Численное моделирование гидродинамики и теплообмена жидких металлов в горизонтальных каналах применительно к ядерным энергоустановкам нового поколения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат наук Огнерубов, Дмитрий Анатольевич

• Огнерубов, Дмитрий Анатольевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Огнерубов, Дмитрий Анатольевич

Введение...........................................................6

1 Современное состояние вопроса...................................19

1.1 Основные безразмерные критерии..............................19

1.2 Особенности гидродинамики и теплообмена потока жидкого металла в

круглой трубе...................................................25

1.2.1 Гидродинамика и теплообмен потока жидкого металла в круглой трубе

без учета влияния массовых сил................................26

1.2.2 Влияние свободной конвекции на гидродинамику и теплообмен потока

жидкого металла в круглой горизонтальной трубе................28

1.2.3 Влияние поперечного магнитного поля на гидродинамику и теплообмен потока жидкого металла в круглой трубе без учета свободной конвекции .... 38

1.2.4 Совместное влияние поперечного магнитного поля и свободной конвекции на гидродинамику и теплообмен потока жидкого металла в канале 46

1.2.5 Влияние эффектов неоднородности магнитного поля на границах электромагнита на гидродинамику и теплообмен потока жидкого металла в

круглой трубе..................................................... 48

1.2.6 Выводы по разделу 1.2.......................................60

1.3 Современные методы численного моделирования гидродинамики и

теплообмена......................................................62

1.3.1 Математическое описание задачи вычислительной гидродинамики.62

1.3.2 Моделирование ламинарного режима течения.................65

1.3.3 Моделирование турбулентного режима течения...............66

1.3.4 Обзор современных кодов для численного моделирования

гидродинамики и теплообмена....................................75

1.3.5 Выводы по разделу 1.3....................................77

1.4 Выводы по Главе 1........................................... 78

2 Тестирование расчетного кода DNS.................................79

2.1 Описание DNS кода............................................79

3

2.1.1 Численная модель..........................................79

2.1.2 Геометрическая модель.....................................83

2.1.3 Граничные условия.........................................84

2.1.4 Расчетная сетка. Исследование сеточной сходимости.........87

2.2 Результаты тестирования DNS кода..............................88

2.2.1 Верификация модуля расчета гидродинамики..................88

2.2.2 Верификация модуля расчета теплообмена....................91

2.2.3 Верификация модуля учета влияния свободной конвекции......94

2.2.4 Верификация модуля учета влияния магнитного поля..........96

2.2.5 Валидация DNS кода для задачи совместного влияния термогравитационной конвекции и сильного поперечного магнитного поля 99

2.2.6 Итоги тестирования DNS кода..............................107

2.3 Программное и аппаратное обеспечение.........................108

2.3.1 Среда программирования для DNS кода......................108

2.3.2 Вычислительный сервер....................................108

2.3.3 Постпроцессор............................................109

2.4 Выводы по Главе 2............................................110

3 Исследование влияния свободной конвекции на теплообмен при течении жидкого металла в круглой горизонтальной трубе.....................111

3.1 Постановка задачи............................................112

3.1.1 Постановка задачи для метода DNS применительно к задаче

исследования влияния свободной конвекции на теплообмен.........112

3.1.2 Постановка задачи для метода RANS (ANSYS Fluent) применительно к

задаче исследования влияния свободной конвекции на теплообмен..114

3.2 Параметры расчетной сетки для задачи в DNS постановке........117

3.3 Параметры расчетной сетки для задачи в RANS постановке. Исследование

сеточной сходимости для RANS метода..............................118

3.4 Результаты численного моделирования..........................122

3.4.1 Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления от чисел

Грасгофа (Gr) и Рейнольдса (Re)................................122

4

3.4.2 Зависимость безразмерного коэффициента теплоотдачи (Nu) от чисел

Грасгофа (Gr) и Рейнольдса (Re)................................125

3.4.3 Граница начала влияния свободной конвекции на теплообмен..127

3.4.4 Влияние свободной конвекции на интенсивность пульсаций

температуры, скорости, давления.................................132

3.5 Выводы по Главе 3.............................................136

4 Исследование совместного влияния поперечного магнитного поля и свободной

конвекции на гидродинамику, теплообмен и структуру потока жидкого металла в

круглой горизонтальной трубе.........................................138

4.1 Постановка задачи..............................................140

4.2 Результаты численного моделирования. Исследование структуры

изотермического потока жидкого металла под воздействием поперечного магнитного поля....................................................143

4.3 Результаты численного моделиров ания. Исследование структуры потока жидкого металла под воздействием поперечного магнитного поля при обогреве

нижней половины трубы...........................................148

4.3.1 Исследование гидродинамики и теплообмена................148

4.3.2 Исследование электромагнитных величин...................160

4.4 Анализ результатов моделирования и оценка структуры вторичных течений в круглой горизонтальной трубе под воздействием поперечного магнитного

поля и свободной конвекции....................................166

4.5 Выводы по Главе 4.........................................169

5 Исследование влияния неоднородного поперечного магнитного поля на границах электромагнита на гидродинамику и теплообмен потока жидкого металла в круглой горизонтальной трубе................................171

5.1 Постановка задачи...............................................173

5.2 Результаты численного моделирования. Исследование влияния

неоднородного поперечного магнитного поля на гидродинамику изотермического потока жидкого металла..............................177

5.3 Результаты численного моделирования. Исследование влияния

5

неоднородного поперечного магнитного поля на гидродинамику и теплообмен

потока жидкого металла с учетом влияния свободной конвекции.187

5.3.1 Результаты моделирования для варианта с равномерным обогревом

стенки трубы...................................................187

5.3.2 Результаты моделирования для варианта с равномерным обогревом

нижней половины трубы..........................................195

5.4 Выводы по Главе 5............................................202

Заключение.........................................................205

Список используемых сокращений.....................................207

Список условных обозначений........................................208

Список литературы..................................................212

Приложение А Блок-схема DNS кода...................................222

Приложение Б Исследование сеточной сходимости DNS кода....224

6

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время в мировой ядерной энергетике преимущественно используются ядерные реакторы на тепловых нейтронах. Основным топливом для данного вида устройств (в случае, если реализован уран -плутониевый топливный цикл) является изотоп урана - 235U. Так как процентное содержание 235U на Земле не велико и составляет примерно 0,72% [1] относительно всего природного урана, при текущих разведанных запасах и скорости потребления его запасов хватит приблизительно на 100 лет.

Уже сейчас мировая общественность задумывается по поводу ограниченности традиционных ядерных энергоресурсов на планете, что является основной причиной разработок ядерных энергоустановок нового поколения, которые позволят продлить срок эксплуатации ядерной энергетики на сотни и даже тысячи лет. Наиболее перспективным, практически реализуемым и экономически эффективным способом выработки энергии с использованием ядерного источника является использование реакторов на быстрых нейтронах, так называемых реакторов-размножителей или реакторов-бридеров, в которых реализуется уран-плутониевый топливный цикл. В качестве основного топлива в реакторах данного типа используется U, запасы которого на два порядка превосходят запасы 235U, значительные количества которого уже добыты и хранятся в отвалах обогатительных заводов, что должно решить проблемы нехватки ядерных энергоресурсов на тысячи лет вперед. При этом некоторые виды подобного типа реакторов, например БРЕСТ-ОД-300, обладают естественной безопасностью [2], которая исключает возникновение тяжелых ядерных аварий.

Не менее перспективным видом ядерных реакторов являются реакторы, которые используют реакцию термоядерного синтеза для выработки энергии. В настоящее время в мире построено значительное количество исследовательских термоядерных реакторов. В России получили распространение термоядерные реакторы типа ТОКАМАК, был создан сферический термоядерный реактор

7

(Глобус-М). В данный момент в Кадараше (Франция) строится международный экспериментальный термоядерный реактор (ITER), который относится к термоядерным реакторам типа ТОКАМАК нового поколения.

У термоядерных реакторов есть значительные преимущества над реакторами, основанными на расщеплении ядерного топлива.

1. Во время работы реактора в активной зоне поддерживается низкое количество топлива, что исключает аварии с серьезными последствиями для окружающей среды.

2. Термоядерные реакторы можно использовать в качестве источника нейтронов (ТИН) [3], [4]. В реакторах типа ТИН можно нарабатывать ядерное топливо для атомных электростанций (АЭС) на тепловых нейтронах путем вовлечения в процесс энергопроизводств а U и Th; путем дожигания отработанного ядерного топлива (ОЯТ) можно снижать активность минорных актиноидов.

Ввиду целого ряда причин в ядерных реакторах на быстрых нейтронах и в термоядерных реакторах в качестве теплоносителя, по крайней мере, в некоторых контурах, используются жидкие металлы. В некоторых концепциях ядерных энергоустановок возможна замена жидких металлов расплавами солей, например фторидами бериллия (BeF2) или фторидами щелочных металлов (LiF, NaF, KF). Как жидкие металлы, так и расплавы солей являются электропров одными теплоносителями.

В промышленных и опытно-демонстрационных реакторах на быстрых нейтронах, характеризующихся высокой тепловой мощностью, например в БН-600, БН-800, СВБР-100, БРЕСТ-ОД-300, в качестве теплоносителя используются жидкие металлы [5], [6].

В термоядерных реакторах типа ТОКАМАК жидкие металлы длительное время считались наиболее перспективным теплоносителем, поскольку они могут обеспечить эффективный отвод тепла от энергонагруженных систем охлаждения первой стенки и дивертора(ов). Так как использование жидких металлов в качестве теплоносителя в термоядерных реакторах связано с рядом трудностей,

8

которые будут описаны ниже, в одном из наиболее современных термоядерных реакторов типа ТОКАМАК, реакторе ITER [7] (см. рисунок i.l), в системах охлаждения преимущественно используется вода под высоким давлением, тогда как жидкие металлы - лишь в некоторых контурах.

Рисунок i.l - Реактор проекта ITER [7]

Одна из возможных и наиболее легко осуществимых реакций термоядерного синтеза, которую планируют использовать в реакторе ITER -дейтериево-тритиевая [8]:

+ ^ + 17,58 МэВ

Один из основных вопросов в ядерной и термоядерной энергетике связан с добычей топлива. Если производство дейтерия в промышленных масштабах освоено и не представляет особой сложности при существующих технологиях, то производство трития является дорогим, с низким количеством выхода полезного продукта. Так, в США в период 1955-1995 г. наработано суммарно около 225 кг трития, из-за распада и использования к 1995 г. от них осталось не более 75 кг [9]. Данного количества недостаточно для выработки энергии в промышленных масштабах.

Существует способ получения трития непосредственно в пределах термоядерного реактора путем бомбардировки атомов лития потоком нейтронов [8]:

+ 4,8 МэВ

9

Именно таким способом планируется нарабатывать исходное топливо (тритий) в термоядерных энергоустановках для самоподдержания термоядерной реакции синтеза. Для отработки данной технологии в нынешней концепции реактора ITER предполагается использование нескольких модулей (Test Blanket

Module, ТВМ, 6 шт., см. рисунок i.2) с жидкометаллическим теплоносителем -

свинцово-литиевой эвтектикой (Pb-Li) [10].

а - конструкция бланкета термоядерного реактора ITER [7];

б - схематичное изображение модуля бланкета US DCLL проекта ITER [10]; в - схематичное изображение модуля бланкета HCLL проекта ITER, конструкция СЕА[10]

Рисунок i.2 - Элементы бланкета проекта ITER

10

Использование жидких металлов связано с рядом трудностей. Помимо токсичности (Pb, Hg), коррозионной активности (Pb), чрезмерной химической активности с водой и воздухом (Li, Na, K) существуют также проблемы, связанные с гидродинамикой и теплообменом, многие из которых в настоящее время не исследованы должным образом, особенно в случае воздействия сильных магнитных полей, что наблюдается в бланкетах термоядерных реакторов.

Все жидкие металлы характеризуются высокой теплопроводностью и относительно низкой вязкостью, т .е. низким числом Прандтля (Pr = ^~10_2).

За счет особенностей жидких металлов, перечисленных выше, появляются дополнительные сложности при проведении экспериментов. Также данный тип жидкостей относится к классу оптически непрозрачных, что не позволяет использовать традиционные оптические (PIV, LDA) методы измерения гидродинамических характеристик потока.

