Методы анализа и синтеза математических моделей нечетких дискретных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Максимов, Алексей Алексеевич

• Максимов, Алексей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Максимов, Алексей Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

1.1 Элементы алгебры отношений и упорядоченных множеств.

1.2 Элементы теории решеток.

2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА НЕЧЕТКИХ АВТОМАТОВ.

2.1 Методы анализа и синтеза нечетких автоматов без функции выхода

2.2. Методы анализа и синтеза нечетких автоматов с функцией выхода

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПОВЕДЕНИЯ

НЕЧЕТКИХ АВТОМАТОВ.

3.1 Постановка задачи и основные определения.

3.2 Индексы и периоды нечетких матриц.

3.3 Индексы и периоды нечетких графов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы анализа и синтеза математических моделей нечетких дискретных систем»

Развитие науки и техники ведет ко всё большему усложнению как объектов исследования, так и систем их моделирующих. Возрастает сложность устройств, технологических процессов производства, что в свою очередь ведет к усложнению моделирования разнообразных объектов и процессов с ними непосредственно связанных. Ос обенно усложняются вопросы, связанные с моделированием систем «человек - машина», где остро ставятся задачи эффективного управления системами организационно-технического, экономического и социального характера.

Одним из математических методов моделирования систем и явлений является построение их дискретных моделей. В общем случае, при некоторых допущениях, любая система может быть представлена в виде некоторого объекта, который может находиться в различных состояниях. Данные состояния меняются дискретно под воздействием внешней среды (входных сигналов) и, в свою очередь, сам объект формирует реакцию на воздействие внешней среды (с помощью выходных сигналов).

Такое поведение систем часто описывается дискретными моделями, в частности, различными видами автоматов.

Естественным образом такие модели появляются при решении научных и технических, фундаментальных и прикладных задач, при построении и исследовании физических, химических, и других естественнонаучных, а также социальных, экономических и технических объектов. К таковым относятся многочисленные задачи, связанные с вычислительной техникой, информационно-коммуникационными технологиями, экономикой,

Различные виды конечных автоматов и близкие им математические объекты служат для описания и анализа технических устройств, различных систем и процессов, программ и алгоритмов. Многие сложные концепции теоретической информатики были разработаны на базе теории конечных автоматов. Теория конечных автоматов имеет многочисленные приложения в технической и практической информатике составляет существенную часть теоретической информатики.

Автоматы как математическая модель рассматриваются в теории с одной стороны как алфавитные преобразователи информации, реализующие отображение множества входных сигналов во множество выходных сигналов, а с другой стороны, как динамические системы, изменяющие свои состояния под воздействием внешних сигналов и внутренних факторов.

Первое направление теории автоматов получило развитие в рамках работ академика Глушкова и его последователей, второе — рассматривал в своих работах Арбиб и ряд других исследователей.

Математической моделью устройства преобразования информации является трехосновная алгебраическая система, называемая автоматом, и представляющая собой алгебру А = (5,X,У,8,со), с тремя основными множествами Б, X, У и двумя бинарными операциями 8:5 х X <5, со-.БхХ^У. При этом, множество £ называется множеством состояний,4 Х- множеством входных сигналов, У- множеством выходных сигналов. Операция 8 - называется функцией переходов автомата и показывает, как входной сигнал х преобразует состояние £ в новое состояние £' = Операция со называется выходной функцией автомата А и указывает значение сигнала на выходе у — в зависимости от состояния автомата и значения входного сигнала х.

В качестве динамических систем наиболее часто изучают, автоматы вида А = (5,Х,8), лишенные функции выхода, так называемые полуавтоматы.

Задачи анализа, синтеза, а также задачи, связанные с исследованием функционального поведения автоматов, нашли отражение в работах Айзермана, Гилла, Трахтенброта, Минского, Шеннона, Джона фон Неймана, Яблонского, Богомолова, Твердохлебова и многих других.

В зависимости от специфики рассматриваемых задач, некоторый объект может моделироваться автоматом, у которого множество состояний и множество выходных сигналов наделены дополнительной математической структурой (например, структурой линейного пространства, упорядоченного множества и другими), которая сохраняется функциями переходов и выходными функциями этого автомата ([8], [16]). Так, многие известные задачи математического моделирования приводят к понятиям линейных [7], упорядоченных [10], булевозначных [20], вероятностью [6] автоматов. Исследованиям таких автоматов посвящены, например, работы Скорнякова Л.А.[23], Сытника A.A. [25], Сперанского Д.В., Салия В.Н., Плоткина Б.И. и Филькенштейна М.Я. и многих других. Так или иначе, многочисленные исследования в этих направлениях характеризуются широким спектром использования алгебраических средств, так что автоматы того или иного вида становятся предметом исследований в алгебраической теории автоматов, которая очень тесным образом связана со многими разделами универсальной алгебры.

