Пространственная структура излучения при синхронизации поперечных мод в лазерах с продольной накачкой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Кострюков, Павел Владимирович

• Кострюков, Павел Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кострюков, Павел Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Состояние исследований пространственной структуры излучения лазеров с продольной накачкой.

§1.1. Особенности лазеров с продольной накачкой.

1.1.1. Схема продольной оптической накачки.

1.1.2. Соотношение между диаметрами моды и накачки.

1.1.3. Профилированное усиление и механизм искажения пространственной структуры излучения.

§1.2. Подходы к описанию лазеров с продольной накачкой.

1.2.1. Приближение амплитудного экрана.

1.2.2. Методы расчета пространственной структуры излучения.

1.2.3. Способы характеризации пространственной структуры.

§1.3. Синхронизация поперечных мод в лазерах с продольной диодной накачкой.

ГЛАВА 2. Структура основной моды аксиально-симметричных лазеров с устойчивыми резонаторами при пространственно неоднородном усилении.

§2.1. Постановка задачи.

2.1.1. Модельный резонатор.

2.1.2. Итерационный метод Фокса-Ли, система уравнений.

2.1.3. Параметр |/?о|2 как характеристика основной моды.

§2.2. Результаты расчёта зависимости |/?о|2 от параметров конфигурации g2.

§2.3. Структура основной моды в критических конфигурациях.

§2.4. Обсуждение результатов.

2.4.1. Физическая интерпретация на основе фазовых набегов.

2.4.2. Разложение по системе лагерр-гауссовых функций.

§2.5. Структура основной моды в резонаторе некритической конфигурации и в случае внутрирезонаторной диафрагмы.

§2.6. Краткие итоги.

ГЛАВА 3. Влияние параметров пространственно неоднородного усиления на основную моду в окрестности критических конфигураций.

§3.1. Влияние коэффициента и степени неоднородности усиления.

§3.2. Матричное представление взаимодействия пучковых мод при пространственно неоднородном усилении.

§3.3. Аналитическая модель двух взаимодействующих пучков.

§3.4. Определение пороговых значений параметров, обеспечивающих синхронизацию поперечных мод.

3.4.1. Случай строгого вырождения.

3.4.2. Случай отстройки от строгого вырождения.

§3.5. Краткие итоги.

ГЛАВА 4. Пространственная структура излучения при синхронизации поперечных мод в лазере с астигматическим резонатором.

§4.1. Экспериментальная установка.

§4.2. Распределения интенсивности выходного излучения при различных длинах резонатора.

§4.3. Численная модель расчета пространственной структуры излучения лазера с нарушенной аксиальной симметрией.

4.3.1. Представление распределений комплексной амплитуды.

4.3.2. Элементарные оптические системы.

4.3.3. Составные оптические системы.

4.3.4. Расчет мод резонатора.

§4.4. Результаты расчета, сравнение с экспериментом и обсуждение.

§4.5. Особенности фокусировки излучения, формируемого при синхронизации поперечных мод.

4.5.1. Изучаемые пучки.

4.5.2. Экспериментальная регистрация продольных оптических ландшафтов.

4.5.2. Обсуждение.

§4.6. Симметрия пространственной структуры излучения при синхронизации поперечных мод в условиях астигматизма резонатора.

6.6.1. Условия реализации круговой симметрии и ее нарушения.

4.6.2. Численное моделирование распределений интенсивности для различных коэффициентов пропускания выходного зеркала.

4.6.3. Экспериментальная проверка.

§4.7. Краткие итоги.

ГЛАВА 5. Особенности фокусировки излучения диодных линеек с волоконным выводом и структура излучения компактного Nd:YLF^a3epa.

§5.1. Пространственное распределение интенсивности излучения диодных линеек с волоконным выводом и расчет инверсии в схеме продольной накачки твердотельных лазеров.

5.1.1. Пространственное и угловое распределения излучения на выходе световода.

5.1.2. Моделирование распространения пучка накачки.

5.1.3. Экспериментальная регистрация распределений интенсивности накачки.

§5.2. Пространственная структура излучения компактного Nd:YLF-na3epa с накачкой мощным одиночным лазерным диодом.

5.2.1. Схема компактного лазера.

5.2.2. Пространственная структура излучения в случаях кристаллов Nd: YLF и Nd:YAG.

