Некоторые вопросы теории разрешимости многоточечных краевых задач и её приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Катхим Аббас Хуссейн

• Катхим Аббас Хуссейн
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Катхим Аббас Хуссейн

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

I. ГЛАВА I: Многоточечная краевая задача и некоторые свойства систем

дифференциальных уравнений

1.1 .Вспомогательные предложения

1.2. Система дифференцированных уравнений с параметром

1.3. Система дифференцированных уравнений с отклоняющимся аргументом

1.4. Непрерывная зависимость решений от краевых условий и параметра

1.5.Оценка решения и устойчивость по изменению правых частей системы

дифференцированных уравнений

1.6. Случай консервативной системы

1.7. Примеры приложений

II. ГЛАВА II: Интегро-дифференциальные и разностные уравнения

2.1. Многоточечная краевая задача

2.2. Случай системы с отклоняющимся аргументом

2.3. Краевая задача типа Валес-Пуасеона

2.4. О свойствах одной системы

III. ГЛАВА III: Приложение теории многоточечных краевых задач к бифуркационному анализу экстремалей

3.1. Краткое описание редукции Морса - Ботта в задаче о геодезической кривой на

многообразии

3.2.Вариационная краевая задача для ОДУ шестого порядка с трехмодовым вырождением

3.3.Схема Ляпунова - Шмидта, построение главной части ключевой функции

82

3.4. Изучение прогибов кирхгофова стержня посредством редукции Морса - Ботта

3.5. Редукция к эйлерову стержню

3.6. Применение редуцирующей схемы Морса-Ботта

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы теории разрешимости многоточечных краевых задач и её приложения»

ВВЕДЕНИЕ

К изучению многоточечных краевых задач дифференциально -функциональных уравнений и их приложений приводят исследования многих вопросов автоматического регулирования, теории колебания, прикладной математики, математической физики, биологии.

Поэтому большой интерес представляет собой поиск новых методов доказательства существования и единственности решения краевых задач, характера зависимости решений от краевых условий .

В работах [1]- [11] исследовались многие краевые задачи указанных выше уравнений разными методами с разными краевыми условиями, в том числе, когда преобразования аргумента зависят не только от времени, но и от самого решения.

В конце концов, эти различные комбинации краевых условий сводились к простейшим видам удобным для практического пользования.

Наша работа состоит из введения и трех глав.

В § 1.1. первой главы мы приводим вспомогательные предложения-леммы, являющиеся обобщениями леммы Гронуолла[12], которыми мы пользуемся в дальнейшем.

§1.2. посвящен многоточечной краевой задаче системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра. Доказательство существования и единственности краевой задачи проводим методом Зейделя[14], перенесенный нами из алгебры в теорию дифференциальных уравнений.

Этим же методом в § 1.3 мы доказываем теоремы существования и единственности решения краевой задачи систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в виде следствия приводим классы систем дифференциальных уравнений, удовлетворяющих достаточным условиям основной теоремы.

В §1.4. показываем, что решения, существование и единственность которых доказываем, непрерывно зависят от краевых условий и параметра.

Оценка решения, установленная в § 1.5., показывает устойчивость по отношению изменения правых частей системы дифференциальных уравнений.

В § 1.6. рассматриваем свойства консервативной(автономной) системы, когда правые части являются обобщённо-однородными функциями.

В §1.7. приводим примеры, иллюстрирующие теоретический материал предыдущих параграфов.

ГлаваП посвящена исследованию поведения решений систем интегро-дифференциальных и разностных уравнений.

Нам известной литературе до нас рассмотренные нами вопросы не изучались. В главе III мы изучаем многоточечные краевые задачи и конечномерные редукции в бифуркационном анализе экстремалей. Полученные в этой главе результаты являются приложением к тому, что нами изложено в предыдущих параграфах.

Цель данной работы — описание многоточечной краевой задачи систем дифференциально-функциональных уравнений, непрерывной зависимости решений от этих условий, их устойчивости в зависимости от изменения правых частей системы, конечномерной редукции в бифуркационном анализе экстремалей.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке.

1. Новые условия существования и единственности многоточечной краевой задачи.

