Некоторые статистические критерии и их свойства в моделях многомерного гауссовского анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Кашицын, Павел Александрович

• Кашицын, Павел Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кашицын, Павел Александрович

Содержание

Введение

Благодарности

1 Многомерная гауссовская модель с зависимыми наблюдениями

1.1 Вспомогательные средства матричной алгебры

1.2 Матричные алгебраические модули

1.3 Распределение Уишарха

1.4 Модель зависимых наблюдений с ковариационной структурой. заданной в виде произведения Кронекера двух положительно определенных матриц

1.5 Оценивание параметров М, Е и Я>р: частный случай

1.6 Оценивание параметров М, Е и Ф : общий случай

1.7 Линейная гауссовская модель с зависимыми наблюдениями

1.8 Проверка линейных гипотез в модели с зависимыми наблюдениями

1.9 Однофакторный дисперсионный анализ

2 Функции мощности инвариантных критериев в многомерном гауссовском анализе

2.1 Инвариантные критерии при проверке линейных гипотез

2.2 Инвариантные критерии при проверке гипотез о зависимости многомерных признаков

2.3 Гипотеза Олкина-Перлмана и стохастический порядок случайных векторов

2.4 Монотонность функции мощности инвариантных критериев, являющихся функциями от элементарных симметрических многочленов

2.5 Монотонность функции мощности инвариантных критериев, являющихся усеченными суммами собственных значений

3 Конические гипотезы в многомерном гауссовском анализе

3.1 Матричный конус и его свойства

3.2 Обобщенный матричный конус и его свойства

3.3 Проекции на матричные конусы

3.4 Конические гипотезы

3.5 Критическая статистика в случае матриц <3, Е, заданных с точностью до неизвестных множителей

Основные обозначения

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые статистические критерии и их свойства в моделях многомерного гауссовского анализа»

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность темы 1

Многомерный статистический анализ — это раздел математической статистики, который изз'чает многомерные наблюдения. В гауссовком анализе также делается предположение о том, что распределение многомерных наблюдений, или векторов, является нормальным.

Проблемы, связанные с проверкой гипотез в многомерном гауссовском анализе, исследуются учеными с момента оформления этой науки в самостоятельную область в первой половине 20-го века. Основополагающие результаты в этой области были получены P.A. Фишерем. С.С. Уилксом, С.Н. Роем, М.С. Бартлеттом. Г. Хотеллингом.

Результаты исследований того времени были подведены к 60-м годам 20-го века в монографиях С.Н. Роя. 1957 и Т.В. Андерсона, 1963. В монографии Т.В. Андерсона линейные модели были изложены в форме регрессионного анализа без общего понятия линейных моделей и линейных гипотез. Общее понятие линейной модели и линейной гипотезы было недавно предложено Ю.Н Тюриным, 2010.

Проблемы, связанные с проверкой гипотез в многомерном гауссовском анализе, включают в себя следующие задачи:

• Проверка многомерных гипотез о наличии линейных связей между математическими ожиданиями наблюдений (линейные гипотезы);

• Проверка многомерных гипотез о наличии связей типа неравенств между математическими ожиданиями наблюдений (конические гипотезы);

• Проверка гипотез о независимости мноюмерных признаков (гипотезы о структуре ковариационной матрицы).

В ходе многолетних исследований были выработаны основные требования. предъявляемые к критериям, которые могут быть использованы при проверке гипотез в многомерном гауссовском анализе:

• Инвариантность критерия по отношению к аффинным преобразованиям наблюдений, у которых сдвиги не меняют гипотетическое множество:

• Свобода критерия от неизвестных параметров модели при гипотезе.

Следствием условия инвариантности оказывается то, что статистические критерии должны быть функциями от собственных значений произведений матриц, распределенных по Уишарту. Свобода распределения от

параметров модели при гипотезе для таких критериев достигается автоматически. Изучению свойств распределения Уитпарта посвящены работы Дж. Уишарта, G.G. Уилкса, А.Т. Джеймса и других.

