Математические модели управления ресурсами с коротким жизненным циклом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Степанова, Наталья Викторовна

• Степанова, Наталья Викторовна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Степанова, Наталья Викторовна

Содержание

Введение 5 Глава 1. Построение и исследование математической модели использования ресурса с ограниченным сроком годности

1.1 Постановка задачи и математическая модель

1.2 Нахождение средней прибыли

1.3 Плотность вероятностей объема запросов на ресурс

1.4 Оптимизация средней прибыли

1.5 Плотность вероятностей длительности использования партии

1.6 Оценка параметров модели

1.7 Адаптивный алгоритм определения оптимального объёма партии 42 Резюме

Глава 2. Управление использованием ресурса с ограниченным сроком годности

2.1 Управление прибылью предприятия при использовании ресурса с

ограниченным сроком годности

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Диффузионное приближение процесса использования ресурса

2.1.3 Математическое ожидание процесса (9(0

2.1.4 Дисперсия процесса

2.1.5 Функция корреляции процесса

2.1.6 Математическое ожидание выручки и его оптимизация

2.1.7 Определение оптимального объема партии

2.1.8 Плотность вероятностей процесса

2.1.9 Распределение вероятностей длительности использования ресурса

2.2 Степенное управление прибылью при использовании ресурса с ограниченным сроком годности

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Диффузионное приближение процесса использования ресурса

2.2.3 Математическое ожидание процесса Q{t)

2.2.4 Дисперсия процесса

2.2.5 Плотность вероятностей процесса

2.2.6 Средняя длительность времени использования

2.2.7 Выбор оптимального значения параметра управления

2.2.8 Экспоненциальное распределение величины запроса

2.2.8.1 Среднее время использования партии

2.2.8.2 Плотность вероятностей длительности времени использования ресурса

2.3 Оптимальное управление прибылью при использовании ресурса с ограниченным сроком годности

2.3.1 Постановка задачи

2.3.2 Математическая модель

2.3.3 Основные вероятностные характеристики процесса

2.3.4 Математическое ожидание выручки и его оптимизация

2.3.5 Оптимизация по объему партии 92 Резюме 97 Глава 3. Математические модели использования ресурса с

непрерывно ухудшающимися свойствами

3.1 Определение оптимального объёма партии

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Математическая модель порчи ресурса

3.1.3 Математическая модель использования портящегося ресурса

3.1.4 Среднее время до окончания использования ресурса

3.1.5 Асимптотика среднего времени

3.1.6 Уточнение асимптотики

3.1.7 Определение оптимального объёма партии

3.2 Управление прибылью при использовании ресурса с непрерывно ухудшающимися свойствами

3.2.1. Детерминированное приближение

3.2.1.1 Использование ресурса при постоянной прибыли

3.2.1.2 Нахождение закона управления использованием ресурса

3.2.2 Диффузионное приближение процесса Q(t)

3.2.3 Первый и второй начальные моменты процесса Q(t)

3.2.4 Оптимизация процесса использования ресурса

3.2.5 Пуассоновское приближение 116 3.2.6. Распределение вероятностей длительности использования

ресурса

Резюме 121 Глава 4. Комплекс алгоритмов и программ для вычисления

оптимальных характеристик и имитационное моделирование

процесса использования ресурса

4.1. Проблемно - ориентированный комплекс программ

«Управление использованием ресурса»

4.1.1. Описание программного комплекса

4.1.2. Особенности программной реализации

4.2. Имитационное моделирование процесса использования ресурса

с ограниченным сроком годности

4.2.1. Математическая модель

4.2.2. Имитационная модель

4.2.3. Получение выборочных данных

4.2.4. Проверка гипотезы о виде распределения

4.3. Оценивание параметров модели использования ресурса с ограниченным сроком годности

4.4. Имитационное моделирование процесса использования

непрерывно портящегося ресурса

Резюме

Заключение

Литература

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели управления ресурсами с коротким жизненным циклом»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы.

В настоящее время проблемам моделирования процессов оптимального использования ресурсов уделяется большое внимание. Это связано с тем, что для промышленных и торговых предприятий затраты, связанные с доставкой, хранением и реализацией сырья или продукции, существенны. Оптимизация этих процессов необходима для повышения эффективности и конкурентоспособности предприятий.

Основы современной теории управления использованием и запасами ресурсов были заложены работами F. W. Harris [98], [99], который одним из первых рассмотрел математическую модель экономически обоснованного заказа (EOQ -Economic Order Quantity). Модель EOQ позволяет находить оптимальный размер партии заказа для продуктов (ресурсов) с неограниченным сроком годности в детерминированной постановке, при известной величине производственных затрат. Дальнейшая разработка этой модели принадлежит W. Е. Camp, [90]. Значительный вклад в изучение модели EOQ внес R. Н. Wilson, [145]: рассмотренное им обобщение EOQ известно как Wilson's ELS (Economic Lot Size) формула. Подробное описание этих моделей и их многочисленных расширений содержится практически в любой монографии, например, Е. A. Silver, D. F. Руке, R. Peterson [138], А. С. Нах, D. Candea [101].

Выбор оптимальной политики заказа, когда партия продукта используется в течение нескольких временных периодов (циклов) при условии постоянного (произвольного) спроса на продукт, рассмотрен в статьях A. Dvoretzky, J. Kiefer, J. Wolfowitz [94], [95]; К. J. Arrow, Т. Harris and J. Marschak. [81].

Математические модели, относящиеся к управлению многопродуктовыми запасами при постоянном и переменном (случайном) спросе, рассмотрены в работах В. А. Потоцкого, А. С. Манделя [31], Е. Н. Хоботова, М. Н. Калинина [77] и других авторов.

Как показывает экономическая практика, существенная часть ресурсов, используемых предприятиями, имеет короткий жизненный цикл. К основным методам управления ресурсами с коротким жизненным циклом относятся определение оптимальных объемов партий заказа, а также управление ценой в зависимости от спроса, времени и величины запаса.

Изучение моделей управления запасами с ограниченным сроком годности (fixed lifetime) и непрерывно портящихся с течением времени (deteriorating or perishable items) началось с работы Р. М. Morse, G. Е. Kimball [119]. В этой статье рассмотрена модель реализации продукта, срок годности которого равен одному циклу (single-period), при условии, что спрос на продукт имеет случайный характер. Эта модель известна как «Newsvendor problem» («Модель разносчика газет»). Обобщение этой модели в случае нескольких циклов (multi-period), было продолжено в работах Van Zyl [141], W. Р. Pierskalla [129], W. P. Pierskalla, С. D. Roach [128], M. A. Cohen, W. P. Pierskalla [92,93], S. Nahmias, W. P. Pierskalla [124], S. Nahmias [122, 123] и других авторов.

