Математические постановки и подходы к численному решению краевых задач строительной механики для расчета комбинированных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Воробьев, Михаил Валериевич

• Воробьев, Михаил Валериевич
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Воробьев, Михаил Валериевич

Введение.

Глава 1. Обзор современных численных методов решения задач расчета конструкций и некоторые вопросы их реализации.

1.1. Метод конечных элементов.

1.2. Метод граничных интегральных уравнений.

1.3. Применение аппарата обобщенных функций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические постановки и подходы к численному решению краевых задач строительной механики для расчета комбинированных систем»

Расчет конструктивно сложных зданий и сооружений с обеспечением и контролем точности расчетов является актуальной проблемой. Математически корректное численное решение краевых задач строительной механики позволяет производить расчеты с удовлетворительной и контролируемой точностью. Построение и исследование математических моделей для расчета строительных сооружений, в частности комбинированных систем, является одним из важнейших аспектов проектирования. Учитывая, что сложность соответствующих моделей может быть весьма высока, становится очевидной необходимость применения ЭВМ для обеспечения требуемой точности и скорости расчетов. Среди современных вычислительных методов наиболее популярными и исследованными являются метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ). МКЭ имеет свою уже полувековую историю развития, хорошо изучен и заслуженно пользуется популярностью в среде расчетчиков. МГЭ появился позднее и, в сочетании с современным уровнем мощности компьютерной техники и программного обеспечения, развития математики в области аналитических методов (теория обобщенных функций, теория граничных интегральных уравнений) предлагает новые вычислительные возможности исследования в области расчета конструкций.

Областью применения метода граничных элементов в рамках настоящей диссертации является расчет составных конструкций путем совместного решения краевых задач. При постановке краевых задач расчета конструкций в настоящей диссертации используется подход, основанный на положениях стандартной (расширенной) области, предложенный А.Б. Золотовым [60]. Это позволяет сформулировать краевую задачу в виде единого оператора, включающего в себя условия внутри области (дифференциальное уравнение), описание геометрических характеристик исследуемого объекта (за счет включения в уравнение характеристической функции исходной области) и краевые условия (получаемые при дифференцировании, в частности, характеристической функции исходной области, занимаемой исследуемым объектом). При этом краевые условия получают корректные множители в виде обобщенных функций. Так, условия задания внешней нагрузки на границе имеют в задаче теории упругости множитель 5Г (дельта-функцию границы), а условия задания перемещений на границе в качестве множителя имеют б^ (производную от дельта-функции границы по нормали). При этом все это вытекает из общей компактной математической постановки задачи. Если множитель 8Г присутствует в постановках задач и при обычных вариационных подходах, то в условиях для перемещений множитель в этих постановках не приводится.

Операторная постановка, по сути, позволяет сформулировать соответствующую вариационную постановку для смешанной краевой задачи. При этом соответствующий функционал является безусловным, т.е. пространство функций, на котором функционал определен, практически не имеет ограничений, кроме наличия производной требуемой степени, например, первая степень для задачи теории упругости, вторая степень для задачи изгиба плиты. И, наконец, соответствующий функционалу оператор является континуальным обобщением понятия матрицы жесткости, т.е. может быть назван оператором жесткости краевой задачи.

В целом, в работе разрабатывается и исследуется методика решения задач расчета комбинированных систем с применением аналитического аппарата теории граничных интегральных уравнений. Задача достоверного, корректного численного расчета сложных комбинированных систем остается актуальной, поскольку непрерывно всюду ведется строительство и при этом постоянно создаются новые виды конструкций в связи с применением разнообразных форм конструирования, внедрением новых материалов и новых технологий строительства. Построение и исследование математических моделей для расчета строительных сооружений, в частности, расчета комбинированных систем, является одним из важнейших аспектов обеспечения безопасного проектирования.

