Математические модели гравитирующих заряженных скалярных конфигураций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Соловьёв, Дмитрий Александрович

• Соловьёв, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соловьёв, Дмитрий Александрович

Введение

ГЛАВА 1. Принципы математического моделирования сферически -симметричных заряженных гравитирующих скалярных конфигураций

1.1 Метрика, ортонормированный базис, связность и кривизна

1.2 Действие и динамические уравнения.

1.3 Уравнения Эйнштейна-Клейна-Гордона-Максвелла в сферически-симметричном пространстве-времени

1.4 Дифференциальные законы сохранения (свернутые тождества Бианки).

1.5 Орбитальные движения вблизи гравитирующих скалярных конфигураций

1.6 Наблюдение орбитальных движений.

ГЛАВА 2. Метод обратной задачи в теории гравитирующих скалярных конфигураций с электрическим зарядом.

2.1 Прямая и обратная задачи.

2.1.1 Прямая задача.

2.1.2 Обратная задача.

2.2 Интегральные формулы обратной задачи для статических конфигураций в координатах кривизны.

2.3 Интегральные формулы обратной задачи в других координатах

2.4 Асимптотически плоские конфигурации с классическим скалярным полем

2.5 Круговые и последние устойчивые орбиты.

ГЛАВА 3. Математические модели асимптотически плоских конфигураций с классическим скалярным полем

3.1 Численное моделирование.

3.2 Решение общего типа без заряда.

3.3 Скалярные черные дыры, близкие к регулярным решениям

3.4 Заряженные конфигурации.

3.5 Точечноподобные черные дыры.

3.6 Изотропные голые сингулярности.

3.7 Общие замечания о полученных результатах.

ГЛАВА 4. Математические модели конфигураций с фантомным скалярным полем

4.1 Фантомное скалярное поле.

4.2 Конфигурации без заряда.

4.3 Заряженные топологические геоны.

4.4 Черные дыры и кротовые норы с фантомным полем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели гравитирующих заряженных скалярных конфигураций»

В диссертации в рамках общей теории относительности рассматриваются сферически-симметричные статические гравитирующие скалярные поля с минимальной связью и с учетом электрического заряда, а также исследуются орбитальные движения вблизи таких конфигураций. Математическое моделирование гравитирующих скалярно - полевых конфигураций содержит в себе все основные этапы построения и исследования математической модели: качественное описание модели, корректную математическую постановку задачи с наложением дополнительных условий, обеспечивающих существование и единственность решения при фиксированных параметрах, редукцию и решение уравнений, аналитическое и численное исследование решений, выявление новых эффектов и объектов в семействах решений, изучение связи характеристик модели с наблюдениями и экспериментом и т. д.

Качественные характеристики всех рассматриваемых в диссертации моделей основываются на одной и той же физической картине: классическое (т. е. не квантовое), вообще говоря, нелинейное вещественное скалярное поле сферически-симметрично концентрируется вокруг центра таким образом, что силы гравитации уравновешиваются отталкиванием, вызванным самодействием скалярного поля, образуя статическую конфигурацию. Кроме того, в общем случае в центре конфигурации расположен электрический заряд, который может существенно, иногда радикально, влиять на ее параметры. Такие конфигурации описываются самосогласованной системой уравнений Эйнштейна - Клейна - Гордона - Максвелла; здесь и далее под уравнением Клейна-Гордона подразумевается динамическое уравнение для скалярного поля с произвольным потенциалом самодействия. Пространство-время статической скалярной конфигурации с необходимостью должно быть асимптотически - плоским или иметь асимптотику пространства- времени (анти) де Ситтера.

Актуальность работы связана с тем, что роль скалярных полей в современной физической картине мира за последние два десятилетия стала общепризнанной. Несмотря на то, что вещественные скалярные поля пока не обнаружены явно в экспериментах, они являются неотъемлемой частью Стандартной модели физики элементарных частиц и ее расширений, а также теории эволюции ранней Вселенной. В настоящее время очень перспективной считается возможность моделирования — на фундаментальном или феноменологическом уровне — галактической темной материи с помощью гравитирующего скалярного поля. Темная материя или не взаимодействует непосредственно с частицами, составляющими обычное вещество, или это взаимодействие имеет сечение ниже достигнутой точности экспериментов. Таким образом, субстанция, образующая темную материю, участвует только в гравитационном взаимодействии. Вследствие нейтральности вещественного скалярного поля при энергиях, достижимых в космических объектах, его взаимодействие с обычным веществом также является чисто гравитационным. Именно поэтому вещественное скалярное поле рассматривается как перспективная основа для описания темной материи [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]. В современной астрофизике фрагментация темной материи вследствие гравитационного притяжения позволяет объяснить механизмы образования галактик, сверхмассивных черных дыр в центрах галактик, а также других гравитирующих объектов, в которых масса темной матери существенно больше массы обычного вещества. Поэтому математическое моделирование скалярных гравитирующих конфигураций с выделением вклада скалярного поля в геометрию пространства-времени является актуальной проблемой, непосредственно связанной с интерпретация наблюдений в современной субгалактической астрономии [8, 9, 10, 11].