Модели управления запасами и использованием ресурсов, имеющих короткий жизненный цикл, интенсивно изучаются и в последние годы. За это время появилось несколько обзорных статей, относящихся к данной тематике: обзор S. Nahmias [123] для ресурсов с ограниченным сроком годности; F. Raafat [130] для непрерывно портящихся ресурсов. В обзоре 2013 года М. Bakker, J. Riezebos и R.H. Teunter «Review of inventory systems with deterioration since 2001» [82] приведены ссылки на большое количество работ, опубликованных после 2001 года.

Спрос на ресурс - один из наиболее важных факторов, влияющих на управление производственной деятельностью и запасами предприятий. Значительная часть моделей, относящихся к управлению ресурсами с коротким жизненным циклом, построена в предположении, что спрос на ресурс является детерминированным. Сюда относятся случаи, когда спрос считается постоянным, или зависит от дополнительных факторов, таких как время, цена и размер запасов предприятия. Так, в работах Е.Р. Chew, С. Lee и R. Liu [91]; S. Mukhopadhyay, R. N., Muk-

herjee и К. S. Chaudhuri [120]; В. Sezen [136], N. H. Shah, H. N. Soni, K. Patel [137] для продукции с ограниченным сроком годности предполагается, что спрос является известной функцией от цены, а в статьях R. Maihami, I. N. Kamalabadi [115]; R. Maihami, I. N. К. Abadi [114]; В. Sarkar, S. Saren, H. M. Wee [133] - от цены и от времени, в работе H. L. Yang [146] рассмотрена оптимизация модели, в которой спрос и размер запасов зависят от времени, а в статье Y. Р. Lee, С. Y. Dye [108] исследован случай, когда спрос зависит от размера запасов предприятия.

Для ресурсов, которые непрерывно портятся с течением времени, в статье К. Maity, M. Maiti [116]; В. Sarkar, S. Sarkar [134] рассматриваются модели управления запасами при условии, что спрос на ресурс зависит от размера его запасов; в работе S. Panda, S. Saha, M. Basu [126] рассмотрен спрос, имеющий вид кусочно -постоянной функции цены и времени. В статьях A. Roy, S. Kar и M. Maiti [131]; P.L. Abad [78, 79]; R. Begum, R. R. Sahoo, S. K. Sahu [84] изучаются модели управления ресурсами, спрос на которые зависит от времени и цены, а процесс порчи ресурса рассматривается как случайный с известной функцией распределения вероятностей; в работе V. К. Mishra [118] дополнительно рассматривается стоимость утилизации неиспользованного ресурса.

Значительная часть работ, в которых спрос рассматривается как случайный, содержит предположение о конкретном виде его функции распределения. Для моделей, относящихся к управлению запасами с ограниченным сроком годности, это статьи R. Haijema [97]; M. Ketzenberg и M. Е. Ferguson [105]; в случае продукции, которая непрерывно портится с течением времени, - работы Z. Lian, X. Liu и N. Zhao [112]; P. Manuel, A. S. Lawrence и G. Arivaraginan [117]. В статье Y. Li, В. Cheang и A. Lim [110] рассматривается модель управления запасами с ограниченным сроком годности с функцией распределения спроса общего вида.

Задачи управления динамическими системами были рассмотрены в работах А. Bensusan и J.-L. Lions, из которых надо упомянуть монографию [4]. Авторами были получены фундаментальные теоретические результаты, относящиеся к импульсному и стохастическому управлению детерминированными и стохастиче-

скими процессами, имеющие экономические, физические и другие приложения. Полученные ими результаты, а также разработанные методы, используются для исследования процессов управления использованием и запасами ресурсов. В частности, для продукции, которая непрерывно портится со временем, это статьи Ь. Вепк11его1^ [85], а также Ь. ВепкЪегои^ А. Воишетг, Ь. А§§оип [86; 87]. В этих работах на основе диффузионных моделей рассмотрено оптимальное импульсное управление запасами ресурса при бесконечном горизонте планирования.

Таким образом, построению и исследованию различных моделей управления ресурсами уделяется большое внимание, и публикационная активность по этой тематике чрезвычайно высока. Спектр рассматриваемых моделей и используемых для их анализа и оптимизации подходов очень широк. Однако многие исследователи обращают внимание на чрезмерную сложность моделей и получаемых математических выражений, тормозящую их практическое использование.

В диссертационной работе рассматриваются, в основном, приближенные вероятностные (со случайным спросом) модели использования ресурса с коротким жизненным циклом на основе диффузионной аппроксимации случайного процесса, описывающего количество имеющегося ресурса. Модели содержат небольшое количество параметров, которые, как правило, либо известны, либо могут быть легко статистически оценены. Например, случайная величина одного запроса на ресурс представлена только первым и вторым начальными моментами, т.е. для применения этих моделей нет необходимости знать функцию распределения запросов. При исследовании применяются различные эвристические оригинальные приближенные методы, позволяющие получить обозримые результаты, которые можно рекомендовать для практического применения. Таким образом, настоящая работа является актуальной.

Работы по тематике, связанной с использованием скоропортящихся товаров, были начаты доктором физико-математических наук, профессором, заслуженным деятелем науки РФ А.Ф.Терпуговым совместно с Е.В.Новицкой [19,35-37] по предложению фирмы «Анжерское молоко», которая была заинтересована в опре-

делении объемов выпускаемой продукции с ограниченным сроком годности, в определении объемов партий товара, направляемых на реализацию в торговые точки. Близкие по тематике задачи решались и в работах А.Ф. Терпугова и О.Н. Галажинской [7-9]. Настоящая работа является развитием результатов, полученных в диссертационной работе Е.В.Новицкой.

Цель работы. Целью диссертационной работы является повышение эффективности процессов использования ресурсов с коротким жизненным циклом.

Для достижения поставленной цели надо решить следующие задачи:

1) разработать и исследовать математические модели управления процессом использования ресурсов с коротким жизненным циклом;

2) найти оптимальные параметры управления, обеспечивающие использование всей партии ресурса к установленному сроку и максимизирующие целевую функцию; определить оптимальные объёмы начальных партий;

3) исследовать и оптимизировать стохастические модели процесса ухудшения качества ресурса с течением времени.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистики, вариационного исчисления, имитационного моделирования и численные методы. Разработан проблемно-ориентированный комплекс программ. При разработке программного обеспечения использованы методы объектно-ориентированного программирования.

Положения, выносимые на защиту.

1. Плотность вероятностей длительности времени использования ресурса в диффузионном приближении модели использования ресурса с ограниченным сроком годности.

2. Адаптивный алгоритм определения оптимального объёма партии ресурса с ограниченным сроком годности.

3. Вероятностные характеристики процесса использования ресурса для трех модификаций математической модели управления прибылью, обеспечивающих

полное использование ресурса в течение цикла, и оптимальные характеристики управления.

