Математическое моделирование осесимметричных сферических электромагнитных волн в изотропном пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Павлова, Мария Валентиновна

• Павлова, Мария Валентиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Павлова, Мария Валентиновна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ИЗВЕСТНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ

СФЕРИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

1.1. Задача о диполе Герца

1.2. Изложение общей теории сферических электромагнитных волн

1.3. Свободные колебания сферического резонатора

1.4. Обсуждение результатов теории сферических волн

ГЛАВА 2. БЕГУЩИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

2.1. Исходные соотношения для анализа и их преобразования

2.2. Алгоритм решения

2.3. Выражения для компонент полей в представлении бегущих волн

2.4. Уравнения силовых линий для бегущих сферических электромагнитных волн

2.5. Динамика распространения сферических электромагнитных волн (графическое представление)

2.6. Вектор Умова-Пойнтинга

2.7. Выводы к полученным результатам

ГЛАВА 3. СТОЯЧИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ И

ОБЪЁМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ НА ИХ ОСНОВЕ

3.1. Выражения для компонент полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн при наличии в центре идеально проводящего устремляющегося в точку "ядра"

3.2. Уравнения силовых линий полей сферических электромагнитных волн в модели с устремляющимся в точку "ядром" в центре

3.3. Графическое представление полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн при условии нахождения в центре идеально проводящего устремляющегося в точку "ядра"

3.4. Выражения для компонент полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн в зависимости от сдвига фазы расходящейся сферической волны относительно сходящейся волны

3.5. Уравнения силовых линий полей стоячих сферических электромагнитных волн в зависимости от сдвига фазы ф

3.6. Графическое представление полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн в зависимости от сдвига фазы ф

3.7. Объёмные резонаторы на основе осесимметричных сферических электромагнитных волн

3.8. Выводы

ГЛАВА 4. ЗАДАЧА О КОНЦЕНТРИЧЕСКОМ СФЕРИЧЕСКОМ

РЕЗОНАТОРЕ

4.1. Анализ полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн в модели с "ядром" конечного размера

4.2. Уравнения силовых линий полей стоячих сферических Е- и Н- волн при условии нахождения в центре "ядра" конечного размера

4.3. Графическое представление полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн в модели с "ядром" конечного размера

4.4. Задача о собственных значениях концентрического сферического резонатора

4.5. Выводы

ГЛАВА 5. ОСОБЫЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

5.1. Решения в форме бегущих волн

5.2. Решения в форме стоячих волн

5.3. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование осесимметричных сферических электромагнитных волн в изотропном пространстве»

Модель сферической волны с общих позиций представляет собой волну, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер. Центр этих сфер называется центром волны. Характерной особенностью сферических волн является их способность стягиваться в центр и (или) исходить из него. Модель сферической волны, в отличие от модели плоской волны, более адекватна физической действительности, поскольку реальная волна по мере распространения в пространстве больших масштабов всё более приближается к сферической.

Интерес к задачам математического моделирования сферических электромагнитных волн возникает в теории распространения радиоволн, в теории антенн, в анализе сферических резонаторов, нашедших своё применение, например, в задачах измерения частоты. В СВЧ электронике интерес к сферическим резонаторам зародился и погас, так как они не нашли какого-либо применения в электровакуумных приборах СВЧ типа усилителя и генератора в связи с их слабой геометрической совместимостью с принципами создания и работы этих приборов. В оптике представление о сферической электромагнитной волне имеет самостоятельный интерес, связанный с моделью точечного источника света, с задачами фокусировки оптических пучков, с задачами формирования и переноса оптических изображений, с задачами дифракции и интерференции, решаемыми с помощью принципа Гюйгенса. Математические модели сферических электромагнитных волн могут быть использованы в ядерной физике, в частности, в задачах лазерного инициирования реакции термоядерного синтеза при попытке осуществить процесс сжатия капли дейтерия сферической волной с целью повышения её температурного режима. Кроме того, интерес к сферическим электромагнитным волнам, в частности к сходящимся волнам, может быть вызван потенциальной возможностью этих волн концентрировать энергию в малой области около центра. Однако обозначенные интересы и возможности в настоящее время не в полной мере реализованы.

