Математическое моделирование тепловых и волновых процессов в составных промышленных конструкциях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Махинова, Ольга Алексеевна

• Махинова, Ольга Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Махинова, Ольга Алексеевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I. Современные математические модели тепловых и волновых процессов

§ 1. Основные понятия

§ 2. Математические модели тепловых и волновых процессов на

сетях

2.1. Моделирование теплофизических процессов в материалах

с контролируемым температурным режимом

2.2. Моделирование колебаний мачты и поддерживающих

ее растяжек

Выводы

Глава II. Обоснование метода Фурье для математических моделей тепловых и волновых процессов в составных промышленных конструкциях

§ 1. Собственные функции краевой задачи на простейшем графе

§ 2. Собственные функции краевой задачи на графе-звезде

§ 3. Собственные функции краевой задачи на графе с циклом

§ 4. Метод Фурье для отыскания решений краевых задач на

графе

Выводы

Глава III. Синтез разностных схем для краевых задач математических моделей тепловых и волновых процессов в составных промышленных конструкциях

§ 1. Разностные аналоги дифференциальных операторов

на графах и их свойства

1.1. Основные понятия и определения

1.2. Разностный аналог оператора Лгп

1.3. Разностный аналог оператора Аг3

1.4. Разностный аналог оператора

1.5. Разностный аналог оператора Лгцз

1.6. Увеличение порядка аппроксимации краевых задач

§ 2. Разностные схемы для начально-краевых задач

на графах

2.1. Устойчивость разностной схемы

2.2. Сходимость решений разностных схем

Выводы

Глава IV. Вычислительный эксперимент. Расчет температурных полей и амплитуд колебаний в составных промышленных

конструкциях

§ 1. Методика расчета изменений температурных полей для составных

промышленных конструкций

§ 2. Методика расчета изменений амплитуд колебаний для составных

промышленных конструкций

§ 3. Численный анализ задач определения температурных полей и амплитуд колебаний для составных промышленных конструкций

Заключение

Литература

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование тепловых и волновых процессов в составных промышленных конструкциях»

Введение

Актуальность. Тепловые и волновые процессы, протекающие в составных промышленных конструкциях, в большинстве своем описываются математическими моделями. реализуемыми на геометрических графах1. Те же принципы математического моделирования положены в основу современного понимания процессов обмена продуктами жизнедеятельности в биологической системе на клеточном уровне (метаболизм клеток). Продукты одних химических реакций, происходящих в клетке, являются субстратами для других, образуя цепи метаболических реакций. Цепи имеют точки ветвления -узлы реакций, продукты которых могут быть использованы в нескольких метаболических цепях, в совокупности представляющих собой сеть2.

Остановимся на двух важных примерах промышленной теплотехники и технического материаловедения Задача оптимального нагрева (охлаждения) массивного металлического слитка относится к классу задач, математическая модель которых представляет собой граничную задачу с распределенными параметрами на классическом интервале (Ю.Р.Андреев. А.Г Бутковский,А.И.Егоров, С.А.Малый). В случае, когда объект наблюдения (металлический слиток) содержит точечные неоднородности, т.е. оснащен системой контроля состояния температурного поля в виде набора датчиков, периферийные компоненты которых определяют точки неоднородности, необходима замена интервала на объединение интервалов Математическая модель, рассматриваемая на объединении интервалов, требует развития классических методов анализа.

Рассмотрим задачу из области технического материаловедения -анализ процессов колебаний антенных конструкций разного типа.

