Некоторые алгоритмические проблемы в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Инченко, Оксана Владимировна

• Инченко, Оксана Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Инченко, Оксана Владимировна

Введение.

Глава 1. Метод диаграмм при решении некоторых алгоритмических проблем в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой.

1. Диаграммы над конечно порожденными группами Кокстера с древесной структурой.

2. Параболические подгруппы.

3. Описание централизатора элементов конечного порядка.

4. Разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов.

Глава 2. Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой

1. Разрешимость проблемы вхождения.

2. Базовые понятия.

3. Случай свободного произведения двух двупорожденных групп Кокстера объединенных по конечной циклической подгруппе.

4. Обобщение на случай свободного произведения п двупорожденных групп Кокстера с объединением.

Глава 3. Проблема сопряженности подгрупп.

1. Необходимые утверждения.

2. Разрешимость проблемы сопряженности подгрупп в свободном произведении двух двупорожденных групп Кокстера объединенных по конечной циклической подгруппе.

3. Проблема сопряженности подгрупп в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые алгоритмические проблемы в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой»

Актуальность темы

Комбинаторная теория групп долгое время развивалась под влиянием геометрии и топологии. Как самостоятельная наука со своей проблематикой она оформилась по существу только после того, как в 1911 году М.Дэн сформулировал для класса конечно определенных групп основные алгоритмические проблемы: проблему равенства слов, проблему сопряженности слов и проблему изоморфизма. Данные проблемы получили отрицательное решение в работах Новикова П.С. В [30] им был построен пример конечно определенной группы с неразрешимой проблемой равенства слов, тем самым была доказана неразрешимость проблемы сопряженности слов в классе конечно определенных групп. В [31] Новиков П.С. построил пример группы с неразрешимой проблемой сопряженности слов, но разрешимой проблемой равенства. Используя полученные результаты, им была доказана неразрешимость проблемы изоморфизма. Таким образом, была показана неразрешимость основных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп. Поэтому возникла задача изучения данных проблем в конкретных классах конечно определенных групп. В связи с этим большой интерес представляет собой класс конечно определенных групп Артина и Кокстера.

Группа Артина - это группа О, заданная копредставлением с системой образующих ап / е/, |/|<оо, и соотношениями а1а]аг. = а}ар.г., где слова, стоящие слева и справа, состоят каждое из тц чередующихся букв а) и а}, тц элемент симметрической матрицы Кокстера М = (тя. ). соответствующей данной группе С, ти = т.у1, при j, ту е {2,3,.}.

Если к определяющим соотношениям группы Артина добавить соотношения вида: V/ е /, а* = 1, получим копредставление соответствующей группы Кокстера. Группы Кокстера были введены Кокстером в 1935 году. Результаты изучения этих групп изложены у Бурбаки [21].

Класс групп Артина содержит группы кос, копредставление которых было получено Артином, решившим в данном классе групп проблему тождества слов, используя геометрические методы [35]. Алгебраическая теория групп кос была построена Марковым A.A. [28], который решил проблему равенства другими методами. Гарсайдом и независимо Маканиным Г.С. для групп кос была решена проблема сопряженности слов [26], а в [27] доказано, что нормализатор любого элемента групп кос конечно порожден, и построен алгоритм выписывающий образующие этого нормализатора. Гурзо Г.Г. получила алгоритм для нахождения образующих централизатора конечного множества элементов группы кос [22]. Отметим, что до настоящего времени неизвестна разрешимость проблемы равенства в конечно определенных группах Артина.

В 1974 году Брискорном и Сайто [20] был введен класс групп - группы Артина конечного типа. Группа Артина называется группой Артина конечного типа, если соответствующая ей группа Кокстера конечна. Брискорн и Сайто доказали разрешимость проблем равенства и сопряженности слов в данном классе групп [20]. Для групп Артина конечного типа Безверхним В.Н. и Гринблатом В.А. было получено решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу [9]. Трубицин Ю.Э. и Гринблат В.А. доказали разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов. Безверхний В.Н. доказал неразрешимость проблемы вхождения в неприводимых группах Артина конечного типа.