Для жидких металлов, несмотря на многочисленные экспериментальные исследования, до сих пор нет общепринятой зависимости для расчета среднего коэффициента теплоотдачи даже для относительно простой геометрии - круглой трубы [11], [12], [13], [14]. Это связано как с химической активностью теплоносителя, из-за чего может создаваться окисная пленка на поверхностях теплообмена, так и с высоким значением теплопроводности теплоносителя, что приводит к значительной погрешности экспериментальных исследований.

При численном методе исследования данный класс жидкостей, как правило, требует использования особых моделей турбулентного теплообмена, т.к. традиционные модели турбулентности, используемые в инженерной практике (^-s, ^-^, ^-^ SST, RSM [15], [16], [17]), рассчитывают теплообмен в жидких металлах со значительной погрешностью и требуют калибровки под разные типы конфигурации расчетной области и свойства жидкости.

Для данного класса жидкостей требуется особое внимание уделить влиянию свободной (в других терминах - термогравитационной) конвекции, влияние которой применительно к жидким металлам исследовано недостаточно.

Жидкие металлы, как и расплавы солей, электропроводны и, в случае

11

использования в термоядерных реакторах, находятся под воздействием сильных магнитных полей. Исследование гидродинамики и теплообмена потока электропроводной жидкости под воздействием магнитных полей является задачей магнитной гидродинамики (МГД). Известно, что магнитное поле оказывает существенное влияние на гидродинамику и теплообмен [14] и это влияние может иметь сложный характер. Так, несколько лет назад, на экспериментальном МГД-стенде в НИУ «МЭИ» - ОИВТ РАН был обнаружен интересный эффект [18]. При течении ртути в круглой горизонтальной трубе с умеренным подогревом нижней половины стенки наблюдалась картина течения, мало чем отличающаяся от течения воды в круглой горизонтальной трубе - были получены вторичные течения в виде парных конвективных вихрей, оси которых были параллельны оси трубы. Режим течения был турбулентным . При наложении умеренного поперечного магнитного поля с индукцией, соответствующей числу Гартмана Ha=100, турбулентные пульсации в зоне воздействия поперечного магнитного поля были почти полностью подавлены. После увеличения индукции магнитного поля до Ha=300, в потоке жидкого металла появились сильные пульсации температуры большой интенсивности и низкой частоты. Что важно, данные пульсации температуры легко проникали в материал стенки трубы. Осциллограммы пульсаций температуры в ядре потока при разных числах Гартмана приведены на рисунке i.3.

12

Рисунок i.3 - Осциллограммы пульсаций температуры, измеренные в точке с координатами /т<^=0,35, ү=3п/2 (нижняя часть трубы), z/J=37 после начала обогрева. Параметры потока: Re = =10000, Gr = =3,5-107 [18].

Здесь: а - Ha=0, б - Ha=100, в - Ha=300

Описанная выше конфигурация течения жидкого металла в круглой горизонтальной трубе под воздействием поперечного магнитного поля с нижним обогревом трубы соответствует течению теплоносителя в пределах верхнего дивертора термоядерного реактора - для варианта термоядерного реактора с двух нулевой схемой, как например в Alcator C-Mod [19].

В условиях ТОКАМАКа пульсации температур могут привести к значительным циклическим и изгибающим статическим термическим напряжениям в стенке канала вплоть до разрушения стенки.

В данной диссертации приводится исследование влияния свободной конвекции и магнитного поля на гидродинамику и теплообмен потока жидкого металла в круглой горизонтальной трубе. В качестве метода исследования выбран численный метод - метод прямого численного моделирования (DNS - Direct Numerical Simulation).

Диссертация общим объемом 221 страниц состоит из введения, пяти глав, заключения, содержащего основные выводы по работе и списка цитируемых источников. К диссертации прилагается 2 приложения. Список цитируемых источников включает 81 наименование.

13

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации.

В первой главе рассматривается современное состояние вопроса о воздействии свободной конвекции, воздействии поперечного МП совместно с термогравитационной конвекцией, а также влияние неоднородного магнитного поля на гидродинамику и теплообмен при течении жидкого металла (ЖМ) в круглой горизонтальной трубе, приводится математическое описание процессов. Приводится краткая сводка современных методов численного моделирования гидродинамики и теплообмена в присутствии массовых сил. Обосновывается преимущество метода прямого численного моделирования для исследования МГД потока.

Во второй главе приводится описание используемого кода, реализующего метод прямого численного моделирования (DNS). Описывается вычислительный сервер и вспомогательное программное обеспечение. Приводятся результаты тестирования и настройки расчетного кода.

В третьей главе содержатся результаты численного моделирования для определения зависимости коэффициента теплоотдачи от безразмерных критериев (Re, Pr, Gr), а также границы начала влияния свободной конвекции на гидродинамику и теплообмен потока жидкого металла в круглой горизонтальной трубе без учета воздействия магнитного поля, с однородным обогревом стенки.

В четвертой главе приводятся результаты прямого численного моделирования гидродинамики и теплообмена потока жидкого металла в круглой горизонтальной трубе с обогревом нижней половины трубы и воздействием сильного поперечного магнитного поля. Представлены данные о характеристиках МГД-теплообмена в условиях существенного воздействия поперечного магнитного поля и термогравитационной конвекции.

В пятой главе описываются эффекты связанные с воздействием неоднородного поперечного магнитного поля, вызв анного концевыми эффектами электромагнита, на гидродинамику и теплообмен изотермического и неизотермического потока жидкого металла в круглой горизонтальной трубе.

В заключении содержатся основные выводы по работе.

14

Цель и задачи работы

Цель:

Развитие кода, реализующего DNS-метод и проведение численного моделирования МГД-теплообмена жидкого металла применительно к проблеме теплофизического обоснования конструкции теплообменных систем ядерного и термоядерного реакторов нового поколения.

Задачи:

- Исследование и анализ литературы по тематике диссертации.

- Разработка и верификация модели для расчета гидродинамики и теплообмена в потоке электропроводной жидкости в круглой трубе под воздействием массовых сил (электромагнитной силы и силы плавучести) методом прямого численного моделиров ания (DNS).

- Определение зависимости Nu (Re, Pr, Gr) и границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен в потоке жидкого металла (ЖМ) в круглой горизонтальной трубе при однородном обогреве по длине и по периметру стенки.

- Численное моделирование гидродинамики и теплообмена потока электропроводной жидкости в круглой горизонтальной трубе под воздействием неоднородного обогрева нижней половины трубы и сильного поперечного магнитного поля.

- Анализ результатов численного моделирования и определение причин возникновения вторичных течений в виде парных конвективных вихрей, оси которых параллельны вектору магнитной индукции, в потоке электропроводной жидкости под воздействием сильного поперечного магнитного поля при сильном неоднородном обогреве стенки трубы.

- Исследование воздействия неоднородного поперечного магнитного поля на границах электромагнита на гидродинамику и теплообмен потока жидкого металла в круглой трубе.

15

Научная новизна

Методами вычислительной гидродинамики проведены исследования характеристик гидродинамики и теплообмена электропроводной жидкости (жидкого металла) в условиях воздействия магнитного поля и/или термогравитационной конвекции в горизонтальной как обогреваемой, так и необогреваемой трубе. А именно:

1. Впервые проведена оценка границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен в круглой горизонтальной трубе в потоке жидкого металла (ртути) при однородном обогреве стенки при низких значениях чисел Рейнольдса (Re<20000). Для исследованных режимов получены зависимости коэффициента теплоотдачи и коэффициента гидравлического сопротивления вида Nu (Re, Pr, Gr) и (Re, Pr, Gr).

2. Определены условия обогрева стенки круглой горизонтальной трубы, при которых за счет влияния свободной конвекции можно получить снижение коэффициента гидравлического сопротивления до 25 % по сравнению с коэффициентом гидравлического сопротивления необогреваемого канала.

3. При моделировании гидродинамики и теплообмена МГД потока под воздействием поперечного магнитного поля с обогревом нижней половины круглой горизонтальной трубы впервые был определен целый ряд параметров при режимах: Re=9000-10000, Gr=0-3,0-107, Ha=0-1000, Pr=0,025 (ртуть). К этим параметрам относятся мгновенные значения пространственного распределения температуры стенки трубы, а также температуры, давления и скорости в объеме потока теплоносителя. Впервые визуализированы сложные нестационарные процессы, которые наблюдаются в потоке электропроводной жидкости и приводят к реструктуризации вторичных течений в потоке теплоносителя (вызванных свободной конвекцией) под воздействием поперечного магнитного поля. Впервые получены трехмерные поля электрических потенциалов, индуцированных токов и электромагнитных сил для исследованных режимов.

4. В результате анализа структуры течения, распределения электрического

16

потенциала, электрического тока и электромагнитных сил сделан вывод о причине и механизме генерации парных конвективных вихрей в объеме потока теплоносителя, оси которых параллельны вектору магнитной индукции. Установлено, что данные структуры течения являются причиной пульсаций температуры большой амплитуды в МГД-потоке в зоне воздействия поперечного магнитного поля и обогрева нижней половины круглой горизонтальной трубы. Генерация вторичных структур данного типа связана с процессами, происходящими в зоне входа под воздействие поперечного магнитного поля.

5. Впервые получены характеристики теплообмена потока в зоне воздействия неоднородного поперечного магнитного поля в круглой горизонтальной трубе, вызванного концевыми эффектами электромагнита.

В результате поиска литературы в поисковых системах www.google.com, www.yandex.ru,www.science-direct.com,www.scopus.com,www.e-library.ru, по анализу реферативных баз данных, материалов научно-технических конференций перечисленные выше данные найти не удалось, поэтому считается, что они представлены впервые.

Практическая ценность

Полученные в рамках диссертационной работы данные могут быть использованы для тестирования, валидации и замыкания численных кодов и развития расчетных моделей.

Зависимости и выводы, представленные в рамках данной работы, рекомендуется использов ать при проектировании теплообменных контуров ядерных и термоядерных энергетических установок нового поколения с жидкометаллическими теплоносителями, в том числе и под воздействием

сильного магнитного поля.

17

На защиту выносятся

- Модель расчета методом прямого численного моделирования (DNS) гидродинамики и теплообмена потока электропроводной жидкости в круглой обогреваемой трубе под воздействием поперечного магнитного поля.

- Результаты исследования влияния свободной конвекции в круглой горизонтальной трубе с однородным обогревом стенки на гидродинамику и теплообмен потока жидкого металла; зависимости Nu (Re, Gr, Pr) и (Re, Gr, Pr), оценка границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен.

- Результаты исследования и анализа структуры потока электропров одной жидкости в зависимости от величины плотности теплового потока на стенке канала и индукции наложенного поперечного магнитного поля.

- Результаты исследования влияния магнитного поля на гидродинамику и теплообмен электропроводной жидкости в зонах концевых неоднородностей магнитного поля электромагнита.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование гидродинамики и теплообмена жидких металлов в горизонтальных каналах применительно к ядерным энергоустановкам нового поколения»

Апробация работы

Результаты исследований докладывались и обсуждались на:

- XIV Минском международном форуме по тепломассообмену, Минск, Белоруссия, 2012.

- Курчатовской X Школе молодых ученых, Москва, Россия, 2012.

- XIX Школе- семинаре молодых ученых и специалистов под руководством академика А.И. Леонтьева, Орехово-Зуево, Россия, 2013.

- Конференции «Инновации в атомной энергетике», ОАО «НИКИЭТ», Москва, Россия, 2013.

- Международной конференции PAMIR-2014, Рига, Латвия, 2014.

- Российской Национальной Конференции по Теплообмену РНКТ-6, Москва, Россия, 2014.

- Конференции «Инновации в атомной энергетике», АО «НИКИЭТ», Москва, Россия, 2014.

18

- Международной молодежной конференции в области энергетики IYCE-2015, Пиза, Италия, 2015.

- XXII международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электроэнергетика и энергетика", Москва, Россия, 2016.

- XV Минском международном форуме по тепломассообмену, Минск, Белоруссия, 2016.

Публикации

Основные результаты и положения диссертационной работы изложены в 13 публикациях [20] - [32]. Из них две в рецензируемых зарубежных журналах, индексируемых в реферативной базе SCOPUS [23], [28]. Две статьи [29], [31] опубликованы в журналах, входящих в перечень рецензируемых журналов ВАК.

Благодарность

Автор выражает благодарность за совместную работу над данной диссертацией научному руководителю д.т.н., проф. В.Г. Свиридову и к.т.н., доц. Я.И. Листратову (сотрудники НИУ "МЭИ").

