Разработка и исследование новых численных методов с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Соловьев, Михаил Борисович

• Соловьев, Михаил Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соловьев, Михаил Борисович

Введение.

1. Случай задачи в полосе в М2 при условии периодичности задачи вдоль полосы.

1.1. Алгоритм итерационного метода с расщеплением граничных условий на дифференциальном уровне.

1.2. Первая (простейшая) численная реализация

1.3. Численные исследования первой численной реализации.

1.4. Вторая численная реализация (на основе разностной схемы Кранка-Николсон).

1.5. Третья численная реализация (на основе неявной трехслойной разностной схемы).

1.6. Численные исследования второй и третьей численных реализаций 48 Выводы.

2. Случай осесимметричной задачи в зазоре между коаксиальными цилиндрами при условии периодичности ее вдоль цилиндров

2.1. Постановка задачи.

2.2. Алгоритм итерационного метода с расщеплением граничных условий на дифференциальном уровне.

2.3. Используемые дискретизации отщепленных задач.

2.4. Алгоритмы численных реализаций.

2.5. Результаты численных экспериментов.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование новых численных методов с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса»

Актуальность работы. Хорошо известно, что численное решение системы уравнений Навье-Стокса, описывающей динамику вязкой несжимаемой жидкости [1,2], является весьма важным для целого ряда практически значимых приложений и вместе с тем представляет собой одну из чрезвычайно сложных проблем вычислительной математики и математической физики. В мире имеется и постоянно появляется очень большое число работ и монографий, посвященных этой проблеме. Не имея возможности дать здесь хоть сколько-нибудь краткий их обзор, отметим лишь несколько (одних из первых) монографий [3-6].

Настоящая работа посвящена разработке и исследованию новых численных методов решения первой начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса (нестационарной задачи Стокса) дьи - 1уАх\1 + = сИу* и = О, (£, х) <Е (О, Т) х П, (1) и|(0,т)хг - и|4=о = а(х), У рсЬ = О V* 6 (О, Т), (2) п

1(ё,п)(1з = 0 У£(Е(0,Т), Е|«=о = а|г, (Иуяа = 0, х <Е П, (3) г где П — область в Мп, Г — граница П, х = (#1,., хп), п — единичный вектор внешней нормали к Г, и > 0 — кинематическая вязкость, и = (и1^, х),., ггп(£, а;)), р = — искомое решение (скорость и давление), вектор-функции (ВФ) { = ж),., /п(г, ж)), 6 (О,Г) х О, = (рЧ«.®),-.^,®)), (*>*) € [О ,Т) х Г, а - (а1^),.-,^)), заданные задачи (соответственно, поле внешних сил, заданные значения вектора скорости на Г и начальное значение вектора скорости). Первое условие в (3) — необходимое условие разрешимости задачи, предпоследнее же условие в (3) — условие согласования начального и граничного данных при t = 0. Система уравнений Стокса (1) представляет собой линеаризацию полной системы Навье-Стокса, получаемую отбрасыванием нелинейного конвективного члена в уравнении движения, и описывает течения вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса [1]. Создание эффективных и надежных численных методов решения начально-краевых задач даже для такой существенно более простой (по сравнению с полной системой Навье-Стокса) системы, тем не менее, и в настоящее время представляет собой весьма сложную и актуальную проблему, связанную с необходимостью преодоления целого ряда принципиальных трудностей.

При непосредственном численном аппроксимировании (по пространству) начально-краевой задачи (1)-(3) требуется удовлетворять специальным условиям устойчивости, известным под названием условий Ладыженской-Бабушки-Брецци (ЛББ), см. [4,7]. Эти условия по сути дела являются условиями согласования (в определенном смысле) используемых конечномерных аппроксимаций операторов Лапласа, градиента и дивергенции. Они весьма трудно проверяемы. На данный момент известно совсем немного разностных или конечно-элементных (КЭ) схем, удовлетворяющих ЛББ-условиям. В случае конечно-разностных аппроксимаций это, например, семейство схем типа MAG на смещенных прямоугольных сетках [7-10]. В случаях же конечно-элементных аппроксимаций, удовлетворяющих ЛВБ-условиям, компоненты скорости и давление, как правило, аппроксимируются КЭ различных типов. При этом давление обычно аппроксимируется с более низким, чем для скорости, порядком точности по шагу пространственной сетки, и причем достаточно специальным образом [11]. Ряд примеров ЛББ-устойчивых КЭ-схем приведен в [11]. К числу ЛББ-устойчивых схем относятся, например, получившие достаточно широкое применение КЭ-схемы, использующие неконформные КЭ типа Крузе-Равиа [12,13].