4. Приближенное решение задачи управления процессом использования непрерывно портящегося ресурса при помощи функции общего вида.

5. Программный комплекс, рассчитывающий оптимальные характеристики процесса использования ресурса с коротким жизненным циклом на основе полученных в диссертации результатов.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертации результатов обеспечивается корректным применением используемых математических методов, непротиворечивостью полученных результатов выводам других авторов (частным случаям), совпадением теоретических результатов с численными расчетами и результатами имитационного моделирования, практической апробацией работы на конкретных производствах.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Исходные постановки задач и указание основных направлений исследования были сделаны профессором А. Ф. Терпуговым. Дальнейшее развитие первоначальных постановок и указание направлений исследования принадлежат научному руководителю, доктору физико-математических наук, А.В. Китаевой. Доказательство и обоснование полученных в диссертации результатов, математические выкладки, численные расчеты и программная реализация выполнены лично автором.

Научная новизна работы. 1. Впервые найдена плотность вероятностей длительности времени использования ресурса в диффузионном приближении модели использования ресурса с ограниченным сроком годности, что позволяет оптимизировать производственный (или торговый) процесс и рассчитать риски. На этой основе разработан оригинальный адаптивный алгоритм определения оптимального объёма партии, что повышает эффективность использования ресурсов в полицикличном режиме.

2. Предложены три новые, в сравнение с работой Е.В. Новицкой, модификации математической модели способа управления прибылью путем влияния на интенсивность спроса, обеспечивающие полное использование ресурса в течение цикла: в первых двух моделях введены дополнительные параметры оптимизации, в третьей модели рассмотрена зависимость управления от функции общего вида. Для этих моделей в диффузионном приближении в случае линейной зависимости интенсивности спроса от прибыли впервые рассчитаны вероятностные характеристики процесса, и найдены оптимальные характеристики управления.

3. Впервые приближенно решены задачи управления прибылью при помощи функции общего вида и определения в этом случае оптимального объёма партии для непрерывно портящегося ресурса. Численные методы для решения и оптимизации по параметрам соответствующих уравнений впервые реализованы автором в программном комплексе.

Теоретическое значение работы заключается в том, что в ней построены и исследованы достаточно общие математические модели, применимые к различным процессам использования ресурсов.

Под ресурсом может пониматься и сырье, используемое в процессе производства, и продукция предприятия, выставляемая на продажу, т.е. товар. В первом случае речь идет о, так называемом, опционном сырье, т. е. его применение не является обязательным в производстве. В случае его отсутствия предприятие работает в обычном режиме и выпускает стандартную продукцию. Потребность в этом ресурсе возникает по запросу заказчиков, носит, вообще говоря, случайный характер и выгодна производителю, поскольку, в конечном счете, он получает дополнительную прибыль.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты помогут предприятиям, использующим скоропортящийся и портящийся ресурс, оптимизировать его использование и увеличить свою прибыль. Основные результаты работы реализованы автором в программном комплексе, который был

использован ООО «Виктория» и кондитерским цехом «Эдем» при планировании закупок, о чем составлены акты о внедрении (Прил). Реализована имитационная модель процесса использования ресурса с ограниченным сроком годности.

Апробация работы.

Работа докладывалась и обсуждалась на 30 научных конференциях и семинарах, V Международная научно-практическая конференция «Наука и образование - 2007» (Днепропетровск, 2007); Четырнадцатая Всероссийская Школа-коллоквиум по стохастическим методам и Восьмой Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2007); The Second International Conference «Problems of Cybernetics and Informatics» Dedicated to 50th of the ICT (Azerbaijan, 2008); Двадцать третьи Международные Плехановские чтения (Москва, 2010); Международная научная конференция «Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях» (Москва, 2010); 53-ая научная конференция МФТИ Всероссийская молодежная научная конференция с международным участием «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва, 2010); Студент и научно-технический прогресс: XLVIII Международная научная студенческая конференция (Новосибирск, 2010); Международная научная конференция «Современные вероятностные методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей»(Минск, 2011); X Международная ФАМ'2011 конференция по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск,2011); The 15th Applied Stochastic Models and Data Analysis International Conference (ASMDA2013) (Barselona, 2013).

Результаты работы были отмечены: дипломом победителя национального конкурса инновационных проектов (НКИП-2011), г. Москва, 2011 г.; дипломом лауреата 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», г. Москва, 2010 г.; дипломом финалиста Международного молодежного конкурса научно-исследовательских работ, г. Таганрог, 2012 г., дипломом победителя отборочного тура Всероссийского конкурса науч-

но-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук, г. Ульяновск, 2012 г; присуждена Стипендия Президента Российской Федерации.

Публикации

По результатам проведенных исследований опубликовано 27 статей в научных журналах, докладах и материалах конференций различного уровня, в том числе четыре [1-4] в рецензируемых журналах из перечня ВАК. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе ставится задача математического моделирования процесса переработки или реализации ресурса с ограниченным сроком годности Т, по истечении которого ресурс подлежит утилизации, причем спрос на ресурс в течение производственного цикла носит случайный характер. Построенная модель подлежит исследованию с целью максимизации общей средней прибыли предприятия и определения соответствующего оптимального объема партии ресурса. Ставятся также задачи исследования вероятностных характеристик процесса использования ресурса и разработки статистических процедур оценивания входных параметров модели.

Пусть запросы на ресурс поступают независимо друг от друга и объём одного запроса есть случайная величина с = а\ и М{^2} = аг.

Принимая во внимание соображения, приводящие к центральной предельной теореме, будем считать, что число запросов п является нормальной случайной величиной с Ы{п} = тт и Т>{п} = о2т, и величины тт и <5гт при больших Г асимптотически пропорциональны Т. В работе показано, что общий объём спроса на продукцию в течение цикла Г имеет асимптотическое распределение с плотностью

1

с

ехр

т \ ) у

Среднее значение прибыли предприятия равно

во

Qo

во

£ = | р(х)с1х + хр{х)с1х - du^Q0 | р(х)с1х + с1и11 хр(х)с1х - dQ0,

во 0 0 0

где - объем партии ресурса, с - прибыль на единицу ресурса, с1 - оптовая цена единицы ресурса, dы - цена утилизации единицы неиспользованного ресурса. Оптимальный объём закупаемой партии равен

ßopt =а]тт+ y]mT(a2-af) + o2Taf¥

^ d + d^

c + d.

ut у

где lF( •) - функция, обратная функции Лапласа. Явное выражение для максимальной средней прибыли имеет вид

5 = (с + dj[QoptD(c) + mx( 1 - D(c)) - axq>0F(l" D(c)))] -{* + dJQopt,

гл г ч d d r ? / 2 \ 2 2

где D{c) =-—, mx - almT,ax =mT (a2 -ax ) + oTax .