За обсуждения материалов данной диссертации и полезные замечания автор выражает благодарность PhD, проф. University of Michigan - Dearborn О.Ю. Зиканову, коллективу научной группы Свиридова В.Г. на кафедре Инженерной теплофизики НИУ "МЭИ": д.т.н., в.н.с. Н.Г. Разуванову, к.т.н., доц. Е.В. Свиридову, к.т.н. И.А. Мельникову, к.т.н. И.А. Беляеву, А.Г. Захарову, а также коллективу отдела теплофизики АО «НИКИЭТ» - к.т.н. Д.А. Афремову, А.В. Тутукину, Д.В. Фомичеву, К.М. Сергеенко.

19

1 СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

1.1 ОСНОВНЫЕ БЕЗРАЗМЕРНЫЕ КРИТЕРИИ

В текущей работе преимущественно будут использованы безразмерные критерии и масштабы для обезразмеривания, приведенные в рамках данного раздела.

Характерные масштабы, используемые для обезразмеривания физических величин, приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1 - Характерные масштабы для обезразмеривания физических величин

Величина Буквенное обозначение Примечания

Масштаб давления ,v2 , - плотность теплоносителя, кг/м3

Масштаб температуры 2 2 - теплопроводность теплоносителя, Вт/(м-К); - средняя по площади боковой стенки величина теплового потока, Вт/м2

Масштаб скорости v Средняя по площади поперечного сечения скорость теплоносителя, м/с

Масштаб координаты J Диаметр канала (основной масштаб), м

3о Радиус канала, м

Масштаб индукции магнитного поля 4o Индукция в зоне однородного магнитного поля, Тл

Масштаб плотности электрического тока 5pV4o - электропроводность теплоносителя, 1/( Ом-м)

20

В результате перевода к безразмерному виду координаты и

теплогидравлические параметры принимают вид:

- безразмерная радиальная координата:

(1.1)

где г - радиальная координата, м;

- безразмерные координаты в декартовой системе координат:

9

z

(1.2)

(1.3)

(1.4)

где X, y, z - координаты в декартовой системе координат, м;

- безразмерная температура:

(1.5)

2

где Г - температура жидкости, K;

- температура жидкости на входе в трубу, К;

- безразмерная температура за вычетом среднемассовой температуры:

C =

(1.6)

2

где 7D - среднемассовая температура в исследуемом поперечном сечении, К;

- безразмерная скорость:

(1.7)

где V - вектор скорости, м/с;

21

безразмерное давление:

где

где

где

где

Р - Ро

G —7 ,

,v7

р - давление, Па;

ро - давление в центре канала, Па; безразмерный электрический потенциал:

_ I - Io

1 V14o '

I - электрический потенциал, В;

Io - электрический потенциал в центре канала, В; безразмерный вектор магнитной индукции:

Я - вектор магнитной индукции, Тл; безразмерная плотность электрического тока:

R_ 7

у - вектор плотности электрического тока, А/м2; безразмерное время:

(1.8)

(1.9)

(1.10)

(1.11)

я _ —,

4/

v

M

(1.12)

где

- время, с.

В результате приведения задачи к безразмерному виду основные теплогидравлические и электромагнитные параметры потока, а также свойства жидкости представляются следующими безразмерными переменными:

- число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции и сил вязкости:

v1

Re _ —,

Q

где Q - кинематическая вязкость жидкости, м2/с.

(1.13)

22

число Рейнольдса, обезразмеренное с масштабом радиуса трубы:

(1.14)

турбулентное число Рейнольдса:

(1.15)

где - динамическая скорость (1.16), м/с.

где т0 - касательное напряжение на стенке, Н/м2.

- число Прандтля, характеризующее соотношение температуропроводности и вязкости жидкости:

- ,С_-

Pr = - = (1.17)

] 2

где а - температуропроводность теплоносителя, м2/с;

6_ - изобарная теплоемкость теплоносителя, Дж/(кг-К).

- турбулентное число Прандтля:

-TUR

,

]TUR

(1.18)

где -TUV - турбулентная вязкость, м2/с;

- турбулентная температуропроводность, м2/с.

- число Грасгофа, характеризующее соотношение сил плавучести и сил вязкости:

(1.19)

где g - ускорение свободного падения (9,815 м/с2 на широте Москвы); b - коэффициент объемного термического расширения, 1/К.

23

- число Нуссельта, характеризующее интенсивность теплоотдачи; el

Nu = -

(1.20)

где e - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2- К).

- число Гартмана, квадрат которого характеризует отношение

пондеромоторной силы и вязкости:

Ha = Ro1 —; (1.21)

- число Гартмана, обезразмеренное с масштабом радиуса трубы:

(1.22)

- число Пекле, которое характеризует соотношение между конвективным и молекулярным процессами переноса тепла:

Pe = Re - Pr;

(1.23)

- параметр магнитного взаимодействия:

Нц2

Re ,v

(1.24)

- параметр радиуса трубы: магнитного взаимодействия, обезразмеренный с масштабом HaS Nr^-^— 6 " "; (1.25) ReS ,v

- магнитное

число Рейнольдса, характеризующее

отношение

индуцированного магнитного поля к полю, приложенному извне:

Rei — vl56jM,

(1.26)

где - магнитная проницаемость теплоносителя;

24

коэффициент гидравлического сопротивления:

1

7'

(1.27)

где

/ - длина трубы, м;

Ар - перепад давления на участке трубы длиной /, Па.

25

1.2 ОСОБЕННОСТИ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА ПОТОКА ЖИДКОГО МЕТАЛЛА В КРУГЛОЙ ТРУБЕ

Класс жидкостей «жидкие металлы» обладает некоторыми специфическими особенностями, такими как низкое число Прандтля, малая вязкость, высокая электропроводность. Совокупность свойств делает поток данной жидкости весьма чувствительным к массовым силам, таким как сила плавучести (в случае обогрева/охлаждения) и электромагнитная сила (в случае воздействия электромагнитных полей).

В настоящее время в литературе доступно множество исследований, по результатам которых можно оценить теплогидравлические характеристики потока жидких металлов в каналах. В рамках данного раздела приведена краткая сводка из литературы о способах оценки теплогидравлических параметров потока жидких металлов в круглой горизонтальной трубе под воздействием массовых сил.

26

1.2.1 Гидродинамика и теплообмен потока жидкого металла в круглой трубе без учета влияния массовых сил

1.2.1.1 Гидродинамика потока при вынужденном течении в трубе

Одним из основных параметров характеризующих потери давления на участке гидравлического тракта является коэффициент гидравлического сопротивления (1.27). Для оценки данной величины в потоке жидкого металла (ньютоновской жидкости) в круглой трубе в отсутствие массовых сил справедливы формулы для расчета коэффициента гидравлического сопротивления в круглой трубе с гладкими стенками. А именно:

1. Для ламинарного режима течения справедлива формула Пуазейля (1.28) [33]:

64

Re

(1.28)

2. Для турбулентного режима течения коэффициент гидравлического сопротивления можно рассчитать либо по формуле Блазиуса (1.29), либо по формуле Филоненко (1.30) [33]

0,3164

= ReO'25 ;

(1.29)

= (1,64 - 1'82 (аМ)-". (1.30)

Формула Филоненко (1.30) справедлива в большем диапазоне чисел Re, чем формула Блазиуса (1.29).

1.2.1.2 Теплообмен при вынужденном течении в трубе

В случае ламинарного стабилизированного режима течения в потоке жидкого металла с граничным условием второго рода (^=const), безразмерный

27

коэффициент теплоотдачи равен Nu=4,36.

Для расчета безразмерного коэффициента теплоотдачи в турбулентном стабилизированном потоке в круглой трубе разными авторами получено значительное количество зависимостей [11], [12], [13], [14] вида

Nu = X + 4Pey, (1.31)

которые обобщают данные экспериментов .

При этом, проанализировав данные зависимости, максимальное значение теплоотдачи для жидких металлов выдает формула Лайона (1.32), которая была получена из предположения PrTUV = 1 и Pr < 0,1.

Nu_ 7,0 + 0,025Pe0'{. (1.32)

Зависимость для коэффициента теплоотдачи в круглой горизонтальной трубе вида (1.32) удалось получить на некоторых экспериментах, где коэффициент теплоотдачи рассчитывался из профиля температуры, полученного зондовым методом [34].

При проведении экспериментов по определению коэффициента теплоотдачи с использованием термопар, заложенных в стенке, и с использованием метода теплового баланса для определения среднемассовой температуры жидкости в исследуемом сечении была получена зависимость вида (1.33) [35]

Nu_ 5,0 + 0,025Pe°-s. (1.33)

Отличие в коэффициенте теплоотдачи между (1.32) и (1.33) заметно при малых числах Пекле (Pe) и становится всё меньше при его увеличении. Считается, что различие между формулами может быть связано с термическим контактным сопротивлением на стенке канала за счет окислов и загрязнений, которое неизбежно приводит к занижению коэффициента теплоотдачи при использовании второго метода.

В некоторых работах [11], [13] были представлены другие коэффициенты для зависимости (1.31) в случае сильного загрязнения канала. Данные

28

зависимости выдавали ещё меньшие значения, нежели по формуле (1.33) и коэффициенты во многом зависели от степени загрязнения.

Также влияние на коэффициент теплоотдачи могут оказывать эффекты, связанные с влиянием свободной конвекции, которые на текущий момент недостаточно исследованы [34], [36].

1.2.2 Влияние свободной конвекции на гидродинамику и теплообмен потока жидкого металла в круглой горизонтальной трубе

Вопрос влияния свободной конвекции на теплообмен в каналах актуален применительно к большинству энергетических установок. В случае течения жидкости в горизонтальных трубах свободная конвекция может оказывать следующее воздействие:

1. Создать неравномерное распределение локального коэффициента теплоотдачи и температуры стенки по периметру сечения трубы;

2. При большом значении плотности теплового потока на стенке канала существенно увеличить средний коэффициент теплоотдачи.

Отсюда становится важным узнать критерии, по которым можно судить, что свободная конвекция начинает оказывать значительное воздействие на теплообмен, а также определить степень её влияния.

1.2.2.1 Граница начала влияния свободной конвекции на теплообмен

Для того чтобы производить поиск границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен, предварительно необходимо выставить критерии по которым мы будем определять, влияет ли свободная конвекция на теплообмен или нет.

В работе [12] в качестве границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен для неметаллических жидкостей предлагается использовать отклонение разницы в коэффициентах теплоотдачи на нижней и верхней

29

образующих трубы относительно удвоенного коэффициента теплоотдачи на нижней образующей на 1 % (1.34).

INu =

Nugor-Nurop

2Nugor

-100 % — 1 %,

(1.34)

где Nu„oT - безразмерный коэффициент теплоотдачи на нижней образующей трубы;

NuTop - безразмерный коэффициент теплоотдачи на верхней образующей трубы.

Данный критерий использовался для оценки границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен при Re=(7000-200000) и Pr=(0,7-8,0), Gr=107-1010. Ввиду особенностей жидкостей с низкими числами Прандтля (жидких металлов, Pr<0,1) и при низких числах Рейнольдса (Re<20000) измерить 1 % отклонение коэффициента теплоотдачи практически невозможно ни в эксперименте, ни в рамках CFD (Computational Fluid Dynamics - вычислительная гидродинамика) расчета (требуется длительный расчет).

По этой причине в работе [34] был предложен другой критерий границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен - в виде 10 % отклонения безразмерной температуры стенки от её среднего значения (1.35).

—K(KzK(.i00% — 10%, (1.35)

где - максимальное значение безразмерной температуры стенки;

- среднее значение безразмерной температуры стенки.

Автором работы [34] был получен ряд экспериментальных точек в диапазоне чисел Рейнольдса Re=(35000-100000). Была предложена зависимость по определению границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен для ртути (Pr=0,025) (1.36):

Gryv — 4,7 - 10-uPrO'uRe2'7u[1 + 2,4(Pr^/^ - 1)Re!^/{], (1.36)

которая схожа с зависимостью Петухова, Полякова (1.37), и отличается от неё только коэффициентом.

30

Gryv = 30 - 10-uPr0'uRe2'7u[1 + 2,4(Pr^/^ - 1)Re!^/{],

(1.37)

Изобразим графически зависимости (1.36), (1.37) на рисунке 1.1.

