Динамика упругого стержня со свободно скользящим кольцом при параметрическом возбуждении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Мяло, Евгения Владимировна

• Мяло, Евгения Владимировна
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Мяло, Евгения Владимировна

Список используемых обозначений.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ, ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ

ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Особенности поведения маятниковых и стержневых элементов, находящихся на вибрирующем основании.

1.2. Анализ исследований о скольжении твердых тел вдоль вибрирующих упругих стержней.

1.3. Цели и задачи исследования.

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ ПРИ

ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ.

2.1. Предварительные замечания.

2.2. Дифференциальное уравнение параметрических колебаний стержня.

2.3. Решение уравнения параметрических колебаний стержня.

2.4. Определение областей неустойчивости стержня.

2.5. Анализ влияния начальных несовершенств формы оси стержня на амплитуды его колебаний.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика упругого стержня со свободно скользящим кольцом при параметрическом возбуждении»

Одной из часто возникающих и важных задач динамики технических систем и технологических процессов является прогнозирование и анализ их поведения при параметрическом возбуждении. В условиях параметрического возбуждения часто оказываются самые различные объекты современной техники: антенные устройства, высотные сооружения, трубопроводы, чувствительные элементы приборов, объекты ракетно-космической техники, элементы ядерных реакторов и многие другие. Динамический анализ таких систем в ряде случаев сводится к исследованию задачи о параметрических колебаниях стержней.

Параметрические колебания стержней, возникающие при внешнем вибрационном воздействии, как правило, сопровождаются значительными амплитудами и возникновением опасных динамических напряжений. Вместе с тем, параметрическое возбуждение приводит к возникновению ряда нелинейных эффектов, к которым, в первую очередь, относят появление новых положений динамического равновесия - параметрическую стабилизацию, в том числе вибрационную (при параметрическом возбуждении, вызванном внешними вибрациями). Классическими примерами эффекта вибрационной стабилизации являются возникновение устойчивого верхнего положения перевернутого маятника при вибрировании его оси подвеса (маятник Стефенсона-Капицы) [36, 93] и вертикальная устойчивость гибкой нити (так называемая магическая или индийская веревка) [25, 81]. Другим наглядным примером является подъем и стабилизация кольца, установленного свободно на обращенном маятнике с вибрирующей осью подвеса (маятник В.Н. Челомея) [73].

Эффект вибрационной стабилизации находит практическое применение в современной технике и лежит в основе функционирования целого класса приборов, чувствительные элементы которых совершают заданные колебательные движения. Так, например, в приборах для измерения низкочастотной вибрации (порядка одного Гц и менее) относительное положение чувствительного элемента в упругой трубке, находящейся в условиях параметрического возбуждения, зависит от амплитуды низкочастотного воздействия. Этот же эффект используется и в некоторых типах предохранительных клапанов трубопроводов, в виброподъемниках, вибродвигателях [15, 19, 59, 60].

Исследование подъема твердого тела по вибрирующему стержню (или перевернутому маятнику) представляет собой комплексную научно-техническую проблему, сочетающую в себе задачи динамики стержней, вибрационного транспортирования, параметрических колебаний.

В известных работах В.Н. Челомея [73], И.И. Блехмана и О.З. Малаховой [8], А.И.Меняйлова и А.В.Мовчана [46], А.В. Киргетова [38], К.М. Рагульскиса [59], Й. Томсена и Д.М. Черняка [97] рассматривались различные постановки задачи и динамические модели, описывающие подъем кольца по перевернутому маятнику с вибрирующей осыо подвеса. Вместе с тем, учитывая практическую важность этой задачи, определенный интерес вызывает дальнейшее развитие исследований, особенно в направлении уточнения расчетных схем и моделей, как стержня, так и физических механизмов его взаимодействия с кольцом при параметрическом возбуждении.

