. Построен контрпример к известной теории Курам ото, запрещавшей существование автоволн, вогнутых в направлении распространения: в численных экспериментах впервые продемонстрировано существование долгоживущих вогнутых одно- и многорукавных спиральных волн, реализующихся в возбудимой среде в условиях солитоноподобного режима и режима МИП.

4. Исследовано влияние граничных условий на вращение вогнутых одно- и многорукавных спиральных волн. Показано, что если на внешней границе возбудимой среды условие непроницаемости Неймана заменяется условием

Дирихле, то вращение упомянутых волн нарушается по двум сценариям: а) вогнутые спиральные волны, вращающиеся вокруг непроводящих включений, перестраиваются в обьгчные спиральные волны с выпуклым фронтом; б) свободно вращающиеся вогнутые ревербераторы перестраиваются в "ведущие центры" - периодические источники концентрических волн. Из этих результатов следует, что вогнутость фронта спиральной волны в условиях солитоноподобного режима является нелокальным эффектом, обусловленным реализацией условий Неймана на периферии среды, что снимает противоречие с теорией Курамото: последняя построена с привлечением постулативно принимаемых соображений локальности, и потому её выводы не являются универсальными.

5. В численных экспериментах с математическими моделями возбудимых сред, содержащими два ненулевых коэффициента диффузии, обнаружен новый тип автоволновых структур - "диссипативный пульсар", в котором источники бегущих импульсов сосуществуют со стационарной структурой.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ И.М. ЦЫГАНОВА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Tsyganov I. М. Autowaves in the reaction-diffusion system with two component diffusion at low thresholds of excitation. Abstracts of International Conference "Criteria of selforganization in physical, chemical and biological systems". Suzdal, June, 1995, p. 167.

2. Цыганов И. M., Цыганов М. А., Медвинский А. Б., Иваницкий Г. Р. Процессы самоорганизации в сильно возбудимых средах: открытый каталог новых структур. Доклады Академии наук, 1996, т. 346, N6, с. 825-832.

3. Цыганов И. М., Алиев Р. Р., Иваницкий Г. Р. Диссипативный пульсар в возбудимых средах. Доклады Академии наук, 1997, т. 350, N6, с. 825-832.

4. Цыганов И. М. Мультипичковые диссипативные структуры в активных средах. Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов" / МГУ им. М. В. Ломоносова. М.: Издательство Московского университета, 1998, вып. 2, с. 184.

5. Цыганов И. М. Автоволновые процессы в системе реакция-диффузия с низким порогом возбуждения. Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов " / МГУ им. М.В.Ломоносова. М.: Издательство Московского университета, 1998, вып. 2, с. 185.

6. Цыганов И. М., Морнев О. А., Асланиди О. В. Эхо при взаимодействии автоволн с непроводящими участками. II Съезд биофизиков России / тезисы докладов. М., 1999, т. II, с. 464-465.

7. Mornev О. A., Aslanidi О. V., Tsyganov I. М. Soliton-like regimes and colliding nonlinear pulse reflection (echo) in homogeneous excitable media. Nonlinear dynamics in polymer science and related fields / Book of Abstractes /11-15 October, 1999/Moscow.?. 52.

8. Mornev O. A., Aslanidi О. V., Tsyganov I. M. Soliton-like regimes in biological excitable media: reflection of colliding excitation pulses (echo) and concave spiral waves. International Conference on Nonlinear Dynamics in Polymer Science and Related Fields (Ed.: Tomohiko Yamaguchi). Japan, Tsukuba: ISEBU Co., LTD, 2000, p. 72-75.

9. Морнев О. А., Цыганов И. M., Асланиди О. В., Орданович A. E., Чайлахян Л. М. Солитоноподобный режим в двумерной возбудимой среде: эффекты эхо при столкновении волн возбуждения с локальными непроводящими участками. Доклады Академии наук, 2000, т. 373, № 6, с. 833-837.

