Математические модели инфекционной динамики на основе предфрактальных графов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Утакаева, Ирина Хайрлыевна

• Утакаева, Ирина Хайрлыевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Утакаева, Ирина Хайрлыевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ РАСПОЗНАВАНИЯ И

ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДФРАКТАЛЬНЫХ ГРАФОВ КАК

МОДЕЛЕЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИНФЕКЦИЙ

1.1 Фрактальные и предфрактальные графы

1.2 Распознавание предфрактального графа с регулярной затравкой степени г = п- 2

1.2.1 Алгоритм а! распознавания

1.2.2 Описание процедуры рх

1.3 Распознавание предфрактального графа с непересекающимися «старыми» рёбрами, образованного двумя чередующимися затравками

1.3.1 Алгоритм а2 распознавания предфрактальных графов

1.3.2 Описание процедуры р21 (выделения затравки Нх = СЮ)

1.3.3 Описание процедуры р22 (выделения затравки Н2 = (\У2, СЪ))

1.4 Распознавание предфрактального графа с пересекающимися «старыми» рёбрами, образованного двумя полными

чередующимися затравками

1.4.1 Алгоритм а3 распознавания предфрактальных графов

1.4.2 Описание процедуры р31 выделения затравки Щ = (\¥ь С^)

1.4.3 Описание процедуры р32 выделения затравки Н2 = (\¥2, СЬ)

1.5 Распознавание предфрактального графа с пересекающимися «старыми» рёбрами, образованного множеством полных затравок

с чередованием

1.5.1 Алгоритм <Х4 распознавания предфрактальных графов

1.5.2 Описание процедуры р4

1.6 Распознавание предфрактального графа с пересекающимися «старыми» рёбрами, образованного множеством полных затравок

1.6.1 Алгоритм а5 распознавания предфрактальных графов

1.6.2 Описание процедуры р5

1.7 Распознавание предфрактального графа, если затравка -

дерево регулярной степени

1.7.1 Алгоритм <Хб распознавания предфрактальных графов

Выводы 1

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАЗРУШЕНИЯ ПРЕДФРАКТАЛЬНЫХ ГРАФОВ КАК МОДЕЛЕЙ ЗАТУХАНИЯ ЭПИДЕМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

2.1 Надёжность, живучесть, стойкость

2.2 Структурное разрушение предфрактальных графов, образованных двумя чередующимися полными затравками

2.2.1 Разрушение предфрактального графа с эпицентрами

в вершинах Ь-то ранга

2.2.2 Разрушение предфрактального графа с эпицентрами

в вершинах Ь-1-го ранга

2.2.3 Разрушение предфрактального графа с эпицентрами

в вершинах /-го ранга, где I —1-1,

2.2.4 Разрушение предфрактального графа с эпицентрами

в вершинах первого ранга

2.2.5 Разрушение предфрактального графа с эпицентрами

в вершинах разных рангов

2.3 Структурное разрушение предфрактальных деревьев

2.3.1 Структурное разрушение предфрактальных деревьев

по критерию связности

2.3.2 Структурное разрушение предфрактальных деревьев

по компонентному критерию

2.3.3 Структурное разрушение предфрактальных деревьев

по диаметральному критерию

Выводы 2

3 ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ И ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРЕДФРАКТАЛЬНЫХ ГРАФОВ

С РАЗЛИЧНЫМИ ЗАТРАВКАМИ

3.1 Предфрактальный граф (г = (V, Е) с регулярной затравкой степени « = п-2

3.2 Предфрактальный граф (г = (V, Е) с непересекающимися «старыми» рёбрами, образованный двумя полными чередующимися затравками Щ = (1Гь (¿1) и Н2 = 0¥2, (¿2)

3.3 Предфрактальный граф с двумя полными чередующимися затравками в случае, когда смежность «старых» рёбер

не нарушается

3.4 Предфрактальный граф с затравкой-звездой

Выводы 3

4 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДФРАКТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ИНФЕКЦИОННОЙ ДИНАМИКИ

