Методы повышения эффективности автоматизированного анализа жестких радиотехнических цепей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат технических наук Пилипенко, Александр Михайлович

• Пилипенко, Александр Михайлович
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Пилипенко, Александр Михайлович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1: ОБЗОР ИЗВЕСТНЫХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА ЖЕСТКИХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

1.1 Жесткие задачи анализа радиотехнических цепей

1.2 Точность и устойчивость численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

1.3 Жесткость систем обыкновенных дифференциальных уравнений

1.4 Современные численные методы решения жестких систем

1.5 Методы идентификации параметров моделей компонентов радиотехнических цепей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы повышения эффективности автоматизированного анализа жестких радиотехнических цепей»

Актуальность работы. Известные программы схемотехнического проектирования используются чаще всего для проверки работоспособности радиотехнических цепей. Однако возможности современной вычислительной техники позволяют выполнить численными методами более детальные исследования, сопоставимые с результатами физического макетирования. Для этого необходимо учитывать большое число параметров радиотехнической цепи. Как показано в книге Ю. В. Ракитского [1], учет большого числа параметров при построении математических моделей радиотехнических цепей часто требует для полного описания процессов на любом отрезке времени функций двух типов, убывающих быстро и медленно. Функции первого типа убывают очень быстро, так что большую часть времени наблюдаются функции второго типа, которые убывают очень медленно. Однако, в любой момент времени сохраняется возможность появления быстрозатухающего процесса, описываемого функциями первого типа. Такое поведение радиотехнической цепи называется жесткостью, а системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), моделирующие цепи такого типа, называются жесткими СОДУ.

Жесткость наиболее часто проявляется в следующих задачах анализа радиотехнических цепей, которые рассмотрены в работах JI. О. Чуа [2], В. В. Дикусара [3], В. Б. Дмитриева-Здорова [4]:

1. При анализе цепей с сосредоточенными параметрами, таких как генераторы гармонических сигналов, широкополосные усилители с обратными связями, устройства с нелинейными элементами, имеющими высокую вариацию дифференциальных параметров.

2. При анализе цепей с распределенными параметрами, представленных в виде многозвенных структур с сосредоточенными параметрами.

3. При идентификации параметров моделей компонентов радиотехнических цепей.

Решение первой и второй задачи состоит в численном интегрировании

СОДУ цепи. В работах Н. Н. Калиткина [5, 6] показано, что современные численные методы интегрирования СОДУ при решении жестких задач имеют ряд недостатков, связанных с необходимостью использовать мелкий шаг интегрирования, что приводит к росту времени анализа и погрешности округления. В результате в программах автоматизированного анализа электронных цепей (иногда в одной и той же программе) используются различные методы решения СОДУ. Чаще всего - метод Гира, метод трапеций и неявный метод Эйлера (как наиболее надежный при решении жестких задач). При моделировании указанных выше цепей, которые далее будем называть жесткими, методы Гира и трапеций теряют свою эффективность из-за особенностей их устойчивости, а неявный метод Эйлера дает весьма приближенные результаты, поскольку имеет минимальный порядок точности.

Решение третьей задачи состоит в оптимизации (минимизации) многомерных функционалов, имеющих, так называемую, овражную структуру. Задача минимизации таких функционалов является жесткой. Овражные функционалы характеризуются наличием некоторой области притяжения, в которой норма вектора-градиента минимизируемого функционала существенно меньше, чем в остальной части пространства. Практически все методы оптимизации, используемые в программах анализа цепей, позволяют достаточно быстро попасть в область притяжения из начальной точки, но далее процесс спуска резко замедляется и останавливается в некоторой точке, расположенной не обязательно вблизи точки истинного минимума. Кроме того, в результате недифференцируемости минимизируемого функционала вблизи дна оврага, потенциальная минимальная погрешность метода наименьших квадратов не может быть реализована, причем алгоритмы, использующие численное дифференцирование, оказываются наименее точными. Это связано с тем, что на практике характеристики компонентов цепей измеряются с погрешностью, намного превышающей погрешность представления чисел в компьютере, и при этом на дне овражной структуры наблюдается цифровой шум.