Классическое изложение теории сферических электромагнитных волн, сформировавшееся ещё в середине прошлого столетия, представлено в относительно небольшом количестве работ [1-8]. В этих работах, в частности, анализируется задача о поле излучения диполя Герца, проводится разложение плоских волн на элементарные сферические волны, рассматривается задача о свободных колебаниях полого сферического резонатора.

Однако отмеченные исследования и их продолжения, касающиеся математических и физических представлений о сферических электромагнитных волнах и возможностях их применения, нельзя считать полными и завершёнными. В существующих работах практически не рассмотрены сходящиеся и расходящиеся волны раздельно и в отсутствии источников. Математически не анализируется и тот факт, что сферическая волна, идущая из бесконечности, сходится в центре и далее распространяется как расходящаяся сферическая волна. Кроме того, не детализированы аналитические выражения для компонент полей бегущих и стоячих сферических электромагнитных волн. Вопросы, касающиеся структуры этих полей и их динамики (особенно в окрестности центра), оказались не до конца теоретически изучены, так как не были получены и соответственно не были проанализированы уравнения силовых линий полей сферических электромагнитных волн.

В связи с этим, создание математических моделей сферических электромагнитных волн и их теоретическое исследование представляется актуальной задачей. Современный этап развития науки и техники показывает, что математическое моделирование в различных сферах человеческой деятельности приводит обязательно к получению новых знаний, новой информации об объектах моделирования. Этого, очевидно, следует ожидать и от моделирования сферических электромагнитных волн.

Целью диссертационной работы является моделирование процессов распространения сферических электромагнитных волн в изотропном пространстве в случае осевой симметрии и выявление главных физических особенностей этих процессов, в том числе особенностей ранее не известных.

В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:

1. Теоретически исследовать динамику движения бегущих сферических электромагнитных волн, распространяющихся из бесконечности к свободному центру, в предположении перехода в центре сходящихся волн в расходящиеся волны.

2. Исследовать особенности структуры полей стоячих сферических электромагнитных волн в окрестности центра с использованием модельного представления о находящемся в центре отражающем "ядре" исчезающе малого размера; а так же выявить многообразие типов колебаний сферических Е- и Н- волн с помощью модельного представления об устройстве, реализующем сдвиг фазы расходящейся сферической волны относительно сходящейся.

3. Решить задачу о свободных колебаниях концентрического сферического резонатора на основе осесимметричных сферических электромагнитных волн.

4. Провести частное решение задачи о распространении осесимметричных сферических электромагнитных волн, когда эти волны становятся строго поперечными.

Методы исследования

В диссертации использованы методы математического моделирования (поиск математических конструкций, которые наиболее приспособлены к конкретному физическому содержанию), методы решения электродинамических задач (решение однородных уравнений Максвелла в сферических координатах), численные методы (метод поразрядного приближения), методы графического построения векторных полей в пространстве.

Научная новизна исследований

Сформулирована постановка задачи по математическому моделированию осесимметричных сферических электромагнитных волн в изотропном пространстве, свободном от источников. Получены детализированные аналитические выражения для компонент полей сходящихся и расходящихся сферических электромагнитных волн во всём их многообразии в предположении перехода в центре сходящихся волн в расходящиеся волны. Впервые получены аналитические модели силовых линий полей бегущих сферических электромагнитных волн для различных типов колебаний. Впервые получены аналитические модели силовых линий полей стоячих сферических электромагнитных волн для различных типов колебаний при наличии отражающего идеально проводящего "ядра" в центре. Впервые теоретически исследованы структурные особенности полей типов колебаний сферических электромагнитных волн, полученных в предположении о находящемся в центре устройстве, осуществляющем приём сходящейся волны, её задержку или опережение по фазе, а затем излучение с целью образования расходящейся волны. Получены аналитические модели силовых линий полей стоячих сферических электромагнитных волн в зависимости от сдвига фазы расходящейся сферической волны относительно сходящейся волны.

