МГД-процессы в плоских слоях проводящей жидкости с электрическим током тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Колесниченко, Илья Владимирович

• Колесниченко, Илья Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колесниченко, Илья Владимирович

Введение

1 Обзор литературы

1.1 Вихревые течения в МГД-слоях

1.2 Некоторые технологические процессы, основанные на МГДявлениях в плоских слоях жидких металлов.

1.2.1 Транспортировка жидких металлов.

1.2.2 ЭВТ при перемешивании и электролизе жидких металлов.

1.2.3 Сепарация жидких металлов от слабопроводящих включений.

1.3 Выводы по главе.

2 Математическое моделирование процессов, происходящих в МГД-слоях

2.1 Концептуальная постановка задачи

2.2 Система уравнений для описания ламинарного и турбулентного течений в МГД-слоях с твердой верхней границей.

2.2.1 Уравнение Навье-Стокса в рамках полуэмпирической модели турбулентности Прандтля

2.2.2 Уравнение Навье-Стокса в рамках полуэмпирической «ка-омега» модели турбулентности.

2.3 Уравнения для определения электромагнитных сил.

2.3.1 Индукция магнитного поля электрического тока в канале, находящемся в зазоре между ферромагнитных пластин или сердечников.

2.3.2 Уравнение для вихревой части поля плотности электрического тока в случае переменного тока

2.4 Система уравнений для МГД-слоя со свободной верхней поверхностью.

2.5 Выводы по главе.

3 Процессы в МГД-слоях, происходящие при наличии в них электровихревых течений

3.1 Электровихревые течения в МГД-слое с закрытой верхней поверхностью и их устойчивость.

3.2 Устойчивость равновесного состояния МГД-слоя со свободной поверхностью.

3.2.1 Случай изначально потенциальных электромагнитных сил.

3.2.2 Случай изначально вихревых электромагнитных сил

3.3 Некоторые способы генерации перепада давления в МГД-слое посредством ЭВТ, а также взаимодействие транзитного течения и ЭВТ.

3.4 Выводы по главе.

4 МГД-процессы, происходящие при наличии электровихревых течений жидкого металла в плоских каналах, которые являются элементами технологических устройств

4.1 Генерация транзитного течения с помощью МГД-каналов

4.2 Воздействие электромагнитных сил в МГД-канале на непроводящие включения, содержащиеся в электропроводной жидкости

4.3 Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «МГД-процессы в плоских слоях проводящей жидкости с электрическим током»

Актуальность.

В настоящее время магнитогидродинамические (МГД) устройства и технологии управления потоками проводящей жидкости получили широкое распространение в различных областях техники. В частности, в металлургической промышленности они используются для транспортировки, дозирования, очистки и прочих операций с расплавленными металлами. При этом, многие МГД-устройства оперируют с плоскими слоями жидкого металла. Одной из причин использования плоских слоев является возможность снизить габариты и затраты энергии для генерации в них электромагнитных сил необходимой интенсивности, что используется, например, в ряде конструкций МГД-насосов. В некоторых процессах, таких, как непрерывное литье стали и электролиз алюминия, плоский слой изначально является особенностью технологии. С развитием промышленности возникает потребность в разработке новых МГД-устройств и усовершенствовании уже имеющихся устройств и технологий. Поэтому, изучение процессов, происходящих в слоях проводящей жидкости под действием электромагнитных сил, имеет большое как научное, так и практическое значение.

В ряде технологических процессов используются так называемые электровихревые течения (ЭВТ), возникающие при взаимодействии протекающего по слою электрического тока с собственным магнитным полем. Это поле деформируется и усиливается при помещении слоя в зазор между ферромагнитными массивами (в дальнейшем будем называть такой слой «МГД-слоем»), По этой теме существует ряд исследований, однако, некоторые вопросы, связанные с устойчивостью ЭВТ определенных видов, их взаимодействию с транзитными течениями и так далее, остались открытыми. До появления современных бесконтактных ультразвуковых методов, измерение поля скорости непрозрачных жидких металлов было недостаточно точным. Это затрудняло тестирование математических моделей подобных МГД-процессов. Применение этого метода является наиболее эффективным способом исследования, позволяющим подбирать из широких диапазонов наилучшие параметры процессов. Таким образом, теоретическое и экспериментальное изучение МГД-процессов, связанных с ЭВТ, построение эффективных математических моделей, позволяющих производить многовариантные исследования, а также тестирование этих моделей путем сравнения результатов расчетов и экспериментов, является актуальной задачей.

Цель работы.

Исследовать МГД-процессы, происходящие в плоском слое проводящей жидкости с электрическим током, находящимся в зазоре между ферромагнитными массивами: устойчивость стационарного ЭВТ для слоя со свободной и закрытой верхней поверхностью, устойчивость равновесного состояния в слое со свободной поверхностью, генерацию транзитного течения через слой с помощью ЭВТ, взаимодействие ЭВТ и транзитного течения, поведение слабопроводящих включений.

Краткое содержание диссертации.

Диссертация состоит из четырех глав, введения, заключения и списка цитируемой литературы. В работе приводится 74 рисунка. Общий объем диссертации составляет 143 страницы.

В первой главе приведен обзор литературы, посвященной исследованиям явлений, происходящих в плоском слое проводящей жидкости, по которой протекает электрический ток, помещенном в неоднородный зазор между ферромагнитными массивами. Основное внимание в обзоре уделено работам, направленным на изучение особого класса МГД-процессов - электровихревых течений (ЭВТ) проводящей жидкости в МГД-слое как со свободной, так и с твердой верхней границей. Приведен обзор исследований технологических процессов, основанных на МГД-явлениях в плоских слоях расплавленных металлов.

Вторая глава посвящена выводу системы приближенных уравнений, описывающих процессы, происходящие в плоском МГД-слое. Данная глава включает в себя концептуальную и математическую постановку задачи. Описывается переход от трехмерной постановки задачи к двумерной с использованием приближения тонкого слоя (или «мелкой воды»). Рассматриваются применяемые полуэмпирические модели турбулентности. В результате получены двумерные уравнения в рамках «безындукционного» приближения для описания течения проводящей жидкости и распределения электрического и магнитного поля в МГД-слое как со свободной, так и с твердой верхней границей. С помощью данной системы можно исследовать задачи с переменным током, а также с наличием в слое транзитного течения.

