Модели и методы оценки энергетической скрытности низкочастотных систем спутниковой связи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Ляхов Алексей Владимирович

• Ляхов Алексей Владимирович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Ляхов Алексей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

1 АНАЛИЗ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СКРЫТНОСТИ СИСТЕМ СПУТНИКОВОЙ СВЯЗИ

1.1 Анализ взаимосвязи помехозащищенности и энергетической скрытности систем спутниковой связи

1.2 Анализ энергетической скрытности систем спутниковой связи

1.3 Анализ известного метода повышения энергетической скрытности систем спутниковой связи при близком размещении приемника радиоразведки и

необходимости его совершенствования

Выводы

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПРАВИЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ ПРИЕМНИКОМ РАДИОТЕХНИЧЕСКОЙ РАЗВЕДКИ СИГНАЛА С РАЙСОВСКИМИ ЗАМИРАНИЯМИ С УЧЕТОМ ИХ ЗАВИСИМОСТИ ОТ НЕСУЩЕЙ ЧАСТОТЫ И ВЕКТОРА ПАРАМЕТРОВ ИОНОСФЕРЫ

2.1 Модель обнаружения сигналов системы спутниковой связи в некогерентном приемнике обнаружения станции радиотехнической разведки

2.2 Анализ влияния на среднеквадратическое отклонение флуктуаций фазового фронта волны на выходе неоднородной ионосферы и параметра Райса в канале радиоразведки на участке «Искусственный спутник Земли - приемник обнаружения станции радиотехнической разведки» от изменений компонентов вектора параметров ионосферы

и угла трансионосферного распространения радиоволн относительно вертикали при использовании пониженных несущих частот

2.2.1 Случай изменения характерного размера ионосферных неоднородностей

2.2.2 Случай изменения среднеквадратического отклонения флуктуаций электронной концентрации в неоднородностях ионосферы

2.2.3 Случай изменения эквивалентной толщины ионосферы

2.2.4 Случай изменения угла трансионосферного распространения радиоволн относительно вертикали

2.3 Математическое моделирование вероятности правильного обнаружения сигнала с райсовскими замираниями приемником обнаружения станции радиотехнической

разведки

2.3.1 Анализ нормированных флуктуаций амплитуды сигнала с райсовскими замираниями

2.3.2 Определение вероятности правильного обнаружения сигналов с райсовскими замираниями произвольной глубины

2.3.3 Методика оценки характеристик обнаружения сигналов приемником обнаружения станции радиотехнической разведки в зависимости от выбора несущей частоты в системах спутниковой связи с пониженной частотой

2.4 Методика определения среднеквадратического отклонения флуктуаций электронной концентрации в неоднородностях ионосферы с помощью двухчастотного приемника

спутниковых радионавигационных систем

Выводы

3 РЕАЛИЗАЦИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ В ВИДЕ КОМПЛЕКСОВ ПРОБЛЕМНО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ ПРОГРАММ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ТРЕБУЕМЫХ ОТНОШЕНИЙ СИГНАЛ/ШУМ НА ВХОДЕ ПРИЕМНИКА ОБНАРУЖЕНИЯ СТАНЦИИ РАДИОТЕХНИЧЕСКОЙ РАЗВЕДКИ И ПРИЕМНИКА

СИСТЕМЫ СПУТНИКОВОЙ СВЯЗИ

3.1 Численные методы и комплексы программ для определения значения отношения сигнал/шум по энергии, необходимого для обнаружения с заданным качеством сигнала систем спутниковой связи с пониженной частотой

3.2 Численные методы определения значения отношения сигнал/шум по энергии при пространственно-разнесенном приеме с требуемым качеством сигналов в системах спутниковой связи с пониженной частотой

3.3 Программный комплекс NumeralMethodsDeterminationSNR для определения

значения отношения сигнал/шум на основе численных методов

3.4 Сравнительная оценка временных затрат определения значения отношения сигнал/шум на основе численных методов

3.5 Исследование зависимости отношения сигнал/шум, необходимого для обнаружения

сигнала приемником обнаружения станции радиотехнической разведки с заданными вероятностями правильного обнаружения и ложной тревоги и для пространственно-разнесенного приема узкополосных простых сигналов систем спутниковой связи с

требуемой вероятностью ошибки приема, от значения пониженной несущей частоты

Выводы

4 РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ, АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СКРЫТНОСТИ НИЗКОЧАСТОТНОЙ СИСТЕМЫ СПУТНИКОВОЙ СВЯЗИ,

ИСПОЛЬЗУЮЩЕЙ РАЗНЕСЕННЫЙ ПРИЕМ, А ТАКЖЕ ГРАНИЧНОЙ И ТРЕБУЕМОЙ

ПОНИЖЕННЫХ НЕСУЩИХ ЧАСТОТ

4.1 Программный комплекс CoefficientOfEnergySecrecySatComSystem для автоматизации определения коэффициента энергетической скрытности при обнаружении сигналов в системах спутниковой связи с пониженной частотой

4.2 Зависимость коэффициента энергетической скрытности и значения граничной несущей частоты от количества антенн, используемых при пространственно-разнесенном приеме сигналов в системах спутниковой связи с пониженной частотой

4.3 Сравнительная оценка погрешности определения коэффициента энергетической скрытности систем спутниковой связи на пониженных частотах на основе численных и графоаналитических методов

4.4 Разработка алгоритмов определения требуемой пониженной несущей частоты, технических решений и практических рекомендаций по поддержанию коэффициента энергетической скрытности систем спутниковой связи не менее требуемого значения

при близком размещении приемника обнаружения

4.4.1 Разработка алгоритмов определения требуемой пониженной несущей частоты

4.4.2 Методика автоматизированного определения коэффициента энергетической скрытности систем спутниковой связи

4.4.3 Разработка технических решений и практических рекомендаций по поддержанию коэффициента энергетической скрытности систем спутниковой связи

не менее требуемого значения при близком размещении приемника обнаружения

Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ТОМ

Приложение А. Определение значения отношения сигнал/шум по энергии, необходимого для обнаружения с заданным качеством сигнала систем спутниковой связи с пониженной

частотой с помощью численных методов

Приложение Б. Код на языке МАТЬАБ компонентов комплекса проблемно-ориентированных программ, определения искомого значения ОСШ по энергии, необходимого для обнаружения и приема сигналов систем спутниковой связи с заданным качеством на основе численных методов и алгоритмов

Приложение В. Код на языке MATLAB программного комплекса

NumeralMethodsDeterminationSNR

Приложение Г. Код на языке MATLAB программного комплекса

CoefficientOfEnergySecrecySatComSystem

Приложение Д. Разработка методов и алгоритмов, их реализующих, для определения требуемой пониженной несущей частоты, на которой коэффициент энергетической скрытности систем спутниковой связи не менее требуемого значения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели и методы оценки энергетической скрытности низкочастотных систем спутниковой связи»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Системы спутниковой связи (ССС), занимают важное место в инфокоммуникационных структурах современного общества, поскольку обеспечивают высокое качество (помехоустойчивость) связи при неограниченных дальностях и обширных зонах покрытия. Сегодня ССС рассматриваются как стратегический ресурс, эффективное использование которого являются задачами национального масштаба.

Деструктивное воздействие на ССС может осуществляться средствами радиоэлектронной борьбы (РЭБ), включающей радиотехническую разведку (РТР) и радиоэлектронное подавление (РЭП), что актуализирует направления исследований в области обеспечения помехозащищенности (ПЗ) ССС, которая определяется двумя составляющими: помехоустойчивостью и скрытностью [25, 41, 83, 84, 114].

Эффективное воздействие организованных помех на земную станцию (ЗС) ССС может быть обеспечено при условии, что средства радиоэлектронного подавления противника, используя станцию РТР, успешно осуществляет перехват сигналов.

Под перехватом сигналов в общем случае понимается обнаружение, измерение соответствующих параметров сигналов радиоэлектронного средства (РЭС) (например, мощности сигнала, рабочей частоты, ширины спектра, длительности скачка частоты), а также его пеленгование (или определение местоположения) [83, 84].

Способность РЭС противостоять действиям радиотехнической разведки, направленным на обнаружение сигналов, измерение параметров и определение направления их прихода, характеризуется понятием скрытность (С) РЭС [5].

В этом аспекте основное достоинство ССС, как частного случая информационного РЭС, -обеспечение высокого качества (помехоустойчивости (П)) связи, - определяет одновременно и один из основных недостатков ССС - доступность электромагнитного излучения искусственных спутников земли (ИСЗ) для систем радиотехнической разведки [1, 30, 91, 114]. Поэтому ССС обладают относительно низкой С а, следовательно, и помехозащищенностью. Проблема обеспечения энергетической скрытности (ЭС) ССС является комплексной [92, 114]. Поэтому оценка скрытности ССС возможна только с помощью применения методов системного анализа [31, 58], поскольку условия работы ССС должны оцениваться с учетом технических возможностей средств РТР. Скрытность РЭС включает три составляющие: энергетическую, структурную и информационную. В настоящее время скрытность ССС обеспечивается в основном за счет информационной и структурной скрытности. Однако при этом очень важно оценивать и повышать ЭС ССС, устанавливать системные связи такой оценки с техническими показателями ССС. В связи с этим повышение скрытности ССС (особенно энергетической), в

условиях ведения РТР является одним из важнейших требований информационной безопасности единой системы спутниковой связи РФ. В настоящее время повышение ЭС ССС реализуется за счет увеличения пространственной скрытности и применения широкополосных сигналов (ТТТПС) и методов их оптимальной обработки. Однако при близком (йр < 1 0 км) размещении приемника обнаружения станции РТР относительно приемника ЗС ССС ширина диаграммы направленности антенны ИСЗ не обеспечивает требуемую пространственную скрытность, а большинство современных ССС использует не широкополосные, а узкополосные (простые) сигналы.

При анализе П системы связи используют понятие отношение сигнал/шум (ОСШ) по энергии, которое обозначается, как Ъ2 и определяется как отношение на входе приемника (выходе приемной антенны) энергии сигнала , Дж или , расходуемой на передачу

одного бита сообщения, к спектральной плотности мощности всех шумов радиолинии, пересчитанных к той же точке Л 2 = Я^/Л.

На практике качество передачи информации в ССС оценивается вероятностью ошибочного приема информационных символов Р0 ш. Функциональная зависимость Р0 ш = Л2 ) определяет помехоустойчивость ССС [5, 80].