Разработано программное обеспечение для ПЭВМ, позволяющее по результатам численного решения соответствующих уравнений силовых линий графически представить картины силовых линий полей сферических осесимметричных электромагнитных Е- и Н- волн как в режиме бегущих, так и в режиме стоячих волн при наличии отражающего "ядра" в центре, а также с учётом сдвига фазы расходящейся сферической волны относительно сходящейся волны. ческих электромагнитных волнах, отличающиеся повышенной локализацией и интенсивностью электрических и магнитных полей. • Впервые получено частное решение задачи о распространении осесиммет-ричных сферических электромагнитных волн (бегущих и стоячих), когда волны становятся строго поперечными.

Научно-практическая ценность работы

Значимость для науки результатов исследований заключается в том, что полученные результаты моделирования осесимметричных сферических электромагнитных волн существенным образом дополняют и обогащают имеющиеся на сегодняшний день теоретические представления о сферических электромагнитных волнах. Практическое значение работы определяется тем, что разработанный алгоритм и его программная реализация могут найти применение для проектирования и расчёта объёмных резонаторов на сферических волнах. Предложенные в работе модификации объёмных резонаторов, отличающиеся повышенной локализацией и интенсивностью электрических и магнитных полей, могут быть использованы в вакуумных и газоразрядных электронных устройствах.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных теоретических результатов обеспечивается строгим решением системы исходных уравнений - однородных уравнений Максвелла, корректностью упрощающих допущений, соответствием полученных выводов с известными теоретическими и экспериментальными данными.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Решения однородных уравнений Максвелла в сферической системе координат, в частности, с учётом осевой симметрии в изотропном пространстве, полученные в форме функций Риккати-Ганкеля и полиномов Лежандра, позволяют наиболее физично описать движущиеся к центру (сходящиеся) и движущиеся от центра (расходящиеся) сферические электромагнитные волны. Векторы Умова-Пойнтинга этих волн являются строго радиальными и имеют неоднородное распределение по широте согласно квадратам так называемых шаровых функций.

2. Предложенная математическая модель, основанная на представлении о "ядре" в виде концентрической шаровой идеально проводящей поверхности, способной с исчезающе малым радиусом "стягиваться" в центр, позволяет однозначно определить комплексную амплитуду расходящейся сферической волны относительно комплексной амплитуды сходящейся волны, порождающей эту расходящуюся волну в результате прохождения исходной через центр. Сумма этих волн, уже как стоячая сферическая волна, формирует конечные электрические и магнитные поля в окрестности центра, что формально описывается известными решениями в форме функций Бесселя полуцелого порядка, и эти решения не зависят от присутствия или отсутствия "ядра" исчезающе малого размера в центре.

3. Использование полученных на основе предложенного математического моделирования решений как в форме бегущих сферических электромагнитных волн, проходящих через центр, так и в форме стоячих волн, позволяет точно отобразить картины силовых линий электрических и магнитных полей в этих случаях, причём картины движущихся волн в окрестности центра получены по существу впервые, в то время как картины стоячих волн и картины бегущих волн вдали от центра были известны лишь на качественном уровне.

4. Введение в математические модели сходящихся и расходящихся сферических электромагнитных волн представления об устройстве, осуществляющем приём сходящейся волны, её задержку или опережение по фазе и, наконец, излучение её с целью образования расходящейся волны, позволяет предсказать новое бесконечно большое множество структур стоячих сферических электромагнитных волн, а также предложить принципиально новые модификации объёмных электромагнитных резонаторов с повышенной локализацией и интенсивностью электрических и магнитных полей.