Эффективное разрешение разностных схем, возникающих в результате ЛББ-устойчивых численных аппроксимаций начально-краевой задачи (1)—(3), представляет собой самостоятельную, довольно непростую проблему. Неявные дискретизации по времени задачи (1)-(3) приводят на каждом временном слое (при использовании тех или иных дискретизаций по пространству) к системам линейных алгебраических уравнений с седловым oneратором [14]. Для решения таких систем разработан целый ряд специальных итерационных методов, см, например, [14], и цитируемую там литературу. Выделим среди них алгоритмы Удзавы и Эрроу-Гурвица (первые и наиболее простые, см. [5,14,15]), двухпараметрический (/3,т)-метод Г.М. Кобель-кова [7], представляющий собой их существенное развитие, а также трехпара-метрическое обобщение (¡3, г)-метода, предложенное и исследованное в [16]. Скорости сходимости итерационных методов типа Удзавы, однако, оказываются зависящими от шага дискретизации по времени и с уменьшением величины этого шага, как правило, падают [17]. В связи с этим для ускорения сходимости таких методов в ряде работ осуществлялось построение специальных предобуславливателей [18,19].

В работах ряда авторов разрабатывались и исследовались многосеточные методы для численного решения уравнений Стокса и Навье-Стокса, см., например, [20-24], а также [25]. Такие итерационные методы, как правило, отличаются достаточно высокой эффективностью, но их теоретический анализ, однако, изрядно затруднен. Многосеточные методы используются также и в качестве предобуславливателей для упомянутых выше итерационных методов типа Удзавы-и Эрроу-Гурвица, см. [25].

Весьма плодотворной для создания новых численных методов решения краевых задач динамики вязкой несжимаемой- жидкости явилась идея расщепления граничных условий (ГУ), т.е. построения таких итерационных методов решешш этих задач, которые приводят на итерациях к вычислительно более простым и регулярным задачам (см., например, обзор [26]). Одними из первых итерационных методов с расщеплением ГУ в двумерном случае, в переменных "функция тока - вихрь" на уровне конечно-разностных аппроксимаций для численного решения уравнений Навье-Стокса следует считать хорошо известные методы Тома и Вудса, см., например, [6], позволявшие с помощью формальных разложений решений по формуле Тейлора приближенно находить в процессе итераций сеточные граничные значения для вихря. Несмотря на весьма невысокие скорости сходимости таких методов, они долгое время использовались для расчета двумерных стационарных течений вязких несжимаемых жидкостей.

Первые итерационные методы с расщеплением ГУ уже на дифференциальном уровне для решения двумерной системы Навье-Стокса в переменных "функция тока - вихрь" были предложены А А. Дородницыным, см. [27-30]. Суть этих методов состояла во введении в граничные условия прилипания на стенке вспомогательного малого параметра и нахождении решения в виде степенных рядов по этому параметру (или с помощью соответствующего метода последовательных приближений, что более предпочтительно с точки зрения вычислений).

Важным этапом на пути создания методов, рассматриваемых в настоящей работе, явилось создание в [31-34] на дифференциальном уровне принципиально новых быстросходящихся итерационных методов с расщеплением ГУ решения 1-й краевой задачи для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса (стационарной обобщенной задачи Стокса) с большим параметром ¿¿2 > 0. Задача (4),(5) при ¡I2 > 0 (при ¡1 = 0 это классическая стационарная задача Стокса) возникает, в частности, при дискретизации по времени по неявным схемам нестационарной-задачи Стокпо времени, и поэтому в реальных задачах значения параметра ¡л2 обычно очень большие. Исследования методов были проведены для случая, когда область представляет собой слой = хп) : |гсп| < I} при условиях периодичности для решения и,ри данных Г и g по переменным ., гсп-ъ см. [31-33], а также для случая областей с круговой симметрией в М2 и М3, см. [34]. Были разработаны две группы итерационных методов, названные условно группами с неполным и полным расщеплением ГУ (в каждой группе по-существу по 2 итерационных процесса). Построение итерационных процессов осуществлялось на базе исследования свойств двух видов граничных

-Ди + ¿¿2и + = сИу и = 0, х € П,

4)

5) г са (1)-(3). При этом как правило /¿2 ~ {ит) 1, где г — шаг дискретизации интегральных уравнений для неизвестной граничной функции ф) = {др/дп-(¥,п)}\т, (б) для каждого вида уравнения^ выстраивается соответствующая группа итерационных процессов. Эти процессы приводят на каждой итерации к решению существенно более простых (по сравнению с исходной) краевых задач, эквивалентных по трудности решения задачам Дирихле и Неймана для скалярных уравнений Пуассона и Гельмгольца, и выстраивают в пределе итераций функцию (6), а вместе с ней и решение (и,.р) исходной задачи*. Простейшие из итерационных процессов уменьшают ошибку по меньшей мере в,~ 10 раз за 1 итерацию, а вторые и в значительно большее число раз, причем с увеличением значения параметра /л2 скорости сходимости всех этих процессов по крайней мере не снижаются.

