Задачи идентификации коэффициентов многомерных параболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Баранов, Сергей Николаевич

• Баранов, Сергей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Баранов, Сергей Николаевич

Введение

Некоторые определения и теоремы функционального анализа и дифференциальных уравнений

Глава I. Задача идентификации двух неизвестных коэффициентов многомерного параболического уравнения

1.1. Постановка задачи.

1.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче

1.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи

1.4. Построение решения исходной задачи.

1.5. Доказательство выполнения условий переопределения

1.6. Единственность решения исходной задачи.

Глава II. Задачи идентификации трех неизвестных коэффициентов многомерного параболического уравнения

1. Определение трех младших коэффициентов.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче

1.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи 44 , 1.4. Построение решения исходной задачи.

1.5. Доказательство выполнения условий переопределения

1.6. Единственность решения исходной задачи.

2. Определение коэффициентов при ж), х), х, г)

2.1. Постановка задачи.

2.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче

2.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи

2.4. Построение решения исходной задачи.

2.5. Доказательство выполнения условий переопределения

2.6. Единственность решения исходной задачи.

3. Определение коэффициентов при я), х), х, г)

3.1. Постановка задачи.

3.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче

3.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи

3.4. Построение решения исходной задачи.

3.5. Доказательство выполнения условий переопределения

3.6. Единственность решения исходной задачи.

4. Определение трех старших коэффициентов

4.1. Постановка задачи.

4.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче

4.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи

4.4. Построение решения исходной задачи.

4.5. Доказательство выполнения условий переопределения

4.6. Единственность решения исходной задачи.

Глава III. Задача идентификации четырех неизвестных коэффициентов многомерного параболического уравнения

1.1. Постановка задачи.

1.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче

1.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи

1.4. Построение решения исходной задачи.

1.5. Доказательство выполнения условий переопределения

1.6. Единственность решения исходной задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи идентификации коэффициентов многомерных параболических уравнений»

Обратными задачами для дифференциальных уравнений называются задачи определения входных данных - коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий по дополнительной информации о решениях уравнений. Эту дополнительную информацию часто называют условиями переопределения.

Обратные задачи возникают во многих областях науки и техники. Необходимость использования обратных задач возникает, например, в следующих случаях:

• создание приборов, техники с заранее заданными или заранее планируемыми характеристиками;

• оценка экспериментальных данных, получение тех или иных выводов по косвенным наблюдениям;

• обработка данных, полученных в результате проведенного эксперимента.

Теория и методы решения обратных задач составляют важное направление научных исследований в области дифференциальных уравнений в частных производных.

Обратная задача называется одномерной, если коэффициенты уравнения зависят только от одной пространственной переменной. В случае, когда уравнение зависит от нескольких пространственных переменных, обратная задача называется многомерной.

Первые результаты о разрешимости одномерных обратных задач принадлежат Г.Герглотцу [68] и Е.Вихерту [76]. Результаты, связанные с изучением многомерных обратных задач, были впервые получены Ю.М. Березанским в работе [21]. Одномерные обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались, например, в [42], [36, 37]. Исследования многомерных обратных задач проводились М. М. Лаврентьевым [39, 43], В.Г. Романовым [48, 51], Ю.Е. Анико-новым [1, 6, 59, 60, 61], Б.А. Бубновым [22], А.Д. Искендеровым [32, 34], М.В. Клибановым [35], А.И. Прилепко [44, 45], Н.Я. Безнощенко [8, 11], Н.И. Иванчовым [29, 30] и другими.

В диссертации рассматриваются задачи определения входных данных многомерных параболических уравнений.

Краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении независимости искомых коэффициентов (в том числе и функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственной переменной рассматривались в работах [22], [23], [55], [64]-[67], [73], [75] и других.

В работах А.И Кожанова [36]-[38], [69]-[71] рассматривались краевые обратные задачи, в которых неизвестный коэффициент зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и является ядром некоторого дифференциального оператора первого порядка.