5. Использование полученных решений в формах бегущих к центру и от центра сферических электромагнитных волн для модели с "ядром" конечного радиуса позволяет наглядно и просто описать стоячие сферические электромагнитные волны в этом случае и рассчитать параметры сферических концентрических резонаторов. Также наглядно показано, как параметры и полученные картины полей постепенно переходят в известные решения без "ядра" в центре путём изменения радиуса "ядра" в сторону его уменьшения.

6. Разработанный в работе подход позволил получить неизвестное ранее решение в теории сферических электромагнитных волн с осевой симметрией, имеющее частный характер, когда волны становятся строго поперечными, причём для реализации этого решения предложены особые модификации сферических электромагнитных резонаторов.

Апробация работы

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих Международных конференциях:

1. Международная научно-техническая конференция "Проблемы управления и связи", Саратов, 20 - 22 сентября 2000 г.;

2. Saratov Fall Meeting (SFM '2000), Saratov, Russia, 3 - 6 October 2000;

3. IV International Conference for young researchers "Wave Electronics and Its Applications in the Information and Telecommunication Systems", St. Petersburg, 28 -31 May, 2001;

4. Saratov Fall Meeting (SFM '01), Saratov, Russia, 2 - 5 October 2001;

5. 16-th European Frequency and Time Forum (EFTF '02), St. Petersburg, Russia, 12 -14 March, 2002;

6. 2002 IEEE AP-S International Symposium on Antennas and Propagation and USNC/URSI National Radio Science Meeting, USA, San Antonio, Texas, 16-21 June, 2002;

7. Пятая-юбилейная Международная научно-техническая конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (АПЭП-2002), Саратов, 18- 19 сентября 2002 г.;

8. Saratov Fall Meeting (SFM '02), Saratov, Russia, 1 - 4 October 2002.

Личный вклад автора заключается в выводе аналитических выражений и формул, проведении теоретического анализа, разработке программного обеспечения для ПЭВМ, участии в обсуждении задач, поставленных научным руководителем.

Публикации. По результатам исследований, выполненных в рамках диссертационной работы, опубликовано 8 статей.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объём диссертации составляет 133 страниц текста, включая 32 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Павлова, Мария Валентиновна

5.3. Выводы

В настоящей главе представлено решение задачи о распространении осесимметричных сферических сходящихся и расходящихся электромагнитных волн, а также о стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волнах в особых ситуациях, когда соосно с полярной осью сферической системы координат имеется либо идеально проводящая нить, либо система двух конусных идеально проводящих поверхностей с объединёнными вершинами. Ситуации различаются также представлениями о замкнутости и разорванности этих структурных элементов в центре.

Отдельно отметим, что полученное и проанализированное в данной главе диссертационной работы частное решение поставленной задачи не рассматривалось ранее в работах других авторов. Поэтому оно заявлено нами в работе как шестое положение, выдвигаемое на защиту.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проведено математическое моделирование и углубленное теоретическое исследование сферических электромагнитных волн в изотропном пространстве в случае осевой симметрии.

Сформулирована постановка задачи по математическому моделированию сферических электромагнитных волн в пространстве, свободном от источников. В качестве исходных соотношений взяты однородные уравнения Максвелла относительно напряжённостей электрических и магнитных полей, записанные в сферической системе координат. Полученные в итоге детализированные аналитические выражения для всех компонент полей сходящихся и расходящихся сферических Е- и Н- волн явились оптимальными для проведения последующего математического моделирования процесса распространения движущихся к центру или от центра сферических электромагнитных волн, выявления структур полей этих волн, а также структур стоячих волн. Получены аналитические модели силовых линий полей бегущих сферических электромагнитных волн для различных типов колебаний.

Проведено теоретическое исследование осесимметричных стоячих сферических электромагнитных волн с использованием математической модели, основанной на представлении о "ядре" в виде концентрической шаровой идеально проводящей поверхности, способной с исчезающе малым радиусом "стягиваться" в центр. Показано, что в полом сферическом резонаторе могут существовать типы колебаний, полученные при наличии идеально проводящего устремляющегося в точку "ядра" в центре, хотя присутствие или отсутствие этого "ядра" в центре не меняет структуру Поля стоячей сферической электромагнитной волны.