1-3 - Расчет по формуле (1.37) для Pr=0,025, 0,8 и 4 соответственно; 4 -эксперимент; 5 - расчет по формуле (1.36)

Рисунок 1.1 - Зависимость критического числа Грасгофа от числа Рейнольдса [34]

У критерия границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен в виде 10 % отклонения безразмерной температуры стенки относительно её среднего значения есть один существенный недостаток. Он связан с тем, что фиксированное значение данного критерия в безразмерном виде вовсе не означает фиксированную разницу температуры по периметру стенки канала в размерном виде. Так, при переводе в размерный вид разница температуры может быть как порядка 0,1 К, так и порядка 100 К, в зависимости от выбранных масштабов.

С инженерной точки зрения представляет интерес критерий - отклонение безразмерного коэффициента теплоотдачи на 10 % относительно варианта, когда свободная конвекция не влияет на теплообмен (1.38).

="'100% = 10 %,

}~Gr=0

(1.38)

где Nucr=o - среднее значение коэффициента теплоотдачи без влияния

31

свободной конвекции;

Nu - среднее значение коэффициента теплоотдачи в исследуемом режиме.

Используя критерий (1.38), можно оценить есть ли влияние свободной конвекции на усредненное значение коэффициента теплоотдачи, что важно при расчетах теплового баланса энергетических установок.

Безразмерный коэффициент теплоотдачи является величиной обратной безразмерной температуре стенки (1.39)

(1.39)

Поэтому критерий (1.38) характеризует также 10 % отклонение средней безразмерной температуры стенки относительно варианта, когда подогрев незначителен.

1.2.2.2 Влияние свободной конвекции на гидродинамику и теплообмен при течении в горизонтальных трубах

Теплообмен неметаллических жидкостей и газов в круглых горизонтальных каналах исследовался достаточно подробно во многих работах, например в [12]. По этой причине сосредоточимся на менее исследованной области - жидких металлах.

В работе [34] была подробно исследована структура полей температуры в потоке ЖМ в круглой горизонтальной трубе с равномерным обогревом стенки (^=const). Было обнаружено сильное влияние вторичных течений на теплообмен, которое заключалось в смещении максимума температуры, в данном случае, к верху трубы. На рисунке 1.2 приведены экспериментально полученные поля температуры, на которых видно как наступает термическая стабилизация потока жидкого металла и изменяется структура полей температуры.

32

Рисунок 1.2 - Результаты экспериментов [34]. Поля осредненной температуры в различных сечениях потока при Re=11000, Gr=7,6-107 (^ = 35 кВт/м2) Автором работы [34] также были получены распределения по длине трубы осредненного по периметру стенки коэффициента теплоотдачи, а также безразмерной температуры на верхней и нижней образующих. Экспериментальные данные приведены на рисунках 1.3-1.4.

Nu

Рисунок 1.3 - Результаты экспериментов [34]. Распределение среднего по периметру сечения Nu по длине исследуемого участка. Re: 1 - 11000, 2 - 33000, 3 - 50000, 4 - 100000, Gr=7,6-107 (^ = 35 кВт/м2). Сплошные линии - средние коэффициенты теплоотдачи, рассчитанные по формуле (1.40)

33

Рисунок 1.4 - Результаты экспериментов [34]. Распределение локальной безразмерной температуры стенки по длине при Re=11000, Gr=7,6-107 (^=35 кВт/м2). 1 - верхняя образующая, 2 - боковая образующая, 3 - нижняя образующая трубы. 1/Nuy^R - средняя температура стенки, рассчитанная по формуле (1.40)

На рисунке 1.3 отображены зависимости безразмерного коэффициента теплоотдачи от расстояния от начала обогрева, которые определяются соотношением (1.40) [37].

Nu = Nu.. + 0,006(1.40)

где Nu^ - значение коэффициента теплоотдачи, рассчитываемое по формуле Лайона (1.32).

В результате анализа рисунков 1.3-1.4 можно сделать вывод о том, что:

1. В зоне начального термического участка наблюдается увеличение среднего безразмерного коэффициента теплоотдачи относительно зоны стабилизированного теплообмена.

2. На нижней образующей стенки канала локальный коэффициент теплоотдачи существенно превосходит коэффициент теплоотдачи на верхней образующей. Так как безразмерный коэффициент теплоотдачи связан с безразмерной температурой стенки соотношением (1.39), температура на верхней образующей канала будет выше температуры на нижней образующей, что может

34

привести к появлению локального перегрева и к существенным термическим напряжениям в материале стенки канала.

В работе [38] приведены результаты измерений безразмерного коэффициента теплоотдачи в круглой горизонтальной трубе на ртутном стенде, на котором были получены данные, приведенные на рисунках 1.3-1.4, в зависимости от плотности теплового потока на стенке канала, а также расхода теплоносителя. Полученный экспериментально график зависимости Nu (Pe, ^) приведен на рисунке 1.5.

Nu

Pe

+ - 1; ☆ - 2; О - 3; • - 4; △ - 5;

NuT=7,0+0,025Pe0,8

Рисунок 1.5 - Результаты экспериментов [38]. Средние по периметру сечения числа Nu для случая однородного обогрева круглой горизонтальной трубы.

z/J=37, 1 - <^=15 кВт/м2; 2 - 25; 3 - 35; 4 - 45; 5 - 55

В работе [38] также была приведена зависимость (1.41), которая обобщала экспериментальные данные, приведенные на рисунке 1.5, в которой вводится поправка в формулу Лайона (1.32) на влияние свободной конвекции и на расстояние от начала обогрева.

35

/ 1 z

Nu = 0,006 [----- + 7,0 + 0,025Pe°'{+A,

(1.41)

Pe 1

5(Gr/lQS)

где A —------------'------------ поправка на влияние свободной конвекции.

Важно отметить, что измерения, результаты которых приведены на рисунке 1.5, проводились в зоне с координатой z^=37, где согласно данным изображенным на рисунке 1.3, при низких числах Pe (или при низких расходах теплоносителя) наблюдается рост коэффициента теплоотдачи вдоль продольной координаты. Это можно объяснить как развитием свободной конвекции, так и влиянием зоны выхода из рабочего участка (Г-образного, расположенного при z^=53), а также датчика-зонда на гидродинамику и теплообмен потока. Совокупность описанных выше факторов могла привести к некоторому завышению коэффициента теплоотдачи относительно варианта с длинной трубой и стабилизированным теплообменом.

Свободная конвекция в круглой горизонтальной трубе приводит к появлению вторичных конвективных течений, которые вызывают деформацию поля скорости. На рисунке 1.6 приведем поле продольной компоненты скорости, измеренное корреляционным методом на ртутном стенде НИУ «МЭИ» -ОИВТ РАН [39] по данным с датчиков температуры (термопар).

Рисунок 1.6 - Результаты экспериментов [39]. Поле продольной компоненты безразмерной скорости при Re=10000, Gr=7,2-107, Pr=0,023

36

Для сравнения приведем данные [12], где опубликованы результаты экспериментальных исследований на воздухе (Pr=0,7). На рисунке 1.7 изображены профили скорости в турбулентном потоке воздуха с влиянием силы плавучести.

vz

1,0 0 -1,0 Д

Рисунок 1.7 - Результаты экспериментов [12]. Распределение продольной компоненты безразмерной скорости в горизонтальной (1, 2) и вертикальной (3, 4) плоскостях в потоке воздуха (Pr=0,7). 1, 3 - Re=5,2-104, Gr=109; 2, 4 - Re=5,1-104, Gr=1,55-109

На рисунке 1.7 наблюдается явно выраженное смещение максимума профиля скорости к нижней половине трубы, что качественно соответствует результатам измерений на жидкометаллическом ртутном стенде. Этот факт позволяет сделать вывод о том, что поле скорости и для воздуха, и для жидкого металла на качественном уровне будет вести себя идентично.

На рисунке 1.8 приведем распределение векторов скорости вторичных течений по сечению трубы в потоке воздуха [12].

37

Рисунок 1.8 - Распределение векторов скорости вторичных течений по сечению трубы в потоке воздуха (Pr=0,7) [12]: а - Re=4,3-104, Gr/GrcR=12; б - Re=1,2-104, Gr/GrcA=110

По результатам экспериментальных измерений видно, что в режиме «а» (см. рисунок 1.8) вторичные течения представляют собой парные конвективные вихри, оси которых параллельны оси трубы. Они характеризуются подъемным течением у стенки канала и опускным в ядре канала, наблюдается двухвихревая структура. В режиме «б» (см. рисунок 1.8), который достигается при сильных подогревах канала, реализуется четырехвихревая структура вторичных течений.

Для оценки зоны перехода от двухвихревой структуры вторичных течений к четырехвихревой авторами работы [12] были произведены измерения компонент поля скорости в точках 1 - °=3п/2, R=0,48 (нижняя половина трубы) и 2 - °=п/2, R=0,48 (верхняя половина трубы). Результаты измерений приведены на

рисунке 1.9, на котором видно, что переход от одной структуры течения в другую структуру течения осуществлялся при Gr/GrcR~30.

38

Vs

v[

Gr/GrcA

Рисунок 1.9 - Отношение радиальной компоненты скорости к продольной в точках 1 - °=3n/2, ^=0,48 (нижняя половина трубы) и 2 - °=п/2, =0,48 (верхняя половина трубы). Re=8,3-104, Pr=0,7 [12]

1.2.3 Влияние поперечного магнитного поля на гидродинамику и теплообмен потока жидкого металла в круглой трубе без учета свободной конвекции

Для решения класса задач по исследованию гидродинамики и теплообмена потока электропроводной жидкости под воздействием магнитного поля, которые относятся к разделу науки - магнитная гидродинамика (МГД), к настоящему времени выполнено значительное количество работ как экспериментальных, так и с использованием методов вычислительной гидродинамики (CFD). Так, в [14] описывается целый ряд конфигураций по исследованию воздействия магнитного поля на гидродинамику и теплообмен жидких металлов при течении в каналах. В частности, там приведены результаты анализа воздействия сильных магнитных полей на поток электропров одной жидкости, которые важны для разработки конструкции системы отвода тепла от первой стенки и дивертора термоядерных реакторов, при условии, если в них используются электропроводные

39

теплоносители.

В данной диссертационной работе рассматривается конфигурация неизотермического МГД потока в круглой горизонтальной трубе под воздействием сильного поперечного магнитного поля. В рамках этого раздела приведем основные зависимости, которые позволяют оценить характеристики гидродинамики и теплообмена в таких условиях.

1.2.3.1 Ламинарный режим течения в круглой трубе под воздействием поперечного магнитного поля

Воздействие поперечного магнитного поля на ламинарный поток электропроводной жидкости в канале приводит к существенному увеличению гидравлического сопротивления, а также к увеличению коэффициента теплоотдачи. Данный вопрос подробно рассматривался авторами работ [40], [41]. Рассмотрим основные результаты этих исследований.

В приближении бесконечной электропроводности стенки канала (560) в круглой трубе коэффициент гидравлического сопротивления рассчитывается по формуле (1.42)

(1.42)

где Ф = - Ha - поправочная функция.

В случае электрически изолированной стенки справедлива формула (1.43).

3± Ha

(1.43)

Магнитное поле оказывает сильное влияние на структуру потока. Так, профиль скорости в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции, становится подобным параболе, а вдоль вектора магнитной индукции -заполненным. При этом величина градиента скорости вблизи стенки зависит от числа Г артмана (Ha) - чем выше индукция магнитного поля, тем выше градиент

40

скорости у стенки. Явление уплощения профиля скорости в плоскости, параллельной вектору магнитной индукции, называется эффектом Гартмана.

На рисунке 1.10 приведены профили продольной компоненты скорости в поперечном сечении круглой трубы при разных числах Гартмана.

а - профиль по диаметру, параллельному магнитному полю; б - профиль по диаметру, перпендикулярному магнитному полю

Рисунок 1.10 - Профили продольной компоненты скорости при ламинарном режиме течения при разных числах Гартмана под воздействием поперечного магнитного поля [14]. 1-4 - Ha=1,2; 2; 4; 10

Значение коэффициента теплоотдачи в потоке жидкого металла в круглой горизонтальной трубе под воздействием поперечного магнитного поля при ламинарном режиме течения и равномерном обогреве стенки (^=const) меняется в зависимости от величины магнитной индукции. Так, в отсутствие магнитного поля средний безразмерный коэффициент теплоотдачи равен Nu=4,36, а в случае бесконечно большой индукции магнитного поля величина коэффициента теплоотдачи стремится к Nu=7,0. Зависимость числа Nu от числа Ha для ламинарного режима течения в круглой трубе приведена на рисунке 1.11.