В [35,36]* на основе аналогичного подхода были разработаны для областей с круговой симметрией вК2ив К3 соответственно и исследованы достаточно быстро сходящиеся итерационные методы с полным расщеплением ГУ и для стационарной задачи Стокса (4),(5) (при ¡1 = 0).

В [37-39] были построены и исследованы численные реализации всех итерационных процессов с неполным и полным расщеплением ГУ из [31-33], в случае 2-х пространственных переменных, т.е. в случае, когда область — полоса, а задача (4),(5) периодическая по направлению вдоль полосы. При этом и компоненты скорости и давление аппроксимировались одинаковыми билинейными КЭ без удовлетворения каким-либо условиям согласованности таких КЭ-аппрокеимаций. Численными экспериментами было установлено [38], что построенные численные методы обеспечивают для численных решений 2-й порядок точности по шагу сетки в норме максимума модуля как для скорости, так и для давления. Это явилось существенным достижением, поскольку такого для давления обычно не могут обеспечить численные аппроксимации всей задачи (4),(5) в целом, удовлетворяющие ЛББ-условиям. Построенные методы (при использовании модификаций, предложенных и исследованных в [39,40]) обладают такими же высокими скоростями сходимости, как и у их дифференциальных версий. Кроме того, следует отметить, что численные реализации итерационных процессов с расщеплением ГУ из [31-33] оказываются работоспособными и показывают высокую эффективность и в случаях областей, для которых не было получено обоснований соответствующих итерационных процессов и на дифференциальном уровне, см., например, [41,42].

Как показали дальнейшие исследования по построению численных реализаций итерационных процессов с расщеплением ГУ из [31-36], такие численные реализации оказываются весьма перспективными в плане использования их для высокоточного численного решения стационарных краевых задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. Приведем, например, следующие результаты, полученные на этом пути. Для случая шарового слоя вначале в [43] были, построены и численно исследованы непосредственные КЭ-реализации итерационных процессов с неполным расщеплением ГУ из [34] для осесиммет-ричной обобщенной задачи Стокса (4),(5) (с ц2 > 0), а также итерационного процесса с полным расщеплением ГУ из [36] для осесимметричной задачи Стокса (4),(5) (при /х = 0) с аппроксимацией и скорости и.давления билинейными! (в сферических координатах) КЭ. Численными исследованиями было обнаружено, что вне фиксированных сколь угодно малых конусных окрестностей оси симметрии такие методы обеспечивают 2-й порядок точности численных решений по шагу сетки в норме максимума модуля как для скорости, так и для давления, однако в окрестностях оси симметрии происходит падение порядка точности численных решений (для давления) даже до 1-го порядка. Результаты работы [44] позволили устранить этот серьезный дефект. Использование наряду с билинейными КЭ для аппроксимирования тангенциальных составляющих ВФ новых, введенных в [44] тригонометрических КЭ, при аппроксимации скалярных функций и радиальных составляющих ВФ позволило получить в [45] модификации КЭ-реализаций указанных выше итерационных процессов, обеспечивающие 2-й порядок точности численных решений в норме максимума модуля и для скорости и для давления уже по всему шаровому слою (и вплоть до оси симметрии). На основе построенного в [45] численного метода с расщеплением ГУ решения задачи Стокса (4),(5) (при 11 = 0) в [46] был разработан на основе простого метода последовательных приближений численный метод решения первой стационарной краевой задачи для осесимметричной системы Навье-Стокса в шаровом слое. Численные: исследования показали, что метод (когда он сходится) обладает теми же порядками, точности, что и упомянутый выше метод для задачи Стокса. Разработанный метод позволил провести с высокой точностью: обстоятельное численное исследование и классификацию стационарных сферических течений Куэтта при-небольших числах Рейнольдса, см. [47], для весьма широкого диапазона толщин шарового слоя и при всевозможных режимах: вращения внешней и внутренней; сфер. Высокая точность получаемых численных решений позволяла с высокой точностью строить.траектории движения отдельных частиц; жидкости, причем на достаточно больших временных интервалах.

