Исследование методов нелинейной пространственно-временной обработки случайных полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Быков, Александр Викторович

• Быков, Александр Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Быков, Александр Викторович

Оглавление

Введение

Глава 1. Основные результаты теоретического исследования задачи оценивания поля фазовых флуктуаций полезного сигнала

1.1 Уравнения нелинейной фильтрации случайных процессов и полей

1.2 Выделение пространственно-временных флуктуаций фазы на сплошной апертуре

1.3 Оценка фазы на дискретной антенной решетке

Глава 2. Апостериорные характеристики поля фазовых флуктуаций на приемной апертуре конечных размеров

2.1 Вычисление апостериорной корреляционной матрицы фазовых флуктуаций на линейной антенной решетке

2.2 Апостериорная корреляция фазы полезного сигнала при двухпози-ционном приеме

3.3 Точное решение интегральных уравнений для апостериорной

функции корреляции фазы на ограниченной непрерывной апертуре

Глава 3. Численное моделирование нелинейных алгоритмов оптимального оценивания фазовых флуктуаций

3.1 Цели и этапы компьютерного моделирования

3.2 Оценка пространственного распределения фазы

3.3 Стационарная фильтрация поля фазовых флуктуаций

Глава 4. Интегральные алгоритмы пространственно-временного оценивания фазы полезного сигнала

4.1 Предпосылки синтеза новых алгоритмов оценки поля фазовых флуктуаций

4.2 Выделение постоянного во времени распределения фазы полезного сигнала

4.3 Фильтрация поля стационарных фазовых флуктуаций

4.4 Сравнительный анализ квазиоптимальных и интегральных алгоритмов оценивания

Заключение

Список литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование методов нелинейной пространственно-временной обработки случайных полей»

Введение

Статистическая теория обработки случайных полей, флуктуирующих как во времени, так и по пространственным координатам, находит в последнее время все большее применение в разнообразных системах приема и обработки информации. С одной стороны, это определяется невозможностью существенного улучшение характеристик качества обработки и помехоустойчивости таких систем только за счет увеличения геометрических размеров приемной базы без проведения надлежащей пространственно-временной обработки наблюдаемой смеси полезных сигналов, шумов и помех. С другой стороны, современный уровень развития антенных и вычислительных технологий уже позволяет осуществить функционирование соответствующих алгоритмов в режиме реального времени для многих практически важных случаев.

Настоящая работа посвящена реализации этапа компьютерного моделирования и экспериментального исследования квазиоптимальных алгоритмов пространственно-временной обработки случайных полей применительно к задачам нелинейного оценивания фазовых флуктуаций квазигармонического сигнала на фоне гауссовского шума, а также в разработке и исследовании модифицированных алгоритмов, более простых в технической реализации и мало уступающих в эффективности квазиоптимальным алгоритмам оценивания фазовых флуктуаций.

Постановка задач, связанных с оценкой поля фазовых флуктуаций полезного сигнала и исследованием соответствующих алгоритмов обработки, продиктована актуальными проблемами развития радиофизики и смежных с ней наук. В настоящее время решение таких задач представляет значительный интерес как для непосредственного применения на практике, так и для методического развития теории нелинейной обработки случайных полей в целом.

С практической точки зрения алгоритмы оптимальной оценки пространственно-временного распределения фазы полезного сигнала представляют не только самостоятельную ценность, но и могут использоваться в качестве источников данных в составе более сложных методов обработки случайных полей.

Как известно, когерентный прием сигналов крупноапертурными системами позволяет добиться значительного улучшения показателей точности, разрешающей способности и помехоустойчивости [1-6]. К сожалению, попытки реализации потенциальных возможностей таких систем по проведению когерентной обработки наталкиваются на существенное ограничение, вызванное фазовыми искажениями волнового фронта [7-11]. Для точечного источника эти искажения обусловливаются наличием случайно-неоднородной среды на пути распространения волн. Например, разность фаз сигнала от навигационного ИСЗ на частоте 150 Мгц, вызванная искажением фронта радиоволны магнитной бурей в ионосфере, может достигать на 90-метровой антенне величины 90-100 градусов [12]. Оценивание флуктуаций фазы полезного сигнала на всей совокупности приемных элементов позволяет произвести компенсацию таких искажений волнового фронта и осуществить квазикогерентный прием полезного сигнала путем введения соответствующих фазовых поправок. Внешние и внутренние шумы наблюдения, неизбежно присутствующие в любых измерительных системах, делают невозможным точное измерение фазы полезного сигнала. Поэтому качество такой компенсации непосредственно зависит от точности, которую обеспечивают используемые алгоритмы оценки поля фазовых флуктуаций полезного сигнала, наблюдаемого на фоне шумов и помех различной природы.

При источнике сигнала, имеющем конечные размеры, искажения волнового фронта определяются как свойствами среды распространения, так и структурой самого источника. Для ряда случаев [13] учет априорной информации об источнике позволяет описывать искажения, связанные с его геометрической

формой, как случайные поля, меняющиеся от реализации к реализации. Оценивание и компенсация фазовых искажений, возникающих в таком случае, также требуют применения методов статистической обработки.

В теории локации флуктуации фазы, связанные только со средой распространения волн, могут быть выделены путем осуществления многократного переизлучения отраженного от цели сигнала с обращением волнового фронта, что позволяет произвести формирование опорного точечного источника [7, 8]. Вычисление текущей пространственно-временной оценки фазы полезного сигнала в каждом приемном элементе антенны необходимо и для осуществления обращения волнового фронта оптимальным образом. Проблема анализа и последующего учета фазовых набегов возникает в процессе юстировки стационарных антенных систем по сигналам эталонных источников, а также при использовании приемных апертур с нежесткой конструкцией, таких как космические или гидроакустические. Применение радиофизических методов для изучения природной среды также ставит задачи оценивания пространственного распределения фазы полезного сигнала на больших приемных апертурах.