Важнейшей составляющей этих исследований, имеющей большое самостоятельное научное и практическое значение, является анализ поведения упругого стержня в условиях параметрического возбуждения. Дело в том, что для выявления законов и режимов движения кольца на таком стержне необходимо знать законы движения стержня как упругого тела, которые в свою очередь определяются из решения задачи о его параметрических колебаниях. Хотя задача о параметрических колебаниях стержней уже достаточно хорошо изучена в теории колебаний [4, 7, 13, 77], некоторые ее аспекты требуют дальнейшего исследования. В частности, это относится к роли учета конечных углов поворота сечений стержня, анализу влияния демпфирования (внутреннего и/или внешнего) и начального несовершенства формы оси стержня на амплитуды поперечных колебаний и динамическую устойчивость прямолинейной формы вертикальной оси. Особый интерес представляет также исследование поведения гибких вертикальных стержней, которые в статических условиях теряют устойчивость под действием силы тяжести. При параметрическом возбуждении ось такого стержня может приобрести исходную (недеформированную) вертикальную прямолинейную форму [25, 81, 88]. В технологических процессах этот способ используется для стабилизации прямолинейной формы оси гибких элементов (проволоки, нити, шланга), например, для их самоцентрирования при подаче с намоточного барабана в приемное отверстие обрабатывающего модуля для последующей технологической обработки.

Настоящая диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом Лаборатории вибромеханики Института машиноведения им. А.А.Благонравова РАН, программой фундаментальных исследований Отделения энергетики, механики, машиностроения и процессов управления РАН "Разработка фундаментальных основ расчета машин динамического принципа действия", гранта РФФИ № 07-08-253а.

Целью диссертационной работы является развитие существующих представлений об эффектах вибрационного транспортирования и вибрационной стабилизации динамических систем при параметрическом возбуждении, а также их возможных технических приложений. Указанная цель достигается на основе теоретического и экспериментального изучения, описания и анализа физических механизмов вибрационного подъема кольца, установленного на консольно закрепленном вертикальном упругом стержне в условиях параметрического возбуждения.

В соответствии с указанной целью в диссертации были поставлены и решены следующие основные задачи:

- исследование устойчивости вертикальной оси стержня, находящегося в поле сил тяжести, с учетом начальных несовершенств и различных моделей рассеяния энергии;

- разработка модели взаимодействия кольца с упругим стержнем при его параметрическом возбуждении;

- анализ влияния компонент возбуждения и параметров трения на движение кольца;

- моделирование движения кольца вдоль упругого стержня;

- исследование влияния кольца на амплитуды параметрических колебаний стержня (выявление роли кольца как динамического гасителя параметрических колебаний стержня);

- экспериментальное исследование движения и стабилизации кольца на вибрирующем стержне.

Методика исследования. Разработка расчетной модели исследуемой системы выполнена на основе классических методов нелинейной динамики. Для расчетного анализа системы применялись методы Флоке-Ляпунова, Галеркипа, методы численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений и численные методы оптимизации. Экспериментальные исследования проводились с использованием стандартного оборудования и аппаратуры для возбуждения и измерения колебаний.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

- разработана расчетная модель, описывающая параметрические колебания упругого стержня с учетом начальных несовершенств формы его оси;

- установлены границы областей параметров возбуждения, при которых возникают параметрические резонансы, в зависимости от параметра гибкости стержня и начальных несовершенств формы его оси, и стабилизация вертикальной оси гибкого стержня, в зависимости от вида и параметров демпфирования;

- разработана модель, описывающая движение и стабилизацию кольца на вертикальном упругом стержне при его параметрическом возбуждении;

- установлено влияние трения на подъем кольца, а также выявлена роль начального положения кольца и параметров возбуждения;

- выявлен физический механизм эффекта гашения параметрических колебаний упругого стержня при подъеме и стабилизации кольца. Практическая ценность диссертации:

- установлены численные значения параметров стержня и возбуждения, при которых возникает стабилизация вертикальной оси гибкого стержня в зависимости от параметров трения;

- расчетная модель вибрационной стабилизации вертикальной формы оси гибкого стержня может быть использована при разработке и создании систем самоцентрирования гибких элементов типа стержней и нитей в технологических процессах запрессовки, стыковки, сборки, прошивки;