В третьей главе описываются процессы в плоских МГД-слоях проводящей жидкости с ЭВТ.

В п.3.1 теоретически и экспериментально изучается поле скорости ЭВТ и его устойчивость в квадратном в плане МГД-слое. Эксперимент проводился с галлиевым сплавом, заключенным в плексигласовый корпус размерами 0.1 х 0.1 х 0.01 м. По слою вдоль его плоскости протекал электрический ток; слой был помещен в зазор ферромагнитного сердечника. Скорость измерялась с помощью ультразвукового доплеровского анемометра (УДА), позволяющего получать профиль компоненты скорости, сонаправленной с его лучом. Сравнение экспериментальных и теоретических результатов показало их хорошее согласие, что подтвердило правомерность использования математической модели (описанной в п.2) для исследования МГД-процессов в плоском слое. Было обнаружено, что одновихревое ЭВТ устойчиво, а двухвихревое, хотя оно менее интенсивное при тех же параметрах, - неустойчиво. Неустойчивость проявляется в виде колебания вихрей. Для подтверждения этого факта был проведен анализ колебаний значения скорости в точке, а также колебаний профиля скорости. Получено, что энергия колебаний одновихревого ЭВТ с ростом тока не возрастает, а двухвихревого - растет.

В п.3.2 описано исследование устойчивости равновесного состояния плоского слоя, конфигурация которого описана в п.3.1, жидкого металла со свободной поверхностью, находящегося под действием электромагнитных сил. Вначале рассматривался случай потенциальных электромагнитных сил, когда по слою протекал электрический ток и слой был помещен в однородный зазор между ферромагнитными пластинами, либо на слой действовало однородное магнитное поле в перпендикулярном слою направлении. Для данного случая получено уравнение малых колебаний свободной поверхности относительно равновесного положения и был проведен анализ колебаний свободной поверхности относительно ее равновесного положения в рамках линейной теории устойчивости. Причина неустойчивости состоит в том, что вследствие изменения проходного сечения для плотности тока, появляется вихревая компонента электромагнитных сил. Теоретически показано, что в обоих случаях равновесное состояние поверхности слоя пороговым образом неустойчиво относительно возмущений, волновой вектор которых направлен вдоль вектора плотности электрического тока. Найдены нейтральные кривые в области безразмерных параметров. Далее рассматривается случай, когда силы имеют вихревую компоненту, при этом в слое, в зависимости от конфигурации, изначально присутствуют одно- двух- или четырехвихревое ЭВТ, а находящаяся в стационарном состоянии свободная поверхность имеет углубления в центрах вихрей. Теоретически получено, что при превышении некоторого критического значения электрического тока, возникают незатухающие колебания поверхности, а в случае четырехвихревого течения, происходит его разрушение и образование одновихревого крупномасштабного течения с двумя мелкими вихрями. Это явление было подтверждено в эксперименте на установке, описанной в п.3.1, которая в данном случае не имела верхней крышки. На поверхность слоя наливался тонкий слой раствора соляной кислоты, что приводило к появлению пузырьков водорода на поверхности и удалению окисной пленки. С помощью наблюдений и видеосъемки было обнаружено, что одно- двух- и четырехвихревые течения становятся нестационарными, а четырехвихревое трансформируется в одновихревое. В результате исследований были построены нейтральные кривые.

В п.3.3 теоретически исследуются некоторые способы генерации перепада давления между входом и выходом МГД-канала посредством ЭВТ. Первый способ заключается в том, что в длинном МГД-канале изменяется наклон ферромагнитного сердечника, что приводит к изменению симметрии вихрей двухвихревого ЭВТ. Второй способ использует специальную L-образную форму МГД-канала, которая представляет собой перпендикулярное соединение двух прямоугольных каналов. Третий способ является развитием предыдущего. В нем исследуется последовательное соединение двух L-образных каналов с образованием так называемого Z-образного канала. Четвертый способ, известный как «скин-слойный» механизм, заключается в том, что по прямому МГД-каналу протекает переменный ток, а сам канал заключен в переменный зазор между ферромагнитными пластинами, причем величина зазора изменяется вдоль направления тока. Для этого способа получены зависимости перепада давления от угла наклона и частоты переменного тока. В конце п.3.3 описаны эксперименты по взаимодействию транзитного течения и ЭВТ в длинном МГД-канале размерами 1 х 0.1 х 0.01 м. Транзитное течение галлиевого сплава создавалось с помощью сосуда Менделеева, обеспечивающего стационарный внешний перепад давления; перепад давления в рабочей части канала измерялся двухжидкостным дифференциальным манометром; ЭВТ создавалось набором ферромагнитных сердечников и брусков, генерирующих двух-и четырехвихревые ЭВТ. Эксперимент показал, что при увеличении интенсивности ЭВТ (то есть силы тока), а также при увеличении числа сердечников, перепад давления в канале растет по сравнению с перепадом в канале без ЭВТ, что свидетельствует о возрастании в нем гидравлического сопротивления. При этом больший рост достигается когда используются сердечники а не бруски. Таким образом, показано, что в данном случае в исследуемом интервале параметров ЭВТ препятствует транзитному течению.

В четвертой главе описываются процессы, происходящие в МГД-каналах, которые являются элементами технологических устройств.

В п.4.1 описываются исследования процессов в МГД-каналах безобмоточных электровихревых МГД-насосов. В этих каналах присутствует как ЭВТ, так и генерируемое ними транзитное течение. В данной части работы было необходимо выдать рекомендации по конфигурации МГД-канала, обеспечивающей наилучшие расходно-напорные характеристики, то есть наилучшую производительность для насоса данного типа. В результате получено, что изменение наклона сердечника, размера канала, толщины слоя влияет на производительность устройства при одних и тех же заданных технических параметрах. Форма канала (в плоскости) также существенно влияет на производительность насоса, в частности, для центробежного насоса канал спиралевидной формы работает лучше, чем круглой формы. Путем численных расчетов были найдены наилучшие соотношения размеров, наклон сердечника, а также форма канала в плоскости. Проведено сравнение теоретических расчетов с экспериментальными данными, полученными на гидравлическом галлиевом контуре ИМСС УрО РАН для МГД-насосов некоторых конфигураций, которое показало, что результаты расчетов и экспериментов хорошую согласуются. С помощью теоретического исследования расходно-напорных режимов была выяснена причина задержки работы МГД-насосов (на предприятиях) после подключения электрического тока.