41

Nu

Ha

1 - точное решение; 2 - расчет по формуле (1.44)

Рисунок 1.11 - Зависимость среднего по периметру числа Nu от числа Ha при течении в круглой трубе в поперечном магнитном поле [14]

При Ha>10 для расчета числа Nu можно воспользоваться формулой (1.44)

Nu = 7

(1-

Ha + 1/

(1.44)

1.2.3.2 Турбулентный режим течения в круглой трубе под воздействием поперечного магнитного поля. Эффект подавления турбулентности

Воздействие внешнего магнитного поля, в особенности поперечного, приводит к подавлению турбулентности в потоке. Рассмотрим результаты экспериментального исследов ания [42] зависимости коэффициента гидравлического сопротивления от числа Ha, которые приведены на рисунке 1.12.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Огнерубов, Дмитрий Анатольевич, 2016 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. The NUBASE evaluation of nuclear and decay properties / Audi G., Bersillion J., Blachot J., Wapstra A.H. Nuclear Physics. 2003. No 729. P. 3-128. DOI: 10.1016/j.nuclphysa.2003.11.001.

2. Сила-Новицкий А.Г. Быстрые реакторы для крупномасштабной ядерной

энергетики // AtomInfo.ru: Агентство атомных новостей. 2010. URL:

http://www.atominfo.ru/news/air1917.htm (дата обращения: 06.02.2016).

3. Субботин С.А. Проблемы ядерной энергетики, которые могут быть

решены с использованием источников термоядерных нейронов // atomexpo.ru: Коммуникационная компания АТОМЭКСПО. 2016. URL:

http://2010.atomexpo.ru/mediafiles/u/files/Present/9.2._Subbotin.pdf (дата обращения: 06.02.2016).

4. Статус проекта термоядерного источника нейтронов (ТИН): ТЗ на

эскизное проектирование / Кутеев Б.В. [ и др.] // Тез. докл. XXXIX

Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород, Россия. 2012.

5. Fast Neutron Reactors // world-nuclear.org: World Nuclear Association. 2016. URL: http ://www.worl d-nuclear. org/ info/Current-and-F uture-Generation/F ast-Neutron-Reactors (дата обращения: 06.02.2016).

6. Carre F. Trends and developments for fast neutron reactors and related fueld cycles // IAEA.ORG: International Atomic Energy Agency. 2016. URL: https://www.iaea.org/NuclearPower/Downloadable/Meetings/2013/2013-03-04-03-07-CF-NPTD/13.carre.pdf (дата обращения: 06.02.2016).

7. Официальный сайт проекта ITER // ITER.ORG: ITER official site. 2016. URL: http://www.iter.org (дата обращения:06.02.2016).

8. Тепловые и атомные электрические станции. Книга 3 / Под общ. ред. В.А. Григорьева, В.М. Зорина. 2-е изд., перераб. М.: Энергоатомиздат, 1989.

213

608 с.

9. Hisham Zerriffi. Tritium: The envirinmental, health, budgetary, and strategic effects of the Departament of Energy's decision to produce tritium // Institute for Energy and Environmental Research. Posted 01.1996. Last modified 03.2015. URL: http://ieer.org/resource/health-and-safety/tritium-environmental-health-budgetary-strategic-effects (дата обращения: 23.08.2016).

10. MHD thermofluid issues of liquid-metal blankets: Phenomena and advances / Sergei Smolentsev, Rene Moreau, Leo Buhler, Chiara Mistrangelo. Fusion Engineering and Design. 2010. Vol. 85. P. 1196-1205.

11. Савинов С.Ю. Теплообмен и гидродинамика тяжелых жидкометаллических теплоносителей в ядерных и термоядерных реакторах: автореферат дисс. канд. техн. наук. Нижний Новгород, 2010. 24 с.

12. Петухов Б.С., Поляков А.Ф. Теплообмен при смешанной турбулентной конвекциии. М.: Наука, 1986. 192 с.

13. Парогенераторы АЭС. Модуль 5 "Теплообмен в парогенераторах АЭС"

// mdld.lcg.tpu.ru: Томский Политехнический Университет. 2016. URL:

http://mdld.lcg.tpu.ru/mod/book/view.php?id=1451&chapterid=624 (дата обращения: 06.02.2016).

14. Генин Л.Г., Свиридов В.Г. Гидродинамика и теплообмен МГД-течений в каналах. М.: Изд-во "МЭИ", 2001. 199 с.

15. Документация программного комплекса ANSYS CFX [Электронный ресурс]: ANSYS Help. ANSYS.

16. Документация программного комплекса ANSYS Fluent [Электронный ресурс]: ANSYS Help. ANSYS.

17. Документация программного комплекса CD-Adapco Star-CCM+ // SAEC.RU: Сайт Саровского инженерного центра. 2016. URL: http://www.saec.ru/products/cd-adapco/star-ccm/user-guide (дата обращения: 06.02.2016).

214

18. Temperature fluctuations in a heated horizontal tube affected by transverse magnetic field / Genin L.G., Zhilin V.G., Ivochkin Y.P. [et al.] // Proc. the 8th Pamir Conference on Fundamental and Applied MHD. Borgo, Corsica, France. 2011. P. 37-41.

19. Alcator C-Mod tokamak [Электронный ресурс]: Plasma Science and Fusion Center. Massachusetts Institute of Technology // psfc.mit.edu: Plasma Science and Fusion Center. 2016. URL: https://www.psfc.mit.edu/research/topics/alcator-c-mod-tokamak (дата обращения: 23.08.2016).

20. Прямое численное моделирование смешанной конвекции в горизонтальной трубе в сильном поперечном магнитном поле / Зиканов О., Листратов Я., Свиридов Е., Свиридов В., Огнерубов Д., Краснов Д. // Тез. докл. XIV Минского Международного Форума по Тепломассообмену. Минск, Беларусь. 2012. С. 101-105.

21. Зиканов О., Листратов Я., Огнерубов Д. Оценка границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен при течении жидкого металла в круглой горизонтальной трубе методом прямого численного моделирования (DNS) // Сборник аннотаций 10-й Курчатовской молодежной научной школы. М. 2012. C. 39.

22. Листратов Я.И., Огнерубов Д.А. Численное моделирование гидродинамики и теплообмена потока жидкого металла в круглой горизонтальной трубе. Оценка границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен // Тез. докл. XIX школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика А.И. Леонтьева "Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках". Орехово-Зуево, Россия. 2013. С. 63.

23. Direct numerical simulation of heat transfer and convection in MHD liquid metal flow in a pipe / Listratov Ya., Ognerubov D., Zikanov O., Sviridov E., Sviridov V. // Magnetohydrodynamics. 2013. Vol. 49, No 1. P. 87-99.

24. Прямое численное моделирование МГД-потока жидкого металла канале

215

/ Огнерубов Д., Листратов Я., Свиридов В., Зиканов О. // Сборник докладов конференции молодых специалистов "Инновации в атомной энергетике". М. 2013. С. 120-125.

25. DNS of mixed convection in a liquid metal flow with imposed transverse magnetic field / Listratov Ya., Ognerubov D., Sviridov V., Zikanov O. // Proc. of "PAMIR 9th International Conference on Fundamental and Applied MHD. Thermo Acoustic and Space technologies. Theme 9: Space". Riga, Latvia. 2014. Vol. 1. P. 22-26.

26. Влияние магнитного поля и термогравитационной конвекции на режим течения МГД-потока жидкого металла в горизонтальном канале / Огнерубов Д.А., Листратов Я.И., Свиридов В.Г., Зиканов О.Ю. // Тез. докл. шестой Российской Национальной Конференции по Теплообмену (РНКТ -6). М. 2014. Т. 3. С. 271-272.

27. Особенности МГД-теплообмена жидкого металла применительно к

энергоустановкам нового поколения / Огнерубов Д.А., Листратов Я.И., Свиридов В.Г., Зиканов О. // Сборник докладов конференции молодых

специалистов "Инновации в атомной энергетике". M. 2014. С. 160-168.

28. Magnetohydrodynamic heat exchange in next-generation power plants / Ognerubov D., Listratov Ya., Sviridov V., Zikanov O. // Proc. of 5th International Youth Conference on Energy (IYCE-2015). Pisa, Italy. 2015. P. 1-7. Print ISBN: 9781-4673-7171-1. DOI: 10.1109/IYCE.2015.7180799. Publisher: IEEE.

29. Прямое численное моделирование смешанной конвекции при течении жидкого металла в горизонтальной трубе в поперечном магнитном поле / Огнерубов Д.А., Листратов Я.И., Свиридов В.Г., Зиканов О.Ю. // Тепловые процессы в технике. 2015. Т. 7, В. 12. С. 531-538.

30. Исследование влияния свободной конвекции на теплообмен в потоке жидкого металла в круглой горизонтальной трубе / Листратов Я., Огнерубов Д., Свиридов В., Зиканов О. // Тез. докл. XV Минского Международного форума по тепломассообмену. Минск, Беларусь. 2016. Т. 1. С. 165-169.

31. Исследование влияния свободной конвекции на теплообмен при

216

течении жидкого металла в круглой горизонтальной трубе / Огнерубов Д.А., Листратов Я.И., Свиридов В.Г., Зиканов О.Ю. // Тепловые процессы в технике. 2016. Т. 8, В. 8. С. 338-344; 2016. Т. 8, В. 12. С. 576.

32. Михайлов А.Ю., Огнерубов Д.А., Листратов Я.И. Исследование влияния неоднородности поперечного магнитного поля на гидродинамику жидкого металла в круглой трубе // Тез. докл. XXII конференции "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика". 1 электрон. опт. диск [DVD-ROM]. М. 2016. Т. 3. С. 57.

33. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям» под редакцией к.т.н. М.О. Штейнберга, 3-е издание, переработанное и дополненное. М.: Машиностроение, 1992. 672 с.

34. Листратов Я.И. Экспериментальное исследование теплообмена жидкометаллического теплоносителя в поперечном магнитном поле применительно к перспективной энергетике: автореферат дисс. канд. техн. наук. М., 2004. 20 с.

35. Субботин В.И., Ушаков П.А., Габрилович Б.Н. Теплообмен при течении жидких металлов в трубах // Инженерно-физический журнал. 1963. Т. 6, В. 4. С. 16-20.

36. Мельников И.А. Исследование гидродинамики и теплообмена МГД-течений в вертикальной трубе в поперечном магнитном поле: дисс. канд. техн. наук. М., 2014. 102 с.

37. Температурные поля и теплоотдача при турбулентном течении жидкого металла на начальном термическом участке / Генин Л.Г., Кудрявцева Е.В., Пахотин Ю.А., Свиридов В.Г. // Теплофизика высоких температур. 1978. Т. 16, В. 6. C. 1243-1249.

38. Полянская О.Н. Экспериментальное исследование теплообмена при течении жидкого металла в горизонтальной трубе в поперечном магнитном поле: автореферат дисс. канд. техн. наук. М., 2003. 19 с.

217

39. Разуванов Н.Г. Исследование МГД-теплообмена при течении жидкого металла в горизонтальной трубе: дисс. док. техн. наук. М. 2011.

40. Ватажин А.Б., Любимов Г.А, Регирер С.А. Магнитогидродинамические течения в каналах. М.: Наука. 1970. 672 с.

41. Ihara S., Tajima K., Matsushima A. The flow of conducting fluids in circular pipes with finite conductivity under uniform transverse magnetic fields // Trans ASME. 1967. E. 89. No 1. P. 29-36: No 4. P. 1047-1048.

42. Гельгафт Ю.М., Лиелаусис О. А., Щербинин Э.В. Жидкий металл под действием электромагнитных сил. Рига: Зинатне, 1976. 246 с.

43. Heat transfer of Lithium Single-Phase Flow and Helium-Lithium Two-Phase Flow in a Circular Channel under Transverse Magnetic field / Takahashi M., Inoue A., Matsuzaki M. [et al.] // Magnetohydrodynamics. 1995. Vol. 31. P. 397-406.

44. Gardner R.A., Likodis P.S. Magneto-fluid-mechanic pipe flow in a transverse magnetic field. Part 2. Heat Transfer // J. Fluid Mech. 1971. Vol. 48, No 1. P. 129-141.

