Методы синтеза трехмерных сцен в информационно-измерительных системах на основе неявно заданных поверхностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.16, кандидат технических наук Первак, Ирина Евгеньевна

• Первак, Ирина Евгеньевна
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Первак, Ирина Евгеньевна

Введение

1. Основы синтеза трехмерных изображений графических интерфейсов информационно-измерительных систем

1.1. Формирование моделей изображений в информационно-измерительных системах

1.2. Способы описания поверхностей трехмерных объектов

1.3. Основы моделирования свойств поверхностей трехмерных объектов

1.3.1. Моделирование условий освещения

1.3.2. Закраска поверхности моделируемого объекта

1.3.3. Детализация поверхности

1.4. Исследование спектров синтезированных изображений

1.5. Выводы

2. Применение теории скалярных полей при моделировании поверхности пространственных объектов

2.1. Представление скалярного поля метабол-объекта в виде суперпозиции скалярных полей его компонентов

2.2. Формирование метабол-объекта в результате взаимодействия полей компонентов

2.3. Компоненты метабол-объектов

2.4. Вычисление значений скалярного поля метабол-объекта вдоль произвольного проецирующего луча

2.5. Выводы

3. Основные операции над метабол-объектами, расширяющие возможности построения реалистичных сцен графических интерфейсов иформационно-измерительных систем

3.1. Метод деформации метабол-объектов на основе аффинных преобразований его компонентов

3.2. Операции булевой алгебры над метабол-объектами

3.3. Метод двумерного текстурирования метабол-объектов

3.4. Выводы

4. Построение изображений метабол-объектов и расчет их спектральных характеристик

4.1. Визуализация неявных поверхностей методом трассировки лучей

4.2. Метод полигонализации поверхностей метабол-объектов

4.3. Расчет спектра проекции трехмерного объекта, заданного в виде треугольной сетки

4.4. Спектр Фурье ортогональной проекции треугольной грани

4.5. Исследование производительности алгоритма триангуляции и выводы по спектральному анализу изображения

4.6. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы синтеза трехмерных сцен в информационно-измерительных системах на основе неявно заданных поверхностей»

Актуальность темы. Исключительно интенсивное развитие в настоящий момент получили интерфейсы информационно-измерительных систем, построенные с применением средств машинной графики [2, 21, 37,44].

Широкое внедрение подобных интерфейсов определяется тем, что информация, содержащаяся в изображении, представлена в наиболее концентрированной форме, и для ее восприятия пользователю достаточно иметь относительно небольшой объем специальных знаний. Но подобные интерфейсы (наряду со своей высокой информативностью) имеют принципиальные недостатки: большие вычислительные затраты и низкое быстродействие. С целью повышения скорости их функционирования и снижения вычислительных затрат необходимо усовершенствование методов и алгоритмов, лежащих в основе построения интерфейсов для формирования реалистических изображений трехмерных сцен.

Указанные обстоятельства обусловили выбор объекта исследования диссертации, которым является аппаратно - программный графический интерфейс информационно-измерительных систем.

При формировании реалистичных изображений должна обеспечиваться передача всей совокупности изобразительных свойств: объемность, расположение предметов в сцене, полутона, цвет, текстура поверхности [19, 20, 24]. Поэтому теоретические исследования последних лет в значительной мере были направлены на разработку методов и средств отображения характеристик сцен в синтезируемом изображении. Этой проблемой занимались отечественные и зарубежные ученые: В.В. Александров, В.П. Батраков, Д. Роджерс, У. Прэтт и другие, но предложенные ими алгоритмы зачастую отличались очень большими вычислительными затратами.

Указанные обстоятельства обусловили выбор предмета исследования диссертации, который может быть охарактеризован как методы синтеза алгоритмов поддержки графических интерфейсов информационно-измерительных систем.

Применение математического аппарата теории скалярных и векторных полей является одним из путей повышения эффективности алгоритмов синтеза трехмерных сцен. Это достигается за счет использования аналитических (а не итерационных) методов при расчете их. основных характеристик [25, 29, 40,48].

Целью диссертационной работы является разработка методов снижения вычислительной и временной сложности алгоритмов моделирования пространственных объектов за счет использования математического аппарата скалярного и векторного анализа.