В п.4.2. описывается исследование действия электромагнитных сил в МГД-канале при наличии в проводящей жидкости непроводящих включений. Данная глава посвящена исследованию явления сепарации жидких металлов от слабопроводящих включений в МГД-канале. Теоретически исследуется поведение включений в МГД-каналах, на основании чего осуществляется подбор оптимальной формы канала и конструкции установки. Описаны разработанная и изготовленная экспериментальная установка и особенности проведения экспериментов. Приведены результаты экспериментального исследования производительности МГД-канала и процесса изменения концентрации слабопроводящих включений от продолжительности работы. Защищаемые положения.

1. Математическая модель, основанная на системе МГД-уравнений в рамках безындукционного приближения и приближения тонкого слоя. Модель описывает ламинарные и турбулентные течения в плоском слое проводящей жидкости как со свободной, так и с закрытой верхней поверхностью, а также электрические и магнитные поля при наличии вблизи слоя ферромагнитных массивов. Модель позволяет исследовать задачи с наличием в слое с закрытой поверхностью транзитного течения от внешнего источника.

2. Результаты теоретического и экспериментального исследования поля скорости одновихревого и двухвихревого ЭВТ и его устойчивости в МГД-слое с закрытой верхней поверхностью.

3. Результаты теоретического и экспериментального исследования устойчивости равновесного состояния МГД-слоя со свободной поверхностью для случаев как потенциальных электромагнитных сил, так и вихревых, генерирующих в слое одно- двух- и четырехвихревые ЭВТ.

4. Результаты экспериментального исследования процесса взаимодействия транзитного течения и ЭВТ в длинном прямом МГД-канале. Результаты теоретического исследования некоторых методов генерации транзитного течения посредством ЭВТ.

5. Результаты теоретического и экспериментального исследования процессов в каналах электровихревых МГД-насосов, где присутствует как ЭВТ, так и транзитное течение. Результаты теоретического исследования причины задержки работы насосов (в заводских условиях) после включения электрического тока.

6. Результаты теоретического и экспериментального исследования эффекта сепарации жидкого металла от слабопроводящих включений в МГД-канале, а также конструкцию МГД-сепаратора.

Научная новизна работы.

1. Экспериментально исследовано поле скорости ЭВТ в плоском МГД-слое с закрытой верхней поверхностью с помощью ультразвукового доплеровского анемометра. Результаты исследования были использованы для тестирования разработанной автором диссертации математической модели. Теоретически предсказано и экспериментально подтверждено, что одновихревое ЭВТ в таком МГД-слое устойчиво, а двухвихревое - неустойчиво.

2. Теоретически и экспериментально исследовано явление неустойчивости свободной поверхности плоского слоя проводящей жидкости в конфигурации, когда электрический ток однородно протекает в плоскости слоя, а его магнитное поле искажается ферромагнитными пластинами, которые перекрывают плоскость слоя либо полностью, либо частично. Определены нейтральные кривые в области параметров задачи.

3. Экспериментально исследован эффект взаимодействия двух- и четырехвихревых ЭВТ и транзитного течения в длинном тонком МГД-канале. Обнаружено, что в исследуемом интервале значений силы тока ЭВТ препятствуют транзитному течению.

4. Теоретически исследован «скин-слойный» механизм генерации перепада давления в длинном тонком МГД-канале с жидким металлом. Показано, что при увеличении частоты переменного тока перепад давления возрастает.

5. Теоретически и экспериментально исследованы процессы в плоских каналах электровихревых МГД-насосов, а также выяснена причина задержки работы насосов (в заводских условиях) после включения электрического тока.

6. Предложена новая конструкция МГД-сепаратора на основе МГД-канала, отличающаяся от существующих наличием специального сменного контейнера, который генерирует через себя транзитное течение и осуществляет очистку. Модифицируя форму контейнера, можно подбирать оптимальные характеристики процесса. Новизна конструкции подтверждена патентом.

Практическая ценность.

Результаты численных и экспериментальных исследований характеристик МГД-насосов были использованы при конструировании и создании устройства с наилучшими характеристиками. Предполагается в дальнейшем использовать разработанную математическую модель при проектировании МГД-насосов подобных конструкций для транспортировки других жидких металлов. Разработанную схему МГД-сепарации можно использовать для реализации как автономного устройства, так и встроенного в существующий технологический процесс, например, в процесс транспортировки жидкого металла по каналам. Результаты исследования процесса сепарации могут быть использованы для разработки и изготовления МГД-сепаратора для жидкого магния и других металлов. Результаты исследования неустойчивости равновесных состояний в плоском слое со свободной поверхностью могут быть использованы при разработке устройств для электромагнитного перемешивания, а также электролизеров и других технологических устройств, имеющих в конструкции плоский слой жидкого металла. Результаты исследования взаимодействия ЭВТ и транзитного течения в длинном МГД-канале могут быть использованы для разработки устройств транспортировки жидкого металла, когда необходимо дозировать подачу бесконтактным способом. Работы выполнялась в рамках проектов РФФИ 01-01-96493 и 04-01-08024-офи-а, индивидуальных грантов INTAS YSF-2002-424, а также CRDF-REC-009 № 02-01н-022а и № 03-02н-014а.

Обоснованность и достоверность результатов.

Для проверки адекватности численных расчетов МГД-процессов, полученных с помощью математической модели, были использованы результаты проведенных автором экспериментальных исследований этих же процессов, а также результаты аналитического решения задач в простых постановках и справочные данные. Результаты расчетов реальных процессов сравнивались с результатами экспериментальных исследований. Результаты расчетов и экспериментов хорошо согласуются.

Апробация работы.

Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались: на Пятой международной конференции по фундаментальной и прикладной магнитной гидродинамике «PAMIR», Раматюэль, Франция, 2002 г.; на Четвертой международной конференции «Электромагнитная обработка материалов», Лион, Франция, 2003 г.; на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001 г.; на Тринадцатой зимней школе по механике сплошных сред и школе молодых ученых по механике сплошных сред, Пермь, 2003 г.; на Всероссийской научно-технической конференции «Математическое моделирование систем и процессов», Пермь, 1999, 2001 и 2002 гг.; на городской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2002, 2003 гг.; на Всероссийском семинаре «Состояние и проблемы производства магния и магниевых сплавов в России», Березники, 2001 г.; на семинаре лаборатории Гидродинамики Высшей школы, Лион, Франция, 2003 г.; на семинаре НИВЦ Московского Государственного университета, Москва, 2003 г.; на семинаре кафедры Инженерной теплофизики Московского энергетического института, Москва, 2003 г.; на Пермском городском гидродинамическом семинаре им. Гершуни Г.З. и Жуховицкого Е.М., ПГУ, Пермь, 2004 г.; на семинарах Института механики сплошных сред, Пермь, 2004, 2005 гг. Публикации.

По теме диссертации всего опубликована 21 работа. Основные результаты содержатся в следующих 8 работах:

1. Патент РФ № 2198231 на изобретение «Устройство для очистки расплавленного металла от неметаллических включений». Авторы Хрипченко С.Ю., Колесниченко И.В., Сухановский А.Н. Приоритет от 20.02.2001. Зарегистрирован в Государственном реестре изобретений Российской Федерации 10.02.2003.

2. Kolesnichenko I., Khripchenko S. MHD-instability of an equilibrium state of a thin conductive liquid layer surface // Magnetohydrodynamics. -2001. - Vol. 37. - No. 4. - P. 367-372.

3. Kolesnichenko I., Khripchenko S. Mathematical simulation of hydrody-namical processes in the centrifugal MHD-pump // Magnetohydrodynamics. - 2002. - Vol. 38. - No. 4. - P. 39-46.

4. Kolesnichenko I., Khripchenko S. Surface instability of the plane layer of conducting liquid // Magnetohydrodynamics. - 2003. - Vol. 39. - No. 3-4. - P. 427-434.

5. Kolesnichenko I., Khripchenko S., Buchenau D., Gerbeth G. Flow in a square layer of conducting liquid // Magnetohydrodynamics. - 2005. -Vol. 41. - No. 1. - P. 39-51.

6. S. Denisov, V. Dolgikh, S. Khriphenko and I. Kolesnichenko. Electrovor-tex mechanism of appearance of pumping effect in MHD-channel // 5-th International Conference on Fundamental and Applied MHD «PAMIR». Proceedings, Ramatuelle (France). - 2002. - P. 11-125-131.

7. V. Agalakov, N. Agalakova, S. Denisov, V. Dolgikh, S. Khripchenko, I. Kolesnichenko, O. Rubel Submersible Windingless Conductive Pump // 4-th International Conference «Electromagnetic processing of materials». Proceedings, Lyon (France). - 2003. - P. 327-332.

8. Колесниченко И.В., Сухановский А.Н. МГД-сепаратор для очистки жидких металлов // Всеросс. семинар «Состояние и проблемы производства магния и магниевых сплавов в России». Сб. трудов, Березники. - 2002. - С. 154-166.

Разделение труда с соавторами.

В работах [2]—[8] (здесь приводятся ссылки на работы из приведенного выше списка) разработка математической модели и обсуждение результатов было выполнено автором совместно с С.Ю. Хрипченко. Численная реализация и все расчеты были проведены автором. В работе [5] автором разработана экспериментальная установка и проведены на ней эксперименты совместно с D. Buchenau (Д. Бухенау). В обсуждениях результатов работы [5] также принимал участие G. Ger-beth (Г. Гербет). В работах [3], [6], [7] результаты экспериментальных исследований МГД-насосов получены совместно с С.Ю. Хрипченко, В.М. Долгих и С.А. Денисовым, а автором получены результаты численных исследований. В работах [1] и [8] разработка принципиальной схемы устройства и математической модели были проведены автором совместно с С.Ю. Хрипченко и А.Н. Сухановским. Автором проведено численное исследование модели и проектирование экспериментальной установки. Изготовление установки и эксперименты были проведены автором совместно с А.Н. Сухановским.

1. Обзор литературы

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Колесниченко, Илья Владимирович

4.3. Выводы по главе

Проведены исследования работы безобмоточных электровихревых МГД-насосов. В МГД-каналах таких насосов присутствует как ЭВТ, так и генерируемое ими транзитное течение осуществляемое при помощи центробежной силы. Даны рекомендации по конфигурации МГД-канала, обеспечивающей наилучшие расходно-напорные характеристики, то есть наилучшую производительность для насоса данного типа. Обнаружено, что для данного вида устройства изменение наклона сердечника, увеличение размера канала, увеличение толщины слоя снижает производительность устройства при одних и тех же заданных технических параметрах и наоборот. Форма канала в плоскости также существенно влияет на производительность, в частности, для центробежного насоса канал спиралевидной формы работает лучше, чем круглой формы. Путем численных расчетов были найдены наиболее приемлемые (с инженерной точки зрения) соотношения размеров, наклон сердечника, а также форма канала в плоскости. Также проведено сравнение теоретических расчетов с экспериментальными данными, полученными на гидравлическом галлиевом контуре ИМСС УрО РАН для МГД-насосов некоторых конфигураций, которое показало их хорошее согласие. С помощью теоретического исследования расходно-напорных режимов была выяснена причина наблюдаемой задержки работы МГД-насосов на предприятиях после подключения электрического тока.

Проведено исследование воздействия электромагнитных сил в МГД-канале при наличии в проводящей жидкости слабопроводящих включений (МГД-сепарация). На основе опыта изучения процессов в МГД-каналах разработана конструкция устройства, которое содержит специальный сменный контейнер, осуществляющий как очистку (при этом он собирал в себя частицы), так и перекачивание металла через себя. В процессе сепарации на слабопроводящие частицы воздействует Архимедова сила, которая образуется из-за того, что в МГД-канале электромагнитные силы действуют на жидкий металл гораздо сильнее. Проведено теоретическое исследование работы как контейнера, так и устройства в целом, которое показало возможность эффективной очистки металла. В эксперименте на МГД-сепараторе осуществлялась очистка оловянного-свинцового сплава от внедренных в него слабопроводящих включений из копели. Установка представляла собой емкость для расплавленного металла и присоединенный к ней замкнутый металлопровод, в котором индукционным образом создавался электрический ток. Контейнер вставлялся в специальный канал и осуществлял перекачивание металла и сепарацию. В ходе процесса осуществлялись периодические заборы проб расплавленного металла. Анализ проб показал, что во время работы данного устройства концентрация слабопроводящих включений уменьшается, причем процесс очистки при медленных скоростях транзитного течения происходит эффективнее чем при быстрых. Скорее всего, это связано с двумя причинами: во-первых, при медленном течении сквозь МГД-канал большее число частиц имеют вероятность остаться в сепараторе, а во-вторых, медленный поток в меньшей степени смывает прилипшие к стенкам частицы.