В настоящее время успешно запущен и приведен в рабочий режим на-земно-космический интерферометр «Радиоастрон» [12, 13, 14], состоящий из сети наземных радиотелескопов и космического радиотелескопа, установленного на российском космическом аппарате «Спектр-Р». На самых коротких длинах волн аппарат может достичь предельного разрешения, которое составит около 7 угловых микросекунд, что в три раза меньше, чем диаметр сверхмассивной черной дыры в центре нашей Галактики. Поэтому аппарат «Спектр - Р», в принципе, способен разглядеть детали ее поверхности. Разрешение, достигнутое с помощью проекта «Радиоастрон», позволит изучать окрестности сверхмассивных черных дыр в активных галактиках, черные дыры в нашей Галактике, осуществить изучение природы темной материи и поиск кротовых нор и других экзотических объектов субгалактической астрономии. Следующим этапом в экспериментальных исследованиях будет проект «Миллиметрон» (аппарат «Спектр-М»), включающий космическую обсерваторию миллиметрового, субмиллиметрового и инфракрасного диапазонов со сверхвысокой чувствительностью [15]. В список научных задач космической обсерватории «Миллиметрон» входит изучение релятивистских стадий эволюции звезд с образованием черных дыр звездных масс, изучение структуры и эволюции сверхмассивной черной дыры в центре нашей Галактики и поиск новых видов астрономических объектов.

С другой стороны, математическое моделирование частицеподобных гравитирующих скалярных конфигураций может способствовать лучшему пониманию роли гравитации и пределах ее применимости в микромире [16, 17, 18, 19, 20, 21]. В отличие от квантовой теории поля, где вклад гравитации в энергию взаимодействия считается пренебрежимо малым или учитывается в рамках теории возмущений, в рассматриваемых моделях нелинейное взаимодействие гравитационного и скалярного полей является необходимым условием существования частицеподобной конфигурации, причем в данной работе этот термин рассматривается в широком смысле: частицеподобными мы считаем не только регулярные солитонные решения, но и скалярные топологические геоны, точечноподобные черные дыры и изотропные голые сингулярности. Возможно также, что систематическое исследование таких решений позволит в рамках классической теории понять некоторые свойства постулируемых скалярных частиц — бозонов Хиггса, инфлатонов ранней Вселенной, аксионов и т. д.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование заряженных статических самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций со сферической симметрией на основе принципов и уравнений общей теории относительности, а также исследование их свойств и характеристик, которые либо связаны с астрофизическими наблюдениями, либо отражают частицеподобный характер конфигурации. В диссертации подробно рассматриваются только конфигурации с асимптотически-плоской геометрией: во-первых, в перспективе предполагается отождествление конкретных конфигураций с реальными объектами на субгалактических масштабах или в микромире, а во-вторых, как показано ниже, любое решение с асимптотикой (анти) де Ситтера получается из единственного асимптотически-плоского решения добавлением однозначно определенного слагаемого к метрическим функциям.

Задачи, которые решены в диссертации для достижения цели, относятся к прикладным задачам современного математического моделирования и математической физики: развитие метода обратной задачи теории грави-тирующих скалярных полей для электрически заряженных конфигураций: развитие методов аналитического и численного решения полной системы уравнений Эйнштейна - Клейна - Гордона - Максвелла; классификация и ха-рактеризация решений по геометрическим и топологическим свойствам; развитие аналитических и численных методов изучения параметров круговых орбит вблизи скалярных конфигураций.

