Методы оптимального управления и сопряженных уравнений для задач геофизической гидродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Ботвиновский, Евгений Александрович

• Ботвиновский, Евгений Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ботвиновский, Евгений Александрович

Введение.

1 Основные положения методологии построения алгоритмов решения одного класса систем операторных уравнений

1.1 Основы общей методологии.

1.2 Случай симметричного оператора А.

2 Численное решение нестационарной системы Стокса, возмущенной кососимметрическим оператором

2.1 Постановка задачи для нестационарной системы Стокса и переформулировка ее как задачи оптимального управления

2.2 Вариационные уравнения.

2.3 Итерационные процессы.

2.4 Методы уточнения приближенного решения

2.5 Численные эксперименты.

3 Численное решение системы уравнений динамики приливов в декартовых координатах

3.1 Постановка задачи.

3.2 Схема расщепления

3.3 Решение стационарной системы.

3.4 Задача оптимального управления

3.5 Итерационный процесс решения задачи.

3.6 Результаты численных экспериментов.

4 Численное решение системы уравнений динамики приливов на сфере

4.1 Постановка задачи.

4.2 Схема расщепления

4.3 Решение стационарной системы.

4.4 Задача оптимального управления

4.5 Итерационные процессы.

4.6 Некоторые свойства гладких решений.

5 Численное исследование итерационных процессов на сфере

5.1 Стационарная линейная система уравнений динамики приливов с оператором До : сферический слои.

5.2 Нестационарная линейная система уравнении динамики приливов с оператором До : сфера.

5.3 Нестационарная линейная система уравнений динамики приливов с оператором Дх : сфера.

5.4 Численное исследование ошибок алгоритма от замены оператора Дх на оператор До.

5.5 Численное исследование влияния специальных условий в "полюсных точках".

5.6 Численные эксперименты для тестовых решений.

5.7 Численные эксперименты с реальными данными.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы оптимального управления и сопряженных уравнений для задач геофизической гидродинамики»

Большое количество физических процессов динамики океана описывается моделями, использующими различные модификации и упрощения классических задач гидродинамики, таких как система уравнений Навье-Стокса [16, 29, 31, 41, 15, 36, 30, 82].

Исследование и численное решение системы уравнений Навье-Стокса - одна из наиболее сложных задач вычислительной математики и гидродинамики, методы решения которой активно разрабатывались в течение последних 50 лет. Количество работ, опубликованных ыа эту тему, не поддается исчислению, отметим лишь малую часть монографий [24, 43, 37, 4, 45, 70, 71]. Большинство этих работ посвящено развитию численных методов решения уравнений Навье-Стокса и различных их модификаций. Трудности при решении этих задач связаны с недостаточной информацией о точных решениях (почти все найденные точные решения не несут в себе специфики нелинейной задачи). Дополнительные сложности возникают при учете реальных физических данных (геометрия области, разброс значений коэффициентов, специфика поведения решений, размерность задачи, расчет на долгий интервал по времени, ограниченные ресурсы ЭВМ и многое другое). Существующая, в то же время, большая востребованность решения данных задач при моделировании физических процессов гидродинамики оставляет актуальным вопрос о разработке эффективных методов решения в каждом конкретном случае.

Одним из подходов конструирования новых алгоритмов решения задач математической физики (в том числе и задач гидродинамики) является методология их построения, базирующаяся на методах теории оптимального управления. Вероятно, впервые эти подходы были предложены в работе [52] в применении к решению классической стационарной системы Стокса. Идея построения таких методов при рассмотрении системы Стокса состоит в следующем: функция давления рассматривается в качестве "дополнительной" неизвестной по отношению к компонентам вектора скорости - "основным" компонентам решения, а уравнение неразрывности рассматривается в качестве "дополнительного уравнения" и относится к уравнению замыкания задачи. Затем задача рассматривается как обратная задача (или задача оптимального управления) и включается в семейство задач оптимального управления, зависящих от регуляризирующего члена. Далее исследуются задачи оптимального управления и для их решения применяются классические численные методы. В последующем распространение данных подходов к построению численных алгоритмов и их формулировке для систем операторных уравнений было выполнено в [1].

В настоящей работе проведено исследование данной методологии в применении к нестационарной системе Стокса, возмущенной ограниченным ко-сосимметрическим оператором и системе уравнений динамики приливов, а также предложены направления развития этой методологии для решения нелинейных уравнений Навье-Стокса.

Приведем описание рассматриваемых в данной работе задач и обзор методов их решения.