Ключевым обстоятельством, которое привело к созданию описываемых в настоящей? работе методов, явилось обнаружение совёршенно неожиданных трудностей на пути' использования- разработанных в [37-40, 45] численных методов с расщеплением ГУ решения задачи (4),(5) для. численного решения; нестационарной-задачи Стокса (1)-(3) с помощью, дискретизации: ее по времени: по неявным разностным схемам и: последующего; решениям возникающих на каждом временном слое стационарных обобщенных задач Стокса вида (4), (5). Поначалу эти методы, ввиду их высокой5 эффективности, представлялись несомненно перспективными для создания на их; основе новых численных методов решения начально-краевой'задачи (1)-(3). В связи с этим в, [48]: было проведено построение и численное исследование численного метода решения 1-й;начально-краевошзадачи для нестационарной системы; Стокса (1)—(3), основанного на дискретизации ее по времени , по схеме-Кранка-Николсон с последующим решением: возникающих на временных слоях задач вида (4),(5) с ¡л2 = 2/(ть>), где т. — шаг по времени, с помощью разработанных ранее численных итерационных методов с расщеплением ГУ. Был рассмотрен случай полосы при условии периодичности задачи вдоль нее. Проведенные численные эксперименты при выполнении условия т ~ \h\, где \h\ —характерный шаг пространственной сетки, обнаружили второй: порядок точности., по \h\ и г в норме максимума модуля как для скорости, так и для давления^ а также продемонстрировали устойчивость такого метода. Однако^ в ходе дальнейшего исследования такого типа численных методов (даже с дискретизацией по времени, задачи (1)-(3) по простейшей неявной разностной схеме) численными экспериментами было обнаружено, см. [45, е. 882-888], что когда т становится значительно меньше |Д| может происходить катастрофическая потеря*точности"для: давления (ошибка на порядки превышает максимальное: значение модуля-давления; и; при фиксированном шаге /¿ пространственной сетки возрастает почти обратно пропорционально величине шага т; точность же для: скорости при этом остается1 высокой и практически не меняется). Наличие подобного явления вызывает серьезные проблемы, с использованием такого, на первый взгляд естественного, подхода-для численного решения задачи- (1)-(3), особенно при использовании8 сильно, неравномерных пространственных сеток (как, например, в толстых шаровых,слоях, смс [45]).

Выявление столь существенного дефекта послужило основным- мотивом для разработки нового итерационного5 метода с расщеплением ГУ решения непосредственно начально-краевой задачи*(1)-(3), см. [49-51]. Метод получил обоснование' в том же случае, что рассматривался в; первых работах [31-33] по созданию итерационных методов с расщеплением ГУ решения стационарной обобщенной задачи; Стокса (4),(5), т.е. в случае, когда пространственная область представляет собой слой в Мп, а задача (1)-(3) периодическая в;орто-тональных направлениях вдоль слоя. По .своей сути этот метод имеет много общего с 1-м итерационным, процессом с неполным, расщеплением ГУ из [32]. Каждая итерация метода состоит в решении двух последовательных задач: , зависящей от временной переменной I как от параметра задачи Неймана для уравнения Пуассона- для приближений к давлению, затем для приближений к скорости — специальной векторной параболической начально-краевой задачи, решения которой автоматически удовлетворяют уравнению неразрывности. Завершается итерация простой формулой пересчета с использованием параболического оператора на пространственно-временной части границы. . Расщепление на итерациях на существенно более простые (по сравнению с исходной), устойчиво численно аппроксимируемые краевые задачи обусловило перспективность этого итерационного метода как основы для создания новых эффективных и устойчивых численных методов решения нестационарной задачи Стокса (1)-(3).

Цели диссертационной работы состоят в 1°) разработке новых численных итерационных: методов решения нестационарной; задачи Стокса (1)-(3) на пути построения численных реализаций итерационного процесса с расщеплением ГУ, предложенного на дифференциальном уровне в [50]; 2°) численном изучении реальных свойств построенных численных методов; 3?) разработке приемов повышения их эффективности.

Разработка осуществлена для случаев: а) задачи (1)-(3) в полосе в М2 при: условии периодичности задачи-по направлению г вдоль полосы; б) осесимметричной задачи (1)-(3) в зазоре между соосными цилиндрами при условии периодичности ее вдоль цилиндров.

