Моделирование физико-химических процессов в прогретом слое смесевого твёрдого топлива с сухой поверхностью в довоспламенительный период тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.17, кандидат наук Болкисев, Андрей Александрович

• Болкисев, Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Болкисев, Андрей Александрович

Содержание

Введение

1 Процессы в свободном объёме двигателя

1.1 Введение

1.2 Математическая модель

1.3 Результаты расчётов

1.4 Краткие выводы по разделу

2 Моделирование структуры топлива

2.1 Введение

2.2 Постановка задачи

2.3 Метод решения

2.4 Результаты расчётов

2.5 Краткие выводы по разделу

3 Инертный прогрев

3.1 Введение

3.2 Постановка задачи

3.3 Метод решения

3.4 Проверка корректности

3.5 Результаты расчётов

3.6 Краткие выводы по разделу

4 Расчёт химической кинетики

4.1 Введение

4.2 Особенности уравнений химической кинетики

4.3 Приближение квазистационарного состояния

4.4 Анализ метода с-С^ЯБ

4.5 Приближение частичного равновесия

4.6 Анализ метода с-РЕ

4.7 Краткие выводы по разделу

5 Пиролиз связующего

5.1 Введение

5.2 Экспериментальные данные

5.3 Упрощённая модель пиролиза в конденсированной фазе

5.4 Модель линейного пиролиза

5.5 Результаты расчётов

5.6 Основные выводы по разделу

6 Течение газа в порах связующего

6.1 Введение

6.2 Постановка задачи

6.3 Определение коэффициентов переноса

6.4 Метод решения

6.5 Проверка корректности

6.6 Результаты расчётов

6.7 Краткие выводы по разделу

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование физико-химических процессов в прогретом слое смесевого твёрдого топлива с сухой поверхностью в довоспламенительный период»

Введение

Актуальность темы исследования и степень её разработанности. Сме-севые твёрдые топлива (СТТ) нашли широкое применение в ракетной технике и за её пределами (например, в газогенераторных установках). При этом для каждого из приложений необходимы различные характеристики СТТ. Однако, чрезвычайная сложность процессов, сопровождающих воспламенение и горение топлива требует большого объёма дорогостоящей экспериментальной работы для получения топлива с заданными свойствами.

Дальнейшее усовершенствование составов смесевых топлив, способов зажигания и управления горением требует всё более подробного рассмотрения процессов, сопровождающих их воспламенение и горение.

Основы фундаментальной теории воспламенения и горения твёрдых топлив заложены в работах отечественных учёных Н. Н. Семёнова, Я. Б. Зельдовича, А. Ф. Беляева, Д. А. Франк-Каменецкого, В. Б Новожилова, А. Г. Мержанова, В. Н. Вилюнова и их зарубежных коллег М.Саммерфилда, Д. Б. Сполдинга, Ф. А. Вильямса, М. У. Бэкстеда.

На современном этапе возможности вычислительной техники позволили перейти к детальному моделированию процессов, протекающих при воспламенении и горении. Из таких можно выделить работы Г. М.Нотта, Т. Д. Джексона и Дж. Букмастера, посвящённые моделированию горения безме-талльного перхлоратного топлива с учётом его структуры; работы М. JL Гросса и М. У. Таннера, посвящённые формулировке детальных механизмов химических превращений в газовой фазе, исследованию структуры пламени и моделированию агломерации алюминия; работы С. А. Рашковского, применившего статистический подход к описанию процессов, происходящих при горении СТТ, учитывая неоднородный и случайных характер его структуры; и работы A.M.Липанова, сформулировавшего единую физико-химическую модель горения СТТ, охватывающую этапы от инертного прогрева топлива до выхода на квазистационарный режим горения. Разработкой теоретических основ детального моделирования занимались В.В.Калинин, В.К.Булгаков, В.И.Кодолов, Ю. М Милёхин, М. У. Бэкстед, P. JI. Дерр, С. Ф. Прайс.

Эти работы опираются на богатый экспериментальный материал, предоставленный, в значительной степени, отечественными исследователями:

Г. Б. Манелисом и В. А. Струниным, Н. Е. Ермолиным и О. П. Коробейничевым, В. П. Синдицким и В. Ю. Егоршевым, в области исследования горения энергетических материалов, П. Ф. Похилом и В. А. Бабуком по агломерации алюминия.

Среди их зарубежных коллег в области исследования горения энергетических материалов наиболее известны М.-Ч. Лин, Т. Л. Боггс и Н. Кубота, Л. Т. ДеЛюка и Л.Галфетти по агломерации и горению алюминия, остаются актуальными работы С. Л. Мадорского, X. Арисавы и Т. Б. Брилла по горению полимерных материалов.

Несмотря на значительный объём как экспериментальных, так и теоретических исследований, некоторые аспекты процессов оказались недостаточно изученными. К таковым относится неравномерное распределение алюминия в топливном заряде, наличие полимерного каркаса, взаимосвязь между горением рассматриваемого фрагмента топлива и процессами в камере сгорания, чему и посвящена данная работа.

Объектом исследования являются физико-химические процессы, протекающие в СТРТ в довоспламенительный период.

Предмет исследования составляют физико-химические и математические модели этих процессов, численные методы решения соответствующих систем уравнений и имеющие место основные закономерности рассматриваемых процессов.

Цель работы состоит в исследовании физико-химических процессов, протекающие в СТРТ в довоспламенительный период.

Для достижения этих целей решаются следующие задачи:

— построение алгоритма моделирования структуры СТТ;

— реализация численного метода решения уравнения теплопроводности и проведение численного эксперимента по моделированию инертного прогрева СТТ;

— разработка и реализация метода решения систем уравнений химической кинетики;

— формулировка модели теплового разложения связующего СТТ с учётом образования полимерного каркаса;

— проведение численного эксперимента по моделированию линейного пиролиза связующего;

— разработка и реализация численного алгоритма расчёта течения га-

зов в порах связующего при пиролизе; проведение соответствующего численного эксперимента.