В работах [52, 54] исследовалась однозначная разрешимость обратных задач для параболических уравнений, когда искомый коэффициент или функция источника зависит от всех переменных и имеет вид /(£)д(х) или /(¿)4-д(х). Обратным задачам для параболических уравнений с данными Коши посвящены работы [5], [8], [12]-[14], [16], [64], [66]. В указанных работах разрешимость получена в предположении, что искомые коэффициенты не зависят от каких - либо переменных, входящих в уравнение. В работе [49] в случае данных Коши доказана теорема единственности для задачи определения функции источника, зависящего от всех переменных и имеющего специальный вид.

В работах [25], [26] изучены задачи гиперболической аппроксимации для обратных задач, задачи однозначной разрешимости для гиперболических уравнений, содержащих малый параметр при второй производной по времени, исследован вопрос о близости решений задач с малым параметром и соответствующих предельных задач.

В работах [17]-[19] доказана однозначная разрешимость многомерной обратной задачи определения функции источника х) параболического уравнения, которая зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и представима в виде х) = /(£)<?(#); исследована корректность задачи идентификации функции источника для системы составного типа в предположении, что функция источника зависит только от временной переменной Исследованы вопросы стабилизации решения при £ —оо; доказаны теоремы существования и единственности «в целом» для одномерной нелинейной обратной задачи в случае, когда неизвестен коэффициент при младшем члене параболического уравнения. Получены достаточные условия, при которых решение исследуемой задачи стремится к решению некоторой стационарной задачи при £ —у оо.

В основе исследования разрешимости задач с данными Коши лежит метод, позволяющий с помощью преобразования Фурье переходить от обратной задачи к прямой задаче для интегро-дифференциального уравнения. Механизм сведения обратной задачи к прямой впервые предложен Ю.Е. Аниконовым [1]. Далее такой подход к исследованию корректности обратных задач был развит в работах [4]-[6], [7], [14], [22], [64], [66] и применен к решению задач, исследованных в настоящей диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и списка публикаций автора по теме диссертации. Исследуются задачи определения одновременно нескольких коэффициентов многомерных параболических коэффициентов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Баранов, Сергей Николаевич, 2005 год

1. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений - Новосибирск: Наука. Сиб. отд. 1978.

2. Аниконов Ю.Е. Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения// Матем.сборник. 1990. Т.181. №1. С.68 74.

3. Аниконов Ю.Е. Обратные задачи математической физики и биологии// ДАН СССР.1991. Т.318. №6. С.1350 1354.

4. Аниконов Ю.Е. Псевдодифференциалъные операторы и обратные задачи Новосибирск - 1986. (Препринт / АН СССР. Сиб. от-ние. Вычислительный центр, N671).

5. Аниконов Ю.Е., Белов Ю.Я. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР. 1989. Т.306. №6. С.1289 1293.

6. Аниконов Ю.Е., Бубнов Б.А. Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР. 1988. Т.298. №4. С.777 779.

7. Ахтамова С.С., Белов Ю.Я. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // ДАН СССР. 1991. Т.316. С.791 795.

8. Безнощенко Н.Я.0 задаче Коши для уравнения щ — Аи + иАи = / // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.21. №6. С.991-1000.

9. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при младщих членах в параболическом уравнении// СМЖ. 1975. Т.16. №3. С.473 -482.

10. Безнощенко Н.Я. Об определении коэфициента при младшем члене общего параболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1976. Т.12. т. С.175 176.

11. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении// Дифференциальные уравнения. 1975. Т.П. т. С.19 26.

12. Белов Ю.Я. Обратная задача для уравнения Вюргерса // ДАН СССР. 1992. Т.323. №3. С.385 388.

13. Белов Ю.Я. О расщеплении одной обратной задачи для многомерного параболического уравнения // ДАН СССР. 1995. Т.345. №4. С.441 444.

14. Белов Ю.Я., Саватеев Е.Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени // ДАН СССР. 1991. Т.334. №5. С.800 804.