Заключение

1. Разработана математическая модель, основанная на системе МГД-уравнений в рамках безындукционного приближения и приближения плоского слоя. Модель описывает ламинарные и турбулентные течения в плоском слое проводящей жидкости как со свободной, так и с закрытой верхней поверхностью. Также она описывает распределение постоянного и переменного электрического тока и магнитного поля в МГД-слое, который находится в зазоре между ферромагнитными массивами. Модель позволяет исследовать задачи с наличием в слое транзитного течения, созданного внешним источником.

2. Исследовано поле скорости ЭВТ в МГД-слое с закрытой верхней поверхностью. Проведено, параллельно с теоретическим, экспериментальное изучение поля скорости в слое с помощью ультразвукового доплеровского анемометра для ЭВТ с разным количеством вихрей. Подтверждена адекватность упомянутой выше математической модели. Теоретически и экспериментально обнаружено, что одновихревое ЭВТ устойчиво, а двухвихревое -неустойчиво.

3. Проведено теоретическое и экспериментальное исследование устойчивости равновесного состояния МГД-слоя со свободной поверхностью и найдены нейтральные кривые. Обнаружена возможность появление незатухающих колебаний свободной поверхности пороговым образом. В ходе данного процесса одно-и двухвихревые ЭВТ совершают колебания, а четырехвихревые ЭВТ разрушаются с образованием структуры с одним крупным и двумя мелкими осциллирующими вихрями.

4. Теоретически исследованы механизмы генерации перепада давления и транзитного течения в МГД-каналах: наклонение ферромагнитного сердечника, добавление барьеров в канал, изменение формы каналов. Теоретически исследован «скин-слойный» механизм генерации перепада давления в длинном тонком МГД-канале с жидким металлом. Показано, что при увеличении частоты переменного тока перепад давления возрастает.

5. Экспериментально исследован процесс взаимодействия транзитного течения и ЭВТ в длинном прямом МГД-канале. Показано, что в исследуемом интервале значений силы тока, ЭВТ оказывает сопротивление транзитному течению. Сопротивление нарастает с увеличением количества вихрей, т.е. количества генерирующих их сердечников. Конфигурации с двухвихревыми ЭВТ оказывали большее сопротивление, чем с четырехвихревыми ЭВТ.

6. Проведен комплекс теоретических исследований процессов в каналах кондукционных безобмоточных электровихревых МГД-насосов, в которых присутствует как ЭВТ, так и транзитное течение. Путем численных расчетов были найдены наилучшие конфигурации МГД-каналов данного устройства. Сравнение теоретических результатов и результатов экспериментов, проведенных на гидравлическом галлиевом контуре, показало, что они хорошо согласуются.

7. На основе опыта изучения процессов в МГД-каналах разработана конструкция устройства для очистки расплавленных металлов от слабопроводящих включений. Проведено теоретическое исследование, показывающие возможность эффективной очистки жидкого металла в МГД-сепараторе данной конструкции. Экспериментальные результаты по очистке оловянно-свинцового сплава от внедренных в него слабопроводящих включений из копели показали, что во время работы МГД-сепаратора концентрация слабопроводящих включений уменьшается, причем процесс очистки при медленных скоростях транзитного течения происходит эффективнее, чем при быстрых.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колесниченко, Илья Владимирович, 2005 год

1. Хрипченко С.Ю. Электровихревые течения в тонких слоях проводящей жидкости // Магнитная гидродинамика. - 1991. -Т. 27. - № 1. - С. 126-129.

2. Хрипченко С.Ю. Границы применимости безындукционного приближения для электровихревых течений в плоском канале между ферромагнитными сердечниками // Магнитная гидродинамика. -1981. Т. 17. - № 4. - С. 137-139.

3. Баранников В.А., Хрипченко С.Ю. Электровихревые течения в плоском закрытом канале // Магнитная гидродинамика. 1981. - Т. 17. - № 2. - С. 137-139.

4. Шишко А.Я. Волновые процессы на поверхности магнитогидродинамически облегченной жидкости / / Магнитная гидродинамика. 1992. - т. 28. - № 4. - С. 56-64.

5. Kolesnichenko I., Khripchenko S. MHD-instability of an equilibrium state of a thin conductive liquid layer surface // Magnetohydrodynamics. -2001. Vol. 37. - No. 4. - P. 367-372.

6. Колесниченко В.И., Хрипченко С.Ю. Колебания поверхности жидкого катодного алюминия в электролизере // Магнитная гидродинамика. 1989. - Т. 25. - № 3. - С. 125-127.

7. Зимин В.Д., Хрипченко С.Ю. Представление уравнений магнитной гидродинамики в двухмерном виде для течений в плоских каналах с ферромагнитными сердечниками // Магнитная гидродинамика. -1979. Т. 15. - № 4. - С. 117-122.

8. Баранников В.А., Зимин В.Д. Неустойчивость покоя изотермической проводящей жидкости в щели ферромагнитного массива припротекании электрического тока // Магнитная гидродинамика. -1982. Т. 18. - № 3. - С. 141.

9. Баранников В.А., Хрипченко С.Ю. О механизме возникновения транзитного течения в МГД-канале при протекании по нему электрического тока // Магнитная гидродинамика. 1981. - Т. 17.- № 1. С. 132-135.

10. Любимов Д.В., Путин Г.Д., Чернатынский В.И. О конвективных движениях в ячейке Хеле-Шоу // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 235.- № 3. С. 554-556.

11. Бондаренко Н.Ф., Гак М.З., Должанский Ф.В. Лабораторная и теоретическая модель плоского периодического течения // Изв. АН СССР. ФАО. 1979. - Т. 15. - № 10. - С. 1017-1026.

12. Довженко В.А., Новиков Ю.В., Обухов A.M. Моделирование процесса генерации вихрей в аксиально-симметричном азимутальном поле магнитогидродинамическим методом // Изв. АН СССР. ФАО. 1979.- Т. 15. № 11. - С. 1199-1202.