Фактически эффективность алгоритмов решения задачи оптимизации падает не с увеличением размерности задачи, а с увеличением ее жесткости которая, как правило, растет с увеличением размерности, что показано в работе Р. П. Федоренко [7].

Исходя из всего выше сказанного, очевидно, что методы анализа радиотехнических цепей в существующих пакетах автоматизированного проектирования либо имеют ряд существенных недостатков, либо вообще непригодны при анализе жестких моделей. Поэтому требуется выявить недостатки известных методов и разработать новые методы анализа жестких цепей, более эффективные, то есть более точные и устойчивые, по сравнению с известными методами.

Значительный вклад в развитие теории методов решения жестких задач анализа радиотехнических цепей внесли И. Г. Черноруцкий, В. Н. Ильин, Я. К. Трохименко, В. Б. Дмитриев-Здоров, а также Ю. В. Ракитский, Н. Н. Калиткин, Р. П. Федоренко. Работы по данной теме ведутся отечественными исследователями, и интенсивно продолжаются за рубежом, однако существует много нерешенных проблем связанных с использованием известных методов для автоматизированного анализа жестких моделей, что говорит об актуальности темы диссертационной работы. Новые методы решения жестких СОДУ и алгоритмы параметрической идентификации для задач детального анализа радиотехнических цепей необходимы для повышения эффективности разработки радиоэлектронных устройств при полной или частичной замене натурного эксперимента развитым численным моделированием.

Целью работы является создание и обоснование новых эффективных методов и моделей для решения с гарантированной точностью жестких задач теории радиотехнических цепей.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решались следующие задачи:

1. Критический анализ эффективности (точности и устойчивости) известных численных методов решения СОДУ и идентификации параметров жестких моделей радиотехнических цепей и их компонентов.

2. Разработка и обоснование более эффективного, чем известные методы, численного метода решения СОДУ, предназначенного для анализа жестких цепей с сосредоточенными параметрами.

3. Формулировка и обоснование более эффективных, чем известные методы, численных методов решения СОДУ высокого порядка, предназначенных для моделирования цепей с распределенными параметрами.

4. Разработка численных методов оценки жесткости и обусловленности моделей компонентов радиотехнических цепей.

5. Обоснование алгоритма оптимизации и моделей компонентов радиотехнических цепей, позволяющих уменьшить влияние жесткости при идентификации параметров моделей.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Результаты исследования точности и устойчивости современных методов численного анализа жестких радиотехнических цепей.

2. Модифицированные численные методы анализа жестких цепей с сосредоточенными параметрами и результаты исследования их точности и устойчивости при решении тестовых задач соответствующих жестким моделям линейных и нелинейных радиотехнических цепей.

3. Модифицированные численные методы анализа цепей с распределенными параметрами и результаты исследования их точности и устойчивости при решении тестовых задач соответствующих различным моделям звеньев с сосредоточенными параметрами, аппроксимирующих распределенную структуру.

4. Методы оценки жесткости и обусловленности моделей компонентов радиотехнических цепей.

5. Алгоритм оптимизации и результаты исследования его точности на известных и скомпилированных в данной работе статических и динамических моделях диода и полевого транзистора.

Научная новизна.

1. Разработан модифицированный метод решения СОДУ, предназначенный для анализа жестких цепей с сосредоточенными параметрами, разностная схема которого учитывает все исходные данные для задачи Коши и обеспечивает квадратичную зависимость глобальной погрешности от временного шага.

2. Предложен метод решения жестких СОДУ высокой размерности (моделирующих распределенные цепи с малыми потерями), построенный на основе итераций Зейделя.

3. Разработан алгоритм, позволяющий количественно оценить жесткость моделей компонентов радиотехнических цепей. Впервые определены жесткость и обусловленность ряда моделей полупроводникового диода и полевого транзистора.

4. Предложен метод параметрической идентификации моделей компонентов радиотехнических цепей, позволяющий уменьшить влияние жесткости на поиск минимума многомерной целевой функции и тем самым повысить точность определения параметров моделей.

