Математическое моделирование физико-химических процессов на основе метрических графов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Федоров Евгений Георгиевич

• Федоров Евгений Георгиевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Федоров Евгений Георгиевич

Реферат

Synopsis

Введение

ГЛАВА 1. Моделирование нейронных сетей

1.1 Обзор литературы и прикладной области

1.2 Общий обзор по моделированию нейронов

1.3 Динамика потенциалов в биологической сети

1.3.1 Модель Ходжкипа-Хаксли для потенциалов в нейронах

1.3.2 Модель ФитцХью-Нагумо для потенциалов в нейронах

ГЛАВА 2. Дискретная модель физико-химического процесса

на основе метрического графа

2.1 Построение дискретной модели

2.2 Построение модели сети биологических нейронов

2.3 Состояния равновесия для кольца нейронов

2.4 Устойчивость состояний равновесия для кольца нейронов

2.5 Численная проверка выводов по кольцу нейронов

2.6 Типы динамических поведений в кольце

2.7 Выводы

ГЛАВА 3. Непрерывная модель физико-химического процесса

на основе метрического графа

3.1 Построение непрерывной модели

3.2 Построение модели сети биологических нейронов

3.3 Построение численной схемы для моделирования системы

3.4 Численное моделирование системы

3.5 Выводы

ГЛАВА 4. Классификация типов динамического поведения

4.1 Показатели Ляпунова и размерность Каплана-Йорке

4.2 Численный поиск спектра Ляпунова

4.2.1 Нахождение спектра Ляпунова через аппроксимацию

4.2.2 Алгоритм Бенеттина

4.2.3 Алгоритм Стюарта

4.3 Модификация алгоритма Бенеттина для бесконечномерных

систем с запаздыванием

4.4 Алгоритмы численного исследования динамической системы с запаздыванием

4.4.1 Поиск размерности аттрактора

4.4.2 Поиск максимальной размерности системы

4.4.3 Поиск аттракторов через эволюцию по параметрам

4.4.4 Оценка размерностей состояний равновесия

4.4.5 Поиск и классификация аттракторов

4.5 Комплекс программ по анализу динамических систем с запаздыванием

4.5.1 Особенности реализации

4.5.2 Функциональности для анализа и исследования

4.5.3 Модуль визуализации

4.5.4 Схема разработанного комплекса

4.6 Валидация разработанного комплекса

4.7 Применение комплекса программ для поиска хаотических аттракторов и их характеристик

4.8 Выводы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Тексты публикаций

Реферат

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование физико-химических процессов на основе метрических графов»

Общая характеристика диссертации Актуальность темы

Сейчас из-за развития технологий, медицины, постоянной гонки за эффективностью актуальны задачи математического моделирования физико-химических систем в тонких трубках. Такие задачи часто могут встречаться в биологических системах, химических реакциях, наносистемах, квантовых системах и других направлениях. Почти все современные разработки требует всестороннего изучения, где и возникает необходимость в качественных математических моделях и методах исследования. Стоит отметить, что сейчас в том числе особое внимание уделяется задачам химической кинетики и задачам моделирования биологических нейронных сетей.

Разработка методов для определения, прогнозирования и управления предельными динамическими свойствами моделей сейчас играет важную роль во многих областях. Например, при бурении скважин нежелательные режимы могут привести к авариям, жертвам, загрязнению окружающей среды и многомиллионным убыткам. Анализ предельных состояний требуется при разработке и эксплуатации различных турбин и двигателей для стабильной и безопасной работы. Определение ритмов функционирования части нейронных сетей в человеческом мозге способно предотвратить и помочь в лечении таких болезней, как болезнь Паркинсона и эпилепсия. То есть определение типа динамического поведения и управление динамическим поведением сети позволяет определять и предсказывать нежелательные поведения, а также восстанавливать нормальные ритмы функционирования сети и создавать высокоэффективные системы.

В рамках текущей работы разрабатываются методы для определения предельных динамических свойств и для решения этой задачи используется

математическая модель описания системы с помощью дифференциальной уравнений с запаздыванием. Соответственно разработанный подход может быть применен к более широкому классу задач, чем физико-химические процессы в тонких трубках - для моделей, описываемых дифференциальным уравнением со стационарной задержкой.

Начиная с середины XX века применение дифференциальных уравнений с задержкой набирает все большую популярность для описания различных систем в физике, химии, биологии, социологии, политике и т.д. В связи с этим есть большой интерес к изучению динамических моделей, основанных на дифференциальных уравнениях с запаздыванием. Но на данный момент, в том числе, в связи с формальной бесконечномерностью таких моделей, по-прежнему аналитические методы позволяют решать очень ограниченный круг задач или для особых частных случаев, а численные методы требуют серьезных вычислений и часто основаны на гипотезах и предположениях. Активные работы по этим направлениям ведутся и по сей день.

Цель

Целью работы является повышение предсказательной способности математического моделирования предельных динамических свойств моделей на метрических графах.

Задачи

Задача 1 - обзор литературы

Провести обзор литературы по математическому моделированию с применением метрических графов. Выявить существующие методы и подходы для

решения задачи анализа предельных динамических свойств

Задача 2 - разработка методов математического моделирования

Разработать методы математического моделирования на метрическом графе на основе моделирования состояний только вершин графа и на основе моделирования состояний и вершин, и ребер графа

Задача 3 - разработка метода определения предельных динамических свойств

Развить метод математического моделирования для описания предельных свойств математической модели, на основе которого разработать алгоритм и численные методы для определения предельных динамических свойств

Задача 4 - реализация комплекса программ

Реализовать набор программ на основе алгоритмов и методов по определению предельных динамических свойств. Провести оптимизацию, интеграцию реализованных численных методов, разработку интерфейса для комплекса программ, как инструмента анализа предельных динамических свойств

Задача 5 - валидация разработанного комплекса программ Провести валидацию реализованного алгоритма и комплекса программ

Методы исследования

В работе были использованы следующие методы исследования: 1) аналитический анализ моделей на основе методов теории управления и нелинейной динамики: анализ стационарных состояний, анализ устойчивости, бифуркационный анализ, исследование аппроксимированных моделей, отображения Пуанкаре, методы Ляпунова, метод Пирагаса, критерии глобальной

устойчивости. Также для этого анализа моделей были рассмотрены аппроксимированные модели и отображения Эйлера.

2) численный и имитационный анализ математических моделей: построены и реализованы разностные схемы, реализованы методы численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и моделей с задержкой, доработаны и реализованы методы расчета спектра ляпуновских показателей и размерности Каплана-Йорке. Для повышения скорости выполнения реализуемых методов выбран язык С++ и проводились анализ исполнения кода и профилирование для повышения скорости расчетов. Часть методов реализована на Python. Также для анализа и исследования были использованы математические системы Wolfram Mathematica, MATLAB и Maple.

3) общие методы сравнения и тестирования математических моделей и подходов: сравнение предсказательных свойств разных моделей, сравнение скорости и сложности изучения моделей, тестирование на основе сравнения численных и аналитических результатов, тестирование на основе сравнения с существующими подходами.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Метод математического моделирования предельных состояний динамической системы с запаздыванием, основанный на размерности Каплана-Йорке траекторий математической модели, и метод математического моделирования физико-химических процессов на сетевых структурах, основанный на непрерывном моделировании на метрическом графе;

2. Численный метод поиска и классификации аттракторов в динамических системах, порожденных дифференциальными уравнениями со стационарной задержкой, основанный на разработанном математическо методе моделирования, а также реализующий его комплекс программ.

Научная новизна

Научная новизна состоит в применении динамического шага интегрирования при поиске показателей Ляпунова для бесконечномерных моделей, что позволило увеличить скорость расчета. Дополнительный подход к уточнению нулевого показателя Ляпунова, как самого неустойчивого в численных процедурах расчета, который позволил увеличить точность классификации траекторий и точность определения размерности Каплана-Йорке. Также новизной является использование специально построенных характеристик траекторий и учет их при дальнейшей кластеризации для анализа предельных динамических поведений, что позволило в автоматическом режиме разделять траектории, стремящиеся к разным аттракторам. Проведенное сравнение построенных математических моделей, основанных на моделировании только вершин и на моделировании вершин и ребер метрического графа, что позволило сделать вывод об аналогичных предсказаниях этих моделей.

Объект исследования

Объектом исследования являются математические модели для описания физико-химических процессов на сетевых структурах.