§5.3. Краткие итоги.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространственная структура излучения при синхронизации поперечных мод в лазерах с продольной накачкой»

Диодная накачка твердотельных лазеров вызывает в настоящее время все больший интерес, поскольку позволяет получить высокую эффективность генерации, качество излучения при относительной простоте реализации и компактности [1,2]. В режиме генерации на нескольких поперечных модах эффективность «свет - свет» лазеров с диодной накачкой может достигать 70% [3,4]. Для многих практических применений предпочтителен режим одномодовой генерации. Так, в [5] сообщается о реализации высокоэффективной (58%) одномодовой генерации с близким к гауссовому распределением поля при использовании поперечной схемы накачки. Усреднение пространственной неоднородности накачки проводилось в достаточно сложной схеме с применением геометрии полного внутреннего отражения в активной среде и специально разработанного, астигматически исправленного резонатора с цилиндрическими элементами. Другой и более простой с практической точки зрения способ генерации одномодового излучения — использование продольной схемы накачки, при которой излучение накачки вводится в активную среду вдоль оси резонатора через одну из торцевых граней [6,7]. Практический интерес представляет случай узкого пучка накачки, диаметр которого меньше диаметра нулевой моды пустого резонатора. Именно в этом случае удается реализовать высокоэффективную генерацию на гауссовой моде пустого резонатора [8,9].

В последнее время обсуждается возможность применения импульсно-периодических пикосекундных твердотельных лазеров с высокоэффективной диодной накачкой и электрооптическим управлением генерацией [10] в составе лазерно-электронных генераторов рентгеновского излучения, основанных на Томсоновском рассеянии [11-15], занимающих промежуточное положение между рентгеновскими трубками и синхротронными источниками.

Разработка и оптимизация твердотельных лазерных систем с продольной диодной накачкой представляет собой достаточно емкую задачу. Частью ее является исследование пространственной структуры выходного лазерного излучения.

Можно выделить две основных группы факторов, приводящих к снижению качества пространственной структуры генерируемого излучения. К первым относятся связанные с термооптическими эффектами внутрирезонаторные фазовые искажения, например аберрации тепловой линзы и термоиндуцированное двулучепреломление. Тепловые эффекты играют значительную роль в генераторах и усилителях с мощной накачкой. Второй причиной искажений пространственной структуры излучения являются дифракционные эффекты на внутрирезонаторных элементах. Основным таким элементом в лазерах с продольной диодной накачкой, является активная среда с профилированным, т.е. неоднородным по поперечному сечению, распределением усиления, характерным для случая узкой накачки.

Активная среда с профилированным усилением представляет собой элемент с негауссовой функцией пропускания. В общем случае излучение лазера с таким элементом должно отличаться от гауссовых пучков, описывающих моды резонатора с гауссовыми элементами. Возникает естественный вопрос, какими изменениями пространственной структуры излучения сопровождается выигрыш в эффективности генерации, полученный за счет формирования профилированного усиления? При этом, актуальной является задача о влиянии конфигурации резонатора на искажения пространственной структуры за счет профилированного усиления.

Продольная схема накачки используется не только в твердотельных лазерах с диодной накачкой. Она также находит применение для накачки лазеров на красителях и лазеров на титан-сапфире. Кроме того, реализованы продольные схемы накачки твердотельных активных сред излучением газовых [16], твердотельных [17] и лазеров на красителях[18].

Эксперименты [19-21] показывают, что существует ряд так называемых критических конфигураций резонатора, в которых при накачке узким пучком наблюдаются заметные отличия пространственной структуры излучения от гауссовой, в то время как при достаточной отстройке от критических конфигураций пространственная структура излучения близка к гауссовой. Существование критических конфигураций связывается с вырождением мод пустого резонатора по частоте. Любая суперпозиция вырожденных по частоте мод самовоспроизводится за полный обход резонатора [22]. Перераспределение энергии в системе мод, вызванное пространственной неоднородностью усиления, приводит к синхронизации поперечных мод: формируется суперпозиция, обеспечивающая максимальное усиление. Для того чтобы обеспечить синхронизацию поперечных мод, или наоборот, исключить возбуждение высших мод в лазерах с продольной накачкой, необходимо исследование как системы критических областей на диаграмме устойчивости, так и пространственной структуры излучения в окрестности отдельных критических конфигурациях в зависимости от параметров резонатора и накачки.

Многомодовые пучки, формирующиеся в резонаторах с вырождением при профилированном усилении, могут найти применения для создания новых оптических ландшафтов в технологии манипуляции микро- и наночастицами с помощью лазерного излучения [23,24].

В имеющихся на данное время работах рассмотрена синхронизация поперечных мод в лазерах с резонаторами длиной до 10см. Во многих типах пикосекундных и фемтосекундных лазеров [10,25-27] применяются резонаторы длиной ~100см и более. Синхронизация поперечных мод в резонаторах такой длины не рассматривалась.

Таким образом, синхронизация поперечных мод в лазерах с продольной накачкой представляет собой многогранную задачу, исследование которой является в настоящее время актуальным по целому ряду аспектов.

Цели и задачи диссертационной работы

1. Расчет методом Фокса-Ли распределений амплитуды, фазы и модового состава излучения для критических конфигураций. Определение количества критических конфигураций на диаграмме устойчивости в зависимости от числа Френеля.

2. Определение значений параметров резонатора и накачки (коэффициента и степени неоднородности усиления), обеспечивающих синхронизацию поперечных мод в критических конфигурациях. Разработка аналитической модели для получения простых оценок данных значений.