Научная новизна работы заключается в том, что

— разработан новый алгоритм моделирования структуры композитных материалов, позволяющий учесть их характерные особенности (например, наличие ровного ряд частиц на границе СТТ, или распределение частиц по кластерам);

— впервые проведено моделирование инертного прогрева СТТ в трёхмерной постановке с явным выеделением частиц алюминия;

— разработаны новые явные методы решения жёстких систем уравнений химической кинетики, гарантирующие ограниченность и положительность решений;

— впервые сформулирована простая модель образования и распада полимерного каркаса при пиролизе полибутадиена;

— впервые получены параметры течения в порах СТТ при пиролизе связующего.

Теоретическая значимость работы заключается в создании универсального алгоритма упаковки твёрдых частиц; обосновании существенной роли неравномерности распределения частиц алюминия при инертном прогреве СТТ; получении простой модели пиролиза полибутадиена; формулировке нового класса методов решения систем уравнений химической кинетики.

Практическая ценность работы: результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для моделирования структуры различных композитных материалов, для усовершенствования состава СТТ и методов его зажигания.

Методы исследования включают в себя конечно-объёмные методы численного решения нестационарных задач химической кинетики, теплопроводности и газовой динамики, и метод случайного поиска решения задачи упаковки твёрдых частиц.

На защиту выносятся

— алгоритм моделирования структуры СТТ на основе метода случайного поиска;

— результаты расчёта инертного прогрева СТТ с явным выделением частиц алюминия;

— новые явные методы решения систем уравнений химической кинетики;

— математическая модель термического разложения полибутадиена и результаты численного моделирования образования полимерного каркаса;

— численный метод совместного моделирования теплопроводности, пиролиза, порообразования и течения газов в порах связующего при его термическом разложении и результаты расчётов.

Личным вкладом автора является разработка представленных в диссертации методов моделирования структуры СТТ, решения систем уравнений химической кинетики и совокупной системы уравнений теплопроводности, химической кинетики, диффузии и газовой динамики, описывающей пиролиз связующего; разработка модели термического разложения полибутадиена; реализация численных алгоритмов и выполнение моделирования. Определение общей структуры исследования и анализ полученных результатов выполнены под руководством академика А. М. Липанова.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием фундаментальных законов сохранения, апробированными методами решения, сопоставлением результатов расчётов с экспериментальными данными, результатами расчётов других исследователей и известными точными решениями модельных задач.

Апробация резульататов.

Основное содержание работы работы докладывалось и обсуждалось на Междисциплинарной конференции совета молодых ученых УрО РАН (Ижевск, 2013 г.), III Информационной школе молодого ученого (Екатеринбург, 2013 г.), Всероссийской конференции по математике и механике, посвящённой 135-летию ТГУ и 65-летию мех.-мат. ф-та (Томск, 2013 г.), научных семинарах и конкурсах ИМ УрО РАН (2011, 2012, 2013 гг.) и ТГУ (2013 г.).

Основное содержание диссертации представлено в 7 печатных работах, из них 4 в журналах, рекомендованных ВАК для публикации научных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, 6 разделов, заключения и списка литературы из 94 наименований; содержит 93 страницы, 45 рисунков и 5 таблиц.

1 Процессы в свободном объёме двигателя

1.1 Введение

Процессы в конденсированной фазе СТТ тесно связаны с процессами, протекающими в свободном объёме ракетного двигателя. Эту взаимосвязь формируют следующие явления:

- теплопередача (лучистая, конвективная и кондуктивная) от продуктов сгорания воспламенителя и топлива к топливному заряду;

- конвекция и диффузия между порами, образующимися при тепловом разложении связующего и окислителя, и свободным объёмом двигателя;

— эрозия поверхности топлива при её обдуве продуктами сгорания;

— напряжённо-деформированное состояние топливного заряда под воздействием давления в свободном объёме.

Таким образом, при исследовании нестационарных процессов в конденсированной фазе СТТ в условиях камеры сгорания ракетного двигателя необходимо решать сопряжённую задачу об изменении параметров в свободном объёме для получения физически обоснованных граничных условий.

1.2 Математическая модель

Так как в задачи диссертационного исследования не входит изучение внутрикамерных процессов в РДТТ, для получения необходимых граничных условий ограничимся рассмотрением нульмерной задачи внутренней баллистики. Для проверки корректности этой модели, запишем её для полного цикла работы двигателя, при следующих предположениях [1, 2]:

- температура продуктов сгорания постоянна в объёме двигателя и равна температуре горения; соответственно, теплофизические свойства продуктов сгорания остаются неизменными;

— температура и скорость конденсированных частиц равна таковым у газа в свободном объёме;

— кинетическая энергия продуктов сгорания мала по сравнению с тепловой;

- профиль скорости течения газов в камере сгорания линеен;

теплофизические параметры конденсированной фазы постоянны; средний тепловой поток к поверхности СТТ равен таковому в средин-

ном сечении;

— горение распространяется по поверхности топлива мгновенно;

— продукты сгорания между собой химически не реагируют. Основные уравнения могут быть получены из законов сохранения массы

и энергии, при этом в системе уравнений выделяются: начальный газ, продукты сгорания (п.с.) воспламенителя, продукты сгорания топлива, конденсированные частицы (к.ч.).

Из закона сохранения массы получим:

¿то (л ч . = ~(1 - ^от)тп,

^^ = (1 - ш^чщ - (1 - Щт)тп,

^т9Р _ ^ _ и^щ - (1 - иРт)тп,

dt

= LüpiTUi 4- Lüpp Tïlp Cüpm mn,

drrip

где то — масса начального газа, тд{ — масса газообразных п.с. воспламенителя, тдр — масса газообразных п.с. топлива, тр — масса к.ч., шРг — массовая доля к.ч. в п.с. воспламенителя, ирр — массовая доля к.ч. в п.с. топлива, ирт — массовая доля к.ч. в свободном объёме, ГП{ — массовая скорость горения воспламенителя, тр — массовая скорость горения топлива, тп — массовый расход через сопло.

Массовые скорости горения запишем в предположении степенного закона горения (р — давление в свободном объёме)

(р V

и = щ — , \Р\)

ГГЦ

mr

piF{Ui, < Li, Oj ii ^

PpFpUp, £p < Lp и Tp > TJp, 0, iv ^ Lv или Tv ^ Tip,

где ^ и £р — толщина сгоревшего свода заряда воспламенителя и топливного заряда соответственно:

dij,

dt dip

dt

= Ui

•ii

= u

pi

Pi — плотность заряда воспламенителя, F{ — площадь поверхности заряда воспламенителя (предполагается постоянной во время горения), Lz- — длина шашки воспламенителя, TiP — температура воспламенения топлива, Fp — площадь поверхности топлива (канал заряда предполагается цилиндрическим, Fp = ttDL), D — диаметр канала заряда (D = Do + 2£р), Do — начальный диаметр канала заряда, L — длина канала заряда, Lp — величина свода топливного заряда.