Первоначально при решении задач, в которых приходилось сталкиваться с неопределенностью того или иного вида, использовался аппарат теории вероятности. Однако по мере того, как в область интересов исследователей начали попадать процессы функционирования биологических, социальных, экономических систем, то есть вопросы, связанные с восприятием мира живыми существами, и в частности человеком, аппарата теории вероятности во многих случаях оказалось недостаточно. К таким системам относятся, например, всевозможные экспертные и биомедицинские системы, в которых появляется неопределенность, связанная с нечеткостью рассуждений, восприятия и нечеткостью в принятии решеиий экспертом.

К примеру, промоделировать изменение состояния некоего пациента детерминированным автоматом не представляется возможным, ввиду того, что эти изменения не определяются однозначно. Сложно сказать в какой точно момент состояние пациента изменилось с «хорошего» на «удовлетворительное». Подобные системы описывается с помощью аппарата нечетких моделей.

Впервые модели такого рода ввел в обиход профессор Лотфи Заде (Lotfi Zadeh), опубликовавший в 1965 году основополагающую работу "Fuzzy Sets" в журнале "Information and Control" [79]. Началом практического использования аппарата нечетких множеств можно считать работу Ви (Wee W.G.) и Фу (Fu K.S.) [78] в которой они предложили модель нечеткого автомата, а так же рассмотрели возможность применения его в качестве модели обучающей системы. Далее в 1975г. Мамдани и Ассилиан [60] из Лондонского колледжа Королевы Мэри (Mamdani and Assilian) построили первый нечеткий контролер для управления простым паровым двигателем. Концепцию первого нечеткого контроллера составляют идеи нечеткого логического вывода и нечеткого алгоритма, изложенные Заде в 1973 году [30]. В 1982 Холмблад и Остергад (Holmblad and Osregaad) разработали первый промышленный нечеткий контроллер [46], который был внедрен в управление процессом обжига цемента на заводе в Дании. Несколько позже Бартоломеем Коско (Bart Kosko) была доказана теорема о нечеткой аппроксимации (Fuzzy Approximation Theorem) [54], согласно которой любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на нечеткой логике. Другими словами, с помощью естественноязыковых высказываний-правил "если - то", с последующей их формализацией средствами теории нечетких множеств, можно сколько угодно точно отразить произвольную взаимосвязь "вход-выход" без использования сложного аппарата дифференциального и интегрального исчисления, традиционно применяемого в управлении и идентификации.

В январе 1997 года язык нечеткого управления FCL Fuzzy Control Language внесен в Международный стандарт программируемых контроллеров IEC 1131-7. Системы на нечетких множествах разработаны и успешно внедрены в таких областях, как: медицинская диагностика, техническая диагностика, финансовый менеджмент, управление персоналом, биржевое прогнозирование, распознавание образов, разведка ископаемых, выявление мошенничества, управление компьютерными сетями, управление технологическими процессами, управление транспортом, поиск информации в Интернете, радиосвязь и телевидение.

В и и Фу предложили конструкцию нечеткой автоматной модели, являющейся обобщением конструкции детерминированных автоматов, в которой неопределенность выражалась в том, что изменения состояний определялись не однозначно, а также имели некоторую оценку, например из отрезка [0,1]. Данная модель активно использовалась различными авторами для описания поведения систем с неоднозначно определенными состояниями.

Вместе с тем задачи синтеза и анализа для данных моделей не рассматривались, поскольку непосредственный перенос результатов решения задач синтеза и анализа детерминированных автоматов на случай автоматов нечетких чрезвычайно затруднителен и требует построения новых методов и разработки аппарата исследования. Тем не менее, решение данных задач позволит расширить диапазон средств моделирования.

Некоторые попытки в данном направлении предприняли Малик, Морденсон и Сен (Malik D.S., Mordeson J.N., Sen M.K), которые в [59] предложили один из возможных вариантов минимизации нечеткого автомата, а в работе [58] предложили способ описания полугруппы преобразований нечеткого автомата, а также соединений нечетких автоматов (это требовалось при решении конкретных технических задач), однако в силу того, что ими не использовался алгебраический аппарат, построения получились избыточно сложными, громоздкими и не универсальными. В силу этого представляется необходимым привнести алгебраические методы в теорию моделей нечетких систем, что позволит использовать методы теории конечных детерминированных автоматов при решении задач синтеза и анализа автоматов нечетких.