10. Mornev О. A., Aslanidi О. V., Tsyganov I. М. Soliton-like regimes, echo and concave spiral waves in mathematical models of biological excitable media. Macromolecular symposia, 2001 (in press).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Цыганов, Игорь Михайлович, 2000 год

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М."Наука", 1998

2. Асланиди О.В. Отражение автоволн в биологических возбудимых средах. -Кандидатская диссертация, г.Пущино, ИТЭБ РАН, 1999

3. Асланиди О.В., Морнев O.A. Об отражении бегущих импульсов возбуждения. //Биофизика, 1996, т.41, с.953-959

4. Асланиди О.В., Морнев O.A. Могут ли сталкивающиеся нервные импульсы отражаться? //Письма в ЖЭТФ, 1997, т.65, с.553-558

5. Асланиди О.В., Морнев O.A. Эхо в возбудимых волокнах сердца (по данным численных экспериментов). //Математическое моделирование, 1999, т.11, с.3-22.

6. Атаулаханов Ф.И., Гурия Г.Т., Сафрошкина А.Ю. Пространственные аспекты динамики свертывания крови. Феноменологическая модель. //Биофизика, 1999, 39, 97

7. Балаховский И.С. Некоторые режимы движения возбуждения в идеальной возбудимой среде. //Биофизика, 1999, 10, 1063

8. Баренблатт Г.И., Зельдович Я.Б. Об устойчивости распространения пламени. //Прикл.мат.мех., 1957, 21, 856

9. Беркенблит М.Б., Божкова В.П., Бойцова Л.Ю. и др. Высокопроницаемые контактные мембраны. М."Наука", 1981.

10. Ю.Белинцев Б.Н. Диссипативные структуры и проблема биологического формообразования. //УФН, 1983, т. 141, в.1, с. 55-10111 .Биомеханика сердечной мышцы. М."Наука", 1981

11. Бичаури A.A., Разжевайкин В.М., Свирежев Ю.М. Нелинейные волны и диссипативные структуры в экологии. В сб. "Исследования по теории диссипативных структур" под ред. Свирежева Ю.М. М."Наука", 1982

12. З.Давыдов В.А., Зыков B.C., Михайлов A.C. Кинематика автоволновых структур в возбудимых средах. //УФН, 1991, т.161, N8, 45-85.

13. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы в распределенных кинетических системах. //УФН, 1979, 128, N4, с.625

14. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. -М."Наука", 1987

15. Волков Е. Локальное подавление генерации импульсов в колце из трех релаксационных осциляторов. //Биофизика, 1998, т.43, в.3,535-540

16. Гельфанд И.М., Цетлин М.Л. //ДАН СССР, 1960, т.131, 1242

17. Ермакова Е.А., Перцов A.M., Шноль Э.Э. Пары взаимодействующих вихрей в двумерных активных средах. //Препринт, Пущино, 1987

18. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. М."Наука", 1974

19. Зельдович Я.Б, Франк-Каменецкий Д.А. Теория равномерного распространения пламени. //ДАН СССР, 1938, 19, 693

20. Зыков B.C. Аналитическая оценка зависимости скорости волны возбуждения в двумерной возбудимой среде от кривизны ее фронта. //Биофизика, 1980, т.25, в.5, 888-892

21. Зыков B.C. Моделирование волновых процессов в возбудимых средах. -М."Наука", 1984

22. Иваницкмй Г.Р., Кринский В.И., Морнев O.A. Автоволны: Новое на перекрестках науки. В кн. "Кибернетика живого", с.24-38, 1984, М."Наука"

23. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е Математическая биофизика клетки. М."Наука", 1978

24. Кернер Б.С., Осипов В.В. Автосолитоны. М."Наука", 1991

25. Колмогоров А.Н., Петровский И.Е., Пискунов Н.С. Изучение уравнения диффузии с источником вещества и его приложение к биологическим проблемам. //Вест.Моск.Унив. Сер.мат.мех., 1937, 1, 1

26. Кринский В.И. Фибрилляция в возбудимых средах. //Проблемы кибернетики, 1968, т.20, 59

27. Кринский В.И., Жаботинский A.M. Автоволновые структуры и перспективы их исследований. В кн. "Автоволновые процессы в системах с диффузией." Горький, 1981,6-32

28. Кринский В.И., Медвинский А.Б., Панфилов A.B. Эволюция автоволновых вихрей. М."3нание", 1986

29. Кринский В.И., Михайлов A.C. Автоволны М."3нание", 1984

30. Кринский В.И., Холопов A.B. Явление эха в возбудимой ткани. //Биофизика, 1967, 12, 524

