Моделирование и анализ финансово-экономических операций с интервальной неопределенностью в данных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Авдеенко, Сергей Николаевич
- Специальность ВАК РФ05.13.18
- Количество страниц 140
Оглавление диссертации кандидат технических наук Авдеенко, Сергей Николаевич
Введение
1 Элементы интервального анализа
1.1 Классическая интервальная арифметика
1.2 Основные понятия обобщенной интервальной арифметики.
2 Применение классической интервальной арифметики в финансовом анализе
2.1 Основные понятия финансового анализа
2.2 Начисление сложных процентов в условиях интервальной неопределенности
2.3 Моделирование и анализ интервальных потоков платежей
2.3.1 Интервальный анализ переменных потоков платежей
2.3.2 Интервальный анализ постоянных потоков платежей
2.4 Интервальный анализ инвестиционных проектов.
2.4.1 Чистый приведенный доход в условиях интервальной неопределенности.
2.4.2 Интервальная оценка внутренней нормы доходности
2.5 Примеры численных расчетов.
2.6 Выводы.
3 Применение обобщенной интервальной арифметики в финансовом анализе
3.1 Начисление сложных процентов с использованием обобщенной интервальной арифметики Хансена
3.2 Моделирование и анализ потоков платежей с использованием обобщенной интервальной арифметики.
3.2.1 Определение наращенной суммы интервальных потоков платежей.
3.2.2 Определение современной величины интервальных потоков платежей
3.3 Анализ инвестиционных проектов с использованием обобщенной интервальной арифметики
3.3.1 Определение чистого приведенного дохода в условиях интервальной неопределенности.
3.3.2 Интервальная оценка внутренней нормы доходности инвестиционных проектов.
3.3.3 Метод наклона (Slope Method).
3.4 Результаты численных расчетов
3.5 Выводы.
4 Формирование индивидуального пенсионного фонда и методы оценки доходной недвижимости в условиях интервальной неопределенности
4.1 Модель процесса формирования индивидуального пенсионного фонда в условиях интервальной неопределенности
4.1.1 Постановка задачи.
4.1.2 Оценка размера пенсионного фонда в обычной интервальной арифметике
4.1.3 Оценка размера пенсионного фонда на основе сочетания обычной и обобщенной интервальной арифметик.
4.1.4 Применение сочетания обычной и обобщенной интервальной арифметик для оценки размера пенсии
4.2 Интервальная модель и метод оценки доходной недвижимости в условиях интервальной неопределенности.
4.2.1 Структура чистого операционного дохода.
4.2.2 Износ и его возмещение.
4.3 Результаты численных расчетов
4.4 Выводы.
5 Пакет программ ФИНИНТ
5.1 Назначение пакета программ ФИНИНТ.ИЗ
5.2 Основы работы.
5.2.1 Начисление процентов в условиях интервальной неопределенности
5.2.2 Анализ финансовых рент с использованием интервального анализа.
5.2.3 Интервальный анализ эффективности инвестиционных проектов.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК
Анализ и управление стохастическими финансовыми потоками, как один из методов контроля и снижения коммерческих рисков2005 год, кандидат физико-математических наук Чиннов, Михаил Владимирович
Твинные арифметики и их применение в методах и алгоритмах двустороннего интервального оценивания1999 год, доктор физико-математических наук Нестеров, Вячеслав Михайлович
Интервальные методы и модели принятия решений в экономике2009 год, доктор экономических наук Давыдов, Денис Витальевич
Математическая поддержка принятия решения для управления платежеспособностью в негосударственном пенсионном фонде2001 год, кандидат экономических наук Помазкин, Дмитрий Владимирович
Исследование математических моделей процесса инвестирования2004 год, кандидат физико-математических наук Егорова, Диана Валерьевна
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и анализ финансово-экономических операций с интервальной неопределенностью в данных»
Инвестиции в реальные или финансовые активы, коммерческие сделки, кредитные соглашения, банковские операции, сделки с недвижимостью и др. предусматривают, как правило, вложения и поступления распределенных во времени денежных сумм. Эффективность подобных финансовых операций зависит от многих параметров и условий, оговоренных в контрактах: размеров денежных сумм, процентной ставки, предполагаемых сроков выплат и поступлений, риска, связанного с вложениями и т.п. Основным объектом финансового анализа в данном случае являются потоки платежей — суммы распределенных во времени денежных расходов и поступлений, предполагаемых в результате финансовой операции. Анализ и расчет показателей эффективности таких операций основан на фундаментальном в финансовом анализе принципе дисконтирования потоков платежей [17,24,47,56,58]. При этом предполагается точное знание размеров инвестиционных расходов и будущих доходов, а также значения рыночной ставки процента (рыночной нормы доходности, ставки сравнения [17,56,58]) в будущем. На практике ни инвестиционные расходы, ни тем более будущие доходы и рыночная ставка процента, как правило, точно неизвестны. Следовательно, моделирование и анализ финансовых операций приходится проводить в условиях неопределенности.