2. Перенос алгебраического метода последовательных приближений на дифференциально-функциональные уравнения.

3. Нерерывная зависимость решений от краевых условий, параметра и их устойчивость от изменения правых частей системы .

4. Некоторые вопросы качественного поведения решений указанных выше систем.

5. Приложения конечномерной редукции в бифуркационном анализе экстремалей к

многоточечным краевым задачам.

Методы исследования. В работе использованы качественные методы анализа многоточечных краевых задач, исследовано их структура и поведение. В зависимости от ситуации при анализе ключевой функции рассматриваемой задачи используется либо метод Ляпунова-Шмидта, либо Морса-Ботта.

В настоящей работе излагается подход к обоснованию и развитию схем конечномерной редукции на основе теории многоточечных краевых задач.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа в основном носит теоретический характер, но представленные в ней результаты могут быть использованы при решении конкретных дифференциально-функциональных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на V-Международной научной конференции , посвященной 80-летию Дагестанского государственного университета, 26-29сентября 2011г.; международной конференции "Мухтаровские чтения " , "Актуальные проблемы математики и смежные вопросы ", Дагестанский государственный технический университет, Махачкала, 2012г.; Ставропольская межрегиональная конференция , 2012г. и др.

Публикации работы. Результаты диссертации опубликованы в девяти работах. Из собственных публикаций в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору. Пять работы соответствуют списку ВАК РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы(параграфы) и списка литературы из 58 наименований. Общий объем диссертации 95 страниц

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Катхим Аббас Хуссейн, 2013 год

Литература

1. Д.Ж. Сансоне Обыкновенные дифференциальные уравнения,// Мт,Т1953.

2. В.П. Скрипник . Об одной краевой задаче и некоторых вопросах колеблености решений,//Матем. Сб.,т. 55 (97),№4,1961, с. 449-472

3. C.B. Исраилов, Исследование некоторых многоточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями и с сингулярностью,// кандитатская диссертация, Баку, 1964г

4. C.B. Исраилов, С.С. Юшаев. Многоточечные и функциональные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. //Издательский центр «Эльфа»,Нальчик, 2004,с. 445

5. C.B. Исраилов, Метод отображений для исследования обобщенной многоточечной задачи функционально- дифференциальных уравнений, Математическая морфология. //Электронный матем. И медико- биол. Ж .Т.9, вып. 1,2010, с. 1-15

6. Ю.В. Покорный Вопросы качественной теории краевой задачи Валле-Пуссена, //Дис. Доктора физ-мат. Наук. JI. 1980

7. С.Б. Норкин Краевые задачи для дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом //Ученые записи МГУД81, матем VIII, 1956,с. 59-72

8. М.В. Келдыш, О методе В.Г. Галеркина решения краевых задач.// Изв. АН СССР, серия мат.6,6, 1942, с.309-330.

9. Г.А. Каменский, Краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, //Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом, т. 1,1962, с.47-51

10. А.Д. Мышкис, Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.// Гостехиздат, 1951

11. Л.Э. Эльсгольц, Качественные металлы в математическом анализе.// Гостех издат,1955.

12. А. Р. Эфендиев Две теоремы об устойчивости движения,// Вестник МГУ, 1962, №3 с.9-14.

13. В.В. Степанов,// Курс дифференциальных уравнений, М., 1958.

14. Р.Г. Алиев, А.Р. Эфендиев. Приложение» метода Зейделя к одной краевой задаче,// Докл. АН АЗССР, 1965,21, №2 ,с.З-9.

15. И.С. Березин и Н.П. Жидков,// Методы вычеслений т.П, М.,1960

16. Г.С.Зайцева. О многоточечной краевой задаче. //ДАН. 1967. Т. 176, № 4, С. 763-765.

17. А.Р. Эфендиев О свойствах одной обобщенно-однородной дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом ФДУ и их приложения .// Меж вуз. Н.- тех. ст, ДГУ вып.5, 2009,с. 116-119

18. Р. Беллман, К.Кук. Дифференциально-разностные уравнения. М.,1967,с.96

19. А.А.Шестаков Об асимптатическом поведении многомерных систем дифференциальных уравнений ,// Уч. записки. ВЗИИЖТ, вып7., M 1961, с.3-102.

