Мультипликативные неравенства для максимальных функций, измеряющих гладкость тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Лохару, Евгений Эдуардович

• Лохару, Евгений Эдуардович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лохару, Евгений Эдуардович

Оглавление

Введение

1 Общие сведения

1.1 Максимальные функции, измеряющие гладкость: определение и свойства

1.2 Редукционная теорема

2 Неравенство Гальярдо-Ниренберга для максимальных функций, измеряющих гладкость

2.1 Формулировка теоремы и следствия

2.2 Основная лемма

2.3 Вспомогательные леммы

2.4 Доказательство теоремы 2.1.1

3 Теоремы вложения

3.1 Одно мультипликативное неравенство

3.2 Теорема вложения

3.3 Следствия

3.4 Доказательство теоремы 3.2.1

4 Мультипликативные неравенства для максимальных функций ми и М{р

4.1 Формулировки основных результатов и следствий

4.2 Доказательство теорем 4.1.1 и 4.1.2

4.3 Доказательство теоремы 4.1.3

5 Контрпримеры

5.1 Случай п = 1 и в = 1

5.2 Случай га = 1 и з > О

5.3 Общий случай п > 1 и 5 > 0

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мультипликативные неравенства для максимальных функций, измеряющих гладкость»

Введение

Мультипликативные интерполяционные неравенства для производных широко известны в анализе и его приложениях к различным задачам математической физики. Речь здесь идет о неравенствах, позволяющих оценивать норму функции или ее производной выражением, в котором участвуют норма самой функции и норма старшей производной. Классический пример неравенства такого рода — знаменитое неравенство Ландау-Колмогорова:

||/(5)||^(7) <сыш^н/«!!!^), 1<8<к. (1)

Это неравенство, верное для всех функций / из класса С^(/), для к = 2, где / = К. или I = было получено в 1913 году Эдмундом Ландау [Ьа]. Им также были установлены оптимальные константы — у/2 и 2 соответственно. В 1939 году Колмогоров (см. [Ко1]) доказал точный вариант неравенства (1) для всех значений параметров к и I (1 < I < к), когда / = К. Другое, не менее известное, неравенство Гальярдо-Ниренберга позволяет оценивать уже не равномерную норму, как в случае неравенства Ландау-Колмогорова, а средние от производных (их лебеговы нормы). Оно выглядит так:

П^/ни»), (2)

где 0 < э < к, ^ = (1 — + 1 < г,р < оо. Последние неравенство предполагает, что / е ШрПЬт, где ]¥£ — однородное пространство Соболева. Это неравенство было независимо получено в 1959 году Гальярдо [С] и Ниренбергом [14]. Позднее было опубликовано много работ, содержащих различные обобщения неравенства (2) и его аналоги. Прежде чем перейти к обзору соответствующих результатов, стоит сказать несколько слов о поточечных мультипликативных неравенствах.

Возвращаясь к неравенству Гальярдо-Ниренберга, отметим, что в явном виде его поточечный аналог уже не будет иметь места. Имеется в виду следующее неравенство:

^¡(х)<СзАпПх)1-^кПх)К (3)

Для того, чтобы убедиться в том (для примера, когда к — 2), что это неравенство оказывается несостоятельным, достаточно рассмотреть любую финитную и гладкую функцию, которая линейна на некотором отрезке /, а ее производная обращается на / в ноль. Для такой функции

правая часть неравенства (3) обратится в ноль на всем отрезке, в то время как левая часть будет отлична от нуля. В связи с этим возникает вопрос: можно ли все же ожидать найти какое-то поточечное неравенство, включающее в себя классическое неравенство (2)? Оказывается, ответ на этот вопрос положительный. Здесь стоит вспомнить о другом объекте — сингулярных интегральных операторах Кальдерона-Зигмунда. Такие операторы ограничены в I/, 1 < р < оо, однако поточечной оценки вида

\Т/(х)\<С\Цх)\ (4)

нет, кроме вырожденных случаев. Однако, можно получить поточечное неравенство (см., например, [011]), если перейти к максимальным функциям:

(Т/)»(х)<С(М|/|Р)р(х), 1<р<оо. (5)

Здесь М — максимальный оператор Харди—Литтлвуда:

М/(х)=8ир^- / |/|, (6)

Яэх \Ч\ JQ

а через /" мы обозначаем "шарп" функцию Феффермана-Стейна

/»(*)= вир-?- [ |/-/д|, (7)

ЯЭх \Ч\ ¿Я

где /д — среднее значение функции / но кубу В этих определениях супремум берется по всем кубам (5, содержащим точку х € Кп. Здесь и далее мы будем рассматривать только те кубы, у которых стороны параллельны осям координат.