Существует множество методов решения задач в условиях неопределенности. Среди них можно выделить [18]:
1. Стохастические методы. Использование этих методов возможно, когда неопределенности можно приписать вероятностный, случайный характер. В данном случае неопределенность полностью описана, если задана плотность вероятности случайной величины. Наибольшее распространение в литературе получил случай нормального (гауссова) распределения, которое полностью определяется вектором математического ожидания и ковариационной матрицей [12,16,64].
2. Статистические методы. Эти методы применяют, когда для моделирования объекта используются результаты выборочных экспериментов в условиях действия случайных помех и ошибок. Статистические методы тесно связано со стохастическими, но отличие заключается в том, что в условиях эксперимента исследователь получает лишь выборочные оценки параметров плотности распределения или ее моментов. Точность этих оценок зависит от многих факторов таких, как число опытов, метод оценивания, дисперсия помехи и др. [11,13,57].
3. Методы теории нечетких множеств. Эти методы используются, когда значения параметров модели и требования к системе задаются не точно, а в виде некоторого множества возможных значений, характеризующихся той или иной "степенью уверенности"эксперта. Основной характеристикой этих множеств возможных значений является функция принадлежности ha{z) параметра z, удовлетворяющая условию 0 < /^(z) < гДе А — известное множество [32,42,45].
4. Методы интервального анализа. Эти методы в последнее время привлекают все большее внимание исследователей. Описание неопределенности с помощью методов интервального анализа является менее ограничительным по сравнению с вышеперечисленными методами.
Часто исследователи сталкиваются с проблемой выбора метода описания неопределенности. Эта проблема возникает, например, когда нельзя даже предположить возможность многократного проведения эксперимента на исследуемом объекте при неизменном действии неучтенных и неуправляемых факторов. Такая ситуация приводит к необходимости учета неопределенности, в общем случае, неизвестной природы. В данном случае относительно факторов неопределенности, практически, ничего не известно, кроме того, что они ограничены. В таких условиях для описания неопределенйости наиболее естественно представить факторы неопределенности в интервальной форме, т.е. задать диапазон возможных значений переменных или зависимостей. Для работы с данными, представленными в интервальном виде, во второй половине XX века появилось и начало бурно развиваться новое направление в современной прикладной математике, названное интервальным анализом (интервальной математикой) [10,21,30,39,63,68,74,76,84,85].
Среди западных ученных, внесших наибольший вклад в развитие интервального анализа, можно выделить R.Moore, G.Alefeld, E.R.Hansen, E.W.Kaucher, R.B.Kearfott, V.Kreinovich, N.W.Kulisch, A.Neumaier, K.Nickel, H.Ratschek, J.Rokne.
В России ведущей организацией, занимающейся проблемами интервального анализа, является Институт вычислительных технологий СО РАН (г.Новосибирск) во главе с академиком Шокиным Ю.И. Также эту тему активно развивают Шарый С.П., Добронец B.C., Калмыков С.А., Лакеев А.В., Марченко Л.В., Назаренко Т.И., Шайдуров В.В. и другие.
Систематическое изложение основ этого направления вычислительной математики было впервые дано в работе Мура [84]. Исторически интервальный анализ возник для решения проблемы соотнесения конечного приближенного результата и истинного абстрактного решения поставленной задачи. Суть данного подхода заключается в том, что неизвестное точное значение заменяется не единственным элементом того же класса, а конечно-представимым множеством элементов, содержащим в себе этот неизвестный элемент. Название "интервальный"данный подход получил в связи с тем, что интервал, представляемый обычно парой рациональных чисел-границ, является простейшим видом конечно-представимого множества, локализующего простейший абстрактный объект — вещественное число. Это привело к необходимости обобщения понятия вещественного числа.