Особый интерес для исследования представляют также нечеткие матрицы, которые играют важную роль в задачах кластеризации и поиска информации, поскольку являются представлением нечетких отношений в моделях, основанных на нечетких множествах (см., например, [62, 72]). Однако область применения нечетких матриц не исчерпывается задачами кластерного анализа, а также задачами классификации образов (с использованием субъективной меры сходства).

Нечеткие матрицы является одним из языков для описания дискретных систем, не допускающих точного описания [13, 21]. Примером такой системы, как уже отмечалось выше, является нечеткий автомат. Функция переходов для каждого входного сигнала нечеткого автомата представляется нечеткой матрицей. Итерации входного сигнала соответствует возведение данной матрицы в степень. В связи с этим, при решении достаточно большого числа задач исследуют степени различных вещественнозначных матриц (нечетких как частный случай), исследуют их поведение относительно различных операций сложения и умножения, как, например, тах-гшп умножение [38, 76], максимум-сложения [29, 67] (линейные системы с синхронизацией).

Изучение степеней нечетких матриц и графов, является важным с точки зрения анализа функциональных свойств нечетких моделей, таких как нечеткие автоматы.

Нечеткие матрицы являются обобщением булевых матриц, которые в свою очередь достаточно давно являются объектом исследования различных авторов. В частности, Поплавским В.Б. в [17, 18] исследовалась последовательность определителей степеней булевых матриц. В свою очередь, теория булевых матриц ведет своё начало от теории матриц с неотрицательными элементами, большинство наиболее известных результатов для которых были получены между 1906 и 1912 годами Перроном и Фробениусом.

Благодаря широким областям применения нечеткой логики, нечеткие матрицы, а так же нечеткие графы используются в области нейронных сетей [33, 52], например, в нечетких клеточных нейронных сетях [74, 75], которые разрабатывались и применялись при решении задач связанных с обработкой изображений. Задача нахождения степеней нечеткой матрицы также тесно связана с такими задачами как исследование функционирования нечеткой двунаправленной ассоциативной памяти, нахождение решений нечетких уравнений отношения (см., например, [66, 77, 39]).

Одними из наиболее важных характеристик нечетких матриц являются значения их индекса и периода. Изучением степеней нечетких матриц одним из первых начал заниматься Томасон (ТЬотазоп), который заметил, что степени нечетких матриц, либо сходятся, либо обладают конечным периодом [76]. Однако следует отметить, что данные характеристики свойственны не только матрицам, но также и всем конечным циклическим полугруппам, и для каждой циклической полугруппы определены две характеристики называемые индексом и периодом циклической полугруппы соответственно (см. [11]).

Известно, что любая квадратная нечеткая матрица образует относительно операции тт-тах-умножения циклическую полугруппу.

Так как общий состав элементов нечеткой матрицы при возведении её в степень не расширяется, циклическая полугруппа, порожденная нечеткой, матрицей, конечна и потому для каждой такой матрицы А определены индекс тс1(А) и период р{А).

Отметим, что для нечетких матриц остаются открытыми ряд вопросов, например, о минимальной размерности нечеткой матрицы, имеющей заданные индекс и период, о реализуемости индексов и периодов нечеткими матрицами фиксированной размерности, об устройстве нечеткой матрицы с заданными индексом и периодом, о максимальном индексе и периоде нечеткой матрицы фиксированной размерности, а также вопрос об индексах и периодах нечетких графов того или иного типа (под индексом и периодом нечеткого графа будем понимать индекс и период его матрицы смежности).

Ответы на эти вопросы позволят решать задачи управления поведением, задачи синхронизации и диагностирования нечетких автоматов. Некоторые из перечисленных выше задач успешно решались для частных случаев нечетких матриц, таких как булевы матрицы, стохастические матрицы. Так в первую очередь исследовались идемпотенты булевых матриц (матрицы имеющие индекс равный нулю и период равный единице), поскольку их характеризация в алгебраических системах важна как для построения структурной теории таких систем, так и в приложениях (см. [51, 55]). Первая характеризационная теорема об идемпотентах над булевой алгеброй была получена в 1963 году Розенблаттом (Rosenblatt D., см. [65]), им были описаны графы идемпотентных булевых матриц. Далее, Шейным (Schein В., [70]) идемпотентные булевы матрицы были охарактеризованы в терминах квазипорядков. Грегори, Киркленд и Пуллман (Gregory D., Kirkland S., Pullman N.) в [45], установили, что идемпотентная булева матрица может быть редуцирована к некоторой блочной форме одновременной перестановкой строк и столбцов. Из последних результатов в данной области " следует отметить работу [3], в которой Бисли Л.Б., Гутерман А.Э., Канг К.-Т. и Сонг С.-З. получили новую структурную характеризацию идемпотентных т булевых матриц над бинарной булевой алгеброй. Данная характеризация применяется авторами для описания всех булевых матриц мажорирующихся идемпотентами.

