Математическое моделирование малых поперечных колебаний тонких упругих пластин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Мымрин, Вячеслав Валерьевич

• Мымрин, Вячеслав Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мымрин, Вячеслав Валерьевич

Введение

Глава 1. Устойчивость разностной задачи и сильная сходимость разностных аппроксимаций.

§1. Математическая модель задачи и ее разностная аппроксимация.1.

§2. Оценка обобщенных решений исходной дифференциальной задачи

§3. Устойчивость разностной задачи относительно скорости колебаний

§4. Сильная сходимость разностных аппроксимаций.

Глава 2. Математическое моделирование колебаний ледяного покрова на поверхности воды под действием техногенных динамических нагрузок.

§1. Метод решения систем разностных уравнений

§2. Моделирование колебаний ледяного покрова при движении автомобилей

§3. Моделирование колебаний ледяного покрова при приземлении самолетов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование малых поперечных колебаний тонких упругих пластин»

Целью работы является математическое моделирование малых поперечных колебаний тонких упругих пластин, включая исследование устойчивости и сходимости применяемого в работе разностного метода решения начально-краевой задачи и численное моделирование прикладных задач о колебаниях ледяного покрова на поверхности воды под действием различных техногенных динамических нагрузок.

Рассмотренная в диссертации задача малых поперечных колебаний тонких упругих пластин [1-4], описываемая двумерным нестационарным дифференциальным уравнением второго порядка по времени и четвертого порядка по пространственным переменным, представляет большой интерес как с точки зрения развития теоретических аспектов математического моделирования — разработки численных методов и их обоснования, так и с точки зрения практических приложений. Говоря о разработке численных методов для решения уравнения поперечных колебаний тонких упругих пластин, следует отметить, что до недавнего времени были разработаны численные методы решения лишь для стационарной задачи, с краевыми условиями первого и второго рода. Разностные аппроксимации для стационарных уравнений четвертого порядка рассмотрены, например, в монографиях А.А.Самарского, В.Б.Андреева [5] и А.А.Самарского, Р.Д Назарова, В.Л.Макарова [6]. Для аппроксимации стационарных задач применялись также методы конечных элементов. В последнее время А.А.Кулешовым [7,8] был разработан новый разностный метод решения нестационарной задачи для уравнения поперечных колебаний тонких упругих пластин с переменными коэффициентами и с общими граничными условиями на контуре пластины. При построении этой аппроксимации, вместо аппроксимации исходного уравнения, имеющего второй порядок по времени, строится аппроксимация системы уравнений с производными первого порядка по времени, неизвестными в которой являются естественные переменные механики: прогиб пластины, скорость прогиба и изгибающие моменты по осям ОХ и OY, и эта система аппроксимируется двухслойной неявной разностной схемой на прямоугольной регулярной сетке. При этом заданные на контуре пластины изгибающие моменты и перерезывающая сила учитываются естественным образом. Полученная разностная схема значительно проще для численной реализации, чем громоздкая трехслойная разностная схема, которая получилась бы при непосредственной разностной аппроксимации исходного дифференциального уравнения. Этот разностный метод и был применен в настоящей работе.