45. Temperature fluctuations in a liquid metal magnetohydrodynamic flow in a horizontal inhomogeneously heated tube / Belyaev I.A., Ivochkin Yu.P., Listratov Ya.I., Razuvanov N.G., Sviridov V.G. // Heat and mass transfer and physical gasdynamics. 2015. Vol. 53, No 5. P. 735-742.

46. Liquid metal heat transfer specific in a tokamak reactor / Belyaev I.A., Genin L.G., Listratov Ya.I. [et al.] // Magnetohydrodynamics. 2013. Vol. 49, No 1-2, P. 177-190.

47. MHD flow instability in ducts with conducting walls / Dmitry Krasnov, Lee Braiden, Sergei Molokov, Thomas Boeck, Leo Buhler // Proc. of Bifurcation and instabilities in fluid dynamics 2015. ESPCI. Paris, France. P. 263.

48. Yongqi Li, Oleg Zikanov. Laminar pipe flow at the entrance into transverse magnetic field // Fusion Engineering and Design. 2013. Vol. 88, P. 196-201.

49. Experimental and numerical studies of pressure drop in PbLi flows in a circular duct under non-uniform transverse magnetic field / Li F.-C., Sutevski D.,

218

Smolentsev S., Abdou M. // Fusion Engineering and Design. 2013. Vol. 88. P. 3060-3071.

50. Turbulence effects of liquid metal flow under strong fringing magnetic fields / Albets-Chico X., Grigoriadis D., Kassinos S., Knaepen B. // Proc. of sixth International Symposium on Turbulence and Shear Flow Phenomena. Seoul, Korea. 2009. P. 687-692.

51. Свиридов В.Г. Исследование гидродинамики и теплообмена в каналах применительно к проблеме создания термоядерного энергетического реактора: дисс. докт. техн. наук. М., 1989. 438 с.

52. Lars Davidson. The SAS model: A turbulence model with controlled modelled dissipation // Proc. of the 20th Nordic Seminar on Computational Mechanisc. Goteborg, Sweden. 2007.

53. Бай Ши. Магнитная гидродинамика и динамика плазмы. М.: Мир, 1964. 301 с.

54. Генин Л.Г., Свиридов В.Г. Введение в статистическую теорию турбулентности. Учебное пособие для вузов. М.: МЭИ, 2007. 100 с.

55. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 445 с.

56. Белов И. А., Исаев С. А. Моделирование турбулентных течений. СПб.: Балт. гос. техн. ун -т., 2001. 108 с.

57. Гарбарук А.В., Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Простая алгебраическая модель турбулентности для расчета турбулентного пограничного слоя с положительным перепадом давления // Теплофизика высоких температур. 1999. Т. 37, В. 1. С. 87-91.

58. Online center for Computational Fluid Dynamics // cfd-online.com: CFD Online. 2016. URL: http://www.cfd-online.com (дата обращения: 25.08.2016).

59. Валуева Е.П., Свиридов В.Г. Введение в механику жидкости и газа. М: Изд-во "МЭИ", 2001. 212 c.

219

60. Лапин Ю.В., Поспелов В.А. Турбулентный пограничный слой на плоской пластине // Теплофизика высоких температур. 1995. Т. 33, В. 3. С. 422-429.

61. Spalart P.R., Allmaras S.R. A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows // AIAA Paper. No 92-0439. 1992.

62. Grotzbah G. Revisiting the resolution requirements for turbulence simulations in nuclear heat transfer // Nuclear Engineering and Design. 2011. Vol. 241. P. 4379-4390.

63. Smagorinsky J. General Circulation Experiments with the Primitive Equations // Monthly Weather Review. 1963. Vol. 91, No 3. P. 99-164.

64. Comments on the feasibility of LES for wings, and on a hybrid RANS/LES approach / Spalart P.R., Jou W.H., Strelets M., Allmaras S.R. // Proc. of the 1st AFOSR International Conference on DNS/LES. 4-8 August 1997. Ruston, Louisiana. Louisiana Technical University. P.137-148.

65. Strelets M. Detached eddy simulation of massively separated flows // AIAA Paper. No 2001-0879. 18 p.

66. Breuer M., Jovicic N., Mazaev K. Comparison of DES, RANS and LES for the separated flow around a flat plate at high incidence // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2003. Vol. 41. P. 357-388.

67. Schmidt St., Thiele F. Comparison of numerical methods applied to the flow over wall-mounted cudes // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2002. Vol. 23, No 3. P. 330-339.

68. Listratov Ya., Zikanov O., Sviridov V. Natural convection in horizontal pipe flow with strong transverse magnetic field // J. Fluid Mech. 2013. Vol. 720. P. 486-516.

69. Fully conservative higher order finite difference schemes for incompressible flows / Morinishi Y., Lund T.S., Vasilyev O.V., Moin P. // J. Comp. Phys. 1998. Vol. 143. P. 90-124.

70. A current density conservative scheme for incompressible MHD flows at low

220

magnetic Reynolds number. Part I: On a rectangular collocated grid system / Ni M.J., Munipalli R., Huang P., Morley N.B., Abdou M.A. // J. Comp. Phys. 2007. Vol. 227. P. 174-204.

71. Krasnov D., Zikanov O., Boeck T. Finite difference simulation of magnetohydrodynamic turbulence at low magnetic Reynolds number // Int. J. Num. Meth. Fluids. 2010.

72. Krasnov D., Zikanov O., Boeck T. Comparative study of finite difference approaches in simulation of magnetohydrodynamic turbulence at low magnetic Reynolds number // Computer & Fluids. 2011. Vol. 50. P. 46-59.

73. Constantinescu G.S., Lele S.K. A highly accurate technique for the treatment of flow equations at the polar axis in cylindrical coordinates using series expansions // J. Comp. Phys. 2002. Vol. 183. P. 165-186.

74. Профили скорости в гладких и шероховатых трубах / Миллионщиков М.Д., Субботин В.И. [и др.]. Обнинск: Изд-во "ФЭИ", 1973. 36 с.

75. Direct numerical simulation of turbulent pipe flow. A comparison between simulation and experiment at low Re-number / Eggels J.G.M., Westerweel J., Nieuwstadt F.T.M., Adrian R.J. // Applied Scientific Research. 1993. Vol. 51. P. 319-324.

76. Кириллов П.Л., Юрьев Ю.С., Бобков В.П. Справочник по теплогидравлическим расчетам (ядерные реакторы, теплообменники, парогенераторы) под общей редакцией д.т.н. проф. П.Л. Кириллова. 2-е издание, исправленное и дополненное. М: Энергоатомиздат, 1990. 360 с.

77. Очков В.Ф. Теплотехника и теплоэнергетика // twt.mpei.ac.ru: сайт кафедры ТВТ НИУ "МЭИ". 2016. URL: http://twt.mpei.ac.ru/tthb (дата обращения: 13.03.2016).

78. Liquid metal downflow in an inclined heated tube affected by a longitudinal magnetic field / Belyaev I.A., Razuvanov N.G., Sviridov V.G., Zarorskiy V.S. // Magnetohydrodynamics. 2015. Vol. 51. No 4. P. 673-683.

221

79. Огнерубов Д.А. DNS of MHD flow in a circular pipe // YOUTUBE.COM: ITF CFD Youtube channel. 2016. URL: https://www.youtube.com/playlist?list=PL-nfw36gBTJ2DEQdh6BmWwpLTdacqtdmE (дата обращения: 25.08.2016).

80. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // ДАН СССР. 1941. Т. 4. С. 299-303.

81. Nakagawa H., Nezu I. Turbulence in Open Channel Flows // CRC Press. 1993.P.293.

222

ПРИЛОЖЕНИЕ А

(справочное)

Блок-схема DNS кода

Рисунок А.1 - Блок схема DNS кода, часть 1

223

Рисунок А.2 - Блок схема DNS кода, часть 2

224

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

(обязательное)

Исследование сеточной сходимости DNS кода

Задача исследования сеточной сходимости применительно к методу DNS нетривиальная. Поскольку на каждом шаге по времени в результате расчета системы уравнений (1.68)-(1.74) получается результат расчета отличный от результата расчета на предыдущем шаге по времени, оценить влияние расчетной сетки на точность решения системы дифференциальных уравнений достаточно проблематично. Так как единственность существования решения уравнения Навье-Стокса, которое является основой метода DNS, в трехмерной постановке все еще не доказана, есть вероятность того, что в результате решения системы уравнений в DNS постановке на каждом следующем шаге по времени можно получать разные результаты решения. Данное поведение решения будет также в случае отсутствия устойчивости численной схемы. Эти аспекты приводят к тому, что определять влияние расчетной сетки на результат расчета дифференциального уравнения необходимо на одном шаге по времени. Ввиду принципов численных методов, построенных на итерационном приближении к правильному результату, данный подход не применим, поскольку для численно точного решения системы дифференциальных уравнений требуется значительно большее количество итераций, чем одна. Но, важно отметить, что исследование влияния разрешающей способности расчетной сетки на точность расчета необходимо.

Стоит остановиться на двух разных подходах в определении параметров расчетной сетки. Первый основан на задании размеров ячеек расчетной сетки, сопоставимых с колмогоровским масштабом длины, что применимо только для турбулентного потока. Второй - на подборе параметров расчетной сетки на основе предварительного тестирования, которое заключается в расчете одной и той же задачи на разных расчетных сетках. Ниже опишем каждый из этих методов.

Далее будут рассматриваться задачи с периодическими граничными условиями на входе/выходе.

225

Б.1 Оценка параметров расчетной сетки на основе колмогоровского масштаба длины

С целью разрешения вихревой структуры турбулентного потока жидкости, разрешающую способность сетки рекомендуется задавать сопоставимой с колмогоровским масштабом длины (Б.1) [56], [80].

(Б.1)

где Q - кинематическая вязкость жидкости;

g - изотропная диссипация кинетической энергии турбулентности [56] (Б.2).

dv[ 0v.

g = —т;—

09- 09-

(Б.2)

Требование использовать разрешение расчетной сетки, сопоставимое с

колмогоровским масштабом длины, связано с тем, что данный масштаб

определяет характерный размер вихря с минимально возможными размерами. Полагается, что турбулентные вихри с размерами, меньшими колмогоровского

масштаба длины, уже не могут существовать и диссипируют за счёт вязкости жидкости. Более того, для корректного разрешения производных выдвигается требование, чтобы в пределах одного вихря было не менее двух точек расчётной сетки по каждой из координат. То есть, минимальный размер элемента сетки по

каждой из координат должен быть равен хотя бы от колмогоровского масштаба длины. Тот же критерий относится и к масштабу длины Корсина (Б.3) [56] для поля температуры, который определяет минимальный масштаб расчетной сетки

для расчета поля температуры .

(Б.3)

где о - температуропроводность.

Излишне грубая сетка будет обеспечивать фильтрацию энергетического спектра турбулентности при больших волновых числах с экспоненциальной скоростью затухания (см. рисунок 1.27). Это приведет к лимиту максимального

226

волнового числа (Б.4), которое мы сможем получить из расчета DNS задачи.

(Б.4)

Существует класс программных продуктов, в которых численное решение системы уравнений DNS метода реализовано с использованием численных схем со значительной численной диффузией, например, противопоточная схема первого порядка точности. Использование такого класса численных методов в совокупности с заданием грубой расчетной сетки, разрешение которой значительно меньше требований по колмогоровскому масштабу длины, приводит к замене вихревой подсеточной вязкости численной диффузией. В результате компенсации такого типа и наблюдается относительно точное решение задачи гидродинамики и теплообмена на относительно грубых сетках. Данный подход к решению задач класса DNS принято называть «псевдо DNS».

В рамках данной работы подход «псевдо DNS» был использован, но только частично. При решении задач, связанных с исследованием влияния свободной конвекции на теплообмен в турбулентном потоке, по радиальной координате была построена расчетная сетка, удовлетворяющая колмогоровскому масштабу длины, тогда как по угловой и продольной координатам - превосходящая колмогоровский масштаб до десяти раз. Обоснованность данного подхода подробно описана ниже.

Использование подхода «псевдо DNS» требует тщательной проверки результатов решения на ряде тестов, в процессе которых на основе экспертной оценки подбираются параметры расчетной сетки, чтобы минимизировать отклонение результатов расчетов от экспериментальных и полуэмпирических данных. В отсутствие таковых, автор рекомендует использовать метод «псевдо DNS» только в качестве метода, позволяющего получить первое приближение к решению задачи или, например, для качественной оценки структуры течения.