4.1 Математическая модель структуры распространения инфекционного заболевания

4.2 Эпидемический порог

4.3 Алгоритм поиска порога перколяции предфрактального

графа

4.4 Карантин

4.5 Структура распространения инфекционного заболевания

4.6 Математическая модель распространения вредоносных программ

(компьютерных вирусов) в телекоммуникационных сетях

Выводы 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели инфекционной динамики на основе предфрактальных графов»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время инфекционные болезни остаются одной из ведущих причин преждевременной смерти людей на Земле. Это происходит в основном из-за высокой смертности в развивающихся странах. В промышленно развитых странах доступность лекарств и вакцин привели к росту уверенности в том, что эта угроза практически преодолена. Однако неожиданное и быстрое распространение таких эпидемий, как малярия, СПИД, туберкулез, грипп снова сделали актуальной борьбу с инфекционными заболеваниями. В современной эпидемиологической динамике инфекционных болезней произошел переход от классического описательного подхода роста или уменьшения числа заражённых к математическому моделированию передачи, распространению и заражению инфекцией. В эпидемиологии моделирование стало применяться в исследовательских целях для прогнозирования характера эпидемического процесса и для определения стратегии действий служб здравоохранения [27-29, 36-37, 39, 41-42, 49, 122, 148, 181].

Одновременно подобные процессы происходят с эпидемиями компьютерных вирусов и других вредоносных программ, наносящих огромный ущерб организациям и отдельным пользователям компьютеров. За последние 10-15 лет распространение вредоносных кодов, носившее локальный характер, превратилось в глобальные эпидемии сетевых вирусов, не требующих для своего распространения участия пользователей. Функционирование многих структур и организаций тесно связано с глобальными сетями и зависит от качества процессов в них. Сетевые вирусы, размножающиеся в неограниченном количестве, фальсифицируют или просто прекращают работу компьютерного обеспечения, «забивают» каналы передачи информации, что само по себе наносит значительные убытки, не говоря уже о том, что они могут содержать деструктивные функции, приводящие к потере или утечке важной и конфиденциальной информации.

Будем назвать процессы пространственного распространения и вре-

V* 1 \ V/

менного изменения этих двух групп эпидемии инфекционнои динамикои.

Обычно трудно реализуемые пространственные составляющие динамики в предлагаемых моделях берёт на себя топология предфрактального графа, которая наращивается объёмными графами - затравками, а динамика наращения предфрактального графа, называемая его распознаванием, отвечает за временную составляющую процесса. Познавательная роль моделей инфекционной динамики определяется их сущностью, предполагающей выявление взаимосвязей многочисленных параметров эпидемического процесса. Модель должна позволять судить о числе контактов, определять степень риска инфицирования, определять пороги заболевания, исследовать особенности возрастного и территориального распределения заболеваемости. Не менее важной функцией модели должно стать накопление статистики при описании многолетней динамики эпидемия, включая сезонные циклы, что открывает возможность более точного описания и прогнозирования тенденций, уровней развития основных показателей эпидемического процесса. Разумное использование методов математического моделирования эпидемического процесса может стать чрезвычайно полезным при планировании профилактических и противоэпидемических мероприятий, для выбора оптимальных путей борьбы с эпидемическим распространением людских и компьютерных вирусов. Хорошо организованная математическая модель, заменяя эпидемический процесс безопасно и количественно, дисциплинирует исследовательскую работу, систематизирует научные знания, приводит к появлению новых идей [43-45, 115,118-121].

Сегодня либерализующийся мир с высоким потенциалом сетевых человеческих взаимодействий (через личные контакты и сетевые компьютерные мосты) оказался в положении, когда «старые» и «новые» инфекционные заболевания имеют высокий потенциал к бесконтрольному распространению, причём с очень высокой скоростью. Урбанизация, нарастающее ухудшение социально-экологических и санитарно-гигиенических условий проживания сотен миллионов людей в развивающихся и развитых странах мира, всё возрастающие миграционные потоки и процессы глобализации экономики спо-

собствуют быстрому распространению инфекционных заболеваний. Как это ни парадоксально, но сегодня реальная угроза начинает исходить от современных высоких информационных и биотехнологий - генной инженерии и молекулярной биологии, всемирных сетей типа Интернет. Дело осложняется тем, что модифицированные микроорганизмы могут стать первопричиной тяжелых эпидемий в результате террористических атак, неконтролируемого их «выхода» из научных лабораторий и промышленных предприятий про-мышленно развитых стран мира в результате техногенных аварий или природных катастроф.