20. A. Elbert. Asymptotic behavior of the solutions of differential équation

!

y(t) + tvy(qt) = 0, (0<g <1),// Periodica Mathematica Hyngarica Vol. 1(3) (1971),pp. 229-241.

21. T.C. Кречетов, Поведение решений одного дифференциального уравнения первого порядка,// диф. уравнения ,Т. VII, №8,1971, с. 1528-1530.

22. В.В. Немынский, В.В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений// М.-Л., 1949.

23. Ф.Р. Гонтмахер, Теория матриц, М., 1967.

24. М.Д. Джасим, А.Р. Эфендиев, Об области влияния особой точки нелинейной системы дифференциальных уравнений специального вида, Вестник ДГУ,// естественные науки, вып. 1, 2012, с. 54-63.

25. В.В. Немыцкий, Некоторые методы исследования в целом характеристик уравнения,// Вестник МГУ, №5, 1961, с. 25-43.

26. А.Х. Катхим .Краевая задача системы с параметром /А.Х.Катхим, А.Р Эфендиев // Вестник ДГУ -2013-Вып. 1 - С. 103-110.

27. А.Х. Катхим .Существование и единственность решения интегро-дифференнциальной системы / А. X. Катхим , А.Р.Эфендиев // Вестник ДГУ-2013-Вып.1 С. 91-102.

28. А. X. Катхим, О краевой задаче дифференциально- функциональныч уравнений / А.Х. Катхим, А.Р. Эфендиев // Вестник ДГУ . -2012.- Вып. 6-С. 93-100.

29. А. X. Катхим, Многоточечные краевые задачи и конечномерные редукции в бифуркационном анализе экстремалей /А.Х. Катхим, Ю.И. Сапронов, Н.С. Уварова, А.Р. Эфендиев // Вестник ДГУ . -2012.- Вып. 6-С. 86-92

30. А. X. Катхим, Законы распределения нулей решений линейного дифференциального уравнения 5-го порядка./ С.А. Аль-Джоуфи, А.Х. Катхим// Вестник ДГУ . -2012.- Вып. 1.-е. 79-86.

31. А.Х. Катхим, «Об одной краевой задаче»,/А.Х. Катхим, А.Р. Эфендиев //Материалы V —Международные конференции по ФДУ и их приложениям , Махачкала ,2011 г., с.153-156.

32. А.Х. Катхим Краевая задача системы интегро-дифференциальных уравнений. Моделирование производственных процессов и развитие инфосистем, / А.Х. Катхим, А.Р. Эфендиев ,// Сборник научных статей по материалам 1У-Й Международной научно-практической конференции, г. Ставрополь, СГАУ, 28-29 сент. 2012г., с. 152-160.

33. А.Х. Катхим, О свойствах одной нелинейной системы./ А.Х. Катхим, С.А. Аль-Джоуфи, М.Д. Джасим, А.Р Эфенедиев//Материалы Международной конференции «Мухтаровские чтения», «Актуальные проблемы математики и смежные вопросы», Махачкала, ДГТУ, 2012, с. 100-104.

34. А.Х. Катхим Изучение прогибов кирхгофова стержня посредствос редукции Морса-Ботта / Ю.И. Сапронов , К.А. Хуссейн.//Воронежская зимняя математическая школа С.Г.-2012Материалы международной конференции.2012,С 196-201.

35. А.Х. Катхим О знаке функции Грина краевой задачи для дифференциального уравнения пятого порядка / А.Х. Катхим, Салах-Али Аль- Джоуфи//Материалы Международной конференции по ФДУ и их приложениям , Махачкала ,2011 г., с.153-156.

36. С.А. Аль-Джоуфи, М.Д. Джасим, А.Х. Катхим Законы распределения нулей решений краевой задачи Вале Пуссена для линейного дифференциального уравнения пятого порядка. //Современные методы краевых задач (материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXIII»). 2012. Воронеж, с. 6-9.