В рассматриваемой задаче все коэффициенты в уравнении являются либо бесконечно дифференцируемыми функциями (толщина и цилиндрическая жесткость пластины), либо постоянными, однако, правая часть уравнения, описывающая действие сил на поверхности пластины, а также изгибающие моменты и перерезывающая сила на контуре пластины могут быть разрывными функциями. В силу этого, решения исходной задачи рассматриваются как обобщенные решения из соответствующих функциональных пространств [18-21] . Одними из самых трудных задач при обосновании численных методов решения задач математической физики являются доказательство устойчивости построенных аппроксимаций и доказательство их сходимости к обобщенному решению1 исходной задачи с оценкой скорости сходимости. Устойчивости разностных схем посвящены работы А.А.Самарского и его учеников В.Б.Андреева, А.В.Гулина, П.Н.Вабищевича, Ю.И.Мокина, Р.Д.Назарова, В.Л.Макарова и других [9-17]. В частности, устойчивости разностных схем для эллиптических уравнений четвертого порядка по граничным условиям первого рода посвящены работы В.Б.Андреева [13,14]. Сходимости разностных схем на обобщенных решениях посвящены работы А.А.Самарского, Р.Д.Лазарова, В.Л.Макарова [6,23-25]. Отметим также работы Л.С.Франка [26] и А.А.Кулешова [27]. Среди работ в этой-области следует отметить работы А.А.Злотника [28-30], в которых доказывается сходимость метода конечных элементов к обобщенному решению-краевых задач, и работы зарубежных авторов [31,32]. Отметим также работы, в которых, доказывается сходимость метода Галеркина к обобщенным решениям для различных задач [33-41]. Что же касается конечно-разностного метода для уравнений четвертого порядка, то вопрос о сходимости разностных аппроксимаций к обобщенному решению исходной краевой задачи до недавнего времени был исследован для стационарного бигармонического уравнения с однородными краевыми условиями [6]. Для применяемого в настоящей работе разностного метода А.А.Кулешовым [7,8] была доказана устойчивость разностной схемы относительно отклонения: пластины и ее разностных производных первого порядка по времени и до второго порядка по пространственным переменным и слабая сходимость разностных аппроксимаций к обобщенному решению исходной начально-краевой задачи. В настоящей работе доказывается устойчивость этой разностной схемы относительно скорости колебаний и ее производных и сильная сходимость разностных аппроксимаций к обобщенному решению исходной начально-краевой задачи.

К области практических приложений математической модели малых поперечных колебаний тонких упругих пластин, лежащих на упругом основании, следует прежде всего отнести широкий круг задач о распространении поперечных колебаний в плавающем на поверхности воды ледяном покрове, как в естественных природных условиях, так и при воздействии на ледяной покров различных техногенных нагрузок, например, движущегося автотранспорта, приземляющегося самолета, всплывающего из-подо льда подводного аппарата. Актуальным в этих задачах является, как изучение волновой динамики, так и исследование прочности льда на растяжение и сжатие. Задача о распространении волн в плавающем на поверхности воды ледяном покрове была впервые рассмотрена в 1887 году в работе A.G.Greenhill [42]. В дальнейшем, до 50-х годов прошлого века в этой области проводились лишь экспериментальные исследования. Изучение этой задачи с использованием математических методов продлжилось с 50-х годов A.S.Peters [43], J.B.Keller, M.Weitz [44,45]. Большой вклад в эти исследования внес советский ученый Д.Е.Хейсин [46-53]. Начиная с 90-х годов исследования в этой области начинают бурно развиваться. Особенно интенсивно развиваются исследования в области математического моделирования взаимодействия в естественных природных экосистемах лед — вода для морского льда, без учета каких-либо антропогенных факторов [54-86]. В этих работах в качестве методов исследования применялись в основном математические методы с использованием функции Грина, интегральных уравнений, преобразования Фурье. Исследования волновой динамики в плавающем на поверхности воды ледяном покрове под действием техногенных нагрузок начались с упомянутой выше работы A.G.Greenhill [42], в которой впервые было получено дисперсионное соотношение. После значительного перерыва исследования в этой области были продолжены в 60-х годах прошлого века Д.Е.Хейсиным [46,50] и в последующие годы получили развитие в работах зарубежных авторов [87-97]. При изучении волновой динамики сплошного ледяного покрова на поверхности воды в упомянутых работах [46,50,87-97] в качестве математической модели ледяного покрова использовалось уравнение колебаний тонкой упругой пластины. В качестве математического аппарата исследования в этих работах применялся аналитический метод решения: перемещение по льду плоского фронта давления задавалось в правой части уравнения (5-функцией вида P5(x-\t), где Р — сила, действующая на поверхность ледяного покрова, ^-функция представлялась в виде интеграла Фурье, и решение задачи для прогиба пластины и потенциала течения жидкости подо льдом получалось также в виде интегралов. При этом изучались в основном полученные дисперсионные соотношения, характер зависимости волновой амплитуды от скорости движения техногенной нагрузки и вопрос существования критических скоростей, при которых частота колебаний ледяного покрова под действием нагрузки совпадает с частотой собственных колебаний льда на поверхности воды, в системе возникает резонанс, и решение может неограниченно возрастать. В работах [96,97] полученное аналитически решение в виде интеграла затем аппроксимировалось квадратурной формулой и рассчитывалось численно.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что численные методы с непосредственной аппроксимацией уравнения поперечных колебаний тонких упругих пластин для решения рассмотренных выше прикладных задач не применялись. Численному моделированию волновой динамики в плавающем на поверхности воды ледяном покрове при воздействии на него различных техногенных нагрузок и посвящена вторая часть настоящей работы. В работе также исследован вопрос о прочности ледяного покрова на растяжение и сжатие при воздействии1 техногенной нагрузки. В упомянутых вьппе работах [46,50,87-97] в рамках аналитического подхода не было получено выражений для нормальных компонент тензора напряжений, поэтому этот вопрос не рассматривался. Вопрос о прочности ледяного покрова на растяжение и сжатие рассматривался в работах В.И.Одинокова, А.М.Сергеевой, Е.А.Захаровой [98,99] в рамках модели малых упругих деформаций для практической задачи моделирования движущейся подо льдом ледокольной приставки.