Необходимая минимальная величина ОСШ по энергии на входе приемника ЗС ССС, при которой еще обеспечивается заданное качество связи, например, требуемая вероятность неправильного воспроизведения символа сообщения, называется требуемой [106]: Р0 ш Тр = £(Л2р). Значение требуемого ОСШ по энергии на входе приемника ЗС ССС Л^ может быть определено графоаналитическим способом по графику функции помехоустойчивости ( ) или вычислено на основе соотношения ( ), где

С _ Ч Р0 ш Тр) _ функция, обратная к функции £( Л 2).

Величина определенного таким образом ОСШ по энергии Л.^, необходимого для обеспечения требуемого значения , является универсальным показателем энергетической эффективности того или иного метода передачи информации. Независимо от вида используемых сигналов, способов модуляции и демодуляции, кодирования и декодирования, лучшим с точки зрения использования энергетического потенциала является тот вариант, для которого требуемое значение меньше, ибо это означает, что при одинаковых шумах канала (по спектральной плотности) в этой радиолинии расходуется меньшая энергия передатчика для передачи каждого бита сообщения [12].

Для станции РТР одной из основных задач является обнаружение сигналов ССС. При этом эффективность ее решения определяется вероятностью правильного обнаружения сигнала ССС при заданной (фиксированной) вероятности ложной тревоги , которая связана

некоторой функциональной зависимостью (^ ) с ОСШ по энергии Л2 (здесь и далее индекс «р»

означает, исходя из контекста, радиоразведка или радиоперехват) на входе приемника (ПРМ) обнаружения станции РТР Рп Щ ,РЛТ )|р _

Одной из основных задач функционирования ССС является обеспечение качество передачи информации в канале связи «ИСЗ-ЗС ССС» не хуже требуемого ( Р0 ш < Р0 ш Тр). Очевидно, что для выполнения этого условия фактическое ОСШ по энергии связного сигнала на входе приемника ЗС ССС должно удовлетворять неравенству , т. е. быть

максимально большим.

С другой стороны, в условиях ведения радиоразведки за ССС необходимо обеспечить вероятность обнаружения ее сигнала станцией РТР не больше заданной величины ( ).

При этом, фактическое ОСШ по энергии связного сигнала ССС на входе ПРМ обнаружения станции РТР Лр должно удовлетворять неравенству Лр < Лр 3 = "( Рп0 з'РЛТ з) и быть минимальной (здесь Рп 0 з, РЛТ з) - функция, обратная к функции т/>( Лр , РЛТ)).

В данной ситуации при одном источнике излучения связного сигнала (ИСЗ) наблюдается противоречие в требованиях к ОСШ по энергии связного сигнала, которая для обеспечения качественной связи в ССС должна быть максимально большой на входе ПРМ ЗС ССС, а в интересах обеспечения скрытности от средств радиоразведки - минимальной на входе ПРМ обнаружения станции РТР.

Логично предположить, что ЭС ССС при близком размещении ПРМ обнаружения станции РТР будет обеспечена в том случае, когда значение ОСШ по энергии на входе этого ПРМ, необходимое для достижения заданной вероятности правильного обнаружения (например, Рп 0 з = 0' 9 5) сигнала ССС при заданной вероятности ложной тревоги РЛТ з (например, РЛТ з = 1 0 _ 4 ), превосходит значение ОСШ по энергии Лрр на входе ПРМ (выходе приемной антенны) ЗС ССС, определяемое из условия обеспечения требуемого качества передачи информации (например, ), т. е. выполняется неравенство ( )

( ). В соответствии с указанным неравенством количественная оценка ЭС ССС может производиться путем расчета коэффициента ЭС (КЭС) , определяемого как [5]:

7э с = Лр з/ Лрр или (7Э с)д б = ( Лр з)дБ - ( Лрр^Б. (0.1)

Далее величину КЭС сравниваем с единицей, если измеряется в разах, или сравниваем ( ) с нулем, если используются логарифмические единицы измерения (дБ).

Поэтому условие обеспечения ЭС ССС в случае, когда для организации РЭП достаточно, чтобы станция РТР только обнаружила сигнал подавляемой ССС, можно записать через КЭС ССС следующим образом:

Гэ с = Лр з/ Лрр > 1 или (7эс)д б = ( Лр з)лБ - ( Лрр) > 0. (0.2)

Как следует из (0.2) КЭС ССС показывает во сколько раз (на сколько дБ) значение ОСШ по энергии на входе ПРМ обнаружения станции РТР, необходимое для достижения заданной вероятности правильного обнаружения (например, ) сигнала ССС при

заданной допустимой вероятности ложной тревоги (например, ), превосходит

значение ОСШ по энергии на входе ПРМ (выходе приемной антенны) ЗС ССС, определяемое из условия обеспечения требуемой П ССС (например, ).

Известно [23, 42], что задачу обеспечения ЭС ССС применительно к рассматриваемой ситуации традиционно решают за счет увеличения пространственной скрытности ССС (применения метода пространственной избирательности) и увеличения базы сигналов, используемых в ССС (методов сигнальной обработки).

Однако, если ПРМ обнаружения станции РТР расположен близко к ПРМ ЗС ССС и имеет точно такую же приемную антенну, высокочастотную часть и оптимальную схему обработки (некогерентную или когерентную), то за счет понижения требований к характеристикам обнаружения сигнала ( , ) противоборствующая сторона может ограничиться ОСШ по энергии меньшим, чем соответствующее ОСШ по энергии на входе ПРМ ЗС ССС, необходимое для обеспечения требуемого качества передачи информации ( ) и, тем

самым, гарантировано достичь эффекта отсутствия ЭС ССС (уэ с = Л2 3/ Л^ < 1 ).

Практическая актуальность исследования (противоречие в практике) заключается в том, что при использовании в ССС для передачи простых сигналов традиционных несущих частот ГГц и близком размещении ПРМ обнаружения станции РТР (с одинаковыми характеристиками приемной антенны, высокочастотного тракта и использующего оптимальную схему обнаружения сигналов) от приемника ЗС ССС, известные способы повышения энергетической скрытности ССС (за счет увеличения пространственной скрытности и методов сигнальной обработки) не эффективны.

Степень разработанности темы исследования. Проблема обеспечения ЭС ССС, предполагает создание условий, при которых противник встречает затруднения энергетического характера, поднимается с конца 60-х годов прошлого века, т. е. со времени начала эры космической связи, когда 4 октября 1957 г. был выведен на орбиту первый советский искусственный спутник Земли (ИСЗ). Первоначально при рассмотрении этой проблемы исходили из того, что спутниковая связь, по существу, является разновидностью радиорелейной (тропосферной) связи и отличается тем, что ее ретрансляторы находятся не на поверхности Земли, а на спутниках в космическом пространстве. Поэтому для решения проблемы обеспечения ЭС ССС использовались те же подходы и методы, что были уже неоднократно апробированы и успешно реализованы в радиорелейной (тропосферной) связи:

амплитудный и пространственный методы обеспечения скрытности. Новый импульс к решению проблемы обеспечения ЭС ССС связан бурным развитием технологий, основанных на применении шумоподобных сигналов (ШПС) с середины 1970-х годов.

Как известно [8], ШПС называют такие сигналы, у которых произведение ширины спектра F на длительность Т много больше единицы. Это произведение называется базой сигнала и обозначается В, т. е. В = FT >> 1. Оказалось, что ССС с ШПС могут более успешно, чем узкополосные (В « 1), решать задачи обеспечения объема и скрытности передачи данных.

Основу теории систем связи с ШПС заложили работы В. А. Котельникова [38] и К. Шеннона [105], а основы кодового разделения - работы Д. В. Агеева [2]. Вопросам построения ССС с ШПС, большое внимание уделено в школах таких ученых как Калашников Н.И., Фортушенко А.Д., Кантор Л.Я., Петрович Н.Т., Зубарев Ю.Б., Тузов Г.И., Варакин Л.Е., Камнев Е.Ф., Камнев В.Е., Черкасов В.В., Чернявский Г.М., Чечин Г.В., Волков JI.H., Немировский М.С., Шинаков Ю.С., Аболиц А.И., Акимов A.A., Белов A.C., Спилкер Дж., Степанов С.Н., Тепляков И.М., Машбиц JI.M., Эйнджел Дж, Борисов В. И. и др.

Комплексное использование в ССС классических методов обеспечения ЭС (амплитудный и пространственный методы) и ШПС, включая использование сигналов с псевдослучайной перестройкой рабочей частоты (ППРЧ) и различных сигнальных конструкций на их основе, оказалось успешным и, в большинстве случаев, удовлетворительным [8, 96]. Однако актуальность обеспечения ЭС ССС не исчезла, особенно в условиях близкого размещения станции РТР к ЗС ССС, когда пространственным методом обеспечения скрытности, т. е. за счет использования антенн с узкой диаграммой направленности (ДН) [14, 39], воспользоваться уже не удается. Тогда единственным способом обеспечения скрытности ССС остается создание таких особых условий, связанных с изменением модели распространения радиоволн (РРВ) и канала ССС, при которых для достижения заданной вероятности правильного обнаружения ( ) сигнала ССС при заданной вероятности ложной тревоги ( ) потребуется существенно большее ОСШ по энергии на входе оптимального ПРМ обнаружения Zip 3, чем на входе оптимального ПРМ ЗС ССС .

Такой способ известен. Он разработан для решения задачи повышения ЭС ССС от радиоперехвата сигналов в условиях близкого размещения станции РТР к ЗС ССС при допущении, что их обнаружение осуществлено ранее [19, 71, 79, 89, 100, 102]. Суть способа заключается в одновременном применении в ССС:

а) пониженных несущих частот (ПНЧ) МГц, при которых РРВ через

ионосферу сопровождается рассеянием на мелкомасштабных неоднородностях ионосферы, многолучевым РРВ и возникновением интерференционных замираний принимаемых сигналов, носящих пространственно-селективный характер;

б) применение в ПРМ ССС пространственно-разнесенного приема сигналов на несколько (п > 2 ) антенн, использование которых в ПРМ радиоперехвата невозможно по причине ограничений на массогабаритные характеристики аппаратуры, количество и размеры используемых антенн станцией РТР (что вынуждает использовать в станции РТР прием на одну (п = 1 ) антенну).