Массовый расход через сопло, rhn, определяется следующим образом:

1/7

& (' - (I)

(7-1)/7Ч

тп = <

— дозвуковой режим,

7+1

/ 2 \

(1 + СОрт^с I ) \ZlVPm

— сверхзвуковой режим,

где Рс — площадь критического сечения сопла, 7 — показатель адиабаты п.е., Ят — газовая постоянная смеси газов в свободном объёме, Т — температура в свободном объёме, рт — плотность смеси газов в свободном объёме, ре — внешнее давление.

Условие сверхзвукового режима:

Ре Р

2 \ 7/(7-1)

7 + 1

Давление и температура в свободном объёме определятся из закона сохранения энергии и уравнения состояния:

йЕ

^ = ((1 - + ир1Ср^ТЫ7П1 +

+ ^(1 <Лрр)сир ШррСрр^ ТьрТПр

Е .

^ рЯР

тт

Р = Рт{7 - 1 )Е,

где Е — тепловая энергия газа и к.ч., тт — масса п.е., тт = то+тд1+тдр+тр, Ст — теплоёмкость п.с. воспламенителя при постоянном объёме, сур — теплоёмкость п.с. топлива при постоянном объёме, сР1 — теплоёмкость к.ч. воспламенителя, срр — теплоёмкость к.ч. топлива, Ты — температура п.с. воспламенителя, Тьр — температура п.с. топлива.

Пренебрегая осаждением конденсированных частиц на поверхность топлива, величину плотности теплового потока к поверхности СТТ, определим как

Яр = + аг)(Т - Тр),

где ас — коэффициент конвективной теплоотдачи аг — коэффициент теплоотдачи излучением.

Коэффициент конвективной теплоотдачи вычисляется через критериальные соотношения для цилиндрического канала в условиях вынужденной конвекции:

ас = —— В

[ 0,332 11е0'5Рг0'33 (1 + §)~°'5 - ламинарный режим, N11 = <

[0,023 11е0'8Рг0'4 (%)"0,8 - турбулентный режим,

где N11 — число Нуссельта, х — расстояние от входа в канал заряда, Рг — число Прандтля (Рг = цСут/Х), // — коэффициент динамической вязкости, Сут — теплоёмкость смеси газов в канале заряда при постоянном объёме, Яе — число Рейнольдса (Яе = руВ8/^ь = 4т5/(7гД;//)), гп3 — расход в сечении, — диаметр сечения.

Коэффициент лучистой теплоотдачи определяется из закона Стефана-Больцмана

а0е(Т4 - Тр)

аг

Т-Тр

сто — постоянная Стефана-Больцмана, е — приведённая степень черноты (е = 1/{\/ер + 1 /ед — 1)), ер — степень черноты топлива, ед — степень черноты п.с.

А степень черноты продуктов сгорания вычисляется по соотношениям, приведённым в [2]:

£д =

1 + /(/?)Д/5'

а - - £а/Ег,

Р

1 шрт

Р

1 Шрт

((1 ((1

— шрт)кр + ?

Р/105

А* = 1»2ГД000 м2/кг, а0 = 60 м2/кг, сгг = 140 м2/кг,

-0,577 + /3 - 0,25£2 + 0,0552/33 - 0,0098/34 + 0,0011£5 - \пр, 0 < /3 < 1 = ^ е-Р ¡З2 + 2,335/3 + 0,251 /3 /32 + 3,331/3 + 1,682'

Наконец, температуру поверхности в модельном расчёте будем определять, предполагая постоянство теплофизических параметров, из решения уравнения Соркина [2]:

(1{ТР — Тр)2 _ 2а2 с1£ С"р р>р Ар

где 7]э — температура поверхности топлива, ср — теплоёмкость топлива, рр — плотность топлива, \р — коэффициент теплопроводности топлива, а — суммарный коэффициент теплоотдачи.

В следующих разделах температура поверхности будет определяется из решения уравнения теплопроводности.

1.3 Результаты расчётов

Расчёт ведётся по явному методы Рунге-Кутты четвёртого порядка точности [3] при следующих параметрах. Длина канала заряда L 1м; диаметр канала заряда и заряда воспламенителя Dq 0,3 м; начальное давление ро 1 атм; начальная температура То 273 К; молярная масса начального газа Мо 29 г/моль, молярная масса п.с. заряда воспламенителя и основного заряда Mi и Мр 19 г/моль; плотность п.с. заряда воспламенителя pi, основного заряда рр и конденсированных частиц Рср 1,5, 1,8, 2,8 кг/м3; длина свода заряда воспламенителя L{ и топливного заряда Lp 0,9 мм и 10 см; температура п.с. заряда воспламенителя Ты и основного заряда Тьр 2600 и 3300 К; температура воспламенения топлива TiP 750 К; теплоёмкость ср и теплопроводность \р топлива 1200 Дж/(кг-К) и 0,2Вт/(м-К); теплоёмкость начального газа cvо, п.с. воспламенителя cVi и топлива cvp 717 и 1650 Дж/(кг-К); закон горения воспламенителя

На рисунках 1.1 и 1.2 показаны зависимости давления и плотности теплового потока к поверхности топлива от времени для полного времени работы двигателя и, детально, на начальном этапе.

Символами «а», «Ь» и «с» на рисунках обозначены соответственно моменты вылета заглушки, воспламенения топлива и прекращения горения воспламенителя. Полученные результаты хорошо соответствуют характеру изменения параметров в камере РДТТ.