' Провоторов В В И<( ледоваине 1рлпичпы\ мдач < рл< предсменпыми параметрами на графах при моделировании тейповых и вонповых процессов - Док юрская диссертация Воронеж, 2010

2Рпзниченко Г Ю , Рубин А Б Математические модели биологических продукционных процессов - М Изд-во МГУ, 1993 - 300 с

Такие конструкции работают в экстремальных режимах (перепады температур, внешние механические воздействия), и поэтому протекающие в них процессы могут сопровождаться нежелательными (и даже опасными) колебаниями или различного рода неустойчивостями. Возникают ситуации, когда необходимо генерировать колебания заданных частот, чтобы погасить нежелательные колебания, влияющие на работоспособность конструкций. В работе предлагается исследование нескольких типов математических моделей антенных систем. Следует отметить, что анализ колебательных процессов в сстеподобных механических конструкциях ограничился поиском общих закономерностей теоретического характера (С.А.Авдонин, С.А.Иванов, М.И.Белишев, А.В.Боровских, М.Г.Завгородний, К.П.Лазарев, О.М.Пенкин, Ю.В.Покорный, В.В.Провоторов, В.Л.Прядиев, В.А.Юрко, G. Lumer, S. Nicaise, J. Below), численные же методы анализа применительно к конкретным прикладным задачам оставались в тени, находясь в стадии формирования.

Тема диссертационной работы соответствует научной теме «Исследование свойств операторов в функциональных пространствах и актуальных задач для дифференциальных уравнений», регистрационный номер № 0120.0853009, выполняемой математическим факультетом Воронежского государственного университета.

Цель работы. Развитие приближенных аналитических методов исследования математических моделей тепловых и волновых процессов составных промышленных конструкций; разработка и обоснование эффективных численных методов и алгоритмов. Для достижения цели поставлены следующие задачи:

— на основе современных представлений явлений тепломассопереноса и колебания упругого тела разработать математические модели тепловых и волновых процессов, проходящих в составных промышленных

конструкциях, с помощью формализмов граничных задач для уравнений с распределенными параметрами на геометрических графах;

— на базе существующих численных методов для задач математической физики на компактных графах осуществить развитие метода конечных разностей применительно к математическим моделям тепловых и волновых процессов составных промышленных конструкций: методы построения конечно-разностных аналогов математических моделей, аппроксимации разностными схемами, устойчивость и сходимость решений разностных уравнений;

— разработать эффективный маршевый алгоритм, базирующийся на конечно-разностном аналоге математической модели;

— реализовать комплекс проблемно-ориентированных программ для ЭВМ для решения задач прикладной теплотехники, деформации и колебаний в составных промышленных конструкциях с проведением вычислительных экспериментов на тестовых задачах.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основывается на использовании законов явлений тепломассопереноса, деформации и колебаний упругих тел, на проведении вычислительных экспериментов и сравнительным анализом с классическими данными.

Объект исследований. Приближенные аналитические методы исследования математических моделей тепловых и волновых процессов в составных промышленных конструкциях.

Методы исследования. При выполнении исследования в качестве основного инструментария был применен метод математического моделирования совместно с фундаментальными методами современного анализа прямых задач математической физики. Методы построения разностных схем, их обоснование получены с использованием последних разработок вычислительных методов для уравнений с распределенными

параметрами на графах.

Научная новизна. Предлагается развитие приближенных аналитических методов исследования математических моделей тепловых и волновых процессов, проходящих в составных промышленных конструкциях: получены новые результаты, относящиеся к области аппроксимации разностными схемами для уравнений с распределенными параметрами на основных типах графа (простейший граф, граф-звезда, граф с циклом); разработана маршевая по времени конечно-разностная схема второго порядка аппроксимации по пространственной переменной; представлен подробный анализ решений разностных уравнений (устойчивость по Нейману и норме, сходимость); представлены решения актуальных задач прикладного характера, описывающих тепловые и волновые процессы в составных промышленных конструкциях, для решения таких задач разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для ЭВМ с проведением вычислительных экспериментов на тестовых задачах.

Практическая значимость. Практическая значимость результатов и методов диссертационной работы заключается в возможности их использования в качестве инструментария в виде предметно-ориентированного программного комплекса для исследования различного рода процессов, протекающих в составных промышленных конструкциях либо иных схожих явлений. Представлены решения актуальных задач промышленной теплотехники, материаловедения и упругости, используемых при проектировании трубопроводов и антенных устройств.