Выявлено и исследовано многообразие типов колебаний сферических электромагнитных волн, полученных с помощью модельного представления о находящемся в центре устройстве, осуществляющем приём сходящейся волны, её задержку или опережение по фазе, а затем излучение её как расходящейся волны. Получены аналитические модели силовых линий полей стоячих сферических Е- и Н- волн в зависимости от сдвига фазы расходящейся сферической волны относительно сходящейся волны. На основании проведённого анализа структуры полей стоячих волн для различных значений сдвига фазы у/ предложены принципиально новые модификации объёмных электромагнитных резонаторов с повышенной локализацией и интенсивностью электрических и магнитных полей.

Решена задача о стоячих сферических электромагнитных волнах с использованием модели "ядра" конечного размера, позволяющая рассчитать параметры сферических концентрических резонаторов, достаточно интересных в плане их создания на основе этих волн. Показано, как параметры и полученные картины полей стоячих сферических Е- и Н- волн постепенно переходят в известные решения без "ядра" в центре путём изменения радиуса "ядра" в сторону его уменьшения.

Разработано программное обеспечение для ПЭВМ, позволяющее по результатам численного решения соответствующих уравнений силовых линий графически представить картины силовых линий полей сферических осесимметричных электромагнитных Е- и Н- волн как в режиме бегущих, так и в режиме стоячих волн при наличии в центре отражающего "ядра" произвольного радиуса, а также в зависимости от сдвига фазы расходящейся сферической волны относительно сходящейся волны.

Предложенный в работе подход позволил получить оригинальное решение в теории сферических электромагнитных волн с осевой симметрией, имеющее частный характер, когда волны становятся строго поперечными, причём для реализации этого решения предложены особые модификации сферических электромагнитных резонаторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Павлова, Мария Валентиновна, 2003 год

1. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. M.-JL, Гостехиздат, 1948, с.345.

2. Луи де-Бройль "Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах", М., ГИИЛ, 1948, с.58.

3. Кессених В. Н. Распространение радиоволн. М., Гостехиздат, 1952, с.259.

4. Гуревич А. Г. Полые резонаторы и волноводы. М.: Сов. радио, 1952, с.75.

5. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М., "Советское радио", 1957, с.108.

6. Каценеленбаум Б. 3. Высокочастотная электродинамика. М., "Наука", 1966, с.104.

7. Семёнов А. А. Теория электромагнитных волн. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1968, с. 194.

8. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М., "Наука", 1989, с.324.

9. Pirapaharan Kandasamy, Nobuo Okamoto "Resonant Modes of a Concentric Spherical Cavity with Conically Stratified Medium" // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 49, N0.1, January 2001, p.l 11.

10. Ю.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., "Наука", 1976, с.397, с.417.

11. Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. М., "Мир", 1972, с.238, с.244.

12. Ваганов Р. Б., Каценеленбаум Б. 3. "Основы теории дифракции", М., "Наука", 1982, с.29.

13. Павлова М. В., Зюрюкин Ю. А. Анализ осесимметричных сферических электромагнитных волн в изотропной среде // Проблемы управления и связи: Сб. трудов Международной научно-технической конференции. Саратов: СГТУ, 2000. С.91-95.

14. Zyuryukin Yu. A., Pavlova Mariya V. Axially symmetric spherical electromagnetic waves in isotropic medium // "Coherent Optics of Ordered and Random Media". Saratov Fall Meeting, 2000. Proc. SPIE. 2000. Vol. 4242. P.53-58.

15. Zyuryukin Y. A., Pavlova M. V. Axisymmetric spherical standing and travelling electromagnetic waves // "Coherent Optics of Ordered and Random Media II". Saratov Fall Meeting, 2001. Proc. SPIE. 2002. Vol. 4705. P.l-12.