закон горения топлива

р, атм

С

5,25 3,5 1,75

О

J_■_I_>_

1.1.1_I_Ь

1 2 3 4 5 6 а) полное время работы

р, атм

Ь, с

0,03 0,06 0,09 0,12 б) начальный этап работы

Рисунок 1.1 - Изменение давления в свободном объёме

<7, МВт/м2 3

2,25 1,5 0,75 0

0

| 1 I 1 т

1

J_I_1_

I '

-I_I_I_I_I

2 3 4 5 6 а) полное время работы

г 0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15

' б) начальный этап работы 'с

Рисунок 1.2 - Изменение плотности теплового потока к поверхности топлива

1.4 Краткие выводы по разделу

Построена нуль-мерная модель внутрикамерных процессов в РДТТ и проведён расчёт полного цикла работы двигателя. Данная модель будет использована в дальнейших разделах для определения нестационарных граничных условий.

2 Моделирование структуры топлива

2.1 Введение

Современные смесевые твёрдые топлива представляют собой высокона-полненные (до 95%) композиты и состоят из следующих компонентов: органический полимер, выполняющий роль связующего, твёрдый окислитель и горючий металлический порошок. Особенностью таких топлив является существенная зависимость их свойств от расположения частиц окислителя и металла в топливном заряде и их распределения по размерам [4].

Таким образом, первым шагом при исследовании горения смесевого твёрдого топлива в «микромасштабе» является моделирование его структуры путём случайного размещения в расчётной области частиц окислителя и металла с заданными законом распределения частиц по размерам и их объёмных долей.

Для решения данной задачи разработано несколько основных подходов.

Одним из наиболее распространённых является метод молекулярной динамики, предложенный Любачевским и Стиллингером [5]. В нём задаётся случайное расположение частиц в расчётной области (частицы изначально имеют нулевой радиус), а также их скорость и направление движения; частицы движутся в расчётной области в соответствии с законами ньютоновской механики, постепенно увеличиваясь в размерах до тех пор, пока дальнейшее движение не станет невозможным. Этот алгоритм используется для моделирования структуры топлива в работе [6].

Сходную идею развивает Зинченко [7], исключая из алгоритма произвольную скорость увеличения размеров частиц и задавая дополнительное ограничение в виде сохранения контактов между частицами.

Как отмечают авторы [5], в плотных упаковках, полученных методами молекулярной динамики, имеются трещины, которые действительно наблюдаются в коллоидных кристаллах, однако их физичность для других материалов остаётся под вопросом. Эта особенность будет существенной при расчёте механических свойств моделируемых материалов, в том числе и твёрдых топлив.

Другой распространённый метод — редуцированной размерности — был предложен Дэвисом и Картером [8]. В нём сферические частицы помещаются в цилиндрический «стакан» со случайно выбранными координатами г и 0, а координата 2 принимает минимальное значение, при котором не возникает

пересечения между частицами. Данный подход был использован в [9]. Авторы [10] и [11] усовершенствовали его, добавив к падению частицы возможность её перекатывания по другим частицам до достижения устойчивого положения.

Более общий подход, позволяющий формировать упаковки частиц произвольной формы, разработан в [12]. В нём частицы одна за другой вводятся в расчётную область, и на каждой итерации перемещаются на малое расстояние в произвольном направлении, если при этом не возникает пересечений. Отличительной особенностью данного алгоритма является дискретизация на прямоугольной сетке, что позволяет моделировать упаковки частиц произвольной формы.

Перечисленные методы создают упаковки, в которых все частицы контактируют друг с другом, что нехарактерно для твёрдых топлив, где частицы окислителя и металла окутаны полимерным связующим [13]. Для получения этого эффекта частицы необходимо перемасштабировать что приводит к нефи-зичному распределению расстояний между ними и разрушает их кластеры. В то же время показано, что наличие таких кластеров в реальных топливах оказывает существенное влияние на процессы горения [14].

Специально для моделирования структуры смесевого твёрдого топлива С. А. Рашковским разработан метод вязкой суспензии [4]. Вначале задаётся случайное расположение частиц в расчётной области (допускается, чтобы частицы пересекали друг друга); на пересекающиеся частицы действуют центральные силы отталкивания, которые приводят частицы в движение; система частиц эволюционирует до тех пор, пока пересечения не будут устранены.

В похожем методе, представленном в [15], потенциальная энергия отталкивания частиц минимизируется методом сопряжённых градиентов.

Эти методы имеют тенденцию порождать очень крупные кластеры (так как после устранения пересечения между частицами дальнейшего их движения не происходит), а изменение получаемого закона распределения частиц по кластерам различного размера довольно затруднительно (требует специального подбора начальных условий).

Недостатком всех перечисленных моделей является и то, что в формируемую упаковку затруднительно внести какие-либо особенности (например, получить ровный ряд частиц на границе расчётной области, что имеет место в зарядах твёрдого топлива [13]).

Также необходимо отметить, что большинство этих алгоритмов моделируют некоторый физический процесс со случайными начальными условиями. Поэтому получившаяся упаковка может иметь особенности, вызванные характером моделируемого процесса, которые будут нежелательны для дальнейшей работы с ней.

Для устранения этих недостатков был разработан новый подход, в котором задача упаковки математически сформулируется как задача минимизации целевой функции, являющейся мерой пересечений областей (представляющих частицы и запрещённые области) в трёхмерном пространстве, в которой желаемые особенности упаковки учитываются дополнительным слагаемым.

2.2 Постановка задачи

Пусть дано N частиц, каждая из которых представляет собой односвяз-ную область С I3. Обозначим а) область, полученную из 5г- параллельным переносом на вектор х и поворотом на углы а. вокруг её центра масс (радиус-вектор центра масс будем обозначать гс(5'г(х, о:))).

Таким образом, произвольная конфигурация частиц в пространстве будет задаваться множеством

Будем считать, что конфигурация частиц £ удовлетворяет решению задачи упаковки частиц в области Г1, если выполняются следующие условия:

- центры масс частиц лежат в области П:

V« : 1 < г ^ N гс(й(х*, а*)) е (2.1)

- частицы не пересекаются:

Уг, сх{) П (х,, щ) = 0; (2.2)

- частицы не лежат в запрещённых областях (используемых для задания граничных условий и иных ограничений на создаваемые упаковки; в общем случае, запрещённая область 0,р для каждой частицы

своя, зависит от конфигурации частиц Пр^ = ^¿(¿^(х*, £*г), Е) и может быть многосвязной):

Уг : 1 ^ г < N с**) П = 0; (2.3)

Таких конфигураций может быть бесконечно много (или ни одной, однако установить это априори можно лишь в очень ограниченном числе случаев); чтобы выделить из них оптимальные, введём целевую функцию ф(Е) и наложим на решение дополнительное условие:

<2(Е) = тт£(Е).