В последние годы привлекают к себе внимание многомерные задачи, наблюдения в которых не являются независимыми, но имеют заданную ковариационную структуру. М.С. Сриваетава, Д. фон Розен и Т. Нахтман, '2008 решили задачу оценивания параметров модели, в которой совместная ковариационная структура наблюдений задастся в виде произведения Кронекера двух положительно определенных матриц. В 1-й главе настоящей диссертации для описанной структуры зависимых наблюдений была разработана теория линейных моделей. Эта теория, естественно, включает оценивание неизвестных параметров.

Во 2-й главе исследуется свойство монотонности функции мощности инвариантных критериев, возникающих при проверке гипотез в моделях многомерного гауссовского анализа как для независимых наблюдений, так и для зависимых наблюдений с заданной ковариацинной структурой. В 1980 г. И. Олкин и М.Д. Псрлман сформулировали гипотезу о монотонности функции мощности инвариантных критериев, верность которой в общем виде до сих пор не доказана и не опровергнута. В настоящей диссертации доказана монотонность функции мощности для широкого класса инвариантных критериев. Этот класс включает в себя все основные известные критерии, которые используются в прикладных задачах. Полученные результаты обобщают соответствующие результаты С.Н. Роя, 1961. Т.В. Андерсона. 1964, И. Олкипа и М.Д. Перлмапа. 1980. П. Гроенб}ма и Д.Р. Труа, 2000.

В последние десятилетия интенсивно развивается теория проверки гипотез о положении с ограничениями типа неравенств. Вначале данные гипотезы рассматривались как альтернативные к пулевым гипотезам в линейных моделях. Однако в приложениях часто возникают самостоятельные задачи, когда требуется проверить гипотезу о принадлежности параметра некоторому заданному выпуклому конусу. Теория конических гипотез в одномерном случае разрабатывалась такими учеными как Т. Ро-бертсон, Ф.Т. Райт и Р.Л. Дэйкстра. Однако единого подхода к проверке многомерных конических гипотез в гауссовском случае до сих пор разработано не было. В 3-й главе настоящей диссертации вводится понятие многомерного матричного конуса, и с его помощью решается задача о проверке многомерных конических гипотез в той общности, которая достаточна для решения прикладных задач.

Таким образом, тема диссертации представляется актуальной с теоретической точки зрения, и имеет практическую значимость.

Цель работы

Целью данной диссертации является исследование новых свойств статистических критериев, возникающих при проверке линейных и конических

гипотез для моделей многомерного гауссовского анализа с зависимыми наблюдениями, которые имеют заданную ковариационную структуру.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. В модели многомерных зависимых наблюдений с ковариационной структурой, заданной в виде произведения Кронекера двух положительно определенных матриц, предложен альтернативный метод получения состоятельных и несмещенных оценок с помощью техники, разработанной С.Н. Роем. Для указанной модели зависимых наблюдений разработаны методы проверки линейных гипотез. Доказана теорема об ортогональном разложении случайной матрицы с зависимыми столбцами. Предложенный подход проиллюстрирован на примере задачи многомерного дисперсионного анализа.

2. Доказана монотонность функции мощности для широкого класса инвариантных критериев многомерного гауссовского статистического анализа. При исследовании функции мощности инвариантных критериев получен ряд новых результатов, касающихся стохастических свойств нецентрального распределения Уишарта.

3. Введено понятие матричного конуса и исследованы его основные свойства. На базе введенного понятия ставится задача о проверке многомерных конических гипотез, обобщающая соответствующие одномерные аналоги. Распределение критической статистики исследовано при гипотезе.

Методы исследования

В работе применяются общие методы теории вероятностей и математической статистики, функционального анализа, а также элементы матричной и линейной алгебры. Широко используется теория стохастических порядков случайных векторов.

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Одновременно она направлена на приложения математической статистики. Предложенные в диссертации критерии могут быть полезны для решения практических задач, в которых распределение многомерных наблюдений с хорошей точностью можно считать нормальным.

Апробация работы и публикации

Основные результаты работы докладывались па следующих семинарах и конференциях:

• Большой семинар кафедры теории вероятностей МГУ под руководством академика РАН, проф. А.Н. Ширяева в 2013 г.

• Семинар «Непараметрическая статистика и временные ряды» под руководством проф. В.Н. Тутубалина, проф. Ю.Н. Тюрина и доц. М.В. Болдина в МГУ — неоднократно делал доклады в 2008-2013 гг.