с + dut

В диффузионном приближении найдена плотность вероятностей q(t) длительности использования партии ресурса объёма Q0:

Qo

г

V27ta0

3/2

m

2 (

2<%

Öo

,2Л

V m0j

q(t)= I ,rtcxp

где lim Г = m0, lim ".t7'vwt2—1 = cr^ Плотность может быть аппрок-

r->oo J1

2 „2

lim тЛа2~а\) + (7та

Т-*0о

симирована нормальным распределением

= гг- е*р

1 ^

yj2nat

2a

Öo

Л

2 Л

t —

Ч W У

где

mr(a2-at) + G2Taf 2

а\тът

На основании этого результата рассмотрен вопрос об оценках параметров модели. Пусть закупается партия объёма (20 и используется в течение цикла длительности Т. В каждом таком цикле возможны два варианта:

1. В течение цикла будет использовано количество ресурса х< Q0, то есть часть ресурса останется неиспользованной. Пусть таких циклов было N, и мы получили выборку хх ,х2 ,х3 ,...,Хдг .

2. В течение цикла будет использован весь ресурс, но использование окончится в момент времени t < Т. Пусть таких циклов было Л/, и мы имеем выборку tx,t2,...,tM.

Таким образом, в общем случае мы имеем выборку объёма N+M, имеющую вид (xj ,х2 ,х3 ,...,xN ; tx ,t2 ,...,tM ).

В работе рассматривается два вида оценок - по методу моментов и по методу максимального правдоподобия.

В заключение главы предлагается адаптивный алгоритм определения оптимального объёма партии для последовательных циклов.

Глава 2 посвящена изучению математических моделей использования ресурса с ограниченным сроком годности. Дело в том, что если процесс производства или реализации ресурса идет при постоянных условиях, то к концу цикла может остаться неиспользованный ресурс, что не всегда желательно. Поэтому возникает вопрос о том, как управлять прибылью на единицу ресурса c(t) с целью регулирования потока запросов так, чтобы к концу цикла длительности Т весь ресурс был использован, т.е. Q{T) = 0.

Будем считать, что поток запросов является пуассоновским интенсивности Х(с), зависящей от c(t), запросы поступают независимо друг от друга, и объем запроса ^ есть случайная величина с = ах и М{£, } = а2.

Пусть Q(t) - количество ресурса, который остался неиспользованным в момент времени t. Рассмотрим решение задачи в диффузионном приближении

dQ(t) = -ax\(c)dt + a2Mc)dw(t), где w(t) - стандартный винеровский процесс.

В параграфе 1 рассматривается модель управления процессом использования предприятием производственного ресурса, который имеет ограниченный срок годности. Особенностью решаемой здесь задачи является возможность управле-

ния прибылью на единицу ресурса с в зависимости от времени, оставшегося до окончания цикла и количества неиспользованного ресурса, в целях регулирования потока запросов на ресурс. Зависимость интенсивности спроса на ресурс от с вполне естественна, поскольку прибыль предприятия заложена в стоимость ресурса, и снижение этой стоимости приводит к росту спроса на ресурс. Целью является определение оптимальных параметров управления, дающих предприятию максимальную прибыль.

Исследован случай, когда управление величиной с{() определяется соотношением

6(0

ахХ(с^)) = к

Диффузионная аппроксимация процесса Q{t) имеет вид

Т-1

а,

о

Т-1

Исследуются статистические характеристики процесса найдены математическое ожидание, дисперсия и функция корреляции.

Рассмотрим случай, когда зависимость Л,(с) может быть аппроксимирована прямой линией:

Цс) = Х0 —

Здесь величина со имеет смысл некоторой «стандартной» прибыли, так чтоА,(с0) = Х0. Такая аппроксимация возможна, если отклонения прибыли с(г) от с0 незначительны. Показано, что средняя выручка в единицу времени равна

М{сахХ{с)} = с0

«Л (Г-о2

1 + Ло X

к-

Оо

С

1 У

Т-г

1-1 т

-К

а А Т.

■-Н

У

У

У

+1-

Л2*

Й

а средняя выручка за весь производственный цикл равна

(

1 + Ь.

X

п £0^260 ,.2

1 У

1

1

Собо

к

а\ХхТ Чк-1 2к-1; ахХхТ2 к-1

Задача выбора оптимального значения к может быть решена лишь численно. График зависимости оптимального значения к от параметра а^0/а2 приведен на рисунке

1 аА/а2

20 30 40

Рис 1. График зависимости оптимального значения к от параметра а,£>0/а2 При а^0/а2 » 1 можно приближенно считать, что

к « 1 + 3

а*

2 а&а

Оптимальный объём партии

во

а{к{Г

Г

2к-1

а->

к

-о у

к2 2ах{к-\)

или приближенно получаем ()0

аХ,Т

о у

В работе найдены также плотность вероятностей процесса Q{t) и распределение вероятностей длительности использования ресурса т

( (\-tlrf Л

Особенностью модели второго параграфа является рассмотрение более сложного закона управления прибылью на единицу ресурса с, включающего новый параметр оптимизации. Целью является определение оптимальных параметров управления, дающих предприятию максимальную прибыль и обеспечивающих полное использование ресурса до окончания производственного цикла.

17

Проведены аналогичные исследования, когда закон управления величиной с(/) имеет вид

6(0

а\Х{с{1))=

т(\-ату

Показано, что применение данного вида управления гарантирует с вероятностью, равной 1, полную реализацию партии ресурса. Практическое использование этой модели возможно в тех случаях, когда наличие нереализованного ресурса, после окончания производственного цикла, крайне нежелательно.

Особенностью модели третьего параграфа является рассмотрение закона управления прибылью на единицу ресурса с в наиболее общем виде (зависящем от произвольной функции). Целью является определение оптимального вида функции и параметров управления, дающих предприятию максимальную прибыль и обеспечивающих полное использование ресурса.

Закон управления с(0 имеет вид

7ср(г/г)

где ср(£/Г) - произвольная функция. В этом случае диффузионная аппроксимация процесса (?(?) имеет вид

6(0 '

¿0(0 =

6(0

Тц>(1/Т) у а, 7ф(г/Г) Найдены основные вероятностные характеристики процесса £)(/): математическое ожидание и дисперсия. В случае, когда зависимость Х(с) может быть аппроксимирована прямой линией

найдено математическое ожидание выручки в единицу времени

г

М{са{к(с)} - с0 со0о

а{к{Г2ц2Ц1Т)

\ у

£о

Тф!Т)

ехр

<1х

ехр-

> Г

<1х I

'2\тф/т)\

г

I Тф/Т)

/

а,

ехг

I Г йх I [{Тф/Т)]

и

Средняя выручка за весь производственный цикл равна

1

Лг аЛ

м

«1Л " ^

ГТ1 _

ах Т0

где у(г) =

{ фО)

Задача нахождения максимума величины приводит к уравнению

Аг-ч (1)/"-н/'2) +

/

^ У

= 0,

где А =

ян

1. При больших А получаем, что ср(г) = СХ - г.