В соответствии с поставленной целью автором решены следующие задачи:

- проанализированы элементарные структурные образования для формирования изображений (называемые компонентами метабол-объектов) графических интерфейсов информационно-измерительных систем;

- исследован метод формирования поверхности метабол-объекта из совокупности его компонентов;

- получены зависимости для вычисления расстояний до основных типов компонентов метабол-объектов, позволяющие рассчитать величину результирующего скалярного поля в любой точке пространства;

- разработан метод аффинных преобразований поверхности метабол-объекта, позволяющий применять различные типы преобразований для каждого компонента;

- разработаны методы расчета скалярных полей метабол-объектов в результате применения к ним операций булевой алгебры;

- разработан метод нанесения произвольного двухмерного изображения на поверхность метабол-объекта;

- разработан эффективный способ построения изображений метабол-объектов на основе трассировки лучей;

- разработан метод расчета спектра плоской ортогональной проекции метабол-объекта.

Методы исследования. В работе используются методы теории неявных алгебраических поверхностей, теории полиномиальной аппроксимации, теоретические положения фотометрии, пространственный спектральный анализ, теории аффинных преобразований в пространстве.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан метод визуализации метабол-объектов, обладающий малой временной и вычислительной сложностью для графических интерфейсов информационно-измерительных систем.

2. Разработан метод наложения двухмерных текстур на поверхность метабол-объектов.

3. Разработан метод полигонализации поверхности метабол-объектов с учетом операций булевой алгебры.

4. На основе теории спектрального анализа многомерных сигналов разработан метод расчета спектральных характеристик плоской ортогональной проекции метабол-объектов для определения качества синтезированного изображения.

Практическая ценность работы заключается в применении теоретических положений и выводов диссертации для решения практических задач обработки изображений в системах исследуемого класса.

1. Реализован метод построения изображений метабол - объектов, позволяющий сократить временную и вычислительную сложность синтеза за счет использования полиномиальной интерполяции

2. Реализован метод, позволяющий конструировать сложные метабол -объекты в реальном времени за счет применения быстрого алгоритма триангуляции неявно заданных поверхностей для графических интерфейсов информационно-измерительных систем.

3. Разработан метод определения спектральных характеристик ортогональной проекции трехмерного метабол-объектов для последующего анализа построенного изображения.

4. Реализован метод применения различных деформаций к отдельному компоненту метабол - объектов, значительно повышающий возможности моделирования.

Реализация результатов диссертационной работы. Прикладные результаты диссертационной работы были внедрены в рамках выполнения х/д темы №022701 «Разработка математического и программного обеспечения для имитационной системы испытательного стенда» с Конструкторским бюро приборостроения, г. Тула, ООО «Дэскан», ООО «Спецтехмет», а также в ООО «Тульское агентство правовой информации» , г. Тула.

Теоретические результаты работы внедрены в учебных курсах "Системы отображения информации с высоким разрешением", "Компьютерная графика" на кафедре ЭВМ Тульского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. Межвузовская научно-техническая конференция "Микроэлектроника и информатика - 99". Москва, 19-21 апреля!999.

2. XVI научная сессия, посвященная дню радио и 70-летию Тульского государственного университета. Тула, 1999.

3. XXV Всероссийская молодежная научная конференция Гагаринские чтения. Москва, 8-12 апреля 1999.

4. XII научно-техническая конференция "Пути совершенствования ра-кетно-артиллерийских комплексов, методов их эксплуатации и ремонта". ТВАИУ. Тула, 1999.

5. Научно - практические конференции профессорско - преподавательского состава ТулГУ. Тула, 1997-1999.

6. I Всероссийская научно-техническая конференция "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве". Нижний Новгород, 3-4 февраля 1999.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 11 печатных работ.

Характеристика работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов и заключения, изложенных на 121 страницах машинописного текста, содержит 22 рисунка, 9 таблиц, список использованной литературы из 98 наименований и приложения.

Заключение диссертации по теме «Информационно-измерительные и управляющие системы (по отраслям)», Первак, Ирина Евгеньевна

4.6. Выводы

С целью уменьшения временных и вычислительных затрат при одновременном достижении высокого качества синтезируемого изображения предложен метод трассировки лучей метабол-объектов, основанный на аппроксимации значений скалярного поля вдоль луча многочленами Эрмита.

Для этапа геометрического моделирования предложен быстрый способ визуализации метабол-объектов, основанный на аппроксимации их поверхности полигональным полем с последующей визуализацией методом сканирующей строки.

Предложен алгоритм расчета спектра Фурье двухмерной прямоугольной проекции объекта, закрашенного по методу Гуро, позволяющий вычислять спектр без предварительного построения изображения, снижающий временную и вычислительную сложность спектрального анализа.