Случай а) представляет: интерес для. проведения сравнений: качеств создаваемых численных реализаций метода с соответствующими качествами уже . изученной его дифференциальной версии: В случае б) обоснования метода, на дифференциальном уровне пока: не получено. Рассмотрение* этого случая представляет интерес с точки-зрения исследования возможности,перенесения . численных реализаций; метода на случаи более общих областей и изучения их эффективности в указанном случае. .

Используемые методы. Основу разработанных численных итерационных методов решения нестационарной задачи Стокса составляет итерационный процесс с расщеплением ГУ, предложенный и обоснованный на дифференциальном уровне Б.В. Пальцевым, см. [50,51]. Построенные в.работе численные реализации этого итерационного процесса базируются на следующих дискретизациях по времени отщепленной параболической начально-краевой задачи для приближений к скорости: 1) по полностью неявной разностной схеме; 2) по разностной схеме Кранка-Николсон; 3) по неявной трехслойной, раз-.ностной схеме 2-го порядка аппроксимации. Аппроксимация краевых задач, возникающих на временных слоях при таких дискретизациях, а также задач Неймана (для приближений, к давлению) осуществлялась с помощью билинейных КЭ:, Для разрешения возникающих КЭ-схем использовался многосеточный метод Р.П. Федоренко[52] (более точно, модификация для задач вариационного типа, см. [53]). Модифицированные разностно-КЭ-аппроксимации: формулы' пересчета на границе, обеспечивающие такие же высокие скорости сходимости, как и у исходного метода на дифференциальном уровне, построены на основе конструкции, предложенной А. С. Лозинским, см: [40], для ускорения сходимости упомянутых выше численных итерационных методов с расщеплением ГУ решения стационарной обобщенной задачи Стокса (4),(5).

Теоретическая и практическая ценность результатов. Построенные в диссертационной работе численные итерационные методы решения нестационарной задачу Стокса обладают достаточной: алгоритмической?, простог той, поскольку на их итерациях происходит расщепление- на существенно более простые (по сравнению с исходной) краевую и начально-краевую задачи, соответственно, для приближений к давлению и к скорости, и эти приближения возможно аппроксимировать, по пространству одинаковыми билинейными,КЭ; При этом; методы, "основанные на упомянутых выше конечно-разностных дискретизациях 2-го и 3-го видов,.обеспечивают для;численных: решений 2-й порядок точности по шагу пространственно-временной сетки в норме максимума модуля^ причем и для скорости: и. для давления (методы, основанные на простейшей конечно-разностной дискретизации 1-го вида, обеспечивают 1-й порядок точности по времени при сохранении 2-го порядка точности по пространству), чего*обычно не в состоянии обеспечить аппроксимации всей задачи (1)-(3) в целом, удовлетворяющие ЛББ-условиям. Кроме того, важно подчеркнуть, что построенные методы не страдают потерей:точности для давления при неограниченном уменьшении величины т/\Н\, как это происходит для методов, основанных на первоначальной дискретизации по времени задачи (1)-(3) по неявным разностным схемам с последующим решением возникающих на каждом временном слое стационарных обобщенных задач Стокса вида (4),(5) при помощи разработанных ранее численных итерационных методов с расщеплением ГУ (как это отмечалось выше). Скорости сходимости построенных численных итерационных методов так же высоки, как и у исходного итерационного процесса на дифференциальном уровне (ошибка уменьшается приблизительно в 7 раз за одну итерацию).

Построенные в работе численные методы решения нестационарной задачи Стокса (1)-(3) в случае б) (в зазоре между соосными цилиндрами) имеют также и прикладную ценность, поскольку они могут служить основой (при развитии их на случай нелинейной системы Навье-Стокса) для численного исследования классической гидродинамической задачи о механизме образования вихрей Тейлора, см. [54].

Построенные в работе численные методы представляются перспективными для перенесения их на случаи более общих областей, а также для разработки на их основе новых методов численного решения нелинейной нестационарной задачи Навье-Стокса.

Научная новизна работы. Построенные в работе численные итерационные методы решения нестационарной задачи Стокса являются новыми и не имеют аналогов.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечена

• использованием в качестве основы для построенных в работе численных методов итерационного процесса с расщеплением ГУ, получившего обоснование на дифференциальном уровне в случае слоя в Мп при условии периодичности задачи в направлениях вдоль слоя;

• проведенными численными исследованиями.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Разработаны и численно исследованы новые эффективные численные итерационные методы с расщеплением ГУ решения нестационарной задачи Стокса в случае, когда пространственная область представляет собой полосу вК2, а задача периодическая по направлению вдоль полосы.

2. Разработаны и численно исследованы аналогичные численные итерационные методы с расщеплением ГУ решения осесимметричной нестационарной задачи Стокса в зазоре между соосными цилиндрами при условии периодичности ее по направлению вдоль цилиндров.

3. Численными исследованиями установлено, что методы, основанные на упомянутых выше конечно-разностных дискретизациях 2-го и 3-го видов, обеспечивают для численных решений 2-й порядок точности по шагу пространственно-временной сетки в норме максимума модуля как для скорости, так и для давления. Методы же, основанные на простейшей конечно-разностной дискретизации 1-го вида, обеспечивают 1-й порядок точности по времени и 2-й порядок точности по пространству. Разработанные численные методы являются устойчивыми и не страдают потерей точности для давления при неограниченном уменьшении отношения т/\Я

4. Найдены эффективные способы модификации аппроксимаций формулы пересчета на границе, обеспечивающие такие же высокие скорости сходимости разработанных численных методов, как и у исходного итерационного метода на дифференциальном уровне, а именно уменьшение ошибки приблизительно в 7 раз за 1 итерацию.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

• Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (г. Москва, 30 марта - 2 апреля 2009 г.);

• XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 25-31 мая 2009 г.);

• Международной конференции "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики" (г. Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 16-18 июня 2009 г.);

• Всероссийской конференции "Математика в приложениях", приуроченной к 80-летию академика С.К. Годунова (г. Новосибирск, 20-24 июля

2009 г.);

• Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (г. Тула, 23 - 27 ноября 2009 г.).

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликовано 3 статьи [55-57] в изданиях из перечня ВАК РФ и 5 работ в сборниках тезисов докладов [58-62].

Личный вклад автора. Все вынесенные на защиту результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитируемой литературы из 65 наименований. Диссертация содержит 15 таблиц. Общий объем диссертации составляет 89 страниц.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Соловьев, Михаил Борисович

Выводы

В главе 2 для случая осесимметричной нестационарной задачи Стокса в зазоре между коаксиальными цилиндрами, периодической по направлению вдоль цилиндров, построены численные реализации итерационного метода с расщеплением ГУ, предложенного на дифференциальном уровне в [50]. Подчеркнем, что обоснования этого метода на дифференциальном уровне в этом случае пока не получено. Построение проведено на основе конечно-разностных дискретизаций по времени и билинейных КЭ-аппроксимаций в цилиндрической системе координат. Численными исследованиями установлено, что построенные в главе 2 численные итерационные методы обладают фактически теми же качествами, что и построенные в главе 1 аналогичные численные итерационные методы для случая задачи в полосе при условии периодичности задачи вдоль полосы. В частности, следует отметить хорошее согласование скоростей сходимости построенных численных методов с теоретически полученной оценкой (1.39) для исходного итерационного процесса на дифференциальном уровне в случае слоя при условии периодичности задачи по направлениям вдоль слоя.

Заключение

В диссертационной работе разработаны и численно изучены новые эффективные численные итерационные методы с расщеплением ГУ решения нестационарной задачи Стокса в случаях: а) задачи в полосе в М2 при условии периодичности задачи по направлению вдоль полосы; б) осесимметричной задачи в зазоре между соосными цилиндрами' при условии периодичности ее вдоль цилиндров.

Разработанные численные методы получены на пути построения численных реализаций итерационного метода с расщеплением ГУ, предложенного-на дифференциальном уровне в [50], базирующихся на конечно-разностных дискретизациях по времени и билинейных КЭ-аппроксимациях по пространственным переменным возникающих на итерациях этого метода отщепленных задач для-приближений к давлению и скорости.

Построенные численные методы (как в случае (а), для которого получено обоснование исходного итерационного метода на дифференциальном уровне, см. [50], так и в случае (б), для которого такого обоснования4пока не получено) обладают следующими важными достоинствами.

1. В силу того, что на каждой итерации методов' происходит расщепление на существенно более простые (по сравнению с исходной) краевую и начально-краевую задачи для приближений к давлению и к скорости соответственно, и эти приближения аппроксимируются по пространству одинаковыми билинейными КЭ, методы обладают достаточной алгоритмической простотой.

2. Методы обладают такими же высокими скоростями сходимости, как и • у исходного итерационного процесса на дифференциальном уровне, а именно, обеспечивают уменьшение ошибки приблизительно в 7 раз за одну итерацию, что достигается благодаря использованию предложенных в диссертационной работе модификаций непосредственных разностно-КЭ аппроксимаций формулы пересчета на границе.

3. Скорости сходимости построенных численных методов не снижаются с: уменьшением коэффициента вязкости//.