Очевидно, что новые аспекты современной эпидемиологии с особо опасными инфекциями нам ещё предстоит глубоко изучать и анализировать, в том числе с помощью методов их математического и компьютерного моделирования.

Невозможно представить современную науку без широкого применения математического моделей. Сущность методологии моделирования состоит в замене исходного объекта его некоторым абстрактным образом - математической моделью - с дальнейшим изучением модели на основе реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов и исследованием с её помощью процессов в реальной жизни. Этот метод познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с объектом, явлением, процессом, а с его моделью даёт возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать многие его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях. В то же время вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современного математического аппарата, вычислительных методов и инструментальных подходов, детально и глубоко изучать объект в полноте, недоступной чисто теоретическим подходам. Методология математического моделирования бурно развивается и охватывает всё новые сферы - от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.

При построении эпидемиологической модели различают несколько этапов:

• установление структуры модели на основе собранных фактических данных о параметрах эпидемиологического процесса (восприимчивость, устойчивость, инкубационный период, порог заражения, длительность болезни, бактерионосительство, продолжительность действия иммунитета и др.);

• математическая формулировка модели с использованием наиболее экономных способов реализации и эффективных по времени решения;

• «проигрывание» на компьютере ряда вариантов эпидемиологического процесса при включении и исключении различных параметров и условий, влияющих на распространение инфекции, с целью выбора оптимального.

Большинство моделей конструируется и применяется с целью краткосрочного прогнозирования заболеваемости, что, по всей вероятности, диктуется потребностями противоэпидемической службы для подготовки и своевременной реализации в практических условиях краткосрочных тактических эффективных профилактических, противоэпидемических и лечебных мероприятий. Исследовательским задачам, соподчиненным с выбором оптимальной стратегии борьбы с заболеваемостью, посвящено лишь незначительное число работ и созданных моделей.

Задача противодействия распространению вредоносных вирусных программ крайне актуальна. По мере выхода всё большего числа организаций в инфотелекоммуникационное пространство и использованием ими сетей передачи данных, они всё в большей мере терпят убытки от постоянных вспышек эпидемий сетевых вирусов, новые модификации которых появляются каждый день.

Противодействие созданию, распространению и вредному действию программ-вирусов представляет собой сложную задачу, ею занимаются специализированные лаборатории по всему миру. Задачи этой науки достаточно сложны, это не только обнаружение, профилактика, идентификация вирусов, но и их лечение, распознавание спама с экономией трафика и пр. Антивирус-

ная технология имеет множество аспектов, одним из которых является создание программ распознавания с исключительной вирусоустойчивостью. Другая задача - моделирование распространения вредоносных программ и методы предсказания этого процесса. Третья - с помощью математических моделей можно оценить масштабы возможной эпидемии, изучить динамику изменения числа заражённых компьютеров и т.д.

Моделирование также может быть использовано для того, чтобы оценить эффективность тех или иных мер противодействия распространению, например, провести лечение уже заражённых компьютеров или предварительно устранить уязвимости в программном обеспечении, используемые вредоносным кодом для инфицирования. Таким образом, эпидемиологические модели являются необходимым инструментом для изучения и противодействия распространению вирусных атак.

Элементы того, что мы теперь называем математическим моделированием, использовались с начала появления точных наук и не случайно, что некоторые методы вычислений носят имена таких корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, а слово «алгоритм» происходит от имени средневекового арабского ученого Аль-Хорезми. Второе рождение этой методологии пришлось на конец 40-ых - начало 50-ых годов ХХ-го века и было обусловлено, по крайней мере, двумя причинами. Первая из них - появление компьютеров, хотя и скромных по нынешним меркам, но тем не менее избавивших учёных от огромной по объёму рутинной вычислительной работы. Вторая - беспрецедентный социальный заказ - выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно-ядерного щита, которые не могли быть реализованы традиционными методами. Математическое моделирование справилось с этой задачей: ядерные взрывы и полёты ракет и спутников были предварительно осуществлены в недрах компьютеров с помощью математических моделей и лишь затем претворены на практике. Этот успех во многом определил дальнейшие достижения методологии, без применения которой ни один крупномасштабный технический, экологически или экономический проект в

развитых странах теперь всерьёз не рассматривается.

Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, очень часто не поддаются исследованию в нужной полноте обычными теоретическими методами. Прямой натуральный эксперимент над этими системами долог, дорог, часто опасен, либо попросту невозможен, так как многие из этих систем существуют в единственном экземпляре. Поэтому математическое моделирование является неизбежной и необходимой составляющей и инструментом научно-технического прогресса.

Конечно, математическое моделирование приносит плоды лишь при выполнении известных профессиональных требований: чёткая формулировка основных понятий и предположений, апостериорный анализ адекватности используемых моделей, гарантированная точность вычислительных алгоритмов и т.д. Если же говорить о трудноформализуемых объектах, то необходимо добавить аккуратное разграничение математических и житейских терминов (звучащих одинаково, но имеющих разный смысл), осторожное применение уже готового математического аппарата к изучению явлений и процессов (предпочтительно от задачи к методу, а не наоборот) и ряд других.

Математическая модель — это модель, созданная с помощью математических понятий и аппарата, инструментальных средств. Таким образом, математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей. Естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути, занимаются математическим моделированием: они заменяют реальный объект его моделью, а затем изучают последнюю [99, 127, 145].

Никакое одно определение не может в полном объёме охватить реально существующую методологию математического моделирования. Несмотря на это, многие определения полезны тем, что в них делается попытка так или иначе выделить наиболее существенные черты моделей.

Определение модели по A.A. Ляпунову: «Моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при ко-

тором непосредственно изучается не сам интересующий объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель):

• находящаяся в объективном соответствии с познаваемым объектом;

• способная замещать его в определённых отношениях;

• дающая при её исследовании информацию о моделируемом объекте».

Появление фрактальных (предфрактальных) графов является логически

закономерным следствием стремления возможно более адекватно моделировать динамику реальных технических, экономических, социальных явлений и объектов с помощью математического аппарата теории графов.

Фрактальный граф - сложный абстрактный объект, совмещающий в себе свойства, характеристики и достоинства фракталов и «обычных» или привычных графов от Эйлера.

Понятие фрактал, введённое Бенуа Мандельбротом, объединило объекты, обладающие особым свойством - свойством самоподобия {self-similarity) или масштабной инвариантности. Работы, связанные с исследованием фрактальных объектов (фрактальных множеств), долгое время считались занимательными, но не имеющими значительных приложений. Мнение мировой научной среды изменилось с момента издания книги [108]. В настоящее время о перспективности и значимости исследований, связанных с фрактальными множествами, можно судить по регулярно проводимым конференциям и периодическим изданиям (таков, например, журнал «Chaos, Solitons & Fractals»), целиком посвящённым соответствующей тематике, и по множеству книг, учебников и монографий. Всё это позволяет говорить о сформировавшемся круге прикладных физических модельных задач на основе фрактальных множеств. Среди них выделяются те задачи и модели, где фрактальные множества представлены как разномасштабные самоподобные (фрактальные или масштабно-инвариантные) графы большой размерности, т.е. с большим числом вершин. К ним относятся, например, задачи о броуновском движении (случайном блуждании), задачи диффузии и просачи-ваемости. Кроме того, самоподобные графы нередко выступают в качестве

моделей структур сложных и практически важных многоэлементных систем, таких, как коммуникационные сети [8-11, 19].

В природе не существует реального объекта, адекватного бесконечному фрактальному графу. Однако последний позволяет выявить и определить качественные свойства из количественных характеристик (параметров) конечной предфрактальной модели. Фрактальный граф - это, в конечном счёте, один из способов выявления некоторых качеств моделируемой системы. Причём по отношению ко всей исследуемой системе речь идёт о таких качествах, которые не выводимы прямо из свойств элементов системы и локальных взаимодействий этих элементов [6-7, 14, 40, 108, 110, 154, 176, 178, 182].