Целью работы является развитие современных методов расчета сложных строительных конструкций путем корректного совместного численного решения краевых задач на базе метода граничных элементов. Для достижения указанной цели поставлены и решаются следующие задачи:

- формулировка общей операторной постановки, обеспечивающей должную обусловленность соответствующих дискретных задач и безусловной вариационной постановки (не налагающей дополнительных условий, например, кинематических, на функции из области определения) краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли;

- формулировка общих операторных постановок в виде единого уравнения, включающего условия внутри области и на ее границе, и безусловных вариационных постановок (пространство функций, на котором функционал определен, не имеет ограничений) краевой задачи об изгибе плиты и краевой задачи для двумерной задачи теории упругости;

- разработка и реализация на ЭВМ корректных численных методов решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в разных плоскостях, и комбинированной системы, образованной стыковкой балки-стенки (двумерная задача теории упругости) и балки;

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. сформулированы общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка на примере краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли;

2. сформулированы общие операторные постановки и безусловные вариационные постановки краевой задачи об изгибе плиты и краевой задачи для двумерной теории упругости;

3. разработан и реализован на ЭВМ корректный численный метод расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях;

4. разработан и реализован на ЭВМ корректный численный метод расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки.

Практическая значимость работы состоит:

- в разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений;

- в разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях;

- в разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки;

- в выполненных расчетах реальных конструкций.

Внедрение работы состоит в использовании разработанных методов, алгоритмов и программ для решения задач расчета строительных конструкций при выполнении научно-исследовательских работ в ГОУ ВПО МГСУ и ЗАО «Научно-исследовательский центр СтаДиО».

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: V, VII научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва, 2006, 2008 гг.); XXII Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов BEM&FEM» (Санкт-Петербург, 2007 г.); II Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Пермь, 2008 г.); научно-техническая конференция Института фундаментального образования МГСУ по итогам научно-исследовательских работ студентов и молодых ученых за 2007/2008 учебный год (Москва, 2008 г.); научные семинары кафедры информатики и прикладной математики под руководством профессоров В.Н. Сидорова и А.Б. Золотова (Москва, 2002-2009 гг.); научные семинары в Научно-исследовательском центре «СтаДиО» под руководством профессора A.M. Белостоцкого (Москва, 2002-2009 гг.).

Достоверность и обоснованность результатов основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением верифицированных программных комплексов промышленного типа; сопоставлении результатов расчета с решениями, полученными по другим аналитическим и численным методам; экспертной оценке точности решений специалистами в области НДС.

Личный вклад автора состоит в формулировке математических постановок, разработке подходов к численному решению краевых задач строительной механики для расчета комбинированных систем и построении реализующего программного обеспечения.

Публикации. По материалам и результатам исследований опубликовано 18 работ, из них 3 в журналах перечня ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 187 наименований, и четырех приложений. 140 страниц основного текста и 50 страниц приложений включает 93 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Воробьев, Михаил Валериевич

Основные результаты и выводы:

1. Построена единая методика аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений, являющаяся основой для разрабатываемых в диссертации подходов.

Как известно, в отличие от общего курса дифференциальных уравнений, который, прежде всего, основывается на значительной произвольности их вида, число различных типов дифференциальных уравнений используемых в конкретных технических приложениях, относительно мало (уравнения для различных типов балок, стержней, оболочек и т.д.). Поэтому целесообразно более полное представление сопутствующего им практически важного математического аппарата, включающего фундаментальные функции, функции Грина и формулировки на их основе вида общего решения. Очень важным для практической реализации является то, что в предлагаемых формулах общего решения полностью отсутствуют гиперболические функции и экспоненциальные функции с положительными аргументами. Использование подобных функций в традиционных (известных базовых) подходах приводит в общем случае к явлениям, называемым в вычислительной математике «вычислительной катастрофой». Например, именно такой факт возникает при использовании известного, в частности в строительной механике, метода начальных параметров. Представляется, что наиболее удобным подходом к решению рассматриваемых дифференциальных уравнений строительной механики произвольного порядка является их изначальное сведение к системам дифференциальных уравнений первого порядка. Тогда общее решение задачи формулируется сразу для всех неизвестных функций (исходной и дополнительных, введение которых позволило перейти к системе первого порядка), и упрощается задание правых частей (например, в них нет производных от дельта-функции и т.д.). Окончательный вид решений и соответствующие выкладки приведены в диссертации.