Поточечное неравенство (5) (которое само но себе не очень трудно) сводит оценки сингулярных интегральных операторов на идеальных пространствах к оценкам максимальных функций. Эти соображения в свое время применены к выводу ограниченности сингулярных операторов в пространствах Ьг(ш), где 1 < г < оо, а вес ш удовлетворяет известному условию Макенхаупта Аг (см. [ОИ]).

Теперь обратимся к неравенству (2). По-видимому, стоит ожидать и здесь наличия оценок похожих на (5), в которых будут фигурировать некоторые максимальные операторы.

Действительно, в 1994 году в своей работе [К] Агнешка Каламайска получила подобное неравенство:

М(Уа/)(х) < С(М(/ - Р)(х))1-ЦМ(ЧкП(х))%. (8)

Здесь 0 < 5 < к — целые неотрицательные числа, а Р — некоторый полином степени не более к (он зависит от функции /). Последнее неравенство верно для всех функций / (константа С от выбора функции не

зависит), которые локально принадлежат классу Соболева И^ и для которых выполнено условие:

11 [ я1™ #|В(хД,гД)| ]в[хЩгК) 1/1 = (9)

Через В(х,г) мы обозначаем шар в пространстве Д" с центром в точке х и радиусом г.

Важно отметить, что в работе [К] были получены и другие интересные результаты. Мы приведем один из них — локальный вариант неравенства (8). Рассмотрим звездную (см. [Мг, §1.1.8]) (ограниченную) область по отношению к шару В (В С О). Пусть функция ш принадлежит классу С§°(В) (бесконечно-дифференцируемые функции с компактным носителем в шаре В) и щу /вш = 1. Теперь все готово, чтобы сформулировать результат: если 0 < 5 < /с и |/3| = 5, то для любой функции / из пространства И^^ДО) справедливо поточечное неравенство

<С(М(/ - Р)Хп(х( £ М(вухп)(х)

\\а\=к

Здесь Р — некоторый полином степени не более к, а полином Р^1 определяется формулой

Кроме того, мы использовали обозначение /хп ДО1Я функции /, продолженной нулем за область П.

Немного позднее, очень похожее на (8) неравенство было получено в работе В. Мазьи и Т. Шапошниковой в 1999 г. (см. [МгЭЬ]):

|У/(®)| < С(М(Ч1/)(х))&(М(Чк/)(х))&, (10)

где 0 < I < в < к.

Для доказательства этого неравенства они использовали следующую формулу интегрального представления функции из класса Соболева (см. [МгРо, §1.5.1]):

9Ф) = Ц ГП [ (!)

Это равенство применяется к функции д = .О7/, где |7| =5. Затем оценка соответствующих слагаемых дает (10).

В заключение обзора поточечных оценок тина Гальярдо-Ниренберга, отметим так же работу Мазьи и Куфнера [МЬКи], где подробно рассмотрены поточечные аналоги неравенства Колмогорова.

Помимо упомянутых поточечных модификаций неравенства Гальярдо-Ниренберга, существуют также и иные неравенства, близкие по идеологии. В классическое неравенство входят нормы в соответствующих пространствах Лебега, но можно пытаться получить похожие мультипликативные оценки для норм в других пространствах, таких как, например, пространство Липшица или ВМО. В 1994 году Куфнер и Ваннебо [КУ] получили обобщение неравенства (2) на случай, где в правой части вместо .¿/-нормы использована гёльдерова норма. А именно, ими было доказано неравенство

для соответствующих значений параметров к, з, а, А, 0 < А < 1, где

Их рассуждение (в одномерном случае) основано на следующем неравенстве:

Это неравенство, вообще говоря, не мультипликативное, но при соответствующих условиях на параметры я, к, \,р и д из него удается получить мультипликативную оценку (11) (и тут существенно то, что неравенство выполнено для произвольного отрезка /). Это оригинальное рассуждение (идея которого принадлежит Ниренбергу) выглядит примерно так. Рассмотрим отрезок [—Ь, Ь] и произвольный параметр т Е N. После этого покроем отрезок [—Ь,Ь] набором неперекрывающихся отрезков I,-, для которых верно следующее: либо первое слагаемое в правой части неравенства (12) больше второго и = Ь/т, либо при надлежащем выборе параметра а справедливо равенство