Предмет исследования

Предметом исследования являются математические методы для анализа предельных динамических свойств объекта исследования.

Теоретическая значимость

Теоретическая значимость обеспечена разработанными и доработанными математическими моделями на метрических графах, которые могут стать основой для дальнейшего исследования методов моделирования. Как показано, разработанные модели позволяют описывать основные свойства исходной системы и эффективно оценивать ее характеристики. Также значимость имеют методы для численного анализа математических моделей, которые могут быть применены для широкого круга моделей и исследовательских задач.

Отдельно при тестировании методов и подходов получены результаты в рамках анализа биологических нейронных сетей, это предоставляет возможности для продолжения анализа, разбора новых типов топологий и поиска зависимостей поведения от параметров математической модели.

Полученные результаты могут быть востребованы как для общего понимания механизмов функционирования сетей, так и для конкретных задач диагностики определенных эффектов или нежелательных поведений, а при необходимости, и нормализации поведения.

Практическая значимость

Практическая значимость обеспечена расширением научно-практического инструментария исследования физико-химических процессов в сетевых структурах. Отдельную значимость имеют алгоритмы и инструменты для проведения анализа динамических систем с постоянной задержкой. Разработанный комплекс помогает в поиске, оценке, классификации и визуализации аттракторов. Также результаты могут позволить заранее предотвращать нежелательные поведения и повышать эффективность функционирования исходной математической модели в целом.

Достоверность

В данной работе достоверность полученных аналитических результатов подтверждается численными экспериментами. Результаты по реализации алгоритмов проверяются на соответствие теоретическим результатам, а для алгоритма расчета спектра Ляпунова было проверено соответствие старшего показателя Ляпунова результатам существующих алгоритмов по оценке старшего показателя, также проведено сравнение старшей части спектра Ляпунова для состояний равновесия с аналитическими результатами. Для алгоритма поиска и классификации аттракторов проведена выборочная проверка результатов с визуальными представлениями математической модели.

Апробация результатов работы

Результаты, полученные в рамках исследования, были представлены на 4-ех международных и 4-ех всероссийских конференциях:

1. XI Конгресс молодых ученых, университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, Апрель 4-6, 2022;

2. XV Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании", Саранск, Россия, 15-18 июля 2021;

3. SaintPetersburg OPEN 2021, НИУ ВШЭ, Санкт-Петербург, Россия, Май 25-28, 2021;

4. X Конгресс молодых ученых, университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, Апрель 14-17, 2021;

5. Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems, "Pierre Duelos Workshop ITMO University, Saint Petersburg, Russia, September 14-16, 2020;

6. IX Конгресс молодых ученых, университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, Апрель 15-18, 2020;

7. Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems, "Pierre Duelos Workshop ITMO University, Saint Petersburg, Russia, September 19-20, 2019;

8. 6th Najman Conference on Spectral Theory and Differential Equations , Sveti Martin Na Muri, Croatia, September 08-13, 2019;

Личный вклад автора

Личный вклад автора диссертации состоит в проведении всех основных работ и исследований: проведение первоначального поиска, построение математических моделей, аналитический и численный анализ, доработка и реализация численных алгоритмов и программ, подготовка и оформление результатов. Вклад Попова И.Ю. состоит в научном руководстве данного исследования.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из реферата, введения, 4-ех основных глав, заключения, списка литературы, списка рисунков, приложений и текстов публикаций. Объем диссертации 180 страниц, 46 рисунков, 94 ссылок на литературные источники.

Основное содержание работы

Во Введении описана краткая характеристика данной работы: обозначена актуальность темы, зафиксированы цели и задачи исследования, описаны

основные используемые методы анализа, указаны основные результаты, выносимые на защиту, описана научная новизна, определены объект и предмет исследования, показаны теоретическая и практическая значимость, показана обеспеченная достоверность, указан личный вклад автора в данном исследовании, описана структура диссертации и перечислены публикации, конференции и научные проекты/конкурсы автора по теме исследования.

Глава 1 посвящена общему обзору прикладной области, которая будет использоваться для тестирования и валидации разрабатываемых моделей и методов, а именно моделированию биологических нейронов. Также в этой главе рассматриваются основные модели для описания одного нейрона и делается аргументированный выбор в пользу модели ФитцХью-Нагумо. Эта модель далее будет использована в работе, как основная модель нейрона.

Раздел 1.1 посвящен общему обзору литературы и содержит: историю развития дифференциальных систем с задержкой, краткое описание теории динамических систем, особенности динамических систем с задержкой, описание моделей в биологии, где используются системы с запаздыванием, актуальность исследования биологических нейронных сетей, обзор исследований биологических нейронных сетей с задержкой.

Раздел 1.2 содержит общий обзор по теме математического моделирования небольших связанных сетей нейронов и изучению свойств таких сетей. Обозначено текущее состояние исследований.

В разделе 1.3 описываются основные модели для биологического нейрона, рассмотрены преимущества и недостатки моделей. В итоге сделан выбор в пользу модели ФитцХью-Нагумо, как модели способной воспроизвести основные типы поведений нейрона и являющейся вычислительно более простой, чем модели со схожими предсказательными свойствами нейрона.

Модель Ходжкина-Хаксли была создана на основе экспериментов с гигантским аксоном кальмара и представляет из себя следующую систему:

' й^к = + 9кпА{Ут - Ук) + дМат3к(Ут - УНа) + сМ(Ут - У1),

§ = ап( Ут)(1 -п) - вп(Ут)п,

^ = ат(Ут)(1 -т) - $т(Ут)т, '

§ = ан( Ут)(1 - К) - вн(Ут)Ь

(1)

-У

где функции определяются следующим образом:

ап(У) = О-°101() - У), вп(У) = 0.125е^,

ею - 1

ат(У) = °.1!(25 -У', ) = 4Ъ,

ею - 1 ан(У) = 0.07е , вн(У)= 1

30-У

ею +1

Ст - емкость мембраны, Ут - потенциал на мембране, дк и ~ проводимости калиевых и натриевых каналов соответственно, У к и У^а ~ стационарные потенциалы калиевых и натриевых каналов соответственно, д1У1 - проводимость и потенциал равновесия для утечки.

Модель ФитцХью-Нагумо была получена из аналитических соображений. Сама модель имеет вид:

{

и = —аи +(а + 1)и2 — и3 — у + 1 , ч

• , ( ) ' ® V = ои - уу

и( ) ( )

мент времени а, Ь, у являются постоянными параметрами, а / - это внешний ток к нейрону.

Обе модели позволяют воспроизводить основные особенности поведений нейронов, однако модель ФитцХью-Нагумо существенно проще для проведения численных экспериментов.

В Главе 2 строится и исследуется первый математический метод моделирования - описание физико-химического процесса для сетевой структуры с

помощью дискретного графа и дифференциальных уравнений с запаздыванием.

В рамках этого математического метода моделирования вся исходная структура представляется в виде ориентированного графа, далее с помощью непрерывных функций описывается состояния вершин графа, а ребра соответствуют направленной зависимости между вершинами. Время задержки при связи между вершинами будем считать длиной соответствующего ребра. Итоговая модель описывается в виде системы дифференциальных уравнений для состояний вершин с учетом влияния между вершинами, которое осуществляется с задержкой. Для описанной модели обозначены основные подходы ее исследования.

Для тестирования метода рассматриваемая сеть биологических нейронов представляется в виде точечных нейронов, описываются потенциалы самих нейронов, а связь между ними происходит с задержкой. Для этой модели построена система дифференциальных уравнений с запаздыванием. Далее идет аналитический и численный анализ построенной математической модели. Также для этой модели выделены основные типы динамического поведения.

В качестве результатов определены все состояния равновесия в зависимости от параметров нейрона, разработаны условия устойчивости для них в мгновенной модели (без задержки). После чего определены критические значения задержки времени в передаче импульса, которые соответствуют смене устойчивости состояний равновесия и появлению или исчезновению периодических решений или более сложных аттракторов. Также результатами является вывод о нелинейной зависимости периода собственных колебаний от количества нейронов в сети-кольце. Найдены значения параметров, при которых в данной модели без постоянного внешнего воздействия возникает хаотический аттрактор.

В разделе 2.1 в общем виде описывается математический метод моделирования на основе дискретного графа для исходной системы.