Ряд исследований [14] указывает на принципиальные различия в той роли, которую играют спектральная амплитуда и фаза в Фурье представлении процессов и полей. Большинство ключевых свойств сигнала сохраняются и в отсутствии полной информации о его спектральной амплитуде. Более того, при выполнении некоторых условий, например, в случае ограниченной протяженности сигнала по времени и пространству, информация о Фурье-фазе такого сигнала оказывается достаточной для его восстановления с точностью до нормировочного множителя. Процедура такого восстановления, получившая название фазового Фурье-синтеза, является наглядным примером использования методик оценки поля фазовых флуктуаций в составе более сложных алгоритмов обработки.

Изначально теория оптимальной обработки случайных процессов и полей возникла при рассмотрении радиофизических задач и получила свое наибольшее развитие применительно к системам локации и связи, которые по сути также можно отнести к радиофизическим системам. Проблемы оптимального выделения полезной информации из принимаемой смеси сигнала, шумов и помех до сих пор не потеряли своей актуальности. Именно в радиофизических системах, как правило, приходится в максимальной степени учитывать возмущающие факторы различной природы. Для определенности в настоящей работе будет преимущественно использоваться радиофизическая терминология, хотя результаты проведенных исследований могут быть использованы также в других областях физики, в частности, в акустике и оптике.

В первых работах [15-17], посвященных синтезу алгоритмов оптимального обнаружения случайных полей и оцениванию их параметров, априори предполагалось, что наблюдаемые поля имеют гауссовское распределение. В настоящее время теория обработки гауссовских случайных полей разработана наиболее полно (см., например, [18-23] и цитированную там литературу). На практике часто приходится иметь дело с негауссовскими случайными процессами и полями, что существенно ограничивает возможности применения алгоритмов, синтезированных на основе гауссовской теории.

Часто негауссовость обусловливается самой природой возникновения случайного поля. Классическим примером в данном случае служат поля импульсных помех, порождаемых кратковременными воздействиями сторонних сил на динамические системы [24, 25]. Для таких полей, чем ниже частота повторения импульсов, тем заметнее проявляется свойство негауссовости [26]. Подобные помехи могут создаваться как электрическими разрядами разного происхождения, так и активными системами радиопротиводействия. Негауссовость появляется и в том случае, когда наблюдаемая реализация нелинейно зависит от оцениваемых параметров, которые сами могут быть распределены по

гауссовскому закону [26-28]. Подобная ситуация реализуется в радиосвязи при применении частотной или фазовой модуляции для передачи полезного сообщения. Она имеет место и в задачах оценивания фазовых флуктуаций, которые рассматриваются в данной работе.

Как известно, принципиальной особенностью оптимальной обработки не-гауссовских сигналов является ее нелинейность. Аппарат условных марковских процессов является удобным и широко используемым инструментом при решении различных задач, связанных с нелинейным оцениванием. Основы данной теории были разработаны Р. Л. Стратоновичем при исследовании задач обработки случайных процессов, флуктуирующих только по времени [29-32]. В работах [33-37] приводится наиболее полное изложение теории нелинейной марковской фильтрации, применительно к задачам оптимизации нелинейной обработки как одномерных, так и многомерных случайных процессов. Теория обработки негауссовских случайных полей, используемая в диссертации, построена на основе предельного перехода от теории многомерного марковского процесса при устремлении его размерности в бесконечность [38-41]. При таком обобщении случайные поля, флуктуирующие как во времени, так и по пространственным координатам, описываются как процессы со значениями в гильбертовом пространстве, пространственные координаты выступают в качестве параметров, от которых зависят исследуемые поля, а выражения для плотностей вероятности имеют вид функционалов, зависящих от реализации случайного поля. Свойство марковости и причинность для таких полей сохраняются только по времени.

В литературе [42-44] описываются различные способы вывода уравнения для апостериорного функционала плотности вероятности, которое является обобщением уравнения Стратоновича [33] для апостериорной функции плотности вероятности. Уравнения гауссовского приближения для средних апостериорных оценок и вторых кумулянтов, лежащие в основе исследуемых алгоритмов

квазиоптимальной обработки, получены в работе [45]. Возможен и другой способ описания марковских полей, при котором предполагается, что причинность и свойство марковости у исследуемых полей имеются как по временным, так и по пространственным измерениям [46, 47]. Однако, нетипичность такого предположения для большинства реальных стохастических систем существенно ограничивает область практического применения подобных математических моделей, которые так и не получили широкого распространения.

Следует отметить, что, хотя задачам оптимального оценивания пространственно-временного распределения фазы полезного сигнала был посвящен ряд публикаций, это направление работ нельзя считать завершенным.

Во-первых, задача фильтрации фазовых флуктуаций, как правило, рассматривалась для упрощенного случая бесконечной приемной апертуры, тогда как в реальных условиях область корреляции поля фазовых флуктуации нередко бывает сопоставима с геометрическими размерами приемной апертуры, что приводит к необходимости осуществления корректного учета ограниченности апертуры и связанных с этим краевых эффектов. Поэтому, если при проведении аналитических исследований можно было пользоваться идеализацией бесконечной апертуры, то при компьютерном моделировании, как и при последующей практической реализации, необходим надлежащий учет конечных размеров приемной апертуры. В свою очередь, численное решение систем нелинейных уравнений, описывающих алгоритмы обработки с учетом краевых эффектов, требует использования методов, устойчивых к изменению параметров задачи в достаточно широких пределах. Осуществление полноценных машинных экспериментов возможно только на основе таких методов. Методики численного решения этих систем, предложенные ранее [43, 44], на практике позволяют получить лишь качественные оценки влияния краевых эффектов. В литературе приводятся аналитические выражения для алгоритмов обработки, полученных только как "первое приближение" решений на основе приближенных методов.