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» в МГУ в 2013 г.

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» в МГУ в 2012 г.

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» в МГУ в 2011 г.

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» в МГУ в 2010 г.

• Международная конференция «Теория вероятностей и ее приложения» в МГУ, посвященная столетию со дня рождения Б.В. Гнеденко в 2012 г.

• Международная конференция по многомерной статистике в Тарту. Эстония в 2011 г. (the 9th Tai tu conference on Multivariate statistics).

Результаты диссертации опубликованы в 6 работах автора, из которых 2 входят в перечень ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет:

1. Кашицын П. А. (2011). Многомерная модель с коррелированными наблюдениями. Теория вероятностей и ее применения, т. 56. в. 3. с 602-606.

2. Кашицын П. А. (2012). О функции мощности статистических критериев, зависящих от элементарных симметрических многочленов. Вестник Московского Университета. Серия 1, Математика. Механика. в. 3; с. 55-58.

3. Кашицын П. А. (2013). Матричные конусы и проверка конических гипотез в многомерном гауссовском анализе. Деп. в ВИНИТИ, 21.03.2013. №83-В2013. 14 с.

4. Kashitsyn P.A. (2011). Multivariate model with a Kronecker product covariance structure: S.N.Roy method of estimation. Mathematical Methods of Statistics. Vol. 20, No. 1, p. 75-78.

5. Кашицын П. А. (2012). Стохастические свойства ортогональных инвариантов матрицы Уитиарта. Тезисы. Международной конференции «Теория вероятностей и ее приложения>>. посвященной 100-летию со дня рождения Б.В.Гнеденко, с. 372.

6. Kashitsyn P.A. (2011). Multivariate model with a Kronerker product covariance structure: general linear model. Abstracts of the 9th Tartu conference on Multivariate statistics, p. 35.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка обозначений и списка литературы, насчитывающего 75 наименований и организованного в алфавитном порядка. Вначале приведен список используемой литературы на русском языке, затем — зарубежные источники. Результаты, полученные автором диссертации, оформлены в виде Теорем и Лемм; необходимые известные факты сформулированы в виде Утверждений с указанием источника цитирования. Нумерация утверждений, лемм, теорем и формул начинается в каждой главе заново и состоит из двух чисел: первое число относится к номеру главы, второе — к номеру соответствующего утверждения (леммы, теоремы или формулы). Ссылки на работы других авторов сделаны по принципу «автор-дата». Общий объем работы составляет 97 страниц.

Краткое содержание диссертации

Диссертация посвящена статистическим критериям и их свойствам, которые возникают в многомерном гауссовском анализе, в частности в следующих трех случаях:

• Проверка линейных гипотез:

• Проверка гипотез о независимости многомерных признаков;

• Проверка конических гипотез.

Первая глава диссертации состоит из девяти разделов. В ней вводится вспомогательный аппарат матричных алгебраических модулей, а также исследуются методы проверки многомерных линейных гипотез для зависимых наблюдений.

В Разделах 1.1-1.3 изложены необходимые сведения из многомерного статистического анализа, которые используются в дальнейших разделах работы.

В Разделах 1.4-1.9 построена теория линейных моделей для набора зависимых наблюдений, совместное распределение которых имеет ковариационную структуру, заданную в виде произведения Кропекера двух положительно определенных матриц.

Рассмотрим левый алгебраический модуль элементами которого являются (р х п)-матритсы над кольцом (р х р)-матриц из К^ с естественными операциями матричного сложения и умножения на (р х р)-матрицу слева.

Определение. Подмодулем С называет,ся подмножество замкнутое относительно операций суммы и умножения на (рхр)-матрицу слева:

1. (X + У) € С для любых X, У е С.

2. КХ е С для любых X е С, к еЩ,.

Определение. Матричным скалярным произведением двух (р х п)-матриц X. У € будем называть {р х р) -матрицу

{Х,У)Я = ХЯУ\

где — положительно определенная (ихп)-матрица (обозначение: (5 >- О или <2 е ¥„). Будем говорить, что матрица <3 определяет введенное матричное скалярное произведение.

Определение. Ортогональным дополнением к подмодулю С С назовем подмодуль

= {у| у е КР. (У, Х)я = 0 для любого X Е С].

