Методы анализа и синтеза оптических систем для высококачественного преобразования лазерных пучков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.07, кандидат технических наук Носов, Павел Анатольевич

• Носов, Павел Анатольевич
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Носов, Павел Анатольевич

Введение

1 Обзор методов расчёта пространственных характеристик лазерного пучка в открытом резонаторе и после оптической системы

1.1. Общие положения теории открытых резонаторов.

1.2. Расчёт распределения поля лазерного излучения методом скалярной теории дифракции.

1.3. Метод интегрального уравнения в теории резонаторов.

1.3.1. Интегральное уравнение открытого резонатора и его аналитическое решение.

1.3.2. Распределение поля в произвольном поперечном сечении симметричного конфокального резонатора.

1.4. Методы расчёта пространственных характеристик лазерного пучка, формируемого реальными резонаторами

1.5. Расчёт распределения поля лазерного пучка на выходе оптической системы.

1.5.1. Методы расчёта пространственных параметров лазерного пучка при преобразовании идеальной ЛОС.

1.5.2. Распределение поля лазерного излучения с учётом аберрационных и дифракционных искажений оптической системы

1.6. Синтез оптической системы, обеспечивающей заданные допустимые искажения лазерного пучка.

Выводы по главе.

2 Методы расчёта искажений пространственных характеристик лазерного излучения, формируемого резонатором 40 2.1. Описание искажений пространственной структуры лазерного излучения.

2.2. Метод анализа идеальных резонаторов произвольной конфигурации

2.2.1. Интегральное уравнение идеального резонатора произвольной конфигурации.

2.2.2. Расчёт параметров и характеристик лазерного пучка, формируемого резонатором произвольной конфигурации

2.3. Параметры и характеристики лазерного пучка с учётом аберраций сферических зеркал резонатора.

2.3.1. Метод расчёта параметров лазерного пучка в двухзер-кальном резонаторе произвольной конфигурации.

2.3.2. Распределение поля в произвольном поперечном сечении и пространственные параметры лазерного пучка двухзеркального резонатора с учётом аберраций зеркал

2.3.3. Метод расчёта параметров лазерного пучка в многоэлементном резонаторе произвольной конфигурации

Выводы по главе.

3 Методы расчёта пространственных характеристик и искажений лазерного пучка на выходе реальной оптической системы

3.1. Функция волновой аберрации Л ОС и её расчёт

3.2. Распределение поля и параметры лазерного пучка на выходе реальной ЛОС.

3.2.1. Интегральное преобразование для определения поля на выходе реальной ЛОС.

3.2.2. Метод расчёта распределения поля и параметров лазерного пучка с учётом аберраций ЛОС.

3.2.3. Метод расчёта распределения поля лазерного пучка на выходе аберрационной дифракционно ограниченной ЛОС

3.3. Экспериментальное исследование искажений лазерного пучка оптической системой.

Выводы по главе.

4 Методика аберрационного синтеза оптических систем для преобразования лазерных пучков с малыми искажениями

4.1. Особенности синтеза лазерных оптических систем.

4.2. Условия проведения аберрационного синтеза линзового компонента

4.3. Расчёт исходной схемы компонентов лазерной оптической системы

4.3.1. Синтез двухлинзового склеенного объектива.

4.3.2. Синтез одиночной линзы

4.4. Алгоритм аберрационного синтеза многокомпонентной ЛОС

4.5. Примеры применения разработанного алгоритма для аберрационного синтеза ЛОС с малыми искажениями.

4.6. Внедрение результатов диссертационной работы.

Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы анализа и синтеза оптических систем для высококачественного преобразования лазерных пучков»

Актуальность темы

Изобретение лазера относят к одному из наиболее значимых достижений науки и техники XX века. Высокая когерентность, большая интенсивность и малая расходимость лазерного излучения обусловливают широкие возможности его применения при решении различных задач.

Для решения современных практических задач с использованием лазер-:, ного излучения предъявляются особые требования к характеристикам пучка. Как правило, эти требования не могут быть удовлетворены только одним универсальным источником. Поэтому представляется целесообразным сформировать в резонаторе лазера энергетические, временные, спектральные и поляризационные параметры излучения, а с помощью оптической системы вне резонатора лазера — требуемые амплитудно-фазовое распределение поля и параметры пучка. При этом за счёт усложнения схемы резонатора компенсируют неоднородности его элементов и обеспечивают высокое качество и заданный модовый состав выходного лазерного пучка.