1 -а а

(И)

< К\1\

(£-5)9+1

? Ц |р+^|/|1+(л-8)та- (12)

аТ,2 — (1 ~ о)2ъ

где Е1 и Е2 — соответствующие слагаемые в правой части оценки (12) (и здесь > Ь/т). Такое семейство отрезков можно найти, если предположить, что степень при множителе \1\ во втором слагаемом отрицательна, в то время как у первого слагаемого она положительна. Теперь, если аТ<<2 = (1 — а)Еь то

Это тождество позволяет перейти к мультипликативному выражению, в котором как множители выступают величины |/|, JI\f^\p и [/]д (в соответствующих степенях). Надлежащий выбор параметра а позволит получить нулевую степень при |/|. Теперь нужно просуммировать неравенство (12) для каждого отрезка В левой части мы получим величину, не меньшую, чем

к

Слагаемые второго рода (т.е. слагаемые вида £2) дадут нужную оценку, а сумма слагаемых первого рода (их число не превосходит т, а длина каждого такого отрезка равна Ь/т) оценится выражением, которое уйдет после предельного перехода по т (т —» оо) и, в силу произвольности Ь, окончательно получится нужная оценка. После того как это сделано, одномерное неравенство стандартным образом влечет общий случай.

Другой вариант неравенства Гальярдо-Ниренберга был найден в 2003 году Мейером и Ривери в их совместной работе [МП], где было доказано, что

1^/|Ц,(п)<С7||/||Вмо||/||^(п). (13)

Их доказательство опирается на разложение Литтлвуда-Пэли, а также на связь пространства ВМО с однородным пространством Бесова (если / = д^д и д 6 ВМО, то / € Похожее неравенство в одно-

мерном случае было найдено в работе [КМ1, стр. 240] в 1994 году. Позднее, в 2005 году Стрелецки (см. [Я^г]) получил более общий вариант последнего неравенства:

1^711^) < С||/11Йо11/Н^(в.)> 1 < р < (14)

Неравенство (14) предполагает, что функция / принадлежит пространству \¥р. В своем доказательстве, автор работы использует двойственность пространства Харди Н1(Шп) и пространства ВМО, а именно тот факт, что ВМО = (Н1)*. Напомним определения этих пространств (см.

[F],[FS] и [S]). Пространство Харди Н1^71) определяется как множество всех функций / из пространства L1(Kn), для которых

/* := sup \ f * ip£\ G L1. 6>0

Здесь ip£ = e~nip(x/e), где неотрицательная функция if принадлежит классу Cq°(-B(0, 1)) и такова, что / ip = 1. В свою очередь, пространство В МО состоит из тех функций / € L^R"), для которых

||/||вмо = sup— f |/-/q| <оо <3 Л?

(иными словами, /" € L°°). Обратимся теперь к неравенству (14). Доказательство неравенства (14) для функций / е выглядит особенно просто. Для произвольной функции / Е справедливо тождество (интегрирование по частям)

[ \f\24x = - [fdiv(\\/f\2p~2Vf)dx. J«.n J

Можно показать, что функция g := dw(|V/|2p~2V/) принадлежит пространству Харди, а также справедлива оценка для ее нормы

После этого остается использовать двойственность (неравенство Харди).

Помимо перечисленных результатов (которые имеют непосредственное отношение к диссертации), существует множество других вариаций неравенства Гальярдо-Ниренберга, о которых непременно стоит упомянуть: [CDPX], [СМО], [МО], [КР], [КР1].