Определение. Проекцией X € на подмодуль С С назовем (р х п)-матрицу Z = рго]£(Х), если

1. г £ С;

2. х - гес-.

Ю.Н Тюриным было показано, что для любого подмодуля С С существует линейное подпространство Ь с М" такое, что (с/1, — др)' е С. дг € Мп,г = тогда и только тогда, когда дг 6 Ь,г = 1 .р. Линейное подпространство Ь будем называть порождающим для матричного подмодуля С.

Размеруюстью матричного подмодуля С С К^ (обозначение: сНт С) будем далее называть размерность порождающего его линейного подпространства Ь С

В Разделе 1.3 приводится ряд свойств нецентрального распределения Уишарта, которые используются в дальнейшем в настоящей работе.

Определение. Случайная (р х р)-матрица VI'р(п, Е. А) имеет нецентральное распределение Уишарта с п степенями свободы, ковариационной матрицей Е и параметром нецентральности А, если данная матрица может быть представлена в виде:

п

\¥р(п, Е. А) = ]Г0ег + гиг)(£г + Шг)\

г—1

где случайные вект,оры ¿а,---,^ суть независимые одинаково распределенные (н.о.р.) Лгр(0, Е), и параметр нецентральности

А = ТГЪММ'ТГЪ,

где М = (ть..., тп). В случае, если Д = 0, распределение Уишарта называется центральным и обозначает,ся ТУр(п, Е).

В Разделе 1.4 рассматривается набор зависимых наблюдений Х\...., хд, ковариационная структура совместного распределения которых определяется произведением Кронексра двух положительно определенных матриц:

Соч(х,,х3) = Ф = (фг]) >- О, Е >- 0.

Точнее, рассмотрим (рх д)-матрицу X = (ж1;..., хя). состоящую из наблюдений Ж],----хч, где рс/-вектор иес(Х) = {х\,..., по предположению

является нормально распределенным со средним ь-ес(М) = (т[,... ,т' )' и положительно определенной ковариационной матрицей Л. Предположим, что (рд х рг/)-матрица Л может быть задана в виде произведения Кро-иекера двух положительно определенных матриц, т.е. Л = Ф 0 Е, где {([ х (у)-матрица Ф = {'фг1) и (р х р)-матрица Е = {игз). и матрицы Ф,Е по предположению являются положительно определенными. Таким образом. случайная матрица X имеет многомерное нормальное распределение

X ~ Щ(М,А), Л = Ф'ЭЕ.

В монографии М.С. Сриваставы и С.Г. Хатри, 1979 используется эквивалентное обозначение

X ~ (М, Е, Ф).

которым мы будем пользоваться в дальнейшем.

Лемма 1.3 Пусть У ~ НРЧ(М, А,В), где А. В — неотрицательно определенные матрицы (обозначение: А ^ 0, В 0 или А 6 р§р. В € Тогда У ~ НЧФ{М\ В, А). Далее в Разделе 1.5 с использованием указанной леммы 1.3 при предположении об одинаковой распределенности наблюдений методом С.Н. Роя получены состоятельные и несмещенные оценки параметров модели.

Теорема 1.1 Пусть Х\.... сут.ь независимые одинаково распределенные А!р11(М, Е. Фр), где Фр = ('(¿V,). 'Фп = 1, г = 1,9- Тогда,

является несмещенной и состоятельной оценкой, Е при N оо.

Теорема 1.2 Пусть Х\,..., Хм суть независимые одинаково распределенные А'р_д(М, Е, Фр), где Фр = (г^), 'фы = 1- г = 1, д. Тогда

N

-х{к))(х1] - х{1))'

J=l

является состоят,ельной оценкой и>ы, к ф 1, к. I — 1, <7 при N —>• оо.

В Разделе 1.6 рассматривается общий случай без предположения об одинаковой распределенности многомерных наблюдений.

С использованием леммы 1.3 показано, что если некоторая случайная обратимая матрица Е является состоятельной оценкой параметра Е, то случайная матрица

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кашицын, Павел Александрович, 2013 год

Список литературы

Ii [2

[3

[4 [5

[6

[8 [9

[10

[И [12

113

[14

[15

[16 [17 [18

Алексеев В.M., Тихомиров В.M.. Фомин C.B. (1979). Оптимальное управление. М.: Наука, 430 с.