3. Исследование эффекта синхронизации поперечных мод в лазерах с метровыми резонаторами и сравнение с результатами, полученными при длине резонатора до десяти сантиметров.

4. Исследование пространственных распределений интенсивности излучения диодных линеек с волоконным выводом. Разработка модели расчета распределений инверсии населенностей в активной среде.

Научная новизна

1. Впервые определено влияние числа Френеля на количество критических конфигураций на диаграмме устойчивости двухзеркального резонатора. По форме распределений интенсивности на зеркалах обнаружено существование двух типов критических конфигураций, определяемых параметрами вырождения.

2. Разработана аналитическая модель двух пучков, взаимодействующих за счет пространственной неоднородности усиления, позволяющая определить условия, обеспечивающие синхронизацию поперечных мод. Показано, что результаты аналитической модели близки к полученным численным методом Фокса-Ли.

3. Оригинальными являются полученные оценки пороговых значений параметров распределения усиления (диаметра и усиления на оси) и ширины диапазона отстроек от строгого вырождения, при которых реализуется синхронизация поперечных мод.

4. Впервые исследована синхронизация поперечных мод в лазере с метровым резонатором. Обнаружено нарушение круговой симметрии пространственной структуры излучения, связанное с астигматизмом резонатора. Определены условия проявления астигматизма.

Практическая ценность

1. Получены простые аналитические оценки значений диаметра накачки, позволяющих обеспечить или исключить проявление той или иной критической конфигурации. Определены ширины критических областей на диаграмме устойчивости.

2. Продемонстрирована возможность диагностики слабого астигматизма лазерных кристаллов в условиях расщепления вырождения при синхронизации поперечных мод. Показано, что для диагностики предпочтительно использовать глухие резонаторы больших длин.

3. В схеме компактного лазера с накачкой одиночным лазерным диодом мощностью 5 Вт продемонстрирована возможность разделения конфигураций резонатора на критические и некритические в случае использования в качестве активной среды кристаллов К&УЫ7 и невозможность такого разделения в случае кристаллов Предложена методика поиска оптимальной конфигурации резонатора.

Защищаемые положения

1. Число областей на диаграмме устойчивости двухзеркального лазерного резонатора, в которых при продольной накачке реализуется синхронизация поперечных мод, растет с увеличением числа Френеля, оставаясь ограниченным значением, определяемым отношением диаметров пучка накачки и нулевой моды холодного резонатора. Области синхронизации расширяются с увеличением резонаторных потерь.

2. Излучение, формирующееся при синхронизации поперечных мод в лазере с продольной накачкой, в зависимости от параметров вырождения имеет на противоположных зеркалах либо близкие, либо существенно различающиеся распределения интенсивности.

3. Модель, построенная на анализе взаимодействия двух мод в условиях пространственно неоднородного усиления, позволяет получить аналитические выражения для пороговых значений параметров распределения усиления и параметров резонатора, при которых реализуется синхронизация поперечных мод.

4. При синхронизации поперечных мод в условиях проявления астигматизма резонатора для каждого обнаруживающегося вырождения имеют место две различные длины резонатора, при которых излучение представляет собой суперпозиции эрмит-гауссовых мод с нулевыми значениями первого и второго индекса соответственно.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих статьях, опубликованных в рецензируемых журналах из списка ВАК России:

1. М.В. Горбунков, П.В. Кострюков, Л.С.Телегин, В.Г. Тункин, Д.В. Яковлев, «Особенности структуры основной моды лазеров с устойчивыми резонаторами при пространственно неоднородном усилении», Квантовая электроника, 37(2), 173-180 (2007).

2. М.В. Горбунков, П.В. Кострюков, В.Г. Тункин, «Влияние параметров резонатора и пространственно неоднородного усиления на пространственную структуру основной моды лазеров с устойчивыми резонаторами», Квантовая электроника, 38(7), 689-694 (2008).

3. V.V. Bezotosnyi, Е.А. Cheshev, M.V. Gorbunkov, P.V. Kostryukov, V.G. Tunkin, «Manifestation of active medium astigmatism at transverse mode locking in a diode end-pumped stable resonator laser», Applied Optics, 47(20), 3651-3657 (2008).

4. M.B. Горбунков, П.В. Кострюков, В.Б. Морозов, А.Н. Оленин, JI.C. Телегин, В.Г. Тункин, Д.В. Яковлев, «Пространственное распределение интенсивности излучения диодных линеек с волоконным выводом и расчет инверсии в схеме продольной накачки твердотельных лазеров», Квантовая электроника, 35(12), 1121-1125 (2005).

Результаты работы также докладывались автором на международных конференциях:

• IV Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оптика - 2005», Санкт-Петербург, Россия, 17-21 октября 2005.