Нестационарная система уравнений Стокса является линеаризацией уравнений Навье-Стокса. С физической стороны она описывает движения вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса (т.е. при малых скоростях, большой вязкости или малых размеров рассматриваемой области), и в этом случае решение уравнений Стокса хорошо приближают решения соответствующих уравнений Навье-Стокса. Кроме того, она часто возникает в качестве одного из этапов решения уравнений Навье-Стокса, например, при дискретизации по времени конвективного слагаемого с предыдущего слоя.

Помимо упомянутой выше методологии для решения задачи Стокса существует большое количество методов. Приведем обзор этих методов по разным направлениям, цитируя работу [20]. Это алгоритмы типа Узавы-сопряженных градиентов [56, 73, 43, 65, 70, 77, 63, 33, 81], методы релаксации [56, 65, 43, 48, 21, 62], методы, основанные на идеях симметризации и предобусловливания [46, 47, 5, 61, 66, 84, 85], многосеточные и многоуровневые алгоритмы [49, 60, 66, 87, 88, 89, 83], расщепление граничных условий для давления [34, 35], итерирование граничных условий для скорости [64], метод фиктивных областей [6, 58], использование гармонической составляющей скорости [86]. Рассматриваемый в диссертации алгоритм решения нестационарной задачи Стокса является новым по отношению к перечисленным. Из особенностей алгоритма можно отметить отсутствие жесткого требования удовлетворения условию divw = 0 последовательности приближенных решений, а также требования симметричности оператора задачи (в большинстве из перечисленных выше алгоритмов по существу используется свойство симметричности) .

Одной из возможных постановок для задачи динамической теории приливов является рассматриваемая в работе "гиперболо-параболическая" система уравнений [82, 30], которая относится к классу систем уравнений теории "мелкой воды" [13] и является упрощением уравнений Навье-Стокса. Отметим некоторые особенности этой системы. Она содержит "слабую" нелинейность, кососимметричный и "диффузионный" (диссипативный) операторы. При устремлении коэффициента диффузии к нулю и постановке соответствующих граничных условий система принимает "чисто" гиперболический вид. Специальная подобная система (без нелинейного слагаемого) исследовалась Соболевым C.JI. в работе [42], которая явилась основополагающей для нескольких направлений в исследованиях задач математической физики. Также системы подобного вида исследовались в работах [68, 76]. В отличи е от [42], в настоящей работе рассматриваются услови51 "прилипания" на границе, а коэффициент диффузии считается положительным. Ряд результатов по существованию и единственности решения подобных задач приведен, например, в [30].

Для численного решения системы уравнений модели динамики приливов можно использовать HN-метод (сокращение от английского Hydrodynamic Numerical Method) [72], метод дробных шагов [79], метод конечных элементов [78] и др. Если функция рельефа дна Н является константой и отсутствует нелинейное слагаемое, то задача принимает вид классической задачи газовой динамики, описывающей движения вязкого слабосжимаемого газа. В этом случае можно предположить, что большое число способов исследования и решения такого рода задач (см. [40, 18]), разработанных в классической теории газодинамики, могут найти здесь применение. Однако нас будет интересовать случай сферической системы координат и реальной топографии дна. Здесь по существу возникают сложности, связанные с: а) аппроксимацией области, соответствующей акватории Мирового океана, и поведением решений возле границы этой области; б) реальной функцией рельефа дна, являющейся "сильно негладкой"; в) нелинейностью некоторых коэффициентов системы и специфическим их поведением в различных частях области, в которой решается задача, а также другими особенностями системы уравнений динамики приливов и её решений. Кроме того, можно предположить, что в России на сегодняшний день отсутствует национальная гидродинамическая глобальная модель приливов.

Это побудило автора к исследованию и разработке новых алгоритмов решения задачи динамики приливов с использованием исследуемой в данной работе методологии, уделяя особое внимание поведению гладкого решения в окрестности "полюсных точек" и проблеме аппроксимацпи исходных уравнений на равномерных сетках в сферической системе координат.

Цель работы - разработка и исследование новых алгоритмов решения класса задач геофизической гидродинамики (возмущенных уравнений Сток-са, задач динамической теории приливов в декартовых и сферических координатах) на основе методологии их построения, базирующейся на подходах теории оптимального управления и сопряженных уравнений.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы. Далее кратко рассмотрим содержание работы по главам.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Ботвиновский, Евгений Александрович

Основные выводы. Изложены направления для развития исследуемой в диссертационной работе методологии в применении к системе уравнений Навье-Стокса. В параграфе §П.2 предложен итерационный алгоритм решения этой системы, реализация которого сводится к численному решению нелинейного уравнения Бюргерса. В §П.З общая методология применяется к дискретизованным по времени уравнениям Навье-Стокса. Обоснована сходимость итерационного процесса в применении к стационарной системе Стокса и получены оценки для скорости сходимости.