Проанализированы вычислительная сложность алгоритма полигонали-зации неявных поверхностей и связь изображения метабол-объекта с его спектральной характеристикой.

Заключение

В целом по диссертационной работе можно сформулировать следующие основные выводы и результаты.

1. На базе сравнительного исследования существующих методов геометрического моделирования предложено использовать математический аппарат теории скалярных полей для решения задачи снижения временной и вычислительной сложности алгоритмов синтеза трехмерных сцен графических интерфейсов информационно-измерительных систем.

2. Предложено использовать принцип суперпозиции скалярных полей, создаваемых отдельными компонентами метабол-объектов, для получения результирующего поля.

3. Разработаны методы расчета скалярных полей компонентов метабол-объектов в произвольной точке пространства, основанные на расстоянии от этой точки до компонента.

4. С целью повышения возможности моделирования сложных пространственных форм разработаны методы включения различных деформаций в результирующее уравнение метабол-объекта.

5. Разработан метод реализации операций булевой алгебры применительно к метабол-объектам, позволяющий сохранить С1- непрерывность описывающей функции поверхности.

6. Разработан метод двухмерного текстурирования поверхностей метабол-объектов, позволяющий установить взаимно - однозначное соответствие между элементами текстуры и точками поверхности.

112

7. Разработан простой и эффективный в вычислительном отношении алгоритм, позволяющий получать изображение метабол-объекта методом трассировки лучей.

8. Разработан быстрый алгоритм триангуляции поверхности метабол-объекта на основе пространственной декомпозиции его ограничивающего объема на кубические элементы.

9. Предложен метод расчета спектра ортогональной поверхности трехмерного объекта, основанный на триангуляции его поверхности и определении результирующего спектра на основе спектров отдельных треугольных граней.

10. Предложен метод расчета спектра проекции треугольной грани, основанный на линейной интерполяции цвета ее вершин.

11. Прикладные результаты диссертационной работы внедрены в рамках выполнения х/д темы №022701 «Разработка математического и программного обеспечения для имитационной системы испытательного стенда» с Конструкторским бюро приборостроения, г. Тула, ООО «Спецтехмет», ООО «Дэскан», а также в ООО «Тульское агентство правовой информации» , г. Тула.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Первак, Ирина Евгеньевна, 1999 год

1. Альберт Дж. Теория сплайнов и ее приложения: Пер. с англ. М.: Наука, 1971. - 141с.

2. Аммерал Л. Машинная графика на персональном компьютере. М.: Сол Систем, 1994. - 230 с.

3. Аммерал Л. Программирование графики на Турбо-Си. М.: Сол Систем, 1992. - 220 с.

4. Анисимов Б.В., Курганов В.Д., Злобин В.К. Введение в распознавание и цифровую обработку изображений. М.: Высшая школа, 1983. - 295 с.

5. Бобков В.А., Кислюк О.С., Хамидулин A.B. Формирование растровых графических изображений пространственных объектов, построенных методом конструктивной геометрии // Программирование. 1989. ■ № 3. -С. 88-92.

6. Боресков A.B., Шикин Е.В., Шикин Г.Е. Компьютерная графика: Первое знакомство. М.: Финансы и статистика, 1996 . - 176 с.

7. Быков P.E., Гуревич С.Б. Анализ и обработка цветных и объемных изображений. М.: Радио и связь, 1984. -248 с.

8. Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и проективные метрики.: Пер. с англ. М.: Мир, 1979. - 387 с.

9. Гил ой В. Интерактивная машинная графика: Пер. с англ. М.: Мир, 1981.-380 с.

10. Глаголев H.A. Проективная геометрия. М.: Высшая школа, 1976.267 с.

11. Гуревич М.М. Фотометрия. Л.: Энергоатомиздат, 1983. - 272 с.

12. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. -М.: Мир, 1988.-488 с.

13. Завьялов К.А., Первак И.Е. Оценка информационных потерь при аффинных преобразованиях растровых изображений.// Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Том 4. Выпуск 4. Информатика. Тула, 1998. Стр.34-38.

14. Иванов В.П., Батраков A.C. Синтез изображений объектов сложной формы методом трассирования лучей // Программирование. 1989. - № 2. -С. 70-75.

15. Иванов В.П., Батраков A.C. Трехмерная компьютерная графика / Под ред. Г.М. Полищука. М.: Радио и связь, 1995. - 224 с.