Теоретическую возможность реализации указанного известного способа повышения скрытности ССС при работе на ПНЧ (/0 = 3 0 ... 10 0 МГц) составляют известные [19, 22, 68, 74, 75] закономерности изменения условий трансионосферного РРВ по мере уменьшения несущих частот с традиционно используемых в ССС значений ГГц до наиболее низкой

частоты /0 = 3 0 МГц:

1) возрастает рассеяние радиоволн на неоднородностях электронной концентрации (ЭК) ДЛЛ относительно их среднего (фонового) значения (Л) = N в ионосфере и относительные фазовые сдвиги лучей, приходящих в точку приема с величины Д <р £ ~ Д Л//0 « 0 (при /0 = 1. .. 1 0 ГГц) до значений Д <р £ > 2 л радиан (при /0 = 3 0 МГц);

2) уменьшается величина параметра райсовских замираний (РЗ) принимаемых сигналов с величины (что характеризует отсутствие замираний) до (что характеризует появление наиболее глубоких замираний релеевского типа);

3) происходит изменение вида зависимостей вероятности ошибки приема бита информации в ССС Р0 ш от ОСШ по энергии на входе ПРМ ЗС ССС Р0 ш = Л 2) и обратной зависимости = 1(Р0 ш тр) при использовании некогерентного (НК) одиночного (п = 1 ) и разнесенного (например, на четыре антенны (п = 4)) приема сигналов (рисунок 0.1):

1 10 ю2 103 104 10 ь2 = ег/щ

-Г" -1-1- -1-

Без и замираний 1 БЗ \ \ («=4) \ \(Д33 = 0) \ БЗ (» = 1) Ч(ЯБ;=0)

А2 "тр \ /г2=/г2 \ "рз "ТР1

, /г?р4 |\ |\у 1 \

1 1 I \ 1 . 1 1 1 \ 1 \ 1--Ь

Рисунок 0.1 - Зависимости Р0 ш = Л 2 ) для одиночного (п = 1 ) и разнесенного приема сигналов на четыре антенны (п = 4) без замираний и релеевскими быстрыми замираниями (БЗ)

Влияние на изменение параметра Райса относительных фазовых сдвигов лучей и вида зависимостей Р0 ш = т/>( Л 2) и Л2р = Р0 ш тр) состоит в следующем [23, 30, 42, 48, 63]:

а) при использовании традиционных для ССС несущих частот /0 = 1. . . 1 0 ГГц, обуславливающих отсутствие многолучевости и БЗ, когда параметра Райса = оо , а также применении оптимального НК приема сигналов на одну антенну (п = 1 ) при характерной для ССС требуемой вероятности ошибки Р0 ш тр = 1 0 - 5 будем иметь:

Р0 ш = 0, 5ехр( -0, 5 Л 2) ; Л2р = - 21п( 2 Р0 ш тр) = - 21 п( 2- 1 0 -5 ) =2 1, 6 « 1 3 д Б ; (0.3)

б) при понижении в ССС несущей частоты до значения /0 = 3 0 МГц, обуславливающего

значительные фазовые сдвиги лучей и возникновение БЗ релеевского типа ( ),

применение НК одиночного приема (п = 1 ) в приемнике радиоперехвата станции РТР дает:

Р0ш = (Л2 + 2 )- Л2 3 = Р0"ш13 -2 = 1 0 5 - 2 « 50 д Б; (0.4)

в) при МГц, фазовые сдвиги лучей значительно превышают радиан и

возникают релеевские БЗ (у|3 = 0 ) и разнесенном приеме сигналов на п антенн в ПРМ ЗС ССС (при отсутствии корреляции БЗ в антеннах Р б з = 0 ). Тогда получим:

Р0 ш = - 1/( Л 2)П ; Лтр п « ( С2п - 1Р0 ш1тр) , 05)

где СП = т ! /п ! (п - т)! . В частности, при счетверенном приеме (п = 4) сигналов с релеевскими замираниями и требуемой вероятности ошибки , будем иметь

Р0ш = С74/(Л2 )4; Лт2р 4 = (3 5Р0"ш1тр) 1/4 = ( 3 5-10 - 5 )1/4 « 40 « 16 дБ. (0.6)

В соответствии с выражениями (0.4) - (0.6) разработанный способ повышения ЭС ССС

при близком размещении ПРМ радиоперехвата от ПРМ ССС (когда ) за счет за счет

понижения несущей частоты до значений МГц, обуславливающих возникновение

релеевских БЗ (когда дБ), и применения разнесенного приема на несколько

(например, ) антенн (когда дБ) позволяет достичь следующей величины КЭС

ССС

Уэс = Лт2р 1 /Лт2р 4 = 105/40 = 2 500 » 1 ; (уэс)дБ = ( Лт2р - (Лт2р 4^ «5 0-1 6 =

3 4 д Б > 0.

Отметим, что значение КЭС ССС уэ с = 3 4 дБ получено для случая когда требуемые вероятности ошибочного приема элементарной посылки в канале связи и радиоперехвата одинаковы ( ), счетверенного ( ) приема сигналов с БЗ

релеевского типа ( ) в отсутствие корреляции БЗ на входах приемных антенн ( ).

При менее глубоких БЗ райсовского типа ( ) и наличии корреляции БЗ ( )

в разнесенных антеннах (п = 4) ЭС ССС будет реально меньше (уэ с < 3 4 д Б ) [76].

Таким образом, показано, что известный [19, 89, 100, 102] способ обеспечения ЭС ССС при близком ( км) размещении ПРМ радиоперехвата за счет понижения несущей

частоты (до МГц) и применения пространственно-разнесенного приема на

четыре антенны ( ) позволяет потенциально реализовать очень высокий КЭС порядка 34 дБ.

Однако более актуальной является задача обеспечения высокой ЭС ССС (т. е. ) при

близком размещении ( км) противоборствующей стороной приемника не перехвата, а

обнаружения сигналов станции РТР [61, 62, 78]. Это обусловлено тем, что подсистема радиоперехвата сигналов станции РТР задействуется только после обнаружения факта наличия (прихода) сигнала на вход ПРМ радиоразведки этой станции. К тому же, традиционно ЭС характеризует способность собственно противостоять именно мерам, направленным на обнаружение сигнала приемником радиоразведки станции РТР, а не его перехват.

Кроме того, как было показано ранее, рассмотренная известная [89] методика количественной оценки ЭС низкочастотных ССС на участке «ИСЗ-ЗС» в условиях, когда ПРМ обнаружения станции РТР противника размещен вблизи ПРМ ЗС в радиусе перехвата 1 0 км является графоаналитической (рисунок 0.1).

Очевидным недостатком этой методики является то, что она не позволяет автоматизировать процесс определения ЭС НЧ ССС с помощью современных средств вычислительной техники. Это объясняется тем, что в этой методике используется графический метод определения требуемого значения ОСШ по энергии на входе ПРМ ССС ( ) и на входе ПРМ радиоперехвата ( ) станции РТР, что приводит к методическим погрешностям вычисления КЭС ССС уэ с от радиоперехвата сигналов станцией РТР по формуле (0.7) (исходные данные для вычислений и определяются достаточно грубо, «на глаз») и значительным затратам времени. Указанный недостаток существенно сдерживает перспективы практической реализации разработанного метода повышения ЭС на этапе автоматизированного проектирования перспективных НЧ ССС, где основными требованиями являются высокая точность и быстродействие получения результатов.

Однако разработка методики автоматизированной оценки КЭС (уэс) ССС, использующих ПНЧ (до МГц) и пространственно-разнесенный прием сигналов на несколько

( ) антенн, при близком размещении ( км) приемника обнаружения сигналов

станции РТР до сих пор не производилась.

Если в известном [19, 89 100, 102] способе обеспечения ЭС ССС при близком ( км) размещении ПРМ радиоперехвата за счет понижения несущей частоты (до

МГц) и применения пространственно-разнесенного приема сигналов (ПРПС) на четыре антенны ( ) произвести замену ПРМ радиоперехвата на ПРМ обнаружения станции РТР, то входящая в условие обеспечения ЭС ССС (Л2р < Л2 3, или уэ с = Л2 3 / Л2р > 1) величина

Лр 3 определяется по функциональной зависимости Рп 0 = ^[Лр , Рл т ] вероятности правильного обнаружения сигнала от ОСШ на входе ПРМ обнаружения Л^ при заданных значениях вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги .

В результате проведенных предварительных расчетов установлено, что если в ССС использовать ПНЧ /0 = 3 0 . .. 1 00 МГц (обуславливающие возникновение релеевских замираний (РлЗ) или РЗ принимаемых сигналов) и ПРПС на четыре антенны ( ), то принципиально возможно можно обеспечить, наряду с требуемой помехоустойчивостью ( ), достижение высокой ЭС ССС ( дБ) при близком размещении ПРМ

обнаружения станции РТР (использующего одну приемную антенну ( ), т. к. ПРПС на несколько антенн в ПРМ радиоперехвата невозможно по причине ограничений на массогабаритные характеристики аппаратуры радиоразведки) с высокими заданными характеристиками обнаружения ( и ).

Предметом исследований является научно-методический аппарат определения энергетической скрытности ССС от обнаружения сигналов.

Объектом исследования является ССС на участке радиолинии «ИСЗ-ПРМ ЗС ССС» при близком ( км) размещении ПРМ обнаружения станции РТР и передаче узкополосных

(простых) сигналов.

Научной задачей исследования является разработка методики автоматизированного определения КЭС ( ) ССС, использующих пониженную несущую частоту (до МГц) и пространственно-разнесенный прием сигналов на несколько ( )

антенн от обнаружения сигнала ПРМ РТР на основе математического моделирования, численных методов и комплексов программ.

Требуемым научным результатом решения научной задачи является развитие научно-методического аппарата определения энергетической скрытности ССС от обнаружения сигналов в условиях, когда ПРМ обнаружения станции РТР противника размещен вблизи ПРМ ЗС для случая возникновения в трансионосферном канале на участке радиолинии «ИСЗ-приемник ЗС ССС» райсовских замираний с произвольной глубиной ( ).

Цель исследования состоит в разработке научно обоснованных рекомендаций и технических решений по повышению КЭС ССС до значения не менее требуемого (

дБ) при близком размещении приемника обнаружения станции РТР от ПРМ ЗС ССС и передаче простых сигналов.

Требуемым практическим результатом достижения цели исследований являются:

а) разработка методов, алгоритмов и программного комплекса, позволяющего реализовать методику автоматизированного определения КЭС ( ) ССС, использующей ПНЧ

(до /о = 3 0 ... 1 О О МГц) и пространственно-разнесенный прием узкополосных простых сигналов на несколько (п > 2 ) антенн, при близком размещении ( /?р < 1 0 км) ПРМ обнаружения сигналов станции РТР, а также определение значения ПНЧ /о £ 3 0 . .. 100 МГц, на которой КЭС уэс ССС не менее требуемого значения уэ с Тр (уэс(/о ) > уэ с Тр);

б) разработка практических рекомендации и технических решений по повышению КЭС ССС ( ) до значения не менее требуемого ( ) при близком размещении ПРМ

обнаружения станции РТР от ПРМ ЗС ССС и передаче узкополосных простых сигналов.