Заключение

Основной результат - па основе методологии, базрфующейся на подходах теории оптимального управления и сопряженных уравнений, разработаны и исследованы новые алгоритмы решения класса задач геофизической гидродинамики (возмущенных уравнений Стокса, задач динамической теории приливов в декартовых и сферических координатах). Этот результат состоит в следующем:

• Разработан, обоснован и численно реализован новый метод решения нестационарной системы Стокса, возмущенный кососимметрическим оператором.

• Разработан, исследован и численно реализован новый метод решения системы уравнений динамики приливов в прямоугольной области и на сфере. Предложенный метод базируется на совместном применении схемы расщепления и подходов теории оптимального управления и сопряженных уравнений. На основе исследуемой методологии разработаны и обоснованы итерационные алгоритмы решения полученных после схемы расщепления стационарных задач.

• Получены оценки для границ спектра "оператора давления" на сфере и, на их основе, доказаны оценки скорости сходимости итерационных процессов. Выписаны асимптотические представления гладких решений в окрестности точек полюса на сфере до третьего порядка малости. Предложен алгоритм вычисления параметров рассматриваемых итерационных процессов для ускорения их сходимости.

• Проведено численное исследование изложенных в работе итерационных алгоритмов. Предложены формулы, увеличивающие точность численного решения в окрестности точек полюса на сфере. Проведены численные эксперименты с реальной акваторией, функцией рельефа дна и приливным потенциалом. Численные результаты подтверждают эффективность исследуемых методик.

Алгоритмы решения уравнений Навье-Стокса

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ботвиновский, Евгений Александрович, 2008 год

1. Агошков В.И. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. - М.: ИВМ РАН, 2003.

2. Агошков В.И., Ботвиновский Е.А. Численное решение нестационарной системы Стокса методами теории сопряженных уравнений и оптимального управления // ЖВМиМФ, Т. 47, N0.7, 2007, с. 1192-1207.

3. Андерсон Д., Тоннехилл Д., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир, 1990.

4. Аристов П. П. Об ускорении сходимости одного итерационного метода решения задачи Стокса // Известия вузов. Математика. 1994, N 9, с. 3 10.

5. Бахвалов Н.С. Эффективный итерационный метод решения уравнений Ламе для почти несжимаемых сред и уравнений Стокса // ДАН СССР. 1991, Т.319, N 1, с. 13 17.

6. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

7. Василевский Ю.В., Ольшанский М.А. Краткий курс по многосеточным методам декомпозиции области. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007.

8. Василевский Ю.В., Прокопенко A.B. Факторизация сеточного лапласиана на последовательностях сеток: экспериментальные оценки вычислительной работы // Методы и технологии решения больших задач: Сборник научных трудов. М.: ИВМ РАН, 2004.

9. Власов В.И. Метод решения краевых задач для уравнения Лапласа в областях с конусами // Доклады академии наук, Т. 397, No. 5, 2004, с. 586-589.

10. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М: Наука, 1984.

11. Вольцингер Н.Е., Пясковский Р.В. Основные океанологические задачи теории мелкой воды. Л: Гидрометеоиздат, 1968.

12. Гончаров А.Л., Девдариани М.Т., Простомолотов А.И., Фрязинов И.В. Аппроксимация и численный метод решения трехмерных уравнений Навье-Стокса на ортогональных сетках // Математическое моделирование, 1991, Т. 3, No. 5, с. 89-109.

13. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. М.: Мир, 1986.

14. Динамика океана. Под ред. Доронина Ю.П. Л: Гидрометеоиздат, 1980.

15. Дуванин А.И. Приливы в море. Л: Гидрометеоиздат, 1960.

16. Жуков К.А., Попов A.B. Исследование экономичной разностной схемы для нестационарного движения вязкого слабосжимаемого газа // ЖВМ и МФ, Т. 45, No.4, 2005, с. 701-717.

17. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

18. Каргин Алексей Владимирович Методы с итерированием краевых условий для решения уравнений типа Стокса : Дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.07 : М., 2006 107 е., 61:06-1/816.