16. Иванов В.П., Сечко A.M., Желаннов С.А. Полутоновое иллюстрирование трехмерных функций с помощью ЭВМ //Программирование. № 1. -С. 51-55.

17. Игнатьев В.М., Ларкин Е.В. Восприятие информации в системах искусственного интеллекта. Тула: Тул. гос. ун-т, 1993. - 88с.

18. Игнатьев В.М. Системы отображения, записи и ввода видеоинформации повышенных объема и плотности. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. - 160 с.

19. Игнатьев Н.К. Дискретизация и ее приложения. М.: Связь, 1980.264 с.

20. Ковалев A.M., Талныким Э.А. Машинный синтез визуальной обстановки // Автометрия. 1984. - № 4. - С. 78-83.

21. Коган В.Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. -М.: Физматгиз, 1967. 267 с.

22. Клименко C.B., Кочин В.Н. Об одном способе изображения поверхностей в машинной графике // Программирование. 1981. - №2. —С. 68-71.

23. Красильников H.H. Теория передачи и восприятия изображения. -М.: Радио и связь, 1986. 247 с.

24. Лаптев Г.Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975.336 с.

25. Лапшин Е. Графика для ЮМ PC. М.: Солон, 1995. - 228 с.

26. Ллойд Дж. Основы тепловидения: Пер.с англ.-М.: Мир, 1972,- 414 с.

27. Машинная графика и ее приложения: Сб. науч. тр. АН СССР. / Под ред. А.М. Мацокина. Новосибирск: АН СССР и СО АН, 1983. - 137 с.

28. Машинная графика и вычислительная геометрия в задачах машиностроения / Под ред. О.М.Белоцерковского. М.: НС по КП «Кибернетика» при АН СССР, 1989. - 178 с.

29. Норден А.П. Теория поверхностей М.: Госмехиздат, 1956 - 259 с.

30. Ньюмен У., Спрулл Р. Основы интерактивной машинной графики: Пер. с англ. М.: Мир, 1976. - 573 с

31. Очин Е.Ф. Вычислительные системы обработки изображений. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 133 с.

32. Первак И.Е. Метабол-моделирование.// Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Том 2. Выпуск 1. Вычислительная техника. Тула, 1998. Стр. 85-93.

33. Погорелов A.B. Дифференциальная геометрия. М.: Высшая школа, 1969.-365 с.

34. Прэтт У. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - Кн. 1. - 310 с,; Кн. 2 - 473 с.

35. Прэтт У., Фожра О., Гагалович А. Применение моделей стохастических текстур для обработки изображений //ТИИЭР. 1981. - № 5. - С. 54-64.

36. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1980. - 240 с.

37. Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики. М.: Мир, 1989. - 504 с.

38. Смирнов С.А. Проективная геометрия. М.: Недра, 1976. - 176 с.

39. Талныкин Э.А. Внутренний язык для описания визуальных моделей //Автометрия. 1985. - № 4. - С. 44-49.

40. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия: Пер. с англ. М.: Мир, 1982.-304 с.

41. Фоли Дж., А. Вэн Дэм. Основы интерактивной машинной графики: Пер. с англ. -М.: Мир, 1985.-Т. 1.-367 е.; Т. 2.-368 с.

42. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Пер. с англ. -М.: Мир, 1983.-349 с.

43. Уокер С., Гурд Д.П., Дроняк Е.А. Интерактивная машинная графика: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1980. - 171 с.

44. Шикин Е.В., Плис А.И. Кривые и поверхности на экране компьютера: Руководство по сплайнам для пользователей. М,: Диалог-МИФИ, 1996,-240 с.

45. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. -М.: Сов. Радио, 1979. 312 с.

46. J. Ambrosiano, S. Brandon, R Lujiner, С. R. DeVore. Electromagnetics via the Taylor-Galerkin Finite Element Method on Unstructured Grids. //Journal of Computational Physics, vol. 110,1994, pp. 310-319.

47. C.L Bajaj. Geometric modelling with algebraic surfaces. //The Mathematics of Surfaces III. 1989. pp 43-56.

48. C. Baja. Modeling Skeletal Structures with Piecewise Algebraic Surfaces Curves and Surfaces. //Computer Vision and Graphics II, 1991, pp. 230-237.

49. C. Bajaj, A. Royappa. Triangulation and Display of Arbitrary Rational Parameric Surfaces. //Computer Society Press, Los Alamitos CA, 1994. pp. 69-76.

