Некоторые алгоритмические проблемы в группах Артина большого и экстрабольшого типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Кузнецова, Анна Николаевна
- Специальность ВАК РФ01.01.06
- Количество страниц 100
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецова, Анна Николаевна
Введение.
Глава 1. Группы Артина большого типа. Элементы бесконечного порядка.
1. Диаграммы над конечно порожденными группами Артина большого типа.
2. Элементы бесконечного порядка в группах Артина большого типа.
Глава 2. Проблемы вхождения в циклическую подгруппу и слабой степенной сопряженности слов в группах Артина большого типа.
1. Проблема вхождения в циклическую подгруппу,.34'
2. Проблема слабойстепенной сопряженности слов.
Глава 3. Группы Артина экстрабольшого типа. Проблемы степенной сопряженности^ слов и пересечения циклических подгрупп.
1. Диаграммы над конечно порожденными группами Артина экстрабольшого типа.
2. Проблема степенной сопряженности слов.
3. Проблема пересечения циклических подгрупп.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Решение некоторых алгоритмических проблем в группах Артина с древесной структурой2013 год, кандидат физико-математических наук Платонова, Оксана Юрьевна
Проблемы вхождения и сопряденности слов и продгрупп в некоторых классах групп1997 год, доктор физико-математических наук Безверхний, Владимир Николаевич
Решение алгоритмических проблем в группах Кокстера2010 год, доктор физико-математических наук Добрынина, Ирина Васильевна
Некоторые алгоритмические проблемы в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой2009 год, кандидат физико-математических наук Инченко, Оксана Владимировна
Проблемы сопряженности слов и подгрупп в свободных конструкциях групп2015 год, кандидат наук Логачева Елена Сергеевна
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые алгоритмические проблемы в группах Артина большого и экстрабольшого типа»
Актуальность темы
В настоящее время теория групп является одним из самых развивающихся разделов алгебры, получившая свое применение в различных областях математики и естествознания. В 1911 году М.Дэн сформулировал основные алгоритмические проблемы для класса конечно определенных групп: проблему равенства слов, проблему сопряженности слов и проблему изоморфизма. После этого комбинаторная теория групп оформилась как самостоятельная наука со своей проблематикой.
Проблемы равенства, сопряженности слов и изоморфизма получили отрицательное решение в работах П.С. Новикова. В [22] им был построен пример конечно определенной группы с неразрешимой проблемой равенства слов, тем самым была доказана неразрешимость проблемы сопряженности слов В1 классе конечно определенных групп. В [23] П.С. Новиков построил пример группы с разрешимой проблемой равенства, но неразрешимой проблемой сопряженности слов. Используя полученные результаты, им была доказана неразрешимость, проблемы изоморфизма. Таким образом, была показана неразрешимость основных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп. Поэтому возникла задача изучения данных проблем в отдельных классах конечно определенных групп. В связи с этим большой интерес представляет собой класс конечно определенных групп Артина и Кокстера.
Группа Артина — это группа О, заданная системой образующих а1, е/, |/|<оо, и системой определяющих соотношений ар. а^. — а ар. .^ е /, где слова, стоящие слева и справа, состоят из тц чередующихся букв а1 и а , у; тц- элемент симметрической матрицы Кокстера то )Мс/ > имеющей вид
1 т\ ту . * к причем, при / Ф у, т1} = т}1, тч> 2.
Если к определяющим соотношениям группы Артина добавить соотношения вида: V/ е /, а] = 1, получим копредставление соответствующей группы Кокстера. Группы Кокстера, со времени^ их введения Кокстером в 1935 году, были подробно изучены. Обстоятельное изложение полученных результатов имеется у Бурбаки [12].