Андерсон Т. (1963). Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматлит, 500 с.

Боровков А. А. (1984). Математическая статистика. М.: Наука, 472 с.

гантмахер Ф.Р. (2004). Теория матриц. М.: Физматлит, 560 с.

Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. (1984). Математическая статистика. М.: Высшая школа, 248 с.

Иоффе А.Д.. Тихомиров В.М. (1974). Теория экстремальных задач. М.: Наука, 481 с.

Кенда,/ 1л М., Стыоарт А. (1973). Статистические выводы и связи. М.: Наука, 900 с.

Кендалл М., Стыоарт А. (1976). Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 736 с.

Магнус. Я. Р., Нейдекер X. (2002). Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике. Пер. с англ. м.: Физматлит. 496 с.

Михалев A.A., Михалев A.B. (200-5). Начала алгебры, Часть 1. М.: Интернет-Ун-т Информ. Технологий, 272 с.

РОКАФЕЛЛАР Р. (1973). Выпуклый анализ. Пер. с англ. М.: Мир, 472 с.

СУХАНОВА Е.М. (2009). Матричная корреляция. Теория вероятн. и ее примен., т. 54, в. 2, с. 383-391.

Тюрин Ю.Н. (2005). Проверка конических гипотез. Математика. Механика. Информатика : тр. конф., посвящ. 10-летию РФФИ. - М. : Физматлит. с. 289-307.

Тюрин Ю.Н. (2010). Многомерный статистический анализ: геометрическая теория. Теория вероятн. и ее примен. т. 55, с. 36-58.

Тюрин Ю.Н. (2011). Многомерная статистика: гауссовские линейные модели. Издательство МГУ, 136 с.

Хорн Р., Джонсон Ч. (1989). Матричный анализ. М.: Мир, 656 с.

Шеффе Г. (1963) Дисперсионный анализ. М.: Физматлит, 628 с.

Ширяев А.Н. (2004) Вероятность. В 2-х кн./3-е изд. М.: МЦНМО, 927 с.

[19] Adamson I.T. (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Barnes Noble Books, 136 p.

[20] Anderson T.W. (1955). The integral of a symmetric unimodal function over a symmetric convex set and some probability inequalities. Proc. Amer. Math. Soc., Vol. 6. p. 170 - 176.

[21J Anderson T.W., Das Gupta S. (1964). A monotonicity property of the power functions of some tests of equality of two covariance matrices. Ann. Math. Statist., Vol. 35. p. 1059-1063.

[22] Bartlett M.S. (1947). The general canonical correlation distribution. Ann. Math. Statist., Vol. 18, p. 1-17.

[23] Bir.odeau M., Brenner D. (1999). Theory of Multivariate Statistics. New York: Springer-Vcrlag. 308 p.

[24] Coi-ien A., Kemperman J.H.B, Sackrowitz H.B. (1994). Projected Tests for Order Restricted Alternatives. Ann. Statist.. Vol.22, No. 3, p. 1539-1546.

[25] Cohen A., Kemperman J.H.B, Sackrowitz H.B. (2000). Properties of Likelihood Inference for Order Restricted Models. J. of Mult. Anal., Vol.72, No. 1, p. 50-77.

[26] Das Gupta S., Anderson T.W., Mudiiolkar G.S. (1964). Monotonicity of the power functions of some tests of the multivariate linear hypothesis. Ann. Math. Statist., Vol.35, p. 200-205.

[27] Deemer W.L.. Olkin I. (1951). The -Jacobians of ccrtain matrix transformations useful in multivariate, analysis. Biometrika, Vol.38, p.345-367.

[28] Dinesi-i S.Biioj. (1987). Testing hypothesis on the mean vector under an intraclass correlation structure. Biometrical journal, No. 7, p. 783 - 789.

[291 Durrin J., Kendall M.G. (1951). The geometry of estimation . Biometrika, Vol.38, p. 150 - 158.

[30] Eaton M.L., Perlman M.D. (1973). A monotonicity property of the power functions of some invariant tests for MAN OVA. Ann. Math. Statist., Vol. 1, No. 4, p. 710-717.