• The Third Conference on Laser Optics for Young Scientists (LOYS 2006), Saint-Petersburg, Russia, June 26-30, 2006

• International Conference on Lasers, Applications, and Technologies (ICONO/LAT 2007), Minsk, Belarus, May 28 - June 1, 2007

• XV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», секция «Физика», Москва, Россия, 8-11 апреля 2008.

• International Conference "Laser Optics 2008", St.Petersburg, Russia, June 23-28, 2008

Личный вклад автора

Все изложенные в диссертационной работе оригинальные результаты получены автором лично или при его непосредственном участии.

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Кострюков, Павел Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе теоретически и экспериментально исследована пространственная структура излучения при синхронизации поперечных мод в лазерах с продольной накачкой.

К основным результатам следует отнести следующие:

1. Методом Фокса-Ли рассчитана структура распределений амплитуды основной моды лазера при стационарном неоднородном распределении усиления, создаваемым приосевой аксиально-симметричной продольной накачкой, для различных параметров резонатора g\ и во всей области устойчивости. Определены критические конфигурации, проявляющиеся при ряде значений числа Френеля А^. Показано, что с увеличением А^ количество критических конфигураций на диаграмме устойчивости возрастает.

2. Численно и аналитически исследовано влияние параметров пространственно неоднородного аксиально-симметричного распределения усиления (усиления на оси и степени неоднородности £) и параметров резонатора на пучковый состав основной моды. Для ряда критических конфигураций определены нижние границы диапазона значений обеспечивающих синхронизацию поперечных мод. На диаграмме устойчивости диапазон отстроек от строгого вырождения, в пределах которого реализуется синхронизация поперечных мод, расширяется с увеличением коэффициента усиления.

3. Разработана аналитическая модель двух пучков, взаимодействующих в условиях пространственной неоднородности усиления. Оценки, полученные в рамках данной модели, хорошо согласуются с результатами расчетов по методу Фокса-Ли.

4. Экспериментально и теоретически исследована пространственная структура излучения Кё:УАО-лазера с неоднородной продольной диодной накачкой с двухзеркальным резонатором, образованным плоским зеркалом на одной из граней активной среды и выходным сферическим зеркалом с радиусом кривизны 150см с пропусканием <1%. Обнаружено связанное со слабым астигматизмом активной среды расщепление вырождения, сопровождающееся нарушением круговой симметрии излучения. Продемонстрирована возможность диагностики слабого астигматизма лазерных кристаллов.

5. Теоретически и экспериментально рассмотрена синхронизация поперечных мод в резонаторе со слабым астигматизмом. Показано, что связанное с астигматизмом расщепление вырождения, сопровождающееся нарушением круговой симметрии, перестает проявляться при уменьшении длины резонатора и/или увеличении потерь. Экспериментально показано, что при одном и том же астигматизме резонатора в лазере с продольной накачкой в условиях синхронизации поперечных мод возможно формирование основной моды как с кольцевой пространственной структурой с круговой симметрией, так и со структурой, демонстрирующей расщепление вырождения.

6. Экспериментально и численно изучены особенности фокусировки излучения диодной линейки с волоконным выводом. Установлено, что существует область, где интенсивность на оси превышает интенсивность в плоскости изображения.

7. Продемонстрировано преимущество кристалла Ис1:УЪР по сравнению с Ш:УАО с точки зрения генерации излучения с близкими к гауссовому распределениями в схеме компактного лазера с накачкой одиночным диодом мощностью 5 Вт.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям д.ф.-м.н., профессору Тункину Владимиру Григорьевичу и к.ф.-м.н., старшему научному сотруднику Горбункову Михаилу Валериевичу за постоянное внимание и неоценимую помощь в научной деятельности. Хочу выразить благодарность сотруднику Физического института к.ф.-м.н. Чешеву Евгению Анатольевичу за помощь в работе с лазерными диодами. Автор также считает долгом поблагодарить за обсуждение результатов и полезные рекомендации сотрудников Физического института д.ф.-м.н., профессора Попова Юрия Михайловича и к.ф.-м.н. Петухова Владимира Андреевича. Автор признателен сотрудникам лаборатории к.ф.-м.н. Аракчееву Владимиру Генриховичу, доценту Морозову Вячеславу Борисовичу, к.ф.-м.н. Оленину Андрею Николаевичу и Яковлеву Дмитрию Владимировичу за систематические обсуждения и поддержку в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кострюков, Павел Владимирович, 2009 год

1. D.W. Hughes, J.R.M. Barr, «Laser diode pumped solid state lasers», Journal of Physics D: Applied Physics, 25, 563-586 (1992).

2. H.B. Кравцов, «Основные тенденции развития твердотельных лазеров с полупроводниковой накачкой», Квантовая электроника, 31(8), 661-677 (2001).

3. J. Zehetner, «Highly efficient diode-pumped elliptical mode Nd:YLF laser», Optics Communications, 117, 273-276 (1995).