Класс групп Артина содержит группы кос, копредставление которых было получено Артином, решившим в данном классе групп проблему равенства слов, используя геометрические методы [28]. Алгебраическая' теория групп кос была построена A.A. Марковым [20], который; решил проблему равенства аналитическим методом: Проблема сопряженности в группе кос была решена Ф. Гарсайдом [13] и независимо E.G. Маканиным [18]. В 1971 г. Г.С. Маканин [19] доказал, что нормализатор любого элемента групп кос конечно порожден и указал; алгоритм? построения образующих этого нормализатора. Г.Г. Гурзо [15] путем обобщения метода, описанного в [19], получила алгоритм для нахождения образующих централизатора конечного множества- элементовгруппы кос. Отметим, что до настоящего времени неизвестна разрешимость проблемы, равенства в конечно определенных группах Артина;.
В 1972 году Э. Брискорном и К. Сайто [11] был введен класс групп -группы Артина конечного типа. Группа Артина- называется группой Артина конечного типа, если соответствующая em группа Кокстера конечна. Э. Брискорн и К. Сайто доказали разрешимость проблем равенства и сопряженности слов в данном классе групп [11]. Для групп Артина конечного типа В.Н. Безверхним; и В.А. Гринблатом было получено решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу [8]. Ю.Э. Трубицин [25] и В.А. Гринблат [14] доказали разрешимость, проблемы обобщенной сопряженности слов в данном классе групп. Также для групп Артина конечно типа В.Н. Безверхний доказал неразрешимость проблемы вхождения в неприводимые группы Артина конечного типа [2].
В 1983 году К. Аппелем и П. Шуппом был выделен класс групп, Артина большого и экстрабольшого типа [27].
Если все числа тц при i Ф j симметрической матрицы Кокстера для групп Артина (Кокстера) больше либо равны трем, то группы называются группами Артина (Кокстера) большого типа. Если все числа ту при: i Ф j симметрической матрицы Кокстера для групп Артина (Кокстера) больше трех, то группы называются группами Артина (Кокстера) экстраболъшого типа. Для групп Артина и Кокстера экстрабольшого типа П. Шуппом и К. Аппелем [27] было получено решение проблем равенства и сопряженности' слов. К. Аппелем и независимо В.Н. Безверхним была решена проблема сопряженности слов в группах Артина большого типа [4]; В.Н. Безверхний получил решение обобщенной сопряженности слов для групп Артина большого типа [5].
Цель работы
Данная работа посвящена описанию решения некоторых алгоритмических проблем в конечно порожденных группах Артина большого и экстрабольшого типа.
1. Доказать, что группы Артина большого типа свободны от кручения.
2. Дать решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина большого типа.
3. Получить решение проблемы слабой степенной сопряженности в группах Артина большого типа.
4. Доказать разрешимость проблемы степенной сопряженности в группах Артина экстрабольшого типа.
5. Описать решение проблемы пересечения циклических подгрупп в группах Артина экстрабольшого типа.
При изучении проблем преобладают геометрические методы, которые позволяют придать доказательствам основных результатов наглядность и прозрачность.
Краткое описание работы
Первая глава настоящей работы состоит из двух параграфов и посвящена описанию структуры диаграмм над конечно порожденными группами Артина большого типа, решению проблемы кручения данных групп. В первом параграфе введены преобразования диаграмм, которые позволяют получить минимальную диаграмму, соответствующую изучаемой группе. Введены понятия деновской области (что соответствует
-сокращению), (5-г)-области, полосы (что соответствует Я -сокращению).
Во втором - доказана
Теорема 1.1 [30]. Группа Артина большого типа свободна от кручения.
Вторая глава содержит два параграфа и посвящена решению проблем вхождения в циклическую подгруппу и слабой степенной сопряженности' слов в группах Артина большого типа.
Проблема вхождения в циклическую подгруппу заключается в следующем: найти алгоритм, позволяющий определить, является ли в группе О слово м> степенью некоторого слова v, то есть ж = V", п> 1.
Проблема слабой степенной сопряженности заключается в нахождении такого алгоритма, что для любых слов >у,уеОг и V £ (м?) можно определить, существует ли такое слово г е , что е .