[31] F.acchinei F., Pang J.S. (2003). Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems. Springer Series in Operations Research and Financial Engineering, 694 p.

[32] F.arrel R.G. (1976). Techniques of multivariate calculation. Lecture Notes in Math.. Springer-Verlag, New York, 337 p.

[33] Fisher R.A. (1939). The sampling distribution of some statistics obtained from non-linear equations. Ann. Eugenics, Vol.9, p. 238-249.

[-34] Fortuin C.M.. Ginibre J., Kasteleyn P.W. (1971). Correlation inequalities on some partially ordered sets. Commun. Math. Phys., Vol. 22, p. 89103.

[3-5] Groeneboom P., Truax D.R. (2000). A monotonicity property of the power function of multivariate tests. Indag. Math.. Vol. 11, p. 209-218.

Gross K.I., Richards D.S.P. (1989). Total positivity, spherical series, and hvpergeometric functions of matrix argument. J. Approx. Theory, Vol. 59, p. 224246.

Hotelling H. (1936). Relations between two sets of variat.es. Biometrika, Vol. 9. p. 321-377.

James A.T. (1954). Normal multivariate analysis and the orthogonal group. Ann. Math. Statist., Vol.25, p. 40-75.

James A.T. (1961). The distribution of non-central means with known covariance. Ann. Math. Statist., Vol.32, No.3, p. 874-882.

James A.T. (1964). Distributions of matrix variates and latent roots derived from normal samples. Ann. Math-. Statist., Vol.35, No. 2, p. 475-501.

kemperman J.FI.B. (1977). On the FKG-inequality for measures on a partially ordered space. Indag. Math, Vol.39, p. 313-331.

Kiiatri C.G. (1965). A test for reality of a covariance matrix in a certain complex Gaussian distribution. Ann. Math. Statist... Vol.36, p. 98-114.

Kiefer J., Schwartz R. (1965). Admissible Baycs character of T2-, R2-, and other fully invariant tests for classical multivariate normal problems. Ann. Math. Statist., Vol.36, p.747-770.

hotelling h. (1936). Relations between two sets of variates. Biometrika, Vol.9, p. 321-377.

Lawley D.N. (1938). A generalisation of Fishers Z-test. Biometrika, Vol.30, p. 180-187.

Lee Y.S. (1971). Asymptotic formula for the distribution of a multivariate test statistic; power comparison of certain multivariate tests. Biometrika, Vol. 58, p.647-651.

Lehmann E.L. (1955). Ordered families of distributions. Ann. Math. Statist., Vol. 26, p. 399-419.

Lehmann E.L., Romano J. P. (2005). Testing Statistical Hypotheses. Third , Edition. New York: Springer, 786 p.

MuiRHEAD R.J. (2005). Aspects of Multivariate Statistical Theory. Wilcy-Interscience, 2005. 712 p.

Olkin I., Perlman M.D. (1980). Unbiasedness of invariant tests for MANOVA and other multivariate problems. Ann. Math. Statist., Vol. 8, p. 13261341.

Perlman M.D. (1974). On the monotonicity of the power functions of tests based on traces of multivariate beta matrices. J. Multivariate. Anal., Vol.4, No. 1, p. 22-30.

PILLAJ K.C.S., Jayachandran K. (1967). Power comparisons of tests of two multivariate hypotheses based on four criteria. Biometrika., Vol.54, p. 195-210.

Pit.lai K.C.S.. Li H.C. (1970). Monotonicity of the power functions of some tests of hypotheses concerning multivariate complex normal distributions. Ann. Inst. Statist. Math.., Vol.22, p. 307-318.

Preston C.J. (1974). A generalization of the FKG inequalities. Commun. Math. Phys., Vol.36, p. 233-341.

Richards D.S.P. (2004). Total positivity properties of generalized hypergeometric functions of matrix argument. J. oj Stat. Phys., Vol.116, No. 114, p. 907-922.

Robertson T., Wright F.T. (1983). On approximation of the level probabilities and associated distributions in order restricted inference. Biometrika., Vol. 70, No.3, p. 597-606.

Robertson T.. Wright F.T., Dykstra R.L. (1988). Order restricted statistical inference. John Wiley and Sons, Chichester, 488 p.