¿С

Таким образом, задачу упаковки составляет нахождение для заданных 5г таких Хг и (Х{, чтобы выполнялись перечисленные условия.

2.3 Метод решения

Зададим функцию И^(Е) как сумму мер пересечений частиц с запрещёнными областями и между собой:

N / N >

\¥(Е) = тез(5г(хь сц) П + ^ те8(3*(х*, «¿) П щ)) 1=1 \ з=г+\

и потребуем, чтобы функция ф(Е) удовлетворяла следующим условиям:

<3(Е) = 0, Ж(Е)>0, £(Е)<0, И^(Е) = 0.

Тогда задача упаковки сведётся к минимизации функции

£(Е) = Ж(Е) + д(Е).

Для минимизации функции Е(Е), при отсутствии предположений о виде этой функции и предпочтительном процессе минимизации (отражающем физическую сущность процесса формирования упаковки), наиболее подходящим вариантом является использование одного из алгоритмов случайного поиска. В

общем виде алгоритм случайного поиска можно сформулировать следующим образом [16].

Пусть требуется определить такой вектор V* при котором целевая функция Е(лг) принимает минимальное значение. Начиная с приближения vo, случайным образом строится вектор = ..., уо, Е(у^), ..., £(уо)), так, чтобы вероятность его попадания в окрестность минимума Е(у) увеличилась. Расчёт заканчивается, когда Е(у) становится меньше некоторого заданного е.

Наиболее часто используются марковские алгоритмы случайного поиска в которых у* = Е(у1-1)).

Прямой реализацией алгоритма случайного поиска для данной задачи будет следующая:

1. Получить начальную конфигурацию частиц Е для которой выполняется условие (2.3) и вычислить Е(Е).

2. Для каждой частицы выбрать случайные малые приращения Дх^ и Ащ, получив таким образом £'.

3. Вычислить Е(Т,'). Если Е(Е') < Е{Е), то считать Е' новым приближением, иначе в качестве приближения оставить Е.

4. Если Ё( £') ^ 0 и 1 ^ 1 < то окончить расчёт, иначе перейти к п. 2.

Данную реализацию можно оптимизировать, выполняя шаг 3 после каждого перемещения частицы т. к. в этом случае нужно перевычислить меры пересечений лишь для малого числа частиц, а эволюция системы будет происходить быстрее. Фактически, такой подход является обобщением метода покоординатного спуска.

Ещё одним способом ускорения эволюции системы является постепенное увеличение размеров частиц. Введём коэффициент масштабирования к, О < к ^ 1, который применим ко всем частицам. После нахождения решения для к < 1, масштабируем исходные частицы на к + Ак, оставляя неизменными найденные х^ и щ. Выполняется это из того соображения, что если найдено решение для частиц с масштабным коэффициентом к, то решение для частиц с масштабным коэффициентом к + А к может быть найдено малыми возмущениями Хг и «г. Одновременно, с уменьшением размера частиц также уменьшается вероятность ситуации, когда Е{Е') > Е(Е), т.е. эволюция системы происходит быстрее.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Болкисев, Андрей Александрович, 2013 год

Список литературы

1. Ерохин, Б. Т. Теория внутрикамерных процессов и проектирование РДТТ / Б. Т. Ерохин. — Москва: Машиностроение, 1991. — 560 с.

2. Численный эксперимент в теории РДТТ / A.M. Липанов [и др.]. — Екатеринбург: УИФ «Наука», 1994. — 304 с.

3. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов / В.М. Вержбицкий. — Москва: Высшая школа, 2005. — 840 с.

4. Рашковский, С. А. Структура гетерогенных конденсированных смесей / С. А. Рашковский // Физика горения и взрыва. — 1999. — Т. 35. — №5. -С. 65-74.

5. Lubachevsky, В. D. Geometric Properties of Random Disk Packings / B. D. Lubachevsky, F. H. Stillinger // Journal of Statistical Physics. — 1990.

- Vol. 60. - No. 5/6. - P. 561-583.

6. Knott, G. M. Random Packing of Heterogeneous Propellants / G. M. Knott [et al.] // AIAA Journal. - 2001. - Vol. 39. - No. 4. - P. 678-686.

7. Zinchenko, A. Algorithm for Random Close Packing of Spheres with Periodic Boundary Conditions / A. Zinchenko // Journal of Computational Physics. — 1994. - Vol. 114. - P. 298-307.

8. Davis, I. L. Random Particle Packing by Reduced Dimensions Algorithms / I. L. Davis, R. G. Carter // Journal of Applied Physics. — 1990. - Vol. 67. — No. 2. - P. 1022-1029.

9. Tanner, M.W. Multidimesional Modeling of Solid Propellant Burning Rates and Alumnium Agglomeration and One-dimensional Modeling of RDX/GAP and AP/HTPB. : Ph. D. diss. / M.W. Tanner. — Brigham Young University, 2008.

10. Webb, M. D. Random particle packing with large particle size variations using reduced-dimension algorithms / M. D. Webb, I. L. Davis // Powder Technology.

- 2006. - Vol. 167. - No. 1. - P. 10-19.

11. Shi, Yu. Simulation of random packing of spherical particles with different size distributions / Yu. Shi, Yuwen. Zhang // Applied Physics A: Materials Science к Processing. - 2008. - Vol. 92. - Iss. 3. - P. 621-626.

12. Jia, X. A packing algorithm for particles of arbitrary shapes / X. Jia, R. A. Williams // Powder Technology. - 2001. - No. 120. - P. 175-186.

13. Липанов, А. М. Физико-химическая и математическая модели горения сме-севых твёрдых топлив / А. М. Липанов. — Ижевск: ИПМ УрО РАН, 2007.

- 112 с.

14. Рашковский, С. А. Статистическое моделирование процессов горения гетерогенных конденсированных смесей : дисс. д-ра физ.-мат. наук / С. А. Рашковский. — Москва: Институт проблем механики РАН, 2004.

15. О'Негп, С. S. Random Packings of Frictionless Particles / С. S. O'Hern [et al.] // Physical Review Letters. - 2002. - Vol. 88. - No. 7. - P. 1-4.