Научная новизна полученных результатов диссертации состоит в том, что в ней:

а) на основе развития качественных и приближенных методов исследования математических моделей и аналитических методов теории обнаружения радиосигналов впервые получено уравнение ( ) обнаружения сигнала с райсовскими замираниями (0 < у2 < оо ) . Достоверность полученного уравнения подтверждается тем, что оно в частных случаях сводится к известным зависимостям при обнаружении сигналов без замираний (при у2 = оо) и с релеевскими замираниями (при у2 = 0);

б) установлена зависимость ( ) параметра райсовских замираний в трансионосферных радиоканалах от выбора несущей частоты /о и СКО флуктуаций ЭК в мелкомасштабных неоднородностях ионосферы на высоте максимума ионизации

км, отличающаяся от известной тем, что величина последней определяется через статистические характеристики полного электронного содержания ионосферы на трассе РРВ (среднего значения iVTEC и СКО мелкомасштабных флуктуаций <г4 лгТЕС), измеряемые методами GPS мониторинга ионосферы;

в) впервые эффективные численные методы половинного деления (бисекций), хорд, Ньютона (альтернативные названия - метод касательных или метод Ньютона-Рафсона) и метод Ньютона-хорд, используемые традиционно для уточнения корня нелинейного уравнения вида /(х) = 0 , адаптированы и применены к задаче определения значения ОСШ, необходимого для обнаружения сигнала ССС ПРМ обнаружения станции РТР c заданным качеством и приема сигнала ЗС ССС с требуемой вероятностью ошибки. Реализация этих численных методов и вычислительных алгоритмов в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента выполнена на высокоуровневом языке программирования MATLAB. Разработанный программный комплекс NumeralMethodsDeterminationSNR имеет графический интерфейс пользователя и не требует для своей работы установки системы MA LAB на компьютер пользователя. Корректность работы этого программного комплекса подтверждается тем, что результаты определения ОСШ по энергии, необходимого для обнаружения сигнала ССС приемником обнаружения станции РТР c

заданным качеством и приема сигнала ЗС ССС с требуемой вероятностью ошибки, полученные численными методами половинного деления (бисекций), хорд, Ньютона и Ньютона-хорд совпадают с высокой точностью;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ляхов Алексей Владимирович, 2021 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аболиц, А.И. Системы спутниковой связи. Основы структурно-параметрической теории и эффективности / А.И. Аболиц. - М.: ИТИС, 2004. - 426 с.

2. Агеев, А.В. Исследование и разработка алгоритмов приема сигналов ППРЧ в каналах с памятью: дис. ... канд. техн. наук: 05.12.13 / Агеев Александр Владимирович. - Самара: ПовГУТИ, 2009. - 122 с.

3. Акимов, П.С. Теория обнаружения сигналов / П.С. Акимов, П.А. Бакут, В.А. Богданович и др.; под ред. П.А. Бакута. - М.: Радио и связь, 1984. - 440 с.

4. Афраймович, Э.Л. ОРБ-мониторинг верхней атмосферы Земли / Э.Л. Афраймович, Н.П. Перевалова. - Иркутск: ГУ НЦ РВХ СО РАМН, 2006. - 480 с.

5. Буга, Н.Н. Основы теории связи и передачи данных / Н.Н. Буга. - Л.: ЛВКИА, 1968. - Ч.

1. - 548 с.

6. Буга, Н.Н. Основы теории связи и передачи данных / Н.Н. Буга. - Л.: ЛВКИА, 1970. - Ч.

2. - 707 с.

7. Ван Трис, Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции / Г. Ван Трис. - М.: Сов. радио, 1972. - Т. 1. - 744 с.

8. Варакин, Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами / Л.Е. Варакин. - М.: Радио и связь, 1985. - 364 с.

9. Васин, В.А. Радиосистемы передачи информации / В.А.Васин, В.В. Калмыков, Ю.Н. Себекин и др. - М.: Горячая линия-Телеком, 2005. - 472 с.

10. Вимберг, Г.П. Энергетические характеристики космических радиолиний / Г.П. Вимберг, Ю.В. Виноградов, А.Ф. Фомин и др.; под ред. О.В. Зенкевича. - М.: Сов. радио, 1972. -495 с.

11. Волков, Е.А. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Е.А. Волков. - 2-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 248 с.

12. Волков, Л.Н. Системы цифровой радиосвязи: базовые методы и характеристики / Л.Н. Волков, М.С. Немировский, Ю.С. Шинаков. - М.: Эко-Тренз, 2005. - 392 с.

13. Волков, Н.М. Глобальная спутниковая радионавигационная система ГЛОНАСС / Н.М. Волков и др. // Успехи современной радиоэлектроники. - 1997. - № 1. - С. 31-46.

14. Воскресенский, Д.И. Устройство СВЧ и антенны. Проектирование фазированных антенных решеток: учебное пособие для ВУЗов / Д.И. Воскресенский, В.И. Степаненко, В.С. Филиппов и др.; под. ред. Д.И. Воскресенского. - 3-е изд. перераб. и доп. - М.: Радиотехника, 2003. - 632 с.

15. Галкин, А.П. Моделирование каналов систем связи / А.П. Галкин, А.Н. Лапин, А.Г. Самойлов. - М.: Связь, 1979. - 96 с.

16. ГОСТ 24375-80 Радиосвязь. Термины и определения. - М.: Государственный стандарт СССР, 1980. - 57 с.

17. ГОСТ В23609-86 Связь военная. Термины и определения. - М.: Госкомитет СССР по Стандартам, 1986. - 48 с.

18. Грандштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Грандштейн, И.М. Рыжик. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.

19. Дагаев, Э.Х. Метод параметрического синтеза систем спутниковой связи, использующих пониженные частоты и сдвоенный приема сигналов: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01 / Дагаев Эдуард Хамзатович. - Ставрополь: СКГТУ, 2014. - 252 с.

20. Девис, К. Радиоволны в ионосфере / К. Девис. - М.: Мир, 1973. - 502 с.

21. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики: учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидович, И.А. Марон. - 3-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. - 664 с.

22. Денисова, Э.В. Основы вычислительной математики / Э.В. Денисова, А.В. Кучер. -СПб.: НИУ ИТМО, 2010. - 164 с.

23. Егоров, А.Т. Математические модели оценки скрытности спутниковых каналов радиосвязи с беспилотными летательными аппаратами. / А.Т. Егоров, А.А. Ломакин, Д.Г. Пантенков // Труды учебных заведений связи. - 2019. - Т. 5. - Ч. 1. - № 3. - С. 19-26.

24. Ильина, В.А. Численные методы для физиков-теоретиков / В.А. Ильина, П.К. Силаев. -М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - Т. 1. - 118 с.

25. Исаков, Е.Е. Устойчивость военной связи в условиях информационного противоборства / Е.Е. Исаков. - СПб.: Изд. Политехн. ун-та, 2009. - 400 с.

26. Калинин, А.И. Распространение радиоволн на трассах наземных и космических радиолиний / А.И. Калинин. - М.: Связь, 1979. - 296 с.

27. Калинин, А.И. Распространение радиоволн и работа радиолиний / А.И. Калинин, Л.Е. Черенкова. - М.: Связь, 1971. - 439 с.

28. Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. - М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1978. - 512 с.

29. Калиткин, Н.Н. Численные методы: в 2 кн. / Н.Н. Калиткин, Е.А. Альшина. - М.: Академия, 2013. - Кн. 1. - 304 с.

30. Кантор, Л.Я. Спутниковая связь и вещание / Л.Я. Кантор, Г.Б. Аскинази; под ред. Л.Я. Кантора. - М.: Радио и связь, 1988. - 344 с.

31. Качала, В.В. Основы теории систем и системного анализа / В.В. Качала. - М.: Горячая линия-Телеком, 2007. - 216 с.

32. Кириллов, Н.Е. Помехоустойчивая передача сообщений по линейным каналам со случайно изменяющимися параметрами / Н.Е. Кириллов. - М.: Связь, 1971. - 256 с.

33. Кловский, Д.Д. Теория электрической связи / Д.Д. Кловский. - М.: Радиотехника, 2009. - 648 с.

34. Колосов, М.А. Распространение радиоволн при космической связи / М.А. Колосов, Н.А. Арманд, О.И. Яковлев. - М.: Связь, 1969. - 155 с.

35. Коржик, В.И. Расчет помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений: Справочник / В.И. Коржик, Л.М. Финк, К.Н. Щелкунов; под ред. Л.М. Финка. - М.: Радио и связь, 1981. - 232 с.

36. Коростелев, А.А. Теоретические основы радиолокации / А.А. Коростелев, Н.Ф. Клюев и др.; под ред. В.Е. Дулевича. - М.: Сов. радио, 1978. - 608 с.

37. Корсунский, Л.Н. Распространение радиоволн при связи с ИСЗ / Л.Н. Корсунский. -М.: Сов. радио, 1971. - 208 с.

38. Котельников, В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости / В. А. Котельников. -М.: Госэнергоиздат, 1956. - 150 с.

39. Кочержевский, Г.Н. Антенно-фидерные устройства / Г.Н. Кочержевский. - М.: Радио и связь, 1981. - 280 с.

40. Кравцов, Ю.А. Прохождение радиоволн через атмосферу Земли / Ю.А. Кравцов, З.И. Фейзуллин, А.Г. Виноградов. - М.: Радио и связь, 1983. - 224 с.

41. Куприянов, А.И. Радиоэлектронная борьба. Основы теории / А.И. Куприянов, Л.Н. Шустов. - М.: Вузовская книга, 2011. - 800 с.

42. Ломакин, А.А. Математические модели оценки скрытности спутниковых каналов радиосвязи с беспилотными летательными аппаратами / А.А. Ломакин, Д.Г. Пантенков, В.М. Соколов // Труды учебных заведений связи. - 2019. - Т. 5. - Ч. 2. - № 4. - С. 37-48.

43. Ляхов, А.В. Анализ среднеквадратической погрешности определения интенсивности мелкомасштабных неоднородностей ионосферы на базе двухчастотного приемника сигналов GPS/ГЛОНАСС / А.В. Ляхов, В.П. Пашинцев, Н.Г. Касьяненко // ИНФОКОМ-2015: VIII Международная молодежная научно-практическая конференция. - Ростов н/Д.: СКФ МТУСИ, 2015.- С. 106-112.

44. Ляхов, А.В. Влияние требований к энергетической скрытности и помехоустойчивости на выбор параметров технических средств низкочастотной системы спутниковой связи с разнесенным приемом сигналов / А.В. Ляхов, В.П. Пашинцев, А.Ф. Чипига и др. // Телекоммуникации. - 2021. № 9. - С. 30-39.