Практическая значимость.

1. Разработанный метод численного анализа жестких цепей с сосредоточенными параметрами, обеспечивает увеличение порядка точности по сравнению с известными методами при той же вычислительной сложности.

2. Предложенные методы решения жестких СОДУ высокой размерности для анализа цепей с распределенными параметрами обеспечивают линейный рост вычислительных затрат с ростом размерности задачи при сохранении необходимой точности и устойчивости решения.

3. Результаты исследования жесткости моделей компонентов радиотехнических цепей позволяют обосновать выбор методов идентификации параметров для обеспечения требуемой точности определения параметров.

4. Результаты исследования обусловленности моделей полупроводникового диода позволяют сформулировать требования к точности и области измерения характеристик прибора при заданной точности определения параметров или при известной точности и области измерений получить оценку точности определения параметров.

5. Предложенный метод параметрической идентификации, позволяет определять параметры жестких моделей компонентов радиотехнических цепей с гарантированной точностью не менее 4 - 5-ти значащих цифр.

Методы исследования. В работе использованы методы теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики, теории цепей, математической статистики, линейного и нелинейного программирования.

Внедрение результатов работы. Основные результаты диссертационной работы нашли применение в разработках, выполненных в интересах предприятия «Научно-исследовательская лаборатория автоматизации проектирования» (г. Таганрог), при выполнении госбюджетных работ № 11170, №11055/1 на кафедре ТОР ТРТУ, а также используются в учебном процессе кафедры ТОР ТРТУ в курсах «Математические основы моделирования цепей и сигналов» и «Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭА».

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на семинарах кафедры теоретических основ радиотехники ТРТУ; на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ, 2002 - 2005 гг. на 6-й и 7-й Всероссийских научных конференциях «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». Таганрог. ТРТУ, 2002, 2004 г.г. на международной научной конференции «Анализ и синтез как методы научного познания», Таганрог: ТРТУ, 2004. на семинаре НИИ многопроцессорных вычислительных систем. Таганрог, 2004 г.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе 4 в центральной печати.

Личный вклад автора. Все включенные в диссертацию результаты получены в основном лично соискателем, либо при его непосредственном участии. В работах, выполненных в соавторстве, участие автора состояло в постановке экспериментов, анализе и обработке экспериментальных данных, разработке методов решения поставленных задач на ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения, изложенных на 156-ти страницах и проиллюстрированных 68-ю рисунками и 19-ю таблицами, а также списка литературы из 64-х наименований

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Пилипенко, Александр Михайлович

5.6 Основные результаты и выводы

Ф Предложен и реализован в программе MATHCAD графоаналитический метод, позволяющий впервые численно оценить жесткость моделей различных компонентов радиотехнических цепей. Экспериментальная проверка показала, что большинство из рассмотренных выше моделей можно отнести к жестким.

Стандартные методы спуска первого и второго порядка, используемые, например, в программе MATHCAD и программе автоматизированного анализа цепей MICROCUP-V не позволяют в общем случае получить наименьшую от-ir носительную погрешность идентификации параметров моделей, что, как показано в совместной работе автора диссертации с В. Н. Бирюковым [64], необходимо, для моделирования дифференциальных (балансных, мостовых) цепей. Очевидно, это связано с высокой жесткостью исходных моделей.

Уменьшение размерности минимизируемой численно функции приводит к существенному снижению ее жесткости, что при прочих равных условиях позволяет повысить точность определения параметров. Численный эксперимент с помощью программы MATHCAD подтвердил, что редукция размерности задачи с соответствующим снижением ее жесткости, позволяет в ряде случаев уменьшить погрешность определения параметров до приемлемого уровня без существенного увеличения времени решения задачи. Однако для контроля точности и в этом случае приходится прибегать к методу случайного спуска.