Наиболее существенные результаты, полученные автором и выносимые на защиту. На защиту выносятся приближенные аналитические методы исследования математических моделей тепловых

и волновых процессов в составных промышленных конструкциях, численные методы и алгоритмы в виде комплексов проблемно-ориентированных программ.

1. Развитие метода конечных разностей применительно к математическим моделям тепловых и волновых процессов составных промышленных конструкций: методы построения конечно-разностных аналогов математических моделей на сетке графа, аппроксимации разностными схемами, условия устойчивости и сходимости решений разностных уравнений.

2. Решение граничных задач, лежащих в основе математических моделей нагрева металлического слитка со встроенными неоднородностями, моделей тепловых и волновых процессов в трубопроводах и сложных антенных системах.

3. Численные методы, алгоритмы решения конечно-разностных задач на сетке графа, комплекс проблемно-ориентированных программ для решения задач технической теплотехники, материаловедения и упругости.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях и семинарах. Среди них «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011), «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения XXI и XXII» (Воронеж, 2010, 2011), V Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (Воронеж, 2011), Международная конференция «Колмогоровские чтения - V. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2011), Международная конференция «Математическая теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2012). Семинары проф. Провоторова В.В. (2011, 2012), проф. Глушко A.B. (2012), проф. Рижских В.И. (2012).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 11 опубликованных научных работах, 5 из них - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата, в том числе, свидетельство на программный продукт.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем составляет 170 страниц (в том числе приложение на 35 страницах) и содержит 9 таблиц и 17 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Махинова, Ольга Алексеевна

Выводы

Для ряда прикладных задач, имеющих сложные математические модели, получение аналитических решений не всегда возможно. Даже и при наличии явного аналитического представления решений, таковое является не всегда эффективным, поскольку возможности математического анализа решений ограничены набором специальных средств математического анализа. Именно поэтому в данной главе уделено большое внимание развитию классических численных методов, применительно к граничным задачам с пространственной переменной, изменяющейся на графе, которые позволяют эффективно исследовать и решать поставленные задачи. Изучены вопросы устойчивости разностных схем, аппроксимации решений граничных задач решениями конечно-разностных задач, получены условия сходимости разностного решения приближенной задачи к решению точной. На основе полученных методов разработан комплекс проблемно-ориентированных программ.

Глава IV. Вычислительный эксперимент. Расчет температурных полей и амплитуд колебаний в составных промышленных конструкциях

В главе изложены результаты численных расчетов конкретного класса задач прикладного характера, достаточно часто встречающиеся при анализе тепловых и волновых процессов в цепочкообразных и сетообразных составных промышленных конструкциях.

В § 1 рассматриваются математические модели процесса нагрева металлического слитка, имеющего форму стержня. Исследуемый массив слитка имеет особенность - внедренные точечные неоднородности, реализуемые на практике как периферийные компоненты датчиков, измеряющих температуру слитка в местах их установки. Рассматриваемая ситуация является модельной при описании процесса температурной подготовки металлического слитка для адаптации его к процессу обработки прокатными устройствами. Здесь же рассмотрены модели тепловых процессов, проходящих в антенных конструкциях разного типа: системы «мачта-растяжки» и сетчатые антенны.

Второй класс задач - численный анализ волновых процессов в составных промышленных конструкциях - представлен в § 2. Рассмотрены задачи из области материаловедения, связанные с мониторингом состояния материалообразующей основы конструкций, прежде всего состоянием материалообразующей основы различных типов антенн.

Расчеты представлены как в виде графической интерпретации (рисунки, сопровождающие текст главы), так в виде числовых таблиц (таблицы представлены в приложениях).

§ 1. Методика расчета температурных полей для составных промышленных конструкций

1. Нагрев металлического слитка, составленного из 3 элементов, в проходной нагревательной печи. Математическая модель процесса нагрева металлического слитка с двумя периферийными компонентами датчиков, измеряющих температуру слитка в местах их установки, реализуется на простейшем графе Гп с тремя ребрами 7^, (к = 1,3) и внутренними узлами £1,^2, ребра графа 7^ параметризованы отрезком [0,1]: ди{х,Ь) д2и(х,£) дГ~ ~ дх2 ' и(х, 0)72 = — ж2 + X + 2, и(х, 0)7з = —х2 — х + 2, и(0, £)71 = 0, и(1, £)7з = 0.