Попытки уточнения таких алгоритмов наталкиваются на существенные трудности вычислительного характера как при исследовании методами математического анализа, так и при моделировании на ПЭВМ. Более того, учет ограниченности размеров приемной апертуры, как правило, проводился в предположении либо о малости краевых эффектов, либо о некоторых ограничениях, налагаемых на отдельные параметры задачи, например, на такие как отношение сигнал/шум и априорная дисперсия флуктуаций фазы. Подобные допущения сужают область практической применимости методик, описанных в литературе к настоящему времени. Результаты теоретического исследования задачи оценивания поля фазовых флуктуаций полезного сигнала анализируются в первой главе данной диссертации. Вторая глава диссертации посвящена исследованию квазиоптимальных алгоритмов оценивания поля фазовых флуктуаций на ограниченной приемной апертуре с помощью новой методики, позволяющей произвести строгий учет конечности ее размеров при различных условиях эксперимента.

Во-вторых, синтезированные в рамках марковской теории алгоритмы нелинейной пространственно-временной обработки, в том числе алгоритмы нелинейной оценки поля фазовых флуктуаций полезного сигнала на приемной апертуре, отличаются повышенной сложностью по сравнению с соответствующими алгоритмами чисто временной обработки. Их практическую реализацию целесообразно поэтому осуществлять в цифровом виде на базе современной вычислительной техники, бурное развитие которой в настоящее время позволяет рассчитывать на проведение обработки сигналов в многоэлементных антенных системах в режиме реального времени. Кроме того, цифровая обработка обладает необходимой гибкостью при варьировании априорных данных и параметров задачи. Необходимым важным этапом внедрения указанных алгоритмов в действующие и перспективные информационно-измерительные радиофизические системы является цифровое моделирование и проведение машинных экс-

периментов. Цель этого этапа исследований заключается в разработке и отладке соответствующих программ для ЭВМ, анализе работоспособности и качества работы синтезированных алгоритмов, их устойчивости к априорным данным и параметрам, а также в сравнении с результатами теории. В отличие от алгоритмов временной обработки сигналов, алгоритмы пространственно-временной нелинейной обработки и, в том числе алгоритмы оценивания поля фазовых флуктуаций, ранее не проходили указанного этапа исследований. В частности, в известной нам литературе отсутствуют данные о статистической обработке результатов функционирования алгоритмов по достаточно большому числу априорных реализаций, которые могли бы подтвердить аналитические выводы в отношении погрешности рассматриваемых методов оценивания. Не были исследованы различные варианты разностных схем численного интегрирования квазиоптимальных алгоритмов для их представления в дискретном времени. Остались незатронутыми вопросы об областях устойчивости и погрешностях аппроксимации таких разностных схем. Не имеется данных об использовании численных методов при изучении влияния отклонений реальных параметров эксперимента от их модельных значений на применимость результатов квазиоптимальных методов оценивания. В литературе отсутствует исследование влияния краевых эффектов на функционирование синтезированных алгоритмов оценивания при их численной реализации. Вопросы численного моделирования квазиоптимальных алгоритмов оценивания поля фазовых флуктуаций и проведения соответствующих компьютерных экспериментов рассматриваются в третьей главе диссертации.

Наконец, в-третьих, в силу недостаточной изученности аспектов функционирования квазиоптимальных алгоритмов оценивания поля фазовых флуктуаций ранее также не ставилась задача их модификации и поиска альтернативных алгоритмов пространственно-временной обработки с целью упрощения технической реализации без существенной потери качества и расши-

рения области применимости по значениям параметров эксперимента. Четвертая глава диссертации посвящена синтезу и экспериментальному исследованию именно таких альтернативных алгоритмов оценивания поля фазовых флуктуаций полезного сигнала на фоне гауссовского шума.

Остановимся кратко на описании и обосновании тех модельных представлений, которые используются в марковской теории нелинейной обработки случайных процессов и полей, а также и в данной работе.

1. Марковские случайные процессы и поля являются весьма удобной и широко распространенной моделью для описания поведения самых разнообразных стохастических систем. Во-первых, свойство марковости дает принципиальную возможность их полного статистического описания. Во-вторых, любой стохастический процесс, даже не обладающий свойством марковости, может быть с хорошей точностью аппроксимирован компонентой многомерного марковского процесса [26]. На практике, как правило, в качестве априорных сведений о наблюдаемой реализации имеются лишь оценочные характеристики параметров эксперимента - масштабы корреляции, ширина частотных спектров и т. п. Применение марковской модели позволяет в этом случае соблюсти разумный баланс между точностью и сложностью принятой модели математического описания [48, 49].

2. Как известно, марковские процессы и поля могут рассматриваться как отклик динамической системы на случайное воздействие. При таком подходе используется ланжевеновское описание случайных процессов или полей посредством систем стохастических дифференциальных уравнений [26]. Если случайное стороннее воздействие в системе таких уравнений дельта-коррелировано по времени, то процесс или поле, порожденные таким воздействием, будут обладать свойством марковости. Число компонент указанных случайного процесса или поля совпадает с порядком системы стохастических дифференциальных уравнений. Подобное описание обладает универсальностью и позволяет учитывать

особенности реального поведения и природу возникновения стохастики во многих динамических системах как в физике, так и в биологии, химии или социологии [50,51].

3. На практике обычно имеется много внутренних и внешних факторов различной природы, которые определяют сторонние воздействия в системах стохастических дифференциальных уравнений. Данное обстоятельство позволяет с хорошей точностью считать эти воздействия гауссовскими в силу центральной предельной теоремы. Как правило, характерные временные масштабы флуктуации оцениваемых параметров полезного сигнала, которые могут быть случайными процессами или полями, значительно превосходят область временной корреляции случайных воздействий, что позволяет воспользоваться приближением "белого" гауссовского шума для случайных воздействий. Это обстоятельство обеспечивает свойство марковости у процессов и полей, сформированных динамическими системами с такими сторонними воздействиями, и дает основание для применения марковского подхода к задаче их оптимального оценивания.