Практическое решение задачи идентификации параметров элемента невозможно без исследования обусловленности модели, позволяющего оценить погрешность идентификации параметров. В работе введено содержательное понятие обусловленности (робастности) модели и на примере статической модели диода приведена разработанная методика определения обусловленности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан новый метод решения жестких СОДУ, основанный на методе трапеций и методе экспоненциальной подгонки. В отличие от этих методов, в предлагаемом методе соотношение между явной и неявной компонентами не фиксировано, а зависит от шага интегрирования. В итоге при больших шагах его глобальная погрешность близка к погрешности неявного метода Эйлера, а при малых - к погрешности метода трапеций. Показано, что предлагаемый метод, названный методом глобальной подгонки, обеспечивает большую эффективность по сравнению с известными методами при анализе жестких цепей с сосредоточенными параметрами. Для доказательства эффективности метода были численно исследованы его устойчивость, глобальные и локальные погрешности, для этого были решены различные тестовые СОДУ, описывающие математические модели, как линейных цепей различной жесткости, так и жесткие нелинейные цепи.

2. Разработаны методы решения жестких СОДУ высокой размерности для анализа цепей с распределенными параметрами. Предложенные методы основаны на применении итераций Зейделя для решения неявных разностных схем Рунге-Кутта. Это позволяет использовать для анализа цепей с распределенными параметрами метод Рунге-Кутта 2-го порядка, обеспечивая линейный рост вычислительных затрат с ростом размерности задачи при сохранении необходимой точности и устойчивости решения. Для доказательства эффективности предложенных методов исследованы их устойчивость, глобальные и локальные погрешности, для этого были решены различные тестовые СОДУ, описывающие базовые модели звеньев, аппроксимирующих линии передачи.

3. Для обоснования эффективности численно-аналитического метода оптимизации метода предложен алгоритм оценки жесткости при идентификации параметров моделей и впервые исследована жесткость и обусловленность различных статических моделей полупроводникового диода, моделей барьерной емкости р-n перехода и статических моделей полевого транзистора.

4. Показано, что исследование обусловленности модели позволяет сформулировать требования к точности и области измерений характеристики моделируемого компонента при заданной точности определения параметров или при известной точности и области измерений получить оценку точности определения параметров модели компонента.

5. Показано, что применение численно-аналитического метода оптимизации для рассмотренных моделей позволяет уменьшить жесткость задачи численной оптимизации и обеспечить точность определения параметров соизмеримую с точностью измерений. Для уменьшения жесткости задачи численной оптимизации производилась редукция размерности минимизируемой функции. При поиске начальных приближений для инициализации процедуры идентификации предложена система иерархичности моделей, на основании которой удается в качестве исходных данных при определении параметров сложных моделей использовать параметры более простых моделей.

146

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Пилипенко, Александр Михайлович, 2005 год

1. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. - М.: Наука, 1979. - 208 с.

2. Чуа Л. О., Пен-Мин Лин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы. Пер. с англ. М.: Энергия, 1980. - 640 с.

3. Дикусар В. В., КошькаМ., Фигура А. Метод введения параметров для жестких систем в рамках теории явных разностных схем. Сб. Нелинейная динамика и управление / под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. -Вып.1 -М.: Физматлит, 2001. С. 293-302.

4. Дмитриев-Здоров В. Б. Асимптотические адаптируемые модели для автоматизированного анализа электрических цепей. Диссертация на соискание ученой степени кандидата техн. наук. Таганрог 1985

5. Калиткин Н. Н. Численные методы решения жестких систем // Математическое моделирование. 1995. - Т.7, № 12 - С. 8-11.

6. Калиткин Н. П., Папченко С. Л. Оптимальные схемы для жестких неавтономных систем // Математическое моделирование. 1999 - Т. 11, № 6. -С. 52-82.

7. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику: Учеб. пособие для вузов. М.: Изд-во Моск. Физ.-техн. Ин-та, 1994. - 528 с.

8. Попов В. П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 2003 - 575 с.

9. Носов Ю. Р., Петросянц К. О., Шилин В. А. Математические модели элементов интегральной электроники. М.: Сов. Радио, 1976.