Активное изучение динамики фрактальных графов и областей их приложения ведётся в научной школе профессора A.M. Кочкарова. Исследования ведутся по трём направлениям: распознавание фрактальных графов; их свойства и характеристики; задачи многокритериальной оптимизации в системах с масштабно-инвариантной структурой. Надо отметить, что масштабная инвариантность структур моделируемых систем является следствием общего подхода в этих системах, называемого структурной динамикой [92, 116-117, 156-162, 164-166, 168-174].

Рабочая гипотеза диссертационной работы - на основе широкого круга исследований предфрактальных графов построить математические модели структур распространения человеческих эпидемий и компьютерных вирусов. Предложенные модели стали бы инструментом мониторинга, анализа, исследования и прогнозирования саморазвивающихся эпидемий в человеческой жизни и вредоносных программ в компьютерных сетях. В этих моделях бытовые контакты людей, объединённых взаимными общими связями, и взаимодействие компьютеров, объединённых в коммуникационные сети, могут быть представлены самоподобными разномасштабными конструкциями, содержащими пред фрактальные графы со взвешенными вершинами. Таким образом, диссертация посвящена математическому моделированию процессов распространения эпидемий и вирусов в сетевых структурах [1, 3-5, 13, 16-17].

Целью диссертационного исследования является разработка математических моделей структур и особенностей распространения и затухания эпидемий (человеческих и компьютерных) на основе пред фрактальных графов. Модель конструируется достаточно гибкой и универсальной, она даёт возможность изменять различные параметры, чтобы с их помощью настраиваться на моделирование распространения и затухания вредоносных человеческих и компьютерных вирусных инфекций.

Поставленная цель обусловила необходимость решения таких задач:

1 Определение исходных положений с выделением свойств предфрак-тальных графов, необходимых для моделирования пространственного распределения эпидемий и задач распространения эпидемических ареалов в динамике человеческих и компьютерных инфекций;

2 Разработка алгоритмов распознавания предфрактальных графов как моделей процессов распространения инфекций;

3 Исследование процессов разрушения предфрактальных графов как моделей процессов затухания инфекционных процессов;

4 Определение метрических и числовых характеристик предфрактальных графов, выступающих в качестве основы для математического представления моделей распространения и затухания эпидемических пандемий человечества и распространения компьютерных вирусов в коммуникационных сетях;

5 Построение на предфрактальных графах самих математических моделей распространения человеческих эпидемий, возможно, эпидемий диких и домашних животных, а также динамики вирусных атак в компьютерных сетях, исследование построенных моделей с получением практических итогов.

Объектом исследования выступает динамика распространения человеческих инфекций и процессы заражения компьютеров вредоносными программами-вирусами. Предметом исследования является комплекс топологических свойств и числовых характеристик предфрактальных графов, позволяющих использовать их для построения моделей заражений людей инфекциями, а компьютеров - программами-вирусами.

При решении поставленных задач в исследовании использованы методы и подходы теории множеств, теории графов и сетей, теории вероятностей, математической статистики, теории эпидемий, теории перколяции, методы математического моделирования, алгоритмы комбинаторной оптимизации, концептуальные методы теории фракталов, методы имитационного моделирования. Достоверность и обоснованность всех результатов диссертационного исследования подтверждается последовательной цепью строгих и обоснованных логических умозаключений в виде предложений, лемм и теорем с доказательствами и их следствий. Было выяснено, что аппарат пред-фрактальных графов наилучшим образом подходит для формального представления задач, связанных с изменением и преобразованием структур систем, состоящих из дискретных разномасштабных, самоподобных объектов, которые представляют собой размножающиеся и разрушающиеся инфекционные процессы. Такие объекты стоит в общем случае называть фракталами.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1 Показано, что как динамика распространения людских инфекций в социальных сетях, так и динамика вирусного инфицирования компьютеров в инфотелекоммуникационных сетях имеет одни и те же математические формы, что позволяет для их моделирования унифицировано использовать один и тот же математический аппарат, алгоритмические и программные инструментальные средства.