19. Кобельков Г.М. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1991, вып. 8, с. 204 236.

20. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

21. Лавреньтев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

22. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

23. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 4. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

24. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика.- М.: Физматлит, 2005.

25. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

26. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1989.

27. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. -Л.: Гидрометеоиздат, 1987.

28. Марчук Г.И., Каган Б.А. Океанские приливы. Л: Гидрометеоиздат, 1977.

29. Марчук Г.И., Саркисян A.C. Математическое моделирование циркуляции океана. М.: Наука, 1988.

30. Марсден Дж.Е., Чорин А. Математические основы механики жидкости.- М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004.

31. Ольшанский М.А. Об одной задаче типа Стокса с параметром // ЖВМ и МФ, 1996, Т. 36, N. 2, с. 75 86.

32. Пальцев Б. В. О быстросходящихся итерационных методах с неполным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса // Матем. сб., 1994, Т. 185, No. 4, с. 101 -150.

33. Пальцев Б. В. О быстросходящихся итерационных методах с полным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса // Матем. сб., 1994, Т. 185, No. 9, с. 109 -138.

34. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. М.: Мир, 1984.

35. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

36. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1982.'

37. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

38. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992.

39. Саркисян A.C. Моделирование динамики океана. JL: Гидрометеоиз-дат, 1991.

40. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1954, т. 18, с. 3-50.

41. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

42. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.

43. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. М.: Мир, 1991.

44. Чижонков Е.В. О сходимости одного алгоритма для решения задачи Стокса // Вестник Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1995, N 2, с. 12 17.

45. Чижонков Е.В. К оптимизации алгоритмов решения задачи Стокса // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1995, N 6, с. 93 -96.

46. Чижонков Е.В. Релаксационные методы решения седловых задач. М.: ИВМ РАН, 2002.

47. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.

48. Япенко Н.Н. О слабой аппроксимации систем дифференциальных уравнений // Сиб. Матем. Ж., 1964, Т. V, No. 6.

49. Agoshkov V.I. Estimates of spectrum bounds for some operators in geophysical hydrodynamics // Russ. J. Numer. Analys. and Math. Modelling. V. 23, No. 4, 2008, pp. 305-328.

50. Agoshkov V.I., Bardos C., Buleev S.N. Solution of the Stokes problem as an inverse problem. Preprint No. 9935. Centre Math. Leuers Applic. Cachan: E.N.S. de Cachan, 1999.

51. Agoshkov V.I., Botvinovsky E.A. Numerical Solution of a Hyperbolic-Parabolic System by Splitting Methods and Optimal Control Approaches // Computational Methods in Applied Mathematics, Vol.7(2007), No.3, pp. 193-207.

52. Agoshkov V.I., Botvinovskii E.A. Investigation of a method for solving a hyperbolic-parabolic system on a sphere // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. V. 23, No. 2, 2008, pp. 107-134.

53. Agoshkov V., Botvinovsky E., Gusev A., Lebedev S., Parmuzin E., Shutyaev V. Variational data assimilation system INM-T1 // Geophysical Research Abstracts, Vol. 10, EGU2008-A-08220, 2008.

54. Arrow K.J., Hurwicz L., Uzawa H. Studies in Linear and Nonlinear Programming. Stanford: Stanford University Press, 1958.

55. Ill-posed problems in natural sciences // Nauka, Moscow, VSP BV, Netherlands, 1992.

56. Bakhvalov N.S. Solution of the Stokes nonstatonary problem by the fictitious domain method // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1995, T.10, N 3, p. 163 172.

57. Botvinovskii E.A. An algorithm for the solution of a tidal dynamics problem on a sphere // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. V. 23, No. 6, 2008, pp. 523-536.

58. Braess D, Sarazin R. An efficient smoother for the Stokes problem // Appl. Numer. Math. 1997, V.23, p. 3 19.

59. Bramble J.H., Pasciak J.E. A Preconditioning Technique for Indefinite Systems Resulting from Mixed Approximations of Elliptic Problems // Mathem. Comput. 1988, V. 50, N 181, p. 1 17.

60. Bychenkov Yu.V., Chizhonkov E.V. Optimization of one three-parameter method of solving an algebraic system of the Stokes type // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1999, V. 14, N 5, p. 429 440.

61. Cahouet Ch.H., Chabard J.P. Some fast 3D finite element solvers for the generalized Stokes problem // Int. J. Numer. Methods Fluids, 1988, v.8, p. 869 895.