На рис.5 приведена графическая интерпретация процесса распределения температуры и(ж,£). Шаг по х равен 0.05, шаг по £ - 0.00125. Температурные кривые соответствуют следующим значениям £: [1] - 0.00, [2] - 0.02, [3] - 0.04, [4] - 0.06, [5] - 0.08. Численный анализ показывает утечку тепла в узлах £1, £2

В таблице 1 представлены численные расчеты, соответствующие задаче

2. Нагрев металлического слитка, составленного из 5 элементов, в проходной нагревательной печи. Математическая модель процесса нагрева металлического слитка с четырьмя периферийными компонентами датчиков, измеряющих температуру слитка в местах их установки, реализуется на простейшем графе Гп с пятью ребрами 7^. (к = 1.5) и внутренними узлами (I = 1,4), ребра и( 1, £)7] = и(0, £) £)72 = и(0, £) и(х, 0)71 = —х2 + Зж,

4.1.1)

4.1.1).

Рис 5

Рис 6 графа 7/с параметризованы отрезком [0. 1] ди(ь,Ь) д2и(ь,1) т ~ дь2 ■

Ыи)71=Ы0,£)72 -к, и{0Л)12.

7! V /72 и(1. £)72 = ¿)7з, = )7з - к2 ■ и(0. *)73. и( М)7з = и(0,£)74, 2 = - к3 ■ и{0,*)74. 73 \ /74 и(1.*)74=п(0.£)75, — /С4 • и(0, £)75,

V / 74 \ /75 и(ж, 0)71 = —ж2 + 5х, и(х, 0)72 = —х2 + Зх + 4, и(ж, 0)7з = —х2 + ж + 6. и(х, 0)74 = —х2 — х + 6, и(х 0)75 = —х2 — Зх + 4 и(0,£)71 = 0. и(1 ¿)75 = 0

4 12)

Коэффициенты /с/, (/ = 1.4) характеризуют процесс тепловых потерь во внутренних узлах

На рис 6 приведена графическая интерпретация процесса распределения температуры и(хЛ) при условии «идеальных» контактов с периферийными компонентами датчиков, те при условии к[ = 1 (1 — 1 4) Шаг по х равен 0 05 шаг по £ - 0 00125 Температурные кривые соответствуют следующим значениям £ [1] - 0 00 [2] - 0 02 [3] - 0 04 [4] -0 06 [5] - 0 08

В таблице 2 представлены численные расчеты, соответствующие задаче (4.1.2) при различных значениях параметра /с/, (I = 1,4).

3. Распространение тепла в антенных конструкциях типа "мачта-растяжки". Рассмотрим модель процесса распространения тепла в одноуровневой антенной конструкции типа "мачта-растяжка". Такая модель, например, может быть реализована с помощью графа-звезды Г3 с тремя ребрами 7^, (к = 1, 3) и внутренним узлом Граничная задача при параметризации всех ребер 7^ отрезком [0,1] имеет вид: ди{х,Ь) (92и(ж,£)

9£ — дх2 ' и(М)71.=«(о,г)-в,(к=1,2), ,

4 / 1к V /73 (4.1.3) и(х, 0)7а. = х2 (к = 1,2), и(х, 0)7з = х3 - 6х2 + 4х + 1, гг((М)7, = 0(к= 1,2), и( 1,*)7л = 0.

Графическое интерпретация распространения тепла и(х, ¿) приведена на

Рис.7

Рис.8 рис.7, шаг по х равен 0.05, шаг по £ - 0.00125. Температурные кривые соответствуют следующим значениям [1] - 0.00, [2] - 0.02, [3] - 0.04, [4] -0.06.