Наряду с исследованием алгоритмов оптимальной обработки на дискретной антенной решетке в настоящей работе уделено большое внимание рассмотрению нелинейных алгоритмов пространственно-временного оценивания поля фазовых флуктуаций полезного сигнала в идеализированном случае непрерывной приемной апертуры. Несмотря на затруднительность непосредственной технической реализация подобной приемной системы, ее рассмотрение имеет не только общую методическую ценность, но и определенный практический интерес, продиктованный следующими обстоятельствами.

1. На непрерывной приемной апертуре полезные сигналы, шумы и помехи, входящие в принимаемую реализацию, описываются как случайные поля. Таким образом, появляется возможность органичного сочетания теории оптимальной пространственно-временной обработки с теорией дифракции и распространения

в неоднородных средах, которые строились исключительно на основе аппарата случайных полей.

2. Синтез алгоритмов обработки на основе теории нелинейной фильтрации применительно к наблюдению реализации случайных полей на дискретной антенной решетке приводит к нелинейным матричным уравнениям высокой размерности. Такие уравнения могут быть положены в основу численного моделирования или практической реализации алгоритмов пространственно-временной обработки, но, к сожалению, их исследование аналитическими методами является чрезвычайно трудным. При рассмотрении непрерывной приемной апертуры матричные уравнения переходят в их нелинейные интегральные аналоги, поддающиеся изучению специфическими методами математического анализа.

3. Наличие нескольких приемных элементов в области корреляции исследуемого случайного поля является существенным фактором, обеспечивающим преимущество систем пространственно-временной обработки перед чисто временными. Поэтому большинство систем оптимальной обработки полей имеет смысл рассматривать именно в предположении о малости шага антенной решетки по сравнению с характерным радиусом пространственной корреляции оцениваемых величин. При таком допущении результаты оптимальной нелинейной обработки, полученные для непрерывной апертуры, остаются справедливыми и для дискретной антенной решетки.

Для представления стохастических уравнений и интегралов в настоящей работе используется симметризованная форма записи, предложенная Р.Л. Стра-тоновичем. Это позволяет использовать при вычислениях обычные правила дифференциального и интегрального исчисления. Привила перехода от симметрированной к несимметризованной форме записи Ито описаны в литературе [27, 28].

Краткое содержание работы

В первой главе проводится анализ теоретического исследования задачи оценивания поля фазовых флуктуаций полезного сигнала на базе подходов, использованных ранее. В первом разделе приведено изложение математического описания марковского подхода к задачам нелинейного оценивания случайных полей, лежащего в основе синтеза квазиоптимальных алгоритмов оценивания. Обзор общих соотношений и подходов позволяет, во-первых, составить представление об области применимости и допущениях, сделанных при выводе исследуемых алгоритмов, и, во-вторых, дает возможность проследить логику и конкретные методики осуществления предельного перехода от дискретного пространственного представления для случайных процессов к непрерывному описанию случайных полей и наоборот, что будет неоднократно использоваться в диссертации. Второй и третий разделы первой главы посвящены анализу теоретического рассмотрения задачи пространственно-временного оценивания поля фазовых флуктуаций, проведенного ранее для случая приема на непрерывную апертуру и дискретную антенную решетку. Исследование задачи оценивания ведется на основе уравнения Стратоновича для апостериорного функционала плотности вероятности оцениваемого поля, которое в гауссовском приближении разбивается на уравнение для оценки фазовых искажений (искомый алгоритм обработки) и на уравнение для вторых апостериорных кумулянтов. Апостериорные кумулянты не только несут информацию об апостериорных характеристиках оцениваемых полей, в частности, об их пространственной корреляции на апертуре и о точности оценивания, но и входят в качестве коэффициентов в исследуемые алгоритмы пространственно-временной обработки. Ранее точное решение уравнений для вторых апостериорных кумулянтов было получено в явном виде только в идеализированном случае бесконечной апертуры [52, 53], тогда как в реальных условиях необходимо учитывать ограниченность ее размеров и связанные с этим краевые эф-

фекты. Для учета краевых эффектов было предложено несколько методов [43, 44], но все они позволяют получить лишь приближенные решения рассматриваемой задачи, причем попытки их уточнения наталкиваются на большие трудности, в том числе вычислительного характера при расчетах на ПЭВМ. Таким образом, на этапе компьютерного моделирования и последующей практической реализации алгоритмов нелинейного оценивания фазовых флуктуаций возникает задача разработки новых методов решения систем нелинейных уравнений, описывающих алгоритмы обработки с учетом краевых эффектов. Эти методы должны быть устойчивы к изменению параметров задачи в достаточно широких пределах, поскольку только в этом случае возможно осуществление полноценных вычислительных экспериментов.

Вторая глава посвящена расчету и исследованию апостериорных функций пространственной корреляции поля фазовых флуктуаций квазигармонического сигнала, наблюдаемого на фоне гауссовского шума на апертуре конечных размеров. Развита методика точного решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, описывающих вторые кумулянты апостериорного распределения флуктуаций фазы. Предлагаемая методика в принципе позволяет находить точное аналитическое решение указанных уравнений, что проиллюстрировано на некоторых частных примерах. Кроме того, численное решение уравнений предлагаемым методом не вызывает сложностей со сходимостью и поэтому служит в последующих главах основой для численного моделирования и анализа рассматриваемых алгоритмов пространственно-временной обработки на ПЭВМ, а также для синтеза новых алгоритмов оценивания фазовых флуктуаций. Данная методика может быть использована и в других задачах математической физики, где встречаются аналогичные интегро-дифференциальные уравнения. Предлагаемая методика описана применительно к случаю, когда прием сигнала производится на дискретную антенную решетку, то есть применительно к нелинейным матричным уравнениям, а затем обобще-

на на непрерывную приемную апертуру, когда соответствующие уравнения становятся интегральными.

