Моделирование процедур принятия решений на основе нечетких отношений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Каплиева, Наталья Алексеевна

• Каплиева, Наталья Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Каплиева, Наталья Алексеевна

Введение.

ГЛАВА 1. Анализ подходов к формированию моделей и методов принятия решений на основе нечетких отношений предпочтения.

1.1. Анализ методов и подходов к проблеме принятия решений

1.2. Способы оценки предпочтений на множестве рассматриваемых объектов.

1.3. Классификация методов принятия решений в условиях неопределенности

1.4. Цель работы и задачи исследования.

ГЛАВА 2. Нечеткие отношения как модель представления экспертных знаний в задаче принятия решений

2.1. Нечеткие бинарные отношения: операции, свойства и типы

2.2. Композиция нечетких отношений.

2.3. Транзитивность как особое свойство нечетких отношений

2.4. Транзитивное замыкание нечеткого бинарного отношения

ГЛАВА 3. Задача нечеткой классификации.

3.1. Свойства отношения различия и подобия

3.2. Транзитивные расстояния.

3.3. Алгоритм нечеткой классификации.

ГЛАВА 4. Ранжирование альтернатив заданного множества на основе нечетких отношений предпочтения

4.1. Свойства нечетких отношений и порядковая функция

4.2. Графы нечетких отношений порядка.

4.3. Алгоритм ранжирования альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения.

ГЛАВА 5. Анализ результатов вычислительного эксперимента

5.1. Влияние различных типов транзитивности на нечеткую классификацию.

5.2. Влияние различных типов транзитивности на иерархическое представление ранжирования альтернатив структуру диаграммы Хассе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование процедур принятия решений на основе нечетких отношений»

В самой общей постановке задача принятия решений (ЗПР) заключается в выборе лучшей (наиболее предпочтительной, оптимальной) альтернативы из множества заданных в соответствии с предпочтениями эксперта или лица, принимающего решения (ЛПР). Предпочтение - это оценка полезности или качества варианта решения, которая основывается на субъективном понимании ценности, эффективности решений. Именно поэтому эксперт является центральной фигурой процесса принятия решений, а разработка моделей представления экспертных знаний и процедур, ориентированных на эти модели, является одной из важнейших проблем теории принятия решений. Существуют различные процедуры экспертного оценивания, в рамках которых используется тот или иной тип экспертных оценок: ранжирование, парные сравнения, непосредственная оценка, классификация. Метод парных сравнений занимает особое место, поскольку имеет целый ряд преимуществ: в сравнении участвует только пара альтернатив заданного множества, что существенно повышает объективность оценки; процедура легко обобщается на случай векторного критерия; в настоящее время существуют специальные шкалы для оценивания предпочтений разной чувствительности, что позволяет учитывать степень компетентности эксперта; метод оценки не навязывает эксперту априорных условий, в отличии от других подходов (например, не требует транзитивности предпочтений). Результатом метода парных сравнений является матрица парных сравнений А = {а^}пУ(п, элементы которой а^ могут а) иметь количественное представление (в одной из шкал, например, индикаторной, Саати); б) лингвистическое представление (в этом случае А задает лингвистическое отношение предпочтения) или в) соответствовать нечеткому отношению предпочтения (а^ задает степень предпочтения числом из [0, 1]). Нечеткие отношения предпочтения позволяют, в отличие от обычных, учитывать интенсивность, силу предпочтения одних вариантов над другими, поэтому использование нечеткого отношения в качестве модели представления экспертной информации позволяет повысить адекватность описания системы предпочтений ЛПР, повышает ее чувствительность.

Подходы к обработке матрицы А в виде нечеткого отношения предпочтения исследовались А.Н. Борисовым, А.В. Алексеевым, О.А. Крумбер-гом, В.Е. Жуковиным, С.А. Орловским. Классическим считается подход С.А. Орловского к решению задачи ранжирования, основанный на вычислении степеней доминирования и недоминирования для каждой альтернативы. Эти исследования обобщаются F. Неггега, Е. Herrera-Viedma, М. Del-gado, L. Martinez, J.L. Verdegay на лингвистические отношения предпочтения. Задачи нечеткой классификации рассматриваются в работах А. Коф-мана.