Пусть \/Сх = С, тогда оптимальное значение С находится из уравнения

9 ( ^

ахТк

а-,

а,

С- "2

1п(1 - С)

С

1-е

= 0.

которое имеет единственный корень, лежащий в промежутке от 0 до 1. Его можно найти только численно. Оптимальный объем партии

а

а,Т а-

+ ■

а,

2С 2ахС

1п(1 - С)

1-С

Зависимость ф(г) задается в параметрическом виде

+

7 =

+ - 1п(2А +1 + 2^А(А + 1)) - - Щ2Ам> +1 + 2^4^+1)) 2 2

ф = Сх.

А +1 '

где параметр и» меняется в пределах 0 < ж < 1.

Для выяснения вопроса о том, при каких значениях параметра А приближенное решение достаточно точно, приведем графики зависимости ф(г) при различных значениях параметра А:

1,0

0,8-

0,6-

0,4-

0,2-

0,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Рис 2. График зависимости ф(г) при различных значениях параметра А

Так как точный вид оптимальной зависимости является очень сложным для практического применения, рекомендуется использовать полученные приближенные результаты.

Глава 3 посвящена задаче математического моделирования и управления процессом использования ресурса, который непрерывно портится с течением времени. Основой для моделей данной главы является описание процесса порчи ресурса (вероятностное или детерминированное).

В параграфе 1 рассматривается модель использования предприятием производственного ресурса, который непрерывно портится с течением времени. Основной задачей является вероятностное описание процесса порчи ресурса и связь предложенной стохастической модели с общей математической моделью процесса использования ресурса, рассмотренной в первой главе. Особенностью решаемой задачи является то, что в данном случае целесообразно рассмотреть зависимость длительности цикла использования ресурса от процесса порчи товара. Основным критерием, по-прежнему, является получение предприятием максимальной прибыли.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Степанова, Наталья Викторовна, 2014 год

Литература

1. Аллен Р. Математическая экономия. - М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 667 с.

2. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука, 1979. -293 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1. - М.: Наука, 1969.-343 с.

4. Бенсусан А., Лионе Ж. Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства: Пер. с фр. - Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

5. Букан Дж., Кенигсберг Э. Научное управление запасами. - М. Наука, 1967. -424 с.

6. Вагнер Г. Основы исследования операций. В 3-х томах. - М.: Мир, 1973. - Т. 1. -336 е.; Т. 2. - 488 е.; Т. 3. - 503 с.

7. Галажинская О.Н. Математическая модель продажи одиночного товара нетерпеливым продавцом // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации. - 2006. Февраль. - № 58. - 91 с.

8. Галажинская О.Н. Математическая модель продажи товара нетерпеливым продавцом при непрерывном изменении цены // Вестник Томского государственного университета. Приложение. - 2006. Март. - № 16. - С. 202-208.

9. Галажинская О.Н. Бесконечно линейная бесконечно фазная система массового обслуживания со случайным прерыванием обслуживания // Вестник Томского государственного университета. Приложение. - 2006. Август. - № 18. - С. 261— 266.

Ю.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1988. - 447 с.

П.Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. -М.: «Наука», 1987. - 336 с.

12.Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1963. - 1100 с.

13.Громенко В.М. Применение методов теории управления запасами в экономических задачах. - М.: Московский институт управления, 1981. - 58 с.

М.Данилов H.H. Курс математической экономики. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2002. - 444 с.

15.Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. - М.: Наука, 1974. - 544 с.

16.Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. - М.: Высшая школа, 1965. - 465 с.

17.Идрисов Ф.Ф. Рандомизированные временные ряды. - Томск: Изд-во ТГПУ, 2004. - 325 с.

18.Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. - М.: Прогресс, 1975. - 606 с.

19.Китаева A.B., Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Оптимизация продажи скоропортящейся продукции // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. - С. 95-105.

20.Китаева A.B., Степанова Н.В., Терпугов А.Ф. Управление опционными ресурсами: полное использование ресурса в производственном цикле // Известия Томского политехнического университета. — 2013.-Т. 323. — № 5. - С. 5-10.

21.Китаева A.B., Степанова Н.В. Управление опционными ресурсами // Известия Томского политехнического университета - 2013 - Т. 322 - № 5 — С. 23-28.

22.Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М. Случайные процессы. Справочник. - Киев: Наук, думка. 1983.-368с.

23.Кокс Д.Р., Смит В.А. Теория восстановления. - М.: Сов.Радио, 1967. - 299 с.

24.Королюк B.C., Портенко Н.И., Скороход A.B., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Наука, 1985. - 640 с.

25.Крамер А.И., Линдбеттер М. Стационарные случайные процессы. - М.: Мир, 1987.-313 с.

26.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1965. - 716 с.

27.Ланкастер К. Математическая экономика. - М.: Сов. радио, 1972. - 464 с.

28.Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. - М.: Наука, 1972. -375 с.

29.Лопухова C.B. Асимптотические и численные методы исследования специальных потоков однородных событий. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Томск, 2008. -167 с.

30.Лоэв М. Теория вероятностей. - М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 350 с.

31.Лотоцкий В.А., Мандель A.C. Методы и модели управления запасами. - М.: Наука, 1991.- 162 с.

32.Микитьянц С.Р., Голдобина H.H. Применение математических методов в управлении запасами. - Л.: ЛФЭИ, 1982. - 69 с.

33.Назаров A.A. Асимптотический анализ марковизируемых систем. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. - 158 с.

34.Назаров A.A., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания. - Томск: Изд-во НТЛ, 2004. - 226 с.

35.Новицкая Е.В. Управление розничной продажей скоропортящегося товара //Вестник Томского государственного университета. Сер. Математика, кибернетика, информатика. - 2004. - № 284. - С. 63-66.

36.Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Оптимизация розничной продажи скоропортящейся продукции. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. - 89 с.

37.Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Определение оптимального объема партии товара и розничной цены продажи непрерывно портящейся продукции//Вестник Томского государственного университета. Сер. Математика, кибернетика, информатика. - 2004. - № 284. - С. 62-72.

38.Первозванская Т.Н., Первозванский A.A. Элементы теории управления запасами. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1983 - 108 с.

39.Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. -Томск.: Изд-во Том. ун-та, 1988. - 174 с.

40.Рубальский Г.Б. Вероятностные и вычислительные методы оптимального управления запасами. - М. Знание, 1987. - 115 с.

41.Рубальский Г.Б. Управление запасами при случайном спросе. - М.: Сов. Радио, 1977.- 160 с.

42.Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами. - СПб.: Питер, 2001. -384 с.

43.Сакович В.А. Модели управления запасами. - Минск: Наука и техника, 1986. -318 с.