Аналогичная модель для процесса распространения тепла в одноуровневой антенне типа "мачта-растяжка" более сложной конфигурации может быть получена с использованием графа-звезды

Г3 с пятью ребрами (к = 1,5) и внутренним узлом граничная задача при параметризации всех ребер 7^ отрезком [0,1] формулируется соотношениями (4.1.3) с заменой граничных и начальных условий следующими соотношениями: и(х, 0)7а = х {к — 1,4), и(х, 0)75 = х3 — баг + 4х + 1, и(0,£)7, =0(/с = 1,4), м(1, £)75 = 0.

Графическое интерпретация распространения тепла и(х, £) приведена на рис.8, шаг по х равен 0.05, шаг по £ - 0.00125. Температурные кривые соответствуют следующим значениям £: [1] - 0.00, [2] - 0.02, [3] - 0.04, [4] -0.06.

Заключение

В заключении приведены результаты работы и положения, выносимые на защиту:

1. Для математических моделей, описывающих тепловые и волновые процессы в составных промышленных конструкциях, развиты приближенные аналитические методы построения конечно-разностных аналогов граничных задач на графах: получены условия аппроксимации дифференциальных операторов, исследован порядок аппроксимации, представлены условия устойчивости построенных разностных схем, проведен анализ сходимости разностного решения к решению точной задачи. Получены условия разрешимости конечно-разностных систем уравнений, возникающих в методе сеток.

2. Разработана маршевая конечно-разностная схема, позволяющая определить динамику изменения тепловых полей и амплитуд колебаний материалообразующей основы составных промышленных конструкций, а также алгоритм для вычисления границ спектра и множества собственных чисел положительного оператора, являющегося конечномерным аналогом эллиптической компоненты уравнений с распределенными параметрами на графе.

3. Разработаны математические методы, используемые при анализе моделей прикладных задач: нагрев металлического слитка со встроенными периферийными компонентами датчиков; перенос тепла по антенным конструкциям разного типа; колебательные процессы в сети трубопроводов и сложных антенных конструкций; распределение потоков в сети метаболических реакций биологической системы на клеточном уровне.

4. Разработан проблемно-ориентированный программный комплекс, выполненный в среде Microsoft Visual Studio 2010, С+ + , позволяющий автоматизировать процедуру построения тепловых полей и амплитуд колебаний фрагментов составных конструкций в зависимости от структуры промышленного объекта. Представлены результаты вычислительных экспериментов тестовых задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Махинова, Ольга Алексеевна, 2013 год

Литература

[1] Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. - М.: Наука, 1976. - 424 с.

[2] Арсенин В.Я. Методы математичее.кой физики и специальные функции. - М.: Наука, 1984. - 383 с.

[3] Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. — М.: Мир, 1968. - 749 с.

[4] Бахвалов Н.С. Численные методы, т.1. М.: Наука, 1973 — 632 с.

[5] Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1965. — 474 с.

[6] Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1975. — 568 с.

[7] Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. — Изд-во "Металлургия", 1972. — 440 с.

[8] Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе // Доклады РАН - 1994 - Т.335, № 3. - 281-285 с.

[9] Завгородний М.Г. Об эволюционных задачах на графе // Успехи мат. наук. - 1991 - Т.46, № 6. - 199-200 с.

[10] Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М.: Наука, 1975. — 496 с.

[11] Зубов В.И. Колебания и волны. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. - 416 с.

[12] Каменский М.И., Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О полугруппе в задачах диффузии на пространственной сети // ДАН СССР. 1999. Т. 368 (2), - 157-159 с.

[13] Коновалов А.Н. Численное решение задач теории упругости -Новосибирск. Изд-во НГУ, 1968. - 144 с.

[14] Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. - М.: Наука, 1979. - 400 с.

[15] Лебедев В.И. О методе сеток для одной системы уравнений в частных производных. - «Изд. АН СССР. Сер. матем.», 22, 5 (1958)

[16] Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. — М.: Наука, 1970. - 381 с.

[17] Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. - М.: Наука, 1988. - 432 с.

[18] Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972. — 414 с.

[19] Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1977. — 384 с.