4. S. Fujikawa, K. Furuta, K. Yasui, «28% electrical-efficiency operation of a diode-side-pumped NdrYAG rod laser», Optics Letters, 26(9), 602-604 (2001).

5. A. Minassian, B. Thompson, M.J. Damzen, «Ultrahigh-efficiency ТЕМ00 diode-side-pumped Nd:YV04 laserv>, Applied Physics В, 76, 341-343 (2003).

6. M.O. Ramirez, D. Jaque, J.A. Sanz Garcia, L.E. Bausa, J.E. Muniz Santiuste, «74% slope efficiency from a diode-pumped Yb3+:LiNb03:Mg0 laser crystal», Applied Physics B, 77, 621-623 (2004).

7. D.J. Ripin, J.R. Ochoa, R.L. Aggarwal, T.Y. Fan, «165-W cryogenically cooled Yb:YAG laser», Optics Letters, 29(18), 2154-2156 (2004).

8. P. Laporta, M. Brussard, «Design Criteria for Mode Size Optimization in Diode-Pumped Solid-state Lasers», IEEE Journal Of Quantum Electronics, 27(10), 2319-2326(1991).

9. F. Sanches, M. Brunei, K. Ait-Ameur, «Pump saturation effects in end-pumped solid-state lasers». Journal of the Optical Society of America B, 15(9), 2390-2394(1998).

10. F.E.Carroll, «Tunable Monochromatic X Rays: A New Paradigm in Medicine», American Journal of Roentgenology, 179, 583-590 (2002).

11. R.J. Loewen, SLAC-R-632, Ph.D Thesis. Stanford, CA: Stanford University Press (2003).

12. A. Agafonov, V. Androsov, J.I.M. Botman et al., «Status of Kharkov x-ray generator NESTOR», Proceedings of SPIE, 5917, 97-104, (2005).

13. Н.П. Вагин, П.Г.Крюков, Ю.П. Подмарьков, М.П.Фролов, Н.Н. Юрышев, «Эффективная генерация лазера на кристалле MgF2:Co при накачке излучением импульсного кислородно-иодного лазера», Квантовая электроника, 25(4), 299-300 (1998).

14. Р.Ю. Абдулсабиров, С. Л. Кораблева, П.Г.Крюков, А.К.Наумов, Ю.П. Подмарьков, В.В. Семашко, М.П. Фролов, «Эффективная лазерная накачка кристалла MgF2:Co излучением с длиной волны 1.3 мкм», Квантовая электроника, 24(7), 606-608 (1997).

15. C.J. Flood, G. Guiliani, H.M. van Driel, «Preferential operation of an end-pumped Nd:YAG laser in high-order Laguerre-Gauss modes», Optics Letters, 15(4), 215-217 (1990).

16. Q. Zhang, B. Ozygus, H. Weber, «Degeneration effects in laser cavities», The European Physical Journal Applied Physics, 6, 293-298 (1999).

17. H.-H. Wu, C.-C. Sheu, T.-W. Chen, M.-D. Wei, W.-F. Hsieh, «Observation of power drop and low threshold due to beam waist shrinkage around critical configurations in an end-pumped Nd:YV04 laser», Optics Communications, 165, 225-229(1999).

18. G. Martel, C. Labbe, F. Sanches, M. Fromager, K. Ait-Ameur, «Non-Gaussian fundamental mode laser oscillation in and-pumped Nd:YV04 microchip laser», Optics Communications, 201, 117-127 (2002).

19. Ю.А. Ананьев, «О многопроходных, «V-образных» и прочих модах оптических резонаторов», Оптика и спектроскопия, 64(3), 650-652 (1988).

20. A. Ashlcin, J. М. Dziedzic, Т. Yamane, «Optical trapping and manipulation of single cells using infrared laser beams». Nature, 330(6150), 769-771 (1987).

21. D.G.Grier, «А revolution in optical manipulation», Nature, 424, 810-816 (2003).

22. П.Г. Крюков, «Лазеры ультракоротких импульсов», Квантовая электроника, 31(2), 95-119 (2001).

23. R. Pashotta, J. Aus der Au, G.J. Sp'uhler, F. Morier-Genond, R. Hovel, M. Moser, S. Erhard, M. Korszewski, A. Griesen, U. Keller, « Diode-pumped passively mode-locked lasers with high average power», Applied Physics В., 70Supplement., S25-S31 (2000).

24. B. Ortac, O. Schmidt, T. Schreiber, J. Limpert, A. Tunnermann, and A. Hideur, «High-energy femtosecond Yb-doped dispersion compensation free fiber laser», Optics Express, 15, 10725-10731 (2007).

25. A. Agnesi, S. Dell'Acqua, «High-peak-power diode-pumped passively Q-switched Nd:YV04 laser» Applied Physics B., 76, 351-354 (2003).

26. D.N. Papadopoulos, S. Forget, M. Delaigue, F. Druon, F. Balembois, P. Georges, «Passively mode-locked diode-pumped Nd:YVC>4 oscillator operating at an ultralow repetition rate», Optics Letters, 28(19), 1838-1840 (2003).