Излучение на выходе лазера может быть одномодовым (соответствует конкретному поперечному колебанию) или многомодовым (представляет суперпозицию нескольких поперечных типов колебаний) [1]. Так для задач прецизионной лазерной резки, в научных исследованиях, для осуществления реакций термоядерного синтеза и др. используют лазерное излучение моды TEMqq [2]. Лазеры, генерирующие моду ТЕМц, для которой характерна двухлепестковая диаграмма направленности, применяют, в частности, для наведения по лучу [1]. В работе [3] обосновывается перспективность применения мод Лагерра-Гаусса LGmn (т - радиальный индекс, an- азимутальный) высокого порядка (га > 0, п > 0) в STED-микроскопии (Stimulated Emission Depletion), оптическом пинцете, при изучении задач физики плазмы. Как отмечается в работах [4-6], в многомодовом режиме генерации удаётся достичь более высоких энергетических параметров лазерного пучка; варьирование мо-дового состава позволяет существенно влиять на распределение интенсивности, подбирая его оптимальным образом для конкретной практической задачи. Многомодовые пучки находят применение при решении технологических задач (например, поверхностная термообработка материалов) [2].

Отличия свойств излучения классических источников (тепловых, люминесцентных и др.) и формируемого в открытом резонаторе лазерного излучения уже в параксиальной области вызывают принципиальное отличие законов их преобразования оптической системой [1,7,8]. Поэтому возникла необходимость разработки оптических систем нового класса — лазерных оптических систем (JIOC). JIOC получили своё название из-за специфики их расчёта — он производиться с учётом когерентных свойств и особенностей лазерного излучения. При этом важно отметить, что известные методы расчёта оптических систем для классических источников излучения и используемые для этого программы Zemax, Code V, Oslo, Synopsys, WinDEMOS, CAPO и др. не учитывают пространственную когерентность лазерного излучения, характеризуемая конфокальным параметром пучка, и их нельзя применять для разработки современных лазерных оптико-электронных приборов.

При формировании лазерного излучения с требуемыми характеристиками решаются задачи анализа и синтеза. Так, под задачей анализа резонатора или JIOC понимается определение пространственного распределения поля и параметров формируемого пучка, а синтеза — расчёт резонатора и/или JIOC, формирующие излучение с требуемыми характеристиками. Эти и другие задачи более 35 лет успешно развивает научная школа «Лазерная оптика» МГТУ им. Н.Э. Баумана под руководством д.т.н., профессора И.И.Пахомова.

К настоящему времени задачи анализа и синтеза идеального резонатора в основном решены [1,9-11]. Влияние неоднородности активной среды, разъ-юстировки элементов резонатора и других факторов на пространственно-энергетические характеристики лазерного пучка в литературе в той или иной степени рассмотрены, а некоторые исследованы достаточно подробно (см. [1,6,9,12]). Однако в большинстве работ оптические элементы резонатора со сферической и параболической поверхностями считают идентичными (например, [1,12]). Поскольку в большинстве случаях применяют сферические зеркала, то аберрации формы поверхности оптических элементов резонатора, в совокупности с перечисленными выше факторами, влияют на характеристики генерируемого пучка [13,14]. Что касается внешней оптической системы, то задачи анализа и синтеза решены для идеальной JIOC [1,7,8,15], а для реальной ДОС они разработаны только для основной моды [7,8,16-18].

Из-за аберраций, дифракционных эффектов, неоднородности оптических элементов, их разъюстировки и др. факторов пространственная структура лазерного излучения па выходе резонатора лазера или ЛОС искажается: для реального и идеального пучков отличаются амплитудно-фазовые распределения полей и, как следствие, пространственные параметры пучков. Эти искажения часто характеризуют параметром пучка М2. Тем не менее, отечественные и зарубежные специалисты по лазерной технике неоднократно отмечали неполноту характеристики искажений пучка только параметром М2 (например, [19]). Поэтому представляется важным разработать систему количественных оценок степени искажения пространственной структуры лазерного излучения, которая будет характеризовать искажения не только пучка, но и, что более важно, амплитудно-фазового распределения поля.

Так как к настоящему времени практически отсутствуют: 1) метод расчёта характеристик произвольной поперечной моды лазерного излучения, формируемой резонатором произвольной конфигурации, учитывающий аберрации его сферических зеркал; 2) метод расчёта характеристик произвольной поперечной моды лазерного излучения, формируемой ЛОС, учитывающий её аберрации и дифракционные эффекты; 3) методика синтеза ЛОС для преобразования произвольной поперечной моды лазерного излучения с малыми амплитудно-фазовыми искажениями поля; 4) система оценок искажений пространственной структуры формируемого оптической системой лазерного излучения, то тема диссертационной работы представляется актуальной.