Краткий обзор перечисленных ранее результатов (и методов их доказательства) позволяет заметить, что, несмотря на очевидную близость природы всех этих неравенств, их доказательства имеют мало общего между собой, что явно указывает на несоответствие и неприспособлен-нось использованных технических инструментов к рассматриваемому кругу задач. В связи с этим возникает вопрос: можно ли найти более естественный математический аппарат, специально приспособленный к вопросам, связанным с мультипликативными неравенствами для производных? В настоящей работе автором предложен новый подход, который заключается в следующем. Вместо того, чтобы рассматривать производные и доказывать неравенства для них, оказывается более удобным рассматривать определенные максимальные операторы, специально приспособленные для измерения гладкости, и уже для них единообразно проверять мультипликативные неравеснтва. Такие объекты не новы, в 1972

году в работе Кальдерона (см. [Са]) были введены подобные максимальные операторы и установлена их связь с дифференциальными свойствами функции. Определение, данное Кальдероном, выглядит следующим образом. Для произвольных вещественных чисел s>0nl<g<oo рассмотрим функцию / € Цос(Шп) и определим

N;f(x) := snpl (1 f |f(y) - Px{y)\q) 9 , (15)

r>0 г \Г JB(x,r) /

где Px — некоторый полином степени строго меньшей, чем s. Это равенство нужно понимать так: если для заданной точки х G Rn найдется полином Рх степени строго меньшей, чем s (он не зависит от радиуса шара), для которого супремум в определении (15) конечен, то мы определяем величину N*f(x) по формуле (15), в противном случае мы считаем, что N*f(x) = +оо. Можно показать (см. [Са]), что если такой полином Рх существует, то он единственен. В той работе, помимо прочего, было доказано, что если функция N^f локально-суммируема (s — целое), то / Е W(loc и справедлива оценка

IV7I < CN°qf.

Чуть позднее, в 1978 году вышла совместная работа Кальдерона и Скотта (см. [CaSc]), где были доказаны неравенства типа Соболева для максимальных операторов N^. Вслед за этой работой, в 1984 вышла книга Девора и Шарпли [DvSh], посвященная максимальным функциям, измеряющим гладкость. Девор и Шарпли рассматривают максимальные операторы, похожие на (15), определяемые в терминах локальных полиномиальных приближений: для заданной функции / Е Lploc, где 1 < р < оо, положим

(16)

Здесь А — ограниченное измеримое множество, а через Р^ мы обозначаем множество всех полиномов степени не более к. В дальнейшем условимся считать, что P_i = {0}. В районе 1984 года свойства функционала E^\f,A) были уже хорошо известны (так же, как и функциональные пространства, определяемые в терминах локальных полиномиальных приближений; см. работы Ю. Брудного [В], [Bl], [В2]). Таким образом, достаточно естественно, что Девор и Шарпли определяют максимальные операторы, используя конструкцию (16):

^'^ïï&Mmk'-'rf- (17>

Максимальные операторы (17) интересны прежде всего тем, что с их помощью удается единообразно описать классические пространства "гладких" функций: однородные пространства Соболева W"® и однородные пространства Липшица Ыра, где а > 0 (см. изложение в монографиях [КК], [DvSh]). Именно эти максимальные операторы, как оказалось, представляют собой естественный инструмент для доказательства различных интерполяционных неравенств. В работе автора [Lh] был получен поточечный аналог неравенства Гальярдо-Ниренберга в терминах максимальных операторов Mfe)P)S. Благодаря свойствам этих максимальных операторов, доказанное неравенство естественным образом включает в себя все перечисленные ранее результаты. Кроме того, это неравенство оказывается справедливым в классе функций, существенно более широком, чем классы Соболева.

Среди максимальных операторов вида (17) можно выделить два наиболее естественных оператора (в случае целого s):

Mbs¡p = Ms_hp¡s и Mjp = Ms^s.

Для s = 0 мы получим максимальный оператор Харди-Литтлвуда М и "шарп" функцию Феффермана-Стейна Хорошо известно (теорема Феффермана-Стейна, см. [FS]), что Ь^-нормы функций М/ и сравнимы, когда / G LP и р > 1. Однако, в случае положительной гладкости ситуация иная. Операторы М\р и М| , отвечающие одному и тому же порядку гладкости, оказываются количественно очень разными: функция f может быть существенно меньше, чем функция /. Автором (см. [Lhl]) в общем случае приводится явный пример финитной и непрерывной функции /, для которой Ьд-норма функции М| / конечна, в то время как ||Msbp/|¡9 = оо.

Важная особенность всех неравенств, полученных автором, в том, что они позволяют оценивать "большую" максимальную функцию через "меньшую" Mi f (однако другого порядка гладкости).

Отдельный вопрос — наличие оценок для функций Mbspf и M¡pf (здесь рассматриваются операторы одного порядка гладкости, которые в явном виде не сравнимы между собой, см. [Lhl]). Оказалось (см. [Lh2]), что при некоторых дополнительных ограничениях на функцию / неравенства такого плана получить удается. Этому вопросу посвящены последние параграфы настоящей диссертации.