27. A. Giesen, H. Hugel, A. Voss, K. Wittig, U. Brauch, H. Opower, «Scalable concept for diode-pumped high-power solid-state lasers», Applied Physics B, 58, 365-372 (1994).

28. D.C. Hanna, C.G. Sawyers, M.A. Yuratich, «Telescopic resonators for large-volume TEMoo-mode operation», Optical and Quantum Electronics, 13, 493507 (1981).

29. A.E. Siegman, «Unstable optical resonators», Applied Optics, 13(2), 353-367 (1974).

30. Y. Chen, T. Liao, C. Kao, T. Huang, K. Lin, S. Wang, «Optimization of fibercoupled laser-diode end-pumped lasers: influence of pump-beam quality», IEEE Journal of Quantum Electronics, 32(11), 2010-2016 (1996).

31. X Zhang, S. Zhao, Q. Wang, B. Ozygus, H. Weber, «Modeling of diode-pumped actively Q-switched lasers» IEEE Journal of Quantum Electronics, 35(12), 1912-1918 (1999).

32. F. Hajiesmaeilbaigi, A. Koohian, M. Mahdizadeh, «Design criteria in fibre-coupled end-pumped laser with small active medium», Journal of Optics A: Pure and Applied Optics, 4(1), 52-56 (2002).

33. D.G. Hall, R.J. Smith, R.R. Rice, «Pump-size effects in Nd:YAG lasers» Applied Optics, 19, 3041-3043 (1980).

34. Y.F. Chen, C.F. Kao, S.C. Wang, «Analytical model for the design of fibercoupled laser-diode end-pumped lasers» Optics Communications, 133, 517-524(1997).

35. Ю.А. Ананьев, Оптические резонаторы и лазерные пучки. М.: Наука, 1990.

36. N. Hodgson, В. Ozygus, F. Schabert, Н. Weber, «Degenerated confocal resonator», Applied Optics, 32(18), 3190-3200 (1993).

37. A.E. Siegman, E.A. Sziklas, «Mode Calculations in Unstable Resonators with Flowing Saturable Gain. 1: Hermite-Gaussian Expansion», Applied Optics, 13(12), 2775-2791 (1974).

38. A.E. Siegman, E.A. Sziklas, «Mode calculations in unstable resonators with flowing saturable Gain. 2: Fast Fourier transform method», Applied Optics, 14(8), 1874-1889 (1975).

39. C.-H. Chen, P.-T. Tai, W.-F. Hsieh, «Multibeam-waist modes in an end-pumped Nd:YV04 laser», Journal of the Optical Society of America B, 20(6), 1220-1226 (2003)

40. C.F. Maes, E.M. Wright, «Mode properties of an external-cavity laser with Gaussian gain», Optics Letters, 29(3), 229-231 (2004).

41. C.H. Chen, P.T. Tai, W.H. Chiu, W.F. Hsieh, «Transverse excess noise factor and transverse mode locking in a gain-guided laser», Optics Communications, 245, 301-308 (2005).

42. А.А. Малютин, «Моды плоскосферического резонатора лазера с гауссовым распределением усиления активной среды», Квантовая электроника, 37(3), 299-306 (2007).

43. В.П. Быков О.О. Силичев, Лазерные резонаторы, ФИЗМАТЛИТ, 2004

44. A.E. Siegman, Lasers, University Science Books, Mill Valley, Califorina, 1986.

45. M.A. Bandres and J.C. Gutierrez-Vega, «Ince-Gaussian beams», Optics Letters, 29(2), 144-146, (2004).

46. А. Джеррард, Дж.М. Берч, Введение в матричную оптику. М.: Мир, 1978.

47. A.G. Fox, Т. Li, «Resonant Modes in a Maser Interferometer», Bell System Technical Journal, 40, 453-488 (1960).

48. H. Kogelnik, T. Li, «Laser Beam and Resonators», Applied Optics, 5, 1550-1567(1966)

49. P. Baues, «Huygens' Principle in Inhomogeneous Isotropic Media and a General Integral Equation Applicable to Optical Resonators», Opto-Electrinics, 1, 37-44 (1969).

50. S.A. Collins, «Lens-System Diffraction Integral Written in Terms of Matrix Optics», Journal of the Optical Society of America B, 60(9), 1168-1177 (1970).

51. H. Statz, C.I. Tang, «Problem of Mode Deformation in Optical Masers», Journal of Applied Physics, 36, 1816-1819 (1965).

52. T. Li, J.G. Skinner, «Oscillating Modes in Ruby Lasers with Non-uniform Pumping Energy Distribution», Journal of Applied Physics, 36, 2595-2596 (1965).