Структура и объем диссертации: работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка цитированной литературы, содержащего 87 наименований. Диссертация изложена на 109 страницах, включает 43

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Соловьёв, Дмитрий Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации построены и исследованы математические модели заряженных статических асимптотически плоских гравитирующих скалярно-полевых конфигураций, обладающих сферической (центральной) симметрией, с минимальной связью в рамках ОТО, а также изучены вопросы орбитального движения пробных частиц вокруг этих объектов в связи с выделением характеристических свойств, отличающих их от соответствующих вакуумных конфигураций. Проведен общий анализ заряженных и нейтральных статических сферически-симметричных конфигураций реалистических самогравитирующих скалярных полей с произвольным потенциалом самодействия.

В итоге работы были получены следующие основные результаты:

1. Найдены интегральные формулы, представляющие общее решение обратной задачи для сферически-симметричных статических заряженных скалярно-полевых конфигураций, которые позволяют по данной функции поля найти метрику и потенциал самодействия посредством прямого аналитического или численного интегрирования.

2. Построена и исследована математическая модель заряженной скалярной гравитирующей конфигурации с произвольным потенциалом самодействия. Дана полная характеризация всех возможных типов конфигураций по заданной топологии пространства-времени, знаку кинетического члена в лагранжиане скалярного поля и поведению полевой функции вблизи центра конфигурации.

3. Разработан комплекс программ для аналитических и численных расчетов в рамках построенной модели конкретных гравитирующих скалярных конфигураций. С его помощью получены конкретные двухпараметри-ческие семейства заряженных и нейтральных скалярных гравитирующих конфигураций всех известных типов (черные дыры, голые сингулярности, регулярные решения, кротовые норы, топологические геоны), а также обнаружены новые типы частицеподобных конфигураций — изотропные голые сингулярности и точечноподобные черные дыры.

4. Показано, что скалярные черные дыры, близкие к регулярным конфигурациям, могут иметь сколь угодно малое значение радиуса горизонта событий (при фиксированной массе).

5. Найдены параметры круговых орбит вблизи нейтральных скалярных конфигураций. Показано, что у скалярных черных дыр, близких к регулярным конфигурациям, такие наблюдаемые параметры как радиус внутреннего края аккреционного диска и орбитальная частота могут принимать значения, на порядки отличающиеся от соответствующих значений для вакуумных черных дыр той же массы, что позволяет различить эти конфигурации в астрономических наблюдениях.

6. Классифицированы и охарактеризованы конфигурации с фантомным скалярным полем. Изучены условия существования и свойства заряженных топологических геонов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соловьёв, Дмитрий Александрович, 2012 год

1. Matos T., Guzman F. S. On the space time of a galaxy // Class. Quant. Grav. - 2001. - Vol. 18. - Pp. 5055 - 5064. - (arXiv: gr-qc 0108027).

2. Matos T., Vazquez A., Magana J. 4>2 as dark matter // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2009. — Vol. 393. — Pp. 1359 1369. — (arXiv: astro-ph 0806.0683).

3. Bento M. C., Bertolami O., Sen A. A. The revival of the unified dark energy dark matter model // Phys. Rev. D. - 2004. - Vol. 70. - 083519 (arXiv: astro-ph 0407239).

4. Sahni V. Dark matter and dark energy // Led. Notes Phys.— 2004.— Vol. 653,- Pp. 141 180,- (arXiv: astro-ph 0403324).

5. Terner M. Dark matter and dark energy: the critical questions // Hub-ble's Science Legacy: Future Optical/Ultraviolet Astronomy from Space. — 2003. Vol. 291. - Pp. 253 - 272. - (arXiv: astro-ph 0207297).

6. Bilic N., Tupper G. B., Viollier R. D. Unification of dark matter and dark energy: the inhomogeneous chaplygin gas // Phys. Lett. B. — 2002. — Vol. 535. Pp. 17 - 21. - (arXiv: astro-ph 0111325).

7. Einasto J. Dark matter // Astroph. J. — 2009. — (arXiv: astro-ph 0901.0632).

8. Bertacca D., Matarrese S., Pietroni M. Unifed dark matter in scalar field cosmologies // Mod. Phys. Lett. A. 2007. - Vol. 22. - Pp. 2893 - 2907. -(arXiv: astro-ph 0703259).

9. Matos T., Urena-Lopez L. A. Quintessence and scalar dark matter in the universe // Class. Quant. Grav. 2000. - Vol. 17.- P. L75-L81.