В третьей главе проводится построение компьютерной модели и изучение функционирования как алгоритма нелинейного квазиоптимального оценивания постоянного во времени поля фазовых флуктуаций, так и алгоритма фильтрации стационарных пространственно-временных флуктуаций фазы. Статистическая обработка результатов проведенного моделирования позволила подтвердить правильность теоретических выводов в отношении точности квазиоптимальных алгоритмов пространственно-временного оценивания фазы и влияния краевых эффектов на их функционирование. Установлен ряд особенностей применения рассматриваемых алгоритмов оценки на практике. Осуществлено конструирование и исследование ряда разностных схем численного моделирования исследуемых алгоритмов при дискретизации временных измерений наблюдаемой реализации. Проведен аналитический и численный анализ областей устойчивости предлагаемых разностных схем. Получены выражения для погрешности аппроксимации соответствующих методов численного интегрирования Установлены и исследованы ограничения на значения некоторых параметров эксперимента. Проведенное моделирование также позволило поставить задачу модификации и поиска альтернативных алгоритмов пространственно-временной обработки, которые при практической реализации требуют меньших ограничений на условия эксперимента.

Четвертая глава посвящена синтезу новых алгоритмов, дающих выражение для оценки поля флуктуаций фазы в явной интегральной форме. Синтез проведен путем пространственно-временного обобщения интегрального алгоритма оценки фазы полезного сигнала на единичном приемном элементе. Новые алгоритмы получены для оценки как чисто пространственного распределения фазы на приемной апертуре, так и пространственно-временных стационарных фазовых флуктуаций. Проведено численное моделирование

функционирования синтезированных алгоритмов. Статистическая обработка результатов численных экспериментов показала, что интегральные алгоритмы позволяют получить оценку поля фазовых флуктуаций, по точности сопоставимую с результатами квазиоптимальных методов оценивания. При численном представлении синтезированные алгоритмы практически свободны от сложностей с устойчивостью, присущих большинству разностных схем численного интегрирования. Новые алгоритмы не нуждаются в задании априорных сведений о распределении фазовых оценок, которое используется в качестве начальных условий для квазиоптимальных алгоритмов оценивания, и налагают существенно меньшие ограничения на параметры эксперимента. На основе проведенного моделирования выработаны качественные критерии, позволяющие для каждого конкретного случая произвести выбор в пользу квазиоптимальных или интегральных методик оценивания.

Подводя итог вышеизложенному, выделим следующие аспекты диссертационной работы.

Актуальность темы Одним из средств повышения точности, разрешающей способности и помехоустойчивости радиофизических, акустических и оптических информационно-измерительных систем является увеличение геометрических размеров приемной базы. Повышение эффективности функционирования любых крупноапертурных систем возможно только на основе использования оптимальных методов пространственно-временной обработки наблюдаемой смеси полезного сигнала, шумов и помех. Статистическое распределение наблюдаемых сигналов часто отличается от гауссовского, что приводит к нелинейным методам их оптимальной обработки. Среди задач нелинейной пространственно-временной обработки важное место занимают задачи оценивания пространственно-временных флуктуаций фазы полезного сигнала. Осуществление квазикогерентного приема сигналов, использование антенн с нежесткой конструкцией, исследование

природной среды радиофизическими методами и обращение волнового фронта являются примерами практических приложений, где необходим анализ и учет случайных фазовых набегов полезного сигнала на элементах приемной апертуры. Проведенное ранее на базе марковской теории нелинейной обработки случайных полей исследование алгоритмов оценивания фазовых флуктуаций не исчерпывает данной проблемы. Во-первых, оно было выполнено с использованием предположения о бесконечных размерах приемной апертуры, что ограничивает возможность проведения машинных экспериментов и последующего практического применения. Во-вторых, оно не затрагивало вопросов численного моделирования синтезированных алгоритмов и соответствующих вычислительных экспериментов, без чего невозможна реализация и использование предлагаемых методов обработки на практике. Наконец, в-третьих, не рассматривались возможности упрощения достаточно сложных квазиоптимальных алгоритмов, требующих решения систем нелинейных дифференциальных уравнений высокой размерности, что также представляет практический интерес. Данные обстоятельства указывают на актуальность темы диссертации.

Научная новизна

- Разработана и реализована методика компьютерного моделирования алгоритмов нелинейного пространственно-временного оценивания фазовых флуктуаций сигнала, наблюдаемого на ограниченной апертуре на фоне гауссовского шума. Благодаря использованию в этой методике процедуры диагонализации корреляционных матриц удалось эффективно реализовать указанные алгоритмы средствами вычислительной техники и избежать проблем со сходимостью численных методов решения систем нелинейных уравнений высокой размерности.

- Получены точные решения уравнений для апостериорных кумулянтов второго порядка в задачах нелинейного оценивания пространственных и пространственно-временных фазовых флуктуаций сигнала на приемной апертуре конечных размеров. Это позволило корректно учесть влияние краевых эффектов на про-

цедуру обработки наблюдаемой смеси сигнала и шума и на качество оценок фазы на апертуре. Методика построения решений существенно опирается на применение матричных диагонализующих преобразований.

- Предложены интегральные алгоритмы оценивания пространственных и пространственно-временных фазовых флуктуаций, которые отличаются простотой технической реализации при незначительном ухудшении качества оценок. Обоснование этих алгоритмов базируется на преобразовании известных квазиоптимальных алгоритмов обработки к интегральной форме.

- На основе результатов компьютерного моделирования получено экспериментальное подтверждение основных выводов теории, проведен сравнительный анализ функционирования квазиоптимальных и интегральных алгоритмов обработки, сделаны выводы об эффективности их работы при различных значениях параметров эксперимента.