- предложенная модель вибрационной стабилизации и устойчивости кольца на вибрирующем стержне описывает динамику чувствительных элементов приборов для измерения низкочастотной вибрации, работу предохранительных клапанов трубопроводных систем, вибродвигателей;

- установлена роль кольца как динамического гасителя параметрических колебаний стержня;

- разработаны алгоритмы и программы численного анализа, позволяющие моделировать процесс движения кольца по вибрирующему упругому стержню. Научные положения, выдвигаемые на защиту:

1. Принципы моделирования и расчета параметрических колебаний упругих стержней, определение границ областей параметрического резонанса и устойчивости вертикального положения стержня при его параметрическом возбуждении.

2. Модель взаимодействия кольца с упругим стержнем при его параметрическом возбуждении.

3. Алгоритмы, методики и результаты моделирования движения кольца по вибрирующему стержню.

Достоверность полученных результатов обеспечена применением апробированных методов решения и анализа задач нелинейной динамки, научно-обоснованным выбором расчетных моделей и подтверждена согласованностью результатов экспериментальных, численных и приближенных аналитических исследований.

Личный вклад автора. В совместных работах автор принимал непосредственное участие в выводе уравнений движения, в выборе методов их решения, получении и анализе результатов. Автор также принимал непосредственное участие в проведении экспериментальных исследований.

Реализация работы. Результаты исследований использованы в учебном процессе на кафедре «Прикладная механика» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана и на ее базовом филиале в ИМАШ РАН при разработке методических указаний, лабораторных практикумов, учебных пособий и курсов лекций по дисциплинам «Динамическая устойчивость», «Вибрационная механика»; в ИМАШ РАН при выполнении программы фундаментальных исследований Отделения энергетики, механики, машиностроения и процессов управления РАН "Разработка фундаментальных основ расчета машин динамического принципа действия"; в АНОН НИЦ «КП Алмаз» при разработке и проектировании стеблей ружейных сверл; в РНЦ «Курчатовский институт» при анализе поведения тонкостенных стержневых конструкций.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на XV симпозиуме «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем» (Москва - Звенигород, 2006 г.); 12-ом международном конгрессе по теории машин и механизмов (Безансон, Франция, 2007 г.); 3-ей международной конференции «Мехатронные системы и материалы» (Каунас, Литва, 2007 г.); международной конференции «Неклассические задачи механики» (Кутаиси, Грузия, 2007 г.); XIX международной интернет - ориентированной конференции молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (Москва, 2007 г.); 6-ой международной конференции по нелинейной динамике «Евромех» (Санкт-Петербург, 2008 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в восьми публикациях, из них две - рекомендованы ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников и трех приложений. Общий объем работы состоит из 134 страниц, включая 45 рисунков, 2 таблицы, списка литературы, содержащего 98 наименований и приложений на 16 страницах.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Мяло, Евгения Владимировна

Основные результаты и выводы по диссертации:

1. Установлены значения параметров возбуждения вибрационной стабилизации и устойчивости вертикального положения гибкого стержня в поле сил тяжести при учете начальных несовершенств и различных моделях рассеяния энергии.

2. На основе разработанной модели взаимодействия кольца со стержнем выявлено влияние различных компонент возбуждения и параметров модели на особенности движения кольца.

3. Выполнено численное моделирование движения кольца вдоль упругого стержня при его параметрическом возбуждении.

4. Установлены значения параметров возбуждения и системы, при которых наблюдается стабилизация кольца на стержне при его параметрическом возбуждении.

5. Установлен эффект гашения параметрических колебаний стержня свободно скользящим кольцом.