В первом параграфе доказываются
Лемма 2.1 [311. Пусть слово м> группы (г Артина большого типа циклически Я, Я — несократимо. Существует алгоритм, строящий по слову -и> сопряэюенное с ним или с его квадратом в группе (7 слово м?0, любая степень которого Я,Я — несократима.
Лемма 2.4 [31]. Пусть М — приведенная диаграмма, являющаяся диском (граничный цикл (дМ) — простая замкнутая кривая), дМ — у kj S ; ср(у\ ф(8)~ —несократимые слова; в М больше двух областей и нет неправильных областей. Тогда существуют области D x и DH е М такие, что
1) Da п дМ и DB Г\ дМ - связные множества, ос{у) = а(8) — А, й)(у) = со(8) = В.
2) dDA с\уф 0, дDa nS^O, dDB слуФ 0; dDB г\0Ф О и все четыре множества содержат ребра.
Замечание (из леммы 2.4) [31]. Для любой области D еМ i(D) е {3,4,5} и в диаграмме М число областей с внутренней степенью-3 равно числу областей с внутренней степенью 5 либо на одну больше, причем любые две области с внутренней степенью 5 разделены областью с внутренней степенью 3, остальные области имеют внутреннюю степень 4.
Символ D™ будет обозначать область диаграммы М, имеющую максимально возможное к внутренних ребер, где т — порядковый номер области.
Следствие 2.2 (из леммы 2.4) [31]. Если в диаграмме М, удовлетворяющей условиям леммы 2.4, более двух областей и нет неправильных областей, то диаграмма М имеет следующую структуру: i(DA) = i(DB) —2; все граничные области в М имеют от трех до пяти внутренних ребер. Если £>,., Ds - области, граничащие с у, DX—DA, Ds=DB; Dx,., Dt - области, граничащие с 8, D, = Dx, Dt=DB и они пронумерованы по ходу следования при двиэюении от А к В вдоль у и 8, то области типа D\{1> 2) и (Je > 2) чередуются вдоль у и 8, причем, если не учитывать области типа D4A(q > 2), то области с тремя внутренними ребрами расположены в самой левой и самой правой позициях вдоль у и 8.
Лемма 2.5 [311. Пусть М — приведенная диаграмма, являющаяся диском (граничный цикл (дМ) — простая замкнутая кривая), дМ — у и 8 ; <Р(у)> ~ — несократимые слова. Тогда число областей, граничащих с у и 8 одинаково.
Теорема 2.3 [31]. В группе Артина большого типа разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу: существует алгоритм, позволяющий по любым словам определить, принадлежит ли слово м> циклической подгруппе (у).
Второй параграф второй главы посвящен решению проблемы слабой степенной сопряженности слов. Для этого введены понятия острова и полуострова в кольцевой диаграмме, специального слоя в кольцевой диаграмме.
Пусть М - кольцевая связная ^-диаграмма, являющаяся диаграммой сопряженности слов из группы Артина большого типа. Тогда внешний (внутренний) слой из М назовем специальным слоем, если образующие его области А. А, удовлетворяют следующим условиям:
1) у/, 1 < ] < п -1, п I) +1 есть ребро;
2) Ц п Д есть ребро;
3) /(А) = з, /(Д) = Д) =. = /(А) = 4.
Доказаны следующие леммы и теоремы:
Лемма 2.9 [351. Пусть М — приведенная кольцевая диаграмма сопряженности слов м>0" и у0, дМ = у^8, (р(у) = , ц>{8) = слово у0 Я,Л —несократимо и не является циклически специально Я-сократимым, любая степень слова и>0 Я, К — несократима. Тогда ни один из граничных слоев диаграммы Мне является специальным.
Лемма 2.11 [35]. Пусть М = М0 - кольцевая приведенная диаграмма
4 2 сопряженности слов м>0" и у0. Тогда п<т.—¡рк>Нго , г&е го ~ самое
1к1 длинное слово из Я.