16. Теория и применение случайного поиска / под ред. Л. А. Растригина. — Рига: Зинатне, 1969. — 307 с.

17. Raschdorf, S. A comparison of data structures for the simulation of polydisperse particle packings. / S. Raschdorf, M. Kolonko // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 2011. — Vol. 85. — No. 5. — P. 625-639.

18. Ogarko, V. A fast multilevel algorithm for contact detection of arbitrarily polydisperse objects / V. Ogarko, S. Luding // Computer Physics Communications. - 2012. - Vol. 183. - Iss. 4. - P. 931-936.

19. Kamien, R. D. Why is Random Close Packing Reproducible? / R. D. Kamien, A. J. Liu // Physical Review Letters. — Vol. 99. — No. 15. - P. 1-4.

20. Torquato, S. Is Random Close Packing of Spheres Well Defined? / S. Torquato, Т. M. Truskett, P. G. Debenedetti // Physical Review Letters. - 2000. - Vol. 84.

- No. 10. - P. 2064-2067.

21. Jackson, T. L. The Burning of 3D Random-Pack Heterogeneous Propellants / T. L. Jackson [et al.] // 37th AIAA/ASME/SAE/ASEE Conference and Exhibit.

- Salt Lake City: AIAA, 2001. - No. 2001-3959.

22. Rintoul, M. D. Algorithm to compute void statistics for random arrays of disks / M. D. Rintoul, S. Torquato // Physical Review E. - 1995. - Vol. 52. - No. 3. -P. 2635-2643.

23. Болкисев, А. А. О применении метода случайного поиска к задаче случайной упаковки твёрдых частиц для моделирования структуры смесевого твёрдого топлива / А. А. Болкисев // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. - 2012. - №2. - С. 106-113.

24. Липанов, А. М. О моделировании структуры композиционных материалов методом случайной упаковки твёрдых частиц на примере смесевого ракетного топлива / А. М. Липанов, А. А. Болкисев // XXXIII Всеросийская кон-

ференция по проблемам науки и технологий: краткие сообщения. — Миасс: МСНТ, 2013. - Т. 1. - С. 17-20.

25. Соркин, P.E. Теория внутрикамерных процессов в ракетных системах на твёрдом топливе: внутренняя баллистика / Р. Е. Соркин. — Москва: Наука, 1983. - 288 с.

26. Внутренняя баллистика РДТТ / под ред. А. М. Липанова, Ю. М. Милёхина. — Москва: Машиностроение, 2007. — 504 с.

27. Рашковский, С. А. Статистическое моделирование структуры и процесса горения гетерогенных конденсированных смесей / С. А. Рашковский // Сборник лекций Третьей Международной школы-семинара «Внутрикамер-ные процессы, горение и газовая динамика дисперсных систем». — Санкт-Петербург: Изд-во ИПМ УрО РАН, 2000. - Т. 1. - С. 216-229.

28. Jackson, Т. L. Heterogeneous Propellant Combustion / T. L. Jackson, Buckmaster. J. // AIAA Journal. - 2002. - Vol. 40. - P. 1122-1130.

29. Рашковский, С. A. Роль структуры гетерогенных конденсированных смесей в формировании агломератов / С. А. Рашковский // Физика горения и взрыва. - 2002. - Т. 38. - №4. - С. 65-76.

30. Алиев, A.B. Моделирование процессов теплопроводности в среде с существенно неоднородными свойствами / А. В. Алиев, С. В. Суворов // Вестник ИжГТУ. - 2009. - №4. - С. 182-186.

31. Глушков, Д. О. Численное моделирование твердофазного зажигания металлизированного конденсированного вещества на- гретой до высоких температур частицей / Д. О. Глушков, Г. В. Кузнецов, П. А. Стрижак // Химическая физика. - 2011. - №12. - С. 35-41.

32. Патанкар, С. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах / С. Патанкар. — Москва: Издательство МЭИ, 2003. - 312 с.

33. Яненко, H. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики / H.H. Яненко. — Новосибирск: Наука, 1967. — 197с.

34. Beckstead, M.W. A model of composite solid-propellant combustion based on multiple flames / M. W. Beckstead, R. L. Derr, C. F. Price // AIAA Journal. — 1970. - Vol. 8. - No. 12. - P. 1989-1998.

35. Chen, M. Homogenization Issues And The Combustion Of Heterogeneous Solid Propellants / M. Chen [et al.] // Proceedings of the Combustion Institute. —

2002. - Vol. 29. - No. 2. - P. 2923-2929.

36. Липанов, A. M. О расчёте температурного поля в заряде смесевого твёрдого топлива с учётом гетерогенности его теплофизических свойств / А. М. Липанов, А. А. Болкисев // Химическая физика и мезоскопия. — 2012. — Т. 14.

— Вып. 3. - С. 364-370.

37. Westbrook, С. К. The Role of Comprehensive Detailed Chemical Kinetic Reaction Mechanisms in Combustion Research / С. K. Westbrook [et al.]: Tech. rep. — Lawrence Livermore National Laboratory, 2008.

38. Тропин, А. В. Приближенное аналитическое интегрирование прямой кинетической задачи / А. В. Тропин, С. И. Спивак // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2007. — Т.Х. — №4(32). — С. 135-148.

39. Корепанов, М. А. Математическое моделирование химически реагирующих течений / М. А. Корепанов // Химическая физика и мезоскопия. — 2008. — Т. 10. — №3. — С. 268-279.

40. Young, Т. R. A numerical technique for solving stiff ordinary differential equations associated with the chemical kinetics of reactive-flow problems / T. R. Young, J. P. Boris // The Journal of Physical Chemistry. - 1977. - T. 81. -№25.-C. 2424-2427.

41. Verwer, J. G. Gauss-Seidel iteration for stiff odes from chemical kinetics / J.G. Verwer // SIAM Journal on Scientific Computing. — 1994. — Vol.15.

- No. 5. - P. 1243-1250. - (http://dx.doi.org/10.1137/0915076).

42. Verwer, J. G. Explicit Methods for Stiff ODEs from Atmospheric Chemistry / J. G. Verwer, D. Simpson // Applied Numerical Mathematics. — 1994. — Vol. 18. -P. 413-430.