13. Гак М.З. Лабораторное исследование автоколебаний в системе четырех вихрей // Изв. АН СССР. ФАО. 1981. - Т. 17. - № 2. -С. 201-205.

14. Плешанова Л.А. Автоколебания в системе четырех вихрей // Изв. АН СССР. ФАО. 1982. - Т. 18. - № 4. - С. 339-348.

15. Кирко И.М., Альмухаметов В.Ф., Хрипченко С.Ю. Физическое моделирование неустойчивого состояния границы раздела электролит-металл в мощных алюминиевых электролизерах / / Докл. АН СССР. 1988. - Т. 302. - № 4. - С. 845-847.

16. Колесниченко И.В., Халилов Р.И., Хрипченко С.Ю. Магнито-вихревое течение в плоском прямоугольном слое проводящей жидкости // Гидродинамика: Межвуз. сб. науч. трудов. Пермский университет. Пермь. 2004. - Вып. 14. - С. 120-129.

17. Фрик П.Г. Турбулентность: подходы и модели. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 292 с.

18. Хрипченко С.Ю. Генерация крупномасштабных вихревых структур в плоском слое мелкомаштабной спиральной турбулентностью // Магнитная гидродинамика. 1991. - Т. 27. - № 4. - С. 77-83.

19. Sommeria J. Experimental Study of the Two-Dimensional Inverse Energy Cascade in a Square Box // J. Fluid Mechanics. 1986. - Vol. 170. - P. 139-168.

20. Денисов С.А., Долгих B.M., Манн M.E., Хрипченко С.Ю. Электровихревой способ генерации транзитного течения через плоский МГД-канал // Магнитная гидродинамика. 1999. - Т. 35. -№ 1. - С. 69-77.

21. Denisov S., Dolgikh V., Khriphenko S., Kolesnichenko I. Electrovortex mechanism of appearance of pumping effect in MHD-channel // Proc. of 5th International conference on fundamental and applied MHD, Ramatuelle (France). 2002. - P. 11-125-131.

22. Хрипченко С.Ю. Электровихревое течение в плоских каналах с ферромагнитными сердечниками // Магнитная гидродинамика. -1984. Т. 30. - № 3. - С. 71-75.

23. Фрейберг Я.Ж., Щербинин Э.В. Осесимметричное электровихревое течение в гофрированной трубе // Магнитная гидродинамика. 1977. - Т. 13. - № 4. - С. 46-54.

24. Фрейберг Я. Ж. Транзитное электровихревое течение в гофрированной трубе с продольным током / / Магнитная гидродинамика. 1978. - Т. 14. - № 2. - С. 27-31.

25. Миллере Р., Фрейберг Я.Ж. Влияние периодического электровихревого течения на ламинарный поток в трубе // Магнитная гидродинамика. 1980. - Т. 16. - К® 2. - С. 52-56.

26. Миллере Р., Сулейманов Р., Щербинин Э.В. Периодическое электровихревого течение в трубе с переменной электропроводностьюстенки // Магнитная гидродинамика. 1988. - Т. 24. - № 2. - С. 11-16.

27. Weier Т., Fey U., Gerbeth G., Mutschke G., Lielausis O. and Platacis E. Boundary layer control by means of wall, parallel Lorentz forces // Magnetohydrodynamics. 2001. - Vol. 37. - No. 1/2. - P. 177-186.

28. Бояревич В.В., Фрейберг Я.Ж., Шилова Е.И., Щербинин Э.В.Электровихревые течения. / Под ред. Щербинина Э.В. — Рига: Зинатне, 1985. — 315 с.

29. Гельфгат Ю.М., Лиелаусис О.А., Щербинин Э.В. Жидкий металл под действием электромагнитных сил. — Рига: Зинатне, 1975. — 249 с.

30. Denisov S., Dolgih V., Khripchenko S. Electrovortex flow in flat channel // Thes. MTLM Int. Workshop. 1999. - P. 291-295.

31. Колесниченко В.И., Хрипченко С.Ю. Вихревое движение жидкости в плоском слое со свободной поверхностью / / Магнитная гидродинамика. 1993. - Т. 29. - № 2. - С. 76-80.

32. Хрипченко С.Ю., Манн М.Э. Полуэмпирическая модель гидродинамических процессов в ванне алюминиевого электролизера // Магнитная гидродинамика. 1992. - № 1. - С. 87-95.

33. Kolesnichenko I., Khripchenko S. Surface instability of the plane layer of conducting liquid // Magnetohydrodynamics. 2003. - Vol. 39. - No. 3-4. - P. 427-434.

34. Kolesnichenko I., Khripchenko S. Mathematical simulation of hydrody-namical processes in the centrifugal MHD-pump // Magnetohydrodynamics. 2001. - Vol. 38. - No. 4. - P. 39-46.

35. Альмухаметов В., Колесниченко В.И, Хрипченко С.Ю. Математическая модель плоских электровихревых течений в двухслойной проводящей жидкости // Магнитная гидродинамика. -1988. Т. 24. - X® 2. - С. 137-141.

36. Колесниченко В.И., Хрипченко С.Ю. Экспериментальное исследование вихревых движений жидкости в плоской замкнутойполости. // Магнитная гидродинамика. 1989. - Т. 25. - № 2. - С. 69-72.

37. Kolesnichenko I., Khripchenko S., Buchenau D., Gerbeth G. Flow in a square layer of conducting liquid // Magnetohydrodynamics. 2005. -Vol. 41. - No. 1.

38. Брановер Г.Г., Цинобер А.Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред. — М.: Наука, 1970. — 380 с.

39. Платниекс И.Использование метода нагретой нити в исследованиях характеристик жидкометаллических потоков // Магнитная гидродинамика. 1994 - Т. 30. - № 2. - С. 237-246.

40. Eckert S., Gerbeth G. Velocity measurements in liquid sodium by means of UDV // Experiments in fluids. 2002. - Vol. 32. - P. 542-546.

41. Eckert S., Gerbeth G., Melnikov V. Velocity measurements at high temperatures by UDV using an acoustic wave-guide // Experiments in fluids. 2003. - Vol. 35. - P. 381-388.

42. Nowak M. Wall shear stress measurement in a turbulent pipe flow using UDV // Experiments in fluids. 2002. - Vol. 33. - P. 249-255.