Заметим, что в перечисленных подходах учитывается только (шах-тт)-транзитивность нечетких предпочтений. Вместе с тем, использование треугольных норм и конорм для формализации нечетких логических связок позволяет обобщить это важное свойство и, тем самым, придать моделям принятия решений такие качества, как универсальность, гибкость, возможность адаптации к информационной среде конкретной задачи.

Таким образом, актуальность диссертационной работы обусловлена необходимостью обобщения понятия транзитивности нечетких отношений и исследования влияния этого свойства на результаты решения основных задач принятия решений - классификации и ранжирования.

Связь с планом. Исследования по теме диссертационной работы проводилось в соответствии с научным направлением Воронежского государственного технического университета «Вычислительные системы и программно-аппаратные комплексы».

Цель работы Цель работы заключается в обобщении свойства транзитивности нечетких отношений и его всестороннем исследовании, а также разработке моделей принятия решений, учитывающих это свойство.

Достижение поставленной цели требует решения следующих основных задач:

1. Анализ подходов к построению процедур принятия решений на основе нечетких отношений, учитывающих свойство транзитивности.

2. Обобщение понятия транзитивности нечетких отношений на основе композиций, определяемых с помощью треугольных Т-норм и 5-конорм и исследование влияния транзитивного замыкания на основные свойства нечетких отношений.

3. Разработка моделей и методов для решения задачи нечеткой классификации с учетом различных типов транзитивности и исследование структуры декомпозиционного дерева.

4. Разработка моделей и методов для решения задачи ранжирования на основе нечеткого отношения предпочтения и исследование соответствующих иерархических структур.

5. Экспериментальное исследование влияния выбора типов транзитивности на результаты задачи классификации и ранжирования альтернатив заданного множества и разработка практических рекомендаций для выбора типа транзитивного замыкания при переходе от исходного отношения к соответствующему транзитивному.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы теории принятия решений, теории нечетких множеств и отношений, дискретной математики, теории графов, теории исследования операций, а также системного анализа.

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной.

1. На основе треугольных Т-норм и 5-конорм определены операции композиции, позволяющие обобщить свойство транзитивности и установить взаимосвязи между (max-Т)- и (гшп-5)-транзитивными отношениями.

2. Впервые сформулирована и доказана теорема о декомпозиции для отношения различия, позволяющая предложить альтернативный вариант нечеткой классификации без использования отношения подобия.

3. Для различных типов транзитивности сформулировано условие перехода от отношения предпорядка к отношению нестрого порядка, позволяющее построить порядковую функцию и на ее основе получить ранжирование альтернатив заданного множества.

4. Обобщен алгоритм нечеткой классификации на основе использования различных типов транзитивности, позволяющий повысить чувствительность классификации к параметрам - порогу и/или уровню достоверности.

5. Предложен алгоритм ранжирования альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения, отличающийся тем, что за счет выбора типа транзитивности можно управлять степенью детализации иерархической структуры, определяющей упорядочение альтернатив заданного множества.

Практическая значимость работы. Развиваемая теоретическая база и выводы, полученные на основе вычислительного эксперимента, создают основу для разработки систем поддержки принятия решений, ориентированных на обработку экспертной информации в виде нечетких отношений предпочтения. Предложены алгоритмы, учитывающие тип транзитивности нечеткого отношения. Разработаны рекомендации, позволяющие обосновать выбор типа транзитивности, наделяя декомпозиционную структуру тем или иным уровнем чувствительности.

Теоретические результаты диссертации используются в учебном процессе Воронежского государственного университета при чтении спецкурсов, выполнении дипломных и курсовых работ.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на Международных школах-семинарах «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2004, 2005), на конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2007), на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Воронежского государственного университета и научных конференциях Воронежского государственного технического университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит в [1, 3, 5] - теоретические исследования влияния типа композиции на свойства отношений, [2, 4] - проведение расчетов и численных исследований моделей.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 117 наименований, и приложения. Основная часть работы изложена на 169 страницах текста и содержит 32 рисунка и 8 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Каплиева, Наталья Алексеевна

Выводы к пятой главе

1. Вид декомпозиционного дерева в задаче нечеткой классификации существенным образом зависит от выбранного типа расстояния (для построения отношения несходства) и типа транзитивности.

2. Введено понятие устойчивости классификации, при которой количество и состав классов постоянны при использовании различных типов транзитивности.