2. Сформулированы общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка на примере краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли.

Получена явная форма оператора краевой задачи, которую, следуя терминологии строительной механики, можно назвать оператором жесткости. Область определения этого оператора в общем случае не предполагает специальных кинематических (главных) условий на искомые функции. Предлагаемый подход обеспечивает правильную обусловленность соответствующих дискретных задач, следующих из операторной постановки. Соблюдается согласованность «весовых» характеристик условий на границе и внутри области определения краевой задачи. Например, при решении рассматриваемой задачи методом конечных разностей (МКР), общий множитель при каждом разностном операторе в полученной операторной постановке будет один и тот же (1//И, где h — шаг разностной аппроксимации по координате х). В свою очередь, это обеспечивает правильное вычисление невязки по ее норме при использовании итерационных процессов и общей проверке решения.

Предложенная в диссертации вариационная формулировка задачи является безусловной, т.е. не налагает никаких дополнительных условий (например, кинематических) на функции из области определения. Решением исходной задачи является стационарная точка полученного функционала. Функционал не является положительно определенным. Это обстоятельство возникает, впрочем, только при наличии в функционале членов, учитывающих кинематические условия. Можно сказать, что полученный функционал является безусловным (с точки зрения отсутствия дополнительных условий) обобщением функционала Лагранжа. Функционал Лагранжа получается из него, если его рассматривать на множестве функций с соответствующими кинематическими ограничениями. Неположительная определенность носит локальный характер, т.е. в основном весь спектр соответствующего функционалу дифференциального оператора положителен и лишь небольшое конечное число точек спектра, при континуальной задаче, являются неположительными. Получаемые из функционала дискретные операторы обеспечивают правильное вычисление невязки.

3. Сформулированы общие операторные постановки и безусловные вариационные постановки краевой задачи об изгибе плиты и краевой задачи для двумерной теории упругости .

Получены явные формы операторов краевых задач, которые можно назвать операторами жесткости. В работе общий оператор краевой задачи связан с понятием расширенной области. Полученные постановки представляют собой единые уравнения, включающие в себя все условия, определяющие краевую задачу как внутри области, так и на ее границе. При этом сформулированную таким образом краевую задачу можно рассматривать на любой области, окаймляющую исследуемую. Такая постановка правильно отражает весовые характеристики, соответствующие как операторам внутри области, так и операторам на границе. Другим важным фактором является использование в постановке граничных координат, что позволяет наиболее удобным образом определить граничные условия для смешанной краевой задачи.

Полученные функционалы являются безусловными, т.е. пространство функций, на котором они определены, не имеет ограничений, кроме наличия второй производной для задачи об изгибе плиты и первой производной для двумерной теории упругости. Поскольку такие функционалы при некоторых кинематических условиях могут не быть положительно определенными, решением вариационной задачи является не минимум, а стационарная точка функционала. Эти функционалы можно назвать обобщенными функционалами Лагранжа. Если рассматривать их на множестве функций, удовлетворяющих кинематическим ограничениям, то получим обычные функционалы Лагранжа.

4. Разработан и реализован на ЭВМ корректный численный метод расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях.

Полученный алгоритм разработан на основе непрямой постановки метода граничных элементов. Представлены математические формулировки краевых задач для каждой из плит, а также уравнения стыковки. Постановка соответствующих краевых задач включает в себя как задачу об изгибе плиты, моделирующую ее работу из своей плоскости, так и задачу теории упругости, моделирующую работу плиты в своей плоскости. Представлен общий вид решения для каждой из рассматриваемых краевых задач. На основании кусочно-постоянной аппроксимации неизвестных граничных функций получен переход к системе линейных алгебраических уравнений. Определены интегралы от ядер граничных операторов задачи теории упругости и задачи изгиба плиты, а также производные от них.

5. Разработан и реализован на ЭВМ корректный численный метод расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки.