Непосредственное применение интервального анализа в вычислительных процессах позволяет заключить в интервалы решения задач, о входных данных которых известно лишь то, что они лежат в некоторых интервалах. При этом в интервалы решений включаются и ошибки округлений, встречающиеся в процессе вычислений.
Основным требованием к интервальным вычислениям является требование минимизации ширины интервала решения. Ширина интервального результата полностью определяется следующими факторами [10]:
1. Неопределенностью в задании исходных данных;
2. Округлениями при выполнении операций;
3. Приближенным характером используемого численного метода;
4. Степенью учета зависимостей между участвующими в вычислении интервальными объектами (переменными и константами).
Компенсируя влияние этих факторов, можно получать сколь угодно точные результаты. Первый фактор поддается лишь учету, но не управлению. Уменьшить влияние четвертого фактора можно путем предварительной обработки исходного алгоритма в процессе вычислений и апо-стериорно. Улучшением численных методов занимается вычислительная математика.
В течение длительного времени интервальные методы применялись, в основном, для автоматического учета ошибок округления на ЭВМ с конечной разрядной сеткой. Основной чертой этих исследований было требование минимизации интервалов изменения входных данных.
Дальнейшие исследования показали, что методы интервального анализа могут служить не только для учета ошибок округления, но и являются новыми аналитическими методами для теоретических исследований. В этом случае входные данные могут иметь произвольные интервалы изменения.
В настоящее время интервальный анализ достаточно широко применяется для решения задач, возникающих в различных областях научных исследований, в таких как теория автоматического управления, статистический анализ, исследование операций, численный анализ, робототехника и др. [34,37,59-63,68-70,72,74-80,82-86,88-90,92]. Вследствие того, что интервальная арифметика способна предоставить обоснованные решения разнообразных задач, разработан ряд средств для поддержки интервальных вычислений на ЭВМ. Эти средства включают библиотеки [77,80,83], расширения языков программирования [70,82,92] и программные продукты [72,78,79].
В настоящее время методы интервального анализа используются также и при решении различных экономических задач:
- построение моделей управления запасами [25,26,54,55,66,67];
- анализ производственных функций [93].
В финансовом анализе подробно исследованы детерминированные случаи и случаи со статистической неопределенностью [14,17,19,20,24, 27-29,31,33,40,41,43,44,46,47,49-53,56,58,71,87,91].
Однако, в случае неопределенности в данных часто исследователь не имеет достаточно информации для того, чтобы рассматривать неопределенность как вероятностную. Можно только с достаточной степенью достоверности задать интервалы, в которых лежат параметры финансового процесса. В связи с этим актуальным является разработка методов моделирования и анализа финансовых операций в условиях интервальной неопределенности. В этом случае адекватным математическим аппаратом для количественного анализа потоков платежей, связанных с финансовыми операциями, могут служить методы интервального анализа [22,23,85].
По-видимому, впервые на возможность применения интервальных методов в финансовом анализе указал Moore R.E. в работе [85], где он привел пример использования аппарата классической интервальной арифметики для расчета одного из показателей эффективности инвестиционного проекта. Однако многие вопросы анализа финансовых операций с использованием интервальной математики остаются не исследованными.
Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность настоящей диссертационной работы, целью которой является:
1. Разработка методов моделирования и анализа интервальных потоков платежей (под интервальным потоком будем понимать поток платежей, параметры которого — размеры платежей и процентная ставка — задаются интервалами) с использованием аппарата интервальной арифметики. Вывод аналитических выражений для расчета обобщающих характеристик интервальных потоков платежей.
2. Разработка методов моделирования и анализа эффективности финансовых операций в условиях интервальной неопределенности: a) вывод аналитических выражений и разработка методов расчета основных показателей эффективности инвестиционных проектов; b) применение методов интервального анализа для решения задачи формирования индивидуального пенсионного фонда; c) оценка доходной недвижимости в условиях неопределенности интервального вида;
3) Разработка пакета программ для моделирования и анализа финансовых операций с использованием аппарата интервальной математики.