3. Пороги классификации для различных типов транзитивности упорядочены согласно упорядочению соответствующих типов композиции.

4. Определена цепочка неравенств, связывающая количество классов при различных типах транзитивности.

5. Проведено исследование параметрического типа транзитивности и его зависимость от типа расстояния.

6. Введен критерий качества классификации.

7. Введены понятия основной и производной иерархической структуры в задаче ранжирования альтернатив заданного множества.

8. Проведено исследование согласованности ранжирований, полученных на основе различных типов транзитивности.

9. Проведена общая оценка систем ранжирования, позволяющая выбрать наилучшее ранжирование в зависимости от параметра декомпозиции а.

10. Проведен анализ результатов вычислительного эксперимента, позволивший сформулировать рекомендации лицу принимающему решению относительно выбора типа транзитивности в задаче ранжирования.

Заключение

Основные научные и практические результаты, полученные в диссертационной работе, состоят в следующем:

1. Проведен анализ процедур принятия решений, в которых в качестве модели представления информации об экспертных предпочтениях используются нечеткие отношения, который показал, что понятие транзитивности является сложным и необходимо исследование способов его формализации.

2. Треугольные Т-нормы и 5-конормы позволяют реализовать целенаправленный подход к определению операций над нечеткими множествами. На их основе в диссертационной работе введены композиции нечетких отношений, позволяющие обобщить понятия транзитивности. При этом транзитивные отношения делятся на два класса: (min-5)- и (тах-Т)-транзитивные.

3. Проведен теоретический анализ влияния различных типов транзитивности на основные свойства нечетких отношений, установлены взаимосвязи между классами транзитивных отношений.

4. Сформулирована и доказана теорема о декомпозици для отношения различия, позволяющая решить задачу нечеткой классификации без использования отношения подобия.

5. При переходе от отношения препорядка к отношению нестрого порядка сохраняется только (тах-тт)-транзитивность. В диссертационной работе определены условия такого перехода и для других типов транзитивности.

6. Разработана схема алгоритма нечеткой классификации, учитывающая двойственные типы композиции, которые позволяют сформировать альтернативные подходы к построению отношения подобия и на основе его декомпозиции получить нечеткое разбиение заданного множества. Параметр декомпозиции позволяет управлять процессом классификации.

7. Разработана схема алгоритма ранжирования, в основу которой положен переход от нечеткого отношения предпочтения, формируемого в результате экспертного опроса к нечеткому отношению совершенного порядка, декомпозиция которого позволяет построить иерархическое представление заданного множества альтернатив. Если граф нечеткого отношения предпочтения содержит контуры, то предлагается переход к его конденсации.

8. Проведено исследование влияние выбора типа композиции на результаты задачи классификации (декомпозиционного дерева) и ранжирования альтернатив заданного множества (диаграммы Хассе) и разработаны рекомендации по выбору типа композиции при переходе к транзитивному отношению.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Каплиева, Наталья Алексеевна, 2007 год

1. Алексеев А. В. Интеллектуальные системы принятия проектных решений / А.В. Алексеев, А.Н. Борисов, Э.Р. Вилюмс и др. - Рига : Зинатне, 1997. - 317 с.

2. Алексеев А.В. Применение нечеткой математики в задачах принятия решений / А.В. Алексеев. В сб.: Методы и системы принятия решений. - Рига: РПИ, 1983, с. 38-42.

3. Алиев Р.А. Проиводственные системы с искусственным интеллектом / Р.А. Алиев, Н.М. Абдикеев, М.М. Шахназаров. М.: Радио и связь. 1990. - 264 с.

4. Алтунин А.Е. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях А.Е. Алтунин, М.В. Семухин. Тюмень: Изд-во Тюменского государственного университета, 2000. 352 с.

5. Андерсон Дж. А. Дискретная математика и комбинаторика / Дж. Андерсон. М. : Издательский дом «Вильяме», 2003. - 960 с.

6. Беллман Р. Принятие решений в расплывчатых условиях / Р. Белл-ман, JI. Заде. В сб.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976, с. 172-215.

7. Белкин А.Р. Принятие решений: комбинаторные модели аппроксимации информации / А.Р. Белкин, М.Ш. Левин. М. : Наука, 1990. -160 с.