Первый шаг создания модели - представление исходной сетевой структуры в виде дискретного графа. Второй шаг - описание функций-состояний для вершин графа. Третий шаг - описание зависимостей между вершинами графа.

Пусть у нас выделено п элементов - вершин в графе, пусть для каждой вершины % множество состоит из номеров вершин, которые влияют на вершину % (здесь могут быть как ребра в себя, так и мультиребра). Тогда исходная задача моделируется следующим образом:

úi(t) = fi{ui(t)) + дг Yl (t — М ' (3)

\keAi )

где щ(t) - переменная состояния узла i в момент времени t, fi(u),g¡(u) - внутренняя функция узла i, Ci^, - коэффициент силы связи и задержка между &-ой вершины множества A¡ и вершиной i. В общем случае и c¡^, T^ могут зависеть от времени, но в рамках данной работы они зафиксированы, хотя разрабатываемые методы могут быть доработаны и для случая непостоянных значений.

Среди основных методов исследования построенной модели можно выделить следующие: поиск и классификация состояний равновесия в модели, определение типов устойчивости состояний равновесия, поиск аттракторов и репеллеров (периодические траектории, хаотические аттракторы, отталкивающие инвариантные многообразия), расчет количественных характеристик аттракторов, бифуркационный анализ.

В разделе 2.2 строится модель сети в виде ориентированного кольца биологических нейронов на основе модели ФитцХью-Нагумо для тестирования математической модели.

Итоговая модель записывается следующим образом:

и 1 = — аи1 + (а + 1)и? — и\ — v1 + с tanh(w^)

щ = Ьщ — jv\

и? = —аи? + (а + 1)w? — и? — v? + с tanh(^T)

i) ? = bu? — yv? , (4)

un = —aun + (a + l)^ — — vn + с tanh(w^_ 1) ÍJn = bun — yvn

где Ui(t) соответствует потенциалу ¿-ого нейрона в момент времени a v¡(t) -функция внутреннего состояния в момент времени t, а,Ь, у - положительные

и](1) = и( - т), г = 1, 2,.. .п.

Графическое представление приведено на рисунке (0.1).

Ч

ч

Рисунок 0.1 Схематичное изображение ориентированного кольца связанных

нейронов

В разделе 2.3 для построенной ранее модели идет поиск количества состояний равновесия в зависимости от параметров сети.

В результате получены следующие условия для определения состояний равновесия:

1) а + ^ > с, тогда у рассматриваемого уравнения нет отрицательных решений,

2) а + ^ < с, тогда у рассматриваемого уравнения есть только одно отрицательное и одно положительное решение.

В разделе 2.4 проводится анализ для определения устойчивости найденных состояний равновесия для случая отсутствия в модели задержки при передаче импульса между нейронами. Далее ищутся критические значения задержки, которые соответствуют локальным бифуркациям модели, а значит, позволяют отделить устойчивые равновесия (в том числе асимптотическую устойчивость от периодических колебаний и более сложных поведений.

В результате анализа характеристического уравнения определены кандидаты в бифуркации для параметра задержки передачи импульса, которые потом будут разделены на группы:

^ 1

ш = ^2 (- (а2 + У2 - с'2 - 26) (а2 - у2 - с'2)2 - 4Ь ((а + у)2 - с'2)^ ^ 2

т =±ягс+д;(-ш(ш2+У2)+ъЛ + ж к ?

+У2)+Ьу I пш 1

(5)

где а = Эи2 - 2щ(а + 1) + а, с' = у щ - потенциал нейрона в состоянии равновесия.

И итоговые условия по устойчивости и поиску кандидатов в бифуркации:

1) Если с > а + то есть три состояния равновесия (и < 0,и = 0, и > 0), при этом нулевое состояние равновесия будет неустойчивым для т = 0, и останется

т

чество корней с положительной вещественной частью, но она это количество только увеличивает).

2) Если с < а + то есть либо одно состояние равновесия (и = 0), либо и = 0, и > 0, и > 0

Для состояний равновесия получены следующие результаты:

1) Если с' > а + у или с' > а + то состояние равновесия неустойчивое при т = 0. Если же с' < а + у и с' < а + то оно асимптотически устойчивое.

2) Если с' > |а + ^ |, то (состояние равновесия неустойчивое прит = 0) состо-

т

меняющей количество корней с положительной вещественной частью, но она это количество только увеличивает).

3) Иначе, если 2ау + 2у2 + Ь < 0 и с'2 > а2 + у2 - 26, то есть две серии смены количества корней с положительной вещественной частью, обе из которых увеличивают это число. Если 2ау + 2у2 + Ь > 0 и с'2 > а2 - у2 - 2 Ь +

2у/2а6у + 2Ьу2 + Ь2, то есть две серии смены количества корней с положительной вещественной частью, одна из которых уменьшает число корней, другая увеличивает (та, что с меньшим периодом). Иначе серий смены нет, асимптоти-

т

В разделе 2.5 полученные в предыдущих разделах результаты проверяются численно. Для интегрирования модели используется пакет Wolfram Mathematica. В результате проверено, что при переходе через найденные критические точки действительно происходит смена типа устойчивости состояний равновесия. Также проверен вывод о нелинейной зависимости периода собственных колебаний от количества нейронов.

В разделе 2.6 перечислены основные типы динамического поведения, которые обнаружены в этой модели при аналитических и численных исследованиях.

Были обнаружены следующие типы динамического поведения:

— Асимптотическая устойчивость;

— Синхронные периодические колебания;

— Асинхронные периодические колебания;

— Мультистабилыюсть (два устойчивых состояния равновесия, состояние равновесия и периодическая траектория, синхронные и асинхронные колебания) (рисунок 0.2);

— Хаотическая динамика (рисунок 0.3).

0.02, с = 0.5, т = 7, иод = 0.5, щ,2 = а = 0.15,6 = 0.02, у = 0.02, с = 0, и'оА = 0.5, ^о,2 = 0 0.2, т = 11.7, иод = 0.01, ^2 = 0

Раздел 2.7 посвящен выводам по итогам всей главы, зафиксированы основные результаты.

В Главе 3 строится и исследуется второй математический метод моделирования описание физико-химического процесса для сетевой структуры с помощью метрического графа и дифференциальных уравнений в частных

производных для описания состояния в каждой точке графа. То есть теперь моделируется не просто дискретное состояние вершин графа и связь с задержкой между ними, но состояние в каждой точке ребер графа.

Тестирование проводится для небольшой сети биологических нейронов. В этой модели помимо нейронов рассматриваются еще аксоны, вдоль которых потенциал описывается в каждой точке. Таким образом задержка в передаче импульса между нейронами будет связана с конечной скоростью передачи его через аксоны. Для этой модели построена система уравнений в частных производных. Далее для нее строится разностная схема, на основе которой проводится дальнейшее исследование и поиск критической скорости распространения импульса.

Результатами главы является построенная разностная схема и вывод о схожести непрерывной и дискретной модели с точки зрения типов динамического поведения.

В Разделе 3.1 в общем виде описывается метод математического моделирования на основе метрического графа для исходной системы.

Первый шаг создания модели - представление исходной сетевой структуры в виде метрического графа. То есть описываются вершины и ребра фиксированной длины. Второй шаг - описание функций-состояний для каждой точки ребер графа. Тритий шаг - модель дополняется условиями склейки в вершинах графа.

Пусть у нас выделено п ребер в графе. Тогда исходная система моделируется следующим образом:

диг (t,x) fdui(t,x) Л

где Ui(t, х) - переменная состояния ребра i в момент времени t ив точке ребра х, fi(u) - внутренняя функция ребра i. Далее для модели необходимо указание условий склейки в вершинах графа. Здесь конкретные условия зависят от задачи, приведены базовые типы условий.

В Разделе 3.2 строится непрерывная модель движения импульса между нейронами на основе модели ФитцХью-Нагумо в частных производных и граничных условий склейки для тестирования математической модели.