62. Chizhonkov E. V., Kargin A.V.On solution of the Stokes problem by iteration of boundary conditions // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2006, Vol. 21, № 1, p. 21 38.

63. Crouzeix M. Etude d'une methode de linearisation. Resolution des equations de Stokes stationaries. Application aux equations 104 des Navier-Stokes stationares // Cahiere de 1'IRIA. 1974, N 12, p. 139 244.

64. Elman H.C. Multigrid and Krylov Subspace Methods for the Discrete Stokes Equations //J. Numer. Methods Fluids. 1996, V.22, p. 755 770.

65. Data Announcement 88-MGG-02, Digital relief of the Surface of the Earth. NOAA, National Geophysical Data Center, Boulder, Colorado, 1988.

66. Friedrichs K.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations // Comm. Pure and Appl. Math., 7, 1954.

67. Gunzburger M. Finite element methods for viscous incompressible flow: a guide to theory, practice and alghorithms. Boston: Academic Press, 1989.

68. Girault V., Raviart P.A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Berlin: Springer, 1986.

69. Glowinski R. Finite element methods for incompressible viscous flows. Handbook of Numerical Analysis. V. 9. Amsterdam: North-Holland, 2003.

70. Hansen W. The reproduction of the motion in the sea by means of Hydrodynamical Numerical Methods // Mitt. Inst. Meereskunde Univ. Hamburg, N 5, s. 1-57, 1966.

71. Hestenes M.R., Stiefel E. Methods of conjugate gradients for solving linear systems //J. Res. Nat. Bur. Standarts Sect. B. 1952, V. 49, p. 409 436.

72. James W. Demmel, Stanley C. Eisenstat, John R. Gilbert, Xiaoye S. Li, Joseph W. H. Liu. A supernodal approach to sparse partial pivoting, SIAM J. Matrix Analysis and Applications, 1999, 20, 3, pp. 720-755.

73. Kobelkov G.M., Olshanskii M.A. Effective preconditioning of Uzawa type schemes for a generalized Stokes problem // Numer. Math., 86, 2000, pp. 443-470.

74. Kreiss H. Uber die approximative Losung von linearen partiellen Differentialgleichungen mit Hilfe von DifFerenzengleichungen // Trans. Roy. Inst. Tech. Stockholm, No. 128.

75. Langer U., Queck W. On the convergence factor of Uzawa's algorithm // J. Сотр. Appl. Math. 1986, V.15, p. 191 202.

76. Le Provost C., Genco M.L., Lyard F., Vincent P., and Canccil P. Tidal spectroscopy of the world ocean tides from a finite element hydrodynamic model // J. Geophys. R., 99, C12, 24.777-24.798, 1994.

77. Marchuk G.I., Gordeev R.G., Rivkind V.Y., Kagan B.A. A numerical method for the solution of tidal dynamics equations and the results of its application // J. Comut. Phys. V.13, N 1, pp. 15-34, 1973.

78. Numerical methods used in atmospherical models, Vol.11 GARP Publication Series No 17, WMO/ICSU, 1979.

79. Ol'shanskii M.A. On numerical solution of nonstationary Stokes equations // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1995, v.10, N 1, p. 81 92.

80. Platzman G.W. Ocean tides and related waves. Lectures in Applied Mathematics, 14.

81. Sarin V., Samen A. An efficient iterative method for the generalized Stokes problem // SIAM J. Sci. Comput. 1998, V.19, N 1, p. 206 226.

82. Silvester D.J., Wathen A.J. Fast iterative solution of stabilized Stokes systems. Part H: using general block preconditioners // SIAM J. Numer. Anal. 1994, V.31, N 5, p. 1352 1367.

83. Silvester D.J., Wathen A.J. Fast iterative solution of stabilized Stokes systems. Part I: using simple diagonal preconditioners // SIAM J. Numer. Anal. 1993, V.30, N 3, p. 630 649.

84. Valedinsky V.D., Chizhonkov E.V. Structure of Solution to Stokes Problem and an Efficient Numerical Method // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1990, V.5, N 4/5, p. 419 423.

85. Verfurth R. A combined conjugate gradient-multigrid algorithm for the numerical solution of the Stokes problem // IMA J. Numer. Anal. 1984, V.4, p. 441 455.

86. Verfurth R. A multylevel algorithm for the mixed problem // SIAM J. Numer. Anal. 1984, V.21, p. 264 271.

87. Wittum G. Multi-grid methods for the Stokes and Navier-Stokes equations // Numer Math. 1989, V.54, p. 543 564.