44.Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011614775. Математическая модель управления ценой при продаже портящегося товара/ Степанова Н.В. Заявка № 2011613066; Дата поступления 29 апреля 2011г. Зарегистрировано 17.06.11г.

45.Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011616472. Математическая модель управления при продаже товара по переменной цене/ Степанова Н.В. Заявка № 2011614792. Дата поступления 28 июня 2011 г. Зарегистрировано 19 августа 2011 г.

46.Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011617936. Степенное управление ценой при продаже скоропортящихся товаров/ Степанова Н.В. Заявка №2011616146. Дата поступления 12 августа 2011г. Зарегистрировано 11.10.2011 г.

47.Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011614774. Математическая модель управления ценой при продаже скоропортящегося товара/ Степанова Н.В. Заявка № 2011613065. Дата поступления 29 апреля 2011г.; Зарегистрировано 17.06.11 г.

48.Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011611106. Математическая модель продажи товара/ Степанова Н.В. Заявка № 2010617745. Дата поступления 7 декабря 2010 г; Зарегистрирована 02.02.11 г.

49.Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 4.- М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1957. - 812 с.

50. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под редакцией М. Абрамовича, И. Стиган и др. - М.: Наука, 1979.-830 с.

. 51 .Степанова Н.В. Адаптивный алгоритм определения оптимального объема товара [Электронный ресурс] / Н.В.Степанова // Научное творчество молодежи : материалы XVI Всероссийской научно-практической конференции : в 2 ч. 17 - 18 мая 2012 г. - Электрон, дан. - Анжеро-Судженск, 2012. - Ч. 1.-1 электрон, опт. диск.

52.Степанова Н.В., Терпугов А.Ф. Определение оптимального объёма партии товара непрерывно портящейся продукции // Вестник Томского Политехнического университета. - 2009. - Т. 314, № 6. - С. 50-53.

53.Степанова Н.В., Терпугов А.Ф. Определение оптимального объема партии товара скоропортящейся продукции // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М.Ф. Решетнева. - Вып. 4 (21). -2008. - С. 60-65.

54.Степанова Н.В. Управление ценой при продаже скоропортящейся продукции // Наука и образование - 2007: Материалы V Международной научно-практической конференции (03-15 января 2007 г.). Том 7. Экономические науки. Днепропетровск (Украина): Наука и образование. - 2007. - С. 106-109.

55.Степанова Н.В., Терпугов А.Ф. Управление ценой при продаже портящегося товара// Вестник Томского государственного университета. Сер. Управление, вычислительная техника, информатика. - 2008. - № 3(4). - С. 27-39.

56.Степанова Н.В. Управление ценой при продаже скоропортящейся продукции// Студент и научно-технический прогресс: Материалы XLVI Международной научной студенческой конференции. Экономика (26-30 апреля 2008 г.). Новосибирск. - Издательство Новосибирского государственного университета. - 2008. -С. 90-91.

57.Степанова Н.В. Математическая модель порчи товара и определение оптимального объема партии товара непрерывно портящейся продукции// Студент и научно-технический прогресс: Материалы XLVIII Международной научной студенческой конференции. Экономика (10-14 апреля 2010 г.). Новосибирск. - Издательство Новосибирского государственного университета. - 2010. - С. 90-91.

ь tí

58.Степанова Н.В. Модернизация торговли и внедрение научных технологий при продаже товара// Двадцать третьи Международные Плехановские чтения (12-14 апреля 2010 г.): Тезисы докладов студентов - М.: Изд-во Рос. экон. акад. - 2010. -С. 220.

59.Степанова Н.В. Моделирование и оптимизация процессов торговли// Международная научная конференция «Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях» (27 октября 2010 г.): Сборник трудов - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2010. - С. 128-131.

60.Степанова Н.В. Математическая модель и оптимизация управления розничной продажей скоропортящегося товара// Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 1. - М.: МФТИ. - 2010. - С. 102-103.

61.Степанова Н.В. Нахождение закона управления ценой продажи товара // Массовое обслуживание: потоки, системы, сети: материалы междунар. науч. конф. «Современные вероятностные методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей», Минск, 31 янв.-З фев. 2011 г., Вып. 21/ ред. кол.: А.Н. Дудин (отв.ред.) - Минск: РИВШ. - 2011. - С. 236-240.

62.Степанова Н.В. Оптимизация процесса продажи / X Международная ФАМ'2011 конференция по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Тезисы докладов. Красноярск. - Сибирский федеральный Университет. - 2011. - С. 337.

63.Степанова Н.В. Математическая модель порчи товара // Студент и научно-технический прогресс: Материалы XLIX Международной научной студенческой конференции. Математика (16-20 апреля 2011 г.). Новосибирск. - Издательство Новосибирского государственного университета. — 2011. - С. 305.

64.Степанова Н.В. Распределение величины покупки товара в экспоненциальном приближении // Научное творчество молодежи: Материалы XV Всероссийской научно-практической конференции (28-29 апреля 2011 г.). Ч. 1. Анжеро-Судженск. - Издательство Томского государственного университета. — 2011. — С. 37-39.

65.Степанова H.B. Оценка параметров оптимального управления поставками// Им-пульс-2011: труды VIII всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции студентов, молодых ученых и предпринимателей в сфере экономики, менеджмента и инноваций. В 2-х томах. Т. 2./ под ред. A.A. Дульзона; Томский политехнический университет. - Томск: Изд-во Томского политехнического университета. - 2011. - Секция 7. Вероятность, статистика, риск. - С. 245-248.

66.Степанова Н.В. Экономико-математические модели розничной торговли// Массовое обслуживание: потоки, системы, сети: материалы междунар. науч. конф. «Современные вероятностные методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей», Минск, 28-31 янв. 2013 г. Вып. 22/ ред. кол.: А.Н. Дудин (отв. ред.) - Минск: Изд. центр БГУ. - 2013. - С. 178-187.

67.Степанова Н.В. Управление запасами вспомогательного сырья // Студент и научно-технический прогресс: Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции. Математика (12-18 апреля 2013 г.). Новосибирск. — Издательство Новосибирского государственного университета. - 2013. - С. 124.

68.Степанова Н.В. Оптимизация запасов продукции [Электронный ресурс] / Н.В.Степанова // Научное творчество молодежи: материалы XVII Всероссийской научно-практической конференции : в 2 ч. 25- 26 апреля 2013 г. - Электрон, дан. - Анжеро-Судженск, 2013. - Ч. 1.-1 электрон, опт. диск.

69.Терпугов А.Ф. Математика рынка ценных бумаг. - Томск: Изд-во ТГПУ, 2000. -179 с.

70.Терпугов А.Ф. Экономико-математические модели. - Томск: Изд-во ТГПУ, 1999 г. - 117 с.