То есть была рассмотрена следующая модель:

^ = Ъщ - ууг

ди\

т

ду 1

дг ди,2 дг

ду 2

дг

ди3

дг

ду з

дг

оЙ1 - ащ + (а + 1)и\ - и1 - ^

В- аи2 + (а + 1)^2 - и2 - ^2

д-дУ2 = Ьщ - УУ2

Вдди - ащ + (а + 1)^1 - мЦ - 1>з Ьщ - ууз

где г = 1, 2, 3, функции щ^,х) и VI(Ъ,х) описывают состояние соответствующего нейрона в момент времени £ в точке аксона ж, а, Ь, у являются постоянными параметрами, & И параметр, соответствующий скорости распространения волны. С условиями Неймана и склейки:

щ^, 0) = щ^,Ь) + из(г,Ь), из(Ъ, 0) = и2{Ъ,Ь),

-х (^ °) = 0 -х Ь0) = o,

дх д и

зх = о, -Х (4,ю =0

дх а.ь) = о, -х = а

-х ьц = 0 -УХ =0

(8)

Графическое представление приведено на рисунке (0.4).

Рисунок 0.4 Связи нейронов для непрерывной модели из 3-ех нейронов

В Разделе 3.3 строится разностная схема для дальнейших численных экспериментов. Схема строится на основе разностных формул аппроксимации производных и модификации стандартного метода прогонки.

Итоговый вид схемы для одного из нейронов:

а = ^, в1 = §■;

а- 1 = г

г+1 1+2г—га'

аг+1

1 = 1. . .п — 1;

„ (п,к) = №„-1+(2г—1)Р» ;

а1 2 г—(2^—1)а ;

0)

<

V

В Разделе 3.4 показаны результаты применения разработанной разностной схемы. Найдены критические значения длины аксона (напрямую влияет на время передачи импульса между нейронами).

Раздел 3.5 посвящен выводам по итогам всей главы, зафиксированы основные результаты, в том числе о схожести предсказаний непрерывной и дискретной моделей.

В Главе 4 рассмотрены методы классификации аттракторов с учетом хаотической динамики. В качестве основного берется расчет размерности Ка-плана-Йорке, поскольку она является верхней оценкой на хаусдорфову и фрактальную размерности, а также позволяет классифицировать устойчивые состояния равновесия, периодические траектории и гиперторы, хаотические аттракторы, гиперхаос. Далее описан метод, на основе расчета спектра Ляпунова, который позволяет находить основные аттракторы в модели, включая скрытые, и определять их тип.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Федоров Евгений Георгиевич, 2023 год

Список литературы

1. Introduction to focus issue: Time-delay dynamics / T. Erneux, J. Javaloyes, M. Wolfrum, S. Yanchuk // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2017. - Vol. 27, no. 11. - P. 114201.

2. Stepan G. Delay effects in brain dynamics // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences — 2009. — Vol. 367, no. 1891. - Pp. Ю59-1062.

3. Delayed complex systems: an overview / W. Just, A. Pelster, M. Schanz, E. Scholl // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2010. — Vol. 368, no. 1911. — Pp. 303-304.

4. Liu L., Kalmar-Nagy T. High-dimensional harmonic balance analysis for second-order delay-differential equations // Journal of Vibration and Control. — 20Ю. - Vol. 16, no. 7-8. - Pp. 1189-1208.

5. Balachandran В., Kalmar-Nagy Т., Gilsinn D.E. Delay differential equations.

— Springer, 2009.

6. Erneux T. Applied delay differential equations. — Springer Science & Business Media, 2009. - Vol. 3.

7. Atay F.M. Complex time-delay systems: theory and applications. — Springer, 2010.

8. Smith H.L. An introduction to delay differential equations with applications to the life sciences. — Springer New York, 2011. — Vol. 57.

9. Lakshmanan M.. Senthilkumar D. V. Dynamics of nonlinear time-delay systems.

— Springer Science & Business Media, 2011.

10. Insperger Т., Stepan G. Semi-discretization for time-delay systems: stability and engineering applications. — Springer Science & Business Media, 2011. — Vol. 178.

11. Härtung F., Pituk M. Recent advances in delay differential and difference equations. — Springer, 2014. — Vol. 94.

12. Mарчу к Г. И. Математическое моделирование в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. 3-е издание перераб. и доп. — Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1991.

13. Теория и приложения бифуркации рождения цикла: Пер. с англ / Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн, Ю.А. Кузнецов. — Мир, 1985.

14. Логофет Д. О., Свирежев Ю.М. Устойчивость биологических сообществ. — М.: Науки. 352 с, 1978.

15. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии / / Труды Математического института имени В А Стеклова. - 1993. - Vol. 199, по. 0. - Pp. 3-124.

16. Hodgkin A.b., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // The Journal of physiology. — 1952. — Vol. 117, no. 4. — Pp. 500-544.

17. Schneider F.M., Schöll E., Dahlem M.A. Controlling the onset of traveling pulses in excitable media by nonlocal spatial coupling and time-delayed feedback // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2009. — Vol. 19, no. 1. - P. 015110.

18. Time-delayed feedback in neurosystems / E. Schöll, G. Hiller, P. Hövel, M.A. Dahlem // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2009. — Vol. 367, no. 1891. — Pp. 1079-1096.

19. Coombes S., Laing C. Delays in activity-based neural networks // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 2009. - Vol. 367, no. 1891. - Pp. 1117-1129.

20. Ermentrout B., Ko T.-W. Delays and weakly coupled neuronal oscillators // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2009. — Vol. 367, no. 1891. — Pp. 1097-1115.

21. Controlling chaos in the brain / S.J. Schiff, K. Jerger, D.H. Duong et al. // Nature. - 1994. - Vol. 370, no. 6491. - Pp. 615-620.

22. Rosenblum M. G., Pikovsky A.S. Controlling synchronization in an ensemble of globally coupled oscillators // Physical, Review Letters. — 2004. — Vol. 92, no. 11. - P. 114102.

23. Popovych O.V., Hauptmann C., Tass P.A. Effective desynchronization by nonlinear delayed feedback // Physical review letters. — 2005. — Vol. 94, no. 16. — P. 164102.

24. Richardson K.A., Schiff S.J., Gluckman B.J. Control of traveling waves in the mammalian cortex // Physical review letters. — 2005. — Vol. 94, no. 2. — P. 028103.

25. Gassel M.. Glatt E., Kaiser F. Time-delayed feedback in a net of neural elements: Transition from oscillatory to excitable dynamics // Fluctuation and Noise Letters. - 2007. - Vol. 7, no. 03. - Pp. L225-L229.

26. Green fluorescent protein as a marker for gene expression / M. Chalfie, Y. Tu, G. Euskirchen et al. // Science. - 1994. - Vol. 263, no. 5148. - Pp. 802-805.

27. Popovych O.V., Hauptmann C., Tass P.A. Control of neuronal synchrony by nonlinear delayed feedback // Biological cybernetics. — 2006. — Vol. 95, no. 1. - Pp. 69-85.

28. Low-power circuits for brain-machine interfaces / R. Sarpeshkar, W. Wattana-panitch, S.K. Arfîn et al. // IEEE Transactions on Biomedical Circuits and Systems. - 2008. - Vol. 2, no. 3. - Pp. 173-183.

29. Orosz G., Moehlis J., Murray R.M. Controlling biological networks by time-delayed signals // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2010. — Vol. 368, no. 1911. — Pp. 439-454.

30. Romeira B., Figueiredo J.ML., Javaloyes J. Delay dynamics of neuromorphic optoelectronic nanoscale resonators: Perspectives and applications // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2017. — Vol. 27, no. 11. — P. 114323.

31. Lefebvre J., Longtin A., LeBlanc V. G. Dynamics of driven recurrent networks of ON and OFF cells // Physical Review E. - 2009. - Vol. 80, no. 4. - P. 041912.

32. Hutt A., Mierau, A., Lefebvre J. Dynamic control of synchronous activity in networks of spiking neurons // PloS one. — 2016. — Vol. 11, no. 9. — P. e0161488.

33. Tuckwell H.C., Rodriguez R. Analytical and simulation results for stochastic Fitzhugh-Nagumo neurons and neural networks // Journal of Computational Neuroscience. — 1998. — Vol. 5, no. 1. — Pp. 91-113.

34. Plotnikov S.A., Fradkov A.L. On synchronization in heterogeneous Fit/Hugh -Nagumo networks // Chaos, Solitons & Fractals. — 2019. — Vol. 121. — Pp. 85-91.

35. Synchronization in heterogeneous FitzHugh-Nagumo networks with hierarchical architecture / S.A. Plotnikov, J. Lehnert, A.L. Fradkov, E. Scholl // Physical, Review E. - 2016. - Vol. 94, no. 1. - P. 012203.