В статье Гротзбаха [62] приведена оценка необходимой разрешающей способности расчётной сетки для метода прямого численного моделирования, которая превосходит требования, предъявляемые колмогоровским масштабом

227

длины. Она была получена путем обработки LES модели Смагоринского и определении такого масштаба сетки, при котором модель Смагоринского уже не вносила существенного вклада в решение системы уравнений Навье-Стокса и неразрывности, т.е. когда LES метод почти полностью соответствовал DNS.

Гротзбахом были получены следующие количественные оценки для минимальных размеров расчетной сетки для полей скорости и температуры

соответственно:

(Б.5)

(Б.6)

Формулы (Б.5)-(Б.6) показывают, что традиционное требование касательно

разрешающей способности полей скорости и температуры (Б.1), (Б.3) излишне консерв ативное, и для метода DNS можно использовать гораздо более грубую

расчётную сетку.

Определим размер расчётной области для случая течения жидкости в

круглой трубе длиной 5 калибров с периодическими граничными условиями на входе/выходе и расходом, соответствующим Re=5000.

В случае низких чисел Прандтля (Pr<1) для оценки масштаба длины

Корсина справедлива формула (Б.7), для высоких чисел Прандтля (Pr>1) -

формула (Б.8) [56].

(Б.7)

Pr^/4'

(Б.8)

=

Из зависимости (Б.7) видно, что масштаб Корсина для Pr<1 (в частности, жидких металлов) всегда больше колмогоровского масштаба длины. По этой

причине, в качестве оценки минимального элемента сетки далее будем использовать колмогоровский масштаб длины.

228

В формуле для колмогоровского масштаба длины (Б.1) фигурирует скорость диссипации кинетической энергии турбулентности. В общем случае, при течениях в каналах скорость диссипации по поперечному сечению канала неравномерна. Несмотря на то, что колмогоровский масштаб длины изначально получен для изотропной турбулентности, то есть вдали от стенки, косвенно данный параметр можно использовать для оценки размера расчетной ячейки в зависимости от расстояния до стенки. Также можно выбрать сгущение расчётной сетки к стенке трубы с целью уменьшения количества расчётных ячеек и увеличения скорости расчета. Все полученные величины приведем к безразмерному виду.

Для определения колмогоровского масштаба длины (Б.1) необходимо найти скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, локальное значение которой рассчитывается по зависимости (Б.9).

к<о

где к — 0,41 - эмпирический коэффициент,

(Б.9)

- расстояние от стенки.

Подставим в формулу (Б.9) выражение для динамической скорости (Б.10),

расстояние от стенки <, обезразмерим и получим выражение (Б.11) для скорости

диссипации кинетической энергии турбулентности в безразмерном виде.

где

где

(Б.10)

4 1 - касательное напряжение на стенке трубы [59].

1 /Бм\3/2 1 8\AZ/ 1 ў0'

ў0 = - безразмерное расстояние от стенки.

(Б.11)

Выразим коэффициент гидравлического сопротивления через перепад

давления в безразмерной форме (Б.12).

—

229

1p Eu py2

lx AZ 1

21 1p Eu ----— = 2 —. py219 AZ'

(Б.12)

Подставим (Б.12) в (Б.11) и получим окончательное выражение для диссипации кинетической энергии турбулентности в виде (Б.13).

1 ^3.2

83/2

f3/2

0,1078^.

(Б.13)

Кинематическую вязкость представим в виде (Б.14)

v1

(Б.14)

значение для диссипации энергии турбулентности запишем на основе (Б.13)

1 k3.2V3 v3

83/2 ку01 ^1'

и подставим их в (Б.1). В результате получим (Б.16)

1

g^/^Re3.4

1 = Рк 1,

1

g^/^Re3.4

(Б.15)

(Б.16)

(Б.17)

где рК - колмогоровский масштаб длины в безразмерном виде.

На рисунке Б.1 приведены результаты расчета безразмерного колмогоров ского масштаба длины в зависимости от расстояния от стенки при Re=5000. На данный рисунок наложены данные по размеру расчетной сетки, которые были подобраны эмпирическим путем и с приемлемой точностью согласуются с колмогоровским масштабом длины: №w,=90, Hw^.=1,2. Стоит отметить, что сгущение расчётной сетки к стенке канала вычислялось по зависимости (2.13).

230

Рисунок Б.1 - Сопоставление размера ячейки (1) при №w,.=90, Л^^.=1,2 с колмогоровским масштабом длины (2). Re=5000

Оценим количество расчётных точек по продольной координате на один калибр трубы (Б .18).

1

= -- (Б.18)

—z

где - размер одной ячейки по оси OZ.

Известно, что турбулентные вихри имеют вытянутую форму по продольной координате, что видно из рисунка Б.2, на котором изображена структура течения в пристеночной области.

231

Рисунок Б.2 - Структура турбулентного течения вблизи стенки [81]

По этой причине в пристеночном регионе, там, где требуется использовать расчетную сетку высокого разрешения, размер одной ячейки по продольной координате может быть на порядок больше, чем характерный колмогоровский масштаб длины (Б.19).

Л[= 10^ (Б.19)

При Re=5000 размер одной ячейки по продольной координате на границе вязкого подслоя составит Az~5 • 10"^. Итого на 1 калибр длины трубы количество элементов по продольной координате должно составить №w^~20.

Провести оценку количества расчётных точек по угловой координате по аналогии с продольной и поперечной координатами невозможно ввиду того, что в DNS коде используется преобразование Фурье по угловой переменной. По этой причине выбор разрешающей способности расчетной сетки по угловой координате осуществлялся экспериментальным методом по критерию минимизации погрешности расчета коэффициента гидравлического сопротивления, коэффициента теплоотдачи и времени, необходимого для

232

проведения расчетов. Наиболее оптимальное количество сеточных точек для Re=5000 по угловой переменной составляет AMwy=90.

По аналогии произведена оценка параметров расчетной сетки при Re=10000, 15000, 20000. Результаты оценки параметров расчетной сетки при Re=5000, 10000, 15000, 20000 приведем в таблице Б.1. По продольной координате приведены результаты на 1 калибр длины канала.

Таблица Б.1 - Параметры расчетной сетки для решения задачи конвективного теплообмена при Re=5000, 10000, 15000, 20000

Re -AMw^ -AMwr

5000 90 24 90 1,2 0,2-106

10000 150 42 150 1,3 0,9-106

15000 190 60 190 1,3 2,1-106

20000 230 77 230 1,4 4,1-106

Помимо размеров расчётной сетки для проведения расчетов необходимо задать шаг по времени. Теоретически, в методе прямого численного моделирования шаг по времени должен соответствовать колмогоровскому масштабу времени (Б.20).

(Б.20)

Согласно данной оценке, для Re=5000 шаг по времени в безразмерном виде должен равняться At = 5 - 10_з. В расчётах такой шаг недостижим ввиду неустойчивости численной схемы.

В расчетах задание шага по времени осуществлялось исходя из устойчивости решения, обеспечения невязки уравнения неразрывности менее, чем 10-6 и числа Куранта (Б.21) менее 1.

Дх Co = г------,

v СЕГГДМ

где Дх - размер расчетной ячейки;

ДМ - шаг по времени;

(Б.21)

233

Vc6LL - средняя скорость потока в ячейке.

Исходя из критерия устойчивости решения, для параметров расчетной сетки, приведенных в таблице Б.1, были определены шаги по времени (см. таблицу Б.2).

Таблица Б.2 - Зависимость шага по времени и максимального числа Куранта от числа Рейнольдса

Re At Сомлт

5000 2,0-10-4 0,2

10000 2,0-10-4 0,8

15000 1,0-10-4 0,6

20000 0,5-10-4 0,5

234

Б.2 Оценка параметров расчетной сетки на основе предварительного тестирования задачи течения жидкого металла в круглой трубе на разных расчетных сетках

В рамках данного раздела эмпирическим способом исследовано влияние разрешающей способности расчетной сетки на результаты CFD моделирования для двух классов задач:

1. Расчет конвективного теплообмена в горизонтальной трубе длиной 5 калибров с периодическими граничными условиями на входе/выходе при Re=5000, Pr=0,025 (ртуть) в условиях отсутствия (Gr=16) и сильного влияния (Gr=1,6-107) свободной конвекции.

2. Расчет конвективного теплообмена в горизонтальной трубе длиной 5 калибров с периодическими граничными условиями на входе/выходе под воздействием сильного поперечного магнитного поля при Re=5000, Pr=0,025 (ртуть), Ha=300 в условиях отсутствия (Gr=16) и сильного влияния (Gr=1,0-107) свободной конвекции.

В каждом классе задач рассматривается две задачи: с малым (Gr=16) и большим (Gr>1,0-107) значением плотности теплового потока на стенке канала. По предварительным оценкам, при Gr=1,6-107 будет наблюдаться существенное влияние свободной конвекции на гидродинамику и теплообмен для задачи конвективного теплообмена без воздействия поперечного магнитного поля.

Для оценки качества результатов расчета, полученные путем CFD моделирования усредненные по времени значения коэффициента гидравлического сопротивления и среднего по периметру трубы коэффициента теплоотдачи сопоставлены как друг с другом, так и с результатами расчетов по полуэмпирическим зависимостям.

Стоит отметить основные причины использования эмпирического способа определения параметров расчетной сетки дополнительно к оценкам колмогоровского или тейлоровского масштаба длины:

1. На результат решения системы дифференциальных уравнений оказывает влияние не только разрешение расчетной сетки, но и использованные методы

235

преобразов ания исходной системы к численному аналогу, от алгоритмов решения системы линейных алгебраических уравнений и пр. Не всегда разрешение расчетной сетки будет оказывать решающее значение на результат DNS расчетов.

2. Особое внимание стоит уделить пристеночной части расчетной области, поскольку в данной области пространства во-первых, наблюдаются сложные вихревые структуры, а во-вторых, из результатов экспериментов наблюдается эффект обновления вязкого подслоя. Данный процесс может характеризоваться большими градиентами физических величин и меньшими масштабами, чем колмогоровский масштаб длины, которые важно тщательно смоделировать для корректного расчета таких параметров, как коэффициент гидравлического сопротивления и коэффициент теплоотдачи.

Оценка сеточной сходимости применительно к задаче исследования влияния свободной конвекции на теплообмен

По результатам оценки параметров расчетной сетки в п. Б.1 видно, что для расчета задачи конвективного теплообмена в трубе длиной 5 калибров с Re=20000 придется использовать расчетную сетку размером не менее 20 млн. элементов с достаточно маленьким шагом по времени. Ввиду того, что в реализованном DNS коде использовались численные методы, обладающие качественным преимуществом над аналогами, но имеющие низкую способность к распараллеливанию (реализация на OpenMP), расчет одной задачи при Re=20000 на имеющихся ресурсах (до 48 ядер AMD Opteron на вычислительном ноде) займет полгода-год, что с точки зрения автора не приемлемо.

В свою очередь, в работе Гротзбаха [62] применительно к расчету турбулентного потока в канале доказано, что использование колмогоровского масштаба длины в качестве определяющего разрешающую способность сетки может быть излишне консервативным. Для оценки возможности уменьшить разрешающую способность сетки без существенного ущерба качеству расчета была проведена работа по исследованию сеточной сходимости и оценки

236

возможности использования подхода к расчету «псевдо DNS», когда мелкомасштабные вихревые структуры фильтруются за счет грубой расчетной сетки.

В рамках диссертации была оценена чувствительность результатов расчета на разрешающую способность расчетной сетки по каждой из пространственных координат, а также при изотропном изменении разрешающей способности расчетной сетки. Исследовано влияние шага по времени на результаты расчетов.

Зависимость результатов CFD расчетов от параметров расчетной сетки была исследована на двух задачах:

1. При отсутствии влияния свободной конвекции на гидродинамику и теплообмен с параметрами Re=5000, Gr=16, Pr=0,025, Ha=0;

2. С существенным влиянием свободной конвекции на гидродинамику и теплообмен с параметрами Re=5000, Gr=1,6-107, Pr=0,025, Ha=0.

Результаты серии расчетов по оценке сеточной сходимости применительно к задаче конвективного теплообмена приведены в таблицах Б.3-Б.4.