В данной работе для моделирования и анализа финансово-экономических операций используются методы классического интервального анализа и аппарат обобщенной интервальной арифметики Хансена, применение которого обусловлено рядом недостатков классической интервальной арифметики, иногда сильно влияющих на точность результата вычислений. К этим недостаткам можно отнести:
1. Слабость алгебраических свойств, т.е.:
• все интервалы ненулевой ширины не имеют обратных элементов ни по сложению, ни по умножению;
• арифметические операции связаны между собой довольно слабыми соотношениями(например, невыполнение в общем случае свойства дистрибутивности).
2. Бедность символьной техники, т.е. нет возможности приводить подобные слагаемые и переносить члены из одной части аналитического выражения в другую.
Все эти отрицательные свойства стимулировали попытки многих исследователей каким-то образом дополнить классическую интервальную арифметику. Одно из таких дополнений было предложено Хансеном [73, 74] и получило название "обобщенная интервальная арифметика Хансена". В этой арифметике вводятся отличные от классической представления интервальных чисел и правила арифметических операций над ними, что позволяет в отдельных случаях получать интервал результата более узкий,чем при использовании методов классической интервальной арифметики.
Методы исследования. Для достижения поставленных в диссертационной работе целей применялись методы классического интервального анализа и обобщенной интервальной арифметики Хансена, численные методы, методы имитационного моделирования. Численные расчеты и анализ результатов проводился с помощью моделирования на ЭВМ с использованием программного обеспечения, разработанного автором.
Основные результаты, полученные в данной работе:
1. Разработаны методы моделирования и анализа интервальных потоков платежей с использованием аппарата классической интервальной арифметики и обобщенной интервальной арифметики Хансена.
Получены аналитические выражения для вычисления интервальных расширений обобщающих характеристик потоков платежей — наращенной суммы и современной величины, для различных видов финансовых рент, заданных интервалами.
2. Разработаны интервальные методы анализа инвестиций. Рассмотрены два основных показателя эффективности инвестиционных проектов — чистый приведенный доход и внутренняя норма доходности. Задача определения внутренней нормы доходности в интервальной постановке сводится к поиску положительных корней интервального полинома. Предлагается подход к решению этой задачи с использованием интервально- арифметической версии метода Ньютона- Раф-сона и модификации метода Ньютона, использующей наклон, реализованной в обобщенной интервальной арифметике.
3. Построена интервальная модель процесса формирования индивидуального пенсионного фонда. На основе сочетания классической и обобщенной интервальных арифметик получены аналитические выражения для определения размера индивидуального пенсионного фонда и оценки размера пенсии.
4. Разработаны интервальная модель и метод оценки доходной недвижимости на основе сочетания классической и обобщенной интервальных арифметик. Получены формулы для определения чистого операционного дохода и оценки износа и его возмещения.
5. Разработан пакет программ для моделирования и анализа интервальных потоков платежей и инвестиционных проектов с использованием методов интервального анализа.
Достоверность полученных результатов подтверждается строгими аналитическими выкладками и результатами численных расчетов. Все полученные аналитические выражения в вырожденном случае (когда верхние и нижние границы интервалов исходных данных равны) совпадают с выражениями классического финансового анализа.
Теоретическая ценность. На основе применения аппарата интервального анализа разработаны и исследованы математические модели и методы анализа финансово- экономических процессов с интервальной неопределенностью в данных. Получены расчетные формулы и предложены вычислительные алгоритмы для определения основных показателей, используемых при анализе эффективности инвестиционных проектов, оценке доходной недвижимости, анализе процесса формирования индивидуального пенсионного фонда.
Практическая ценность работы заключается в возможности применения разработанных методов и реализующего их программного обеспечения для решения практических задач анализа реальных финансовых операций. Исследования, связанные с моделированием и анализом финансовых операций, представленные в диссертации, а также соответствующее программное обеспечение, разработанное автором, были использованы:
- для анализа и расчетов основных характеристик кредитных операций в ТМРФ ТБ "Сибирское ОВК"(доп. офис 6907);
- для анализа финансово-хозяйственных операций в ОАО "Цветочная компания".
Ряд исследований, проведенных в работе, используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.