8. Белоусов А.И. Дискретная математика: Учеб. для вузов / А.И. Белоусов, С.Б. Ткачев. Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. Сер. Математика в техническом университете; Вып. XIX. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 744 с.

9. Берж К. Теория графов и ее применения. / Пер. с французского А.А. Зыкова. Под ред. И.А. Вайнштейна. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. - 320 с.

10. Берштейн J1.С. Нечеткие модели принятия решений: дедукция, индукция, аналогия / Л.С. Берштейн, А.В. Боженюк. Таганрог: Изд-во ТРГУ, 2001. 110 с.

11. Блюмин С.Л. Нечеткая алгебра как сочетание числовой и булевой алгебр / С.Л. Блюмин // Новые технологии в образовании: Труды III Междунар. электронной науч. конф. Воронеж: Воронежский государственный педагогический университет, 2000. - С. 46-47.

12. Блюмин С.Л. Модели и методы принятия решений в условиях неопределенности / С.Л. Блюмин, И.А. Шуйкова. Липецк : ЛЭГИ, 2000. -139 с.

13. Борисов А.Н. Диалоговые системы принятия решений на базе мини-ЭВМ. информационное, математическое и программное обеспечение / А.Н. Борисов, Э.Р. Вилюмс, Л.Я. Сукур Рига : Зинатне, 1986. -195 с.

14. Борисов А.Н. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной /А.Н. Борисов, А.В. Алексеев, О.А. Крумберг и др. Рига: Зинатне, 1982. - 256 с.

15. Борисов А.Н. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений / А.Н. Борисов, А.В. Алексеев, Г.В. Меркцрьева и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь. 1989. - 304 с.

16. Борисов А.Н. Принятие решений на основе нечетких моделей. Примеры использования / А. Н. Борисов, О. А. Крумберг, И. П. Федоров -Рига, 1990. 184 с.

17. Бочарников В.П. Fuzzy-Технология: математические основы практика моделирования в экономике / В.П. Бочарников. Санкт-Петрбург, 2001, 328 с.

18. Бурков В.Н.Получение и анализ экспертной информации. / В.Н. Бурков, J1.A. Панкова, М.В. Шнейдерман М. : Институт проблем управления, 1980. - 50 с.

19. Вознесенский В. А. Принятие решений по статистическим моделям / В.А. Вознесенский, А.Ф. Ковальчук. М. : «Статистика», 1978. 191 с.

20. Вощинин А.П. Оптимизация в условиях неопределенности / А.П. Во-щинин, Г.Р. Сотиров. Оптимизация в условиях неопределенности. -Изд-во МЭИ (СССР) и Техника (НРБ), 1989. 244 с.

21. Гафт М.Г. Принятие решений при многих критериях / М.Г. Гафт. М. : Знание, 1979. 347 с.

22. Глова В.И. Мягкие вычисления (Soft computing) и их приложения: Учебное пособие /В.И. Глова, И.В. Аникин, М.А. Аджели / Под ред. В.И. Глова. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2000. - 98 с.

23. Горбатов В.А. Дискретная математика: Уеб. для студентов втузов / В.А. Горбатов, А.В. Горбатов, М.В. Горбатова. М.: ООО «Издательство ACT»: ООО «Издательство Астрель», 2003. - 477 с.

24. Горелик A.J1. О методе последовательного анализа вариантов в задачах выбора в нечеткой среде / A.J1. Горелик, JI.4. Абаев // Кибернетика и системный анализ. 1992. - № 4. - с. 95-105.

25. Гохман О.Г. Экспертное оценивание / О. Г. Гохман Учеб. Пособие. -Воронеж: Изд-во ВГУ, 1991. 152 с.

26. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Под ред. С.В. Яблонского, О.Б.Лупанова, Наука, 1974. 311 с.

27. Дюбуа Д. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике / Д. Дюбуа, А. Прад. М.: Радио и связь, 1990. - 288 с.

28. Евланов Л.Г. Теория и практика принятия решений / Редколлегия М. Сергеев и др., М. : Экономика, 1984. 176 с.

29. Евстигнеев В. А. Применение теории графов в программировании / В.А. Евстигнеев. Наука, 1985. 352 с.

30. Емеличев В.А. Лекции по теории графов / В.А. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарванов, Р.И. Тышкевич, Наука, 1990. 384 с.