71.Терпугов А.Ф. Теория случайных процессов. - Томск: изд-во ТГУ, 1974.

72.Терпугов А.Ф. Математическая статистика. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1974. — 136 с.

73.Фильчаков, П.Ф. Справочник по высшей математике. / П.Ф. Фильчаков. - Киев: Изд-во «Наукова думка», 1973. - 743 с.

74.Хейдли Дж., Уайтин Г.. Анализ систем управления запасами. - М.: Наука, 1969. -512 с.

75.Хеннекен П.А., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения. -М.: Наука, 1974.-472 с.

76.Хэнесменн Ф. Применение математических методов в управлении производственными запасами. - М.: Прогресс, 1966. - 280 с.

77.Хоботов Е.Н., Калинин М.Н. Модели управления многопродуктовыми запасами при переменном спросе.// Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем.— М.: Издательство ЛКИ. - 2008. - № 12. - С. 185-200.

78.Abad. P.L. Optimal price and order size for a reseller under partial backordering //Computers & Operations Research. - 2001. - V. 28 - P. 53-65.

79.Abad. P.L. Optimal pricing and lot-sizing under conditions of perishability, finite production and partial backordering and lost sale // European Journal of Operational Research. - 2003. - V. 144. - P. 677-685.

80.Amihud Y., Mendelson H., Lauterbach B. Market Microstructure and Securities Values: Evidence from the Tel-Aviv Stock Exchange // Journal of Financial Economics. -1997.-V. 45.-P. 365-390.

81.Arrow K. J., Harris Т., Marschak J. Optimal inventory policy //Econometrica: Journal of the Econometric Society. - 1951. - P. 250-272.

82.Bakker M., Riezebos J., Teunter R. H. Review of inventory systems with deterioration since 2001 //European Journal of Operational Research. - 2012. - V. 221. - № 2. - P. 275-284.

83.Barclay M., Christie W., Harris J., Kandel E., Schultz P. The Effects of Market Reform on the Trading Costs and Depths of Nasdaq Stocks // Journal of Finance. - 1999. -V. 54.-P. 1-34.

84.Begum R., Sahoo R. R., Sahu S. K. A replenishment policy for items with price-dependent demand, time-proportional deterioration and no shortages //International Journal of Systems Science. - 2012. - V. 43. - № 5. - P. 903-910.

85.Benkherouf L. On a stochastic inventory model with a generalized holding costs //European journal of operational research. - 2007. - V. 182. - № 2. - P. 730-737.

158

86.Benkherouf L., Boumenir A., Aggoun. L. A diffusion inventory model for deteriorating items // Applied Mathematics and Computation. - 2003. - V. 138. -№ l.-P. 21-39.

87.Benkherouf L., Boumenir A., Aggoun. L. A Stochastic inventory model with stock dependent demand items // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis.-2001.-V. 14.-№4.-P. 317-328.

88.Biais B. Price formation and equilibrium liquidity in fragmented and centralized markets // Journal of finance. - 1993. - V. 48. - P. 157-184.

89.Biais B., Foucault T., Salanie F. Floors. Dealer Markets and Limit Order Markets // Journal of Financial Markets. - 1998. -№ l.-P. 253-284.

90.Camp W. E. Determining the production order quantity //Management engineering. -1922. - V. 2. -№ l.-P. 17-18.

91.Chew E.P., Lee C., Liu R. Joint inventory allocation and pricing decisions for perishable products // International Journal of Production Economics. - 2009. - V. 120. -№ l.-P. 139-150.

92.Cohen M. A., Pierskalla W. P. Perishable inventory theory and its application to blood bank management. - Working Paper, Department of Industrial Engineering and Management Sciences, Northwestern University, Evanston, Illinois, 1974.

93.Cohen M. A., Pierskalla W. P. Management policies for a regional blood bank // Transfusion. - 1975. - V. 15. - № 1. - P. 58-67.

94.Dvoretzky A., Kiefer J., Wolfowitz J. The inventory problem: I. Case of known distributions of demand //Econometrica: Journal of the Econometric Society. - 1952. - P. 187-222.

95.Dvoretzky A., Kiefer J., Wolfowitz J. On the optimal character of the (s, S) policy in inventory theory //Econometrica: Journal of the Econometric Society. - 1953. - P. 586-596.

96.Easley D., Kiefer N., O'Hara M. One Day in the Life of a Very Common Stock // Review of Financial Studies. - 1997. - № 10. - P. 805-835.

97.Haijema R. A new class of stock - level dependent ordering policies for perishables with a short maximum shelf life. //International Journal of Production Economics, in press, doi: 10.1016/j.ijpe.2011.05.021.

98.Harris F. W. How many parts to make at once // Factory, The Magazine of Management. - 1913.-V. 10.-P. 135-136, 152.

99.Harris F. W. How much stock to keep on hand //Factory, The Magazine of Management. - 1913. - V. 10. - P. 240-241, 281-284.

100. Hasbrouck J. Trades, Quotes, Inventories, and Information // Journal of Financial Economics. - 1988. - V. 22. - P. 229-252.

101. Hax A. C., Candea D. Production and inventory management, 1984.

102. Huang R., Stoll H. Market Microstructure and Stock Return Predictions // Review of Financial Studies. - 1994. -№ 7. - P. 179-213.

103. Hung K.-C. An inventory model with generalized type demand, deterioration and backorder rates // European Journal of Operational Research. - 2011. -V. 208. - № 3. -P. 239-242.

104. Keim D., Madhavan A. Anatomy of the Trading Process: Empirical Evidence on the Motivation for and Execution of Institutional Equity Trades // Journal of Financial Economics. - 1995. -V. 37. - P. 371-398.

105. Ketzenberg M., Ferguson. M.E. Managing slow-moving perishables in the grocery industry // Production and Operations Management. - 2008. - V. 17. - № 5. - P. 513-521.

106. Anna Kitaeva, Natalya Stepanova. Diffusion approximation in inventory management //Book of Abstract of the 15th Applied Stochastic Models and Data Analysis (ASMDA2013) International Conference, Mataro(Barselona), Spain, 25-28 June 2013. - International Society for the Advancement of Science and Technology, 2013. -P. 115.

107. Anna V. Kitaeva, and Natalya V. Stepanova. Linear On/Off Inventory Control [Электронный ресурс] / Anna V. Kitaeva, Natalya V. Stepanova // Proceedings, 15th Applied Stochastic Models and Data Analysis (ASMDA2013) International Con-

ference, Mataro(Barcelona), Spain 25 - 28 June 2013. - P. 497-504. - Режим доступа: http://www.asmda.es/images/lProceedings_ASMDA_2013_K-M.pdf.

108. Lee Y. P., Dye C. Y. An inventory model for deteriorating items under stock-dependent demand and controllable deterioration rate //Computers & Industrial Engineering. - 2012. - V. 63. - № 2. - P. 474-482.