15. Белов Ю.Я., Шипина Т.Н. О задаче идентификации функции источника для системы составного типа. Тезисы докладов конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". Москва. МГУ. 15 - 18 июня 1998г.

16. Белов Ю.Я., Шипина Т.Н. Об одной обратной задаче для системы составного типа. Тезисы докладов Третьего сибирскогоконгресса по прикладной и индустриальной математике. Часть 1. Новосибирск. 22 - 26 июня 1998г. С. 136.

17. Белов Ю.Я., Шипина Т.Н. Об одной задаче определения функции источника. Тезисы докладов Международной конференции "Обратные задачи математической физики". - Новосибирск. 21 - 25 сентября 1998г. С. 18.

18. Белов Ю.Я., Яненко H.H. Влияние вязкости на гладкость решения в неполно параболических системах // Матем. заметки. 1971. Т. 10. Ж. С.93 - 99.

19. Березанский Ю.М. Об однозначности определения уравнения Шре-дингераЦ ДАН СССР. 1953. В.93. JVM. С.591 594.

20. Бубнов Б.А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений Новосибирск - 1989 (Препринт /АН СССР. Сиб. отд. Вычислительный центр. С. 87 - 714).

21. Волков В.М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа// Дифференциальные уравнеия.1983. Т. 19. №12. С.2166 2169.

22. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики М.: МГУ. 1979.

23. Ермолаева О.Н. О гиперболической регуляризации обратной задачи опеределения коэффициента при второй производной по пространственной переменной // Комплексный анализ и математическая физика. КрасГУ. 1998. С. 45-58.

24. Иванчов Н.И. Обратные задачи теплопроводности в двух компонентной среде// Дифференциальные уравнения. 1992. Т.28. №4. С.666 672.

25. Иванчов Н.И. Некоторые обратные задачи для уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями// Украинский математический журнал. 1993. Т.45. №8. С. 1066 1071.

26. Иванчов Н.И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости// Сибирский математический журнал. 1994. Т.35. №. С.612 621.

27. Иванчов Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении// Сибирский математический журнал. 1998. Т.39. №3. С.539 550.

28. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук. 1962. Т. 17. С. 3-146.

29. Искендеров А.Д. Многомерные обратные задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений// ДАН СССР. 1975. Т. 225. №. С.1005 1008.

30. Искендеров А.Д. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений// Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. №5. С.890 898.

31. Искендеров А.Д., Тагиев Р.К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения// Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. №. С. 1324 1334.

32. Клибанов М.В. Обратная задача для параболического уравнения и одна задача интегральной геометрии// СМЖ. 1976. Т. 17. №3. С.564 569.

33. Кожанов А.И. Уравнения составного типа и нелинейные обратные задачи для эллиптических и параболических уравнений Новосибирск, 1998 - 29с. (Препринт/ РАН Сиб. отд. Ин-т математики; №54).

34. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка Новосибирск: Издательство Новосибирского университета, 1990, - 132с.

35. Кожанов А.И., Кириллова Г.А. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка // Математические заметки ЯГУ. 2000. Т.7, е 1. С. 35-49.

36. Лаврентьев М.М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений// ДАН СССР. 1965. Т.160. №1. С.32 35.

37. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики Новосибирск: СО АН СССР. 1962.

38. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г. Теоремы единственности нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа// ДАН СССР.1973. Т.208. №3. С.531 532.

39. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики Новосибирск: Наука. Сибирское отделение. 1982.

40. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа- М.: Наука. 1980.

41. Прилепко А.И. Избранные вопросы в обратных задачах математической физики Новосибирск: Наука. 1992. С.151 - 162.

42. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения переноса) // Математические заметки. 1973. Т.14,15.

43. Прилепко А.И., Костин A.B. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением //Матем. сб. 1992. Т.183. №4. С.49-68.

44. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Наука, 1965.