31. Жуковин В.Е. Модели и процедуры принятия решений /В.Е. Жуко-вин. Тбилиси, Изд-во "Мецниерба", 1981. 120 с.

32. Жуковин В.Е. Потенциальные нечеткие отношения и их использование в задачах упорядочения объектов / В.Е. Жуковин, С.П. Макеев, И.Ф. Шахнов // Техническая кибернетика. № 5, 1988. С. 182-188.

33. Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений / Л.А. Заде. В кн. Математика сегодня. -М.: Знание, 1974, с. 5-49.

34. Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / Л. А. Заде М.: Мир, 1976. -165 с.

35. Зайченко Ю.П. Исследование операций: нечеткая оптимизация: Учеб. пособие / Ю.П. Зайченко. Киев : Выща школа, 1991. - 191 с.

36. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы: Учеб. пособие. / Б.Н. Иванов. М. : Лаборатория Базовых Знаний, 2002. -288 с.

37. Ириков В.А. Распределенные системы принятия решений. Теория и приложения / В.А. Ириков, В.Н. Тренев. М. : Наука, Физматлит, 1999. - 288 с.

38. Карелин В.П., Целых А.Н. Нечеткие классификационные модели принятия решений в ситуационных советующих системах / В.П. Карелин // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, № 1, 1999. С. 8-13.

39. Кендалл М. Ранговые корреляции / М. Кендалл М. : «Статистика», 1975. 216 с.

40. Кини P.JI. Принятие решений при многих критериях: замещения и предпочтения / P.JI. Кини, X. Райфа М. : Радио и связь, 1981. -560 с.

41. Клиланд Д. Системный анализ и целевое управление / Д. Клиланд, В. Кинг. М. : Сов. радио, 1974. - 280 с.

42. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

43. Кофман А. Введение теории нечетких множеств в управлении предприятиями / А. Кофман, X. Хил Алуха: Пер. с исп. Минск: Высш. шк., 1992. - 224 с.

44. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. / Пер. с англ. Э.В. Вершкова, И.В. Коновальцева. Под ред. Г.П. Гарилова. -М.: Мир. 1978. - 432 с.

45. Круглов В.В. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети / В.В. Круглов, М.И. Дли, Р.Ю. Голунов. Физматлит, 2001. 224 с.

46. Кудинов Ю.И. Моделирование технологических и экологических процессов / Ю.И. Кудинов, А.Г. Венков, А.Ю. Карелина. Липецк, ЛЭГИ, 2001. - 131 с.

47. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных Странах: Учебник / О.И. Ларичев. М.: Логос, 2000. - 296 с.

48. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов / В.В. Лебедев М.: ИЗОГРАФ, 1997. - 224 с.

49. Леденева Т.М. Моделирование процесса агрегирования информации в целенаправленных системах /Т.М. Леденева. Воронеж: Изд-во ВГТУ, 1999. 156 с.

50. Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2002. - С. 79-83.

51. Леденева Т.М. Обработка нечеткой информации: учебное пособие / Т.М. Леденева. Воронеж, Воронежский государственный университет, 2006. - 206 с.

52. Литвак Б.Г. Экспертная информация. Методы получения и анализа / Б.Г. Литвак М.: Наука, 1982. - С. 34-38.

53. Малышев Н.Г. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР / Н.Г. Малышев, Л.С. Бернштейн, А.В. Боженюк. М. : Энергоиздат, 1991. - 136 с.

54. Мангейм М.Л. Иерархические структуры / М.Л. Мангейм. М. : Мир, 1970. 180 с.

55. Математическое моделирование / под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Са-довничего и др. М. : Изд-во МГУ, 1993.

56. Мелихов А.Н. Проектирование микропроцессорных средств обработки нечеткой информации / А.Н. Мелихов, В.Д. Баронец. Ростов н/Д.: Изд. Ростовского ун., 1990. - 128 с.

57. Мелихов А.Н. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой / А.Н. Мелихов, Л.С. Берштейн, С.Я. Коровин. М. : Наука, 1990. -272 с.

58. Миркин Б.Г. Анализ качественных признаков / Б.Г. Миркин. М. : «Статистика», 1976. 168 с.

59. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. Издательство «Наука», Главная редакция физ.-мат. литературы, М., 1974. 256 с.