Объект исследования и научные положения, выносимые на защиту. Основные объекты исследования — интерполяционные неравенства для производных и их обобщения, а также максимальные операторы, измеряющие гладкость. Первый результат, выносимый на защиту,

— аналог неравенства Гальярдо-Ниренберга в терминах максимальных функций, измеряющих гладкость. Второй результат, который выносится на защиту, — явные контрпримеры функций, ясно демонстрирующие разницу между двумя основными максимальными операторами М|р и Мд . Третий результат, подлежащий защите, — интерполяционные неравенства для максимальных функций М| / и одного порядка х^лад-кости.

Цели и задачи диссертации. В этой работе автор ставит перед собой цель продемонстрировать и математически строго обосновать новый подход к вопросам, связанным с интерполяционными неравенствами для производных и теоремам вложения для различных функциональных пространств.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены методами теории максимальных функций, измеряющих гладкость.

Достоверность научных положений. Все результаты, выносимые на защиту, являются математически достоверными фактами. Они были опубликованы в рецензируемых журналах, а их доказательства неоднократно проверялись специалистами в той области, к которой эти результаты относятся.

Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми.

Актуальность, практическая ценность и область применения результатов. Новые сведения и закономерности, описанные в этой диссертации, могут быть использованы для получения новых результатов в этой области или в близких к ней, таких как теория функциональных пространств, теоремы вложения и т.д.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общегородском семинаре но линейному и комплексному анализу в Санкт-Петербурге, а также на семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики в Москве.

Публикации. Результаты, выносимые на защиту, опубликованы в работах [ЬЬ, ЬЫ , ЬЬ2]. Все три статьи напечатаны в журналах из списка ВАК.

Содержание работы. Первый параграф настоящей работы содержит основные сведения, относящиеся к теории максимальных функций, измеряющих гладкость.

В пункте 1.1 мы дадим два, в некотором роде, похожих определения максимальных операторов Мк,р>8 и докажем их эквивалентность. Первое определение использует конструкцию наилучшего полиномиального приближения, а второе — конструкцию проектора, дающего многочлен "почти" наилучшего приближения. Будут введены максимальные операторы М| и играющие ключевую роль в последующем повествовании. Кроме этого, в пункте 1.1 мы обсудим важные свойства рассматриваемых максимальных операторов и докажем оценку (утверждение 1.1.4), связывающаю Ь°°-норму оператора М| с нормой соответствующей производной в пространстве В МО.

Пункт 1.2 посвящен редукционной теореме, играющей ключевую роль во многих вопросах, связанных с максимальными функциями, измеряющими гладкость. Эта теорема показывает, что для фиксированного порядка гладкости 5 > 0 значения параметра к, строго большие [я], будут давать сравнимые с М| максимальные операторы (также мы рассмотрим случай к < [в], который приводит к вырождению).

Во втором параграфе мы докажем первый важный результат (теорема 2.1.1) — неравенство Гальярдо-Ниренберга в терминах максимальных функций М{р и М1р:

Мь3Лх) < С (МЦ(х))^ (МЦ(Х))^ .

В п.2.1 этого параграфа мы сформулируем основную теорему и обсудим ряд ее следствий. Пункт 2.2 содержит доказательство основной леммы, которая используется для доказательства теоремы 2.1.1. Эта лемма дает контроль над изменением (относительно множества <3) величины MlpQf из определения функции с помощью "меньшей" функции

М« /. В пункте 2.3 мы докажем ряд других необходимых технических утверждений. Непосредственное доказательство теоремы 2.1.1 содержится в п. 2.4.

В начале §3 мы докажем следующее неравенство: (М/)(х)^<С]|/|||(М1;Р/)(Ж).

Этот результат, имеющий самостоятельное значение, будет использован нами в п.3.4 для доказательства теоремы вложения для пространств

функций, определяемых в терминах максимальных операторов М| и М\ . Как следствие, мы получим следующую оценку:

или < ста^т?'^

где а = гя > п и 1 < г, д < оо (0 < 9 < 1);

Помимо этого неравенства, в §3 мы докажем ряд других интерполяционных оценок (следствие 3.1.1.1, следствие 3.1.1.2, следствие 3.3.0.1, следствие 3.3.0.2). Существенная особенность неравенств такого рода в том, что в правой части рассматривается "шарп" оператор М|р/, который количественно может быть существенно меньше, чем градиент соответствующего порядка (этот вопрос подробно обсуждается в §5).