4. Проведенными.численными исследованиями установлено, что. численные методы, основанные на конечно-разностной дискретизации; по; времени отщепленной • векторной параболической начально-краевой задачи для приближений к скорости по схеме Кранка-Николсон и неявной трехслойной конечно-разностной дискретизации по времени этой задачи, обеспечивают для чйсленнь1х решений; исходной нестационарной задачи Сток-са (1)-(3) 2-й-порядок точности по шагу пространственно-временной сетки. в норме максимума модуля, причем и для; скорости и для давления,

• чего обычно не в состоянии обеспечить численные, аппроксимации всей задачи (1) (3) в целом, удовлетворяющие ЛББ-условиям. Методы же. основанные на простейшей. полностью неявной конечно-разностной дискретизации по времени, обеспечивают для численных решений 1-й порядок точности по времени при сохранении 2-го порядка точности по пространству.

5. Методы не! страдают потерей точности для давления. при неограниченном- уменьшении величины шага дискретизации по времени- по сравнению с характерным шагом пространственной сетки, как. это происходит для методов, основанных на. первоначальной-дискретизации по, времени* задач» (1)-(3) по неявным разностным, схемам с последующим решением, возникающих, на каждом временном слое стационарных, обобщенных; задач Стокса вида (4), (5) при помощи разработанных ранее численных; итерационных методов с расщеплением ГУ.\

6. Благодаря использованию многосеточного метода для разрешения КЭ-задач, возникающих на временных слоях, построенные численные итерационные методы оказываются реально высокоэффективными.

Разработанные численные итерационные методы решения нестационарной задачи Стокса (1)-(3), в силу того, что они. обладают перечисленными выше достоинствами, представляются перспективными для перенесения их на случаи более общих областей, а также для разработки на их основе новых методов численного решения нелинейной нестационарной задачи Навье-Стокса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соловьев, Михаил Борисович, 2010 год

1. Кочин Н.Е., Кибель И.А. Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.1.. М.: Физматлит, 1963.

2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973.

3. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

4. Girault V., Raviart P. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Berlin: Springer, 1986.

5. Темам P. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

6. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

7. Кобельков Г.М. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скор ость-давление // Вычисл. процессы и системы. Вып. 8. М.: Наука, 1991. С. 204-236.

8. Kobelkov G.M., Valedinskii V.D. // On the inequality |H|l2 < c||Vp||wa and its finite dimensional analog. Soviet J. Numer. Anal. Math. Model. 1986. V. 1. №3. P. 189-201.

9. Кобельков Г.М. О численном решении задачи Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15. № 3. С. 786-789.

10. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики, I // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т. 4. №3. С. 449-465.

11. Brezzi F.} Fortin М. Mixed and hybrid finite element methods. New York: Springer, 1991.

12. Grouzeix M., Raviart P.A. Conforming and non-conforming finite element methods for solving the stationary Stokes equations //R. A. I. R. O. 1973. № R-3. P. 77-104.

13. Rannacher R., Turek S. Simple nonconforming quadrilateral Stokes element // Numer. Meth. Partial Diff. Eq. 1992. V. 8. P. 97-111.

14. Выченков Ю.В., Чижонков E.B. Итерационные методы решения седло-вых задач. М.: БИНОМ, 2010.

15. Arrow К., Hurwicz L., Uzawa Н. Studies in Nonlinear Programming. Stanford: Stanford University Press, 1958.

16. Bychenkov Yu. V., Chizhonkov E. V. Optimization of one three-parameter method of solving an algebraic system of the Stokes type // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1999. V. 14. № 5. P. 429-440.

17. Ольшанский M.A. Об одной задаче типа Стокса с параметром // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. №2. С. 75-86.

18. Cahouet J., Chabard J.-В. Some fast 3-D finite element solvers for the generalized Stokes problem //Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1988. V. 8. P. 869-895.

19. Kobelkov G.M., Olshanskii M.A. Effective preconditioning of Uzawa type schemes for a generalized Stokes problem. // Numer. Math. V. 86. № 3. P. 443-470.

20. Braess D., Sarazin R. An efficient smoother for the Stokes problem // Appl. Numer. Math. 1997. V. 23, P. 3-19.

21. Turek S. Efficient solvers for incompressible flow problems: An algorithmic approach in view of computational aspccts. Berlin, Heidelberg: Springer. 1999.

22. Vanka S.B. Block-implicit multigrid solution of Navier-Stokes equations in primitive variables //J. Comput. Physics. 1986. V. 65. P. 138-158.