В 1983 году Аппелем К. и Шуппом П. был выделен класс групп Артина большого и экстрабольшого типа. [33]. Если все числа mtJ симметрической матрицы Кокстера для групп Артина или Кокстера больше либо равны трем, то группы называются труппами Артина или Кокстера большого типа. Если все числа т симметрической матрицы Кокстера для групп Артина или Кокстера больше трех, то группы называются группами Артина или Кокстера экстрабольшого типа. Для групп Артина и Кокстера экстрабольшого типа

Шуппом П. и Аппелем К. [33] было получено решение проблем равенства и сопряженности слов. Безверхним В.Н и Кузнецовой А.Н. доказано, что группы Артина большого типа не имеют кручения [14], и в данном классе групп разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу [15]. Аппелем К. и независимо Безверхним В.Н была решена проблема сопряженности слов [6], в [7] Безверхним В.Н. доказана разрешимость обобщенной проблемы сопряженности слов для групп Артина большого типа. Для групп Кокстера большого типа Безверхним В.Н и Добрыниной И.В. доказана разрешимость проблемы сопряженности слов [10], описаны элементы конечного порядка [11], дано решение проблемы степенной сопряженности слов [12], а также решение проблемы обобщенной сопряженности слов [13].

В классах конечно-порожденных групп Артина и Кокстера Безверхним В.Н. в [8] были выделены новые классы групп: конечно-порожденные группы Артина и Кокстера с древесной структурой. Итак, пусть С конечно-порожденная группа Артина. И пусть Сг - соответствующая группе С? конечно порожденная группа Кокстера, полученная присоединением соотношений а* = 1, г = 1, п, и имеющая копредставление О = {а.1,.ап\{а1)21 <1^'<п. Каждой конечно порожденной группе Артина С и группе Кокстера О соответствует конечный граф Г*, между вершинами которого и образующими группы можно установить соответствие такое, что, если а1 и а} являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида [ар^" для группы О и а1а} )т" = 1 для группы С?. Группа Артина или Кокстера имеет древесную структуру, если граф Г' является дерево - графом.

В графе Г', соответствующем конечно порожденной группе Артина С (Кокстера Сг), всегда можно выделить максимальный дерево-граф Г, который соответствует группе имеющей древесную структуру, для которой группа Артина (Кокстера) с графом Г* является гомоморфным образом. Поэтому естественно рассмотреть решение основных алгоритмических проблем для групп этого типа.

Особая значимость групп Артина и Кокстера с древесной структурой, заключается в том, что они всегда существуют в качестве прообразов конечно порожденных групп Артина и Кокстера.

МсСаштопс! (Маккамонд) исследовал прямоугольные группы, то есть группы Кокстера с древесной структурой в случае, когда все числа т симметрической матрицы Кокстера принимают значения ту = {0,2}. В диссертации рассмотрен общий случай, когда числа т симметрической матрицы Кокстера принимают значения т. е {0,2,3,.}.

Цель работы

Целью работы является изучение конечно порожденных групп Кокстера с древесной структурой, а именно описание централизатора элементов конечного -порядка группы, доказательство разрешимости проблемы обобщенной сопряженности слов геометрическими методами, доказательство разрешимости проблемы пересечения конечно порожденных подгрупп, а также изучение проблемы сопряженности подгрупп в данном классе групп.

Методы исследования

При доказательстве некоторых результатов в работе используется метод диаграмм, который был введен ван Кампеном в 1933 году и вновь переоткрыт Линд оном Р. в 1966 году [38]. При доказательстве основных результатов был использован метод специального множества слов, введенный и примененный Безверхним В.Н. при решении некоторых алгоритмических проблем в свободных конструкциях групп [2].