Практическая ценность Выполненное в работе компьютерное моделирование и экспериментальное исследование алгоритмов нелинейной обработки случайных полей является необходимым этапом для дальнейшего использования этих алгоритмов в крупноапертурных информационно-измерительных системах, применяемых в радиофизике, радиоастрономии, радиолокации и акустике. Результаты работы могут быть использованы для реализации квазиоптимальных методов выделения пространственно-временных фазовых флуктуаций в таких системах. Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика компьютерного моделирования алгоритмов пространственно-временной нелинейной обработки случайных полей на основе применения диагонализующих матричных преобразований.

2. Обобщение метода диагонализующих матричных преобразований на случай сплошной приемной апертуры конечных размеров и результаты исследования на этой основе влияния краевых эффектов на работу квазиоптимальных алго-

ритмов и качество оценивания фазовых флуктуаций сигнала, наблюдаемого в смеси с гауссовским шумом.

3. Интегральные алгоритмы оценивания пространственных и пространственно-временных фазовых флуктуаций и их связь с квазиоптимальными алгоритмами.

4. Результаты компьютерного моделирования, включающие экспериментальное подтверждение выводов теории о точности оценивания и влиянии краевых эффектов, а также сравнительный анализ качества квазиоптимальных и интегральных алгоритмов оценивания при различных условиях эксперимента.

Апробация работы и публикации Основные результаты работы докладывались на XXXVIII и ХЬ научных конференциях МФТИ 1994 и 1997 гг. соответственно. Тезисы ряда разделов диссертации были представлены на XXV Генеральной Ассамблее Международного Радиосоюза 1Ж81 (Лилль, Франция, 1996 г.). На основе материалов диссертации опубликованы 4 печатные работы.

Объем и структура работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трех приложений. Общий объем работы составляет 190 страниц, включая 134 страниц машинописного текста, 38 рисунков, 2 таблицы и 16 страниц приложений. Список литературы содержит 69 наименований.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Быков, Александр Викторович

Заключение

В заключении подведем итог основным результатам, полученным в настоящей работе.

1. Получены точные решения нелинейных матричных уравнений, описывающих в гауссовском приближении поведение апостериорных матриц корреляции фазы полезного сигнала для задач нестационарного оценивания и стационарной фильтрации при приеме на дискретную антенную решетку конечных размеров. Решение основано на применении диагонализующего матричного преобразования, которое находится стандартными численными методами поиска собственных чисел и собственных векторов априорной матрицы корреляции фазы. Данная методика дает возможность получить точное аналитическое решение названных уравнений в удобной для практического применения форме, что проиллюстрировано на некоторых частных примерах. Она позволила избежать проблем со сходимостью при компьютерном моделировании, присущих известным подходам к решению на основе методов возмущений и итераций, в широком диапазоне значений параметров задачи, в частности, при произвольных значениях отношения сигнал/шум.

2. Проведено обобщение методики диагонализующего преобразования на случай наблюдения сигнала на непрерывной приемной апертуре конечного размера, когда соответствующие уравнения для функции корреляции становятся интегральными. Предложен подход к решению этих уравнений, основанный на применении к ним интегрального диагонализующего преобразования, являющегося непрерывным аналогом матричного диагонализующего преобразования. Получено решение названных уравнений в виде равномерно сходящегося билинейного ряда по собственным функциям априорной функции корреляции. Для случая экспоненциальной априорной функции корреляции проведено вычисление членов этого ряда в явном виде. Указано на возможность применения методики диагонализации для решения более широкого класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, встречающихся в задачах математической физики.

3. Аналитически и численно проанализировано влияние конечных размеров приемной апертуры на функционирование квазиоптимальных алгоритмов оценивания поля фазовых флуктуаций полезного сигнала. Это влияние проявляется на краях апертуры в пределах области апостериорной корреляции фазовых флуктуаций, что выражается в нарушении однородности корреляционной функции и в увеличении среднего квадрата погрешности оценок в указанных областях приемной апертуры. Физически это связано с тем, что в формировании оценок на краях апертуры принимает участие меньше приемных элементов, чем в центре. Если размеры антенны сравнимы с радиусом корреляции оцениваемого поля, то влияние краевых эффектов антенны становится заметным и в ее центре.

4. Разработана методика компьютерного моделирования квазиоптимальных алгоритмов нелинейного оценивания поля фазовых флуктуаций квазигармонического сигнала, наблюдаемого на фоне гауссовского шума. Методика реализована в пакете прикладных программ, позволяющих осуществлять компьютерные эксперименты. Проведено аналитическое и цифровое исследование устойчивости и точности аппроксимации различных разностных схем численного моделирования рассматриваемых алгоритмов. Статистическая обработка данных вычислительного эксперимента позволила подтвердить правильность выводов марковской теории нелинейной фильтрации в отношении точности оценок фазы и влияния краевых эффектов. Выявлены ограничения, налагаемые на значения некоторых параметров эксперимента.

Произведены синтез и исследование более удобных с точки зрения практической реализации интегральных пространственно-временных алгоритмов нестационарного оценивания и стационарной фильтрации фазовых флуктуаций сигнала на приемной апертуре. Полученные алгоритмы по качеству сопоставимы с квазиоптимальными алгоритмами, но требуют меньших вычислительных затрат при реализации в цифровом виде и обладают при этом значительно более широким диапазоном работоспособности при изменении априорных данных и условий эксперимента. Получены критерии, позволяющие осуществлять выбор в пользу квазиоптимальных или интегральных методик оценивания в зависимости от условий эксперимента.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность научному руководителю доктору технических наук профессору Шмелеву А.Б. за постоянную и заинтересованную поддержку, оказанную при работе над данной диссертационной работой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Быков, Александр Викторович, 1998 год

Список литературы

1. Кремер И.Я., Понькин В.А. О потенциальной точности определения местоположения цели при пространственно-временной обработке сигналов в общем случае//Радиотехника и электроника. - 1975. - Т. 20, N 6. - С. 1186-1193.