6. Выполненные эксперименты подтвердили результаты расчетного анализа

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертационной работе был поставлен ряд новых задач динамики упругих стержней со свободно скользящим кольцом при параметрическом возбуждении. В работе предложена уточненная расчетная схема стержня, учитывающая конечные повороты его сечений и несовершенство формы оси. Составлены дифференциальные уравнения параметрических колебаний такого стержня, учитывающие действие подвижных сил взаимодействия с кольцом. Для решения полученной системы уравнений предложен комплексный аналитико-численный алгоритм, основанный па методе Галеркина, методе многомасштабных разложений и численного интегрирования методом Рунге-Кутта. В результате решения были установлены условия, при которых реализуется подъем кольца по вибрирующему стержню. Установлены области значений параметров, при которых возникает вибрационная стабилизация прямолинейной формы оси гибкого упругого стержня. Сформулированы некоторые прикладные задачи, исследование динамики которых сводится к анализу рассмотренных моделей.

В настоящей диссертационной работе был поставлен ряд новых задач динамики упругих стержней со свободно скользящим кольцом при параметрическом возбуждении. В результате их решения были установлены условия возникновения эффекта вибрационной стабилизации гибкого упругого стержня и кольца, свободно скользящего вдоль него.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Мяло, Евгения Владимировна, 2008 год

1. Алфутов НА. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1891.

3. Асташев В.К., Бабицкий В.И., Веприк A.M., Крупенин B.JI. Гашение вынужденных колебаний струи и стержней подвижной шайбой. ДАН СССР, 1989. Т. 304, №1. С. 50-54.

4. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004. - 592 с.

5. Бабицкий В.И., Крупенин B.JI. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука, 1985.-320 с.

6. Бансявичюс Р.Ю., Рагульскис К.М. Вибродвигатели. Вильнюс: Мокслас, 1981. 193 с.

7. Бидерман B.JI. Прикладная теория механических колебаний. Учебное пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1972, 416 с.

8. Блехман И.И. Малахова О.З. О квазиравновесных положениях маятника Челомея. ДАН СССР, 1986, Т 287, №2. С. 290 294

9. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. — 400 с.

10. Блехман И.И., Букаты Г.Б. Движение тела, попеременно контактирующего с двумя вибрирующими плоскостями. Изв. АН СССР, МТТ, 1975, №2, с. 39-49.

11. Блехман И.И., Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. М., Наука, 1962

12. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М: Наука, 1974.

13. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. 597 с.

14. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматлит, 1961. 339 с.

15. Брумберг P.M. О безотрывном движении твердого тела по вибрирующей трубе. Изв. АН СССР. МТТ, 1970, №5

16. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И. Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.

17. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т.1: Колебания линейных систем / под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.

18. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т.2: Колебания нелинейных механических систем / под ред. И.И. Блехмана. М.: Машиностроение, 1979.-351 с.

19. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т.4: Вибрационные процессы и машины / под ред. Э.Э. Лавендела. М.: Машиностроение, 1981.-509 с.

20. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т.6: Защита от вибрации и ударов / под ред. К.В.Фролова. М.: Машиностроение, 1981 456 с.

21. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

22. Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. — М.: Наука, 1986.-256 с.

23. Гребеников Е.А., Рябов Ю.Я. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 432 с.

24. Гудушаури Э.Г., Пановко Г .Я. Теория вибрационных технологических процессов при некулоновом трении. М.: Наука, 1988.

25. Гуськов A.M., Пановко Г.Я. Вибрационная стабилизация вертикальной оси гибкого стержня. Журнал «Проблемы машиностроения и надежности машин» №5,2006, стр. 13-19

26. Гуськов A.M., Пановко Г.Я., Чан Ван Бинь. Анализ динамики маятникового гасителя колебаний. Журнал «Проблемы машиностроения и надежности машин». 2008, № 2, с.

27. Ден Гартог Дж.П. Механические колебания. - М.: Физматгиз, 1960. -580 с.

28. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. О движении точечной массы вдоль колеблющейся струны // ПММ, 1997. Т. 61, № 4, С. 703 706.

29. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М: Физматлит, 2002. — 208 с.

30. Ерофеев В.И. Пространственные колебания гибкого стержня // Прикладная механика, 1991. Т. 27, № 9. С.100 -106.

31. Ильин М.М., Колесников К.С., Саратов Ю.С. Теория колебаний: Уч. для вузов / под ред. К.С. Колесникова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003.-272 с

32. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. — М.: Мир, 1983. 300 с.