53. B.B. Любимов, «О получении предельно узкой направленности излучения оптических квантовых генераторов», Оптика и спектроскопия, 21(2), 224-227 (1966)

54. G. Stephan, М .Trumer, «Inhomogeneity effects in a gas laser», Physical Review A, 28(4), 2344-2362 (1983).

55. L.Y. Wang, G. Stephan, «Transverse modes of an apertured laser», Applied Optics, 30(15), 1899-1910 (1991).

56. L.Y. Wang, G. Stephan, «Asymmetric Mode of an Off-axis Diaphragmed Laser», Journal of Modern Optics, 38(10), 1947-1956 (1991).

57. Ю.А. Ананьев, «Угловое расхождение излучения твердотельных лазеров», Успехи физических наук, 103(4), 705-738 (1971).

58. О.О. Силичев, «Гауссова оптика резонаторов, содержащих негауссовы оптические элементы» Квантовая электроника, 17(6), 792-796 (1990).

59. ISO 11146-1:2005(E), «Lasers and laser-related equipment — Test methods for laser beam widths, divergence angles and beam propagation ratios — Part 1: Stigmatic and simple astigmatic beams».

60. J. Frauchiger, P. Albers, H.P. Weber, «Modeling of Thermal Lensing and Higher Order Ring Mode Oscillation in End-Pumped CW Nd Lasers», IEEE Journal of Quantum Electronics, 28(4), 1046-1056 (1992).

61. Г.Д. Лаптев, A.A. Новиков, A.C. Чиркин, «Пространственные и энергетические характеристики лазерного излучения и второй гармоники при самоудвоении частоты», Квантовая Электроника, 35(1), 12-20 (2005).

62. R. Paschotta, «Beam quality deterioration of lasers caused by intracavity beam distortions», Optics Express, 14(13), 6069-6074 (2006).

63. B. Ozygus, Q. Zhang, «Thermal lens determination of end-pumped solid-state lasers using primary degeneration modes», Applied Physics Letters, 71(18), 2590-2592 (1997).

64. I.A. Ramsay, J.J. Degnan, "A Ray Analysis of Optical Resonators Formed by Two Spherical Mirrors», Applied Optics, 9(2), 385-398 (1970).

65. J.J. Degnan, «А Compact, Totally Passive, Multi-Pass Slab Laser Amplifier Based on Stable, Degenerate Optical Resonators», Proceeding of 14th International Workshop on Laser Ranging, San Fernando, Spain, 7-11 June 2004.

66. С.Б. Горячев, П.В. Короленко, А.Г. Новоселов, С.А. Степина, В.Ф. Шарков, «Модовый состав и расходимость излучения газодинамического СОг-лазера с широкоаппертурным устойчивым резонатором", Письма в ЖТФ, 10(7), 429-433 (1984).

67. П.В. Короленко, А.Г. Новоселов, С.А. Степина, В.Ф. Шарков, «Формирование узконаправленных выходных пучков в широкоаппертурных резонаторах с селекцией многоходовых мод», Квантовая электроника, 13(12), 2546-2549 (1986).

68. J. Dingjan, M.P. van Exter, J.P. Woerdman, «Geometric modes in a single-frequency Nd:YV04 laser», Optics Communications, 188, 345-351 (2001).

69. Y.F. Chen, C.H. Jiang, Y.P. Lan, K.F. Huang, «Wave representation of geometrical laser beam trajectories in a hemiconfocal cavity», Physical Review A, 69, 053807 (2004).

70. D.H. Auston, «Transverse mode locking», IEEE Journal of Quantum Electronics (Correspondence), QE-4, 420-422 (1968).

71. В.П. Быков, A.M. Прохоров, В.В. Савранский, «Особенности синхронизации мод в полуконфокальном резонаторе», Квантовая электроника, 24(9), 837-839 (1997).

72. G.O. Harding, Т. Li, «Effect of Mode Degeneracy on Output of Gaseous Optical Masers», Journal Of Applied Physics, 35(3), 475-478 (1964).

73. M.B. Горбунков, П.В. Кострюков, JI.C. Телегин, В.Г. Тункин, Д.В.Яковлев, «Особенности структуры основной моды лазеров с устойчивыми резонаторами при пространственно неоднородном усилении», Квантовая электроника, 37(2), 173-180 (2007).

74. П.В .Кострюков, «Расчет основной моды резонатора пикосекундного твердотельного лазера с продольной диодной накачкой», Труды четвертой международной конференции молодых ученых и специалистов «0птика-2005», стр. 350-351.

75. M.V.Gorbunkov, P.V.Kostryukov, V.G.Tunkin, «Fundamental mode structure of lasers with stable cavities and nonuniform spatial gain distribution», The Third Conference on Laser Optics for Young Scientists (LOYS 2006), Technical Digest, p.31.

76. J.P. Gordon, H. Kogelnik, «Equivalence Relations among Spherical Mirror Optical Resonators», Bell System Technical Journal, 43, 2873-2886 (1964).