В пунктах 3.2 и 3.3 мы сформулируем теорему вложения и обсудим ряд ее следствий. В пункте 3.4 приводится доказательство теоремы 3.2.1.

В §4 мы докажем ряд неравенств для максимальных функций М| / и / одного порядка гладкости. Все эти неравенства имеют следующий

вид:

Ключевая особенность таких оценок в том, что здесь слева и справа участвуют "несравнимые" максимальные функции и М|р/.

В §5 мы обсудим вопрос о связи функций / и М| /. Для всех возможных значений параметров мы явно сконструируем финитную и непрерывную функцию /, для которой М| / 6 П в то время как Н-^Кзр/Нд = 00 (слабые производные порядка 5 у функции / просто не существуют).

Мы начнем со случая, когда гладкость и размерность равны единице (п. 5.1). Тогда пример оказывается абсолютно наглядным. Затем (в п. 5.2) на его основе построим одномерный контрпример, отвечающий случаю произвольной гладкости. Это, в свою очередь, позволит нам разобрать общую ситуацию произвольных гладкости и размерности (см. п. 5.3).

1. Общие сведения

1.1 Максимальные функции, измеряющие глад-

_ __о

кость: определение и свойства.

Мы будем обозначать размерность пространства через п. Кубы в пространстве Мп будем обозначать заглавными латинскими буквами K,Q и R. Единичный куб пространтсва Еп обозначается через 1п (1п = [— 1,1]™).

Мы будем говорить, что куб Q — диадический, если его вершины содержатся в множестве (2kZ)n и \Q\ — 2кп для некоторого к е Z (через |Q| мы обозначаем объем куба Q).

Мы будем говорить, что две функции сравнимы и писать / х д, если найдутся константы А и В, для которых при любом х будет выполняться неравенство

Af(x) < д(х) < Bf(x).

Мы будем считать, что все функции определены на пространстве Ж.п и принимают вещественные значения. Для любого мультииндекса (j, = (/ii, ¡12, •••, Цп) обозначим через D^f слабую производную функции / порядка \р,\ (если она существует). Через мы будем обозначать банахово пространтсво всех функций f е Lp(Rn), имеющих все слабые производные D^f до порядка s включительно, принадлежащие ^(Ш71):

w; = {/ G LP(R") : D»f е LP, И < s}.

Норма в пространстве Wp(Mn) определяется следующим образом:

ll/llw2(R») = W^fW^m-

UA<s

Определение 1.1. Для локально суммируемой с показателем р функции f положим

где р> 1, s > Q и к — целое неотрицательное число.

В определении супремум берется по всем кубам Q, содержащих точку х, а инфимум берется по всем полиномам ж степени не более к. Множество всех таких многочленов мы в дальнейшем будем обозначать через

Р&, а множество сужений всех полиномов из Р^ на куб ф мы обозначим через Рй(<5). При фиксированном целом значении параметра 5 имеются два естественных значения параметра к — это 5 и й — 1 (см. теорему 1.2.1). В связи с этим, будет удобно ввести специальные обозначения для соответствующих максимальных операторов:

М1р = Ме^ и =

Для нецелых значений параметра я мы положим М| = М^р = М[3];Р;5, где [в] обозначает целую часть числа в. Таким образом, при всех в > О мы имеем

Кр = М(*Ы* и =

где

/ ч = /И-1

Следующий результат (левое неравенство было получено Кальдеро-ном в 1972 году (см. [Са]), а правое неравенство было доказано в книге Девора и Шарпли [БуЭЬ]) показывает, что функция действительно

"измеряет" гладкость.

Утверждение 1.1.1. Пусть / Е Цос и э > 0 — целое. Тогда функция принадлежит пространству Ьч, 1 < д < оо, тогда и только тогда, когда все слабые производные функции / при |/л| = в существуют и принадлежат пространству Ьч. Кроме того, справедлива оценка

IVе/! < < С(М\^ЮК 1 < Р < оо.

Замечание. Оператор М^р также связан с классическими пространствами гладких функций. Известно (см. [Тг]), что норма ||/||Р+||М| 1 < р < сю сравнима с нормой пространства Трибеля Р*.