45. Ляхов, А.В. Зависимость характеристик обнаружения сигналов систем спутниковой связи от выбора несущей частоты / А.В. Ляхов, В.П. Пашинцев, Р.Р. Ахмадеев // Проблемы

эффективности и безопасности функционирования сложных технических и информационных систем: XXXIII Всероссийская НТК. - Серпухов: Военная академия РВСН имени Петра Великого, 2014. - С. 234-238.

46. Ляхов, А.В. Зависимость энергетической скрытности систем спутниковой связи от выбора несущей частоты сигналов / А.В. Ляхов, В.П. Пашинцев, Д.А. Караев // Современные технологии обработки сигналов (СТ0С-2018): 1-я Всероссийская конференция (31 октября - 2 ноября 2018 г.): Доклады конференции. - М.: ООО «БРИС-М», 2018. - С. 268-272.

47. Ляхов, А.В. Методика оценки вероятности правильного обнаружения сигналов с райсовскими замираниями / А.В. Ляхов, В.П. Пашинцев, А.Д. Белов и др. // Радиотехнические и телекоммуникационные системы. - 2012. - № 3(7). - С. 21-26.

48. Ляхов, А.В. Определение зависимости коэффициента энергетической скрытности систем спутниковой связи при обнаружении сигналов от выбора рабочей частоты на основе численных методов / А.В. Ляхов, В.П. Пашинцев, Д.В. Катков и др. // Радиоэлектронные устройства и системы для инфокоммуникационных технологий - РЭУС-2016: Международная конференция: Доклады. Серия: научные конференции, посвященные Дню Радио. - М.: ООО «БРИС-М», 2016. - Вып. ЬХХ1. - Т. 2. - 622 с.

49. Ляхов, А.В. Определение зависимости коэффициента энергетической скрытности систем спутниковой связи при обнаружении сигналов от выбора рабочей частоты на основе численных методов решения нелинейных уравнений / А.В. Ляхов // Современная наука и инновации. - 2017. - Вып. № 1(17). - С. 63-73.

50. Ляхов, А.В. Определение интенсивности ионосферных неоднородностей с помощью низкочастотных систем спутниковой связи / А.В. Ляхов, В.П. Пашинцев, А.Ф. Чипига, В.А. Галкина // Инфокоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании: Шестая международная научно-техническая конференция (21-27 апреля 2014 г.): Сборник научных трудов. - Ставрополь: СКФУ, 2014. - Ч. 2. - С. 204-210.

51. Ляхов, А.В. Оптимальные оценки параметров мультипликативной помехи для трансионосферного канала связи / А.В. Ляхов, И.С. Кулачко, А.В. Порсев, М.Ю. Бессмертный // Научная сессия, посвященная Дню Радио (16-17 мая 2012 г.): Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени А.С. Попова. - М.: ООО «БРИС-М», 2012. - Вып. ЬХУП. - С. 287-291.

52. Ляхов, А.В. Оценка интервала пространственной корреляции замираний в трансионосферном канале связи / А.В. Ляхов, А.Ф. Чипига, М.А. Лапина, М.В. Песков // Приволжский научный вестник. - 2014. - № 2(30). - С. 70-73.

53. Ляхов, А.В. Применение методов статистической радиофизики для оценки энергетической скрытности низкочастотных систем спутниковой связи / А.В. Ляхов, В.П.

Пашинцев, А.В. Сенокосова // Параллельная компьютерная алгебра и ее приложения в новых инфокоммуникационных системах: 1-я международная конференция (20-24 октября 2014 г.): Сборник научных трудов. - Ставрополь: Фабула, 2014. - С. 445-453.

54. Ляхов, А.В. Принцип построения низкочастотной системы спутниковой связи с повышенной энергетической скрытностью / А.В. Ляхов, В.П. Пашинцев, С.Г. Бородин, В.М. Ванюшин // Радиоэлектронные устройства и системы для инфокоммуникационных технологий REDS-2015: международная конференция: Доклады. - М: РНТОРЭС им. А.С. Попова, 2015. - С. 209-211.

55. Ляхов, А.В. Принцип построения системы спутниковой связи с адаптивными блоками выбора пониженной несущей частоты и параметров приемной антенны / А.В. Ляхов, А.Ф. Чипига, А.А. Апонасенко и др. // Новые информационные технологии в системах связи и управления: XII Российская НТК (5 июня 2013 г.): Труды. - Калуга, 2013. - С. 299-305.

56. Ляхов, А.В. Принцип построения системы спутниковой связи с повышенной энергетической скрытностью / А.В. Ляхов, А.Ф. Чипига, М.А. Лапина, М.В. Песков // Национальная безопасность и стратегическое планирование. - 2013. - Вып. 4(4). - С. 50-53.

57. Ляхов, А.В. Синтез оптимальных оценок параметров мультипликативной помехи для трансионосферного канала связи / А.В. Ляхов, В.П. Пашинцев, С.В. Чайка, Н.В. Сандулов и др. // Проблемы эффективности и безопасности функционирования сложных технических и информационных систем: 31 Всероссийская научно-техническая конференция: Труды. -Серпухов: Изд-во Военной академии РВСН им. Петра Первого, 2012. - Сб. № 2. - С. 151-157.

58. Ляхов, А.В. Системный анализ энергетической скрытности спутниковой связи / А.В. Ляхов, А.В. Сенокосова, Э.Х. Дагаев // Теория и практика системного анализа: Всероссийская молодежная конференция (1-3 октября 2012 г.): Сборник трудов. - Белгород: ИД «Белгород», 2012.- С. 154-157.

59. Ляхов, А.В. Требуемая точность контроля параметров при определении интенсивности мелкомасштабных неоднородностей ионосферы на базе двухчастотного приемника сигналов GPS/ГЛОНАСС / А.В. Ляхов, Н.Г. Касьяненко // Актуальные проблемы современной науки: V международная научно-практическая конференция. - Ставрополь: СтУ, 2016. - Вып. 5. - Т. 2. -С. 268-272.

60. Ляхов, А.В. Численные методы определения частотной зависимости коэффициента энергетической скрытности систем спутниковой связи при обнаружении сигналов / В.П. Пашинцев, В.А. Казначеев, Д.В. Катков // Проблемы эффективности и безопасности функционирования сложных технических и информационных систем: XXXV Всероссийская НТК (23-24 июня 2016 г.): Труды. - Серпухов: Изд-во Военной академии РВСН им. Петра Великого, 2016. - Ч. 6. - С. 52-56.

61. Ляхов, А.В. Энергетическая скрытность низкочастотных систем спутниковой связи от обнаружения сигналов / А.В. Ляхов, А.Ф. Чипига, В.А. Галкина, В.П. Пашинцев // Инфокоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании: Шестая международная научно-техническая конференция (21-27 апреля 2014 г.): Сборник научных трудов. - Ставрополь: СКФУ, 2014. - Ч. 2. - С. 261-267.

62. Ляхов, А.В. Энергетическая скрытность низкочастотных систем спутниковой связи от обнаружения сигналов / А.В. Ляхов, А.Д. Белов, М.Ю. Бессмертный, В.П. Пашинцев // Радиоэлектронные устройства и системы для инфокоммуникационных технологий (КЕВБ-2014): Международная конференция: Доклады. Серия: научные конференции, посвященные дню радио. - М.: ООО «БРИС-М», 2014. - Вып. ЬХ1Х. - Т. 4. - № 3. - С. 238-241.

63. Маслов, О.Н. Модели трансионосферных радиоканалов и помехоустойчивость систем космической связи / О.Н. Маслов, В.П. Пашинцев. - Самара: ПГАТИ, 2006. - 357 с.

64. Мэтьюз, Дж.Г. Численные методы. Использование МЛТЬЛБ / Дж.Г. Мэтьюз, Д.К. Финк; пер. с англ. - 3-е издание. - М.: Вильямс, 2001. - 720 с.

65. Пайлон, Д. иМЬ 2 для программистов / Д. Пайлон. - СПб.: Питер, 2012. - 240 с.

66. Пат. № 108150 Российская Федерация, G01S 1/32 (2006.01). Устройство двухчастотного измерения интенсивности неоднородностей ионосферы / В.П. Пашинцев, Е.В. Грибанов, А.В. Сенокосова и др.; заявитель и патентообладатель Межрегиональное общественное учреждение «Институт инженерной физики». - № 2011114396/28; заявл. 14.04.2011; опубл. 10.09.2011. - Бюл. № 25. - 9 с.

67. Пат. № 154138 Российская Федерация, G01V 9/00 (2006.01). Устройство обнаружения ионосферных образований с мелкомасштабными неоднородностями / А.В. Ляхов, В.П. Пашинцев, А.Ф. Чипига и др.; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СевероКавказский федеральный университет». - № 2015108183/28; заявл. 10.03.2015; опубл. 20.08.2015. - Бюл. № 23. - 10 с.

68. Пат. № 169567 Российская Федерация, G01S 1/32 (2006.01). Устройство измерения высотного распределения электронной концентрации неоднородной ионосферы / А.В. Ляхов, В.П. Пашинцев, В.М. Смирнов и др.; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Северо-Кавказский федеральный университет». - № 2016130608; заявл. 25.07.2016; опубл. 23.03.2017. - Бюл. № 9. - 8 с.

69. Пат. № 2421753 Российская Федерация, G01S 13/95 (2006.01). Способ определения параметров ионосферы и устройство для его осуществления / В.М. Смирнов, С.И. Тынянкин;

заявитель и патентообладатель В.М. Смирнов, С.И. Тынянкин. - № 2010105907/28; заявл. 19.02.2010; опубл. 20.06.2011. - Бюл. № 17. - 12 с.

70. Пат. № 2626404 Российская Федерация, G01S 1/32 (2006.01), G01S 13/95 (2006.01). Способ определения высотного профиля электронной концентрации неоднородной ионосферы / А.В. Ляхов, В.П. Пашинцев, В.М. Смирнов и др.; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Северо-Кавказский федеральный университет». - № 2016128443; заявл. 12.07.2016; опубл. 27.07.2017. - Бюл. № 21. - 8 с.

71. Пат. № 2691957 Российская Федерация, G01S 19/03 (2010.01), G01S 19/03 (2018.08). Способ обеспечения энергетической скрытности / Ляхов А.В., Пашинцев В.П., Чипига А.Ф. и др.; заявитель и патентообладатель Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Северо-Кавказский федеральный университет». - № 2018110772; заявл. 26.03.2018; опубл. 19.06.2019. Бюл. № 17. - 12 с.

72. Пашинцев, В.П. Методы построения структурно-физических моделей трансионосферных радиоканалов и их применение для анализа помехоустойчивости систем космической связи: дис. ... д-ра техн. наук: 05.12.13 / Пашинцев Владимир Петрович. - Самара, ПГАТИ, 2006. - 460 с.