Полученный алгоритм разработан на основе непрямой постановки метода граничных элементов. Данная конструкция рассматривается как стыковка нескольких краевых задач: задачи теории упругости для балки-стенки, задачи об изгибе балки, задачи о продольной деформации стержня. Приведены математические формулировки соответствующих краевых задач, а также уравнения стыковки. Сформулированы общие виды решений для каждой краевой задачи. Дан переход к разрешающей системе линейных уравнений, при этом неизвестные граничные функции полагаются величинами, постоянными на граничных элементах (кусочно-постоянная аппроксимация). Определены интегралы от ядер граничных операторов и их производные.

6. На основе разработанных методов и программных комплексов решен набор тестовых и практически важных задач.

Проводился ряд тестовых расчетов. Сопоставления полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением программных комплексов промышленного типа (Лира 9.0, Ansys/ CivilFEM), с решениями, найденными по другим аналитическим и численным методам, а также с данными экспериментов и экспертные оценки точности решений специалистами в области напряженно-деформированного состояния позволяют сделать вывод о достаточной эффективности и надежности разработанных численных методов и предложенных операторных и безусловных вариационных постановок краевых задач расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

Выполнен расчет фрагмента конструктивной схемы здания регулярной силовой структуры «стена-плита перекрытия». Такая задача соответствует возможной расчетной модели исходного события при прогрессирующем обрушении - удаление несущих стен под перекрытием.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной целью настоящей работы являлось развитие современных методов расчета сложных строительных конструкций путем корректного совместного численного решения краевых задач на базе метода граничных элементов (решение задач стыковки). Иными словами, разработана и исследована методика решения задач расчета комбинированных систем с применением аналитического аппарата теории граничных уравнений, построены соответствующие алгоритмические и программные реализации. Метод граничных интегральных уравнений позволяет получить решение в явной аналитической форме для внутренних точек области. При этом все искомые неизвестные, являющиеся параметрами аналитического решения задачи, сосредоточены только на границе, что снижает размерность задачи на порядок и приводит к большей точности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Воробьев, Михаил Валериевич, 2009 год

1. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости конструкций. - М.: Издательство АСВ, 2004. - 248 с

2. Акимов П.А., Золотов А.Б. Численно-аналитические методы расчета строительных конструкций: перспективы развития и сопоставления. // САПР и графика, 2005, №1, с. 78-82.

3. Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно-неоднородных оснований. М.:АСВ, 2000.-754с.

4. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н., Смирнов

5. А.Ф. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. М.: Стройиздат, 1976. 248 с. (ч.1), 258 с. (ч. 2).

6. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. -М.: Высшая школа, 1990. — 400 с.

7. Александров А.В., Потапов В.Д., Косицын С.Б., Долотказин Д.Б. Строительная механика. М.: Высшая школа, 2007. - 511 с.

8. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978. — 352 с.

9. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М.: АСВ, 2002. 288 с.

10. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход. М.: Мир, 1976. — 312 с

11. Бартеньев О.В. Современный Фортран.-М.: Диалог-МИФИ, 1998-397с.

12. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. — М.: Стройиздат, 1982. 446 с.

13. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых знаний, 2000. — 624 с.

14. Бахвалов Н.С., Кузнецов Ю.А. (ред.). Вариационно-разностные методы в математической физике. Сб. науч. тр. АН СССР, Отд. вычисл. ма124тематики; Под ред. М.: Отд. вычисл. математики АН СССР, 1984 — 242 с.

15. Безухов Н.И. Некоторые обобщения методов строительной механики в динамике сооружений. // Сб. Исследования по теории сооружений. Госстройиздат, 1939, №3, с. 172-213.

16. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач— М.: Высшая школа, 1974.-200с.

17. Белый М.В., Булгаков В.Е., Золотое А.Б. Полуитерационный многосеточный метод и его программная реализация для решения пространственных краевых задач. // ЖВМ и МФ, 1987, т.27, №6, с.875-888.

18. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных задачах. М.: Мир, 1984. 494 с.

19. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т. 2. М.: Физмат-лит, 1959.

20. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982, - 248 с.

21. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. -М.: Наука, 1977. 288 с.

22. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластины, диски, балки-стенки. — Киев: Госстройиздат, 1959. 1049 с.

23. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974. - 126 с.

24. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. — М.: АСВ, 1995.-572 с.

25. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.-542 с.

26. Верпань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. АН УССР, Ин-т пробл. моделирования в энергетике. Киев: Наук, думка, 1986. 544 с.

27. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев.: Вища школа, 1978. — 183 с.

28. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1979.-320 с.

29. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967.-436 с.

30. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. — М. — JL: Гостехиздат, 1949.

31. Власов В.З. Строительная механика тонкостенных пространственных систем. — М.: Госстройиздат, 1949.

32. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. -М.: Физматгиз, 1960. 491 с.

33. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПб.: Лань, 2006. - 416 с.

34. Воробьев М.В. Вариант стыковки краевых задач. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №6. М.: МГСУ, 2003, с. 123-132.

35. Воробьев М.В. Стыковка стенки и балки. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №6. М.: МГСУ, 2003, с. 133-141.

36. Воробьев М.В. Примеры численных расчетов комбинированной системы соединения двух плит на основе метода граничных элементов. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №12. М.: МГСУ, 2009, с. 86-92.

37. Воробьев М.В., Золотов А.Б., Михайлов Д.В., Мозгалева МЛ. Метод граничных элементов решения краевых задач для уравнения Лапласа. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №7. -М.: МГСУ, 2004, с. 115-129.

38. Воробьев М.В., Акимов П.А., Золотов А.Б., Мозгалева МЛ. Численное решение задачи стыковки двух плит. // Вестник МГСУ, №1, 2007, с. 152-154.

39. Воробьев М.В. О некоторых важнейших аспектах классической теории изгиба тонких пластин // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №11. М.: МГСУ, 2008, с. 117-137.

40. Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Аналитическое решение для балочных конструкций // Сб. докладов научно-технической конференции ИФО МГСУ за 2007/2008 уч. год. -М.: 2008, с. 141-159.

41. Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Операторные и вариационные постановки задачи о поперечном изгибе балки Бернулли // Сб. докладов научно-технической конференции ИФО МГСУ за 2007/2008 уч. год. -М.: 2008, с. 160-168.

42. Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Операторная и вариационная постановка смешанной краевой задачи об изгибе плиты // Сб. докладов научно-технической конференции ИФО МГСУ за 2007/2008 уч. год. -М.: 2008, с. 177-188.

43. Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Прямая постановка граничной задачи изгиба тонкой плиты // Сб. докладов научно-технической конференции ИФО МГСУ за 2007/2008 уч. год. -М.: 2008, с. 169-176.

44. Габбасов Р.Ф. Численное решение задач строительной механики с разрывными параметрами. Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра тех. наук: 02.02.03 Моск. инж.-строит. ин-т им. В.В. Куйбышева М., 1989 -47 с.

45. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. -428 с.

46. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

47. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Добросвет, 2007. -319с

48. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Выпуск 1. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — 470 с.

49. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.-М.:Наука,1977.— 440с.

50. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казан, гос. ун-т Казань: ДАС, 2001. — 300 с.

51. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999 — 548 с.

52. Горбачев К.П., Попов А.Н., Восковщук Н.И., Уложенко А.Г. Вариационно-разностная версия метода конечных элементов. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 1987 152 с.

53. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании. М.: Стройиздат, 1984. - 679 с.

54. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. Л. - М.: ОНТИ, ГТТИ, 1934. - 360 с

55. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. СПб.: Лань, 2008. - 400 с.

56. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. -М.: Мир, 2001.-430 с.

57. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике М.: Мир, 1975. — 511 с.

58. Золотов А.Б. Постановка и алгоритмы численного решения краевых задач строительной механики методом стандартной области: Автореф. дис. на соиск. уч. степ. докт. техн. наук: 05.23.17. МГСУ. М.: 1989. — 39 с.

59. Золотов А.Б., Акимов П.А. Некоторые аналитико-численные методы решения краевых задач строительной механики: Монография М.: Издательство АСВ, 2004. - 200 с.