Отметим, что параметр в, который, в некотором роде, отвечает за гладкость, может принимать не только целые значения. Для примера, рассмотрим случай, когда 0 < 5 < 1. Классическое неравенство Кампа-нато (см. [С]) говорит, что если М| / Е Ь°°, то функция / гёльдерова:

Ц(у)-1(х)\<С\\М1Л\00\у-х^ (1.2)

для почти всех х, у Е Кп. Это нравенство верно и при в > 1, если слева разность /(у) — /(ж) заменить разностью более высокого порядка (зависящего от в). Очевидно также, что если функция / гёльдерова порядка

в, то непременно / Е Ь°°.

Вернемся к определению (1.1). Далее нам будет удобно иметь формулы, по которым можно будет вычислить коэффициенты какого-нибудь многочлена "почти" наилучшего приближения в (1.1) для произвольного куба <5. Речь идет о полиноме 7г<д(/) для которого

где константа С не зависит от куба (3 и функции /.

Чтобы построить полином 7г<з(/) (который, разумеется, можно выбрать многими способами), удобно спроектировать пространство на пространство полиномов Р&(<2) "единообразно" для всех кубов ф.

Для этого в пространстве Рк(1п) С Ь2{1п,йх) зафиксируем полную систему ортогональных полиномов где \/л\ < к и 1п — [—1,1]п. В качестве нам будет удобно рассматривать полиномы вида Ь1 где через 1Р обозначен многочлен Лежандра от одной переменной Xj степени ¡л^. Теперь с помощью растяжений и сдвигов определим ортогональную систему полиномов уже на произвольном кубе :

где жд — центр куба (3. Обозначим через Рд ортогональную проекцию в 1/2(<3) на подпространство Р^(<5). Эта проекция действует по формуле

М<к

которая применима и к / 6 1 < р < оо.

Для фиксированного куба <3 введем обозначения

и

а также

1

Следующее утверждение показывает, что многочлен Рд/ можно взять в качестве "почти" наилучшего приближения в определении функции

Утверждение 1.1.2. Пусть в > 0 и к — целое неотрицательное число. Тогда для любой функции / 6 Ьрос(Шп) справедлива оценка

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лохару, Евгений Эдуардович, 2012 год

Литература

[B] Ю. Брудный, О локальном наилучшем приближении, ДАН 161:4 (1965), 746-749.

[В1] Ю. Брудный, Пространства, определяемые с помошью локальных приближений, Труды ММО 24 (1971), 69—132.

[В2] Ю. Брудный, Локальные приближения и дифференцируемость функций многих переменных, УМН, 29:4(178) (1974), 163-164

[BjHj] В. Bojarski, P. Hajlasz, Pointwise inequalities for Sobolev functions and some applications, Studia Math., 106 (1) (1993).

[BW] H. Brezis, S. Wainger, A note on limiting cases of Sobolev embeddings and convolution inequalities, Comm. Partial Bifferential Equations 5, 773-789 (1980)

[Ca] A. Calderon, Estimates of singular integral operatros in terms of maximal functions, Studia Math. 44 (1972), 167-186.

[CaSc] A. Calderon and R. Scott, Sobolev type inequalities for p > 0, Studia Math. 62 (1978), 75-92.

[C] S. Campanato, Proprieta di holderianita di alcune classi difunzioni, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 17 (1963), 175-188.

[СБРХ] A. Cohen, R. БеУоге, P. Petrushev and H. Xu, Nonlinear approximation and the space BV(R2), Amer. J. Math. 121 (1999) 587-628.

[CMO] A. Cohen, Y. Meyer and F. Oru, Improved Sobolev embedding theorem, Séminaire sur les Equations aux Bérivfees Partielles, 1997-1998 (École Polytech., Palaiseau, 1998) Exp. No. XVI, 16 pp.

[BvSh] R. БеУоге and R. Sharpley, Maximal functions measuring smoothness, Memoirs of the American Mathematical Society, volume 47, number 293 (1984).

[F] С. Fefferman. Characterizations of bounded mean oscillation, Bull. Amer. Math. Soc. 77 (1971) 585-587.

[FS] C. Fefferman and E.M. Stein, Hp spaces of several variables, Acta Math. 129 (1972), 137-193.