73. Пашинцев, В.П. Влияние ионосферы на характеристики космических систем передачи информации: монография / В.П. Пашинцев, М.Э. Солчатов, Р.П. Гахов - М.: Издательство физико-математической литературы, 2006. - 191 с.

74. Пашинцев, В.П. Влияние ионосферы на характеристики космических систем передачи информации / В.П. Пашинцев. М.Э. Солчатов, Р.П. Гахов. - М.: Издательство физико-математической литературы, 2006. - 191 с.

75. Пашинцев, В.П. Метод оценки энергетической скрытности систем спутниковой связи с пониженной частотой / В.П. Пашинцев, А.Ф. Чипига, А.В. Сенокосова, Э.Х. Дагаев // Радиолокация, навигация связь: XVI Международная НТК. - Воронеж, 2010. - Т. 3. - C. 24142421.

76. Пашинцев, В.П. Оценка энергетической скрытности систем спутниковой связи с пониженной частотой / В.П. Пашинцев, А.Ф. Чипига, А.В. Сенокосова, Э.Х. Дагаев // Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития (МРФ-2011): 4-й Международный радио-электронный форум: Сборник научных трудов: материалы форума в 3 -х томах. - Харьков: АНПРЭ, ХНУРЭ, 2011. Т. 2. - С. 343-347.

77. Пашинцев, В.П. Повышение энергетической скрытности систем спутниковой связи за счет понижения несущей частоты и разнесенного приема / В.П. Пашинцев, Д.В. Алексеев //

Новые информационные технологии в системах связи и управления: IX Российская НТК: Труды. - Калуга: КНИТМУ, 2010. - С. 43-46.

78. Пашинцев, В.П. Повышение энергетической скрытности систем спутниковой связи при близком размещении приемника радиоперехвата / В.П. Пашинцев, А.Ф. Чипига // Нелинейный мир. - 2013. - Т. 11. - № 9. - С. 659-671.

79. Пашинцев, В.П. Способ повышения энергетической скрытности систем спутниковой связи за счет понижения несущей частоты / В.П. Пашинцев, Д.Н. Павлюк, А.В. Сенокосова и др. // Проблемы техники и технологий телекоммуникаций: Международная научно-техническая конференция: Материалы X НТК. - Самара: ПГУТИ, 2009. - С. 64-66.

80. Пенин, П.И. Радиотехнические системы передачи информации / П.И. Пенин, Л.II. Филиппов. - М.: Радио и связь, 1984. - 256 с.

81. Пирумов, У.Г. Численные методы: учеб. пособие / У.Г. Пирумов. - М.: Изд-во МАИ, 1998. - 188 с.

82. Прудников, А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Бычков. О.И. Марычев. -М.: Наука, 1981. - 800 с.

83. Путилин, А.Н. Модель взаимодействия линии радиосвязи и станции радиоэлектронного подавления / А.Н. Путилин // Региональная информатика (РИ-2012): XIII Юбилейная Санкт-Петербургская международная конференция (24-26 октября 2012 г.): Материалы конференции. - СПб.: СПОИСУ, 2012. - С. 161.

84. Радзивский, В.Г. Современная радиоэлектронная борьба. Вопросы методологии / под ред. В.Г.Радзивского. - М.: «Радиотехника», 2006. - 424 с

85. Рыжкина, Т.Е. Исследование статических и спектральных трансатмосферных радиосигналов УКВ - СВЧ диапазона / Т.Е. Рыжкина, Л.В. Федорова // Журнал радиоэлектроники. - 2001. - № 2. - С.5-13.

86. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014610438 Вычисление коэффициента глубины быстрых замираний в трансионосферных каналах связи, работающих в диапазоне 30-150 МГц / Ляхов А.В., Пашинцев В.П., Чипига А.Ф., Дунин А.В.; правообладатель Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Северо-Кавказский федеральный университет». - № 2010617608; заявл. 10.03.2015; зарегистр. 09.01.2014.

87. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014610413 Расчет вероятности ошибки для одиночного приема / Ляхов А.В., Пашинцев В.П., Чипига А.Ф., Дунин А.В.; правообладатель Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Северо-Кавказский федеральный университет». - № 2010617608; заявл. 10.03.2015; зарегистр. 09.01.2014

88. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014610419 Вычисление среднеквадратического отклонения флуктуации фазового фронта волны в спутниковых системах связи, работающих в диапазоне волн 30-150 МГц / Ляхов А.В., Пашинцев В.П., А.Ф.Чипига, А.В. Дунин; правообладатель Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СевероКавказский федеральный университет». - № 2010617608; заявл. 10.03.2015; зарегистр. 09.01.2014.

89. Сенокосова, А.В. Метод прогнозирования энергетической скрытности систем спутниковой связи при использовании пониженных частот и пространственно-разнесенного приема сигналов: дис. ... кан. техн. наук: 05.13.01 / Сенокосова Анна Владимировна. -Ставрополь: СКГТУ, 2011. - 264 с.

90. Смирнов, В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. - М.: Наука, 1974. - Т.2. - 479

с.

91. Спилкер, Дж. Цифровая спутниковая связь / Дж. Спилкер. - М.: Связь, 1979. - 592 с.

92. Степанов, А.А. Развитие военной системы спутниковой связи / А.А. Степанов, В.М. Голуб // Связь в Вооруженных Силах Российской Федерации. - 2010. - Ч. 5. - С. 198-199.

93. Тептин, Г.М. Неоднородная структура нижней ионосферы и распространение радиоволн / Г.М. Тептин, Ю.М. Стенин. - Казань: Изд-во КГУ, 1989. - 97 с.

94. Тихонов, В.И. Статистическая радиотехника / В.И. Тихонов. - М.: Сов. радио, 1966. -

678 с.

95. Тузов, Г.И. Адресные системы управления и связи. Вопросы оптимизации / Г.И. Тузов, Ю.Ф. Урядников, В.И. Прытков и др.; под ред. Г.И. Тузова. - М.: Радио и связь, 1993. - 384 с.

96. Тузов, Г.И. Помехозащищенность радиосистем со сложными сигналами / Г.И. Тузов, В.А. Сивов, В.И. Прытков и др.; под ред. Г.И. Тузова. - М.: Радио и связь, 1985. - 264 с.

97. Фалькович, С.Е. Оценка параметров сигнала / С.Е. Фалькович. - М.: Сов. радио, 1970. -

336 с.

98. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г.М. Фихтенгольц; [пред. и прим. А.А. Флоринского]. - 8-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - Т. 1 - 608 с.

99. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г.М. Фихтенгольц; [пред. и прим. А.А. Флоринского]. - 8-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - Т. 2 - 800 с.

100. Чипига, А.Ф. Пути разрешения проблемы обеспечения энергетической скрытности в системах спутниковой связи при близком размещении приемника радиоперехвата / А.Ф. Чипига

// Инфокоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании: 5 международная НТК: Сборник научных трудов. - Ставрополь: СевКавГТУ, 2012. - Ч. 1. - С. 202-205.

101. Чипига, А.Ф. Защита информации в системах космической связи за счет изменения условий распространения радиоволн / А.Ф. Чипига, А.В. Сенокосова // Космические исследования. - 2007. - Т. 45. - № 1. - C. 59-66.

102. Чипига, А.Ф. Повышение помехозащищенности систем спутниковой связи за счет понижения несущей частоты и разнесенного приема / А.Ф. Чипига, А.В. Сенокосова, Д.В. Алексеев, Ю.М. Бессмертный и др. // Информационные технологии в образовании, науке и производстве: Международная НПК: Сборник трудов. - Серпухов, 2010. - Ч. 2. - C. 346-348.

103. Чипига, А.Ф. Способ обеспечения энергетической скрытности систем спутниковой связи / А.Ф. Чипига, А.В. Сенокосова // Космические исследования. - 2009. - Т. 47. - № 5. - C. 428-433.

104. Чучин, Е.В. Свойства специальных функций в моделях качества информационных систем [Электронный ресурс] / Е.В. Чучин // Auditorium: электронный научный журнал Курского гос. университета. - 2014. - № 1. - URL: https://api-mag.kursksu.ru/api/v1/get_pdf/1408/ (дата обращения: 20.05.2021).

105. Шеннон, К. Математическая теория связи / Под ред. Р.Л. Добрушина, О.Б. Луланова; В кн.: К. Шеннон. Работы по теории информации и кибернетике: Пер. с англ. - М.: ИЛ, 1963. -С. 243-332.

106. Ширман, Я.Д. Радиоэлектронные системы: основы построения и функционирования. Справочник / Я.Д. Ширман, С.Т. Багдасарян, А.С. Маляренко; под ред. Я.Д. Ширмана. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЗАО «МАКВИС», 2007. - 512 с.

107. Dukkipati, R.V. Numerical Methods / R.V. Dukkipati. - New Delhi: New Age International Publishers (P) Ltd., 2010. - 370 p.

108. Oetting, J.D. The Mobile User Objective System [Electronic resource] / J.D. Oetting, T. Jen // Johns Hopkins APL Technical Digest. - 2011. Vol. 30-2. - URL: https://www.jhuapl.edu/Content/techdigest/pdf/V30-N02/30-02-0etting.pdf (accessed: 20.05.2021).

109. Kostylev, V.I. Energy Detection of a Signal with Random Amplitude / V. I. Kostylev // Proc. IEEE Int. Conf. Communications (ICC'02). - 2002. - P. 1606-1611.

110. Marcum, J.I. A Statistical Theory of Target Detection by Pulsed Radar: Mathematical Appendix / J.I. Marcum. - Santa Monica, 1948. - Vol. IT-6. - P. 59-267.

111. Zucchetti, M. Mobile User Objective System (MUOS) presso il Naval Radio Transmitter Facility (NRTF) di Niscemi: Analisi dei rischi [Electronic resource] / M. Zucchetti, M. Coraddu // Facolta di Ingegneria: Universita degli studi di Palermo. - 2011. - URL:

https://www.researchgate.net/publication/310074876_Mobile_User_Objective_System_MUOS_presso _il_Naval_Radio_Transmitter_Facility_NRTF_di_Niscemi_Analisi_dei_rischi (accessed: 20.05.2021).

112. Simon, M.K. A New Twist on the Marcum Q-Function and its Application // IEEE. - 1998. - № 2. - P. 39-41.

113. Chapra, S.C. Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists / S.C. Chapra. - Natick, MA: Mcgraw Hill Book Co., 2006. - 584 p.

114. Torrieri, D.J. Principles of Secure Communication Systems / D.J. Torrieri. - Dedham, MA.: Artech House, Inc., 1985. - 286 p.