36. Synchronization and chimeras in a network of photosensitive FitzHugh-Nagumo neurons / I. Hussain, S. Jafari, D. Ghosh, M. Perc // Nonlinear Dynamics. — 2021. - Vol. 104, no. 3. - Pp. 2711-2721.

37. Mean-field description and propagation of chaos in networks of Hodgkin-Hux-ley and FitzHugh-Nagumo neurons / J. Baladron, D. Fasoli, O. Faugeras, J. Touboul // The Journal of Mathematical Neuroscience. — 2012. — Vol. 2, no. 1. - Pp. 1-50.

38. Acebron J.A., Bulsara A.R., Rappel W.-J. Noisy FitzHugh-Nagumo model: From single elements to globally coupled networks // Physical Review E. — 2004. - Vol. 69, no. 2. - P. 026202.

39. Fourier analysis of sinusoidally driven thalamocortical relay neurons and a minimal integrate-and-fire-or-burst model / G.D. Smith, C.L. Cox, S.M. Sherman, J. Rinzel // Journal of neurophysiology. — 2000. — Vol. 83, no. 1. — Pp. 588-610.

40. Morris C., Lecar H. Voltage oscillations in the barnacle giant muscle fiber // Biophysical journal. — 1981. — Vol. 35, no. 1. — Pp. 193-213.

41. Rose R.M., Hindma/rsh J.L. The assembly of ionic currents in a thalamic neuron I. The three-dimensional model // Proceedings of the Royal Society of London. B. Biological Sciences. - 1989. - Vol. 237, no. 1288. - Pp. 267-288.

42. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophysical journal. — 1961. — Vol. 1, no. 6. — P. 445.

43. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon // Proceedings of the IRE. — 1962. — Vol. 50, no. 10. — Pp. 2061-2070.

44. Izhikevich E.M. Simple model of spiking neurons // IEEE Transactions on neural networks. - 2003. - Vol. 14, no. 6. - Pp. 1569-1572.

45. Clay J.R., Shrier A. On the role of subthreshold dynamics in neuronal signaling // Journal of theoretical biology. — 1999. — Vol. 197, no. 2. — Pp. 207-216.

46. Izhikevich E.M. Dynamical systems in neuroscience. — MIT press, 2007.

47. The Fitzhugh-Nagumo model: Firing modes with time-varying parameters & parameter estimation / R.T. Faghih, K. Savla, M.A. Dahleh, E.N. Brown // 2010 Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology / IEEE. - 2010. - Pp. 4116-4119.

48. Baer S.M., Erneux T. Singular Hopf bifurcation to relaxation oscillations // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 1986. — Vol. 46, no. 5. — Pp. 721-739.

49. Yanagita T., Ichinomiya T., Oyama Y. Pair of excitable fitzhugh-nagumo elements: Synchronization, multistability, and chaos // Physical Review E. — 2005. - Vol. 72, no. 5. - P. 056218.

50. Shuai J.-W., Durand D.M. Phase synchronization in two coupled chaotic neurons // Physics Letters A. - 1999. - Vol. 264, no. 4. - Pp. 289-297.

51. Mao X., Wang Z. Stability, bifurcation, and synchronization of delay-coupled ring neural networks // Nonlinear Dynamics. — 2016. — Vol. 84, no. 2. — Pp. 1063-1078.

52. Aqil M.. Hong K.-S., Jeong M.-Y. Synchronization of coupled chaotic FitzHugh-Nagumo systems // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2012. — Vol. 17, no. 4. — Pp. 1615-1627.

53. Adaptive chaos synchronization of FitzHugh-Nagumo neurons / T.-W. Lai, J.-S. Lin, T.-L. Liao, J.-J. Yan // Asian Simulation Conference / Springer. _ 2007. - Pp. 142-150.

54. Buric N., Todorovic D. Dynamics of FitzHugh-Nagumo excitable systems with delayed coupling // Physical Review E. — 2003. — Vol. 67, no. 6. — P. 066222.

55. Song Z., Xu J., Zhen B. Multitype activity coexistence in an inertial two-neuron system with multiple delays // International Journal of Bifurcation and Chaos. _ 2015. - Vol. 25, no. 13. - P. 1530040.

56. Xu C., Zhang Q., Wu, Y. Bifurcation analysis in a three-neuron artificial neural network model with distributed delays // Neural Processing Letters. — 2016. — Vol. 44, no. 2. - Pp. 343-373.

57. Karaoglu E., Yilmaz E., Merdan H. Stability and bifurcation analysis of two-neuron network with discrete and distributed delays // Neurocomputing. — 2016. _ v0i. 182. _ Pp. 102-110.

58. Xu C. Local and global Hopf bifurcation analysis on simplified bidirectional associative memory neural networks with multiple delays // Mathematics and Computers in Simulation. — 2018. — Vol. 149. — Pp. 69-90.

59. Robust stabilization control of bifurcations in Hodgkin-Huxley model with aid of unscented Kalman filter / Y. Che, B. Liu, H. Li et al. // Chaos, Solitons & Fractals. - 2017. - Vol. 101. - Pp. 92-99.

60. Zhang Q. Robust synchronization of FitzHugh-Nagumo network with parameter disturbances by sliding mode control // Chaos, Solitons & Fractals. — 2014. — Vol. 58. - Pp. 22-26.

61. Liu Z., Lai Y.-C. Coherence resonance in coupled chaotic oscillators // Physical review letters. - 2001. - Vol. 86, no. 21. - P. 4737.

62. Synchronization in ensembles of delay-coupled nonidentical neuronlike oscillators / D.D. Kulminskiy, V.I. Ponomarenko, M.D. Prokhorov, A.E. Hramov // Nonlinear Dynamics. — 2019. — Vol. 98, no. 1. — Pp. 735-748.

63. Synchronization between neural circuits connected by hybrid synapse / Z. Liu, C. Wang, G. Zhang, Y. Zhang // International Journal of Modern Physics B. _ 2019. - Vol. 33, no. 16. - P. 1950170.

64. Quasi-period, periodic bursting and bifurcations in memristor-based FitzHugh-Nagumo circuit / M. Chen, J. Qi, Q. Xu, B. Bao // AEU-International Journal of Electronics and Communications. — 2019. — Vol. 110. — P. 152840.

65. Capacitor coupling induces synchronization between neural circuits / Z. Liu, C. Wang, W. Jin, J. Ma // Nonlinear Dynamics. — 2019. — Vol. 97, no. 4. — Pp. 2661-2673.

66. Zhang J., Liao X. Effects of initial conditions on the synchronization of the coupled memristor neural circuits // Nonlinear Dynamics. — 2019. — Vol. 95, no_ 2. - Pp. 1269-1282.

67. Murray J.D. Mathematical biology: I. An introduction. — Springer, 2002.

68. Van der Pol B. LXXXVIII. On "relaxation-oscillations" // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science — 1926. — Vol. 2, no. 11. - Pp. 978-992.

69. Buric N., Grozdanovic I., Vasovic N. Type I vs. type II excitable systems with delayed coupling // Chaos, Solitons & Fractals. — 2005. — Vol. 23, no. 4. — Pp. 1221-1233.

70. Rinzel J. Models in neurobiology // Nonlinear phenomena in physics and biology. — Springer, 1981. — Pp. 345-367.

71. Douady A., Oesterle J. Dimension de Hausdorff des attracteurs // CR Acad. Sci. Pans. - 1980. - Vol. 290, no. 24. - Pp. 1135-1138.

72. Mori H. Fractal dimensions of chaotic flows of autonomous dissipative systems // Progress of Theoretical Physics. — 1980. — Vol. 63, no. 3. — Pp. 1044-1047.

73. Farmer J.D., Ott E., Yorke J. A. The dimension of chaotic attractors // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1983. — Vol. 7, no. 1-3. — Pp. 153-180.

74. Леонов Г.А. Странные аттракторы h классическая теория устойчивости движения. — Автономная некоммерческая организация Издательство Санкт-Петербургского государственного университета, 2004.

75. Kaplan J.L., Yorke J. A. Chaotic behavior of multidimensional difference equations // Functional differential equations and approximation of fixed points. — Springer, 1979. - Pp. 204-227.

76. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of strange attractors // Physical review letters. — 1983. — Vol. 50, no. 5. — P. 346.

77. Wernecke H., Sandor B., Gros C. How to test for partially predictable chaos // Scientific reports. — 2017. — Vol. 7, no. 1. — Pp. 1-12.