2 Процессам распространения инфекционных человеческих заболеваний или компьютерных вирусов в полной мере релевантны процессы распознавания (построения) предфрактальных графов - конечных самоподобных, разномасштабных графовых структур, наращиваемые затравками. Они стали основным конструктом математического аппарата моделирования.

3 Процессам затухания инфекционных процессов при моделировании эпидемий адекватны процессы разрушения предфрактальных графов. Таким образом, переход от процессов распространения к процессам угасания инфекционной картины осуществляется на единой математической, алгоритми-

ческой, программной базе.

4 Предфрактальные графы обладают специфическими метрическими и числовыми характеристиками, которые потребовали отдельного исследования и вычислений с поиском значений, необходимых для успешного построения новых структур моделирования инфекционной динамики.

5 С помощью математической модели удаётся получать количественно определяемый уровень иммунитета каждого человека к конкретному инфекционному заболеванию, а в случае компьютерных сетей - степень защищённости каждого компьютера в телекоммуникационной сети; просчитан эпидемический порог определённого инфекционного заболевания либо компьютерного вируса; на каждом этапе распространения определяются минимальные условия локализации инфекции; динамическая модель при использовании топологических свойств процесса порождения предфрактального графа позволяет прогнозировать развитие эпидемии; выявлены кластеры возможного заражения; определены очаги эпидемий по заданному графу, отражающему степень заражённости безымунной инфекцией; вопреки некоторым существующим моделям, показывающим немедленное угасание вспышки инфекции, предложенная модель показала, что отдельные образцы вирусов могут сохраняться долго и повторно заражать большую часть доступных для заражения узлов.

В первом разделе рассмотрены основные понятия и определения теории графов, теории сетей, теории фрактальных и предфрактальных графов с операциями над ними. В основе идеи построения фрактальных графов и их широкого практического распространения лежит операция замены вершины затравкой (ЗВЗ), т.е. некоторым достаточно большим графом. Таким образом, термином «затравка» условимся называть какой-либо связный граф Н = {}¥,О). На одном шаге исходный граф «прирастает» графовым ансамблем - затравкой. Так системно «прирастают» управленческие структуры, ин-фотелекоммуникационные сети, социальные сети, технические сети и пр. с одним и тем же типажом добавляемых в систему новых составных частей -

затравок. Удалось показать, что динамика распространения инфекционных процессов релевантна процессам разрастания (распознавания) предфракталь-ных графов, а спад эпидемических процессов описывается алгоритмами разрушения предфрактальных графов. Это и обусловило научный и практический интерес к подобным графовым структурам, для чего проведены исследования их специфических топологических и метрических свойств, вплоть до получения минимальных раскрасок с наименьшим хроматическим числом. Показано, почему аппарат предфрактальных графов идемпотентен поставленным в диссертации задачам и как он справляется с моделированием саморазмножения и самоуничтожения вирусов во фрактальных сетях при моделировании человеческих инфекций и вирусных компьютерных эпидемий.

Второй раздел посвящен разработке алгоритмов разрушения предфрактальных графов. Пред фрактальные графы исследованы на «надёжность» и «условия разрушения». Исследование процессов разрушения предфрактальных графов, что в нашей работе адекватно соответствует этапу спада интенсивности инфекционных процессов, составляет новую и интересную задачу исследования. С точки зрения концепции безопасности, всякую сложную техническую систему следует изучать с трёх основных позиций: надёжности системы, живучести системы и её безопасности. Каждая из этих позиций по-разному описывает связь и взаимодействие системы с окружающей её средой. Исследование перечисленных свойств системы позволяет уменьшить риск возникновения чрезвычайных ситуаций (ЧС), возникающих в результате эпидемий, бедствий, аварий и катастроф [89-90, 133-136, 139-141, 143].

С позиции классических моделей теории надёжности, любая система изучается изолированно от окружающей среды, т.е. система не подвергается воздействиям внешней среды, а сама окружающая среда не испытывает на себе воздействий со стороны системы. Надёжность - свойство системы сохранять в течение определённого промежутка времени значение параметров, характеризующих функционирование системы. Надёжность представляет собой комплексное свойство системы, зависящее от её безотказности, ремонто-

пригодности, долговечности.