60. Многокритериальные задачи принятия решений / Под ред. Гвишиани Д. М., Емельянова С. В. М. : «Машиностроение», 1978. 200 с.

61. Многомерный статистический анализ в экономике. Под ред. Тамаше-вича В.Н. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. 598 с.

62. Мушик Э. Методы принятия технических решений / Э. Мушик, П. Мюллер. М. : Мир, 1990. - 208 с.

63. Нефедов В.Н. Курс дискретной математики: Учеб. пособие / В.Н. Нефедов, В.А. Осипова М.: Изд-во МАИ, 1992. - 264 с.

64. Нечеткая логика: алгебраические основы и приложения: Монография / С.Л. Блюмин, И.А. Шуйкова, П.В. Сараев, И.В. Черпаков. Липецк : ЛЭГИ, 2002. - 111 с.

65. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /А.Н. Аверкин, И.З. Батыршин, А,Ф. Блишун, В.Б. Силов, В.Б. Тарасов. Под ред. Поспелова Д.А. М.: Наука, 1986. 312 с.

66. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под ред. P.P. Ягера. М. : Радио и связь, 1986. - 408 с.

67. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. Учебник для вузов. 2-е изд. / Ф.А. Новиков СПб.: Питер, 2005. - 364 с.

68. Общая алгебра / О.В. Мельников, В.Н. Ремесленников, В.А. Романь-ков и др.Ж Под. общ. ред. Л.А. Скорнякова. Т. 1. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 592 с.

69. Оре О. Теория графов / О. Оре. Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М.: 1968. 352 с.

70. Орлов А.И. Анализ нечисловых данных в системных исследованиях / А.И. Орлов. Сборник трудов. Вып. 10. - М.: ВНИИСИ, 1982. - С. 4-12.

71. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные / А.И. Орлов. М. : Знание, 1980. 64 с.

72. Орлов А.И. Связь между средними величинами и допустимыми преобразованиями шкалы / А.И. Орлов. Математические заметки, т. 30, вып. 4, 1981, с. 561-568.

73. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации / С.А. Орловский. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 208 с.

74. Осуга С. Обработка знаний / С. Осуга. М. : Мир, 1989. 293 с .

75. Поспелов Д.А. Логико-лингвистические модели в системах управления / Д.А. Поспелов. М.: Энергоиздат, 1981. - 232 с.

76. Поспелов Д.А. Ситуационное управление: теория и практика / Д.А. Поспелов. М. : Наука, 1986. - 288 с.

77. Представление и использование знаний. Пер. с япон. / Под ред. X. Уэно, М. Исудзука. М.: Мир, 1989. - 220 с.

78. Прикладные нечеткие системы / Асаи К., Ватада Д., Иваи С. и др. / Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугено. М. : Мир, 1993. - 368 с.

79. Приобретение знаний / Под ред. С. Осуги, Ю. Саэки. М.: Мир, 1990. - 304 с.

80. Пивкин В.Я. Нечеткие множества в системах управления / В.Я. Пив-кин, Е.П. Бакулин, Д.И. Кореньков. Под. ред. Ю.Н. Золотухина. http:eportal.da.ru/fuzzy/content.html.

81. Пытьев Ю.П. Методы математического модедирования измерительно-вычислительных систем / Ю.П. Пытьев. М. : Физматлит, 2002. -382 с.

82. Романовский И.В. Дискретный анализ: Учебное пособие для студентов, специализирующихся по прикладной математике и информатике / И. В. Романовский. Спб: Невский диалект, БХВ-Петербург, 2003.- 320 с.

83. Ротштейн А.П. Интеллектуальные технологии идентификации: нечеткая логика, генетические алгоритмы, нейронные сети / А.П. Ротштейн.- Винница: УНИВЕРСУМ-Винница, 1999. 320 с.

84. Ротштейн А.П. Медицинская диагностика на нечеткой логике / А.П. Ротштейн. Винница: Континент-ПРИМ, 1996 с. - 132 с.

85. Ротштейн А.П. Нечеткая надежность алгоритмических процессов / А.П. Ротштейн, С.Д. Штовба. Винница: Континент-ПРИМ, 1997. -142 с.

86. Рыжов А. П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости / А. П. Рыжов. М. : Диалог-МГУ, 1998. - 81 с.