Отдельно изучались перестановочные двоичные булевы матрицы. Так независимо друг от друга Ким [49] и Шварц [68] сф ормулировали необходимое условие сходимости последовательности степеней перестановочных двоичных булевых матриц. В 1997-1999 годах независимо друг от друга Аткин (Atkin A.O.L) [28] и Мартин Гавалек (Gavalec М.) [41] вывели оценку периода для перестановочных нечетких матриц.

Так же особый интерес представляют собой оценки сверху значений индекса и периода нечеткой матрицы общего вида. Шварц в своей работе [69] показал, что индекс двоичной булевой матрицы размерности п не может превосходить (я-l)2, аналогичную оценку получил Розенблатт в [64]. Ли в работе [57] показал, что период нечеткой матрицы размерности п делит [nj, где \п\- наименьшее общее кратное чисел 1,2,.п. В [56] Ли (1л .1.Х.) показал, что для индекса нечеткой матрицы справедлива оценка 1пс}^А)<{п-\)\п\. Гавалек в [42] показал, что задача вычисления периода нечеткой матрицы является КР-полной.

Таким образом, всё вышесказанное определило актуальность следующей цели.

Цель работы. Целыо работы является исследование и разработка нечетких математических моделей дискретных систем (нечетких автоматов, нечетких матриц и нечетких графов), а также исследование таких характеристик нечетких матриц и графов как их индекс и период.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи: -разработать формальный аппарат (принципы) построения математических моделей для исследования нечетких систем (задача синтеза);

-разработать методы структурной декомпозиции и моделирования нечетких систем (задача анализа);

-разработать программные комплексы для моделирования и исследования функционального поведения нечетких дискретных систем.

Методы исследования. В работе использовались методы теории конечных автоматов и теории графов, теории алгоритмов и теории решеток, методы универсальной алгебры и логики, теории чисел и полугрупп.

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов исследований подтверждаются корректностью применения апробированного математического аппарата универсальной алгебры, теории полугрупп, математической логики, а также согласованностью теоретических результатов с данными, полученными экспериментальным путем автором и другими исследователями.

Научная новизна диссертации заключается в следующем: - для нечетких моделей дискретных систем: нечетких автоматов без функции выхода (полуавтоматов), нечетких автоматов с функцией выхода введены понятия подавтомата, гомоморфизма, конгруэнции, фактор-автомата; для введенных конструкций доказаны теоремы о гомоморфизмах; показано, что множество конгруэнций и множество подавтоматов нечеткого автомата (также полуавтомата) являются решетками;

- на основе полученных теоретических данных предложен новый алгоритм, строящий наибольшую конгруэнцию нечеткого автомата (также полуавтомата), содержащуюся в некотором отношении эквивалентности на множестве его состояний; на основе данного алгоритма предложен новый метод минимизации нечеткого автомата;

- проведен компьютерный эксперимент по подсчету индексов и периодов нечетких матриц фиксированных размерностей: до размерности 6x6 - нечеткие матрицы с числом порогов равным двум и до размерности 4x4 с числом порогов до четырех включительно; показано, что не все индексы реализуются нечеткими матрицами фиксированной размерности;

- получены оценки для индексов и периодов нечетких графов определенных типов; решены задачи нахождения индексов и периодов некоторых видов графов (неориентированные, бесконтурные, функциональные и др.); показано, что индекс нечеткой матрицы размерности пхп (индекс п — вершинного нечеткого графа) не превышает [п-1)2; данная оценка лучше оценки, полученной ранее Ли [56];

- разработан программный комплекс для исследования свойств нечетких моделей дискретных систем (нечетких автоматов, нечетких полуавтоматов); разработан программный комплекс, позволяющий использовать компьютеры локальной сети для нахождения индексов и периодов нечетких матриц больших размерностей;

-рассмотрена возможность применения полученных результатов в моделях биомедицинских систем; показана возможность повышения семантической концентрации информации содержащейся в нечетких моделях за счет снижения степени детализации нечеткости.

Научная и практическая ценность работы. Научная ценность работы заключается в разработке понятийного и методологического аппарата для нечетких моделей дискретных систем, что позволяет использовать методы теории конечных детерминированных автоматов при изучении автоматов нечетких. Доказан ряд теорем применительно к нечетким автоматам. Предложить новый метод минимизации нечетких автоматов. Данный метод позволяет уменьшить число состояний нечеткого автомата и упростить его техническую реализацию. В случае с экспертными системами это позволяет повысить семантическую концентрацию информации, а также снизить степень детализации нечеткости.

Полученные новые оценки для индексов и периодов нечетких матриц и графов определенных типов, а также решенные в рамках исследования задачи нахождения индексов и периодов некоторых видов графов (неориентированных, бесконтурных, функциональных и др.) позволят исследователям решать задачи управления поведением, задачи ■ синхронизации и диагностирования нечетких автоматов.

Разработанные программные комплексы позволяют исследовать -свойства нечетких моделей дискретных систем (нечетких автоматов, нечетких полуавтоматов), а также использовать компьютеры локальной сети для нахождения индексов и периодов матриц больших размерностей (данная задача является КР-полной).

Полученные теоретические результаты позволяют повысить семантическую концентрацию информации содержащейся в нечетких моделях биомедицинских систем за счет снижения степени детализации нечеткости, что позволяет получить качественные суждения о состоянии больного при моделировании в терминах «хорошее», «удовлетворительное», «критическое», а не в терминах п-состояний в которых может находиться модель.

На защиту выносятся:

-понятийный и методологический аппарат для нечетких полуавтоматов и собственно нечетких автоматов;

-теоремы о гомоморфизмах, конгруэнциях и фактор-автоматах нечеткого полуавтомата и собственно нечеткого автомата;

-множество подавтоматов и множество конгруэнций нечеткого полуавтомата и собственно нечеткого автомата являются решетками;

-новый метод построения наибольшей конгруэнции для нечеткого полуавтомата и собственно нечеткого автомата; новый метод минимизации нечеткого полуавтомата и собственно нечеткого автомата;

-оценки для индексов и периодов нечетких матриц и графов определенных типов;

-решение задач по нахождению индексов и периодов некоторых видов графов (неориентированных, бесконтурных, функциональных и др.);

-программный комплекс, позволяющий использовать компьютеры локальной сети для нахождения индексов и периодов нечетких матриц больших размерностей;

-программный комплекс для исследования свойств нечетких моделей дискретных систем (нечетких автоматов, нечетких полуавтоматов).

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на XIV и XV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (МГУ, г. Москва, 2007, 2008 г.); Международной научной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии» (СГУ, г. Саратов, 2007 г.); VIII Всероссийской научно-технической конференции. (ВСГТУ, г. Улан-Удэ, 2007 г.); Ежегодной конференции по итогам научно-исследовательской работы Саратовского государственного социально-экономического университета «Социально-экономическое развитие России: Проблемы, поиски, решения» (Саратов, 2007, 2008 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [М1]-[М12]. Работа [МЗ] опубликована в издании, включенном в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук». Разработанный автором программный комплекс для исследования свойств нечетких моделей дискретных систем зарегистрирован в Отраслевом фонде алгоритмов и программ [М8].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии, включающей 81 наименование, и трех приложений. Общий объем работы 130 стр.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Максимов, Алексей Алексеевич

Заключение

В данной работе разработан понятийный и методологический аппарат для нечетких полуавтоматов и собственно нечетких автоматов. Для данных видов автоматов введены понятия подавтомата, гомоморфизма, конгруэнции, фактор-автомата (определения 2.1.1-2.1.7, 2.2.1-2.2.7). Для введенных конструкций разработаны и доказаны теоремы о гомоморфизмах и конгруэнциях (теоремы 2.1.1-2.1.5, 2.2.1-2.2.5). Показано, что множество конгруэнций и множество подавтоматов нечеткого автомата (а также и нечеткого полуавтомата) являются решетками (теоремы 2.1.2, 2.1.6, 2.2.2, 2.2.6) .

На основе полученных теоретических данных предложен новый алгоритм (алгоритм 2.1.1, 2.2.1), строящий наибольшую конгруэнцию нечеткого автомата (также полуавтомата), содержащуюся в некотором отношении эквивалентности на множестве его состояний, используя который можно построить наибольшую конгруэнцию нечеткого автомата и, как следствие, минимальный фактор-автомат, т.е. произвести минимизацию нечеткого автомата;

Рассмотрены задачи связанные с нахождением индекса и периода нечетких матриц, а также двоичных булевых матриц; показана пеминимальность алгоритма Клиффорда-Престона (пример 3.1.1).

Проведен компьютерный эксперимент по подсчету индексов и периодов нечетких матриц фиксированных размерностей: до размерности 6x6 -нечеткие матрицы с числом порогов равным двум и до размерности 4x4 с числом порогов до четырех включительно (таблицы 3.2.1-3.2.8), в результате чего был обнаружено то, что не все индексы реализуются нечеткими матрицами фиксированной размерности.

В работе получены новые оценки для значений индексов и периодов нечетких матриц определенных типов (теоремы 3.3.5-3.3.8), решены задачи (теоремы 3.3.9-3.3.14) нахождения индексов и периодов некоторых видов графов (неориентированные, бесконтурные, функциональные и др.).

99

Показано, что индекс нечеткой матрицы размерности п х п (индекс п-вершинного нечеткого графа) не превышает [п -1)2(теорема 3.3.3) данная оценка лучше оценки, полученной ранее Ли (теорема 3.3.1).

Разработан программный комплекс [М8] (зарегистрирован в Отраслевом Фонде Алгоритмов и Программ) для исследования свойств нечетких моделей дискретных систем (нечетких автоматов, нечетких полуавтоматов). Разработан программный комплекс, позволяющий использовать компьютеры локальной сети для нахождения индексов и периодов нечетких матриц больших размерностей;

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Максимов, Алексей Алексеевич, 2008 год

1. Артамонов В.А., Салий В.Н., Скорняков Л. А. и др. Под общ. ред. Л.А. Скорнякова. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 480с. (т. 2).

2. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М., Мир, 1979.

3. Бисли Л. Б., Гутерман А. Э., Канг К.-Т., Сонг С.-З. Идемпотентные матрицы и мажорирование // Фундаментальная и прикладная математика, 2007, том 13, № 1, с. 11—29.

4. Биркгоф Г. Теория решеток: Пер. с англ. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 568 с.

5. Богомолов A.M., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.:Наука, 1997. 368 с.

6. Бухарев Р.Г. Основы теории вероятностных автоматов. М. Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. -288 с.

7. Гилл А., Введение в теорию конечных автоматов, пер. с англ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. - 272 с.

8. Глушков В.М., Абстрактная теория автоматов // УМН. 1961. Т. 16. №5. С. 3-62.

9. Зыков А. А. Основы теории графов. — М.: «Вузовская книга», 2004. — С. 664. — ISBN 5-9502-0057-8

10. Кац М. М., Критерий линейной упорядочиваемости частичного автомата, Изв. вузов. Математика. 1997. №10. С. 37-43.

11. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп, т. 1. -М.: Мир, 1972.

12. Кон П., Универсальная алгебра. -М., Мир, 1968.

13. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств; Пер. с франц.-М.: Радио и связь, 1982.-432 е., ил.

14. Лидл Р., Пильц Г. Прикладная абстрактная алгебра: Учеб. Пособие /Пер. с англ. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 1996.

15. Мальцев А.И., Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. — 392 с.

16. Плоткин Б.И., Гринглаз Л.Я., Гварамия A.A., Элементы алгебраической теории автоматов. -М.:Высш. шк., 1994.

17. Поплавский В.Б. Определители степеней булевых матриц // Чебышевский сборник. Т.5, №3(11). 2004. С. 98-111.

18. Поплавский В.Б. Ориентированные определители произведения булевых матриц// Математика, механика. Сб. науч. тр. , №6. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 111-114.

19. Робинсон А., Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. -М., Наука, 1967. -376с.

20. Салий В.Н. Алгебраические конструкции, связанные с булевозначными автоматами// В кн.: "Методы и системы технической диагностики". Вып. 8.- Саратов: СГУ, 1985, с. 12-20.

21. Салий В.Н. Нечеткие дискретные системы //Известия Сарат. гос. ун-та.-2003. -Т.З, вып. 2.-С. 159-168.

22. Салий В.Н. Универсальная алгебра и автоматы.- Саратов: СГУ, 1988.-72 с.

23. Скорняков Л.А., Об алгебраических автоматах // Кибернетика. 1974. -№2.-С. 31-34.

24. Скорняков Л.А. Элементы теории структур. Изд. 2-е, перераб. и доп. — М.: Наука, 1982.-160 с.

25. Сытник A.A. Восстановление поведения сложных систем. Изд-во СГУ. 1992. 192 с.

26. Татт У. Теория графов: Пер. с англ. М.: Мир, 1988 - 424с., ил.

27. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.

28. Atkin A.O.L., Boros Е., Cechlarova К., Peled U. N., Powers of circulants in bottleneck algebra, Linear Algebra Appl. 258 (1997) 137-148.

29. Baccelli F., Cohen G., Olsder G., Quadrat J. Synchronization and Linearity.-John Wiley & Sons, New York, 1992.

30. Bellman R.E., Zadeh L.A. Decision-Making in Fuzzy Environment // Management Science, vol. 17. 1970. - №4. - P.141 - 160.

31. Berman A., Plemmons R. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences,- Academic Press, New York, 1979.

32. Brualdi R. Ryser H. Combinatorial Matrix Theory, vol. 39 of Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1991.

33. Buckley J., Hayahi Y., Fuzzy neural networks: A survey, Fuzzy Sets and Systems 66 (1994) 1-13.

34. Burris S., Sankappanavar H. P. A Course in Universal Algebra, SpringerVerlag, New York, 1981.

35. Chaudhuri R., Mukherjea A., Idempotent Boolean matrices.// Semigroup Forum.- 1980- Vol. 21- P. 273-282.

36. Cheng W., Mo Z., Minimization algorithm of fuzzy finite automata, Fuzzy Sets and Systems 141 (2004), P. 439-448.

37. Cuninghame-Green R.A., Minimax Algebra, vol. 166 of Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1979.

38. Fan Z.T., Liu De-Fu, Convergency of power sequence of monotone increasing fuzzy matrix // Fuzzy Sets and Systems 6 (1997) 281-286.

39. Fernández M. J., Gil P., Some specific types of fuzzy relation equations, Information Sciences, Volume 164, Issues 1-4, 2 August 2004, P. 189-195.

40. Gantmacher F.R., The Theory of Matrices, vol. 2. New York: Chelsea Publishing Company, 1959.

41. Gavalec M., Periods of special fuzzy matrices, Tatra Mt. Math. Publ. 16 (1999) 47-60.

42. Gavalec M., Reaching matrix period is NP-complete, Tatra Mt. Math. Publ. 12 (1997) 81-88.

43. Godsil C., Royle G. Algebraic graph theory, Springer-Verlag, New York, 2001 (ISBN 0387952411)

44. Gratzer G., General Lattice Theory, Birkhauser-Verlag, Basel, 1976.

45. Gregory D., Kirkland S., Pullman N. Power convergent Boolean matrices // Linear Algebra Appl.—1993,—Vol. 179.—P. 105—117.

46. Holmblad L.P., Osregaard J.J. Control of Cement Kiln by Fuzzy Logic. In Approximate Reasoning in Decision Analysis (Gupta M.M. and Sanchez E. Eds.): Amsterdam, New York, Oxford. 1982 P.389 400.

47. Jonsson B., Topics in universal algebra, Lecture Notes in Math.250, Springer -Verlag (Berlin Heidelberg - New York, 1972).

48. Kim K.H., Boolean Matrix Theory and Applications, Marccl Dekker, New York, 1982.

49. Kim K.H., Krabill J.R., Circulant Boolean relation matrices, Czech. Math. J. 24(1974) 247-251.

50. Kim K.H., Roush F.W., Generalized fuzzy matrices, Fuzzy Sets and Systems 4(1980) 293-315.

51. Kolokoltsov V. N., Maslov V. P., Idempotent Analysis and its Applications.—Dordrecht Kluwer Academic, 1997.—(Math. Its Appl.; Vol. 401).

52. Kosko B. Bidirectional Associative Memories, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, vol. 18, no. 1, pp. 49-60, January-February 1988.

53. Kosko B. Fuzziness vs. Probability, International Journal of General Systems, vol. 17, no. 1, pp. 211-240, 1990.

54. Kosko B. Fuzzy Systems as Universal Approximators // IEEE Trans, on Computers. 1994. Vol. 43. №11. P. 1329-1333.

55. Lambek J. Lectures on Rings and Modules.—Second edition.—New York: Chelsea, 1976.

56. Li J.X., An upper bound on indices of finite fuzzy relations, Fuzzy Sets and Systems 49 (1992)317-321.

57. Li J.X., Periodicity of powers of fuzzy matrices (finite fuzzy relations), Fuzzy Sets and Systems 48 (1992) 365-369.

58. Malik D.S., Mordeson J.N., Sen M.K., Products of fuzzy finite state machines, Fuzzy Sets and Systems 92 (1997) 95-102.

59. Malik D.S., Mordeson J.N., Sen M.K., Minimization of fuzzy finite automata, inform. Sci. 113 (1999) 323-330.

60. Mamdani E.H., Assilian S. An Experiment in Linguistic Synthesis with Fuzzy Logic Controller // Int. J. Man-Machine Studies. 1975. - Vol. 7. №1. -P.l-13.

61. Miller W., The maximum order of an element of a finite symmetric group," American Mathematics Monthly, vol. 94, pp. 497-506, June-July 1987.

62. Miyamoto S. On Hierarchical clustering by fuzzy graphs, J/ Japan Soc. Fuzzy Theory Systems 5 (6), 1993 1354-1371

63. Muir A., Warner M.W. Lattice valued relations and automata // Discr. Appl. Math. 1984. - V. 7. - P. 65-78.

64. Rosenblatt D., On the graphs and asymptotic forms of finite Boolean relation matrices, Naval Res. Log. Quart. 4 (1957) 151.