115. Ultra High Frequency (UHF) Follow-on (UFO) (U) [Electronic resource]. - URL: https://www.globalsecurity.org/space/library/report/1999/nssrm/initiatives/ufo.htm (accessed: 20.05.2021).

116. Unified Modeling Language [Electronic resource]. - URL: https://www.omg.org/spec/UML/2.0/ (accessed: 20.05.2021)

117. Urkowitz, H. Energy Detection of Unknown Deterministic signals // Proc. IEEE. - 1967. -Vol. 55. - P. 523-531.

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Северо-Кавказский федеральный университет»

Модели и методы оценки энергетической скрытности

низкочастотных систем спутниковой связи

Том 2. Приложения

1.2.2. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

На правах рукописи

Ляхов Алексей Владимирович

Научный руководитель: Пашинцев Владимир Петрович, доктор технических наук, профессор

Ставрополь - 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ ТОМ 2

Приложение А. Определение значения отношения сигнал/шум по энергии, необходимого

для обнаружения c заданным качеством сигнала систем спутниковой связи с пониженной

частотой с помощью численных методов............................................................................................3

Приложение Б. Код на языке MATLAB компонентов комплекса проблемно-ориентированных программ, определения искомого значения ОСШ по энергии, необходимого для обнаружения и приема сигналов систем спутниковой связи с заданным

качеством на основе численных методов и алгоритмов..................................................................37

Приложение В. Код на языке MATLAB программного комплекса

NumeralMethodsDeterminationSNR.....................................................................................................43

Приложение Г. Код на языке MATLAB программного комплекса

CoefficientOfEnergySecrecySatComSystem.........................................................................................70

Приложение Д. Разработка методов и алгоритмов, их реализующих, для определения требуемой пониженной несущей частоты, на которой коэффициент энергетической скрытности систем спутниковой связи не менее требуемого значения.......................................127

Приложение А

(информационное)

Определение значения отношения сигнал/шум по энергии, необходимого для обнаружения c заданным качеством сигнала систем спутниковой связи с пониженной частотой с помощью

численных методов

А. 1 Определение значения отношения сигнал/шум численным методом половинного деления

(бисекций)

Постановка задачи: в п. 3.1 был отделен единственный корень уравнения (3.10) приближенно равный Л2 з « 57,5, который заключен в промежутке [55,60]. Требуется уточнить этот корень методом половинного деления (бисекций) с относительной (процентной) погрешностью не более |£а|треб = 0,0001 %.

Итерационный процесс метода деления пополам (бисекций) заключается в следующем [11, 21, 28, 29, 64, 81, 114]. До начала итерационного процесса предполагается, что искомый корень локализован на отрезке [Л2, Л^].

Начиная с отрезка [Л2, Л^], на концах которого функции /(Л2) имеет разные знаки, алгоритм вычисляет среднюю точку этого отрезка

Л2 = (Л2 + л2)/2. (а.1)

Если /(Л2) = 0, корень найден, и алгоритм завершает работу. В противном случае он продолжает поиск корня либо на отрезке [Л2, Л2], либо на отрезке [Л2, Л^] - в зависимости от того, на какой из двух половин отрезка функция /(Л2) имеет разные знаки на концах нового отрезка изменения аргумента.

Если требуется найти корень с относительной погрешностью |£а|треб, %, то деление отрезка поиска корня пополам продолжается до тех пор, пока на итерации N выполнится следующее неравенство:

как = |(Л^ - Л2(№-1))/Л2„|100 % < Ытреб, (А.2)

где через Л^^) обозначена середина отрезка [Л2(№-1), Л2(№-1)] на предыдущей итерации с

номером N — 1. Тогда середина Л^ последнего отрезка [Л2№, на итерации N даст значение корня уравнения (3.10) с требуемой точностью |£а|треб:

Л2№ = (Л2№ + Л^)/2. (А.3)

Блок-схема алгоритма показана на рисунке А. 1.

Ход итерационного процесса определения значения отношения сигнал/шум по энергии методом половинного деления (бисекций) иллюстрирует таблица А.1.

Из данных таблицы А.1 видно, что итерационный процесс поиска корня уравнения (3.10) методом половинного деления (бисекций) завершается на восемнадцатой итерации (Ы = 18), когда искомый корень принимает значение = Лр з = 57,3887 с относительной ошибкой вычисления корня |£а1х8 = 6,6471 X 10-5 %, удовлетворяющей неравенству (А.2).

Таблица А.1 - Пошаговое выполнение метода половинного деления для уравнения (3.10)

N Крайняя слева точка, Средняя точка, Крайняя справа точка, Значение ошибки, |£а|, % Значение функции, /(Лр)

1 55 57,5 60 - 4,94057х10-5

2 55 56,25 57,5 4,347826 4,94057х10-5

3 56,25 56,875 57,5 2,222222 -0,0005260884

4 56,875 57,1875 57,5 1,098901 -0,0002326009

5 57,1875 57,34375 57,5 0,5464481 -9,019842х10-5

6 57,34375 57,42188 57,5 0,2724796 -2,005094х10-5

7 57,34375 57,38281 57,42188 0,1360544 1,476319х10-5

8 57,38281 57,40234 57,42188 0,06807352 -2,622352х10-6

9 57,38281 57,39258 57,40234 0,03402518 6,075793х10-6

10 57,38281 57,3877 57,39258 0,01701548 1,728065х10-6

11 57,3877 57,39014 57,39258 0,008508466 -4,468075х10-7

12 57,3877 57,38892 57,39014 0,004254052 6,407126х10-7

13 57,3877 57,38831 57,38892 0,002127071 9,697351х10-8

14 57,38831 57,38861 57,38892 0,001063547 -1,749118х10-7

15 57,38861 57,38876 57,38892 0,0005317706 -3,896781х10-8

16 57,38861 57,38869 57,38876 0,0002658846 2,900318х10-8

17 57,38869 57,38873 57,38876 0,0001329425 -4,982233х10-9

18 57,38869 57,38871 57,38873 6,64712х10-5 1,201049х10-8

По данным таблицы А.1 на рисунках А.2 и А.3 построены графики динамики сходимости итерационного процесса метода половинного деления к корню уравнения (3.10) и зависимости пошаговой точности |£а|^, % определения значения отношения сигнал/шум Лр з по энергии.

57.6

Л2Г

~1-1-Г"

57.4 -

57.2 -

57 -

56.8 -

56.6 -

56.4 -

56.2

~1-1-Г"

~о— о о—е—©—е—е—е—е—о

_|_1_

8 10 12 14 16 18 N

Рисунок А.2 - Динамика сходимости итерационного процесса метода половинного деления

(бисекций) к корню уравнения (3.10)

10"5

10 12 14 16 18 N

Рисунок А.3 - Зависимость погрешности уточнения корня уравнения (3.10) методом половинного деления (бисекций) от номера итерации вычислительного процесса

Как следует из рисунков А.2 и А.3 скорость сходимости итерационного процесса поиска корня уравнения (3.10) невелика (одна декада за три итерации): за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое, т. е. уточнение трех цифр требует 10 итераций. Зато точность результата уточнения корня гарантируется.

Таким образом, приходим к выводу, что метод половинного деления (бисекций) определения заданного значения отношения сигнал/шум Лр з прост и очень надежен, при этом он устойчив к ошибкам округления. К недостаткам рассмотренного метода можно отнести то, что до начала расчета надо найти отрезок, на котором функция /(Л2) меняет знак.

Таким образом, метод половинного деления (бисекций) может быть рекомендован для поиска корня уравнения (3.10), т. к. он гарантирует высокую надежность и точность определения значения отношения сигнал/шум по энергии Лр з, а скорость сходимости вычислительного итерационного процесса в этом случае не велика, но, как отмечалось ранее, этот показатель не является критичным [48, 49, 60]. Код на языке MATLAB программного компонента bisect.m, реализующего определение значения отношения сигнал/шум по энергии кр з на основе численного метода и алгоритма половинного деления (бисекций), приведен в приложении Б.2.

А.2 Определение значения отношения сигнал/шум по энергии численным методом хорд

Постановка задачи: в п. 3.1 был отделен единственный корень уравнения (3.10) приближенно равный Л2 з « 57,5, который заключен в промежутке [Л2, Л^] = [55,60]. Требуется уточнить этот корень методом хорд с относительной ошибкой не более |£а|треб = 0,0001 %.

Метод хорд, который также называют метод ложного положения, или по латыни метод -regula falsi [21, 28, 64, 107, 114], стали использовать потому, что, как было показано в п. 3.2, метод половинного деления (бисекций) сходится весьма медленно (за одну итерацию точность корня увеличивается примерно вдвое).

Как и алгоритм метода половинного деления (бисекций), на каждой N итерации метод хорд получает некоторый отрезок [Л2№, Л^№], содержащий корень непрерывной функции /(Л2), которая имеет значения противоположных знаков в точках Л2№ и . В отличие от метода деления пополам очередное приближение на итерации N вычисляется не как средина отрезка [Л2№, Л^№], а как точка пересечения оси абсцисс с прямой линией, проведенной через точки

(л2№,/№)) и (л2„,/(л2№)}.

Формула для точки пересечения выглядит следующим образом:

Л2№= ■ (А4)

(к2 Л _

Из (А.4) следует три возможности:

1) если /(Л2№) и /(Лр№) имеют различные знаки, то нуль принадлежит интервалу [Л2№, Лр№]: 2) если /(Лр№) и имеют различные знаки, нуль лежит на интервале [Лр№,

3) если /(Лр№) = 0, значит, нулем является

Так как требуется уточнить корень уравнения (3.10) с точностью |£а1треб, то итерационный процесс поиска корня продолжается до тех пор, пока на итерации N не выполнится следующее неравенство:

kaU =

Л2

100% < ка|треб. (А.5)

Применительно к сформулированной задаче ход указанного итерационного процесса уточнения значения отношения сигнал/шум по энергии крз методом хорд при |£а|треб = 0,0001 % иллюстрирует таблица А.2. Как видно из данных таблицы А.2 вычислительный процесс уточнения корня уравнения (3.10) методом хорд завершается на шестой итерации (N = 6), когда искомый корень принимает значение Лр6 = Лрз = 57,3887 с относительной

-а |треб

ошибкой вычисления корня |£а|б = 9,908553 X 10 5 %, что меньше |£а|треб = 0,0001 %.