23. Elman H. C. Multigrid and Krylov Subspace Methods for the Discrete Stokes Equations // J. Numer. Methods Fluids. 1996. V. 22. P. 755-770.

24. Wittum G. Multi-grid methods for the Stokes and Navier-Stokes equations // Numer Math. 1989. V. 54. P. 543-564.

25. Ольшанский M. А. Лекции и упражнения по многосеточным методам. М.: Физматлит, 2005.

26. Dorodnicyn A.A. On the method for solution of a problem of vescous flow about a body //VII Symp. Advanced Problems and Methods in Fluid Dynamics. Warszawa: IPPT PAN. 1965. P. 13-14.

27. Дородницын A.A. Об одном методе решения задачи обтекания тел вязкой жидкостью // Fluid Dynamics Transactions. Warszawa: PWN. 1967. V. 3. P. 41-52.

28. Дородницын A.A., Меллер H.A. О некоторых подходах к решению стационарных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8. № 2. С. 393-402.

29. Пальцев Б.В. О быстросходящихся итерационных методах с расщеплением граничных условий для многомерной системы типа Стокса. Периодические "течения" между параллельными стенками // Докл. РАН. 1992. Т. 325. №5. С. 926-931.

30. Пальцев Б. В. О быстросходящихся итерационных методах с неполным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса // Матем. сб. 1994. Т. 185. №4. С. 101-150.

31. Пальцев Б. В. О быстросходящихся итерационных методах с полным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса // Матем. сб. 1994. Т. 185. №9. С. 109-138.

32. Пальцев Б. В. Об условиях сходимости итерационных методов с полным расщеплением граничных условий для системы Стокса в круге и кольце // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. №7. С. 1015-1037.

33. Пальцев Б. В. Об условиях сходимости итерационных методов с полным расщеплением граничных условий для системы Стокса в шаре и шаровом слое // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. №6. С. 935-963.

34. Пальцев Б.В., Чечель И.И. О реальных качествах билинейных конечно-элементных реализаций методов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. №2. С. 247-261.

35. Лозинский A.C. Об ускорении конечно-элементных реализаций итерационных процессов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем физ. 2000. Т. 40. №9. С. 13391363.

36. Лозинский A.C. Конечно-элементная реализация итерационных процессов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса в неконцентрических кольцах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. №8. С. 1203-1216.-о

37. Пальцев Б.В., Чечель И.И. О билинейных конечно-элементных реализациях итерационных методов с неполным расщеплением граничных условий для системы тина Стокса на прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39. №11. С.1838-1864.

38. Пальцев Б.В., Чечель И.И. О методе 2-го порядка точности с расщеплением граничных условий решения стационарной осесимметричной задачи Навье-Стокса в шаровых слоях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. №12 С. 2232-2250.

39. Пальцев Б.В., Ставцев А.В., Чечель И.И. Численное исследование основных стационарных сферических течений Куэтта при небольших числах Рейнольдса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. №4. С. 693-716.

40. Пальцев Б. В. Об одном итерационном методе с расщеплением граничных условий решения первой начально-краевой задачи для системы Стокса // Докл. РАН. 2010. Т. 432. №5. С. 597-603.

41. Пальцев Б. В. Об условиях сходимости метода с расщеплением граничных условий в пространствах Соболева высокой гладкости и условиях согласования для нестационарной задачи Стокса // Докл. РАН. 2010. Т. 435. № 4. С. 455-459.

42. Федоренко Р. П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений // Успехи матем. наук. 1973. Т. 28. Вып. 2. С. 121-182.

43. McCormick S.F., Ruge J. W. Multigrid methods for variational problems //SIAM J. Numer. Analys. 1982. V. 19. № 5. P. 924-929.

44. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Изд-во «Мир», 1981. 638 с.

45. Соловьев М.Б. О численных реализациях нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса // Докл. РАН. 2010. Т. 432. №6. С. 741-745.

46. Соловьев М.Б. О численных реализациях нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса в полосе при условии периодичности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. №10. С. 1771-1792

47. Соловьев М.Б. Численные реализации итерационного метода с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса в зазоре между коаксиальными цилиндрами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т 50. №11. С. 1998-2016.V

48. Слободецкий Л.Н. Обобщенные пространства С.Л. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференцнальных уравнений в частных производных // Учен. зап. Ленингр. гос. пед. нн-та им. Герцена. 1958. Т. 197. № 6. С. 54-112.

49. Абрамов A.A., Андреев В.Б. О применении метода прогонки к нахождению периодических решений дифференциальных и разностных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т. 3. №2. С. 377-381.

50. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.