Цель диссертационной работы — разработка методов анализа и синтеза оптических систем, которые обеспечивают малые искажения» вых©дного амплитудно-фазового распределения поля лазерного излучения.

Для достижения указанной цели в диссертационной работе были поставлены и решены следующие научно-технические задачи:

1. Предложена и разработана система количественных оценок искажений амплитудно-фазового распределения поля и пучка лазерного излучения.

2. Разработаны методы расчёта амплитудно-фазового распределения поля, пространственных параметров пучка и частотного спектра лазерного излучения, формируемого в резонаторе произвольной конфигурации, состоящего как из безаберрационных элементов, так и сферических зеркал.

3. Разработаны методы расчёта амплитудно-фазового распределения поля и пространственных параметров произвольной поперечной моды лазерного излучения на выходе аберрационной дифракционно-ограниченной ЛОС.

4. Разработана методика синтеза ЛОС различного назначения, обеспечивающих малые амплитудно-фазовые искажения выходного поля при преобразовании произвольной поперечной моды лазерного излучения.

Методы исследований

При решении поставленных задач использованы методы теории оптических систем, геометрической оптики, скалярной теории дифракции, функционального анализа.

Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что:

1. Разработан метод расчёта параметров и характеристик лазерного излучения, формируемого многоэлементным резонатором произвольной конфигурации, состоящим из безаберрационных элементов.

2. Разработан метод расчёта распределения поля, пространственных параметров пучка и частотного спектра лазерного излучения, формируемого устойчивым многоэлементным резонатором, учитывающий аберрации сферических зеркал этого резонатора.

3. Разработаны методы расчёта распределения поля и параметров лазерного пучка на выходе аберрационной дифракционно-ограниченной ЛОС.

4. Предложена система количественных оценок искажений амплитудно-фазового распределения поля и пучка лазерного излучения, формируемого резонатором или ЛОС.

5. Разработана методика аберрационного синтеза многокомпонентных ЛОС для преобразования как одномодового, так и многомодового лазерных пучков с минимальным искажением распределения поля.

Практическая ценность работы:

• Разработанные методы позволяют рассчитать параметры и характеристики лазерного излучения, формируемого многоэлементным резонатором произвольной конфигурации, состоящим как из безаберрационных элементов, так и сферических зеркал.

• Разработанные методы расчёта параметров и характеристик лазерного излучения позволяют анализировать распределение поля-и пространственные параметры пучка на выходе ЛОС с учётом аберрационных и дифракционных искажений оптической системы.

• Предложенный способ описания позволяет количественно оценивать степень искажения амплитудно-фазового распределения поля и параметров пучка лазерного излучения и оптимизировать конструктивные параметры лазера и ЛОС.

• Разработанные методика и алгоритм аберрационного синтеза ЛОС различного назначения позволяют рассчитать конструктивные параметры компонентов и обеспечить в результате малые амплитудно-фазовые искажения поля при преобразовании лазерного излучения произвольной поперечной моды, например, для приборов передачи, обработки и воспроизведения информации, голографии, литографии и др.

На защиту выносятся следующие основные положения:

• Введённая система показателей позволяет проводить количественную оценку искажений пространственной структуры лазерного излучения, формируемого резонатором или ЛОС.

• Разработанный метод анализа многоэлементных резонаторов произвольной конфигурации, учитывающий аберрации сферических зеркал, позволяет рассчитать амплитудно-фазовое распределение поля, пространственные параметры и частотный спектр формируемого лазерного излучения.

• Разработанные методы анализа ЛОС, учитывающие аберрационные и дифракционные искажения, позволяют рассчитать распределение поля и пространственные параметры произвольной поперечной моды выходного пучка излучения.

• Предложенные и разработанные методика и алгоритм аберрационного синтеза многокомпонентных JIOC позволяют рассчитать конструктивные параметры компонентов оптической системы для преобразования одномодового или многомодового пучка лазерного излучения с малыми амплитудно-фазовыми.искажениями.псшя.

Достоверность результатов основана на корректном рассмотрении исследуемых физических процессов, использовании правомерных допущений, корректном применении методов исследования, а также на соответствии результатов численного моделирования и эксперимента.