Научная новизна

Основные результаты диссертации, являются новыми и состоят в следующем: для конечно порожденных групп Кокстера с древесной структурой 1. дано описание централизатора элементов конечного порядка;

2. геометрическими методами установлена разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов;

3. установлен алгоритм выписывающий образующие пересечения конечного числа конечно порожденных подгрупп в данном классе групп;

4. доказана разрешимость проблемы пересечения классов смежности двух конечно порожденных подгрупп;

5. показана разрешимость проблемы сопряженности конечно порожденных подгрупп.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при дальнейшем исследовании алгоритмических проблем в других классах конечно порожденных групп Артина и Кокстера.

Апробация диссертации

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре «Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп» под руководством профессора Безверхнего В.Н. (ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2004г., 2005г., 2009), на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (ТулГУ, 2005г., 2006г., 2007г., 2008г.), на международной научно-практической конференции «Л.Эйлер и российское образование, наука и культура» (ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2007г.), на алгебраическом семинаре под руководством профессора А.Л. Шмелькина (МГУ, 2009г.).

Публикации

Результаты работы опубликованы в статьях [40]-[49].

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, 11 параграфов и библиографического списка. Общий объём диссертации составляет 122 страницы. Библиография включает 49 работ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Инченко, Оксана Владимировна, 2009 год

1. Бардаков В.Г. К теории групп кос // Математический сборник. 1992. 183. №6. с.3-42.

2. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения в классе НМ^-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. Тула, 1981г. с. 20-62.

3. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе НЫН-групп //Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение. ТГПИ им. Л.Н. Толстого, 1983г. с.50-80.

4. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения в некоторых классах групп с одним определяющим соотношением //Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. ТГПИ им. Л.Н. Толстого, 1986г. -с.3-22.

5. Безверхний В.Н. О пересечении подгрупп в НИИ-группах //Фундаментальная и прикладная математика 1998, том 4, №1, -с. 199-222.

6. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина и Кокстера большого типа// Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвузовский сборник научных трудов. 1983. -с. 26-62.

7. Безверхний В.Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа// Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. №1. - с. 1-38.

8. Безверхний В.Н. О группах Артина, Кокстера с древесной структурой //Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции. Тула, 2003, с.33 34.

9. Безверхний В.Н., Гринблат В.А. О проблеме вхождения в группах Артина конечного типа.// Сибирский математический журнал., 1982, 23, №4, с. 19-28.

10. Безверхний В.Н., И.В. Добрынина И.В. Об элементах конечного порядка в группах Кокстера большого типа //Чебышевский сборник т.5, выпуск 1(9), 2004. с.30-39.

11. Безверхний В.Н., Добрынина И.В. Решение проблемы степенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа //Международная научная конференция. «Современные проблемы Математики, Механики, Информатики». Тезисы докладов. 2005. с.43-45.

12. Безверхний В.Н., Добрынина И.В. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа //Чебышевский сборник т.5, выпуск 1(9), 2004. с.39 62.

13. Безверхний В.Н., Кузнецова А.Н. О кручении групп Артина большого типа.// Чебышевский сборник. Т.6. В.1, 2005. с.13 22.

14. Безверхний В.Н., Кузнецова А.Н. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина большого типа //Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Т.11, 2005. с.76-94.

15. Безверхний В.Н., Логачева Е.С. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе НЬЛЧ- групп // Известия ТулГУ Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Том 12. Выпуск 1. с. 83-101.

16. Безверхний В.Н., Паршикова Е.В. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием С(4)&Т(4) //Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2001. с.97-120.

17. Инченко О.В. Пересечение некоторых подгрупп конечно порожденнной группы Кокстера с древесной структурой //Чебышевский сборник. Том 9. Вып. 1(25), 2008, с.108-122.

18. Инченко О.В. Проблема обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера с древесной структурой //Известия ТулГУ Естественные науки.2008. Выпуск 2, с.40-48.

19. Инченко О.В. Проблема сопряженности подгрупп в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой//Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» Тула, 2008, с. 6.

20. Безверхний В.Н., Инченко О.В. Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в группах Кокстера с древесной структурой// Известия ТулГУ Естественные науки. 2009. Вып.2. с.16-31.

21. Инченко О.В. Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении двух двупорожденных групп Кокстера, объединенных по конечной циклической подгруппе // Известия ТулГУ Естественные науки.2009. Вып.2. с.38-54.