33. Кажаев В.В. Гашение вибраций балки свободно скользящим объектом // Волновые задачи механики / Сб. науч. трудов. Горький: Гф ИМАШ АН СССР, 1990. С. 41 -47.

34. Кажаев В.В. Гашение вибраций струны скользящим осциллятором // Волновые задачи механики / Сб. науч. трудов.Н.Новгород: Нф ИМАШ АН СССР, 1991. С. 102 107.

35. Кажаев В.В. Уткин Г.А. Движение массы вдоль струны под действием сил волнового давления. // Дифференциальные и интегральные уравнения / Межвуз. сб. науч. трудов. Горький: ГГУ. 1989. С. 112 117.

36. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. ЖЭТФ, 1951, Т. 21, Вып.5, С. 588 597.

37. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом. Успехи физ. наук., 1951, Т.44, вып. 1.

38. Киргетов А.В. К вопросу об устойчивости квазиравновесных положений маятника В.Н. Челомея. Изв. АН СССР, МТТ, 1986, №6. С. 57-62.

39. Кобринский А.Е., Кобринский А.А. Виброударные системы (динамика и устойчивость). М.: Наука, 1973. 591 с.

40. Кочнева Л.Ю. Внутреннее трение в твердых телах при колебаниях. М.: Наука, 1979

41. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. 352 с.

42. Курбатов A.M., Челомей С.В., Хромушкин А.В. К вопросу о маятнике В.Н. Челомея. Изв. АН СССР, МТТ, 1986, №6.

43. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, Физматлит, 1997,496 с.

44. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движений. Череповец: Меркурий-пресс, 2000.

45. Малахова О.З. Экстремальные признаки устойчивости движения и их использование при создании вибрационных устройств. Дис. кан. физ.-мат. наук. Л.:Механобр,1990.

46. Меняйлов А.И., Мовчан А.В. О стабилизации системы маятник-кольцо в условиях вибрации основания. Изв. АН СССР, МТТ, 1984, №6. С.35 40.

47. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. 3-е издание, перераб. И доп. - М.: Наука, 1976.

48. Левитский Н.И. Колебания в механизмах. Учеб. пособие для втузов М.: Наука, 1988.-336 с.

49. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.:Наука, 1981.

50. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455с.

51. Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфирование колебаний. М.: Мир, 1988.-448 с.

52. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учебник для машиностроительных и приборостроительных спец. вузов. М.: Высшая школа, 1990.-607 с.

53. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1971.-240 с.

54. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М.: Физматлит, 1960. 193 с.

55. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. — Д.: Машиностроение, 1976. — 320 с.

56. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987.-352 с.

57. Прочность, устойчивость, колебания, Справочник. ТЗ.— М.: Машиностроение, 1968. С. 331-346

58. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

59. Рагульскис К.М., Нагинявичюс В.В. Трубообразный виброклапан, управляемый колебаниями трубы как упругого тела. Деп. в Лит. НИИНТИ, № 1644. Вильнюс, 1986.

60. Рагульскис Л.К., Рагульскис К.М. Колебательные системы с динамически направленным вибровозбудителем. — Д.: Машиностроение. Ленингр. отд-е, 1987.

61. Сабадаш В.А. Динамическая устойчивость стержней с учетом деформации сдвига и инерции вращений. Журнал «Прикладная механика», Том XV, № 5, 1979. с. 73-78

62. Светлицкий В.А. Механика стержней. Учебник для втузов. В 2-х ч. 4.1. Статика. М.: Высшая школа, 1987. - 320 с.

63. Светлицкий В.А. Механика стержней. Учебник для втузов. В 2-х ч. 4.2. Динамика. М.: Высшая школа, 1987. - 304 с.

64. Солдатов И.Н. Уравнения движения «бусинки» на растяжимой струне // Испытания материалов и конструкций / Сб. научн. трудов Н.Новгород, изд-во «Интелсервис», 2000. Вып. 2. С. 261-265.