10. Matos Т., Urena-Lopez L. A. Further analysis of a cosmological model with quintessence and scalar dark matter // Phys. Rev. D. — 2001. — Vol. 63. — 063506.

11. Matos Т., Urena-Lopez L. A. On the nature of dark matter // Int. J. Mod. Phys. D. 2004. - Vol. 13. - P. 2287-2291.

12. РадиоАетрон. Проект «радиоастрон». — URL: http: / / www.asc.rssi.ru / radioastron.

13. Кардашев H. С., и др. Радиоастрон (проект «спектр-р») радиотелескоп много больше земли, основные параметры и испытания // Вестник ФГУП НПО им С. А. Лавочкина. - 2011. - № 3. - С. 11 - 18.

14. Кардашев Н. С., и др. Радиоастрон (проект «спектр-р») радиотелескоп много больше земли, наземный сегмент и основные направления научных исследований // Вестник ФГУП НПО им С. А. Лавочкина. - 2011. - № 3. - С. 19 - 30.

15. Миллиметрон. Проект «миллиметрон». — URL: http: / / www.asc.rssi.ru/millimetron.

16. Wheeler J. A. Geons // Phys. Rev. 1955. - Vol. 97. - Pp. 511 - 536.

17. Wheeler J. A. Geometrodynamics. — New York: Academic Press, 1962.

18. Уилер Д. Гравитация, нейтрино и Вселенная. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962. — 402 с.

19. Хокинг С., Пенроуз Р. Природа пространства и времени, — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2000. — 160 с.

20. Марков М. А. Может ли гравитационное поле оказаться существенным в теории элементарных частиц // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. - С. 468-480.

21. Мицкевич Н. В. Физические поля в общей теории относительности. — М.: Наука, 1969.

22. Bronnikov К. A. Scalar-tensor theory and scalar charge // Acta Phys. Pol 1973. - Vol. 4. - Pp. 251 - 266.

23. Wyman M. Static spherically symmetric scalar field in general relativity // Phys. Rev. D. 1981. - Vol. 24. - Pp. 839 - 841.

24. Bechmann 0., Lechtenfeld 0. Exact black-hole solution with self-interacting scalar field // Class. Quant. Grav.— 1995.— Vol. 12.— Pp. 1473 1482,- (arXiv: gr-qc 9502011).

25. Dennhardt H., Lechtenfeld 0. Scalar deformations of schwarzschild holes and their stability 11 Int. J. Mod. Phys. A. 1998. - Vol. 13. - Pp. 741- 764. (arXiv: gr-qc 9612062).

26. Bronnikov K. A., Dehnen H., Melnikov V. N. Regular fantom black holes // Gen.Rel. Grav. (arXiv:gr-qc/0611022).- 2007,- no. 39.-Pp. 973 987.

27. Bronnikov K. A., Chernakova M. S. Charge black holes and unusual worm-holes in scalar-tensor gravity // Grav. Cosmol. — 2007. — Vol. 13. — Pp. 51- 55. (arXiv: gr-qc 0703107).

28. Tchemarina J. V., Tsirulev A. N. Spherically symmetric gravitating scalar fields, the inverse problem and exact solutions // Grav. Cosmol. — 2008. — no. 15.- Pp. 94 95.

29. Bronnikov K. A., Fabris J. C. Regular fantom black holes // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 96. - 251101 (arXiv: gr-qc 0511109).

30. Соловьев Д. А., Цирулев А. Н. Устойчивые круговые орбиты вблизи гравитируюгцих скалярных конфигураций // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. — 2010. — № №37 419. — С. 29 41.

31. Соловьев Д. А., Цирулев А. Н., Чемарина Ю. В. Математические модели гравитируюгцих конфигураций с фантомным скалярным полем // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика — 2011. — № №35 423. — С. 7 18.

32. Solovyev D. A., Tsirulev А. N. General properties and exact models of static selfgravitating scalar field configurations // Class. Quant. Grav. — 2012. № V. 29 055013 doi:10.1088/0264-9381/29/5/055013. - C. 17.

33. Аладьев В. 3. Системы компьютерной алгебры. Maple. Искусство программирования. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2006.— 792 с.

34. Дьяконов В. П. Maple 9 в математике, физике и образовании, — М.: Солон-Пресс, 2004. 688 с.

35. Артёмов И. Л. Fortran. Основы прораммирования. — М.: Диалог-МИФИ, 2007.- 304 с.

36. Немнюгин С., Стесик О. Фортран в задачах и примерах,— СПб.: БХВ-Петербург, 2008. 320 с.

37. Никонов В. В. Символьные и численные методы исследования гра-витирующих полей // Третьи Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках: Материалы Международной междисциплинарной научной конференции. — 2007. — С. 185 188.

38. Kardashev N. S., Novikov I. D., Shatskiy A. A. Astrophysics of worm-holes // Int. Jour, of Modern Phys. D.- 2007,- Vol. 16,- Pp. 909 -926,- (arXiv: astro-ph 0610441v2).

39. Новиков И. Д., Кардашев Н. С., Шацкий А. А. Многокомпонентная вселенная и астрофизика кротовых нор // Успехи физических наук. — 2007. Т. 177. - С. 1017 - 1023.

40. Tsirulev А. N. Gravitational fields with yang-mills curvature // Proc. 15th Int. Conf. High Energy Physics and Quantum Field Theory2001.— Pp. 382 384.

41. Tsirulev A. N. Curvature decomposition and the einstein-yang-mills egua-tions // Part. Nucl. JINR. 2004. - Vol. 1, no. 12(119).- Pp. 99 - 102.

42. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: В 2-х ч. Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 276 с.

43. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.2. Теория поля. М.: Наука, 1988.

44. Hawking S. W., Ellis G. F. R. Large scale structure of space-time // Cambridge: Cambridge University Press. — 1973.

45. Abramowicz M. A., Jaroszynski M., Kato S. Leaving the isco: the inner edge of a black-hole accretion disk at various luminosities // (arXiv: astro-ph/1003.3887). — 2005.

46. Ghez A. M., Salim S., Hornstein S. D. Stellar orbits around the galactic center black hole. // Astrophys. J. (arXiv: astro-ph/0306130). — 2005.— no. 620. Pp. 744 - 757.

47. Barret D. Kluzniak W., Olive J. F. On the high coherence of kilo-hz quasi-periodic oscillations // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. (arXiv: astro-ph/0412420). 2005. - no. 357. - Pp. 1288 - 1294.

48. Barret D., Olive J. F., Miller M. C. Supporting evidence for the signature of the innermost stable circular orbit in rossi x-ray data from 4u1636-536 // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. (arXiv: astro-ph/0101312).-07. no. 376. - Pp. 1139 - 1144.

49. Spergel D. N., Steinhardt P. J. Observational evidence for self-interacting cold dark matter // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84. - Pp. 3760 - 3763.

50. Hadamard J. Sur les problèmes aux derivees partielles et leur signification physique. 1902. - Pp. 49 - 52.

51. Гончарский A. В., Черепащук A. M., Ягола A. Г. Некорректные задачи астрофизики // M.: Наука. — 1985.

52. Fisher I. Z. Scalar mesostatic field with regard for gravitational effects // Zh.Èksper. Teoret. Fiz. (arXiv:gr-qc/9911008). 1948.- no. 18.-Pp. 636 - 640.

53. Bergmann O., Leipnik R. Space-time structure of a static spherically symmetric scalar field 11 Phys. Rev. 1957. - no. 107,- Pp. 1157 - 1161.

54. Azrez-Ainou M. Selection criteria for two-parameter solutions to scalar-tensor gravity // Gen. Rel. Grav. (arXiv:gr-qc/0912.1722). — 2008.— no. 42. Pp. 1427 - 1456.

55. Bronnikov K. A., Shikin G. N. Spherically symmetric scalar vacuum: no-go theorems, black holes and solitons // Grav. Cosmol. — 2002. — Vol. 8. — Pp. 107 116. - (arXiv: gr-qc 0109027).

56. Фролов В. П., Новиков И. Д. Физика чёрных дыр, — М.: Наука, 1991.

57. Новиков И. Д., Фролов В. П. Чёрные дыры во вселенной // УФН.— 2001. Т. 171, № 3. - С. 307 - 324.

58. Bizon P. Gravitating solitons and hairy black holes // Acta Phys. Polon. B. 1994. - Vol. 25. - Pp. 877 - 898. - (arXiv: gr-qc 9402016).

59. Никонов В. В., Цирулев А. Н., Чемарина Ю. В. Асимптотически-плоские решения уравнений Эйнштейна для гравитирующего сферически-симметричного скалярного поля // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. — 2007. — № 5(33). — С. 11 — 20.