37. А.Х. Катхим, Законы распределения нулей решений линейного дифференциального уравнения 6-го порядка./ С.А. Аль-Джоуфи, А.Х. Катхим, М.Д. Джасим// Сборник научных статей по материалам IV-й Международной научно-практической конференции, г. Ставрополь, СГАУ, 28-29 сентября 2012г., с. 103-109.

38. А.Х. Катхим О соотношениях между промежутками единственности решений краевых задач для уравнения пятого порядка./ С.А. Аль-Джоуфи, А.Х. Катхим// Материалы Международной конференции «Мухтаровские чтения», «Актуальные проблемы математики и смежные вопросы», Махачкала, ДГТУ, 2012, с. 19-23

39. Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, CJI. Царев Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов// Современная математика. Фундаментальные направления. Том 12 (2004). М., 2004. С.3-140.

40. A.B. Зачепа Трехмодовые бифуркации решений в краевой задаче для симметричного ОДУ честого порядко // Труды матем. факультета. Выпуск 8 (новая серия). Воронеж: изд. "ТЕФА 2001. - С.48-55.

41. A.B. Зачепа, Ю.И. Сапронов О бифуркации экстремалей фред-гольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью 3-мерной сборки// Труды математического факультета, вып. 9 новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2005. - С.57-71.

42. Ф.А. Белых, A.B. Зачепа, Ю.И. Сапронов Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки// Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: В ГУ, 2005. - С. 18-33.

43. С. А. Аль-Джоуфи. О вырождении нетривиальных решений многоточечных краевых задач в нетривиальные решения двухточечных задач в случае линейного дифференциального уравнения пятого порядка. // Вестник ДГУ. Вып. 6, 2012, С. 119-126.

44. В.В. Степанов // Курс дифференциальных уравнений, М., 1958.

45. А.Л.Тептин. О знаке функции Грина краевой задачи с периодическими и штурмовскими краевыми условиями. //Вестник Удмуртского университета. Математика. 2008. Вып. 2, С. 150-151.

46. Seidel L "Abhandl. Bayer. Akad. Wiss. //Math.- naturwiss. Kl. 1974, Bd. 11, №3, s. 81-108. 4.

47. Ю.А. Изюмов , В.И. Сыромятников Фазовые переходы и симметрия //кристаллов. - Москва, Наука. 1984. - 247 с.

48. И.В. Колесникова, Ю.И. Сапронов, Н.С. Уварова, Экстремали фредгольмова функционала вблизи угловой точки минимума с омбилической особенностью // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской математической школы "Понтрягинские чтения -ХХШ". ВГУ, МГУ им. М.В. Ломоносова, математический институт им. В.А. Стеклова РАН. - Воронеж: издательско-полиграфический центр ВГУ, 2012.- С. 89-93.

49. Ю.И. Сапронов, Царев СЛ. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах// Матем. заметки. -2000. Т. 58, №5. - С. 745-754.

50. Е.Л. Николаи К задаче об упругой линии двоякой кривизны// Труды по механике. М.: Гостехиздат. 1955. - С.45-277.

51. Е.П. Попов Нелинейные задачи статики тонких стержней. М.ЮГИЗ. 1948. - 170 с.

52. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.-472 с.

53. Т.Ю. Сапронова О методе квазиинвариантых подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов// В кн.: топологические методы нелинейного анализа. Воронеж, ВГУ. -2000 С. 107-124.

54. А.Л.Тептин. О неосцилляции решений и знаке функции Грина. //Дифф. уравнения. 1984. №6(20), С. 995-1005

55. В.А. Чуриков. О двухточечной краевой задаче. //Изв. вузов. Математика. 1971. №9(112), С. 94-106.

56. С. А. Аль-Джоуфи. О нетривиальных решениях многоточечной однородной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения. // Вестник ДГУ. Вып. 1, 2012, С. 87-92.

57. А.Ю.Левин. Неосцилляция решений уравнения х^ + рх (?)х<-/7_1-) + + ...+ рп(0х = 0. //Успехиматем. наук. 1969. Т. 24, №2, С. 43^16.

58. П.И.Лизоркин. Курс дифференциальных и интегральных уравнений (с дополнительными главами анализа). -М:, 1981. «Наука».