Roy A.. KhattreeR. (2005). On implementation of a test for Kronecker product covariance structure for multivariate repeated measures data. Statistical Methodology, No. 2, p. 297 - 306.

R,oy S.N., Mikhail W.F. (1961). On the monotonic character of the power functions of two multivariate tests. Ann. Math. Statist,., Vol.32, p. 1145-1151.

Roy S.N. (1957). Some Aspects of Multivariate Analysis, New York: Wiley, 214 P-

SciIAAFSMA W. (1968). A comparison of the most stringent and the most stringent somewhere most powerful test certain problems with restricted alternative. Ann. Math. Statist., Vol. 39, p. 531-546.

Schatzoff M. (1966). Sensitivity comparisons among tests of the general linear hypothesis. ,/. Amer. Statist. Assoc., Vol.61, p. 415-435.

Schmidt P., Thomson M. (1982). A note on the comparison of the mean square error of inequality constrained least squares estimates. Econom. Lett., Vol. 5, p. 355-358.

SCHORNFBLD D. (1986). Convex sets in minimum distance estimation. Comm. Statist., Vol. 15, p. 3625-3635.

Schwartz R. (1967a). Locally minima* tests. Ann. Math. Statist., Vol.38, p. 340-359.

Schwartz R. (1967b). Admissible tests in multivariate analysis of variance. Ann. Math. Statist., Vol.38, p. 698-710.

Si-iaked M., Siiantiiikumar J.G. (2006). Stochastic orders, Springer series in statistics, 491 p.

[68] SrivastayaM. S., NahtmanT., von Rosen D. (2008). Models with a Kronecker Product Covariance Structure: Estimation and Testing. Mathematical Methods of Statistics, Vol. 17. No. 4. p. 3-57-370.

[69] Srtvastava M.S., KhatriC.G. (1979). An Introduction to Multivariate Statistics, North Holland. New York. 350 p.

[70] srivastava M.S. (1984). Estimation of intcrclass correlations in familial data. Biometrika, Vol. 71, p. 177-185.

[71] VotawD.F. (1948). Testing compound symmetry in a normal multivariate distribution. Ann. Math. Statist., Vol.19, p. 447-473.

[72] wllks S.S. (1932). Certain generalizations in the analysis of variance. Biometrika, Vol. 24, p. 471-494.

[73] Wilks S.S. (1935). On the independence of к Sets of Normally Distributed Statistical Variables. Econometrica, Vol.3, No. 3, p. 309-326.

[74] wllks S.S. (1946). Sample criteria for testing equality of means, equality of variances and equality of covariances in a norma] multivariate distribution. 77,??,. Math. Statist., Vol. 17, p. 257 - 281.

[7-5] wlshart J. (1928). The generalised product moment distribution in samples from a normal multivariate population. Biometrica, 20A (1-2), p. 32-52.

Список публикаций автора по теме диссертации

[1] Кашицын П. А. (2011). Многомерная модель с коррелированными наблюдениями. Теория вероятностей гх ее применения, т. 56, в. 3, с. 602-606.

[2] Кашицын П. А. (2012). О функции мощности статистических критериев, зависяпщх от элементарных симметрических многочленов. Вестник Московского Университета. Серия 1, Математика. Механика, в. 3, с. -55-58.

[3] Кашицын П. А. (2013). Матричные конусы и проверка конических гипотез в многомерном гауссовском анализе. Деп. в ВИНИТИ, 21.03.2013, №83-132013,

[4] Kashitsyn Р. А. (2011). Multivariate model with a Kronecker product covariance structure: S.N.Roy method of estimation. Mathematical Methods of Statistics, Vol. 20, No. 1, p. 75-78.

[•5] Кашицын П. A. (2012). Стохастические свойства ортогональных инвариантов матрицы Уишарта. Тезисы Международной конференции <?Теория вероятностей и ее приложения», посвяю,енной 100-летию со дня рождения В.В.Гпеденко, с. 372.

[6] Kashitsyn Р. А. (2011). Multivariate model with a Kronecker product covariance structure: general linear model. Abstracts of the 9th Tartu conference on Multivariate, statistics, p. 35.

14 c.