2. Бакут П.А., Логинов В.А., Мандросов В.И., Троицкий И.Н. О совместном измерений угловых координат и дальности по фазовому фронту//Радиотехника и электроника. - 1977. - Т. 22, N 5. - С. 1073-1075.

3. Кремер А.И., Трифонов А.П. Влияние размеров антенны на помехоустойчивость приема пространственно-временного сигнала/УИзвестия вузов. Радиоэлектроника. - 1977. - Т. 20, N 8. - С. 102-104.

4. Кремер А.И., Трифонов А.П. Предельная точность оценки координат точечной цели//Радиотехника и электроника. -1977. - Т. 22, N 8. - С. 1607-1611.

5. Кремер И.Я., Нахмансон Г.С. Пространственно-временная обработка радиосигналов в измерительных радиосистемах в общем случае//Известия вузов. Радиоэлектроника. - 1978. - Т. 21, N II. - С. 3-15.

6. Кремер И .Я., Кремер А.И., Петров В.М. и др. Пространственно-временная обработка сигналов. - М.: Радио и связь, 1984. - 224 с.

7. Уотерс. Адаптивное формирование радиолокационной опорной точки (маяка)//3арубежная радиоэлектроника. - 1971. - N 7,- С. 29-45.

8. Рындин Ю.Г. Построение изображения объекта с компенсацией фазовых искажений адаптивным методом//Радиотехника и электроника. - 1981. - Т. 26, N 1. - С. 64-72.

9. Жулина Ю.В. Компенсация фазовых искажений в пространственных апертурах с использованием широкополосного сигнала//Радиотехника и электроника. -1982. - Т. 27, N2. - С. 293-303.

10. Гинзбург В.М., Мещанкин В.М. Измерение амплитудно-фазовых распределений радиополей методами голографии//Радиотехника и электроника. - 1973. -Т. 18, N2. - С. 221-225.

11. Camsey D. Numerical methods for wavefront analysis//Proc. IEEE. - 1972. - V. 119, N9. -C. 1237-1242.

13. Фалькович С.Е., Хомяков Э.М. Статистическая теория измерительных радиосистем. - М.: Сов. радио, 1981. - 288 с.

14. Oppenheim A.V., Lim J.S. The Importance of Phase in Signals//Proc. IEEE. -1981. -V. 69, N5. - P. 529-541.

15. Ширман Я. Д. Статистический анализ оптимального разреше-ния//Радиотехника и электроника. -1961. - Т. 6, N 8. - С. 1237-1246.

16. Курикша A.A. Об оптимальном использовании пространственно-временных сигналов//Радиотехника и электроника. - 1963. - Т. 8, N 4. - С. 552-563.

17. Фалькович С.Е. О задаче определения оптимальной пространственно-временной системы обработки сигналов//Радиотехника и электроника. - 1966. -Т. II, N 5. - С. 785-792.

18. Шестов Н.С. Выделение оптических сигналов на фоне случайных помех. -М.: Сов. радио, 1967. - 347 с.

19. Фалькович С.Е. Оценка параметров сигналов. - М.: Сов. радио, 1970. - 335 с.

20. Самойленко Ю.И., Волкович В.А. Пространственно-распределенные приемные и управляющие системы. - Киев: Техника, 1968. - 138 с.

21. Аверьянов В.Я. Разнесенные радиолокационные станции и системы. -Минск: Наука и техника, 1978. - 184 с.

22. Теория когерентных изображений/П. А. Бакут, В. И. Мандросов, И. Н. Матвеев, и др.; Под ред. Н. Д. Устинова. - М.: Радио и связь, 1987. - 264 с.

23. Бакут П.А. и др. Методы обработки световых полей при наблюдении объектов через турбулентную среду (обзор)//Зарубежная радиоэлектроника. - 1976,- N 7. - С. 15-42; N9. - С. 3-30.

24. Венскаускас К.К., Малахов A.M. Импульсные помехи и их воздействие на системы радиосвязи//Зарубежная радиоэлектроника. - 1978. - N 1,- С. 95-125.

25. Ремизов A.JI. Модели радиопомех естественного происхожде-ния//Радиотехника и электроника. - 1981. - Т. 26, N 2. - С. 211-237.

26. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. - Ч. 1. - М.: Наука, 1976.-494 с.

27. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. - Ч. 2. - М.: Наука, 1978. - 464 с.

28. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. - М.: Наука, 1967. - 548 с.

29. Стратонович P.JI. К теории оптимальной нелинейной фильтрации случайных функций//Теория вероятностей и ее применения. - 1959. - Т. 4, вып. 2.- С. 239-242.

30. Стратонович Р.Л. Оптимальные нелинейные системы, осуществляющие выделение сигнала с постоянными параметрами из шума//Известия вузов. Радиофизика. - 1959. - Т. 2, N 6. - С. 892-901.

31. Стратонович Р.Л. Применение теории процессов Маркова для оптимальной фильтрации сигналов//Радиотехника и электроника. - 1960. - Т. 5, N II. - С. 1751-1763.

32. Стратонович Р.Л. Условные процессы Маркова//Теория вероятностей и ее применения. - 1960. - Т. 5, вып. 2. - С. 172-195.

33. Стратонович Р.А. Условные марковские процессы и их применение в теории оптимального управления. - М.: МГУ, 1966. - 319 с.

34. Стратонович Р.Л. Принципы адаптивного приема. - М.: Сов. радио, 1973. -143 с.

35. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. - М.: Сов. радио, 1975. - 704 с.

36. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. - М.: Сов. радио, 1978. - 320 с.

37. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.: Сов. радио, 1988.