78. Gottwald G.A., Melbourne I. A new test for chaos in deterministic systems // Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2004. — Vol. 460, no. 2042. — Pp. 603-611.

79. Gottwald G.A., Melbourne I. Testing for chaos in deterministic systems with noise // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2005. — Vol. 212, no. 1-2. — Pp. 100-110.

80. Belair J., Campbell S.A., van den Driessche P. Frustration, stability, and delay-induced oscillations in a neural network model // SIAM Journal on Applied Mathematics. - 1996. - Vol. 56, no. 1. - Pp. 245-255.

81. Leonov G.A., Boichenko V.A. Lyapunov's direct method in the estimation of the Hausdorff dimension of attractors // Acta Applicandae Mathematica. — 1992. - Vol. 26, no. 1. - Pp. 1-60.

82. Hidden attractors in dynamical systems / D. Dudkowski, S. Jafari, T. Kapita-niak et al. // Physics Reports. — 2016. — Vol. 637. — Pp. 1-50.

83. Stefanski A., Dabrowski A., Kapitaniak T. Evaluation of the largest Lyapunov exponent in dynamical systems with time delay // Chaos, Solitons & Fractals. _ 2005. - Vol. 23, no. 5. - Pp. 1651-1659.

84. Kuznetsov N.V., Leonov G.A. A short survey on Lyapunov dimension for finite dimensional dynamical systems in Euclidean space // arXiv preprint arX-iv:1510.03835. - 2015.

85. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them. Part 1: Theory / G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgill, J.-M. Strelcyn // Meccanica. — 1980. — Vol. 15, no. 1. - Pp. 9-20.

86. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them. Part 2: Numerical application / G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgill, J.-M. Strelcyn // Meccanica. _ 1980. _ Vol. 15, no. 1. - Pp. 21-30.

87. Stewart D.E. A new algorithm for the SVD of a long product of matrices and the stability of products // Electronic Transactions on Numerical Analysis. — 1997. - Vol. 5. - Pp. 29-47.

88. Finite-time Lyapunov dimension and hidden attractor of the Rabinovich system / N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, T.N. Mokaev et al. // Nonlinear dynamics. _ 2018. - Vol. 92, no. 2. - Pp. 267-285.

89. Rutishauser H., Schwarz H.R. The LR transformation method for symmetric matrices // Numerische Mathematik. — 1963. — Vol. 5, no. 1. — Pp. 273-289.

90. Dormand J.R., Prince P.J. A family of embedded Runge-Kutta formulae // Journal of computational and applied mathematics. — 1980. — Vol. 6, no. 1. — Pp. 19-26.

91. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback // Physics letters A. - 1992. - Vol. 170, no. 6. - Pp. 421-428.

92. Chen G., Yu, X. On time-delayed feedback control of chaotic systems // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications _ 1999. _ Vol. 46, no. 6. - Pp. 767-772.

93. Eden A.O. An abstract theory of L-exponents with applications to dimension analysis: Ph.D. thesis / Indiana University. — 1989.

94. Estimation of Lyapunov exponents for quasi-stable attractors of dynamical systems with time delay / S.V. Aleshin, D.S. Glyzin, S.D. Glyzin, V.E. Goryunov // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. — Vol. 1163. — 2019. - P. 012045.

143

Список рисунков

0.1 Схематичное изображение ориентированного кольца связанных

нейронов .................................. 19

0.2 Зависимость потенциалов от времени, две устойчивые

периодически траектории, а = 0.15, b = 0.02, у = 0.02, с = 0.5, т =

7, иод = 0.5,мо,2 = 0,и01 = 0.5,и02 = 0 ................. 21

0.3 Зависимость потенциалов от времени, хаотический аттрактор,

а = 0.15, b = 0.02,у = 0.02,с = 0.2,т = 11.7,иод = 0.01,ио,2 = 0 ... 21

0.4 Связи нейронов для непрерывной модели из 3-ех нейронов...... 23

0.5 Зависимость старших 6-ти показателей Ляпунова и размерности от

времени задержки............................. 29

0.6 Результаты визуализации трех (одно из них - нулевое с.р.)

траекторий для т =11.8 ......................... 30

0.7 Результаты визуализации трех (одно из них - нулевое с.р.)

т = 11.85

0.8 Schematic representation of an oriented ring of connected neurons .... 46 0.9 Time dependence of potentials, two periodically stable trajectories, a = 0.15, b = 0.02, у = 0.02, с = 0.5, т =7, uo,i = 0.5, uo,2 = 0, u01 =

0.5, w0,2 = 0................................. 49

0.10 Time dependence of potentials, chaotic attractor,

a = 0.15, b = 0.02,у = 0.02,с = 0.2,т = 11.7,иод = 0.01, wo,2 = 0 ... 49

0.11 Connections of neurons for a continuous model of 3 neurons....... 51

0.12 Dependence of the senior 6 Lyapunov exponents and dimension on the

delay time.................................. 56

0.13 Visualization results of three (one of them is zero eq. point) trajectories

for т = 11.8................................. 57

0.14 Visualization results of three (one of them is zero eq. point) trajectories

кт =11.85 ................................ 58

2.1 Схематичное изображение ориентированного кольца связанных

нейронов 85

2.2 Зависимость потенциалов от времени, 2 нейрона в кольце т= 0 96

2.3 Зависимость потенциалов от времени, 2 нейрона в кольце т= 10 96

2.4 Зависимость потенциалов от времени, 2 нейрона в кольце т= 20 96

2.5 Зависимость потенциалов от времени, 2 нейрона в кольце т= 29 . . 96

2.6 Зависимость потенциалов от времени, 3 нейрона в кольце т= 0 96

2.7 Зависимость потенциалов от времени, 3 нейрона в кольце т= 3 . . . 96

2.8 Зависимость потенциалов от времени, 3 нейрона в кольце т= 12 96

2.9 Зависимость потенциалов от времени, 3 нейрона в кольце т= 19.3 96

2.10 Зависимость потенциалов от времени, 4 нейрона в кольце т= 0 97

2.11 Зависимость потенциалов от времени, 4 нейрона в кольце т= 2 97

2.12 Зависимость потенциалов от времени, 4 нейрона в кольце т= 7 97

2.13 Зависимость потенциалов от времени, две устойчивые

периодически траектории, а = 0.15, Ь = = 0.02, у = 0.02, с = 0.5, т =

7, и0,1 = 0.5, и0,2 = 0,и01 = 0.5, и02 = 0 98

2.14 Зависимость потенциалов от времени, хаотический аттрактор,

а = 0.15, Ь = 0.02, у = 0.02, с = 0.2, т = 11.7,^,1 = 0.01,^,2 = 0 . . .

98

3.1 Связи нейронов для непрерывной модели из 3-ех нейронов . . . ... 103

3.2 Потенциал вдоль двух основных аксонов при £ = 5 . . . 106

3.3 Потенциал вдоль двух основных аксонов при £ = 65....... . . . 106

3.4 Потенциал вдоль двух основных аксонов при £ = 125 . . . 106

3.5 Потенциал вдоль двух основных аксонов при £ = 185...... . . . 106

3.6 Потенциал вдоль двух основных аксонов при £ = 245 ...... . . . 106

3.7 Потенциал вдоль двух основных аксонов при £ = 305 . . . 106

3.8 Потенциал вдоль двух основных аксонов при £ = 365 . . . 106

3.9 Потенциал вдоль двух основных аксонов при £ = 425 ...... . . . 106

3.10 Потенциал вдоль двух основных аксонов при £ = 485 ...... . . . 106

3.11 Потенциал вдоль двух основных аксонов при £ = 545 . . . 106

3.12 Потенциал вдоль двух основных аксонов при £ = 605 . . . 106

3.13 Потенциал вдоль двух основных аксонов при £ = 665 . . . 106

4.1 Зависимость старшего показателя Ляпунова и размерности от времени задержки.............................125

4.2 На левом рисунке зависимость потенциалов от времени, на правом - график для 5г>1 при

а = 0.15, Ь = у = 0.02, с = 0.2, ио = (0.01,0), т =11.7 .........127

4.3 Зависимость старших 6-ти показателей Ляпунова и размерности от времени задержки.............................128

4.4 Результаты визуализации трех (одно из них - нулевое с.р.) траекторий для т =11.8 .........................129

4.5 Результаты визуализации трех (одно из них - нулевое с.р.)