31. Кокоз Ю.М., Кринский В.И. Анализ уравнений возбудимых мембран. I.Сведение уравнений Ходжкина-Хаксли к системе второго порядка. //Биофизика, 1973, т. 18, в.З, 506-511

32. Кокоз Ю.М., Кринский В.И. Анализ уравнений возбудимых мембран. II. Метод анализа электрофизиологических характеристик мембраны Ходжкина-Хаксли пографикам нуль-изоклинам системы второго порядка. //Биофизика, 1973, т. 18, в.5, 378-385

33. Кокоз Ю.М., Кринский В.И. Анализ уравнений возбудимых мембран. Ш.Мембрана волокна Пуркинье. Сведение уравнений Нобла к системе второго порядка. Анализ автоматии по графикам нуль-изоклин. //Биофизика, 1973, т. 18, в.6, 1067-1073

34. Курдюмов С.П., Маленецкий Г.Г. Синергетика теория самоорганизации. -М."3нание", 1983

35. Лившиц М.А., Чернавский Д.С. Математические модели диссипативных структур. Эквивалентность канонических двухкомпонентных моделей и однокомпонентной нелокальной модели в бифуркационной области. //Биофизика, 1991, т.36, в.2, 330-333

36. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. М."Наука", 1990

37. Маркин В. С., Пастушенко В. Ф., Чизмаджев Ю. А. Теория возбудимых сред. М."Наука", 1981

38. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М."Мир", 1983

39. Морнев O.A. Бистабильные автоволновые среды: условия возбуждения и элементы "оптики" автоволн. Кандидатская диссертация, г.Пущино, ИБФ СССР, 1989

40. Морнев O.A., Асланиди О.В., Алиев Р.Р., Чайлахян Л.М. Солитонный режим в уравнениях Фицхью-Нагумо: отражение сталкивающихся импульсов возбуждения. //ДАН, 1996, т. 347, с. 123-125.

41. Морнев O.A., Асланиди О.В. Новые режимы в пространственно-однородных возбудимых средах с рефрактерностью: отражение сталкивающихся импульсов возбуждения. //Биологические мембраны, 1997, т. 14, с. 621-625.

42. Морнев O.A., Асланиди О.В., Чайлахян Л.М. Солитонный режим в системе уравнений Фицхью-Нагумо: динамика вращающейся спиральной волны //ДАН, 1997, т. 353, с. 682-686.

43. Морнев O.A., Цыганов И.М., Асланиди О.В., Орданович А.Е., Чайлахян Л.М. Солитоноподобный режим в двумерной возбудимой среде: эффекты эхо при столкновении волн возбуждения с локальными непроводящими участками. //ДАН, 2000, в печати

44. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М."МИР",1979

45. Полак Л.С., Михайлов A.C. Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах. М."Наука", 1983

46. Полежаев A.A. Об условиях существования контрастных диссипативных структур дичкового типа. //Биофизика, 1983

47. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М."Мир", 1972

48. Розенштраух JT.B. Распространение возбуждения по различным структурам сердца". В кн. "Физиология кровообращения. Физиология сердца." J1. "Наука",1980

49. Романовский -Ю.М. Процессы самоорганизации в физике, химии и биологии. -М. "Знание", 1981

50. Романовский Ю.М., Степанова И.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М."Наука", 1984

51. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. М."Наука", 1975

52. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М."Наука", 1984

53. Рубин А.Б. Биофизика. М. "Высшая школа", 1987

54. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М."Наука", 1989

55. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М."Наука", 1987

56. Смолянинов В.В. Математические модели биологических тканей. М."Наука", 1987

57. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М. "Мир", 1977

58. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство Московского физико-технического института, 1994

59. Ходоров Б.И. Общая физиология возбудимых мембран.- М."Наука", 1975

60. Цыганов И.М., Цыганов М.А., Медвинский А.Б., Иваницкий Г.Р. Процессы самоорганизации в сильно возбудимых средах: открытый каталог новых структур. //Доклады Академии Наук, 1996, т.346, N6, 825-832

61. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. М."Мир", 1979

62. Эккерт Р., Рэнделл Д., Огасин Дж. Физиология животных. М."Мир", 1992

63. Agladze K.I., Krinsky V.I. Multi-arm vortices in active chemical medium. //Nature, 1982, v.296, 424-426

64. Achromeeva T.S., Kurdyumov S.P., Malinetsky G.G., Samarsky A.A. Nonstationary dissipative structures and diffusion-induced chaos in nonlinear media. //Phys.Rev., 1989,176, 189