65. Справочник по сопротивлению материалов. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Киев: Наукова думка, 1975. - 459 с.

66. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977.-256 с.

67. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: КомКнига, 2006. -440 с.

68. Фомин В.Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. Л.: Изд-во ЛГУ, 1972.

69. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учебник для вузов.- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 592 с

70. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970.

71. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966.

72. Цыфанский С.Л., Бересневич В.И., Оке А.Б. Нелинейные и параметрические колебания вибрационных машин технологического назначения. -Рига: Зинатне, 1991. —231 с

73. Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями// ДАН СССР.-1983.-Т.270, №1.

74. Челомей В.Н. Нелинейные колебания с параметрическим возбуждением. Изв. АН СССР, МТТ. 1977 №3

75. Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций. ДАН СССР, 1956, Т.110, Вып.З, С.345 347.

76. Чечурин С.Л. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения. Л.: Изд-во ЛГУ,1983.

77. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир, 1978.

78. Якубович В.А. Старжииский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987. 328 с.

79. Acheson D. A pendulum theorem. Proc. R. Soc. Lond. A (1993) 443, 239-245.

80. Acheson D., Mullin T. Upside-down pendulum. Nature 366 (1993), 215-216.

81. Acheson D., Mullin T. Ropy magic. New scientist, Fedruary (1998), 32-33.

82. Babitsky V.I., Veprik A.M. Damping of beam forced vibration by a moving washer. Journal of Sound and Vibration 1993 166(1), pp. 77-85

83. Blekhman I.I., Sperling L. Stabilization of the synphase postcritical regime of rotation of vibroexciters by means of internal degree of freedom. 3rd Polyakhov Readings, St.Petersburg, 2003, 107-111

84. Champneys A.R., Fraser W.B. The 'Indian rope trick' for a parametrically excited flexible rod: linearized analysis. Proc. R. Soc. Lond. A (2000) 456, pp. 553-570.

85. Crespo da Silva MRM, Glynn CC. Nonlinear flexural-flexural-torsional dynamics of inextensible beams, I: equations of motion. Journal of Structural Mechanics 1978; 6: 437-448

86. Fraser W.B, Champneys A.R. The 'Indian rope trick' for a continuously flexible rod; nonlinear and subharmonic analysis. Proc. R. Soc. Lond. A (2001).

87. Hamdan M.N., Al-Qaisia A.A., Al-Bedoor B.O. Comparison of analytical techniques for nonlinear vibrations of a parametrically excited cantilever. Int. J. of Mechanical Sciences, V. 43 (2001), pp. 1521-1542.

88. Krishnamurthy K. Dynamics and control of flexible robotic manipulators. Ph.D. thesis, Department of Mechanical Engineering, Washington State University, 1986

89. Lee. W.K., Hsu C.S. A global analysis of a harmonically excited spring-pendulum system with internal resonance. Journal of Sound and Vibration 171(1994), no.3, p. 335-359

90. Otterbein S. Stabilisierung des n-pendeles und der indische seiltrick. Arch. Ration. Mech. Analysis (1982) 78, 381-393

91. Schmidt B.A. The radially flexible pendulum subjected to high-frequency excitation // Journ. of Appl. Mech., 50(1983), 443-448

92. Stephenson A. 1908a On a new type of dynamic stability. Mem. Proc. Manchester Lit. Phil. Soc. 52(8), 1-10.

93. Stephenson A. 1908 b On induced stability. Phil. Mag. 15, 233-236.

94. Stephenson A. 1909 On induced stability. Phil. Mag. 17, 765-766.

95. Schmidt G., Tondl A. Nonlinear vibrations. Akademie-Verlag, Berlin, 1986

96. Thomsen J.J., Tcherniak D.M. Chelomei's pendulum explained. Proc. R. Soc. Lond. A (2001) 457, 1889-1913.

97. Vasilkov V., Chubinsky A., Yakimova K. The Stephenson-Kapitsa pendulum: Area of the Attraction of the Upper Position of the Balance. "Technische Mechanik", Band 27, Heft 1, (2007), 61-66