109. Li R., Lan H., Mawhinney J.R. A review on deteriorating inventory study // Journal of Service Science and Management. - 2010. - V.03. -№ 01. - P. 117-129.

110. Li Y., Cheang B, Lim A. Grocery Perishables Management // Production and Operations Management, 2011.

111. Li Y„ Lim A., Rodrigues B. Pricing and inventory control for a perishable product // Manufacturing & Service Operations Management. - 2008. - V. 11. - № 3. -P. 538-542.

112. Lian Z., Liu X., Zhao N. A perishable inventory model with Markovian renewal demands // International Journal of Production Economics. - V. 121. - № 1. - P. 176182.

113. Madhavan A., Sofianos G. An Empirical Analysis of NYSE Specialist Trading // Journal of Financial Economics. - 1998. - V. 48. - P. 189-210.

114. Maihami R., Abadi I. N. K. Joint control of inventory and its pricing for non-instantaneously deteriorating items under permissible delay in payments and partial backlogging //Mathematical and Computer Modelling. - 2012. - V. 55. - № 5. -P. 1722-1733.

115. Maihami R., Nakhai Kamalabadi I. Joint pricing and inventory control for non-instantaneous deteriorating items with partial backlogging and time and price dependent demand //International Journal of Production Economics. - 2012. - V. 136. - № 1. -P. 116-122.

116. Maity K., Maiti M. Optimal inventory policies for deteriorating complementary and substitute items // International Journal of Systems Science. - 2009. - V. 40. — № 3. - P. 267-276.

117. Manuel P., Lawrence A.S., Arivaraginan G. A stochastic perishable inventory system with random supply quantity // International Journal of Information and Management Sciences. - 2007. - V. 18. - № 4. - P. 317-334.

118. Mishra V. K. Inventory model for time dependent holding cost and deterioration with salvage value and shortages //The Journal of Mathematics and Computer Science.

- 2012. - V. 4. — № 1. - P. 37-47.

119. Morse P. M., Kimball G. E. Methods of operations research. - CENTER FOR NAVAL ANALYSES ALEXANDRIA VA OPERATIONS EVALUATION GROUP, 1946. -№ OEG-54

120. Mukhopadhyay S., Mukherjee R.N., Chaudhuri K.S. Joint pricing and ordering policy for a deteriorating inventory // Computers & Industrial Engineering. - 2004. -V. 47. - № 4. - P. 339-349.

121. Nahmias S. A comparison of alternative approximations for ordering perishable inventory//Infor.-1975.-V. 13.-№ 2.-P. 175-184.

122. Nahmias S. Optimal ordering policies for perishable inventory-II //Operations Research. - 1975. - V. 23. - № 4. - P. 735-749.

123. Nahmias S. Perishable inventory theory: a review // Operations Research. - 1982. -V. 3.-№4.-P. 680-708.

124. Nahmias S., Pierskalla W. P. Optimal ordering policies for a product that perishes in two periods subject to stochastic demand //Naval Research Logistics Quarterly. -1973. - V. 20. - № 2. - P. 207-229.

125. O'Hara M. Market Microstructure Theory. Blackwell Publisher Inc., 2002. - 290p.

126. Panda S., Saha S., Basu M. Optimal pricing and lot-sizing for perishable inventory with price and time dependent ramp-type demand //International Journal of Systems Science.-2013.-V. 44.-№ l.-P. 127-138.

127. Parlour C. Price Dynamics in Limit Order Markets // Review of Economic Studies.

- 1998.-V. 11.-P. 789-816.

128. Pierskalla W. P., Roach C. D. Optimal issuing policies for perishable inventory //Management Science. - 1972.-V. 18.-№ ll.-P. 603-614.

129. Pierskalla W.P. Optimal issuing policies in inventory management-I //Management Science. - 1967. - V. 13. - № 5. - P. 395-412.

130. Raafat F. Survey of literature on continuously deteriorating inventory

models // Journal of the Operational Research Society. - 1991. - V. 42. - № 1. — P. 27-37.

131. Roy A., Kar S., Maiti M. A volume flexible production - policy for randomly deteriorating item with trended demand and shortages // International Journal of Production Economics.-2010.-V. 128.-№ l.-P. 188-199.

132. Routledge B. Adaptive Learning in Financial Markets // Review of Financial Studies.-1999.-№ 12.-P. 1165-1202.

133. Sarkar В., Saren S., Wee H. M. An inventory model with variable demand, component cost and selling price for deteriorating items //Economic Modelling. - 2013. -V. 30.-P. 306-310.

134. Sarkar В., Sarkar S. An improved inventory model with partial backlogging, time varying deterioration and stock-dependent demand //Economic Modelling. - 2013. -V. 30.-P. 924-932.

135. Seppi D. Liquidity Provision with Limit Orders and a Strategic Specialist // Review of Financial Studies. - 1997. - № 10. - P. 103-150.

136. Sezen B. Expected profit approach used in discount pricing decisions for perishable products //International Journal of Retail & Distribution Management. — 2004. - V. 32. - № 4. - P. 223-229.

137. Shah N. H., Soni H. N., Patel K. A. Optimizing inventory and marketing policy for non-instantaneous deteriorating items with generalized type deterioration and holding cost rates //Omega. - 2013. - V. 41. - № 2. - P. 421-430.

138. Silver E. A. et al. Inventory management and production planning and scheduling. -New York: Wiley, 1998. -V. 3.

139. Stepanova N.V. Price control in selling perishable goods // The Second International Conference «Problems of Cybernetics and Informatics» Dedicated to 50th of the ICT in Azerbaijan Section # 5 «Control and optimization». - 2008 - P. 141-144.

140. Tadj L., Bounkhel M., Benhadid Y. Optimal control of a production inventory system with deteriorating items // International Journal of Systems Science. - 2006. -V. 37. - № 15. — P. 1111-1121.

141. Van Zyl G. J. J. Inventory control for perishable commodities : ahc. - University of North Carolina at Chapel Hill, 1964.

142. Vayanos D. Strategic Trading and Welfare in a Dynamic Market // Review of Economic Studies. - 1999. - V. 66. - P. 219-254.

143. Vayanos D. Transaction Costs and Asset Prices: A Dynamic Equilibrium Model //Review of Financial Studies. - 1998. - № 11. - P. 1-58.

144. Wang J. A Model of Competitive Stock Trading Volume // Journal of Political Economy.-1994.-V. 102.-P. 127-168.

145. Wilson R. H. A scientific routine for stock control //Harvard business review. -1934.-V. 13.-№ l.-P. 116-129.

146. Yang H. L. A partial backlogging production-inventory lot-size model for deteriorating items with time-varying production and demand rate over a finite time horizon //International Journal of Systems Science. - 2011. -V. 42. - № 8. - P. 1397-1407.