т = 11.85

146

Тексты публикаций

Properties of an oriented ring of neurons with the FitzHugh-Nagumo model

E. G. Fedorov

ITMO University, Kronverkskiy, 49, St. Petersburg, 197101, Russia [e-mail]

PACS 87.19.La, 87.18.Sn DOI 10.17586/2220-8054-2021-12-5-553-562

The transmission of an impulse through a neuron is provided by processes that occur at the nanoscale level. This paper will build a model for an oriented ring of connected neurons. To describe the process of impulse transmission through a neuron, the FitzHugh-Nagumo model is used, which allows one to set a higher abstraction level by simulating an impulse. In this case, when transmitting impulses between neurons, the delay is taken into account. For the constructed model, the dependence of the number of neurons on the dynamics of the network as a whole is studied, and local bifurcations are found. All results are verified numerically. It is shown that the period of self-oscillations of such a network depends on the number of neurons.

Keywords: Neural networks, Hopf bifurcations, FitzHugh-Nagumo system, communication delay, stability.

Received: 15 July 2021 Revised: 19 September 2021

1. Introduction

The time delay can greatly affect the network of neurons and significantly expand the range of possible behaviors of the network. Because of this, models of networks are actively being investigated, where transmission between neurons occurs with a delay. There are works here on a network of connected neurons with an identical delay [1,2]. And works on different transmission lag times [3-6]. Most often, in such studies, a pair of connected neurons is considered.

The transmission of an impulse through a neuron is provided by processes that occur at the nanoscale level, for example, via the overflow of sodium, potassium, chlorine and calcium ions through ion channels. In this work, we study the effect of the delay in the transmission of an impulse between connected neurons on the dynamics of the system of neurons as a whole. The FitzHugh-Nagumo model will be used to describe one neuron. And the system as a whole will be an oriented ring of neurons connected one after another. In this case, any connection between neurons will be considered with a constant delay. The main goal is to determine the type of behavior depending on the delay time, as well as to test the hypothesis that there is no direct relationship between the number of neurons and the period of self-oscillation of the impulse in the system. For this, in the first part of the work, the analysis of equilibrium states and their stability is carried out. In the second part of the work, the results obtained are verified numerically.

2. Neuron network

We will consider a group of neurons, where each neuron can have unidirectional connections with other neurons. That is, the axon of a neuron can be called its output, and for another neuron it will be an input (through a bunch of synapses and dendrites). To describe one neuron, will use the FitzHugh-Nagumo model [7-9]:

u = —au + (a + 1)u2 — u3 — v + I, (1)

v = bu — yv,

where u(t) corresponds to the potential of the neuron at time t, and v(t) is the function of the internal state at time t, a, b, y are positive constant parameters of the neuron , and I is the external current to the neuron.

As an external current I for a neuron, we will consider the total impact of other neurons, and the output will be the value of the potential of a neuron with a delay t (delay for the transmission of an impulse through an axon). In this case, the effect between neurons will be sigmoidal (that is, it does not depend on the postsynaptic neuron). Thus, the model of the i-th neuron will be as follows:

= -am + (a + l)u2 - и3 - Vi + £nj=1j=i ctanh(uJ), = bui - YVi.

2.1. Ring of connected neurons

In this section, we will consider a specific network of neurons in the form of an oriented ring. That is, the input of the neuron i will be the output of the neuron i — 1 (i > 2), and the input of the neuron 1 will be the output of the neuron n. Moreover, all neurons are identical in their parameters. A schematic representation of the considered network in Fig. 1. We will write a model of the considered network of neurons:

FIG. 1. Schematic representation of an oriented ring of connected neurons

u 1

u 2 ¿2

—aui + (a + 1)uf — u3 — ¿1 + c tanh(un), bui — YVi,

—au2 + (a + 1)u2 — uf — V2 + c tanh(u[ ),

= bu2 -

YV2,

(3)

u n = — au„ + (a + 1)un — un — vn + c tanh(un_1), V n = bun — YVn,

where «.¿(i) corresponds to the potential of the i-th neuron at time t, and vi(i) is the function of the internal state at time t, a, 6,7 are positive constant parameters of neurons, c positive constant, connection strength, uT (t) = «¿(t — t), i = 1, 2,...n.

2.1.1. Find equilibrium states. To search for equilibrium states of the system, it is necessary to solve:

= — au1 + (a + 1)u1 — u3 — ¿1 + c tanh(un), = bu1 — 7V1,

= —au2 + (a + 1)u2 — u2 — ¿2 + c tanh(u1),

= bu2

7V2,

(4)

0 = —aun + (a + 1)un — un — vn + c tanh(un_1),

0 = bun — YVn,

Vi = bui, i € [1.. .n], c tanh(ui_1) = u3 — (a + 1)u2 + (a + b j ui, i € [2 ...n], ctanh(un) = u3 — (a + 1)u2 + (a + b ) u1.

Some of the equations in the system can be represented as:

f(ii-1) = fj(ii), f(un) = g(il), b

(6)

b

1

where f (u) = c tanh(u), g(u) = u3 — (a + 1)u2 + a +— u. Let — > - (a2 — a + 1). This assumption fits the

V — J Y 3

main parameters of the neurons under consideration [2,10], where a < 1, and b roughly the same —. Throughout the rest of this section, we will assume everywhere that the assumption is fulfilled.

Proposition 1. In the described system, the equilibrium states of neurons are the same, that is ui = uj, vi = vj

For the proof, we show that the function g(x) will be increasing- Derivative g(x): g'(u) = 3u2 — 2(a+1)u+a+ —

b1

b

Y

Then, if — > 3 (a2 — a +1), then (a + 1)2 — 3 ^a +—J < 0, which coincides with the determinant g(u)/2. Hence,

g(u) is an increasing function (the leading coefficient is positive). Now, for the system (6), the functions f (u) and g(u) are increasing, which means that the assumption that some two connected neurons have different values of the equilibrium state potential leads to contradiction. That is, ui = ujVi, j, hence vi = vj . ■

Now, the system (5) can be reduced to an equivalent:

vi = Y ui, i e [1 ...n],

ui = ui, i e [2 .. ,'n\,

ctanh(ui) = u3 — (a + 1)u2 + ^a + u1.

(7)

Now the search for equilibrium states has been reduced to finding the roots of the equation c tanh(u1) = ul —

(a + 1)u2 + (a + — ) u1. Note that u1 =0 is always a root. The right side of the equation has only one inflection V YJ

point and it is located on the right semiaxis. Now let's highlight a few cases:

1) a +— > c, then the considered equation has no negative solutions, but positive solutions can be 0, 1 or 2 (as c

Y

grows, the number of roots grows from 0 to 2, 1 root at the only critical value of c).

2) a +— < c, then the considered equation has only one negative and one positive solution.

Y

2.1.2. Define the stability of equilibrium states. To determine the stability of the equilibrium states of the system of neurons under consideration, we linearize the system in the general equilibrium state ui = u1, vi = v1, i e [2.. .n]. For this, we rewrite the system (3) as U(t) = AU(t) + BU(t — t), where U (t) = (u1(t),v1(t),...,un(t),vn(t))T:

A =

—a —1 0 0 • • • 0 0 0 0 •• •0 0 c 0

b —Y 0 0 • • • 0 0 0 0 •• •0 0 0 0

0 0 —a —1 • • •0 0 c 0 •• •0 0 0 0

0 0 b —Y • •0 0 , B = 0 0 •• •0 0 0 0

0 0 0 0 • • —a —1 0 0 •• • c 0 0 0

0 0 0 0 • •b —Y 0 0 •• •0 0 0 0

(8)

where a = 3u2 — 2u1 (a + 1) + a, cC =

cosh (u1)

Next, we find solutions to the characteristic equation det (A — XI + Be Xt) =0 to determine stability:

—a — X —1 b — y — X

-XT

0 0

—a — X b

0 0

0 0 —1

—Y — X

0 0

0 c'e-XT 00 00 00

0 —a — X 0b

0 0 0 0

—1

—Y — X

(9)

ce

0

c'e-XT

To find the determinant, let's write it down on the top line. The first two elements will reduce the problem to a similar one with a lower dimension and this part of the determinant is equal to ((—a — A)(—■y — A) + b)n. The third element in the top line is unique and sets a set of elements in the matrix and the part corresponding to it is equal to — (c'e-AT(—7 — A))n. As a result:

((—a — A)(—7 — A) + b)n — (c'e-AT (—7 — A))n = 0, (10)

(a + A)(y + A) + b = c/e-AT+2nki(7 + A), k e [0 ...n — 1] . (11)

To determine stability in the system in the absence of delay, take t = 0. Then:

A2 + A(a + 7 — c/e ^ *) + a7 + b — c/7e 2nk * = 0, k e [0 ...n — 1]. (12)

For even odd n, these equations can be split into pairs (k; —k) and there remains one equation for k = 0. For

n

even n these equations can be split into pairs (k; —k) and there will remain two equations for k = 0 and k = . Next, we define the stability of the selected groups. For k = 0:

A2 + A(a + 7 — c/) + aY + b — c/y = 0. (13)

This pair of roots will be stable if and only if:

(14)

a + y — c/ > 0,

a + b — c/ > 0.