43. Jay, L. O. Improved quasi-steady-state-approximation methods for atmospheric chemistry integration / L. O. Jay [et al.] // SIAM Journal on Scientific Computing. - 1997. - Vol.18. - No. 1. - P. 182-202. -(http://dx.doi.org/10.1137/S1064827595283033).

44. Mott, D. R. New Quasi-Steady State and Partial-Equilibrium Methods for Integrating Chemically Reacting Systems : Ph. D. Diss. / D. R. Mott. — The University of Michigan, 1999.

45. Qureshi, S.R. Implementation of alpha-QSS Stiff Integration Methods for Solving the Detailed Combustion Chemistry / S.R. Qureshi, R. Prosser // Proceedings of the World Congress on Engineering. — 2007. — Vol. 2. — P. 1352-

1357. - (http://www.iaeng.org/publication/WCE2007/WCE2007_ppl352-1357.pdf).

46. Guidry, M. Algebraic stabilization of explicit numerical integration for extremely stiff reaction networks / M. Guidry // Journal of Computational Physics. - 2012. - Vol.231. - No. 16. - P.5266-5288. -(http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999112002070).

47. Damian, V. The kinetic preprocessor KPP-a software environment for solving chemical kinetics / V. Damian [et al.] // Computers and Chemical Engineering. — 2002. — Vol.26. - No. 11. — P. 1567-1579. — (http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S009813540200128X).

48. Eggels, R. Modelling of combustion processes and NO formation with reduced reaction mechanisms. : Ph. D. Diss. / R. Eggels. — Eindhoven University of Technology, 1995.

49. Mott, D. Identifying and Imposing Partial Equilibrium in Chemically Reacting Systems / D. Mott, E. Oran, B.van Leer // 41St AIAA Aerospace Sciences Meeting. — Reno, NV: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2003. - (http://hdl.handle.net/2027.42/76236).

50. Эмануэль, H. M. Курс химической кинетики / H. М. Эмануэль, Д. Г. Кнорре.

— Москва: Высшая школа, 1984. — 463 с.

51. Болкисев, А. А. Эффективные явные методы решения систем уравнений химической кинетики / А. А. Болкисев // Всероссийская конференция по математике и механике, посвящённая 135-летию ТГУ и 65-летию мех.-мат. ф-та: сборник тезисов. — Томск: изд-во «Иван Фёдоров», 2013. — С. 56.

52. Cerri, S. Experimental Investigation of the Condensed Combustion Products of Micro Aluminized Solid Rocket Propellants / S. Cerri, L. Galfetti, L. T. DeLuca // 43rd AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference к Exhibit. -AIAA, 2007. - No. AIAA 2007-5766.

53. Бабук, В. А. Свойства поверхностного слоя и закономерности горения металлизированных твердых топлив / В. А. Бабук // Физика горения и взрыва. - 2009. - Т. 45. - №4. - С. 156-165.

54. Beck, W. Н. Pyrolysis Studies of Polymeric Materials Used as Binders in Composite Propellants: A Review / W. H. Beck // Combustion and Flame.

- 1987. - Vol. 70. - P. 171-190.

55. Chen, J.K. Chemistry and Kinetics of Hydroxyl-terminated Polybutadiene

(HTPB) and Diisocyanate-HTPB Polymers during Slow Decomposition and Combustion-like Conditions / J. K. Chen, Т. B. Brill // Combustion and Flame.

- 1991. - Vol. 87. - P. 217-232.

56. Choi, S.-S. Pyrolysis Paths of Polybutadiene Depending on Pyrolysis Temperature / S.-S. Choi, D.-H. Han // Macromolecular Research. — 2006.

- Vol. 14. - No. 3. - P. 354-358.

57. Мадорский, С. Термическое разложение органических полимеров / С. Ма-дорский. — Мир, 1967. — 328 с.

58. Bouck, L.S. Pyrolysis and oxidation of polymers at high heating rates / L.S. Bouck, A.D. Baer, N.W. Ryan // Symposium (International) on Combustion. - 1973. - Vol.14. - No.l. - P. 1165-1176. — (http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0082078473801055).

59. Caro, R.I. Characterisation and Thermal Decomposition Studies of a Hydroxy Terminated Polyether (HTPE) Copolymer and Binder for Composite Rocket Propellants / R.I. Caro, J.M. Bellerby, E. Kronfli // Maintaining Performance and Enhanced Survivability Throughout the Lifecycle. - IMEMTS Bristol, 2006. - (http://www.imemg.org/res/IMEMTS 2006_Caro_paper_poster.pdf).

60. Tingfa, Du. Thermal decomposition studies of solid propellant binder HTPB / Du. Tingfa // Thermochimica Acta. - 1989. - Vol. 138. - No. 2. - P. 189-197.

- (http: / / www.sciencedirect.com/science / article/pii /0040603189872557).

61. Lu, Y.-C. Thermal decomposition study of hydroxyl-terminated polybutadiene (HTPB) solid fuel / Y.-C. Lu, K.K. Kuo // Thermochimica Acta. - 1996. - Vol.275. - No.2. - P. 181-191. -(http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0040603195027262).

62. McCreedy, K. Effect of thermal crosslinking on decomposition of polybutadiene / K. McCreedy, H. Keskkula // Polymer. - 1979. - Vol. 20. - No. 9. - P. 11551159.

63. Arisawa, H. Flash Pyrolysis of Hydroxyl-Terminated Polybutadiene (HTPB) I: Analysis and Implications of the Gaseous Products / H. Arisawa, Т. B. Brill // Combustion and Flame. — 1996. - No. 106. — P. 131-143.

64. Wang, Q. Thermal stability and kinetic of decomposition of nitrated HTPB / Q. Wang [et al.] / / Journal of Hazardous Materials. - 2009. - Vol. 172. - No. 2-3. - P. 1659-1664. -

(http: //www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304389409013223).

65. Schneider, B. Study of thermal degradation of polybutadiene in inert atmosphere: 1. Evidence of temperature and time of heating in i.r. and n.m.r. spectra / B. Schneider [et al.] // Polymer. — 1993. — Vol. 34. - No. 2. — P. 432436. — (http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/003238619390103H).

66. Beyler, C. L. Thermal Decomposition of Polymers / C. L. Beyler, M. M. Hirschler // SFPE Handbook of Fire Protection Engineering. — Society of Fire Protection Engineers, 1995. - P. 110-131.