65. Aliev R.R., Panfilov A.V. Multiple responses at the boundaries of the vulnerable window in the Belousov-Zhabotinsky reaction. //Physical Review E, 1995, v.52, N3, 2287-2293

66. Aliev R.R., Panfilov A.V. A simple two-variable model of cardiac excitation. // Chaos, Solitons & Fractals, 1996, v.7, N3, 293-301

67. Aliev R.R., Vasiev B.N. //Chaos, Solitons & Fractals, 1995, v.5, N3/4, 439-445

68. Arneodo A., Elezgaray J., Pearson J., Russo T. Instabilities of front patterns in reaction-diffusion system. //PhysicaD, 1991,v.49, 141-160

69. Antzelevich C. Reflection as a mechanism of reentrant cardiac arrythmias. //Prog. Cardiol., 1988, vl,3

70. Antzelevich C., Jalife J., Мое G. K. Characteristics of reflection as a mechanism of reentrant arrythmias and its relationship to parasystole. //Circulation, 1980, v.61, 182.

71. Argentina M., Coullet P., Mahadavan L. Colliding wqaves in model excitable medium: oreservation, annihilation and bifurcation. //Phys.Rev.Lett., 1997, v.19, 2083

72. Aslanidi O.V., Mornev O.A. Soliton-like regimes and excitation pulse reflection (echo) in homogeneous cardiac Purcinje fibers: results of numerical simulations. // J. Biol. Phys., 1999, v. 25, p. 149-164.

73. Babloyantz A, Sepulchre. Target and spiral waves in oscillatory media in the presence of obstacles. //Physica D, 1991, v.49, N1&2, 52-60

74. Biktashev V.N., Holden A.V. Resonant drift of autowave vortices in two dimensions and the effects of boundaries and inhomogeneties. //Chaos, Solitons & Fractals, 1995, v.5, 575

75. Barkley D. A model for fast computer simulation of waves in excitable media. //Physica D, 1991, v.49, 61-70

76. Cabo C., Barr R.C. Propagation model using the DiFrancesco-Noble equations: comharison to reported experimental result. //Med.Biol.Eng.Comput., 1992, v.30, 292

77. Cabo C., Wit A.L. Cellular electrophysiolgic mechanism of cardiac arrhytmias. //Cardiol. Clin., 1997, v. 15, 517

78. Cai D., Winslow R.L., Noble D. Effects of Gap Junction Conductance on Dynamics of Sinoatrial Node Cells: Two-Cell and Large-Scale Network Models. //IEEE Transactions on biomedical engineering, 1994, v.41, N3, 217-231

79. Chagnac-Amitai Y., Connors B. W. Horizontal spread of synchronized activity and its control by GABA-mediated inhibition. //J. Neurophysiol., 1989, v.61, 747.

80. Deleze J. Calcium ions and the healing-over of heart fibres // Electrophysiology of the heart. Eds. B. Taccardi, G. Marchette. - London: Pergamon Press, 1965, p. 147-148.

81. DeMello W.C. Intercellular communication in cardiac muscle. //Circ. Res., 1982, v.51, p. 1-9.

82. DiFrancesco D., Noble D. A model of cardiac electrical activity incorporating ionic pums and concentration changes. //Phil.Trans.R.Soc., 1985, 307, 353-398.

83. Dufiet V., Boissonade J. Numerical studies of Turing patterns selection in a two-dimwnsional system. //Physica A, 1992, v.188, 158-171

84. Earm Y. E., Noble D. A model of the single atrial cell: relation between calcium current and calcium release. //Phil. Trans. R. Soc. B, 1990, 240, 83.