В качестве важных практических приложений задачи о малых поперечных колебаниях тонких упругих пластин в работах [89,96] исследовалась задача о посадке грузовых самолетов на ледовые аэродромы в Антарктиде. Также представляет практический интерес задача об определении возможности всплытия подводного аппарата на поверхность моря из-под ледяного покрова. Математическая модель подобной задачи с радиальной симметрией, в которой ледяной покров рассматривался в приближении тонкой упругой одномерной пластины, а нагрузка описывалась выдвигающимся из-подо льда цилиндром, была рассмотрена в работе [93]. Среди других возможных практических приложений рассматриваемой модели могут быть задачи моделирования для крупных плавучих структур понтонного типа, таких как Megafloat — плавучий аэропорт в заливе Иокосука, Япония, и супертанкеров, а также задачи моделирования технических платформ с различным закреплением по краям, или лежащих на упругом основании, которые описываются моделью тонкой упругой пластины. Еще одним интересным приложением в области геофизики может быть задача о поперечных колебаниях океанических литосферных плит, в которой тонкую, по сравнению с континентальной, океаническую литосферу, состоящую из относительно однородной породы (базальта), можно рассматривать в приближении тонкой упругой пластины [101-104].

Таким образом, тема диссертации является актуальной, как с точки зрения развития численных методов решения рассматриваемой задачи, так и с точки зрения ее практических приложений.

Работа состоит из двух глав. Первая глава посвящена теоретическому обоснованию применяемого для численного решения задачи разностного метода — доказательству устойчивости решения разностной задачи относительно скорости колебаний и ее производных и доказательству сильной сходимости разностных аппроксимаций.

В §1 главы 1 приводится математическая постановка рассматриваемой задачи о малых поперечных колебаниях тонкой упругой изотропной пластины переменной толщины, лежащей на упругом винклеровском основании, с общими условиями на криволинейном контуре. Далее в этом параграфе приводится разностный метод решения задачи, разработанный ранее в работах А.А.Кулешова [7,8], который применяется в настоящей работе.

В §2 главы 1 рассматриваются функциональные пространства обобщенных решений исходной начально-краевой задачи, приводятся условия гладкости входных данных и условия согласования граничных и начальных значений, при которых, согласно [19], существует единственное решение задачи из класса Z2(0,7T;i74(Q))n//2(0,7';Z<2(Q)), а также приводится вывод соответствующей оценки обобщенных решений.

В §3 главы 1 вводятся сеточные аналоги рассматриваемых в §2 функциональных пространств с соответствующими сеточными нормами и доказывается устойчивость разностной задачи относительно скорости колебаний и ее производных, получена соответствующая оценка решения разностной задачи через нормы входных данных этой задачи.

В §4 главы 1 доказывается теорема о сильной сходимости решений разностной задачи к обобщенным решениям исходной дифференциальной начально-краевой задачи и выводится оценка скорости сходимости. Доказательство основано на методике работы [7], в которой, в свою очередь, были использованы подходы, разработанные в работах А.А.Самарского и его учеников [6,23-25].

Вторая глава диссертации посвящена численному моделированию поперечных колебаний ледяного покрова на поверхности воды под действием техногенных динамических нагрузок с определением прочности ледяного покрова на растяжение и сжатие.

В §1 главы 2 приведен метод решения полученной при аппроксимации задачи системы разностных уравнений. Метод основан на расщеплении системы разностных уравнений по пространственным переменным и решении полученных при этом подсистем методом прогонки. Был создан программный комплекс на языке С++ , Эффективность разработанного численного метода была проверена путем сравнения результатов расчета с точным решением задачи о цилиндрическом изгибе прямоугольной пластины постоянной толщины под действием гармонической силы, заданной в виде плоской волны давления. Результаты расчетов показали высокое быстродействие алгоритма и хорошую точность.