67. Chiaverini, M.J. Pyrolysis Behavior of Hybrid-Rocket Solid Fuels Under Rapid Heating Conditions / M. J. Chiaverini [et al.] // Journal of Propulsion and Power. - 1999. - Vol. 15. - No. 6. - P. 888-895.

68. Goldaniga, A. The kinetic modeling of soot precursors in a butadiene flame / A. Goldaniga, T. Faravelli, E. Ranzi // Combustion and Flame. - 2000. - Vol.122. - No.3. - P. 350-358. -(http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0010218000001383).

69. Tsang, W. Mechanism and rate constants for 1,3-butadiene decomposition / W. Tsang, V. Mokrushin // Proceedings of the Combustion Institute. — 2000.

- Vol. 28. - No. 2. - P. 1717-1723.

70. Bikas, G. Kinetic mechanisms for Hydrocarbon Ignition : Ph. D. diss. / G. Bikas.

— Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen, 2001.

71. Norinaga, K. Detailed Kinetic Modeling of Gas-Phase Reactions in the Chemical Vapor Deposition of Carbon from Light Hydrocarbons / K. Norinaga, O. Deutschmann // Industrial k, Engineering Chemistry Research. — 2007. — Vol. 46. - No. 11. - P. 3547-3557.

72. Peukert, S. High Temperature Kinetics of the Pyrolysis of 1,3 Butadiene and 2-Butyne / S. Peukert, M. Braun-Unkhoff, C. Naumann // Proceedings of the European Combustion Meeting. — Vienna University of Technology, 2009. — (http://www.combustion.org.uk/ECM_2009/P810110.pdf).

73. Peukert, S. Formation of H-atoms in the Pyrolysis of 1,3-butadiene and 2-butyne: A Shock Tube and Modelling Study / S. Peukert [et al.] // Z. Phys. Chem. - 2009. - No. 223. - P. 427-446.

74. Jojic, I. Condensed-Phase Chemical Interaction Between Ammonium Perchlorate and Hydroxy-Terminated Polybutadiene / I. Jojic, M. Q. Brewster // Journal of Propulsion and Power. - 1998. - Vol. 14. - Iss.4. - P. 575-576.

75. Липанов, А. М. О моделировании термического разложения полибутадиена с учётом образования полимерного каркаса / А. М. Липанов, А. А. Болкисев // Химическая физика и мезоскопия. — 2013. — Т. 15. — №2. — С. 236-241.

76. Болкисев, А. А. О моделировании образования полимерного каркаса при пиролизе полибутадиена / А. А. Болкисев // III Информационная школа молодого ученого: сб. научных трудов. — Екатеринбург: ЦНБ УрО РАН, 2013. - С. 361-368.

77. Калинин, В. В. Нестационарные процессы и методы проектирования узлов РДТТ. / В.В. Калинин, Ю.Н. Ковалев, A.M. Липанов. — Москва: Машиностроение, 1986. — 216 с.

78. Булгаков, В. К. Моделирование горения полимерных материалов / В.К. Булгаков, В.И. Кодолов, A.M. Липанов. — Москва: Химия, 1990. — 240 с.

79. Duncan, N. Е. The Thermal Dimerization of Butadiene, and the Equilibrium between Butadiene and Vinylcyclohexene / N.E. Duncan, G.J. Janz // The Journal of Chemical Physics. - 1952. - Vol.20. - No. 10. - P. 1644-1645.

80. Сулимов, А. А. Квазистационарное конвективное горение в энергетических материалах с низкой пористостью (Часть 2) / А. А. Сулимов, Б. С. Ермолаев // Химическая физика. - 1997. - Т. 16. - № 10. - С. 77-97.

81. Staggs, J. Е. J. Heat and mass transport in developing chars / J. E. J. Staggs // Polymer Degradation and Stability. - 2003. - No. 82. - P. 297-307.

82. LeVeque, R. J. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems / R. J. LeVeque. — Cambridge University Press, 2002. — 558 p.

83. Poling, В. E. The Properties of Gases and Liquids / В. E. Poling, J. M. Prausnitz, J.P. O'Connell. - New York: McGraw-Hill, 2001. - 803p.

84. Гиршфельдер, Дж. Молекулярная теория газов и жидкостей / Дж. Гирш-фельдер, Ч. Кертисс, Р. Берд. — Москва: Издательство иностранной литературы, 1961. — 931с.

85. Beckstead, M.W. Modeling of combustion and ignition of solid-propellant ingredients / M.W. Beckstead [et a!.] // Progress in Energy and Combustion Science. - 2007. - Vol.33. - No.6. - P.497-551.

86. Рид, P. Свойства газов и жидкостей: справочное пособие / Р. Рид, Дж. Пра-усниц, Т. Шервуд. — Ленинград: Химия, 1982. — 592 с.

87. Kee, R. J. A Fortran Computer Code Package for the Evaluation of Gas-Phase

/ R.J. Kee [et al.]: Tech. rep. SAND86-8246. — Sandia National Laboratories, 1992.

88. Оран, Э. Численное моделирование реагирующих потоков / Э. Оран, Дж. Борис. — Москва: Мир, 1990. - 660 с.

89. Белоцерковский, О. М. Нестационарный метод «крупных частиц» для газодинамических расчетов / О. М. Белоцерковский, Ю. М. Давыдов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1971. — Т. 11. - №1. - С. 187-207.

90. Того, Б. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics / E.F. Того. — Springer, 1999. - 637 p.

91. Anderson, J.D. Computational Fluid Dynamics / J.D. Anderson. — McGraw-Hill, 1995.- 547 p.

92. Шкадинский, К. Г. Распространение пульсирующего фронта экзотермической реакции в конденсированной фазе / К. Г. Шкадинский, Б. И. Хайкин,

A. Г. Мержанов // Физика горения и взрыва. — 1971. — Т. 7. — № 1. — С. 1928.

93. Новожилов, В. Б. Нестационарное горение твёрдых ракетных топлив /

B. Б. Новожилов. — Москва: Наука, 1973. — 176 с.

94. Липанов, А. М. Расчёт течения газов в порах полибутадиена при пиролизе / А. М. Липанов, А. А. Болкисев // Химическая физика и мезоскопия. — 2013. - Т. 15. - №4. - С. 551-556.