Разработаны алгоритмы распознавания предфрактальных графов, порождённых затравками, которые представляют собой:

• регулярный «-вершинный граф степени я = п - 2;

• два полных чередующихся графа с сохранением смежности «старых» рёбер;

• два полных чередующихся графа для случая непересечения «старых» рёбер;

• множество полных затравок с пересечением «старых» рёбер в произвольном порядке;

• множество полных чередующихся затравок с пересечением «старых» рёбер;

• дерево регулярной степени.

Все предложенные алгоритмы оказались полиномиальными. В третьем разделе найден и изучен ряд топологических и метрических свойств и характеристик предфрактальных графов, порождённых затравками ранее указанных типов. Получены топологические и метрические (радиус, диаметр, хроматическое число) характеристики предфрактальных графов.

В четвёртом разделе построены реальные модели процессов распространения инфекций (человеческих и компьютерных), сформулированы основные проблемы методологии моделирования эпидемий и перспективы практического решения задач моделирования инфекционных процессов, представлены, построены и исследованы теоретико-графовые модели распространения эпидемий и вирусов в сетях.

Апробация результатов исследования. Основные научные и практические результаты работы, полученные автором, докладывались и были одобрены на следующих научно-практических конференциях: 1 Международная научная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», г. Нальчик, 2006 г.;

2 У1-ая Международная конференция «Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций», г. Москва, 2006 г.;

3 У-ая Международная конференция «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве», г. Тирасполь, 2007 г.;

4 У1-ая научно-практическая конференция «Проблемы синергетики в трибологии, трибоэлектрохимии, материаловедении и мехатронике», Новочеркасск, 2007 г.;

5 Н-ая Всероссийская научно-практическая конференция «Перспективные системы и задачи управления», г. Таганрог (Домбай), 2007 г.;

6 Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа, г. Новосибирск, 2007 г.;

7 Ш-ья Всероссийская научно-практическая конференция «Перспективные системы и задачи управления», г. Таганрог, 2008 г.;

8 УШ-ая Международная конференция «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике», г. Новочеркасск, 2008 г.;

9 УШ-ая Региональная научно-практическая конференция «Рациональные пути решения социально-экономических и научно-технических проблем региона», г. Черкесск, 2008 г.;

10 Всероссийская электронная научная конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы математики», г. Москва, 2008 г.;

11 1Х-ый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, г. Москва, 2008 г.;

12 Х-ая Региональная научно-практическая конференция «Рациональные пути решения социально-экономических и научно-практических проблем региона», г. Черкесск, 2010 г.;

13 У-ая Всероссийская научно-практическая конференция «Перспективные системы и задачи управления», г.Таганрог, 2011 г.;

14 Х1-ая региональная научно-практическая конференция «Рациональные пути решения социально-экономических и научно-практических проблем региона», г. Черкесск, 2011 г.

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ РАСПОЗНАВАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДФРАКТАЛЬНЫХ ГРАФОВ КАК МОДЕЛЕЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИНФЕКЦИЙ 1.1 Фрактальные и предфрактальные графы

Термином затравка условимся называть какой-либо и-вершинный связный граф Н = (Ж, О). Для определения фрактального (предфракталъно-го) графа нам потребуется операция замещения вершины затравкой (ЗВЗ). Суть операции ЗВЗ заключается в следующем. В данном графе С = (V, Е) у намеченной для замещения вершины V еК выделяется множество

К = {?,}£ К, у = 1,2,...,

V

смежных ей вершин. Далее из графа С удаляется вершина V и все инцидентные ей рёбра. Затем каждая вершина Vj е V, у = 1,2,..., V , соединяется

ребром с одной из вершин затравки Н = (Ж, О). Вершины соединяются произвольно (случайным образом) или по определённому правилу, при необходимости [97].