237

Таблица Б.3 - Результаты расчетов задачи конвективного теплообмена на разных расчетных сетках. Re=5000, Gr=16, Pr=0,025, Ha=0

AM, 10-4 Nu

32 192 32 2,5 2,5 0,0289 5,92

32 192 128 2,5 2,0 0,0284 5,84

64 192 128 2,5 2,0 0,0340 6,09

64 256 64 2,5 2,5 0,0343 6,11

90 120 90 1,2 2,0 0,0359 6,23

128 32 128 2,5 2,0 0,0378 6,50

128 64 64 2,5 2,5 0,0395 6,47

128 64 128 2,5 2,0 0,0394 6,46

128 128 128 2,5 2,0 0,0368 6,28

128 192 32 2,5 2,0 0,0368 6,33

128 192 64 2,5 2,5 0,0364 6,27

128 192 128 1,0 2,0 0,0363 6,26

128 192 128 2,0 5,0 0,0362 6,25

128 192 128 2,7 1,5 0,0365 6,27

128 192 128 2,7 1,5 0,0364 6,28

128 192 128 2,7 1,5 0,0362 6,26

128 192 128 2,7 1,5 0,0365 6,26

128 192 128 2,7 1,5 0,0365 6,27

128 192 128 3,0 0,5 0,0371 6,32

192 192 192 2,5 1,0 0,0377 6,29

256 64 64 2,5 2,5 0,0419 6,59

512 64 64 2,5 1,5 0,0426 6,64

238

Таблица Б.4 - Результаты расчетов задачи конвективного теплообмена на разных расчетных сетках. Re=5000, Gr=1,6-107, Pr=0,025, Ha=0

AM, 10-4 Nu

32 32 32 2,5 2,0 0,0357 7,74

32 192 32 2,5 2,5 0,0380 8,11

32 192 128 2,5 2,0 0,0379 8,05

64 64 64 2,5 2,5 0,0386 8,23

64 64 256 2,5 0,5 0,0386 8,23

64 192 128 2,5 2,0 0,0384 8,20

64 256 64 2,5 2,5 0,0386 8,18

90 90 90 2,5 2,5 0,0386 8,21

90 120 90 1,2 2,0 0,0387 8,20

128 32 128 2,5 2,0 0,0358 7,79

128 64 64 2,5 2,5 0,0389 8,26

128 64 128 2,5 2,0 0,0387 8,23

128 128 128 2,5 2,0 0,0385 8,16

128 192 32 2,5 2,0 0,0390 8,20

128 192 64 2,5 2,5 0,0386 8,16

128 192 128 1,0 2,0 0,0385 8,15

128 192 128 2,0 5,0 0,0386 8,17

128 192 128 2,7 1,5 0,0386 8,17

128 192 128 3,0 0,5 0,0386 8,15

192 192 192 2,5 1,0 0,0388 8,16

256 64 64 2,5 2,5 0,0388 8,25

512 64 64 2,5 1,5 0,0386 8,26

239

Для оценки точности расчета результаты CFD моделирования сопоставлены друг с другом и с результатами расчета по полуэмпирическим зависимостям, которые приведены ниже:

^=0,0386;

NucvB=6,19;

Nu^o^=8,99.

Здесь - результат расчета по зависимости Филоненко (1.30);

NucvB - результат расчета по зависимости Субботина (1.33);

- результат расчета по зависимости Полянской (1.41).

По результатам серии тестовых расчетов, результаты которых приведены в таблицах Б.3-Б.4, можно сделать следующие выводы:

1. Наблюдается слабая зависимость результатов расчетов от разрешения расчетной сетки по радиальной координате. При изменении разрешающей способности сетки от одного до 4-х колмогоровских масштабов по радиусу отклонение числа Nu и коэффициента гидравлического сопротивления не превысило 2 %. Причин данного эффекта может быть несколько:

а) В расчетах использов алось сильное сгущение расчетной сетки к пристеночной области (Л^г=2,5), которое значительно превосходит значение, полученное из оценки колмогоровского масштаба длины Л^г~1,2, в результате чего в пристеночной области разрешение расчетной сетки превышало требования колмогоровского масштаба длины даже при небольшом количестве элементов по радиусу. Это позволило обеспечить качественный расчет вихревой структуры в пристеночной области - в той зоне, где наблюдаются максимальные градиенты параметров потока. При этом за счет сильного сгущения расчетной сетки к стенке канала в ядре потока разрешение расчетной сетки составляло до 5 колмогоровских масштабов по радиусу.

б) Отчасти были подтверждены оценки разрешающей способности расчетной сетки Гротзбаха [62] для DNS расчетов, согласно которым разрешение расчетной сетки можно делать значительно более грубым, нежели по требованиям выдерживать колмогоровский масштаб длины.

240

Поскольку зависимость результатов расчетов от разрешения расчетной сетки по радиусу слабое, в дальнейших расчетах по исследованию влияния свободной конвекции вдоль радиальной компоненты будет использоваться сгущение расчетной сетки по радиусу трубы Л^^.~2,5 для подробного разрешения вихревых структур в пристеночном регионе.

2. Для задачи с существенным влиянием свободной конвекции на гидродинамику и теплообмен (Gr=1,6-107) получена слабая зависимость разрешающей способности сетки по углу и продольной координаты на результаты расчетов. При Re=5000 приемлемые результаты расчетов были получены при: №^у~64, №w^~12, что значительно меньше, чем предварительные оценки в №^у~90, №w^~25.

3. Для задачи с незначительным влиянием свободной конвекции на гидродинамику и теплообмен (Gr=16) получена сильная зависимость разрешающей способности сетки по углу и продольной координаты на результаты расчетов. При Re=5000 сеточная сходимость была достигнута при разрешении расчетной сетки порядка №w,,~90, №w^~25, что соответствует предварительным оценкам по колмогоровскому масштабу длины. При уменьшении разрешающей способности расчетной сетки в 2 раза отклонение результатов расчетов коэффициента гидравлического сопротивления и коэффициента теплоотдачи не превышает 10 %.

4. Как итог, оптимальные параметры расчетной сетки при Re=5000 для исследования задачи поиска границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен: №wy~90, №w^~25, №w,~90, Л^^=2,5.

5. Оценим отклонение результатов DNS расчетов от значений, рассчитанных по полуэмпирическим зависимостям. Рассматривались результаты расчетов, параметры расчетной сетки которых были максимально близкими к оптимальным при Re=5000, №wy=128, №w^=25, №w,.=128, Л^^=2,5.

Отклонение результатов расчетов коэффициента гидравлического сопротивления методом DNS от значения, рассчитанного по формуле Филоненко, для режима с Gr=16 составило 5 %.

241

Отклонение результатов расчетов числа Nu методом DNS от значения, рассчитанного по формуле Субботина, для режима с Gr=16 составило 1,5 %.

Отклонение результатов расчетов числа Nu методом DNS от значения, рассчитанного по формуле Полянской, для режима с Gr=1,6-107 составило 9 %.

Итого наблюдается хорошее согласование результатов DNS расчетов с полуэмпирическими зависимостями.

6. Зависимости результатов CFD расчетов от выбранного шага по времени не наблюдается .

В рамках исследования границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен проводились расчеты при числах Рейнольдса: Re=5000, 10000, 15000, 20000. Рекомендуемые параметры расчетной сетки при Re>5000 получены путем увеличения разрешающей способности расчетной сетки, определенной для Re=5000, прямо пропорционально уменьшению колмогоровского масштаба длины и приведены в таблице Б.5. По продольной координате приведены параметры расчетной сетки на 1 калибр длины канала.

Таблица Б.5 - Рекомендуемые параметры расчетной сетки в DNS задаче по исследованию начала влияния свободной конвекции на теплообмен

Re Лм^у Лм^ Лм^г Лм^у -Лм^-Лм^г

5000 90 25 90 2,5 ~0,2-106

10000 160 45 160 2,5 ~1,4-106

15000 225 65 225 2,5 ~3,3-106

20000 290 80 290 2,5 ~6,7-106

Так как с ростом разрешающей способности расчетной сетки существенно увеличиваются требования к вычислительным ресурсам, провести расчеты по определению границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен с использованием параметров расчетной сетки, приведенных в таблице Б.5, затруднительно. На основе результатов по исследованию сеточной сходимости (см. таблицы Б.3-Б.4) видно, что даже при вдвое меньшей разрешающей способности расчетной сетки относительно рекомендуемых значений отклонение

242

результатов расчетов не превышает 10 %, особенно на режимах с развитой свободной конвекцией. Поэтому для расчетов по исследованию границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен были выбраны параметры расчетной сетки с несколько меньшей разрешающей способностью относительно рекомендуемых значений.

На основании результатов исследования сеточной сходимости, систематическая погрешность расчетов относительно точного решения задачи DNS, связанная с занижением разрешающей способности сетки до 1,5 раз, для режимов с Re=(10000, 15000, 20000), для коэффициента гидравлического сопротивления оценивается в 10 %, для коэффициента теплоотдачи - в 5 %. Параметры расчетной сетки, которые использовались в расчетах для оценки границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен, приведены в таблице Б.6.

Таблица Б.6 - Параметры расчетной сетки, используемые в DNS расчетах для оценки границы начала влияния свободной конвекции на теплообмен

Re

5000 120 39 128 2,5 ~0,6-106

10000 120 39 128 2,5 ~0,6-106

15000 210 42 210 2,5 ~1,8-106

20000 256 51 256 2,5 ~3,3-106

243

Оценка сеточной сходимости применительно к задаче исследования совместного влияния сильного магнитного поля и свободной конвекции на гидродинамику и теплообмен

В задаче по исследованию гидродинамики и теплообмена жидкого металла под воздействием сильного поперечного магнитного поля требования по обеспечению разрешающей способности расчетной сетки, сопоставимой с колмогоровским масштабом длины, несправедливы, поскольку сильное поперечное магнитное поле при низких числах Re практически полностью подавляет турбулентные пульсации скорости, температуры и давления, ламинаризует поток. Но, в данном случае принципиально важно исследовать влияние разрешающей способности на результаты расчетов в пристеночном регионе в пределах гартманов ского пограничного слоя, характеризующегося высокими градиентами скорости и электрического тока.

Зависимость результатов CFD расчетов от параметров расчетной сетки была исследована на двух задачах:

1. При слабом равномерном обогреве стенки канала с параметрами Re=10000, Gr=16, Pr=0,025, Ha=300;

2. С сильным равномерным обогревом стенки канала с параметрами Re=10000, Gr=1,0-107, Pr=0,025, Ha=300.

Теоретические значения коэффициента гидравлического сопротивления и коэффициента теплоотдачи можно определить по зависимостям (1.43) и (1.44) соответственно. Результаты расчета данных параметров при Re=10000, Ha=300: ^=0,1414; Nu=6,93.

Результаты оценки сеточной сходимости применительно к задаче исследования гидродинамики и теплообмена электропров одной жидкости под воздействием сильного поперечного магнитного поля и свободной конвекции приведены в таблицах Б.7-Б.8.

244

Таблица Б.7- Результаты исследования сеточной сходимости применительно к задаче МГД-теплообмена под воздействием сильного поперечного магнитного поля. Re=10000, Gr=16, Pr=0,025, Ha=300

AM, 10-4 Nu

16 16 16 3,0 5,0 0,1195 5,75

32 32 32 3,0 5,0 0,1347 6,45

64 64 64 3,0 5,0 0,1402 6,60

64 64 64 4,0 0,2 0,1453 6,68

64 64 128 3,0 1,2 0,1440 6,64

128 128 128 2,0 5,0 0,1330 6,37

128 128 128 3,0 1,2 0,1441 6,64

256 128 128 3,0 1,2 0,1441 6,64

Таблица Б.8 - Результаты исследования сеточной сходимости применительно к задаче МГД-теплообмена под воздействием сильного поперечного магнитного поля. Re=10000, Gr=1,0-107, Pr=0,025, Ha=300

AM, 10-4 Nu

16 16 16 3,0 5,0 0,1202 6,24

32 32 32 3,0 5,0 0,1347 6,45

64 64 64 3,0 5,0 0,1402 6,61

64 64 64 4,0 0,2 0,1452 6,67

64 64 128 3,0 1,2 0,1440 6,64

128 128 128 2,0 5,0 0,1330 6,37

128 128 128 3,0 1,2 0,1441 6,64

256 128 128 3,0 1,2 0,1441 6,64

245

По результатам исследования сеточной сходимости применительно к задаче по исследованию гидродинамики и теплообмена потока жидкого металла под воздействием сильного поперечного магнитного поля и обогрева стенки круглой горизонтальной трубы можно сделать следующие выводы: