Математическое моделирование процессов параметрических колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Лысенкова, Светлана Александровна

• Лысенкова, Светлана Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Лысенкова, Светлана Александровна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Обзор литературы. Развернутая формулировка цели работы и решаемых проблем

1.1. Обзор литературы

1.2. Развернутая формулировка цели работы и решаемых проблем. Научная новизна исследования

ГЛАВА 2. Математический метод перехода от постановки задачи

исследования устойчивости параметрических колебаний с демпфированием к спектральной задаче в дифференциальной форме

2.1. Постановка задачи о границах устойчивости уравнения параметрических колебаний при наличии демпфирования

2.2. Сведение задачи о границах устойчивости уравнения параметрических колебаний при наличии демпфирования к спектральной задаче в дифференциальной форме

ГЛАВА 3. Замена спектральной задачи в дифференциальной форме

исследования параметрических колебаний с демпфированием спектральной задачей в операторной форме с компактным оператором

3.1. Операторная форма спектральной задачи

3.2. Численные расчеты. Описание программного комплекса

ГЛАВА 4. Математический метод перехода от задачи исследования

прецессии колебаний маятника на кардановом подвесе к спектральной задаче

в дифференциальной форме

4.1. Маятник на кардановом подвесе

4.2. Математическая постановка задачи исследования прецессии колебаний маятника на кардановом подвесе

ГЛАВА 5. Замена спектральной задачи о прецессии маятника на кардановом

подвесе спектральной задачей в операторной форме с компактным оператором и численное решение этой задачи

5.1. Операторная форма спектральной задачи

5.2. Численные расчеты

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

94

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов параметрических колебаний»

ВВЕДЕНИЕ

Колебательное движение - одно из самых распространенных в природе: разнообразные маятники, колебания атомов и молекул, колебания мембран и оболочек и др.

Потеря устойчивости функционирования технических или физических систем носит разнообразный характер. Одним из видов этой потери устойчивости является потеря устойчивости при параметрических колебаниях. Под параметрическими колебаниями понимают колебания, при которых внешнее периодическое воздействие на систему входит не в виде слагаемых в уравнение колебаний, а в виде периодических коэффициентов при дифференциальных операторах.

При исследовании параметрических колебаний возникают определенные математические трудности. Поэтому во многих случаях они проводились приближенными методами. Однако приближенные методы не дают математически корректного моделирования процессов параметрических колебаний.

Эта проблема встречается чаще всего в двух случаях: когда параметрические колебания сопровождаются наличием демпфирования, то есть внутреннего или внешнего трения, и когда параметрические колебания сопровождаются дополнительным движением системы в виде прецессии. Примером параметрической колебательной системы при наличии демпфирования могут быть качели, которые раскачивают стоя на них и приседая в такт колебаниям, а демпфирующей силой при этом является в основном аэродинамическое сопротивление. Явление прецессии встречается в гироскопических системах, а также в задачах небесной механики.

Одна из интересных особенностей такой системы с параметрическими колебаниями - параметрический резонанс. Параметрический резонанс состоит в том, что при некоторых соотношениях величин являющихся

параметрами уравнения колебаний в системе возникают нарастающие во времени колебания.

Следует учесть, что наличие внешнего или внутреннего трения не только ограничивает амплитуду параметрических колебаний, но и меняет зоны параметрического резонанса. Поэтому определение границ зон устойчивости параметрических колебаний с демпфированием при параметрическом резонансе и является важным для исследования устойчивости технических систем

При параметрических колебаниях может возникать прецессия. Явление прецессии заключается в движении оси вращения тела, при котором ось описывает круговую коническую поверхность.

Таким образом, моделирование процессов параметрических колебаний систем при наличии трения и прецессии представляет интерес для исследования устойчивости физических и технических систем

Математические модели параметрических колебаний представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка, содержащие переменные коэффициенты. Для таких уравнений точное решение не было получено и на практике используют приближенные методы (метод Ритца, метод Бубнова-Галеркина и др.). Поэтому возникает проблема математически корректного моделирования процессов параметрических колебаний.

Математически корректное моделирование фактически состоит из трех этапов. Первый этап заключается в разработке спектральных уравнений в дифференциальной форме, которые бы давали возможность в плоскости параметров строить зависимости описывающие данные явления, т.е. границу между областями устойчивости и неустойчивости для уравнения параметрических колебаний при демпфировании, и области параметров, для которых может существовать прецессия. Второй этап заключается в переходе

от спектральной задачи в дифференциальной форме к эквивалентной задаче с интегральными операторами.

Третий этап заключается в теоретическом и численном исследовании данных спектральных задач с интегральными операторами на основе новых математических итерационных алгоритмов, сходимость которых доказана только для спектральных задач с интегральными операторами, но не с дифференциальными операторами.

Известное неудобство при использовании предлагаемых итерационных алгоритмов представляет то, что спектральную задачу в дифференциальной форме необходимо приводить к эквивалентной спектральной задаче с интегральными операторами, чтобы обеспечить компактность этих операторов.

Однако это неудобство искупается следующими важными преимуществами:

• После численного решения на основе предлагаемой итерационной схемы спектральной задачи возможна самопроверка решения, путем подстановки полученного решения в исходное операторное уравнение и оценки невязки удовлетворения этого уравнения. Сделать такую самопроверку для уравнения в дифференциальной форме невозможно.

• На основе получаемого итерационного алгоритма возможно теоретическое исследование спектральной задачи, в том числе и оценки факта существования дискретного спектра, наличия точек сгущения, а также оценки функциональных свойств получаемых собственных элементов. Таким образом, в этом случае достигается методическое единство теоретического исследования и численного решения.

Содержание диссертации разбито на пять глав, первая из которых содержит вводный материал, вторая и третья глава связаны с решением

задачи о параметрических колебаниях с учетом демпфирования, четвертая и пятая глава содержит постановку и решение задачи о прецессии маятника на кардановом подвесе при вынужденных периодических вертикальных смещениях точки подвеса.

Разбиение изложения каждой задачи на две главы связано с тем, что методически вторая и третья главы не связаны между собой и каждая из них представляет самостоятельный интерес в научном плане. Но третья глава в содержательном плане является продолжением второй главы, а пятая глава продолжением четвертой главы.

ГЛАВА 1. Обзор литературы. Развернутая формулировка цели работы и

решаемых проблем.

1.1. Обзор литературы

Впервые параметрические колебания были описаны Фарадеем в 1931 году [63]. Он наблюдал параметрические колебания жидкости в сосуде. В 1859 году Мельде наблюдал параметрические колебания струны [65]. Теоретические обоснования этим явлениям были даны Релеем в 1883 году.

При отсутствии демпфирования проведены достаточно полные расчеты, характеризующие границы между областями устойчивости и неустойчивости, которые называются диаграммами Айнса-Стретта. Эти диаграммы впервые были приведены в английском издании книги [39], русский перевод которой вышел в 1935 г.

Построение этих диаграмм было основано на свойствах функций Матье, являющихся решениями уравнения параметрических колебаний у,11+[а + дсо$2^у = 0. На плоскости амплитуда - частота воздействия существуют зоны неустойчивости, которые имеют вид характерных клювов, расположенных в окрестности резонансных частот. Добавление линейного затухания не стабилизирует неустойчивости, а лишь сужает границы зон.

Диаграммы Айнса-Стретта в разных масштабах и с приведением разного количества зон устойчивости воспроизводят во многих учебниках и монографиях [2, 6, 7, 8, 14, 32, 36, 55, 60].

Для исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами можно использовать метод Ляпунова, метод усреднения [7, 25, 27]. Устойчивость маятника с вибрирующей точкой подвеса, исследована, например, в работе Меркина Д.Р. [25] с использованием метода усреднения и показано, что при некоторых частотах вибрации нижнее устойчивое состояние маятника может стать неустойчивым

из-за резонансных явлений, и наоборот, верхнее неустойчивое состояние маятника можно сделать устойчивым с помощью высокочастотной вибрации.

Рис. 1. Диаграмма Айнса-Стретта. Заштрихованы зоны устойчивости

На рис. 1. изображена диаграмма, где в координатах aq (коэффициентов уравнения Матье) изображены области устойчивых и неустойчивых режимов, называемая диаграммой Айнса-Стретта. Области неустойчивости в пространстве параметров а ид, при которых уравнение Матье имеет неограниченно возрастающее решение, на рис. 1. незаштрихованы.

Если периодическая функция ^ соз2г, то воспользоваться

функциями Матье нельзя, но можно использовать результаты Флоке (1883) [64].

По анализу устойчивости решения уравнения параметрических колебаний при наличии демпфирования имеется большое количество литературы, содержащей как новые оригинальные результаты, так и обзоры работ по этому вопросу [5, 20, 23, 24, 26, 58, 60, 61].

Например, в работе Анисимова В.Н., Литвинова В.Л. проводится анализ влияния движения границ при исследовании резонансных свойств систем с демпфированием [3]. Рассматривается амплитуда колебаний, при влиянии

демпфирующих сил, выражение которой аппроксимируют параболической зависимостью.

В работе Короткова A.B., Куликова Ю.А, рассматривается влияние демпфирования на изменение границ устойчивости параметрических колебаний тонкостенных криволинейных труб из армированных пластин, расчеты проводились методом малого параметра [18]. Исследовано расположение резонансных полос, соответствующих главным простым и комбинационным параметрическим резонансам, в зависимости от постоянной составляющей скорости давления, структурных, геометрических параметров и демпфирования.

В работах [1, 2, 9, 15, 16, 29, 33, 60] рассматриваются параметрические колебания различных физических систем.

Основным содержанием этих работ является получение оценок, характеризующих области устойчивости в плоскости параметров. Однако ни в одной из этих работ не приводятся диаграммы, точно описывающие эти области в случае 3 ф 0 типа диаграмм Айнса-Стретта.

Обширный материал по исследованию различных видов маятников и маятниковых систем приведен в работе [45].

Теория колебаний маятника при вертикальных вынужденных колебаниях точки подвеса и колебаниях маятника в одной плоскости рассматривались во многих работах [4, 10, 17, 28, 32, 40, 55, 59], как экспериментально, так и теоретически. При этом был установлен интересный эффект стабилизации маятника в перевернутом положении, когда центр тяжести маятника был выше точки подвеса [12, 17, 31, 40].

В работах Боголюбова H.H. и Маркина Д.Р. исследуется устойчивость математического маятника с вибрирующей точкой подвеса. Авторы рассматривают уравнения движения математического маятника с вибрирующей точкой подвеса, а также приводят известные результаты об условиях возникновения параметрического резонанса (когда нижнее положение

равновесия маятника становится неустойчивым) и об условиях, когда верхнее положение равновесия можно сделать устойчивым за счет вибрации (при этом маятник будет совершать устойчивые колебания в перевернутом состоянии).

Исследование устойчивости математического маятника с вибрирующей точкой подвеса авторами рассматривалось при следующих ограничениях.

Пусть материальная точка с массой т закреплена на конце стержня длины /, который может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Через а обозначен угол отклонения маятника от вертикали. Такой маятник имеет два положения равновесия: нижнее устойчивое и верхнее неустойчивое. Исследуется влияние вертикальных колебаний точки подвеса О на характер равновесия маятника. Авторы предполагают, что точка подвеса вибрирует по гармоническому закону у = a cos Qt.

На рис.2 рассматриваются колебания обычного (а) и перевернутого (б) маятника с вибрирующей точкой подвеса.

а) Рассматриваются колебания маятника около нижнего положения равновесия (рис. 2а). Авторы переходят в неинерциальную систему координат, связанную с точкой подвеса О. В этой системе координат на маятник действуют сила тяжести F-mg и переносная сила инерции Ф = —ту. По второму закону Ньютона можно написать уравнение движения:

w4-(da) = -(F + 0)sina (1)

at

о

где Ф - -ту = mafl cosQt. Для малых значений угла отклонения а уравнение (1) принимает вид

9 Г о

da

dt2

а = 0. (2)

/

Вводится обозначение г = Q/, уравнение (2) приводится к виду

а = 0. (3)

da g , а

——L -cosr

dz2

in

2 /

у

Таким образом, авторы получают уравнение вида

сi2a dt2

+ (¿> +£,cosr)a = О,

(4)

которое называется уравнением Матье. Отмечается, что для рассматриваемой

2 г-

I д.

задачи параметр 8 является положительным: 8 - —> 0 (здесь через = - /у

обозначается частота свободных колебаний маятника при отсутствии вибрации точки подвеса).

к.') \ > t ' А i f О i А ч

п 1/ f /У////

IF

а) б)

Рис. 2. Обычный (а) и перевернутый (б) маятники с вибрирующей точкой подвеса

Вблизи значений S = —,k = 1,2,3,... наступает так называемый параметрический резонанс [25] и положение равновесия становится

"I

неустойчивым. Последовательно присваивая параметру S = —значения

Q

1 i 9 „ 25 п " , 10„

—, I, —, 4, —, 9, ..., получаемые соответственно при к = 1,2,3,..., авторы

делают вывод, что параметрический резонанс наступает около частот

2 12 1

Ц=2гу0, П2=й)0, П3=-а>0, П4=-щ, П5=-со0, П6 =-а>0, ..., (5)

б) Авторы считают, что для вывода уравнения движения маятника вблизи верхнего положения равновесия (рис. 26) достаточно в уравнении (3)

заменить g на -g

(Р-д

с1г

■ +

Я а

л - +—собг

1С1

2 I

а = О,

(6)

т.е. перевернутый маятник с вибрирующей точкой подвеса также описывается уравнением Матье (4), где параметр 5 является отрицательным:

_ £

5 = -

<0.

/СГ

Устойчивость решения уравнения (4) достаточно хорошо исследована (см. например, [25]). Область устойчивости уравнения Матье на плоскости параметров 8е представлена на рис. 2 в виде диаграммы Айнса-Стретта. Диаграмма дана только для значений г > 0, а для значений г < 0 она получается зеркальным отображением относительно оси 5.

10123456789 10 [

Рис. 3. Диаграмма Айнса-Стретта: заштрихованные поля -области устойчивости маятника с вибрирующей точкой подвеса (для обычного маятника 8 > 0, для перевернутого маятника 5 <0)

Как видно из диаграммы, при малых значениях \е| (т.е. «1) нижнее

положение равновесия маятника становится неустойчивым вблизи значений = 0,25, 62 =1, 8Ъ = 2,25, 84 =4, 5$ = 6,25, 86 = 9, ... из-за параметрического резонанса.

Из диаграммы также следует, что в принципе возможно обеспечение устойчивости при 5 < 0 (т.е. можно стабилизировать движение

П>^[2.(-)со0, (9)

перевернутого маятника с помощью вибрации). Для значений |б:|«1 условия устойчивости перевернутого маятника записываются в виде [25]

£2 я 1 И гн\

--<8<—(7)

2 4 2

Авторы допускают, что амплитуда а колебаний точки подвеса мала по сравнению с длиной маятника / Г Тогда е = у «1 и из (7) можно получается соотношение

(8)

4 П 21

При а « I первое неравенство выполняется всегда, а из второго неравенства имеем

у

т.е. для стабилизации движения перевернутого маятника частота вибрации точки подвеса О должна быть достаточно большой по сравнению с частотой свободных колебаний маятника.

Основной вывод, который сделан в литературе [7, 25] заключается в том, что при изменении частоты вибрации С2 точки подвеса происходит чередование свойств устойчивости и неустойчивости (маятник становится неустойчивым вблизи частот (5) из-за параметрического резонанса).

Авторы отмечают также, что условия параметрического резонанса (5) не зависят от а - амплитуды внешнего воздействия 7 = асозГ2/, а зависят только от его частоты О.

Этот эффект в ряде работ [10, 28, 59] обобщался на исследование устойчивости некоторых технических систем с вибрирующим основанием.

Следует отметить, что В. Фроудом [38, стр. 249] были экспериментально исследованы колебания маятника, когда точка подвеса не совершала вертикальных колебаний, но фиксировалась на вертикальном, вращающемся

под действием внешнего момента валу. Исследования маятника Фроуда проводилось и в более поздние времена [37, 41].

Обширный материал по исследованию различных видов маятников и маятниковых систем приведен в работе [40].

Однако, судя по цитируемой литературе, схема появления прецессионного движения плоскости колебаний маятника ранее не рассматривалось.

Интерес представляет не только сам механический эффект, но и его математическое обоснование, а также метод численного нахождения параметров прецессии.

Уравнения параметрических колебаний маятника в проекции на оси координат, ортогональных вертикальной оси, при кардановом подвесе разбиваются на два одинаковых уравнения, казалось бы, не зависящих друг от друга. Поэтому, на первый взгляд, достаточно исследовать устойчивость или неустойчивость одного из этих двух уравнений. Однако, на самом деле, эти два уравнения можно свести к системе двух новых, связанных между собой уравнений.

При этом математическая проблема состоит в решении вопроса о существовании нетривиального решения этой системы, а вычислительная проблема состоит в нахождении способа расчета параметров, при которых возможно существование этого нетривиального решения. Вывод:

1. По анализу устойчивости решения уравнения параметрических колебаний при наличии демпфирования имеется большое количество литературы, содержащей как новые оригинальные результаты, так и обзоры работ по этому вопросу. Основным содержанием этих работ является получение оценок, характеризующих области устойчивости в плоскости параметров. Однако ни в одной из этих работ не приводятся

диаграммы, точно описывающие эти области в случае & Ф О типа диаграмм Айнса-Стретта.

2. Задача появления прецессии плоскости колебаний маятника на кардановом подвесе при принудительных колебаниях точки подвеса за счет внешней периодической силы ранее в литературе не рассматривалась.

1.2. Развернутая формулировка цели работы и решаемых проблем.

Научная новизна исследования.

Целью диссертационной работы является разработка новых математических методов численного моделирования параметрических колебаний систем с учетом демпфирования и прецессии, а также исследование особенностей и закономерностей этих процессов с использованием нового итерационного алгоритма.

Объект исследования. Параметрические колебания с учетом демпфирования и прецессия плоскости колебаний маятника на кардановом подвесе.

Предмет исследования. Закономерности и особенности исследования областей устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров для параметрических колебаний с учетом демпфирования и возникновение прецессии при колебаниях маятника на кардановом подвесе.

Методы исследования. Теория итерационных алгоритмов для решения спектральных задач с интегральными операторами, методы программирования. Методы математического анализа, функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, методы вычислительной математики.

Основные задачи:

1. Разработать математический метод перехода задачи о нахождении границ между областями устойчивости и неустойчивости параметрических колебаний с учетом демпфирования к спектральной задаче для дифференциального уравнения.

2. Разработать математический метод перехода полученного спектрального уравнения с учетом демпфирования к спектральному уравнению в операторной форме.

3. Разработать программного комплекса для математического моделирования процессов параметрических колебаний на основе итерационной схемы.

4. Провести исследование и построение областей устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров, характеризующих воздействие, приводящее к параметрическому резонансу.

5. Разработать математический метод перехода задачи о прецессии маятника на кардановом подвесе при вынужденных вертикальных колебаниях точки подвеса к спектральному дифференциальному уравнению.

6. Разработать математический метод перехода спектральных уравнений при наличии прецессии в дифференциальной форме к спектральным уравнениям в операторной форме.

7. Провести исследование и построение области существования прецессии маятника в плоскости параметров. Построить траектории движения конца маятника при прецессии.

На защиту выносятся следующие положения, соответствующие пунктам специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по физико-математическим наукам:

Пункт 1: Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.

1) Новый математический метод по моделированию параметрических колебаний с учетом демпфирования, на основе которого дифференциальная задача сводится к спектральной с интегральными операторами.

2) Новый математический метод по моделированию прецессии плоскости колебаний маятника на кардановом подвесе.

Пункт 2: Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.

3) Численный метод решения спектральной задачи для линейного пучка интегральных операторов

Пункт 4: Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

4) Программный комплекс разработанного итерационного алгоритма на основе численного решения задач устойчивости при параметрических колебаниях с проведением различных видов тестирования и обоснование существования прецессионного движения маятника на кардановом подвесе.

Таким образом, в соответствии с формулой специальности 05.13.18 в диссертации представлены оригинальные результаты одновременно из трех областей: математического моделирования, численных методов и комплексов программ.

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивается математически строгими доказательствами. Совпадением оценки качественного поведения спектра в задачах устойчивости с известными ранее диаграммами Айнса-Стретта.

Практическая значимость результатов работы

1. Сделан существенный вклад по внедрению в научный арсенал методов исследования устойчивости нового, эффективного итерационного алгоритма.

2. Для параметрических колебаний с учетом демпфирования получены области устойчивости, пригодные для инженерной практики и обобщающие аналогичные результаты Айнса-Стретта, сделанные без учета демпфирования.

3. На основе теоретических исследований и численных расчетов открыт новый физический эффект существования прецессии плоскости колебаний маятника на кардановом подвесе при вынужденных вертикальных колебаниях точки подвеса.

4. Разработан комплекс программ для численного нахождения спектральных чисел задачи о параметрических колебаниях при наличии демпфирования и задачи о прецессии маятника на кардановом подвесе, получены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ (№ №2012616893, 2012616894).

Апробация работы

Материалы и основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры «Прикладная математика» Сургутского государственного университета, кафедры «Строительные технологии и конструкции», лаборатории «Математического моделирования в строительстве» и на следующих конференциях:

- VIII Окружная конференция молодых ученых «Наука и инновации XXI века», г. Сургут (2007 г.);

- IV международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания», г. Обнинск (2008г.);

- Всероссийская конференция по математике и механике, г. Томск (2008г.).

Публикации по теме работы. Результаты диссертационной работы отражены в 7 публикациях, в том числе 4 публикации в рецензируемых журналах из перечня ВАК, получены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ (№ №2012616893, 2012616894).

Личный вклад автора. Результаты, составляющие основное содержание, получены автором самостоятельно. Во всех совместных работах автор участвовал в формулировках постановок задач, создал и реализовал в виде комплекса программ численный метод для моделирования параметрических колебаний систем с учетом демпфирования и прецессии. Автор участвовал в исследовании операторных уравнений, рассмотрении вопроса возможности применения итерационной схемы, анализе результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы из 68 наименований. Общий объем работы составляет 100 страниц, в том числе 24 рисунка и 2 таблицы.

Научная новизна выносимых на защиту результатов заключается в следующем.

1. Получен новый математический метод исследования спектральной задачи с интегральными операторами для расчета границ устойчивости параметрических колебаний с учетом демпфирования.

2. Получен новый математический метод исследования спектральной задачи с интегральными операторами для расчета областей прецессии в плоскости параметров маятника на кардановом подвесе при вынужденных вертикальных колебаниях точки подвеса.

3. Предложен новый численный метод для решения спектральных задач.

4. Создан программный комплекс нахождения спектра для линейного пучка операторов для вышеуказанных прикладных задач.

5. Построены зоны устойчивости и неустойчивости для параметрических колебаний с учетом демпфирования.

6. Построена область прецессии в плоскости параметров маятника на кардановом подвесе при вынужденных вертикальных колебаниях точки подвеса.

Во введении проведен анализ состояния проблемы, обоснована актуальность темы исследования.

В первой главе проведен обзор литературы, обозначены объект и предмет исследования, сформулированы цель и задачи, указаны методы исследования, определены научная новизна, практическая значимость и основные положения, выносимые на защиту.

Во второй главе выполняется построение математической модели перехода от задачи устойчивости параметрических колебаний с демпфированием к спектральной задаче в дифференциальной форме.

В третьей главе спектральная задача в дифференциальной форме заменяется спектральной задачей в операторной форме с компактными операторами. Реализуется новый итерационный алгоритм ее решения, проводится численный расчет. Описывается разработанный программный комплекс.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лысенкова, Светлана Александровна, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Алешкевич В.А., Ахметьев В.М. Параметрические колебания в курсе общей физики. // Физическое образование в вузах. - 2001. - Т.7. - №4. -С.44-49.

2. Андронов A.A. и др. Теория колебаний. /Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. -М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1959. - 916 с.

3. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Анализ влияния движения границ при исследовании резонансных свойств систем с демпфированием. // Вест. Сам. гос. техн. ун-та, сер. физ.-мат. науки. - 2009. - №2(19). - С. 147-152.

4. Бабаков И.М, Теория колебаний. - М.: Наука, 1968. - 560 с.

5. Бейлин Е.А., Джанелидзе Г.Ю. Обзор работ по динамической устойчивости упругих систем. // Прикладная математика и механика. -1952. - Т.23. - №2. - С.635-648.

6. Бидерман В.П. Теория механических колебаний. - М.: Высшая школа, 1980.-406 с.

7. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории линейных колебаний. - М: ГИФМЛ, 1963. - 412 с.

8. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. - М.: Гостехиздат, 1956. - 600 с.

9. Булгаков Б.В. Колебания. - М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1954. - 892 с. Ю.Валеев К.Г. Динамическая стабилизация неустойчивых систем. // Изв.

АН СССР, Мех. тверд, тела. - 1971. - №4. - С. 13-21. П.Васильева А.Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. - М.: Изд-во МГУ, 1989.- 157 с.

12.Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. - М.: Наука, 1976. -432 с.

13.Гильберт Д. Избранные труды. Анализ. Физика. Проблемы. T.II. - М.: Факториал, 1998. - 607 с.

14.Григорьев А.И., Голованов A.C. Деформации и перекрытия зон неустойчивости уравнения Матье - Хилла. /Письма в ЖТФ. - 1999. -Т.25. - В. 20. - С. 13-18.

15.Держанский В.Б., Тараторкин И. А. Подавление параметрических колебаний элементов ходовой части гусеничной машины. //Вестник СГАУ.-2012.-№3(34).-С.151-156.

16.Ильин В.П., Соколов В.П. Параметрические колебания и динамическая устойчивость морских двухслойных глубоководных трубопроводов. //Вестник ТГАСУ. - 2011. - №1. - С.130-138.

17.Капица П.А. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. // Журн. экспер. и теорет. физики. - 1951. — Т.21. - В.5. -С.588-597.

18.Короткое A.B., Куликов Ю.А. Параметрические колебания тонкостенных криволинейных труб из армированных пластиков. //Ученые записки казанского университета, сер. физ.-мат. науки. - 2010. - Т. 152. - Кн. 4. -С.166-179.

19.Крейн С.Г. Функциональный анализ. Справочник. - М:Наука,1972.

20.Левитан Б.Н., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. -М.: Наука, 1988.

21.Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. - М.: Изд-во ин. лит., 1961.-С.ЗЗ 1-336.

22.Ляпунов A.M. Собрание сочинений. Т.2. - М.-Л.: Изд-во АНСССР, 1956. - 472 с.

23.Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966. - 531 с.

24.Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. - Киев: Наукова Думка, 1977.

25.Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. - СПб: Лань, 2003.-304 с.

26.Метыоз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. // Пер. с англ., М.: Атомиздат, 1972. - 392 с.

27.Мигулин В.В. и др. Основы теории колебаний. / Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. - М.: Наука, 1978. - 392 с.

28.Миндлин И.Н. О параметрическом резонансе маятников с вибрирующей точкой подвеса. // Изв. АН СССР, Мех. тверд, тела. - 1969. - №4. - С.36-40.

29.Миронов А.И., Халявкин A.A. О возможности возникновения параметрических колебаний в системе водопровода. // Вестник АГТУ. -2010.-№1.-С. 131-135.

30.Никифоров И.В., Тараканов В.И. Метод селективного численного анализа спектра оператора, компактного в гильбертовом пространстве. // Вычислительные технологии, - 2004. - Т.9. - №3. - С.58-71.

31.Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. - М.: Наука, 1971.-239 с.

32.Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. -М.: Наука, 1987.-352 с.

33.Пожалостин A.A., Паншина A.B. Параметрические колебания консоли, внутренняя полость которой заполнена жидкостью. // Вестник Удмурдского университета. Механика. - 2008. - В. 3. - С.94-98.

34.Рисс Ф.Б., Сёкефальва-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. -М.: Мир, 1579.-587 с.

35.Садовничий В.А. Теория операторов. - М.: Из-во МГУ, 1986. - 367 с.

36.Справочник. Прочность, устойчивость, колебания. Т.З / Под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. - М.: Машиностроение, 1968. - 567 с.

37.Стрелков С.П. Маятник Фроуда. / Журн. техн. физики. - 1933. - Т.З. -В.4. - С.563-573.

38.Стретт Дж. В.(лорд Релей) Теория звука. - М.-Л.: Гостехиздат, 1940. / Пер. с 3-го англ. издания 1926г., 1-го издания в 1878 г./

39.Стретт Дж. В. Функции Ламе, Матье и родственные им в физике и технике. - Харьков: ОНТИ, 1935.-238 с.

40.Стрижак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа "маятник". - Алма-Ата: Наука,1981.

41.Табуева В.А. О круговом движении маятника Фроуда. / Прикл. математика и механика. - 1961. - Т.25. - В.З. - С.576-578.

42.Тараканов В.И., Картавская М.А. Расчет резонансной неустойчивости буровой колонны операторным методом. // Тр. СурГУ, сер. физ.-техн. науки. - 2004. - №19. - С.58-65.

43.Тараканов В.И., Лысенкова С.А. Итерационный алгоритм определения устойчивости уравнения колебаний при наличии демпфирования. // Сиб. журн. вычисл. математики. РАН Сиб.-отд. Новосибирск. - 2012. - Т. 15. -№1. - С.103-119.

44.Тараканов В.И., Лысенкова С.А., Нестеренко М.В. Прецессия при параметрических колебаниях маятника на кардановом подвесе. // Сиб. журн. вычисл. математики. РАН Сиб.- отд. Новосибирск. - 2013. - Т.16. - №4. - С.393-404.

45.Тараканов В.И., Лысенкова С. А. Параметрический резонанс при импульсном нагружении. // Тр. СурГУ, сер. физ.-техн. науки. - 2006. -№25. - С.62-70.

46.Тараканов В.И., Нестеренко М.В. Итерационный алгоритм исследования и численного решения спектральных задач для линейного пучка компактных, частично симметричных операторов. // Сиб. журн. вычисл. математики. РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск. - 2010. - Т. 13. - №3. -С.343-359.

47.Тараканов В.И., Никифоров И.В. Исследование неустойчивости балки с переменными по длине характеристиками под действием момента кручения на основе операторных методов. // Тр. СурГУ, сер. физ.-техн. науки. - 2005. - №23. - С.93-99.

48.Тараканов В.И., Никифоров И.В. Операторный метод исследования собственных частот и форм колебаний стержня с переменными по длине параметрами. // Тр. СурГУ, сер. физ.-техн. науки. - 2002. - №11. - С.90-99.

49.Тараканов В.И., Никифоров И.В. Собственные частоты колебаний круглой мембраны переменной толщины. // Тр. СурГУ, сер. физ.-техн. науки. - 2006. - №25. - С.79-86.

50.Тараканов В.И., Никифоров И.В. Собственные частоты колебаний троса, нагруженного продольным усилием. // Тр. СурГУ, сер. физ.-техн. науки. -2002.-№11.-С. 100-109.

51.Тараканов В.И. О спектральных свойствах оператора, компактного в гильбертовом пространстве и симметричного в некотором его подпространстве. // Тр. СурГУ, сер. физ.-техн. науки. - 2007. - №5. -С.179-186.

52.Тараканов В.И. Селективный численный анализ спектра оператора, компактного в гильбертовом пространстве. // Тр. СурГУ, сер. физ.-техн. науки. - 2002. -№11. - С. 148-154.

53.Тараканов В.И., Симахина C.B. Исследование дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами на основе операторных методов.// Тр. СурГУ, сер. физ.-техн. науки. -2007.-№5.- С. 165-172.

54.Тараканов В.И. Уравнения с компактными операторами в гильбертовом пространстве и итерационные алгоритмы их решения. - Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2007. - 251 с.

55.Тараканов В.И. Устойчивость конструкций в нефтегазопромысловой технологии. - Сургут: Изд-во СурГУ, 2001. - 131 с.

56.Тараканов В.И. Частично симметричные операторы в гильбертовом пространстве. // Тр. СурГУ, сер. физ.-техн. науки. - 2005. - №23 - С. 122134.

57.Тараканов В.И., Юрчишина M.B. Об одном варианте селективного анализа спектра частично симметричного оператора в гильбертовом пространстве. / Тр. СурГУ, сер. физ.-техн. науки. - 2005. - №23. - С.134-140.

58.Чезари JT. Асимптотическое поведение и устойчивость обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1964.

59.Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций. // ДАН СССР. - 1956. - Т.110. - В.З. - С.345-347.

60.Шмидт Г. Параметрические колебания. // Пер. с нем. - М.: Мир, 1978. -336 с.

61.Якубович В. А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. - М.: Наука, 1972.-718 с.

62.Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. - М.: Наука, 1987. - 328 с.

63.Faraday M. On a peculiar class of acoustical figures, and on certain forms assumed by a group of particles upon vibrating elastic surfaces. // Phil.Trans.Roy.Soc. -1831,- Vol. 121.- P.299-318.

64.Floquet G. Sur les equatios différentielles lineares a coefficients périodiques. // Ann. de l'Ecole Normale, 2-е series. - 1883. - T.12. -№47.

65.Melde F. Über Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers. // Ann. Physic und Chemie. - 1859. - Vol. 109. - P. 193-215.

66.Tarakanov V.l., Lysenkova S.A. Iterative algorithm of determining the stability of an equation of oscillations with damping. // Numerical Analysis and Application, Pleiades Publishing Inc. - 2012. - Vol.5. - №1. - P.84-98.

67.Tarakanov V.l., Lysenkova S.A., Nesterenko M.V. The precession of a parametric oscillation pendulum with the Cardano suspension. // Numerical Analysis and Application, Pleiades Publishing Inc. - 2013. - Vol.16. - №4. -P.337-348.

1 100

68.Tarakanov V.I., Nesterenko M.V. Iterative algorithm of investigating ancf numerical solving spectral problems for a linear bunch of compact, partially simmetric operators. // Numerical Analysis and Application, Pleiades Publishing Inc. - 2010. - Vol.3. - №3. - P.279-293.