[G] E. Gagliardo, Ulteriori Propriété di alcune classi di funzioni in più variabili, Ric. Mat. Napoli 8 (1959), 24-51.

[GR] José Garcia-Cuerva, J.-L. Rubio de Francia Weighted norm inequalities and related topics Elsevier Science Ltd, North-Holland, 1985

[KM] A. Kalamajska, A. Milani, Anisotropic Sobolev spaces and parabolic equations, Ulmer Seminare über Funktionalanalysis und Differentialgleichungen, Heft 2 (1997) 237-273.

[К] A. Kalamajska, Pointwise multiplicative inequalities and Nirenberg type estimates in weighted Sobolev spaces, Studia Math. 108(3), s. 275-290, 1994.

[KMi] A. Kalamajska, A. Milani, Anisotropic Sobolev spaces and parabolic equations, Ulmer Seminare Euber Funktionalanalysis und Differentialgleichungen, Heft 2 (1997) 237-273.

[KP] A. Kalamajska and К. Pietruska-Paluba, Logarithmic version of interpolation inequalities for derivatives, J. London Math. Soc. 70 (2004) 691-702.

[KP1] A. Kalamajska, K. Pietruska-Palub Gagliardo-Nirenberg inequalities in weighted Orlicz spaces equipped with a nonnecessarily doubling measure Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin Volume 15, Number 2 (2008), 217-235.

[KK] S. Kislyakov, N. Kruglyak, Extremal problems in interpolation theory, Whitney-Вesicovitch coverings, and singular integrals, Monografie Matematyczne, Birkhäuser. (В печати).

[Kol] A.N. Kolmogorov, On inequalities between upper bounds of consecutive derivatives of an arbitrary function defined on an arbitrary interval, Moskov. Gos. Univ. Uchenye Zapiski Mat. 30 (3) (1939), 3-16.

[KT] H. Kozono, Y. Taniuchi, Limiting Case of the Sobolev Inequality in BMO, with Application to the Euler Equations, Commun. Math. Phys. 214, 191 - 200 (2000).

[KV] A. Kufner, A. Wannebo, An interpolation inequality involving holder norms, Georgian Mathematical Journal: Vol. 2, No. 6, 1995, 603-612.

[La] E. Landau Einige Ungleichungen für zweim,al differentiierbare Funktionen, Proc. London Math. Soc. (2) 13 (1914), 43-49.

[MO] S. Machihara and T. Ozawa, Interpolation inequalities in Besov spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003) 1553-1556 (electronic).

[Mz] V. Maz'ya Sobolev spaces, Springer, 1985.

[MzKu] V. Maz'ya, A. Kufner, Variations on the theme of the inequality {ff < 2/sup/", Manuscripta Math. 56 (1986), 89-104.

[MzSh] V. Maz'ya, T. Shaposhnikova, On pointwise interpolation inequalities for derivatives, Mathematica Bohémica, 124 (1999).

[MzPo] V. Maz'ya, S. Poborchi, Differentiable functions on bad dom,ains, World Scientific Publishing, Singapore, 1997.

[MR] Y. Meyer and T. Rivi'ere, A partial regularity result for a class of stationary Yang-Mills fields, Rev. Mat. Iberoamericana 19 (2003) 195-219.

[N] L. Nirenberg, On elliptic partial differential equations, Ann. Sc. Norm. Pisa 13 (1959), 116-162.

[S] E. M. Stein, Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality and oscillatory integrals Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1993.

[Strz] P. Strzelecki, Gagliardo-Nirenberg inequalities with a BMO term, Bull. London Math. Soc. 38 (2006) 294-300.

[Tr] H. Triebel, Theory of Function Spaces II, Birkhäuser, Basel (1992).

Публикации автора по теме диссертации

[ЬЬ] Лохару Е.Э. Неравенство Гальярдо-Ниренберга для максимальных функций, измеряющих гладкость // Записки научных семинаров ПОМИ им В.А.Стеклова Российской академии наук. 2011. Том 389. С. 143-161.

[ЬМ] Лохару Е.Э. Максимальные функции, измеряющие гладкость: контрпримеры // Записки научных семинаров ПОМИ им В.А.Стеклова Российской академии наук. 2011. Том 397. С. 53-72.

[ЬЬ2] Лохару Е.Э. Интерполяционные неравенства для максимальных функций, измеряющих гладкость // Алгебра и анализ. 2012. Том 24. №2.