[20] Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1977. - 454 с.

[21] Махинова O.A. Задача теплопереноса на графе-звезде // Актуальные проблемы математики и информатики (труды математического факультета). - № 3, 2009. - С. 17 - 26.

[22] Махинова O.A. Теплоперенос в системах с распределенными параметрами на графе с циклом / / Актуальные проблемы математики и информатики (труды математического факультета). -№ 4, 2009. - С. 32 - 50.

[23] Махинова O.A. Вычисление границ спектра положительной матрицы при аппроксимации эволюционных задач с носителем на графе / Махинова O.A., Провоторов В.В. // Актуальные проблемы

математики и информатики (труды математического факультета). -№ 4, 2009. - С. 51 - 66.

[24] Махинова O.A. Аппроксимация эволюционных задач с носителем на графе // Провоторов В.В., Махинова O.A. // Вестник Воронежского государственного технического университета, Т. 6, № 7, 2010. - С. 74-80.

[25] Махинова O.A. Конечномерный аналог оператора Лапласа на графе // Известия института математики и информатики Удмуртского государственного университета. - №1(39), 2012. - С. 95-96.

[26] Махинова O.A. Конечномерная 1-проблема моментов для систем с распределенными параметрами на графе / Махинова O.A., Азаров C.B., Провоторова E.H. // Актуальные проблемы математики и информатики (труды математического факультета). - № 2, 2010. -С. 48 - 59.

[27] Махинова O.A. Разностные схемы для граничных задач на графе // Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXI», 2010. - С. 145-148.

[28] Махинова O.A. Задача теплопереноса на графах с циклом // Системы управления и информационные технологии. № 1 (39), 2010. - С. 19-22.

[29] Махинова O.A. Аппроксимация одномерного оператора Лапласа на графе-звезде / / Вестник Тамбовского государственного университета. Серия естественных и технических наук, Т. 16, вып. 4, 2011. - С. 1124-1126.

[30] Махинова O.A. Устойчивость копечно-разностпого аналога системы с распределенными параметрами на графе-звезде // Современные методы теории функций и смежные проблемы, материалы

Воронежской зимней математической школы, 2011. - С. 215 -216.

[31] Махинова O.A. Полная проблема конечно-разностной системы на графе-звезде// Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXII», 2011. - С. 109.

[32] Махинова O.A. Конечная проблема моментов для краевых задач на графе // Вестник Тамбовского государственного университета. Серия естественных и технических наук, Т. 16, вып. 5, 2011. - С. 1264-1269.

[33] Махинова O.A. Свойства конечно-разностного аналога одномерного оператора Лапласа на графе // Вестник Санкт-Петербургского государственного университета, серия 10, выпуск 1, 2012. - С. 54- 60.

[34] Махинова O.A. Свойства конечно-разностного одномерного оператора Лапласа на графе с циклом. // «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования. ПМТУММ-2011» Воронеж, 2011. - С. 16-19.

[35] Назипова Н. Н., Елькин Ю. Е., Панюков В. В., Дроздов-Тихомиров Л. Н. Расчёт скоростей метаболических реакций в живой растущей клетке методом баланса стационарных метаболических потоков (метод БСМП), Матем. биолог, и биоинформ., 2:1 (2007). - С.98-119

[36] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969. - 526 с.

[37] Пенкин О.М., Богатов Е.М. О слабой разрешимости задачи Дирихле на стратифицированных множествах // Мат. заметки,— 2000.— № 6.— с.874-886.

[38] Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских A.B., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. — М.: Физматлит, 2004. — 272 с.

[40] Провоторов B.B. Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля на графе-пучке / / Известия вузов. Серия математика, № 3 (550), 2008, С.50-62.

[41] Провоторов В.В. Моделирование колебательных процессов системы «мачта- растяжки» // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 1.2(31). - С.272-277.

[42] Провоторов В.В. Собственные функции краевых задач на графе. — Воронеж.: Научная книга, 2008. — 247 с.