10. Щебет В. В. Алгоритмы идентификации параметров моделей двухполюсных элементов радиотехнических цепей. Диссертация на соискание уч. степени канд. техн. наук. Таганрог, Таганрогск. гос. радиотехн. ун-т, 2003. 148 с.

11. Барнс Д. Электронное конструирование: методы борьбы с помехами. -М.: Мир, 1990.

12. Демирчан К. С., Нейман JI. Р., Коровкин Н. В., Чечурин В. М. Теоретические основы электротехники. В 3-х т. Учебник для вузов. Том 2. 4-е изд. Спб.: Питер, 2004.

13. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Под. ред. Холл Д., Уатт Д. — М.: Мир, 1979.

14. Пантелеев А. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2001, 376 с.

15. Бирюков В. Н. Выбор контрольного члена в явных методах численного интегрирования СОДУ // Известия ТРТУ. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. -№1 (15). - С. 25.

16. Пьявченко О. Н. Экстраполяционно-интерполяционная схема интегрирования по формуле трапеций в микропроцессорных системах реального времени // Радиотехника. 2001. - № 7. - С. 88-92.

17. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. -М.: Физматлит, 2000.

18. Дику cap В. В. Методы теории управления при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1994.-Т. 30, № 12-С. 2116-2121.

19. Бирюков В. Н. Автоматизированный анализ цепей: Численные методы. Конспект лекций. 4.2. Таганрог: изд-во ТРТУ, 2002. 40 с.

20. Аттетков А. В. и др. Методы оптимизации. Учеб. для студ. втузов. М: Изд-во МГТУ, 2001, 300 с.

21. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.-509 с.

22. Ильин В. Н. Основы автоматизации схемотехнического проектирования. М.: Энергия, 1979. - 392 с.

23. Antognetti P., Massobrio G. (Eds.) Semiconductor Device Modeling with SPICE. New York: McGraw-Hill, 1987.

24. Трохименко Я. К. Предисловие к тематическому выпуску "Автоматизация схемотехнического проектирования"/ Радиоэлектроника. 1991. - Т. 34.-№6.-С. 3

25. Титце X., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника: Справ, руководство. Пер с нем. / Под ред. А. Г. Алексенко М.: Мир, 1982. - 512 с.

26. Дьяконов В. П. MATLAB: Учебный курс. Спб: Питер, 2001 560 с.

27. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. L-устойчивый экспоненциально подогнанный метод численного интегрирования дифференциальных уравнений // Известия ТРТУ. Спец. вып. «Материалы XLVII научно-технической конференции». -Таганрог: ТРТУ, 2002. № 1 (24), С. 17.

28. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. К численному анализу жестких узкополосных систем // Радиотехника. 2002. № 6. С. 36-39.

29. Press W. Н., Tenkolsky S. A., Flannery В. P. The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1988. P. 992

30. Бирюков В. H. Автоматизированный анализ цепей: Модели элементов. Конспект лекций. Ч. 1. Таганрог: ТРТУ, 2001. - 46 с.

31. Манаев Е. И. Основы радиоэлектроники. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1990. - 512 с.

32. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. Нью-Йорк, 1970. Пер. с англ. М.: Сов. Радио, 1977. - 368 с.

33. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

34. Нейман J1. Р., Демирчан К. С. Теоретические основы электротехники. Т. 1 3-е изд. - Л.: Энергоиздат, 1981. - 536 с.

35. Giovanni de Micheli and Alberto Sangiovanni-Vincentelli. Characterization of integration algorithms for the timing analysis of MOS VLSI circuits // Circuit theory and applications. 1982. - vol. 10. - P. 299-309.

36. Банакова И. В., Бирюков В. Н., Марков Ю. Н. Численный анализ RL, RC и LC-цепей во временной области // Радиоэлектроника. 1993. - Т. 36. -№ 3. - С. 74-76. (Изв. высш. учебн. заведений)

37. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Решение неявных разностных схем итерациями Зейделя // Известия ТРТУ. Спец. вып. «Материалы XLVIII научно-технической конференции». Таганрог: ТРТУ, 2003. № 1(30) С. 18-Г' 19

38. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Решение неявных разностных схем Рунге-Кутта итерациями Зейделя. Таганрог: ТРТУ, 2003. - 25 с. -Депонировано в ВИНИТИ, № 1287-В 2003 от 10.07.03.

39. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Численный анализ волновых процессов // Математическое моделирование. Т. 17, №5, 2005. С. 123-128.

40. М. Kondo, Н. Onodera, and К. Tamaru. Model-adaptable MOSFET рагате-ter-extraction method using intermediate model /7 IEEE Trans. Computer-Aided Design, 1998. V. 17. May. P. 400.

41. Разевиг В. Д. Применение программ P-CAD и P-SPICE для схемотехнического моделирования на ПЭВМ. В 4-х вып. Вып. 2. Модели компоненf ■тов аналоговых устройств. М.: Радио и связь, 1992.

42. McAndrew С. С. Practical Modeling for Circuit Simulation // IEEE J. Solid-State Circuits. Mar. 1998. V. 33. P. 439.

43. Бирюков В. H. Модель полупроводникового диода для машинного анализа // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1992. № 6. С. 78.

44. Бирюков В. Н., Шипитько А. А. Двухузловая модель полупроводникового диода // Известия ТРТУ. Таганрог: ТРТУ. 1997. № 4. С. 51.

45. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. К оценке точности двухузловой стати1. Тческой модели полупроводникового диода // Сб. научных статей «Современные проблемы теории радиотехнических сигналов, цепей и систем». Таганрог: ТРТУ, 2004. С. 68-72

46. Пирумов У. Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Дрофа, 2003. - 224 с.

47. Бирюков В. Н., Гатько Jl. Е. Определение значения постоянной Больц-мана // Известия ТРТУ. Таганрог: ТРТУ, ! 997, № 2 (5). С. 190 191.

48. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Исследование жесткости моделей барьерной емкости р-n перехода // Материалы международной научной конференции «Анализ и синтез как методы научного познания». Таганрог: ТРТУ, 2004.-С. 9-13

49. Попов В. П. Формальная аппроксимация вольтамперных характеристик полевых транзисторов // Радиотехника и электроника 1966. - Т. XI, № 11 - С. 2088-2089.

50. Бирюков В. Н. Модификация модели Шичмена Ходжеса // Известия ТРТУ. Таганрог: ТРТУ, 1999, № 2 (12). С. 40 - 41.

51. Hajj I. N., Skelboe S. Time-domain analysis of nonlinear systems with finite number of continuous derivatives // IEEE Trans. Circuits and Systems. 1979. -Vol. 27.-N. 5.-P. 297-303.

52. McAndrew С. C., Bhattacharyya B. 1<L, and Wang O. A. C-continuous depletion capacitance model // IEEE Trans. Computed-Aided Design. 1993. - Vol. 12.-N. 6.-P. 825-828.

53. Аваев H. А., Губарев JI. M. Учебное пособие к лабораторным работам по микроэлектронике / Под ред. П. А. Аваева. М.: Изд-во МАИ, 1993. -55 с.

54. Бирюков В. Н. Применение аппроксимации плавного канала в МДП-транзисторах при зависимости подвижности носителей от поперечногоэлектрического поля // Радиотехника и электроника. 1974. - Т. 19 - № 7. -С. 1556-1558.

55. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. О точности идентификации параметров моделей полевого транзистора //Сборник трудов конференции «Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных проблем». 4.2. Таганрог: ТРТУ, 2002. - С. 10-11.

56. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Исследование трехпараметрической модели высокочастотного полевого транзистора // Известия вузов. Электроника. № 6, 2003. С. 22-26

57. Пилипенко А. М. Исследование жесткости простейших моделей полевого транзистора // VII Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». Тезисы докладов. Таганрог. 2004, с. 8-9

58. Пилипенко А. М. Особенности параметрической оптимизации статических моделей полевого транзистора // Материалы международной научной конференции «Оптимальные методы решения научных и практических задач». Ч. 4. Таганрог: ТРТУ, 2005. - С. 5 1-56.