65. Rosenblatt D. On the graphs of finite idempotent Boolean relation matrices // J. Res. Nat. Bureau of Standards.—1963,—Vol. 67B.—P. 249—256.

66. Sanchez, E., Resolution of composite fuzzy relation equations, Information and Control 30 (1976), 38-48.

67. B. De Schutter, On the ultimate behavior of the sequence of consecutive powers of a matrix in the max-plus algebra // Linear Algebra Appl. 307 (2000) 103-117.

68. Schwarz S., Circulant boolean matrices, Czech. Math. J. 24 (1974) 252-253.

69. Schwarz, S., On the semigroup of binary relations on a finite Set, Czech. Math. J. 20, 632-679 (1970).

70. Schein B. A construction for idempotent binary relations // Proc. Japan Acad.— 1970.—Vol. 46.—P. 246—247.

71. Skornyakov, L.A.: Invertible matrices over distributive structrues, Sibirsk. Mat. Zh. 27(2), 289-292 (1986).

72. Tamura S., Higuchi S. & Tanaka K. Pattern Classification based on Fuzzy Relations. I.E.E.E. Trans. On Syst., Man, and Cybernetics. Vol. SMC-1, №1, Jan. 1971.

73. Tan, Y.J.: The semigroup of circulant matrices over a lattice, Southest Asian Bulletin of Mathematics 24, 475-479 (2000).

74. Tao Yang, Lin-Bao Yang, Fuzzy cellular neural network: A new paradigm for image processing, International Journal of Circuit Theory and Applications, Vol. 25,469- 481(1997).

75. Tao Yang, Lin-Bao Yang, Application of fuzzy cellular neural network to morphological grey-scale reconstruction, International Journal of Circuit Theory and Applications, Vol. 25, 153-165(1997).

76. Thomasson M.G., Convergence of powers of a fuzzy matrix // J. Math. Anal. Appl. 57(1977) 476^180.

77. Wang, H.F. and Chang, Y.C., Resolution of composite interval-valued fuzzy relation equations, Fuzzy Sets and Systems 44 (1991), 227-240.

78. Wee W.G., Fu K.S. A Formulation of Fuzzy Automata and its Applications as a Model of Learning Systems // I.E.E.E. Trans. Syst. Science and Cybernetics. 1969. Vol. SSC-5, pp. 215-223

79. Zadeh L.A. Fuzzy Sets// Inform, and Control. 1965. Vol. 8, pp. 338-353.

80. Zadeh L. Outline of a New Approach to the Analysis of Complex Systems and Decision Processes // IEEE Trans. Syst. Man Cybernet. №3. 1973. - P. 28-44.

81. Zhang, K.L.: Determinant theory for D01- lattice matrices, Fuzzy Sets and Systems 62, 347-353 (1994).

82. Публикации автора по теме диссертации

83. М1. Максимов A.A. Универсально-алгебраические конструкции для нечетких автоматов // Молодежь. Образование. Экономика. Сб. научных статей участников конференции. Часть 4. Ярославль: РЕМДЕР, 2004. -С. 309-314.

84. М2. Максимов A.A. Об индексе и периоде нечеткой матрицы // Саратов. Гос. ун-т.- Саратов, 2005. 11 с. - Библиогр.: 2 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 20.01.05, № 78-В2005

85. МЗ. Максимов A.A. Исследование сложных информационных систем с использованием универсально-алгебраических конструкций нечетких автоматов // Вестник Саратовского государственного социально-экономического университета. Саратов. 2006. №14(3) С. 126-128

86. М4. Максимов A.A. Базы данных алгебраических свойств некоторых дискретных объектов // Теоретические проблемы информатики и её приложений: Сб. науч. тр. / Под ред. проф. A.A. Сытника. — Саратов': Изд-во Сарат. ун-та, 2006. -Вып.7. С. 81-86.

87. М5. Максимов A.A., Салий В.Н., Индексы и периоды нечетких матриц и графов // Теоретические проблемы информатики и её приложений: Сб. науч. тр. / Под ред. проф. A.A. Сытника. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.-Вып.7. С. 87-95.

88. М7. Максимов A.A. Универсально-алгебраические конструкции для нечетких автоматов «УАК 1.0» // Компьютерные учебные программы и инновации (Телеграф отраслевого фонда алгоритмов и программ). 2007, №1(24).

89. М8. Максимов A.A. Универсально-алгебраические конструкции для нечетких автоматов «УАК 1.0» . М.: ВНТИЦ, 2007. - №50200700129.