50. C. Bajaj, F. Bernardini, G. Xu. Adaptive Reconstruction of Surfaces and Surface-on Surface from Dense Scattered Trivariate Data. //Technical report CS-95-028, Computer Science Dept., Purdue University, Lafayette, IN, 1994-pp. 347-476.

51. D. Banks, C. Weigle. Complex-Valued Contour Meshing. //Proceedings of Visualization 1996. pp. 173-180.

52. R. Barnhill, K. Opitz, H. Pottmann. Fat Surfaces: a Trivariate Approach to Triangle-based Interpolation on Surfaces. //Computer Aided Geometric Design, vol. 9, no. 5, Oct. 1993. pp. 365-378.

53. V. Chandru, D. Dutta, C. Hoffmann. Variable Radius Blending using Dupin Cyclides. //Geometric Modeling for Product Engineering, Elsevier Science Publishers, Amsterdam, 1990. pp. 456.

54. H. Chiyokura, F. Kimura. Design of Solids with Free-Form Surfaces. //In Computer Graphics, 17, 3,1983. pp. 25-29.

55. W. L. F. Degen. Generalised Cyclides for use in Computer Aided Geometric Design. //Computer Aided Surface Geometry and Design. //Oxford University Press, 1994. pp. 369.

56. W. L. F. Degen. Nets with Plane Silhouettes II. //Mathematics of Surfaces VII, 1996.-pp. 248.

57. S. de Freitas, G. Tavares. Solving Implicit ODEs by Simplicial Methods, in Curves and Surfaces. // The Visual Computer, vol. 12, no. 10, Dec, 1991. -pp. 193-196.

58. M. Desbrun, M. Gascuel. Highly Deformable Material for Animation and Collision Processing. //5th Eurographics Workshop on Animation and Simulation, Oslo, Norway, Sep. 1994. pp. 45-89.

59. R. Drebin, L. Carpenter, P. Hanrahan. Volume Rendering. //Computer Graphics, (Aug. 1988) , 1988. pp. 65-74.

60. T. Duff. Interval Arithmetic and Recursive Subdivision for Implicit Functions and Constructive Solid Geometry. // Computer Graphics, (Jul. 1992). -pp. 131-138.

61. I. Fujii, Y. Morimoto, Y. Higuchi, N. Yasuoka. A Polypeptide ModelBuilding Program for a Graphics Workstation. // Journal of Molecular Graphics, vol. 10, no. 3, Sept., 1992, pp. 185-189.

62. T. Fujita, K. Hirota, K. Murakami. Representation of Splashing Water using Metaball Model. //Fujitsu, 1990, vol. 41, no. 2, pp. 324.

63. R. Gallagher, J. Nagtegaal. An Efficient 3D Visualization Technique for Finite Element Models and Other Coarse Volumes. // Computer Graphics, (Aug.) 1989. pp. 185-194.

64. M. Garrity. Raytracing Irregular Volume Data. //Computer Graphics, vol. 24, no. 5, Nov. 1990. pp. 35-40.

65. T. Garrity, J. Warren. On Computing the Intersection of a Pair of Algebraic Surfaces. //Computer Aided Geometric Design, v. 6, n. 2, 1989. -pp. 137-153.

66. J. Gascuel. Implicit Patches: an Optimized and Powerful Ray Intersection Algorithm for Implicit Surfaces. //Implicit Surfaces 95, Grenoble, France, Apr. 1995, pp. 143-159.

67. J. Goldsmith, A. Jacobson. Marching Cubes in Cylindrical and Spherical Coordinates. //Journal of Graphics tools, vol. 1, no. 1,1996. pp. 21-31.

68. J. Gomes, L. Velho. Implicit Objects in Computer Graphics. //Monografías de Matematica No. 53, 1992. pp. 56-79.

69. N. Greene. Detailing Tree Skeletons with Voxel Automata. //The Visual Computer, vol. 12, no. 10, Dec, 1993. pp. 67-81.

70. J. Hart. Sphere-Tracing: A Geometric Method for the Antialiased Ray Tracing of Implicit Surfaces. //The Visual Computer, vol. 12, no. 10, Dec. 1996. -pp. 527-545.

71. C. Hoffmann. Geometric and Solid Modeling, an Introduction. //Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco CA, 1989. pp. 426.

72. L. Holmstrum. Piecewise Quadric Blending of Implicitly Defined Surfaces. Technical report, Laboratory for Information Processing Sciences, Tech. University of Helsinki, Helsinki, 1985. pp.456.