87. Саати T.JI. Принятие решений. Метод анализа иерархий / T.JI. Саати.- М. : Мир, 1976. 320 с.

88. Самарский А.А. Математическое моделирование: Идеи, методы, примеры / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. М.: Физматлит, 2002. 320 с.

89. Свами М. Графы, сети и алгоритмы / М. Свами, К. Тхуласираман. -М.: Мир, 1984.-455 с.

90. Системное моделирование социально-экономических процессов. Сборник научных трудов. Воронеж, 2000. 216 с.

91. Судоплатов С. В. Элементы дискретной математики: Учебник. / С. В. Су-доплатов, Е. В. Овчинникова. М. : ИНФРА-М, Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. - 280 с.

92. Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений / Трах-тенгерц Э.А. Научно-практическое издание / Сер. Информатизация России на пороге XXI века. М. : СИНТЕГ, 1998. - 376 с.

93. Тельнов Ю.Ф. Интеллектуальные информационные системы в экономике / Ю.Ф. Тельнов. М.: СИНТЕГ, 1999. - 216 с.

94. Уилсон Р. Введение в теорию графов / Р. Уилсон. М. : Мир, 1977. -208 с.

95. Усков А.А. Интеллектуальные системы управления на основе методов нечеткой логики / А.А. Усков, В.В. Круглов. Смоленск: Смоленская типография, 2003. 177 с.

96. Уткин JI.B. Нетрадиционные методы оценки надежности информационных систем / JI.B. Уткин, Шубинский И.Б. СПб.: Любавич, 2000.- 173 с.

97. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений / П. Фишберню- М.: Наука, 1978. -352 с.

98. Харари Ф. Теория графов. / Пер. с англ. В.П. Козырева. Под ред. Г.П. Гаврилова. М.: Мир. 2006. - 296 с.

99. Целых А.Н. Моделирование процессов принятия решений в нечетких условиях. Монография / А.Н. Целых. Ростов-на-Дону: Изд-во Северо-Кавказского научного центра высшей школы, 1999. - 104 с.

100. Цыгичко В.Н. Руководителю о принятии решений / В.Н. Цыгичко. -М. : ИНФРА-М, 1996. 272 с.

101. Шапиро Д.И. Принятие решений в системах организационного управления. Использование расплывчатых категорий / Д.И. Шапиро. М. : Энергоатомиздат, 1983. - 185 с.

102. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок / Ю.А. Шрейдер. М.: 1971. 256 с.

103. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику / С.В. Яблонский. М. : Высшая школа, 2001. 384 с.

104. Bertoluzza С., Corral N., Salas A. On a new class of distances between fuzzy numbers // Mathware & Soft Computing. 1995. - № 2. - P. 71-84.

105. Di Nola A. Fuzzy Relational Equations Theory As a Basis of Fuzzy Modeling: an Overiew / A. Di Nola, W. Pedrycz, S. Sessa // Fuzzy Sets and Systems. 1991. - № 40. - P. 415-429.

106. Di Nola A. Fuzzy Relational Structures: the State-of-Art / A. Di Nola, W. Pedrycz, S. Sessa // Fuzzy Sets and Systems. 1995. - № 75. - P. 241-262.

107. Herrera F. A model of consensus in group decision making under linguistic assessments / F. Herrera, E. Herrera-Viedma, J. L. Verdegay //Fuzzy Sets and Systems. 1996. - № 2. - P. 73-87.

108. Klement E.P. Triangular norms. Position paper I: basic analytical and algebraic properties / E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pap // Fuzzy Sets and Systems. 2004. - № 143. - P. 5-26.

109. Klement E.P. Triangular norms. Position paper II: general constructions and parameterized families / E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pap // Fuzzy Sets and Systems. 2004. - № 145. - P. 411-438.

110. Klement E.P. Triangular norms. Position paper III: continuous t-norms / E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pap // Fuzzy Sets and Systems. 2004. -№ 145. - C. 439-454.

111. Fuller R. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. -http: //www.abo.fi/rfuller/robert.html.

112. I I I I t s i i I i Wi i > i i i I i i i i i i i i i i i i i Я i i i i i i i i i

113. I.--1---1---l--4 | f--I---1---1--4 Ж --t---I---l- --Г