60. Bekenstein J. D. Black holes: classical properties, thermodynamics, and heuristic quantization // Cosmology and Gravitation. Atlantisciences, France. 2000. - Pp. 1 - 85. - (arXiv: gr-qc 9808028).

61. Vanzo L. Black holes with unusual topology // Phys. Rev. D. — 1997. — Vol. 56. Pp. 6475 - 6483. - (arXiv: gr-qc 9705004).

62. Martinez C., Troncoso R. Electrically charged black hole with scalar hair // Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 74. - (arXiv: astro-ph 064007 8pp).

63. Mayo A. E., Bekenstein J. D. No hair for spherical black holes: charged and nonminimally coupled scalar field with self-interaction // Phys. Rev. D. 1996. - Vol. 54. - Pp. 5059 - 5069. - (arXiv: astro-ph 9602057).

64. Penrose R. Naked singularities // Ann. N. Y. Acad. Set. 2Ц.— 1973. — C. 125 134.

65. Nikonov V. V., Tchemarina J. V., Tsirulev A. N. A two-parameter family of exact asymptotically flat solutions to the einstein-scalar field equations // Class. Quant. Grav. 2008. - Vol. 25.- 138001.

66. Torres D. F. Accretion disc onto a static non-baryonic compact object // Nucl. Phys. В (arXiv:hep-ph/0201154). 2002,- no. 626,- Pp. 377 -391.

67. McClintock J. E., Narayan R., Davis S. W. Measuring the spins of accreting black holes // Class. Quantum Grav. — 2011. — no. 28. — P. 114009.

68. Schunck F. E., Mielke E. W. General relativistic boson stars // Class. Quantum Grav. (arXiv:astro-ph/0801.0307). 2003. - no. 20. - Pp. R301 - R356.

69. Visser M. Lorentzian wormholes: from einstein to hawking // AIP Press. — 1995.

70. Morris M. S., Torn K. S. Wormholes in space-time and their use for interstellar travels // Am. J. Phys. 1988. - Vol. 56. - Pp. 395 - 402.

71. Morris M. S., Torn K. S., Yurtsever U. Wormholes, time machines, and the weak energy condition // Phys. Rev. Lett.— 1988.— Vol. 61.— Pp. 1446 1449.

72. Sakellariadou M. Production of topological defects at the end of inflation // Lect. Notes Phys. 2008. - no. 738. - Pp. 359 - 392.

73. Sorkin R. D. Introduction to topological geons // Proc. NATO Adv. Study Inst, on Topological Properties and Global Structure of Space-Time, Erice, Italy. 1985. - May 12 - 22. - Pp. 249 - 270.

74. Sorkin R. D. On the relation between charge and topology // Journal of Physics A: Mathematical and General.— 1977.— no. 10(5).— Pp. 717 -725.

75. Ernst J. F. J. Linear and toroidal geons // Phys. Rev. — 1957. — Vol. 105,- Pp. 1665 1670.

76. Sushkov S. Wormholes supported by a phantom energy // Phys. Rev. D. — 2005. Vol. 70. - 043520 (arXiv: gr-qc 0502084).

77. Barcelo C., Visser M. Scalar fields, energy conditions and transversable wormholes // Class. Quant. Grav. 2000. - Vol. 17. - Pp. 3843 - 3864. -(arXiv: gr-qc 0003025).

78. Хуснутдинов Н. Р. Квазиклассические кротовые норы с/(падкой горловиной // ТМФ. 2004. - Т. 138. - С. 297 - 318.

79. Цирулев А. Н., Чемарина Ю. В. Сферически-симметричные топологические геоны // Вестник ТвГУ, серия Прикладная математика, — 2007. № 17(45). - С. 59 - 68.

80. Dowker F., Surya S. Topology change and causal continuity // Phys. Rev. D. 1998. - Vol. 58. - 124019 (arXiv: gr-qc 9711070).

81. Hochberg D., Visser M. Geometric wormhole throats // Proc. Haifa Workshop «The Internal Structure of Black Holes and Spacetime Singularities», Haifa, Israel. 1997. - June 29 - July 3. - Pp. 249 - 295. - (arXiv: gr-qc 9710001).

82. Louko J., Mann R. В., Marolf D. Geons with spin and charge // Class. Quant. Grav.- 2005,- Vol. 22,- Pp. 1451 1468,- (arXiv: gr-qc 0412012).