С помощью созданного программного комплекса было проведено численное моделирование нескольких прикладных задач, описываемых математической моделью малых поперечных колебаний тонких упругих пластин.

В §2 главы 2 описана методика численного определения прочности ледяного покрова на растяжение и сжатие. Вычисляя на каждом шаге работы программы нормальные компоненты тензора напряжений по закону Гука через изгибающие моменты, находим их максимальные по модулю значения. При достижении этой величиной предельных значений прочности льда на растяжение или сжатие можно сделать вывод о том, что на рассматриваемом временном шаге произойдет необратимая деформация, и лед будет разрушаться. Далее в этом параграфе приведены результаты численного моделирования распространения поперечных колебаний ледяного покрова на поверхности воды при движении по нему одного автомобиля и двух автомобилей одновременно. В эксперименте с одним автомобилем разрушения льда при заданных параметрах эксперимента не происходило. При одновременном движении двух автомобилей друг за другом с одинаковой скоростью, в зависимости от расстояний между ними, наблюдалось либо гашение волн, либо их наложение с увеличением амплитуды. В последнем случае при той же толщине льда, что и в эксперименте с одним автомобилем, рассчитываемые в программе нормальные напряжения превышали минимальное значение прочности льда на растяжение, и происходило разрушение ледяного покрова.

В §3 главы 2 приведены результаты численного моделирования в задаче о посадке самолетов на ледяной покров, плавающий на поверхности воды. Представлены графики амплитуды поперечных колебаний и значений нормальных напряжений и результаты исследований предельной толщины ледяного покрова, при которой не происходит его разрушения. Было проведено сравнение результатов расчетов значений поперечных прогибов ледяного покрова при моделировании посадки грузовых самолетов С-130 «Геркулес» с результатами, полученными в работе канадских ученых [96], и отмечена близость полученных результатов.

Таким образом, продемонстрирована применимость использованного в работе численного метода и созданного программного обеспечения для решения практических задач, описываемых рассматриваемой математической моделью малых поперечных колебаний тонких упругих пластин.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [107-113].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю А.А.Кулешову за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку в работе

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мымрин, Вячеслав Валерьевич

Заключение

В заключение работы сформулируем кратко основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Для применяемого в работе численного метода решения задачи о малых поперечных колебаниях тонких упругих пластин доказана устойчивость разностной схемы относительно скорости колебаний и ее производных.

2. Доказана сильная сходимость разностных аппроксимаций к обобщенному решению исходной начально-краевой задачи о поперечных колебаниях тонких упругих пластин и получена оценка скорости сходимости.

3. Создан программный комплекс и проведено численное моделирование колебаний ледяного покрова под действием различных техногенных динамических нагрузок с определением пределов прочности ледяного покрова на растяжение и изгиб, в том числе проведено моделирование важной прикладной задачи о посадке тяжелых транспортных самолетов на ледовые аэродромы в Антарктиде.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мымрин, Вячеслав Валерьевич, 2009 год

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматлит, 1963.-636с.

2. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. 559с.

3. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. М. Наука, 1987. 248с.

4. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1958.-385с.

5. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.-352с.

6. Самарский А.А., ЛазаровР.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа, 1987.-296с.

7. Кулешов А.А. О разностной аппроксимации задачи поперечных колебаний тонких упругих пластин // ЖВМ и МФ, 2005, т.45, №4, с.718-740.

8. Кулешов А.А. О численном методе решения задачи поперечных колебаний тонких упругих пластин // Матем. моделирование, 2005, т. 17, №4, с. 10-26.

9. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 61 бе.

10. Самарский А.А. Классы устойчивых разностных схем // ЖВМ и МФ, 1967, т.7, №5, с. 1096-1133.

11. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. -416с.

12. Гулин А.В., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Устойчивость нелокальных разностных схем. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 380с.

13. Андреев В.Б. Устойчивость разностных схем для эллиптических уравнений по граничным условиям Дирихле//ЖВМ и МФ, 1972, т.12,№3, с.598-611.