38. Falb H.L. Infinite-dimensional filtering: the Kalman-Bucy filter In Hilbert space//Information and Control. - 1967. - V. 11, N 1-2. - P. 102-137.

39. Tsafestas S.G., Nightingale J.M. Concerning optimal filtering theory of linear distributed parameter systems//Proc. IEEE. - 1968. - V. 115, N 11. - P. 1737-1742.

40. Дубенко Т.И. Фильтр Кальмана для случайных полей//Автоматика и телемеханика. - 1972. - N 12. - С. 37-40.

41. Далецкий Ю.Л., Красный Л.Г., Штатланд Б.С. Оптимальное обнаружение и фильтрация полей, удовлетворяющих динамическим уравнениям/ЛГруды 7-ой Всес. школы-семинара по статистической гидроакустике. - Новосибирск, 1977. -С. 271-275.

43. Шмелев А.Б. Основы марковской теории нелинейной обработки случайных полей - М: МФТИ, 1998. - 208 с.

44. Потапов В.А. Методы марковской теории нелинейной обработки модулированных случайных полей//Дис. канд. ф.-м. наук. На правах рукописи. 01.04.03. -М: МФТИ, 1994.

45. Шмелев А.Б. О нелинейной фильтрации случайных по-лей//Пространственно-временная обработка сигналов. - Воронеж: ВГУ, - 1980. -С. 3-11.

46. Пономаренко Л.Л. Линейная фильтрация случайных полей, управляемых стохастическими уравнениями/ЛСибернетика. - 1973. - N 2. - С. 87-91.

47. Wong Е. A likelihood ratio formula for two-dimensional random fields//IEEE Trans. - 1974. - V. IT-20, N 4. - P. 418-422.

48. Гут Р.Э., Конторович В. Я. О представлении реальных случайных процессов с помощью марковской модели//Вопросы радиотехники. Техника радиосвязи. -1972.-Вып. 6.-С. 91-94.

49. Казаков В.А. Марковская модель импульсных помех//Труды Рязанского ра-диотехн. ин-та. - 1973,- Вып. 45, С. - 160-170.

50. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: Теория и применение в физике, химии и биологии. - М.: Мир, - 1987.

51. Синергетика (сборник статей).- М.: Мир, - 1984.

52. Шмелев А.Б. Нелинейная пространственно-временная оценка фазовых флуктуаций, вызванных распространением волны в случайно-неоднородной среде//Радиотехника и электроника. - 1980. - Т. 25, N 4. - С. 717-722.

53. Шмелев А.Б. Нелинейная оценка поля фазовых флуктуаций на дискретной апертуре//Тезисы докладов Всесоюз. конференции "Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов". - Москва-Нальчик, 1982. - Ч. 1. - С. 93-94.

54. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. - М.: Наука, 1975. - 239 с.

55. Штатланд Б.С., Штатланд Э.С. Абсолютная непрерывность и эквивалентность мер, соответствующих некоторым случайным процессам со значениями в гильбертовом пространстве, и задачи фильтрации//Теория случайных процессов. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. - С. 238-257.

56. Далецкий Ю.Л., Фомин C.B. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. - М.: Наука, 1983. - 384 с.

57. Стратонович P.JI. О выводе приближенных уравнений нелинейной оптимальной фильтрации//Радиотехника и электроника. - 1970. - Т. 15, N 3. - С. 472480.

58. Миронов М.А. Условия применимости метода гауссовой аппроксимации в марковской теории оптимальной нелинейной фильтрации/УРадиотехника и электроника. -1981. - Т. 26, N6. - С. 1186-1197.

59. Шмелев А.Б. Уравнения гауссова приближения в задаче о фильтрации скачкообразного многомерного марковского процесса с непрерывными состояния-ми//Цифровые методы обработки сигналов. - М.: РИАН, 1975. - N 23,- С. 116119.

60. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1984. - 320 с.

61. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. - М.: Наука, 1966. -632 с.

62. Шмелев А.Б. Оптимальная оценка фазы сигнала при разнесенном прие-ме//Радиотехника и электроника. -1981. - Т. 26, N 3. - С. 588-591.

63. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1988. -512 с.

64. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. - М.: Наука, 1989. -736 с.

65. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1982.- 331 с.

66. Mehta C.L. Gupta S. Photon counting statistics with thermal light having a multiple-peak spectrum//Phys. Rev. A. - 1975. - V. II, N 5. - P. 1634-1640.

67. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ. - М.: Наука, 1987. - 240 с.

68. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. - М.: Изд-во МФТИ, 1994. - 528 с.

Список печатных работ автора по теме настоящей диссертационной работы

1. Быков А.В. Подход к точному решению интегрального уравнения для функции корреляции нелинейной оценки поля фазовых флуктуаций на ограниченной апертуре/УПроблемы распространения и дифракции электромагнитных волн. Междувед. сб. - М.: МФТИ, 1995. - С. 91-96.

2. Bykov A.V. Non-linear Estimation of Phase Fluctuations on the Finite Size Aperture//XXVth General Assembly of the International Union of Radio Science (URSI), Lille, France. - Abstracts, 1996. - P. 666.

3. Быков А.В. Решение уравнения для апостериорных корреляционных матриц в задаче оценки поля фазовых флуктуаций на ограниченной антенной решет-ке//Радиофизические методы обработки сигналов. Междувед. сб. - М.: МФТИ, 1996. - С. 136-141.

4. Быков А.В. Пространственно-временная оценка фазовых флуктуаций сигнала на антенной решетке конечного размера//Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики. Тезисы докладов XL Юбилейной научной конференции МФТИ. - М.: МФТИ, 1997. - С. 16.

5. Быков А.В. Апостериорные характеристики нелинейных оценок случайных полей на ограниченной апертуре//Дипломная работа (на правах рукописи). - М.: МФТИ, 1995.