43. Brito D., Nataf H.-C., Cardin P., Auber J., Masson J.-P. UDV in liquid gallium // Experiments in fluids. 2001. - V. 31. - P. 653-663.

44. Баранов Г.А., Глухих В.А., Кириллов И.Р. Расчет и проектирование индукционных МГД-машин с жидкометаллическим рабочим телом. -М.: Атомиздат, 1978. 248 с.

45. Гайлитис А. Электрическая стабилизация азимутальной моды в больших индукционных насосах // Магнитная гидродинамика. 1993.- Т. 29. № 4. - С. 3-7.

46. Виллани Д., Пуансо С. Явления неустойчивости и концевых эффектов, встречающихся при разработке больших электромагнитных насосов // Магнитная гидродинамика. 1993. -Т. 29. - № 4. - С. 8-14.

47. Смолин Г.К., Степанов В.Г. Двухфазный электромагнитный насос для перекачивания магния // «Применение магнитной гидродинамики в металлургии». Сб. статей. Свердловск, 1977. - С. 19-15.

48. Смолин Г.К., Степанов В.Г. Однофазный насос трансформаторного типа с дисковым каналом // Магнитная гидродинамика. 1993. - Т. 8. - № 4. - С. 103-108.

49. Bucenieks I., Sukhovich Е., Shcherbinin Е. Centrifugal pump basing on rotating permanent magnets // Magnetohydrodynamics. 2000. - Vol. 36. - No. 2. - P. 189-196.

50. Горбунов В.А., Колесников Ю.Б., Колоколов B.E., Поляков Н.Н., Фролов В.В. Экспериментальное исследование характеристикмакета центробежного кондукционного МГД-насоса // Магнитная гидродинамика. 1984. - Т. 20. - Л*1. - С. 134-137.

51. Горбунов В.А., Клюкин A.M., Колесников Ю.Б., Колоколов В.Е. Влияние проводимости торцевых стенок на характеристики центробежного кондукционного МГД-насоса. 1. Эксперимент // Магнитная гидродинамика. 1984. - Т. 20. - № 4. - С. 105-108.

52. Горбунов В.А., Колоколов В.Е. Влияние проводимости торцевых стенок на характеристики центробежного кондукционного МГД-насоса. 2. Теория // Магнитная гидродинамика. 1985. - Т. 21. -№ 1. - С. 106-114.

53. Горбунов В. А., Колоколов В.Е. Расчет р((^))-характеристик центробежного кондукционного МГД-насоса // Магнитная гидродинамика. 1986. - Т. 22. - № 2. - С. 139-142.

54. Муйжниекс А., Якович А. Численное исследование МГД-течений в кондукционном центробежном насосе на основе осесимметричной математической модели. 1. Модель и методика расчета // Магнитная гидродинамика. 1985. - Т. 21. - № 4. - С. 117-121.

55. Муйжниекс А., Якович А. Методика приближенного расчета характеристик кондукционного центробежного МГД-насоса в режиме с нулевым расходом // Магнитная гидродинамика. 1986. - Т. 22. -№ 4. - С. 102-106.

56. Муйжниекс А., Якович А. Приближенный расчет пограничного слоя вращающихся замкнутых магнитогидродинамических течений // Магнитная гидродинамика. 1991. - Т. 27. - № 3. - С. 87-92.

57. Муйжниекс А., Якович А. Математическое моделирование МГД-течения и характеристики центробежных кондукционных насосов // Магнитная гидродинамика. 1993. - Т. 29. - № 4. - С. 52-60.

58. Демин Г.А., Сабадырь Н.П., Королев В.И. Экспериментальное исследование центробежного кондукционного насоса переменного тока // «Применение магнитной гидродинамики в металлургии». Сб. статей. Свердловск. 1977. - С. 50-53.

59. Кабаков Г.И. Авт. свид. № 189688. Бюлл.изобрет., 1966, 24.

60. Бирзвалк Ю.А. Основы теории и расчета кондукционных МГД-насосов постоянного тока. Рига: Зинатне, 1968.

61. Микельсон А.Э., Мищенко В.Д. Кондукционный насос для магния // Магнитная гидродинамика. 1971. - Т. 7. - № 3. С. 125-130.

62. Повх И.Л., Капуста А.В., Чекин Б.В. Магнитная гидродинамика в металлургии. М.: Металлургия, 1974. - 240 с.

63. Вяткин И.П., Столбова А.Д., Мушков С.В. Опыт применения кондукционных МГД-насосов переменного тока в магниевой промышленности // Магнитная гидродинамика. 1975. - Т. 11. - № 2. - С. 151-153.

64. Васенин В.И., Ковалев Ю.Г., Мельников B.C. Кондукционный МГД-насос для получения отливок из титановых сплавов // Магнитная гидродинамика. 1977. - Т. 13. - № 1. - С. 139-140.

65. Надежников Н.М., Крауя В.М., Янкоп Э.К. Кондукционный МГД-насос переменного тока для черных металлов // Магнитная гидродинамика. 1979. - Т. 15. - № 1. - С. 121-126.

66. Хрипченко С.Ю. Влияние проводящих стенок канала на работу электромагнитных кондукционных насосов / / «Применение магнитной гидродинамики в металлургии». Сб. статей. Свердловск, 1977. - С. 32-34.

67. Хрипченко С.Ю. Некоторые вариации принципа электромагнитного насоса рассеянного поля // «Применение магнитной гидродинамики в металлургии». Сб. статей. Свердловск, 1977. - С. 35-39.

68. Вяткин И.П., Ермаков А.С., Калинин П.А., Столбова А.Д., Хрипченко С.Ю., Пепеляева Г.А. Кондукционный электромагнитный насос рассеянного поля «тандем» / / «Применение магнитной гидродинамики в металлургии». Сб. статей. Свердловск, 1977. - С. 44-45.

69. Долгих В.М., Манн М.Е. Расчет гидродинамических харктеристик кондукционного спирального магнитогидродинамического насоса // Магнитная гидродинамика. 1998. - Т. 34. - № 3. - С. 295-303.

70. Капуста А.Б., Чекин Б.В., Щелухин Е.М. Способ индукционного ввода переменного тока в каналы с высокотемпературными расплавами. Авт. свид. № 1055029/24-7. Бюлл.изобрет., 1968, 34.