Теорема 2.5 [35] . В группе (7 — группе Артина большого типа алгоритмически разрешима проблема слабой степенной сопряженности, то есть по любым словам v е С таким, что v £ ("и7}, можно выяснить, существуют ли целое число п и слово геб такие, что слова м?", V сопряжены в группе (7.
Третья глава состоит из трех параграфов и посвящена описанию структуры диаграмм над конечно порожденными группами Артина экстрабольшого типа, решению проблем степенной сопряженности и пересечения циклических подгрупп в данных группах.
Проблема степенной сопряженности слов заключается в нахождении алгоритма, с помощью которого по любым словам V и м? группы С можно определить, существуют ли целые числа т; п и существует ли такое слово геС, что слова Vй, сопряжены в группе (г.
Проблема пересечения циклических подгрупп заключается в следующем: по любым словам выяснить, существует ли целые числа п и т такие, что слова и Vя равны в группе С.
В первом параграфе введены преобразования диаграмм, которые позволяют получить минимальную диаграмму, соответствующую изучаемой группе. Также введены понятия деновской области (что соответствует ^-сокращению), полосы (что соответствует Я -сокращению), области первого, второго и третьего типа. Перечислим основные результаты первого параграфа:
Лемма 3.3 [34]. В группе Артина экстрабольшого типа (а^а^ар^ " - / для любого нетривиального Я-приведенного слова \veGi; можно эффективно определить, существуют ли и , к1 е2, / = 1,/ такие, что в (51 выполняется равенство ч> = а^а)а^ .ак;а"^ .а]'а) (1), причем и слово в правой части равенства (1) начинаются и п, К. И, К, at aJ1a¡ .а! и слово а"'ак/а:\.ак; и слово a"1 ak¡ а"г .ак; .a"'akj имеет заканчиваются на разные буквы, ||w|| > a"lakla"2 .ak'a¡"1 .a"'ak' имеет минимальную слоговую длину; если такой набор целых чисел существует, то он единственен.
Лемма 3.4 [341. Пусть w — нетривиальное R-приведенное слово из группы Артина экстрабольшого типа Gy =(ai,aJ',{alaj^ " — (яд) Тогда существует алгоритм, выписывающий показатели степеней образующих nt, kt eZ, i — \,t в равенстве w = .ак;апГ.а*а\) (1), причем ||w|| > минимальную слоговую длину.
Лемма 3.5 [34]. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически приведенного слова w группы Артина экстрабольшого типа выяснить, является ли w R-приведенным.
Лемма 3.6 [34]. Пусть М — приведенная связная односвязная R-диаграмма группы Артина экстрабольшого типа, не содержащая деновских областей. Тогда Мне содержит внутренней области.
Лемма 3.7 [34]. Пусть М — приведенная связная односвязная диаграмма группы Артина экстрабольшого типа, dM = y\j8, <р(у), (p{S)~ R - несократимые слова. Тогда М является однослойной диаграммой.
Лемма 3.8 [34]. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически R-приведенного слова w из группы Артина экстрабольшого типа выяснить, является ли w специально R-приведенным.
Из лемм 3.5 и 3.8 [34] следует результат К.Аппеля и П.Шуппа о разрешимости проблемы равенства слов в группах Артина экстрабольшого типа [27].
Второй параграф третьей главы посвящен проблеме степенной сопряженности слов в группах Артина экстрабольшого типа.
Доказана следующая теорема:
Теорема 3.3 [341. В группе Артина экстраболъшого типа (7 алгоритмически разрешима проблема степенной сопряженности, то есть по любым словам >с,УбС можно выяснить, существует ли целые числа п, т и слово г е (7 такие, что слова , V" сопряжены в группе (У.
В третьем параграфе рассматривается разрешимость проблемы пересечения циклических подгрупп в группах Артина экстрабольшого типа. Доказана основная теорема данного параграфа:
Теорема 3.4 [36/. В группе Артина экстраболъшого типа (? алгоритмически разрешима проблема пересечения циклических подгрупп, то есть по любым словам можно выяснить, существует ли целые числа пит такие, что слова м?т и у" равны в группе &
Научная новизна
1. Доказано, что группы Артина большого типа свободны от кручения.