Акты о внедрении прилагаются.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации — 139 страниц. Список литературы включает 93 наименования.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК
Разработка и реализация основанных на интервальной арифметике алгоритмов компьютерного исследования динамических систем2010 год, кандидат физико-математических наук Терентьев, Сергей Валерьевич
Динамические модели систем управления запасами с интервальной неопределенностью в данных2003 год, кандидат физико-математических наук Чаусова, Елена Владимировна
Модели и методы оптимизации распределений инвестиционных вложений пенсионного фонда России2011 год, кандидат экономических наук Юрков, Дмитрий Владимирович
Совершенствование учетного процесса при формировании входящих финансовых потоков на пенсионное обеспечение граждан2004 год, кандидат экономических наук Шабанова, Елена Вячеславовна
Пенсионное страхование в России: финансовое обеспечение, стратегия управления и развития2010 год, доктор экономических наук Муравлева, Татьяна Виталиевна
Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Авдеенко, Сергей Николаевич
Заключение
Представленная диссертационная работа отражает результаты исследований, направленных на применение интервальных методов для моделирования и анализа финансово-экономических операций в условиях интервальной неопределенности в данных. Получены следующие основные результаты:
1. Разработаны математические модели и методы анализа интервальных потоков платежей с использованием аппарата классической интервальной арифметики и обобщенной интервальной арифметики Хансена. Получены аналитические выражения для вычисления интервальных расширений обобщающих характеристик потоков платежей — наращенной суммы и современной величины, для различных видов финансовых рент, заданных интервалами.
2. Разработаны интервальные методы анализа инвестиций. Рассмотрены два основных показателя эффективности инвестиционных проектов — чистый приведенный доход и внутренняя норма доходности. Задача определения внутренней нормы доходности в интервальной постановке сводится к поиску положительных корней интервального полинома. Предлагается подход к решению этой задачи с использованием интервально- арифметической версии метода Ньютона- Раф-сона и метода Ньютона, использующего наклон, реализованного в обобщенной интервальной арифметике.
3. Построена интервальная модель процесса формирования индивидуального пенсионного фонда. На основе сочетания классической и обобщенной интервальных арифметик получены аналитические выражения для определения размера индивидуального пенсионного фонда и оценки размера пенсии.
4. Разработаны интервальная модель и метод оценки доходной недвижимости на основе сочетания классической и обобщенной интервальных арифметик. Получены формулы для определения чистого операционного дохода и оценки износа и его возмещения.
5. Разработан пакет программ для моделирования и анализа интервальных потоков платежей и инвестиционных проектов с использованием методов интервального анализа.
Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Авдеенко, Сергей Николаевич, 2003 год
1. Авдеенко С.Н., ДомбровскиЙ В.В. Применение обобщенной интервальной арифметики для анализа финансовых операций //Вычислительные технологии. 2002. - Т.7, №1. - С. 3-14.
2. Авдеенко С.Н., ДомбровскиЙ В.В. Расчет индивидуального пенсионного фонда в условиях интервальной неопределенности //Вычислительные технологии. 2001. - Т.6, 4.2. - С. 9-16 (спец.выпуск, CD).
3. Авдеенко С.Н., ДомбровскиЙ В.В. Применение интервальных методов в управлении инвестициями //Вестник Томского государственного университета. 2000. - .№269. - С. 78-81.
4. Авдеенко С.Н., ДомбровскиЙ В.В. Применение обобщенной интервальной арифметики в анализе потоков платежей //Вестник Томского государственного университета. 2000. - №271. - С. 122-124.
5. Авдеенко С.Н., ДомбровскиЙ В.В. Анализ инвестиционных проектов в условиях интервальной неопределенности //Вестник Томского государственного университета. 2000. - №271. - С. 125-126.
6. Авдеенко С.Н., ДомбровскиЙ В.В. Применение обобщенной интервальной арифметики для анализа инвестиционных проектов //Труды XV конференции по интервальной математике. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2000.http://www.ict.nsc.ru:8000/ws/showabstract.dhtml?ru+8+432)
7. Авдеенко C.H., ДомбровскиЙ В.В. Анализ потоков платежей с использованием обобщенной интервальной арифметики //Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 2000): Тезисы докладов. - Новосибирск, 2000. Ч.Ш. С. 143-144.
8. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1986.
9. ВАН КАМПЕН Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. -М.: Высшая школа, 1990.
10. ВАН ХОРН Дж. Основы управления финансами. М.: Финансы и статистика, 1996.
11. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. СССР, НРБ: изд-во МЭИ "Техника", 1989.19. грибовский С.в. Оценка доходной недвижимости. Санкт-Петербург: Питер, 2001.
12. ДАНИЛОВА Т.Н. Инвестиционный рынок и его место в структуре финансового рынка //Финансы и кредит. 2002. - JYe8. - С. 10-25.
13. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: Инфра-М, 1997.
14. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: ДИС, 1997.
15. Ивашкина 0.0., Карибский А.В., Шишорин Ю.Р. Анализ эффективности инвестиционных проектов: информационная технология и средства автоматизации //Автоматика и телемеханика. -2000. т. - С. 156-169.
16. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.
17. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике: учебное пособие. Санкт-Петербург: Питер, 2000.
18. КОФМАН А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.
19. КОЧОВИЧ Е. Финансовая математика. М.: Финансы и статистика, 1994.
20. КУЗНЕЦОВ В.П. Интервальные статистические модели. М.: Радио и связь, 1991.
21. Лазаревский А.А., сушкевич А.г. Наизнанку и вверх ногами (пенсионная реформа в России на фоне зарубежного опыта) //Финансы и кредит. 2002. - №3. - С. 11-17.
22. Математическая энциклопедия. Т.2. - М.: Сов. Энциклопедия, 1979.
23. Назаренко Т.И., Марченко Л.В. Введение в интервальные методы вычислительной математики. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1982.
24. СМОЛЯК С.А. Оценка эффективности проектов в условиях нечеткой вероятностной неопределенности //Экономика и математические методы. 2001. - Т.37, Ш. - С. 3-17.
25. ТАРАСЕВИЧ Е.И. Методы оценки недвижимости. Санкт-Петербург: Технобалт, 1995.50. фридман, н.ордуэй. Анализ и оценка приносящей доход недвижимости. М.: Дело ЛТД, 1995.
26. Филип КОТЛЕР Основы маркетинга. М.: Прогресс, 1990.
27. Чайковская JI.А., Филин С.А. Финансовые инвестиции — их оценка и учет //Финансы и кредит. 2002. - №7. - С. 24-32.
28. Четыркин В.И. Методы финансовых и коммерческих расчетов. -М.: Дело ЛТД, 1995.
29. Четыркин Е.М., калихман И.Л. Вероятность и статистика = Probability and statistics. М., Финансы и статистика, 1982.
30. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., БеЙли Дж. Инвестиции. М., Инфра-М, 1997.
31. ШАРЫЙ С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное решение: Диссертация.докт. ф. м. наук, Новосибирск, 2000.
32. ШАРЫЙ С.П. Линейные статические системы с интервальной неопределенностью: эффективные алгоритмы для решения задач управления и стабилизации. Препринт. - Красноярск: ВЦ СО РАН. - С. 64-80.
33. ШАРЫЙ С.П. Новый подход к анализу статических систем с интервальной неопределенностью в данных //Вычислительные Технологии. 1997. - Т.2, т. - С. 84-102.
34. Dargel R.H., Lascalzo F.R., Witt Т.Н. Automatic error bounds on real zeros of rational function //Comm. ACM. 1966. -V.19, 11.
35. Ely J.S. The VPI Software Package for Variable Precision Interval Arithmetic //Interval Computations. 1993. - 2. - P. 135-153.
36. Froot К.A., O'Connell P.G.J, Seasholes M.S. The portfolio flows of international investors //NBER working paper. 1998. - 6687.
37. KAUCHER E. Interval analysis in the extended interval spase EM. //Computing Suppl. 1980. - 2. - P. 33-49.
38. Moore R.E. Interval analysis. Englewood Cliffs. N.J.: Prentice-Hall, 1966.
39. Moore R.E. Methods and applications of interval analysis. SIAM: Philadelphia, 1979.
40. Morales D., Tran Cao Son Interval Methods in Robot Navigation //Reliable Computing. 1998. - 4. - P. 55-61.
41. Ratschek H., Rokne G. Formulas for the width of interval products //Reliable Computing. 1995. - 1(1). - P. 9-14.
42. The Appraisal of Real Estate. 11 Edition. - Chicago, Illinois, 1996.
43. Walter W.V. ACRITH-XSC: A Fortran-like Language for Verified Scientific Computing. In Adams E. and Kulisch U.(eds), Scientific Computing with Automtic Result Verification. Academic Press, 1993. - P. 45-70.
44. Zhihui Huey Ни Reliable Optimal Production Control with Cobb-Douglas Model //Reliable Computing. 1998. - 4. - P. 63-69.
45. РОССГЙС/ ГОСУДА.'." JBlLS/'l: У'
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.