73. J. Kajiya, B. Von Herzen. Ray Tracing Volume Densities. //Computer Graphics, 18, 3 , 1984, pp. 165-174.

74. A. Kaul, J. Rossignac. Solid-Interpolating Deformations: Construction and Animation of PIPs. //Computers and Graphics, vol. 16, no. 1, 1992. -pp. 43-87.

75. D. King. Modeling with Metaballs. //Computer Graphics World, March, 1995, pp. 67-68.

76. A. Koide, A. Doi, K. Kajioka. Polyhedral Approximation Approach to Molecular Orbital Graphics. //Molecular Graphics, vol. 4, no. 3, 1986. -pp. 356-378.

77. J. Levin. A Parametric Algorithm for Drawing Pictures of Solid Objects Bounded by Quadric Surfaces. //Communications of the ACM, vol. 19, no. 11, Nov. 1986, pp. 555-563.

78. R. R. Martin. Principal Patches for Computational Geometry. //Ph.D. dissertation. Cambridge University Engineering Department, 1982.

79. N. Max, B. Wyvill. Shapes and Textures for Rendering Coral. //Scientific Visualization of Physical Phenomena, 1991, pp. 333-343.

80. A. Middleditch, K. Sears. Blend Surfaces for Set Theoretic Volume Modeling Systems. //Computer Graphics, 19, 3 (Jul. 1985) ACM SIGGRAPH, New York, 1985, pp. 161-170.

81. D. Moore, J. Warren. Bounded Aspect Ratio Triangulation of Smooth Solids. //CAD/CAM Applications, 5-7 Jun. 1991, pp. 455-464.

82. S. Murakami, H. Ichihara. On a 3D Display Method by Metaball Technique. //Electronics, Information and Communication Engineers D (Japan), vol. J70, no. 8, Aug. 1987, pp. 1607-1615.

83. T. Nishita, E. Nakamae. A Method for Displaying Metaballs by Using Bezier Clipping. //Computer Graphics Forum vol. 13, Sept. 1994, pp. C271-C280.

84. K. Novins, F. Sillion, D. Greenberg. An Efficient Method for Volume Rendering using Perspective Projection. //Computer Graphics, vol. 24, no. 5, Nov. 1990, pp. 95-102.

85. A. Pasko, Pilyugin V.V., Pokrovskiy V.V. Geometric Modeling in the Analysis of Trivariate Functions. // Computers and Graphics, vol. 12, nos. 3/4, 1988, pp.457-465.

86. H. Pedersen. Decorating Implicit Surfaces. //Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series, 1995, pp. 291-300.

87. H. Pottmann, M. G. Wagner. Principal Surfaces. The Mathematics of Surfaces. //Information Geometers, Winchester, UK, 1997, pp. 337-362.

88. M. J. Pratt. Cyclides in Computer Aided Geometric Design. //Computer Aided Geometric Design, v. 12, n. 1, 1995, pp. 1-22.

89. M. J. Pratt, Quartic Supercyclides: Basic Theory. //Computer Aided Geometric Design, v. 14,1997, pp. 671-692.

90. A. Rappoport, A. Sheffer, M. Bercovier. Volume-Preserving Free-Form Solids. //Computer Graphics, vol. 2,1996, no. 1, pp. 19-27.121

91. A. Requicha, H. Voelcker. Solid Modeling: A Historical Summary and Contemporary Assessment. //Computer Graphics and Applications, vol. 2, no. 2, Mar. 1982, pp. 9-24.

92. A. Rockwood. Blending Surfaces in Solid Geometric Modeling. //Ph.D. Thesis, Cambridge University, Cambridge, U.K., 1987, pp 356.

93. A. Rockwood. The Displacement Method for Implicit Blending Surfaces in Solid Models. //ACM Transactions on Graphics 8, 4, Oct. 1989, pp. 279-297.

94. A. Rockwood, J. Owen. Blending Surfaces in Solid Modeling. //Geometric Modeling. Philadelphia, 1987.

95. S. Roth. Ray Casting as a Method for Solid Modeling. //Computer Graphics and Image Processing, vol. 18, no. 2 (Feb. 1982), pp. 109-144.

96. M. Schmidt, C. Cubes. Visualizing Implicit Surfaces by Adaptive Polygonization. //Visual Computer, vol.10, no.2, 1993 pp. 101-15.