Реализация и внедрение результатов диссертационной работы

Полученные результаты исследований внедрены в фирме Самсунг Электронике Ко., Лтд., использованьти-работах-ФВУП «НПК| «ГОИ 1иго. С.И. Вавилова» и в учебном процессе кафедры «Лазерные и оптико-электронные системы» МГТУ им. Н.Э. Баумана — в курсах лекций «Оптика лазерных систем локации» и «Проектирование лазерных систем экомониторинга», что подтверждено соответствующими актами.

Апробация результатов и публикации

Материалы диссертационной работы доложены на VIII и IX Международных конференциях «Прикладная оптика» (г. Санкт-Петербург, 2008, 2010 гг.), XX Международной научно-технической конференции «Лазеры в науке, технике и медицине» (г. Адлер, 2009 г.), XIV Международной конференции «Оптика лазеров-2010» (г. Санкт-Петербург), а также Всероссийской школе для студентов, аспирантов, молодых учёных и специалистов по лазерной физике и лазерным технологиям в 2008-2010 гг. (г. Саров).

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в двух статьях [11,20] в журнале, входящем в Перечень ВАК, и пяти трудах научно-технических конференций [21-25].

Структура и объем диссертационной работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, общих выводов и списка литературы. Материал изложен на 150 страницах машинописного текста и содержит 36 рисунков, 25 таблиц и список литературы из 79 наименований.

Заключение диссертации по теме «Оптические и оптико-электронные приборы и комплексы», Носов, Павел Анатольевич

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Введена система показателей для количественной оценки искажений пространственной структуры лазерного излучения.

2. Разработан метод расчёта параметров и характеристик лазерного излучения, формируемого идеальными многоэлементными резонаторами, позволяющий получить расчётные соотношения в аналитическом виде.

3. Предложен и разработан метод расчёта стационарного амплитудно-фазового распределения поля и параметров лазерного излучения в многоэлементных резонаторах, учитывающий аберрации сферических зеркал.

4. Для произвольной поперечной моды разработаны методы расчёта распределения поля и параметров лазерного пучка на выходе аберрационной дифракционно ограниченной JIOC.

5. Получены приближённые аналитические выражения для искажающих функциональных факторов амплитуды и фазы и отклонения пространственных параметров лазерного пучка, необходимые для решения задач анализа и синтеза лазерных резонаторов и оптических систем.

6. Разработана методика и алгоритм аберрационного синтеза лазерных оптических систем, позволяющие проводить автоматизированный синтез таких систем с малыми искажениями выходного поля.

7. Результаты диссертационной работы опубликованы в двух статьях, доложены на четырёх конференциях и внедрены.

Таким образом цель, сформулированная во введении диссертации, достигнута.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Носов, Павел Анатольевич, 2011 год

1. Пахомов И.И., Рожков О.В., Рождествин В.Н. Оптико-электронные квантовые приборы. М.: Радио и связь, 1982. 456 с.

2. Голубев B.C., Лебедев Ф.В. Инженерные основы создания технологических лазеров. М.: Высшая школа, 1988. 176 с.

3. Thirugnanasambandam М.Р., Senatsky Yu., Ueda К. Generation of very-high order Laguerre-Gaussian modes in Yb:YAG ceramic laser // Laser Physics Letters. 2010. № 9. P. 637 643.

4. Фазовая коррекция излучения мощного технологического лазера с селекцией высших мод/ М.Г. Галушкин и др. // Современные лазерно-информационные и лазерные технологии: Сб. трудов ИПЛИТ РАН. М.: Интерконтакт Наука, 2005. С. 291 298.

5. Голубев B.C., Лебедев Ф.В. Физические основы технологических лазеров. М.: Высшая школа, 1988. 191 с.

6. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного излучения. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 328 с.

7. Пахомов И.И., Цибуля A.B. Расчет оптических систем лазерных приборов. М.: Радио и связь, 1986. 152 с.

8. Климков Ю.М. Прикладная лазерная оптика. М.: Машиностроение, 1985. 128 с.

9. Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 320 с.

10. Пахомов И.И., Ширанков А.Ф. К анализу и синтезу зеркально-линзовых резонаторов // Вестник МГТУ имени Н.Э. Баумана. Приборостроение. 2007. т. С. 95 103.

11. Носов П.А., Пахомов И.И., Ширанков А.Ф. Анализ и синтез зеркально-линзовых резонаторов // Оптический журнал. 2010. Т. 77, №1. С. 28 -35.

12. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и лазерные пучки. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 264 с.

13. Славянов С.Ю. К теории открытых резонаторов // ЖЭТФ. 1973. Т. 64, № 3. С. 785 795.