45. Романов В.Г. К теоремам единственности одного класса обратных задач// ДАН СССР. 1972. Т.204. №5. С.1075 1076.

46. Романов В.Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения// Матем. заметки. 1976. Т.19. №4. С.595 600.

47. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений -Новосибирск: НГУ. 1973.

48. Романов В.Г. Теорема единственности и устойчивости для нелинейного операторного уравнения// ДАН СССР. 1972. Т.207. №5. С.1051 1053.

49. Саватеев Е.Г. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений//ДАН. 1995. Т.340. №5. С.595 596.

50. Саватеев Е.Г. О задаче определения функции источника и коэффициента параболического уравнения//ДАН. 1995. Т.344. №5. С.597 -598.

51. Саватеев Е.Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения// СМЖ. 1995. Т.36. №1. С.177 185.

52. Соловьев В.В. О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения// Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25. №9. С. 1577 1583.

53. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач М.: Наука. 1979.

54. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач// ДАН СССР. 1943. Т.5. №39. С.195 198.58. янбнко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики Новосибирск, 1967.

55. Anikonov Yu.E. Multidimensional Inverse and Ill-Posed Problems for Differencial Equations / VSP. Utrecht. 1995.

56. Anikonov Yu.E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems / VSP. Utrecht. 1997.

57. Anikonov Yu.E. Inverse Problems for Kinetic and other Evolution Equations / VSP. Utrecht. 2001.

58. Anikonov, Yu.E. and Belov, Yu.Ya. On unique solvability of an inverse problem for a parabolic equation / Dokl. Akad. Nauk SSSR, 306, 6, 1289 1293. English transl. in Sov. Math. Dokl., 39, 3, 601 - 605.

59. Anikonov Yu.E. and Belov, Yu.Ya. Determining two unknown coefficients of then parabolic type equation //J. Inv. Ill-Posed Problems.

60. Belov Yu.Ya. Inverse problems for parabolic equations// J. Inv. Ill-Posed Problems. 1993. V.l. №4. P.283 305.

61. Cannon J.R. and Yanping Lin. Determination of a parameter p(t) in some quasi linear parabolic differential equations// J. Ill - Posed and Inverse Problems. 1988. V.4. №1. P.595 - 606.

62. Herglotz. G. Uber die Elastizität der Erde bei Borucksichtigung inter Variablen Dichte Zeit sehr, fur Math, und Phys. 1905. Bd52. №3. S.275 - 299.

63. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems // Utrecht: VSP. 1999.

64. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation, I // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2002. V.10, N 6. P. 547-658.

65. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problem with an unknoun coefficient and right-hand side for a parabolic equation, II // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V.ll, N 5. P. 505-522.

66. Pilant M. and Rundell W. An inverse problem for nonlinear parabolic equation// Comm. in Partial Differntial Equation. 1986. V.ll. №4. P. 445 457.

67. Riganti R. and Savateev E. On the solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation// Rapporto Interno. 1991. №25. Politecnico di Torino. Torino.

68. Riganti R. and Savateev E. Solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Comm. in Partial Differntial Equation. 1994. V.19. №9&10. P. 1611 1628.

69. Riganti R. and Savateev E. Inverse problem for the nonlinear heat equation with final overdetermination // Rapporto Interno. 1995. №7. Politecnico di Torino. Torino.

70. Wiechert E. und Zoeppritz K. Uber Erdbebenwellen Gotingen Nachr. Konigl. Geselschaft. 1907. №4. S.415 - 549.Публикации по теме диссертации

71. Баранов С. Н., Белов Ю. Я. О задаче идентификации трех коэффициентов с неоднородными условиями переопределения// Вычислительные технологии, т. 8, часть 4. Новосибирск. 2003. С. 92-102.

72. Баранов С. Н., Белов Ю. Я. О задаче идентификации нескольких коэффициентов с неоднородными условиями переопределения // Дальневосточный математический журн. Т. 5. -№1. - Владивосток,2004. С. 30 - 40.