2. Решена проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина большого типа.
3. Решена проблема слабой степенной сопряженности в группах Артина большого типа.
4. Получено описание диаграмм над конечно порожденными группами Артина экстрабольшого типа.
5. Установлена разрешимость проблемы степенной сопряженности слов в группах Артина экстрабольшого типа.
6. Решена проблема пересечения циклических подгрупп в группах Артина экстрабольшого типа.
Все полученные результаты являются новыми и могут быть использованы при решении различных задач теории групп и полугрупп.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на Тульском городском семинаре «Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп» профессора В.Н. Безверхнего (Тула, 2005-2008 гг.), международной научно-практической конференции "JI. Эйлер и российское образование, наука и культура" (Тула, 2007 г.), международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008 г.), семинаре по теории групп кафедры высшей алгебры МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством профессоров А.Л. Шмелькина, А.Ю. Ольшанского и доцента A.A. Клячко (МГУ им. М.В. Ломоносова, 2009 г.).
Публикации
Результаты работы опубликованы в статьях [30]-[37].
Объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, семи параграфов и списка литературы из 37 наименований. Диссертация содержит 100 страниц машинописного текста.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Проблемы степени и степенной сопряженности в группах с условиями С(4) & Т(4)2001 год, кандидат физико-математических наук Паршикова, Елена Владиславовна
Решение алгоритмических проблем для свободного произведения с коммутирующими подгруппами2002 год, кандидат физико-математических наук Новикова, Ольга Александровна
Алгоритмические и метрические проблемы в теории бесконечных групп2011 год, доктор физико-математических наук Носков, Геннадий Андреевич
Аппроксимационные свойства свободных произведений групп с коммутирующими и централизованными подгруппами2003 год, кандидат физико-математических наук Логинова, Елена Давидовна
Свойства вербальных подгрупп, автоморфизмы и линейные представления некоторых групп преобразований2005 год, доктор физико-математических наук Бардаков, Валерий Георгиевич
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецова, Анна Николаевна, 2009 год
1. Бардаков В.Г. К теории групп кос // Математический сборник. - 1992.- Вып. 183. №6. - С. 3-42.
2. Безверхний В.Н. Неразрешимость проблемы вхождения в группах Артина конечного типа // Сибирский математический журнал. 1985.- Вып. 26. №5. - С. 27-42.
3. Безверхний В.Н. Неразрешимость проблемы сопряженности подгрупп для свободных произведений свободных групп с объединением // Сборник научных трудов кафедры высшей математики. — Тула, 1975. -№3.-С. 90-94.
4. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина большого типа// Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвузовский сборник научных трудов. Тула: Тул. гос. пед. ин-т, 1986.-С. 1-38.
5. Безверхний В.Н. Решение обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа // Фундаментальная и прикладная математика.- 1999. Т 5. - №1. - С. 1-38.
6. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения в классе НЫ>Т-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвузовский сборник научных трудов. Тула: Тул. гос. пед. ин-т, 1981.-С. 20-62.
7. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения в некоторых классах групп с одним определяющим соотношением // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. Тула: Тул. гос. пед. ин-т, 1986. — С.3-21.
8. Безверхний В.Н., Гринблат В.А. О проблеме вхождения в группах Артина конечного типа // Сибирский математический журнал. 1982.- Вып. 23. №4. - С. 19-28.
9. Безверхний В.Н., Паршикова E.B. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием С(4)&Т(4) // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 2001. — С. 97-120.
10. Безверхний В.Н., Устян А.Е. Решение проблемы сопряженности слов в моноидах Артина большого типа // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 2001.-С. 139-164.
11. Брискорн Э., Сайто К. Группы Артина и группы Коксетера // Математика: Сб. переводов. 1974. - №6. - С. 56-79.
12. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1972.
13. Гарсайд Ф. Группы кос и другие группы // Математика: Сб. переводов. 1970.-№4.-С. 113-132.
14. Гринблат В.А. О нормализаторах групп Артина // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. — Тула, 1981. С. 82-94.
15. Гурзо Г.Г. О централизаторах конечных множеств элементов группы кос // Математические заметки. 1985. - Вып.37. - №1. — С. 3-6.
16. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1980.
17. Магнус В. и др. Комбинаторная теория групп / Магнус В., Каррас А., Солитер Д. М.: Наука, 1974.
18. Маканин Г.С. Проблема сопряженности в группах кос // Доклады АН СССР. 1968. - Т. 182. - №3. - С. 495-496.
19. Маканин Г.С. О нормализаторах группы кос // Математический сборник. 1971. - Вып. 86. - №2. - С. 171-179.
20. Марков A.A. Основы алгебраической теории кос // Труды математического института АН СССР. 1945. — Вып. 16.
21. Михайлова К.А. Проблема вхождения для прямых произведений групп // Математический сборник. — 1966. Т 70. — С. 241-251.
22. Новиков П.С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп // Труды Математического института АН СССР. 1955.
23. Новиков П.С. Неразрешимость проблемы сопряженности в теории групп // Изв. АН СССР, сер. Мат. Т. 18. - С. 485-524.
24. Паршикова Е.В. Проблема слабой степенной сопряженности в группах с условием С(4)&Т(4) // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвузовский сборник научных трудов. — Тула, 2001. С. 179-185.
25. Трубицын Ю.Э. О нормализаторах конечных множеств в группах Артина конечного типа // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. Тула: Тул. гос. пед. ин-т, 1986.-С. 68-71.
26. Appel К. One Artin groups and Coxeter groups of large type // Contemp. Math. 1984. - V. 33. - P. 50-78.
27. Appel K, Schupp P. Artin groups and infinite Coxeter groups // Invenf.Math. 1983. - №72. - P. 201-220.
28. Artin E. Theorie der Zopfe //Abh. math. Semin. Univ. Hamburg. 1925. -V. 4.-P. 47-72.
29. Lipschutz S. On powers in generalized free products of groups // Arch. Math. 1968.-P. 575-576.
30. Безверхний B.H., Кузнецова A.H. О кручении групп Артина большого типа // Чебышевский сборник. 2005. — Т. 6. - №1. - С. 13-21.
31. Безверхний В.Н., Кузнецова А.Н. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина большого типа // Известия ТГУ, Математика. Механика. Информатика. 2005. — Вып. 2: Математика. -№1. - С. 76-93.
32. Безверхний В.Н., Кузнецова А.Н. Проблема корня в группах Артина большого типа // Л.Эйлер и российское образование, наука и культура:Материалы междунар. науч.-практ. конф. Тула: Изд-во Тул.гос.пед.ун-та им.Л.Н.Толстого. - 2007. - С. 36-43.
33. Кузнецова А.Н. Проблема слабой степенной сопряженности в группах Артина большого типа // Л.Эйлер и российское образование, наука и культура: Материалы междунар. науч.-практ. конф. Тула: Изд-во Тул.гос.пед.ун-та им. Л.Н.Толстого. - 2007. - С. 195-202.
34. Безверхний В.Н., Кузнецова А.Н. Разрешимость проблемы степенной сопряженности слов в группах Артина экстрабольшого типа // Чебышевский сборник. 2008. - Т. 9. - №1 (25). - С. 50-69.
35. Кузнецова А.Н. Разрешимость проблемы слабой степенной сопряженности в группах Артина большого типа // Известия 11 У, Естественные науки. 2008. - №2: Математика. — С. 29-39.
36. Кузнецова А.Н. О пересечении циклических подгрупп в группах Артина экстрабольшого типа // Вестник 11 У. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2008. - №1. - С. 76-86.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.