Таблица А.2 - Пошаговое выполнение метода хорд для уравнения (3.10)

N Крайняя слева точка, Лш Точка пересечения, Лр Крайняя справа точка, Л2№ Значение ошибки, |£а|, % Значение функции,

1 55 57,58606 60 - 8,737117х10-5

2 55 57,40345 57,58606 0,3181212 6,568805х10-6

3 55 57,3898 57,40345 0,02378703 4,908097х10-7

4 55 57,38878 57,3898 0,001776599 3,665542х10-8

5 55 57,3887 57,38878 0,0001326787 2,737462х10-9

6 55 57,3887 57,3887 9,908553х10-6 2,044358х10-10

По данным таблицы А.2 на рисунках А.4 и А.5 построены графики динамики сходимости итерационного процесса метода хорд к корню уравнения (3.10) и зависимости пошаговой точности |£а|^, % определения значения отношения сигнал/шум по энергии Лр з.

Проанализировав рисунки А.4 и А.5, можно сделать вывод, что сходимость итераций метода хорд не монотонна. Скорость сходимости итерационного процесса замедляется от итерации к итерации.

Сравнивая между собой данные таблиц А.1 и А.2, приходим к выводу, что корни уравнения (3.10), уточненные методом половинного деления (бисекций) и методом хорд, совпали: Лр з = 57,3887 (метод бисекций) и Лр з = 57,3887 (метод хорд).

57.6

57.55

57.5

57.45

57.4

57.35

Л25

-0-

]_I_I_I_I_I_I_1_

О

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Л/

Рисунок А.4 - Динамика сходимости итерационного процесса метода хорд к корню уравнения

(3.10)

N

Рисунок А.5 - Зависимость погрешности уточнения корня уравнения (3.10) методом хорд от

номера итерации вычислительного процесса

Используя метод хорд, удалось уточнить этот корень за шесть итераций (Ы = 6), что в три раза меньше чем 18 итераций (Ы = 18), потребовавшихся методу половинного деления. При этом относительная ошибка |га|6 = 9,9086 X 10-6 % корня, найденного методом хорд, на порядок меньше, чем метода половинного деления |^а|18 = 6,64712 X 10-5 %.

Блок-схема алгоритма метода хорд показана на рисунке А.6.

Таким образом, приходим к выводу, что метод хорд при уточнении корня уравнения (3.10) превосходит метод половинного деления по критериям эффективности количество итераций и точность результата.

К недостаткам рассмотренного метода, как и у метода половинного деления, можно отнести то, что до начала расчета надо найти отрезок, на котором функция /(Л2) меняет знак.

Кроме того, следует учитывать, что в знаменателе формулы (А.4) для точки пересечения стоит разность значений функции. Вдали от корня это несущественно, но вблизи корня значения функции /(Л2) малы и очень близки (таблица А.2). При этом может возникнуть потеря значащих цифр, приводящая к «разболтке» счета (поочередному приближению и удалению от корня) [3]. Это ограничивает точность, с которой можно уточнить искомый корень, но для простых корней это ограничение невелико.

Таким образом, метод хорд может быть использован для уточнения корня уравнения (3.10), т. к. является предпочтительным по критерию эффективности количество итераций по сравнению с методом половинного деления при меньшей погрешности достигаемого результата [48, 49, 60].

Рисунок А.6 - Блок-схема алгоритма метода хорд

Код на языке МАТЬАВ программного компонента regula_falsi.m, реализующего уточнение корня уравнения (3.10), т. е. значения отношения сигнал/шум по энергии Лр з на основе численного метода и алгоритма метода хорд, приведен в приложении Б.3.

А.3 Определение значения отношения сигнал/шум численным методом Ньютона

Постановка задачи: требуется уточнить корень уравнения (3.10) приближенно равный Лр з « 57,5 и заключенный в промежутке [Л^ Лр] = [55,60] методом Ньютона с относительной ошибкой не более |£а|треб = 0,0001 %.

Известно [3, 4], что метод Ньютона один из наиболее распространенных методов поиска корней нелинейных уравнений. Его называют также методом касательных или методом Ньютона-Рафсона [11, 21, 28, 29, 64, 81, 107, 114].

Если Лр - начальное приближение корня уравнения (3.10), то последовательные приближения методом Ньютона применительно к рассматриваемой задаче находят по формуле:

/(Лдг-1)

т-хУ

Л& = Л^-1 ^ТП-ТТ^, (А.6)

где N - номер итерации (М = 1,2,...);

/(Л^^) - значение функции /(Лр) при Лр = Л^^;

л fíи2Л

/'(Л^].) = ( ' - значение первой производной функции /(Лр) по параметру

отношение сигнал/шум по энергии на выходе обнаружителя (Лр) при Лр = Л^-1.

В методе Ньютона начальное приближение корня Л2 уравнения (3.10) выбирают на интервале [Лр, Л^], руководствуясь следующим правилом: в качестве исходной точки Лр выбирается тот конец интервала [Л^ Лр], которому отвечает ордината того же знака, что и знак второй производной /(Лр):

^ если /(Лр)/''(Лр) > 0 на [Лр, Л*]; 0 если /(Л2)/''^) > 0 на [Л^Л2]. ( )

Из (А.6) следует, что для реализации метода Ньютона требуется существование первой непрерывной производной функции /(Лр), т. е. должно выполняться условие: Г(Л2-1) * 0. Чтобы не было потери точности, отношение /(Л22-1)//'(Лдr-1) надо вычислять достаточно аккуратно. К остальным погрешностям расчета метод Ньютона хорошо устойчив.

Так как для вычисления очередного приближения Л^ по формуле (А.6) нужно знать только одно предыдущее значение Л^^, то алгоритм уточнения корня методом Ньютона называют одношаговым. Геометрически итерационный процесс (А.6) означает замену на каждой итерации графика функции /(Лр) касательной к нему [3, 4].

Основным фактором, ограничивающим прикладное использование метода Ньютона, является необходимость вычислять первую и вторую производную функции /(Л2), что не всегда удобно. Так, применительно к рассматриваемой задаче дифференцированию подлежит функция (3.9), которую учетом соотношений (3.1) - (3.4), можно представить в виде:

/(Л2) =

/

р2 + 2Л21+ Г22+^ х ехр(----)/о1 |2Л21 + ^2 +^2х )^х-РП0 3. (А.8)

Г2

21п(рлг)з

1+у2

Из (А.8) следует, что функция /(Л2), подлежащая дифференцированию, задана интегралом, содержащим параметр Л2. Причем не только подынтегральное выражение в формуле (А.8) содержит это параметр, но и нижний предел интеграла зависит от него.

Таким образом, вычисление даже первой производной /'(Л2) = ^/(Л2)/^Л2 предполагает дифференцирование под знаком интеграла в (А.8), что в рассматриваемом случае представляет

достаточно сложную задачу, не говоря уже о второй производной /''(Л2) = ^2/(Л2)/(^Л2) , не только на этапе получения аналитического выражения для производной, но и на этапе реализации численного алгоритма Ньютона средствами вычислительной техники. Известный НМА оценки энергетической скрытности НЧ ССС не содержит аналитических решений для вычисления первой /'(Л2) и второй /"(Л2) производной от вероятности правильного обнаружения сигналов (Рпо) по параметру отношение сигнал/шум по энергии на входе обнаружителя (Л2).

Известно, что дифференцирование под знаком интеграла, содержащим параметр, упрощается, если интеграл содержит параметр только в подынтегральном выражении [90, 98, 99]. В связи с этим представляется целесообразным использовать альтернативное представление функции Маркума, рассмотренное в [104, 112]:

п

п )

cosт + р

2

п ] а2 + cos т + 0

/ а2 + 2а:^со$т + 1 — ехр (--

йт. (А.9)

2

Выражение (А.9) содержит под знаком интеграла только элементарные функции, что существенно упрощает процесс вычислений функции Маркума.

Для того чтобы записать выражение для функции, подлежащей дифференцированию согласно методу Ньютона, учтем, что каждый из аргументов а и @ функции Маркума (А.7) зависит от параметра Л2 на основании соотношений (3.3) и (3.4) следующим образом:

*(л2)= <2л21 + 7722+л2; (А10)

«Л2)=.12|пШг

1 + 7

2

1ЛТ, 1 + г2+Л2' Тогда выражение (А.9) можно переписать в виде:

п

(А.11)

/(Л2) = 1—

п J

a(h2)^(h2)cosr + [£(Л2)]2 [ а(Л2)]2 + 2а(Л2)£(Л2) cosr + £(Л2)2

х

х

а(Л2)2 + 2а(Л2)£(Л2) cosr + £(Л2)

22

1 — exp |

2

(А.12)

dr — R

по доп-

Очевидно, теперь дифференцирование под знаком интеграла, содержащим параметр Л2, упрощается, т. к. интеграл в формуле (А.12) содержит указанный параметр только в подынтегральном выражении. Введем обозначение

а2 + cosr + ^2N

cosr +

т) = —=—-—--—г

р 7 а2 + 2^cosr +

1 — exp ( — -

2

(А13)

Для вычисления производной /'(Лр) воспользуемся формулой для дифференцирования под знаком интеграла [90, 99]

и и

д/(х,у) ду

dx

(А.14)

а а

и правилом вычисления производной от сложной функции [98]:

du ди dx ди dy ди dz dt дх dt ду dt dz dt'

(А15)

где и = /(х, у, г) - функция, определенная в открытой области Д, причем каждая из переменных х, у, г в свою очередь является функцией от переменной t в некотором промежутке:

(А16)

х = у = z = /(t). Тогда, взяв производную от функции /(Л2) по параметру Л2 получим:

п

d/^2) _ 1 J |д[^(а,^,т)] d«^2) + д<р(а,0,т) £(Л2)]

+

d .

(А.17)

d(л2) я] I д« d(л2) ' сг(Лр)}'

0

С учетом (А.10), (А.11) и (А.13), (А.14) формулы для расчета производных в подынтегральном выражении (А.17) принимают следующий вид:

д[<р(а,0,т)]

где

д а

2( a^cosr + £2)

= Л(а,0,т) + Я(а,0,т) + С(а,0,т),

(А. 18)

exp

Л(а,0,т) =

а2 + cosr + fi2

2

( а + ^ cos т)

(А19)

( oncost + ^2)

( а2 + 2«^cosr + ^2)2

Я(а,0,т) =

а2 + 2g^cosr+ _ exp ( 2 )

( а + ^ cos т)

(А.20)

а2 + cosr +

о

1

1

P cosr

exp

С(а,0,т) =

( а2 + cosr + fi2

2

а2 + cosr + a[y(g,jg,T)] =

= Я(а,£т) + Я(а,0,т) + F(a,0,r),

где

2(a£cosr + £2)

exp

(-

a2 + cosr + fi2

2

(^ + a cos t)

exp

(a2 + 2a0cosr + ^2)2

Я(а,0,т) = ^ a2 + 2aftcosT_

(2^ + a cosr)

a2 + cosr +

F(a,^,r) =

(^2 + cos т + ---—) (a^ cos т + + a cos т)

a2 + cosr +

d("2)