71. Ветюков М.М., Цыплаков A.M., Школьников С.Н. Электрометаллургия алюминия и магния: Учебник для вузов. М.: Металлургия, 1987. - 320 с.

72. Снейд А. Д., Ванг А. МГД-неустойчивости в алюминиевых электролизерах // Магнитная гидродинамика. 1996. - № 4. -С. 487-493.

73. Бояревич В. Математическая модель МГД-процессов в алюминиевом электролизере // Магнитная гидродинамика. 1987. - № 1. - С. 107111.

74. Проворова О.Г., Пингин В.В., Овчинников В.В., Пискажова Т.В. Горин Д.А. Математические модели физических полей в ваннахалюминиевого электролизера // Магнитная гидродинамика. 1998.- № 4. С. 375-385.

75. Н. Salas, S. Cuevas and Е. Ramos Electrically driven vortices in a dipolar magnetic field // Magnetohydrodynamics. 2001. - Vol. 37. - P. 38-44.

76. Кирко И.М., Самойлович Ю.А., Долгих B.M., Хрипченко С.Ю., Ясницкий JI.H. Электровихревой способ перемешивания расплава затвердевающих слитков // Магнитная гидродинамика. 1985. - № 3.- С. 100-107.

77. Зеленецкий А.Б., Хрипченко С.Ю., Цаплин А.И. Моделирование кристаллизации в плоском слое при электромагнитном перемешивании // Магнитная гидродинамика. 1992. - № 1. -С. 96-100.

78. Takatani К. Effect of electromagnetic field on fluid flow, heat transfer and inclusion behavior in continuous casting process // Magnetohydrodynamics. 1996. - Vol. 32. - No. 2. - P. 153-158.

79. Tanaka Y., Sassa K., Iwai K. and Asai S. Separation of inclusions in molten metal using linear induction motor // Magnetohydrodynamics. 1997. -Vol. 33. - No. 2. - P. 238-243.

80. Park J. P., Tanaka Y., Sassa K. and Asai S. Elimination of tramp elements in molten metal using electromagnetic force // Magnetohydrodynamics.- 1996. Vol. 32. - No. 2. - P. 244-250.

81. Miki Y., Fujii Т., Kitaoka H., Saito S. and Komamura K. Development of the centrifugal flow tundish for separation of inclusions from molten steel in continuous casting // Magnetohydrodynamics. 1997. - Vol. 33. - No. 4. - P. 450-456.

82. Бирих P.B., Брискман В.А., Рудаков В.К. МГД-сепарация во вращающемся магнитном поле / / «Применение магнитной гидродинамики в металлургии». Сб. статей. Свердловск, 1977.- Р. 16-18.

83. Верте Jl.А. Способ обработки жидкого металла. Авт. свид. № 599092/22. Бюлл.изобрет., 1961, 19.

84. Полищук В.П., Цин М.Р., Борзова Л.В. Устройство для очистки жидкого металла от нематаллических включений. Авт. свид. № 843971/22-2. Бюлл.изобрет., 1964, 10.

85. Смолин Я.Г. и др. Магнитогидродинамический сепаратор. Авт. свид. № 4287363/23-03. Бюлл.изобрет., 1989, 8.

86. Кабаков Г.И., Мищенко В.Д., Макаров Г.С., Логинов Л.А. Устройство для очистки жидкого металла от нематаллических включений. Авт. свид. № 1124832/22-1. Бюлл.изобрет., 1969, 23.

87. Небренчин A.M. Магнитогидродинамический сепаратор. Авт. свид. № 1106403/22-3. Бюлл.изобрет., 1969, 17.

88. Хрипченко С.Ю., Колесниченко И.В., Сухановский А.Н. Устройство для очистки расплавленного металла от неметаллических включений. Патент РФ № 2198231 Бюлл.изобрет., 2003.

89. Колесниченко И.В., Сухановский А.Н. МГД-сепаратор для очистки жидких металлов // Всеросс. семинар «Состояние и проблемы производства магния и магниевых сплавов в России». Сб. трудов. -Березники, 2002. С. 154-166.

90. Sawai Т. and El-Kaddah N. Kinetics of inclusion removal in electromag-netically driven recirculating flows // Magnetohydrodynamics. 1996. -Vol. 32. - No. 2. - P. 232-239.

91. Taniguchi S. and Brimacombe J. K. Separation of nonmetallic inclusions from liquid metal by pinch force // Magnetohydrodynamics. 1996. - Vol. 32. - No. 2. - P. 158-164.

92. Кирко И.М. МГД-машина как сепаратор для непроводящих включений в жидком металле // Сб. статей «Применение магнитной гидродинамики в металлургии». Свердловск. 1977. - С. 3-15.

93. Коровин В.М. Вычисление сил, действующих на взвешенные частицы при течении проводящей жидкости в переменном магнитном поле // Магнитная гидродинамика. 1991. - Т. 27. - JV* 1. С. 95-103.

94. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М.: Машиностроение, 1975. - 559 с.

95. Wilcox. D.C. Turbulence modeling for CFD. DCW Industries, Inc. La Canada, California, 1993. - 460 p.

96. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. - 616 с.

97. Тарунин E.JI. Числнные эксперименты в задачах свободной конвекции. Иркутск: Издательство Иркутского университета, 1990. - 228 с.

98. Пейре Р., Тэйлор Т. Численные методы в задачах механики жидкости. / пер. с англ. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1986. - 350 с.

99. Cramer A., Zhang С., Eckert S. Local flow structures in liquid metals measured by ultrasonic Doppler velocimetry. // Flow Meas. Instr. 2004. - Vol. 15. - P. 145-153.

100. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973. - 832 с.

101. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. - 840 с.

102. Richards C.W., Crane С.М. Pressure marching schemes that work. // Int. J. for numer. methods in eng. 1980. - Vol. 15. - P. 599-610.

103. Белоцерковский O.M. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. - 519 с.

104. Грязнов В.Л., Полежаев В.И. Исследование некоторых разностных схем аппроксимации граничных условий для численного решения уравнений тепловой конвекции // Препринт ИПМ АН СССР. М., 1978. - № 40. - 84 с.

105. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980. - 352 с.

106. Хрипченко С.Ю. Течние проводящей жидкости в плоских каналах в щели между ферромагнитными границами. Кандидатская диссертация. Пермь, 1981. - 197 с.