14. Андреев В.Б. Устойчивость разностных схем для эллиптических уравнений четвертого порядка в прямоугольнике по граничным условиям первого рода // Сб. работ НИВЦ МГУ "Вычислительные методы и программирование". М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977, с. 116-166.

15. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Гулин А.В. Устойчивость операторно-разностных схем. // Дифф. уравнения, 1999, т.35, №2, с. 152-187.

16. Самарский А. А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск, 1998. —442с.

17. Мокин Ю.И., Лазаров Р.Д. Устойчивость эллиптических разностных схем в метриках Lpj, II Сб. "Исследования по теории разностных схем для эллиптических и параболических уравнений". М.: Изд-во Моек ун-та, 1973.

18. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.-372 с.

19. Lions J.L., Magenes Е. Non-homogeneous boundary value problems and applications. v.2. Springer-Verlag, 1972. 242p.

20. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

21. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. — 238с.

22. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536с.

23. Лазаров Р.Д., Макаров В.Л., Самарский А.А. Применение точных разностных схем для построения и исследования разностных схем на обобщенных решениях // Матем. сборник, 1982, т.117, №4, с.469-480.

24. Лазаров Р.Д. К вопросу о сходимости разностных схем для обобщенных решений уравнения Пуассона. Препринт 11-80-807 ОИЯИ. Дубна, 1980. 16с.

25. Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Сходимость метода сеток и метода прямых для многомерных задач математической физики в классах обобщенных решений // ДАН СССР, 1981, т.259, №2, с.282-286.

26. Франк Л.С. Коэрцитивные краевые задачи для разностных операторов // ДАН СССР, 1970, т. 192, №1, с.42-45.

27. Кулешов А.А. Разностная аппроксимация и регуляризация одной задачи оптимального управления процессом, описываемым эллиптическим уравнением // ДАН СССР, 1983, т.269, №4, с.809-813.

28. Злотник А.А.Оценка скорости сходимости проекционно-сеточных методов для гиперболических уравнений второго порядка // Сб. Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1991, вып.8, с.116-167.

29. Злотник А.А. О скорости сходимости в Wj1 й вариационно-разностного метода для эллиптических уравнений // ДАН СССР, 1983, т.271, №4, с.784-788.

30. Злотник А.А., Киреева О.И. Проекционно-сеточпые методы для задачи о динамических колебаниях неоднородного стержня в случае негладких данных // Матем. заметки, 1996, т.60, вып.1, с. 138-143.

31. Geveci Т. On the convergence of Galerkin approximation schemes for second-order hyperbolic equations in energy and negative norms // Math, of Comput., 1984, v.42, №166, pp.393-415.

32. Kok В., Geveci T. On the convergence of Galerkin approximation schemes for second-order hyperbolic equations with dissipation // Math, of Comput., 1985, v.44, №170, pp.379-390.

33. Железовский C.E., Ляшко А.Д. Оценки погрешности метода Галеркина для квазилинейных гиперболических уравнений // Дифф. уравнения, 2001, т.37, №7, с.941-949.

34. Железовский С.Е., Букесова Н.Н. Оценки погрешности проекционного метода для абстрактного квазилинейного гиперболического уравнения // Изв. вузов. Математика, 1999, №5, с.94-96.

35. Железовский С.Е. Метод Бубнова-Галеркина для абстрактной квазилинейной задачи о стационарном действии // Дифф. уравнения, 1995, т.31, №7, с. 12221231.

36. Железовский С.Е. О существовании и единственности решения и о скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина для одной квазилинейной эволюционной задачи в гильбертовом пространстве // Изв. вузов. Математика, 1998, №10, с.37-45.

37. Зарубин А.Г. Исследование проекционной процедуры Галеркина-Петрова методом дробных степеней // ДАН СССР, 1987, т.297, №4, с.780-784.

38. Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Фаэдо-Галеркина для квазилинейных нестационарных операторных уравнений // Дифф. уравнения, 1990, т.26, №12, с.2051-2059.

39. Смагин В.В. Оценки погрешности полудискретных приближений по Галеркину для параболических уравнений с краевым условием типа Неймана // Изв. вузов. Математика, 1996, №3, с.50-57.

40. Смагин В.В. Оценки скорости сходимости проекционного и проекционно-разностного методов для слабо разрешимых параболических уравнений // Матем. сборник, 1997, т. 188, №3, с. 143-160.41