77. J. Chen, M. Fujita, M. Asakawa, K. Imasaki, S. Nakai, C. Yamanaka, «Calculation of a transverse optical mode and diffraction loss in a supercavity», Optics Communications, 119, 563-568 (1995).

78. M. Piche, P. Lavigne, F.Martin, P. A. Belanger, «Modes of resonators with internal apertures», Applied Optics, 22(13), 1999-2006 (1983).

79. J. Steffen, J.-P. Lortscher, G. Herziger, «Fundamental Mode radiation With Solid-State Lasers», IEEE Journal of Quantum Electronics, 8(2), 239-245 (1972).

80. M.B. Горбунков, П.В. Кострюков, В.Г. Тункин, «Влияние параметров резонатора и пространственно неоднородного усиления на пространственную структуру основной моды лазеров с устойчивыми резонаторами», Квантовая электроника, 38(7), 689-694 (2008).

81. V.V. Bezotosnyi, Е.А. Cheshev, M.V. Gorbunkov, P.V. Kostryukov, V.G. Tunkin, «Transverse Mode Locking in a Diode End-Pumped Laser with Frequency Degenerate Resonator», ICONO/LAT 2007 Technical Digest, L01-36.

82. C.A. Ахманов, С.Ю. Никитин, Физическая оптика, Издательство Московского университета, 1998.

83. V.V. Bezotosnyi, Е.А. Cheshev, M.V. Gorbunkov, P.V. Kostryukov, V.G. Tunkin, «Manifestation of active medium astigmatism at transverse mode locking in a diode end-pumped stable resonator laser», Applied Optics, 47(20), 3651-3657(2008).

84. V.V.Bezotosniy, E.A.Cheshev, M.V.Gorbunkov, P.V.Kostryukov, V.G.Tunkin, «Transverse mode locking in a diode end-pumped Nd:YAG laser with different resonator lengths», International conference «Laser Optics -2008», ThRl-p40, (2008)

85. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1978.

86. A. Kostenbauder, Y. Sun, А.Е. Siegman, «Eigenmode expansions using biortogonal functions: complex-valued Hermite-Gaussians», Journal of the Optical Society of America В, 14(8), 1780-1790(1997).

87. Y.-J. Cheng, C.G. Fanning, A.E. Siegman, «Transverse-mode astigmatism in a diode-pumped unstable resonator Nd:YV04 laser», Applied Optics, 36(6), 1130-1134 (1997).

88. E.M. Wright, J. Arlt, K. Dholakia, «Toroidal optical dipole traps for atomic Bose-Einstein condensates using Laguerre-Gaussian beams», Physical Review A, 63,013608(2000).

89. G.Milne, K. Dholakia, D. McGloin, K. Volke-Sepulveda, P. Zemanek, «Transverse particle dynamics in a Bessel beam», Optics Express, 15(21), 13972-13987(2007).

90. Y.B. Ovchinnikov, «Coherent manipulation of atoms by copropagating laser beams», Physical Review A, 73, 033404 (2006).

91. H. Laabs, B. Ozygus, «Excitation of Hermite Gaussian modes in end-pumped solid-state laser via off-axis pumping», Optics & Laser Technology, 28(3), 213-214(1996).

92. Y.F. Chen, T.M. Huang, C.F. Kao, C.L. Wang, S.C. Wang, «Generation of Hermite-Gaussian Modes in Fiber-Coupled Laser-Diode End-Pumped Lasers», IEEE Journal of Quantum Electronics, 33(6), 1025-1031 (1997).

93. Y.F. Chen, Y.P. Lan, «Laguerre-Gaussian modes in a double-end-pumped microchip laser: superposition and competition», Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics, 3, 146-151 (2001).

94. J.-F. Bisson, Yu. Senatsky, Ken-Ichi Ueda, «Generation of Laguerre-Gaussian modes in Nd:YAG laser using diffractive optical pumping», Laser Physics Letters, 2(7), 327-333 (2005).

95. J. Arlt and M.J. Padgett, «Generation of a beam with a dark focus surrounded by regions of higher intensity: the optical bottle beam», Optics Letters, 25, 191-193 D(2000).

96. C.-H. Chen, P.-T. Tai, W.-F. Hsieh, «Bottle beam from a bare laser for single-beam trapping», Applied Optics, 43(32) 6001-6006 (2004).

97. D.C. Hanna, «Astigmatic Gaussian Beams Produced by Axially Asymmetric Laser Cavities», IEEE Journal of Quantum Electronics, 5(10), 483-488 (1969).

98. J.J. Soto-Bernal, Е. Rosas, V. Pinto-Robledo, V. Aboites, M.J. Damzen, «Spatial mode size analysis of a diode-side-pumped Nd:YV04 laser resonator», Optics Communications, 184, 201-207 (2000)

99. J.L. Blows, G.W.Forbes, J.M.Dawes, «Cavity modes in diode-array end-pumped planar lasers with aberrated thermal lenses», Optics Communications, 186, 111-120(2000).