14. Пахомов И.И., Громов В.В. Лазерные пучки, формируемые реальными резонаторами // Вестник МГТУ имени Н.Э. Баумана. Приборостроение. 1999. №3. С. 99 104.

15. Аниканов А.Г., Пахомов И.И., Ширанков А.Ф. Структурный синтез лазерных оптических систем при ограничениях их параметров // Оптический журнал. 2010. Т. 77, № 2. С. 30 36.

16. Пахомов И.И. Расчёт преобразования лазерного пучка в оптических системах. М.: МВТУ. 1984. 54 с.

17. Пахомов И.И. К расчёту двухлинзового объектива // Труды МГТУ. 1989. № 536. С. 19 35.

18. Пахомов И.И., Ширанков А.Ф. К расчету двухлинзовых нескленных объективов для лазерного излучения // Вестник МГТУ имени Н.Э. Баумана. Приборостроение. 1994. № 3. С. 101 108.

19. Ананьев Ю.А. Еще раз о критериях «качества» лазерных пучков // Оптика и спектроскопия. 1999. Т. 86, № 3. С. 499 502.

20. Пахомов И.И., Ширанков А.Ф., Носов П.А. Описание, расчёт и анализ искажений многомодовых лазерных пучков // Оптический журнал. 2010. Т. 77, № 2. С. 37 43.

21. Пахомов И.И., Ширанков А.Ф., Носов П.А. Описание, расчёт и анализ искажений многомодовых лазерных пучков // Прикладная оптика-2008: Сборник трудов VIII Международной конференции. СПб., 2008. Т. 3. С. 170 174.

22. Носов П.А., Пахомов И.И., Ширанков А.Ф. Учёт влияния сферичности реальных зеркал резонатора на параметры формируемого лазерного пучка // Прикладная оптика-2010: Сборник трудов IX Международной конференция. СПб., 2010. Т. 1, часть II. С. 58 62.

23. Носов П.А. Синтез оптических систем для преобразования лазерного излучения с малыми искажениями выходного поля // Лазеры в науке, технике, медицине: Сб. научн. тр. XX международной научно-технической конференции. М., 2009. Т. 20. С. 112 116.

24. Звелто О. Принципы лазеров. СПб.: «Лань», 2008. 720 с.

25. Ищенко Е.Ф., Климков Ю.М. Оптические квантовые генераторы. М.: Сов. радио, 1968. 472 с.

26. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир, 1974. 457 с.

27. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 856 с.

28. Цибуля А. Б., Чертов В. Г., Шерешев А. Б. Пространственная структура лазерных пучков и геометрическая оптика // Оптико-механическая промышленность. 1977. № 10. С. 66 72.

29. Быков В.П., Вайнштейн Л.А. Геометрическая оптика открытых резонаторов // ЖЭТФ. 1964. Т. 47, №8. С. 508 517.

30. Кравцов Ю.А. Об одной модификации метода геометрической оптики // Изв. вузов. Радиофизика. 1965. Т. 7, №4. С. 664 673.

31. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. М.: Мир, 1970. 364 с.

32. Ищенко Е.Ф. Открытые оптические резонаторы: Некоторые вопросы теории и расчета. М.: Сов. радио, 1980. 208 с.

33. Мосягин Г.М., Немтинов В.Б., Лебедев E.H. Теория оптико-электронных систем. М.: Машиностроение, 1990. 431 с.

34. Заказнов Н.П., Кирюшин С.И., Кузичев В.И. Теория оптических систем. М.: Машиностроение, 1992. 448 с.

35. Комаров И.В., Пономарев Л.П., Славянов С.Ю. Сфероидальные и куло-новские сфероидальные функции. М.: Наука, 1976. 319 с.

36. Методы компьютерной оптики/ A.B. Волков и др. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 668 с.

37. Бойд Дж., Гордон Дж. Конфокальный резонатор со многими типами колебаний для квантовых генераторов миллиметрового и оптического диапазона // Лазеры. М.: ИЛ, 1963. С. 363 384.

38. Chang W.S.C. Principles of Lasers and Optics. Cambridge: University Press, 2005. 260 p.

39. Функции с двойной ортогональностью в радиотехнике и оптике/ Перевод и научная обработка М.К. Размахнина и В.П. Яковлева. М.: Сов. радио, 1971. 256 с.

40. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1094 с.

41. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы). М.: Наука, 1964. 344 с.

42. Фокс А., Ли Т. Резонансные типы колебаний в интерферометре квантового генератора // Лазеры. М.: ИЛ, 1963. С. 325 362.