[43] Провоторов В.В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде // Матем. сб. № 199 (10), 2008. - С.105-126.

[44] Провоторов В.В., Махинова O.A. Краевые задачи для уравнений с распределенными параметрами на графах. // Воронеж: "Научная книга", 2013. - 133 с.

[45] Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем - М.: Наука, 1971. - 553 с.

[46] Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. - М.: Наука, 1976 — 352 с.

[47] Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. - М.: Изд-во МГУ, 1993. — 300 с.

[48] Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. - М.: Мир, 1979.

[49] Сергеев С.М. Математическое моделирование работы коммерческих сетей в условиях инноваций / / Системы управления и информационные технологии. — 2012. — № 4(50). — С.27-32.

[50] Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т.1. — М.: ИЛ, 1960. - 342 с.

[51] Форсайт Дж., Молер К. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений. — М.: Мир, 1969. — 314 с.

[52] Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. — М.: Наука, 1970. - 191 с.

[53] Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007.

[54] Юрко В.А. О восстановлении операторов Штурма-Лиувилля на графах // Математ. заметки, т.79, вып.4 (2006), 619-630.

[55] Юрко В.А. О дифференциальных операторах высших порядков с регулярной особенностью // Математ. сборник, 1995, т. 186, N 6, 133160.

[56] Юрко В.А. О краевых задачах для дифференциальных уравнений с особенностью // Доклады РАН 1996, т.349, N 4, С.460-462.

[57] Юрко В.А. О восстановлении дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля с особенностями внутри интервала // Матем. заметки, 1998, 64, N 1, С. 143-156.

[58] Юрко В.А. О краевых задачах с условиями разрыва внутри интервала // Дифферен. уравнения, 36, N 8. — 2000. — С.1139-1140.

[59] Юрко В.А. О дифференциальных опраторах с особенностью и условиями разрыва внутри интервала / В.А. Юрко, Р.Х. Амиров // Украинский матем. журнал, т.53, N 11. - 2001. - С.1443-1457.

[60] Юрко В.А. Уравнения математической физики. Изд-во Саратовского ун-та, Саратов, 2004.

[61] Юрко В.А. О восстановлении операторов Штурма-Лиувилля на графах // Математ. заметки, т.79, вып.4 (2006), 619-630.

[62] Юрко В.А. Восстановление дифференциальных операторов на графе с циклом и с обобщенными условиями склейки // Известия Саратовского ун-та (новая серия). Серия математика, механика, информатика, т.8, вып.З (2008), 10-17.

[63] Yurko V.A. Numerical methods for solving inverse Sturm-Liouville problems / V.A.Yurko, M.Yu.Ignatiev // Results in Math. 52, no. 1-2 (2008), S.63-74.

[64] Avdonin S. A., Ivanov S. A. Families of exponentials. The Method of Moments in Controllability Problems for Distributed Parameter Systems. Cambridge University Press, Cambridge: 1995. 93 c.

[65] Belov J. Classical solvability of linear parabolic equations on networks. Journal of differential equations, 1988, V. 72, s. 316-337.

[66] Borg G. Eine Umkherung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe // Acta Math. 1946. V.78. P. 1-96.

[67] Kharitonov V.L., Zhabko A.P.. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delay system. // Automatica, Vol 39. — 2003. - S. 15-20.

[68] Knabner P., Angermann L. Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. - Springer-Verlag New York, 2003. - 424 p.

[69] Lumer G. Connecting of local operators and evolution equations on network // Lect. Notes Math. V.787. - Berlin: Springer, 1980. - P.219-234.

[70] Morton K.W., Mayers D. Numerical solution of partial differential equations. - Cambridge University Press, 2005. - 293 p.

[71] Nicaise S. Polygonal interface problems // Methoden und Verfahren der mathematischen Physic. V. 39.Peter Lang Verlag,Frankfurt a.M. 1993. — 250 p.

Nicaise S., Penkin 0. Relationship between the lower frequency spectrum of plates and network of beams // Math. Mech. Appl. Sai. — 2000. —V.23. - P.1389-1399.