85. Ermentrout B., Rinzel J. Reflected waves in an inhomogeneous excitable medium. //SIAM J.Appl.Math., 1996, 56, 1107

86. Field R.J., Koros E, Noyes R.M. //J.Amer.Chem.Soc., 1972, 94(25), p.8649

87. Fischer R.A. The wave of advance of advantageous genes. //Ann. Eugenics, 1937, 7, 355-369 {

88. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. //Biophys.J., 1961, 1, 445-461

89. Gierer A., Meinhardt H. //Kybernetiks, 1972, v.12, 337 J.Cell Sci., 1974, v.15, 321

90. Goldstein R.E., Muraki D.J., Petrich D.M. Interface proliferation and the growth of labyriths in reaktion-diffusion system. //Phys. Rev. E., 1996, v.53, N4, 3933-3957

91. Gray R.A., Pertsov A.M., Jalife J. Spatial and temporal organization during cardiac fibrillation. //Nature, 1993, 292, 75

92. Hagberg A., Meron E. Complex patterns in reaction-diffusion systems: A tale of two front instabilities. //Chaos, 1994, v.4(3), 477-483

93. Hayse Y., Ohta T. Sierpinski gasket in a reaction diffusion system. Phys. Rev. Lett., 1998, v.81, 1726-1729

94. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. //J.Physiol.(Lond.), 1952, v.l 17, 500544.

95. Howe J. F., Calvin V. H., Loeser J. D. Impulses reflected from dorsal root ganglia and from focal nerve injuries. //Brain Res. ,1979, v.l 16, 139.

96. Jalife J. Mathematical approaches to cardiac arrhythmias. //Ann.N.Y.Acad.Sci., 1990, 591 (spec, issue), 1

97. Janse M.J., Cinca J., Morena H., et al. The «border zone» in myocardial ishemia, an electrophysiological, metabolic and histochemical correlation in the pig heart // Circ. Res. 1979, v.44, p.576-588.

98. Kleber A.G., Riegger C.B., Janse M.J. Electrical uncoupling and increase of extracellular resistance after induction of ishemia in isolated, arterially perfused rabbit papillary muscle. //Circ. Res., 1987, v. 61, p. 271-279.

99. Kobayshi R., Ohta T., Hayase Y. Self-organized pulse generator in a reaction-diffusion system. //Phys.Rev.E, 1994, 50, 3291-3294

100. Kobayshi R, Ohta T„ Hayase Y. //Physica D84,(1995),N1&2,162-170

101. Kozek J., Marek M. Wave reflection in reaction-diffusion equations. //Phys.Rev.Lett., 1995, v.74,Nl 1,2134-2137 :

102. Krinsky V.I. (ed) "Self-Organization. Autowaves and Structures Far From Equilibrium". Berlin: Springer, 1985

103. Kuznetsov Y.A. Elements of applied bifurcation theory. Berlin: Springer, 1984

104. Lee K.J., Swinney H.I. Lamellar struvtures and self-replicating spots in a reaction-diffusion system. //Phys.Rev.E, 1995, V.51, N1,1899-1915

105. Luo C.H., Rudy Y. A dynamic model of the cardiac venticular action potential. I. Simulations of ionic currents and concentration changes. //Circ.Res., 1994, v.74, 1071

106. Luo C.H., Rudy Y. A dynamic model of the cardiac venticular action potential. II. Afterdepolarizations, triggered activity and potentiation. //Circ.Res., 1994, v.74, 1097

107. Marek M, Kastanek P. Ring-shape waves of inhibition in Belouso-Zhabotinsky reaction. //J.Phys.Chem., 1994, v.98, 7452-7455

108. McAllister R.E., Noble D., Tsien R.W. Reconstruction of the electrical activity of cardiac Purkinje fibres. //J.Physiol.(Lond), 1975, v.251, 1-59

109. Meinhardt H., Gierer A. Generation and regeneration of structures during morphogenesis. //J. Theor. Biol., 1980, v.85, p.429-450

110. Mornev O.A., Aslanidi O.V., Tsyganov I.M. Soliton-like regimes, echo and concave spiral waves in mathematical models of biological excitable media. IIMacromolecular symposia, 2001, in press

111. Muratov C.B. Self-replication and splitting of domain patterns in rreaction-diffusion systems with the fast inhibitor. //Phys. Rev. E, 1996, v.54, N4, 3369-3376.

112. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. The active pulse transmission lime simulating nerve axon, //Proc.IEEE, 1962, v.50, 2061-2070

113. Noble D., A modification of the Hodgkin-Huxley equations aplicable to Purkinje fibre action and pacemaker potential. // J.Physiol., 1962, v. 160, p.317-352

114. Panfilov A.V., Holden A. (eds) "Computational Biology of the Heart". Chichester: Wiley. 1996

115. Petrov V., Scott S.K., Shott S.K., Showalter K. Excitablity, wave reflection and wave spliting in a cubic autocatalysis reactio-diffusion system. //Phil.Trans. R.Soc.A, 1994, v.347, 631

116. Riegger C.B., Alperovich G., Kleber A.G. The effect of oxygen withdrawal on active and passive electrical properties of arterially perfused rabbit ventricular muscle. // Circ. Res., 1989, v.64, p. 532-541.

117. Rinzel J., Keller J.B. Travelling wave solution to a nerve conduction equations. //Biopys.J., 1973, v. 13, 1313

118. Rosenblueth A. Ventricular echoes. //Amer.J.Physiol., 1958, v.195, 53

119. Scott A. C„ Chu F. Y. E., McLaughlin D. W. //Proc. IEEE., 1973. v.61. p.1443-1483.

120. Scott A. C. The electrophisics of a nerve fibre. //Rev. Mod. Phys., 1975. v.47. p.487-545

121. Showalter K., Noyes R.M., Bar-Eli K.A. A modified Oregonator model exhibiting complicat limit ecycle behaviour in a flow system. //J.Chem.Phys., 1978, v.69 (6), p.2514

122. Turing A.M. The chemical basis of morphogenesis. //Proc.Roy.Soc.B, 1952, v.237, p.37

123. Tyson J.J. Oscillations, bistability and echo waves in models of the Belousov-Zhabotinsky reaction. //Ann. New York Acad/ Sci/, 1979, v.316(l), p.279

124. Tyson J.J., Keener J.P. Singular perturbation theory of travelling waves in excitable media. //Physica D, 1988, 32, 327

125. Vasiev B.N., Panfilov A.V., Khramov R.N. //Phys.Lett.A 192, 1994,227-232

126. Veenstra R.D. Physiology of cardiac gap junction channels. //Cardiac Electrophysiology: From Cell to Bedside. Eds. D. Zipes, J. Jalife. - Philadelphia: Sunders Co., 1990, p. 62-69. I

127. Wiener N., Rosenblueth A. The mathematical formulation of the problem of conduction of the impulses in a network connected excitable elements, specifically in cardiac muscle. //Arch.Inst.Caiol.Mex.,1946, v.12, 241

128. Winfree A.T. Varieties of spiral waves behavior: An experimentalist's approach to the theory of excitable media. //Chaos, 1991, v.l(3), 303-334

129. Wit A.L., Rosen M.R. Afterpolarizations and triggered activity 11 The heart and the cardiovascular system / Eds. H.A. Fozzard et al. New York: Raven Press, 1986, p. 1449-1490.

130. Zhukov S.A., Barelko V.V., Merzhanov A.G. Wave processes on heat generating surfaces in pool boiling. //Int. J. Heat Mass Transfer, 1980, v.24,47-95

131. Zimmerman M.G., Firle S.O., Natiello M.A. Pulse bifurcation and transition to spatiotemporal chaos in an excitable reaction-diffusion model. // Physica D, 1997, v. 110(1-2), 92-104

132. Zykov V.S., Mikhailov A.S., Muller S.C. Wave instabilités in excitable media with fast ingibitor diffusion. //Phys.Rev.Lett., 1998, Sept., 1-41. БЛАГОДАРНОСТИ

133. Прежде всего я хотел бы искренне поблагодарить Моих научных руководителей Олега Алексеевича Морнева и Александра Евгеньевича Ордановича, которые провели меня по нелегкому пути, завершением которого стала эта диссертационная работа.

134. Я также хотел бы выразить глубокую признательность Владимиру Васильевичу Александрову и Игорю Васильевичу Новожилову за большое внимание к работе, своевременные советы и ценные консультации.

135. Я хотел бы поблагодарить всех сотрудников кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета за дружескую поддержку, которую я всегда ощущал в процессе работы над диссертацией.

136. Кроме того, я хотел бы поблагодарить сотрудников Института теоретической и экспериментальной биофизики РАН, с которьгми я имел честь работать. Это прежде всего Генрих Романович Иваницкий, Олег Асланиди, Рубин Алиев.

137. Моя сердечная благодарность моим родителям и моему брату, которые всегда переживали за меня больше, чем я сам, и поддержку со стороны которых во всех моих начинаниях нельзя ни с чем соизмерить.