7

That is a + min ( y, — ) > c/. And, for the zero state of equilibrium:

V yJ

a + min ( y, — ) > c. (15)

V YJ

n

For k =2 (n.2) :

A2 + A(a + y + c/) + aY + b + c/Y = 0. (16)

This pair of roots will be stable if and only if:

a + y + c/ > 0,

a + b + c/ > 0. (17)

7

That is a + min ( y, — ) > — c/. For a zero equilibrium state, this condition is automatically satisfied, since c > 0.

V YJ

n

For couple (k; —k) (k = 0, k = 2) :

(\ 2 W / — i, 1 , —2nk -\

A2 + A(a + y — c'e n *) + aY + b — c'Ye n M x (a2 + A(a + y — c/e + aY + b — c^e ^^ =

(18)

(A2 + A(a + y) + aY + b)2 — 2 (A2 + A(a + y) + aY + b) c/(y + A) cos ^ + c/2(y + A)2 = 0, (19)

A4 + 2 (a + y — c/ cos ^) A3 + ((a + y)2 + 2(aY + b) — 2(a + 2y)c/ cos ^ + c/2) A2+

2 ((a + Y)(aY + b) — (a + y)c/y cos ^ — (aY + b)c/ cos ^ + c/2y) A+ (20)

(aY + b)2 — 2(aY + b)c/Ycos ^ + c/2y2 = 0. An equation of the 4-th degree with real coefficients is obtained, its stability can be checked by the Hurwitz or Mikhailov criterion.

Now, we will find candidates for bifurcation from stable to unstable equilibrium or vice versa (when there is a purely imaginary eigenvalue). To do this, we take A = ¿w:

(a + ¿w)(y + ¿w) + b = c/e-iwT+2nk *(y + ¿w), (21)

aY — w2 + b + ¿w(a + y) = c/(y cos t / + w sin t / + ¿(w cos t / — y sin t/)),

t / = wt — ^,

n '

0

ay — J2 + b j(a + y)

= c'(y cos r' + j sin r'), = c'(j cos r' — y sin r'),

(23)

c' (j2 + y2) cos r c' (j2 + y2) sin r

a (j2 + y2) + bY, —j (J2 + y2) + bj,

2nk

(24)

let r' = - + nk,k e Z, then:

2

—w(w2+Y2)+bw

tan für - —) = —, 2 ,,

V n ! a("2+Y2)+bY

sign (cos (ut — ) = sign (a (u2 + 72) + 67), c'2 (u2 + 7^ 2 = (a (u2 + 72) + b^)2 + (-u (u2 + 72) + bu)2 ,

tan (UT - ) = -"/"^f)-6",

\ n / a("2+Y2) + bY '

sign (cos (ut — -^n^) = sign (a (u2 + 72) + 67), c'2 (u2 + 72) = a2 (u2 + 72) + 2ba7 + b2 + u2 (u2 + 72) — 2bu2

tan (üT- ) = -"("2+f)+b"

V n ' a("2 +y2) + 6y ,

sign (cos (ut — ^n^^) = sign (a (u2 + 72) + 6y), o4 + (a2 + 72 — c'2 — 2b) u2 + a272 + 2ba7 + b2 — c'272 = 0.

(25)

(26)

(27)

This means that the system can have 0, 1, or 2 series of decisions. Under the condition a (j2 + y2) + bY > 0 (which is always true for the zero equilibrium state), we obtain (if the condition is not true, then the series for t' must be offset by n):

= 2 — (a2 + Y2 — c'2 — 2b) ±J(a2 — y2 — c'2)2 — 4b ((a + y)2 — c'2)

r = 1 arctan

w

:x(w2 +72)+&7

~w(w2+Y2)+bw \ + 2nm , 2nk

(28)

+ ^, k,m e Z,

J = ( 2 ( — (a2 + Y2 — c'2 — 2b) ±J(a2 — y2 — c'2)2 — 4b ((a + y)2 — c'2)

1 i — w

r = 1 arctan

a2 22

(w2+72)+6w (w2+72)+67

+ 2nk, k e Z.

nw '

(29)

Next, we define the conditions for the presence of candidates for a local bifurcation. That is, the conditions under which (27) has a real or positive root for j2. If:

1) d > |a +— |, in for j = 0 (27) is negative, therefore, with respect to J2 there is exactly one positive solution.

Yb

2) c < | a +— |, (27) will be positive at 0, then it is necessary and sufficient that the roots are (the discriminant is

Y2 positive) and the coefficient at j2 was negative. That is:

(a2 + y2 — c'2 — 2b) — 4 (a2Y2 + 2baY + b2 — c'2y2) > 0, a2 + y2 — c'2 — 2b < 0,

— 2 (a2 — y2 — 2b) c'2 + a4 — 2a2Y2 + Y4 — 4a2b — 8aby — 4bY2 > 0, c'2 > a2 + y2 — 2b.

For 2aby + 2by2 + b2 < 0, the system is equivalent to c'2 > a2 + y2 — 2b, otherwise:

(30)

(31)

c'2 < a2 — y2 — 2b — 2v/2aby + 2by2 + b2, c'2 > a2 — y2 — 2b + 2\/2aby + 2by2 + b2, c'2 > a2 + y2 — 2b,

> a2 — y2 — 2b + 2\j2aby + 2by2 + b2.

(32)

(33)

2nk

T

JT —

n

n

2

j

2

c

Next, it is necessary to determine for each candidate for bifurcation its effect on stability (increases or decreases the number of eigenvalues with a positive real part). Let to be a candidate for bifurcation, wo, Ao = ¿wo correspond

d K(A)

to it. Define the sign of the expression equation (10):

dT

t to , where K(x) is the real part of the number x, D - characteristic

dft(A)

dT

= —»< f/f

=

n(c/e-A0T0 (y + Ao))n Ao

(34)

where

d

1

T = T0

T = T0

di = n((a + Ao)(Y + Ao) + b)n-1(Y + a + 2Ao) — nc/ne-nA0T0 (y + Ao)n-1(—to(y + Ao) + 1). (35) Since to and Ao satisfy the characteristic equation, then

(c/e-A0T0(—y — Ao))n = ((—a — Ao)(—y — Ao) + b)n , (36)

then

dK(A)

= ((a + ao)(y + Ao) + b)nA<A = ((a + ao)(y + Ao) + b)Ao(Y + Ao)\ (37)

T=T0 V d2 ) V d.3 '

dT

where

d2 = ((a + Ao)(y + Ao) + b)n-1(Y + a + 2Ao) — ((a + Ao)(y + Ao) + b)n (—To + —V) , (38)

\ Y + Ao /

d. = ToAo + (aTo + 2yto + 1)Ao + (2aYTo + y2to + bTo + 2y)Ao + + aY2To + bYTo + y2 — b. (39)

Multiply in (37) the numerator and denominator by the conjugate of d3 and multiply the whole expression by the square of the modulus d3:

sign ^® | ) = sign ((wo + Y2)2 — (b2 + 2abY + 2bY2)) .

(w2 + y2)2 — (b2 + 2abY + 2b^ ) . (40)

T = T0

Now, we can see that the condition for increasing/decreasing the number of roots with a positive real part does not depend on a specific representative of the t series, but is a property of the entire series or depends only on w. wo is the root of (27): ( )

w4 + (a2 + y2 — c/2 — 2b) w2 + a2Y2 + 2baY + b2 — c/2y2 = 0, (41)

in another view: ( ) ( ) ( )

(w2 + y^2 + (a2 — c/2 — y2 — 2b) (w2 + y2) + b2 + 2abY + 2by2 = 0. (42)