60. Золотов А.Б., Акимов П.А. Практические методы расчета строительных конструкций. Численно-аналитические методы: Монография — М.: Издательство АСВ, 2006. 208 с.

61. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Математические методы в строительной механике: Монография — М.: Издательство АСВ, 2008. 336 с.

62. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Численные и аналитические методы расчета строительных конструкций: Монография М.: Издательство АСВ, 2009. - 336 с.

63. Золотов А.Б., Ларионов А.В., Мозгалева МЛ., Мсхалая Ж.И. Постановка и аппроксимация краевых задач методом расширенной области. М.: МИСИ, 1992. 86 с.

64. Золотов А.Б., Лейтес Е.С. Об одном подходе к решению систем дифференциальных уравнений при расчете строительных конструкций. // «Строительная механика и расчет сооружений». 1976. - №3.

65. Золотов А.Б., Харитонов В.А. Решение граничных задач, включая задачи с односторонними связями. // Вестник МГСУ, №3, 2006, с. 158163.

66. Золотов А.Б., Мозгалева МЛ., Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Общая операторная постановка краевой задачи теории упругости (оператор жесткости) // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №11. М.: МГСУ, 2008, с. 206-213.

67. Золотов А.Б., Мозгалева МЛ., Воробьев М.В. Общая постановка краевой задачи об изгибе плиты // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №12. М.: МГСУ, 2009, с. 156-172.

68. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В., Жизилев А.В. Смешанная форма МКЭ в задачах строительной механики. — ВолгГАСУ, Волгоград, 2006. -171 с.

69. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. — М.: Издательство АСВ, 2005. — 432 с.

70. Иосида К. Функциональный анализ. М.: ЛКИ, 2007. - 624 с.

71. Кайтуков Т.Б. Методы дискретных граничных уравнений для решения задач расчета сооружений: Автореф. дис. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук: 05.13.18. Моск. гос. строит, ун-т. М.: 2002.-20 с.

72. Кайтуков Т.Б., Мозгалева M.JL, Золотов А.Б., Воробьев М.В. Расчет стыковки конструкций методом дискретных граничных уравнений. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №5. М.: МГСУ, 2002, с. 125-127.

73. Кацикаделис Дж.Т. Граничные элементы. Теория и приложения. М.: Издательство АСВ, 2007. - 343 с.

74. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. СПб.: Невский Диалект, БХВ-Петербург, 2004. - 816 с.

75. Карпиловский B.C., Криксунов Э.З., Микитаренко М.А. и др. SCAD OFFICE. Интегрированная система анализа конструкций. М.: АСВ, 2003.-240 с.

76. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978. 518 с.

77. Колку нов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. — М.: Высшая школа, 1987.-255 с.

78. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 572 с.

79. Коренев Б.Г. Метод компенсирующих нагрузок в приложении к задачам равновесия, колебаний и устойчивости плит и мембран. — ПММ, 1940, т.4, №5-6.

80. Коренев Б.Г. Приложение функций Грина к расчету конструкций на упругом основании методом компенсирующих нагрузок. — В кн.: Труды Днепропетровского инженерно-строительного института. Днепропетровск, 1936, №4.

81. Косицын С.Б. Неклассические криволинейные конечноэлементные модели в линейных и нелинейных задачах строительной механики. Ав-тореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра техн. наук: 05.23.17. МИИТ. М., 1993.-48 с.

82. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. 328 с.

83. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.-500 с.

84. Кузнецов С.В. Метод граничных интегральных уравнений в механике анизотропных упругих тел. Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.02.04 Институт проблем механики. М., 1992. 30 с.

85. Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. — Л.: Издательство АН СССР, 1931. 154 с.

86. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физмат-гиз, 1963.-472 с.

87. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В.

88. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. - 664 с.

89. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т.1. М.: Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1951. 476 с.

90. Курбацкий Е.Н. Метод решения задач строительной механики и теории упругости, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций. Автореф. дис. на соиск. уч. степ. д.т.н. 05.23.17. МИИТ. М., 1995.-38 с.

91. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

92. Лантух-Лященко А.И. ЛИРА. Программный комплекс расчета и проектирования конструкций. К.: - М.: "ФАКТ", 2001. - 359 с.

93. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры. 1961. 524 с.

94. Лебедев В.И. (ред.). Вариационно-разностные методы в математической физике: Материалы всесоюз. конф. окт. 1980 г.. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981. 156 с.

95. Леонтьев Н.Н., Соболев Д.Н., Амосов А.А. Основы строительной механики стержневых систем. М.: Издательство АСВ, 1996. — 541 с.

96. Линьков A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб.: Наука, 1999. 382 с.

97. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.-М.: Мир, 1971.-371 с.

98. Манжиров А.В., Полянин А.Д. Методы решения интегральных уравнений. М.: Факториал, 1999. 272 с.

99. Микеладзе Ш.Е. Новые квадратурные формулы и их приложения к интегрированию дифференциальных уравнений. // ДАН, т.61,1948, №4, с.613-615.

100. Микеладзе Ш.Е. Новые методы интегрирования дифференциальных уравнений. -М.: ГТТИ, 1951. 291 с.

101. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

102. Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Интегральные уравнения в теории упругости. СПб.: Изд-во Санкт-Петербург, гос. ун-та, 1994. -271 с.

103. Мозгалева МЛ., Золотов А.Б., Воробьев М.В. Некоторые вопросы задач о стыковке строительных конструкций // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Volume 4, Issue 2, Begell House Inc. Publishers & ASV, 2008, p. 93-94.

104. Мсхалая И.Ж., Золотов А.Б., Акимов П.А. Некоторые методы решения одномерных динамических задач строительной механики и математической физики. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №4. -М.: МГСУ, 2001, с. 241-247.

105. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. — 707 с.115116117118119120121122123124125126127128

106. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.-528 с.

107. Норри Д., Де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-304 с.

108. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. -М.: Мир, 1977.-383 с.

109. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд-во АН Армянской ССР, 1979.-335 с.

110. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.-464 с.

111. Оробей В.Ф. Устойчивость пластин, сжатых сосредоточенными силами. // Известия вузов. Строительство. 2002. - №3, с. 20-26. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Мир, 1983-323 с.

112. Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 608 с.

113. Постнов В.А. (ред.). Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов». Труды XIX Международной конференции, т. 1-3 СПб.: НИИХ СПбГУ, 2001.

114. Репин С.И. Вариационно-разностные методы в математических задачах теории пластичности. Дис.д-ра физ.-мат. наук: 01.01.07. СПб.,1994 — 307 с.

115. Ржаницын А.Р. Строительная механика—М.: Высшая школа, 1982 — 400 с.

116. Розин JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

117. Розин JI.A. Задачи теории упругости и численные методы их решения. СПб.: Издательство СПбГТУ, 1998. - 532 с.

118. Рябенький B.C. Метод разностных потенциалов и его приложения. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 496 с.

119. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.-552 с.

120. Саргсян А.Е. Строительная механика. М.: Высшая школа, 2004. -464 с.

121. Саргсян А.Е., Демченко А.Т., Дворянчиков Н.В., Джинчвела-швили Г.А. Строительная механика. Основы теории с примерами расчетов. — М.: Высшая школа, 2000. 415 с.

122. Свойский Ф.М. Граничные условия для конечных элементов с вращательными степенями свободы. СПб, 2004 83 с.

123. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.-392 с.

124. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993. -664 с.

125. Сидоров В.Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости. М.: Редакционно-издательский центр Генерального штаба Вооруженных Сил Российской Федерации, 2002. 352 с.

126. Сидоров В.Н., Ахметов В.К. Математическое моделирование в строительстве. -М.: Издательство АСВ, 2007. 336 с.

127. Скляр С.Н. О дискретизации задач с пограничным слоем при помощи одного проекционного варианта интегральных тождеств. П1. Самосопряженное уравнение // Изв. АН Кирг. ССР. физ.-тех. и математ. науки, №4, 1989, с.3-11.

128. Слесарев И.С., Сироткин A.M. Вариационно-разностные методы расчета ядерных реакторов. М.: Энергоиздат, 1981. - 113 с.

129. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. М.: Издательство АСВ, 2005. - 736 с.

130. Слободянский М.Г. Способ приближенного интегрирования уравнений с частными производными и его применение к задачам теории упругости. ПММ, 1939, т.З, вып. 1, с. 75-82.

131. Смелов В.В. (ред.) Вариационно-разностные методы в задачах численного анализа Сб. науч. тр. АН СССР, Сиб. отд-ние, ВЦ. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1988. 172 с.

132. Смирнов В.А., Иванов С.А., Тихонов М.А. Строительная механика. — М.: Стройиздат, 1984 208 с.

133. Снитко Н.К. Устойчивость сжатых и сжато-изогнутых стержневых систем. — Л.: Стройиздат, 1956. — 207 с.

134. Снитко А.Н. (ред.). Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов». Труды XVII Международной конференции, т. 1-2 СПб.: НИИХ СПбГУ, 1999.

135. Соболев C.JI. Уравнения математической физики М.: Наука, 1992. — 431 с.

136. Срочко В.А. Численные методы: Курс лекций. Иркутск: Иркутск, унт, 2003.- 168 с.

137. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-349 с.

138. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.-512 с.

139. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Стройиздат, 1987 160 с.

140. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. -576 с.

141. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 635 с.

142. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Издательство МГУ, 1999. 798 с.

143. Травуш В.И. Метод обобщенных решений в задачах изгиба плит на линейно-деформируемом основании.// Строительная механика и расчет сооружений, №1, 1982.

144. Трушин С.И. Решение задач устойчивости гибких упруго-пластических оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига. Дис. на соиск. уч. степ, д-ра техн. наук: 05.23.17. М., 1999. 277 с.

145. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Издательство Казанского университета, 1986. 295 с.

146. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970.-564 с.

147. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1968. - 402 с.

148. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. М.: Недра, 1987.-221 с

149. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство Московского физико-технического института, 1994. — 528 с.

150. Фиалко С.Ю. Агрегатный многоуровневый метод решения конечно-элементных задач строительной механики. Автореф. дис. на соиск. уч. степ. докт. техн. наук: 05.23.17. Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, 2004. — 36 с.

151. Филин А.П. Приближенные методы математического анализа, используемые в механике деформируемых тел. Л.: Стройиздат, 1971.

152. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.-720 с.

153. Хемминг Р.В. Численные методы. — М.: Наука, 1968. — 400 с.

154. Хечумов Р.А., Кепплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: АСВ, 1994. 351 с.

155. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. - 655 с.

156. Цейтлин А.И. Некоторые методы расчета конструкций, лежащих на упругом основании. // Автореф. дис. на соиск. уч. степ, д.т.н. (022). — М.: 1968.

157. Цейтлин А.И., Петросян Л.Г. Методы граничных элементов в строительной механике. — Ереван: Луйс, 1987 г. — 199 с.

158. Цейтлин А.И., Петросян Л.Г. О некоторых обобщениях метода интегральных преобразований и их связи с методом граничных уравнений. // Строительная механика и расчет сооружений, 1984, №3.

159. Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров. -М.: Машиностроение, 2004. 512 с.

160. Шварц JI. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965.-412 с.

161. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965.-327 с.

162. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 320 с.

163. Bathe K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, 1995, 1037 pages.

164. Bulgakov V.E., Belyi M.E., Mathisen K.M. Multilevel aggregation method for solving largescale generalized eigenvalue problems in structural dynamics.// Int. j. Numer. Methods Eng., 1997, 40, 453 471.

165. Bulgakov V.E., Belyi M.V. Fast Agorithms for Multi-Grid Solver of 3-D Boundary Value Problems in Structural Analysis. — Computers and Structures, 1992, vol. 44, No 4, p. 869-875.

166. L.Schwartz Theorie des distributions, I II,Paris, 1950- 1951

167. Cheung Y.K., Tham L.G. The Finite Strip Method. CRC Press. 1997, 416 pages.

168. Szilard R. Theories and Applications of Plate Analysis: Classical Numerical and Engineering Methods. John Wiley & Sons, 2004, 1056 pages.