43. Kogelnik Н., Li Т. Laser beams and resonator // Applied Optics. 1966. V. 5, №10. P. 1550 1567.

44. Тер-Погосян A.C. Расчет симметричных резонаторов ОКГ при больших значениях числа Френеля // Изв. вузов СССР Приборостроение. 1974. T. XVII, № 1. С. 112 117.

45. Тер-Погосян A.C. Несимметричные открытые резонаторы. оптических. квантовых резонаторов // Изв. вузов СССР Приборостроение. 1974. T. XVIII, № 2. С. 97 101.

46. Климков Ю.М. Основы расчета оптико-электронных приборов с лазерами. М.: Сов. радио, 1978. 264 с.

47. Прикладная оптика/ М.И. Апенко и др. М.: Машиностроение, 1992. 480 с.

48. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 383 с.

49. Вайнштейн JI.A. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. 440 с.

50. Кравцов Ю.А. Модификация метода геометрической оптики для волны, просачивающейся через каустику // Изв. вузов. Радиофизика. 1965. Т. 8, № 4. С. 659 667.

51. Быков В.П. Построение волнового поля по лучевой картине // ЖТФ. 1970. Т. 40, № 10. С. 2035 2042.

52. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Че-бышева. М.: Наука, 1983. 384 с.

53. Siegman А.Е. New developments in laser resonators // Proc. Soc. Photo-Opt. Instrum. Eng. 1990. V. 1224. P. 2 14.

54. International standard ISO 11146-1:2005. Lasers and laser-related equipment — Test methods for laser beam widths, divergence angle and beam propagation ratios. Part 1. Stigmatic and simple astigmatic beams. Geneva: ISO, 2005. 24 p.

55. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. 542 с.

56. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 752 с.

57. Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р. Функции математической физики. М.: Физматгиз, 1963. 104 с.

58. Зверев Г.М., Голяев Ю.Д. Лазеры на кристаллах и их применение. М.: Радио и связь, 1994. 312 с.

59. Мезенов A.B., Соме Л.Н., Степанов А.И. Термооптика твердотельных лазеров. Л.: Машиностроение, 1986. 199 с.

60. Siegman А.Е. Lasers. Oxford: Oxford University Press, 1986. 1283 p.

61. Абрамочкин Е.Г. Функции Эрмита-Лагерра-Гаусса // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2001. № 4. С. 19-41.

62. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М: Бином. Лаборатория знаний, 2008. 636 с.

63. Манжиров A.B., Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. М.: «Факториал Пресс», 2000. 384 с.

64. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2005. 480 с.

65. Коротков В.П., Тайц Б.А. Основы метрологии и теории точности измерительных устройств. М: Издательство стандартов, 1978. 352 с.

66. Балошин Ю.А., Крылов К.И., Шарлай С.Ф. Применение ЭВМ при разработке лазеров. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1989. 236 с.

67. ТО. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функция Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1974. Т. 2. 296 с.

68. Потёмкин А.К., Хазанов Е.А. Вычисление параметра М2 лазерных пучков методом моментов // Квантовая электроника. 2005. Т. 35, № 11. С. 1042 1044.

69. Мак A.A., Соме JI.H., Фромзель В.А., Яшин В.Е. Лазеры на неодимовом стекле. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 288 с.

70. Кушнир В.Р., Немков А.Н., Шкунов Н.В. Влияние геометрии резонатора на выходную мощность ОКГ с несколькими активными элементами // Квантовая электроника. 1975. Т. 2, № 6. С. 1312 1314.

71. Силичев О.О., Краев Е.И. Эффективный одномодовый лазер с импульсной накачкой // Квантовая электроника. 1987. Т. 14, № 8. С. 1653 1655.

72. Богданов Ю.В., Сорокин В.Н. Оптимизация четырехзеркального резонатора для титанового лазера // Квантовая электроника. 1995. Т. 22, № 4. С. 350 356.

73. Дмитриев В.Г., Тарасов Л.В. Прикладная нелинейная оптика. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2004. 512 с.

74. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: МГУ, 1967. 697 с.

75. Ширанков А.Ф. О методологии проектирования лазерных оптических систем // Прикладная оптика-2008: Сборник трудов VIII Международной конференции. СПб., 2008. Т. 3. С. 160 164.

76. Русинов М.М., Грамматин А.П., Иванов П.Д. Вычислительная оптика: Справочник. М.: ЛКИ, 2008. 423 с.