Пред фрактальный граф будем обозначать через Оь =(УЬ,Е1), где Уь -множество вершин графа, а Еь - множество его рёбер. Определим его ре-куррентно, поэтапно, заменяя каждый раз в построенном на предыдущем этапе / = 1,2,..., ^ -1 графе = (Р/, £/) каждую его вершину затравкой Н = (Ж, О). На этапе 1 = 1 предфрактальному графу соответствует затравка 01 = Н. Об описанном процессе говорят, что предфракталъный граф (/£ = (У£, Еь ) порожден затравкой Н - (IV, О). Процесс порождения пред-фрактального графа по существу, есть процесс построения последовательности предфрактальных графов называемой траекторией. Фрактальный граф О = (V, Е), порождённый затравкой Н = (]¥, О), определяется бесконечной траекторией [92].

Использование операции ЗВЗ в процессе порождения предфрактально-го графа позволяет для элементов =(¥!,Е1), I е {1,2,...,Ь -1} его тра-

ектории ввести отображение (р: Уг -> У1+1 или <р(У1) = У1+1, а в общем виде

<Р*<У1) = УШ9 / = 1,2,...,1-1. (1.1)

В выражении (1.1) множество У[+1 - образ множества У{, а множество У{ - прообраз множества У1+(.

Для пред фрактального графа , рёбра, появившиеся на / -ом, / е {1,2,..., этапе порождения, будем называть рёбрами ранга I. «Новыми» рёбрами предфрактального графа назовём рёбра ранга Ь, а все остальные рёбра назовём «старыми».

Если из предфрактального графа Сь, порождённого и-вершинной затравкой Н, последовательно удалить все «старые» рёбра (рёбра ранга I, I = 1,2,..., £ -1), то исходный граф распадётся на множество связных компонент {В^}, каждая из которых изоморфна затравке Н. Множество компонент {В^р} будем называть блоками первого ранга. Аналогично, при удалении из предфрактального графа Сь всех «старых» рёбер рангов

/ = 1,2,..., £ - 2, получим множество блоков {В^р} второго ранга. Обобщая, скажем, что при удалении из предфрактального графа О ¡^ всех рёбер рангов

/ = 1,2,...,Ь-г получим множество {В^}, г е {1,2,...,-1}, это будут блоки

г-го ранга, где г = 1,2,...,пь~г - порядковый номер блока. Блоки В^ с С} первого ранга также будем называть подграф-затравками Н предфрактального графа Оь .Очевидно, что всякий блок Вр =(11 Р, Мр), в котором г е {1,2,..., X -1}, является предфрактальным графом Вг = (иг,Мг), порождённым затравкой Н [94, 97,141, 143].

Для отображения (р в формуле (1.1) уточним ряд подробностей. Для

любой вершины предфрактального графа у . еР}, у е{1,2,...,п1}, Ог = (У{,Е:), I е {1,2,...,Ь -1}, из траектории графа Оь, справедливо:

<Р* ) = > где 2*« , = (С/Ю ,,М« .) с Ош, t = 1,2,..., Ь-1.

(1.2)

Аналогично,

9>'(В$) = В$\ г е {1,2,...,Х-/}, /е{1,2,...,«^}.

(1.3)

Два блока предфрактального графа назовем смежными, если существует ребро, вершины которого принадлежат различным блокам. Не требует доказательства тот факт, что блоки предфрактального графа смежны тогда и только тогда, когда смежны их прообразы из (1.2)[97].

Утверждение 1.1 Всякий предфрактальный граф можно представить в виде множества подграф-затравок {ВР}, соединённых «старыми» рёбрами разных рангов. А именно, «старые» рёбра (1,-1)-го ранга объединяют множество подграф-затравок в множество блоков {В} второго ранга, их, в свою очередь, «старые» рёбра {Ь - 2) -го ранга объединяют в множество

блоков {В^р} третьего ранга и т.д. Окончательно, «старые» рёбра первого

ранга объединяют множество {Вр~1)} блоков (¿-1) -го ранга в связный предфрактальный граф О].

Термином подграф-затравка гр будем называть блок , л1 -\,п1~1, первого ранга предфрактального графа С/, I = \,Ь из порождающей его траектории. Последовательное выделение подграф-затравок гР на графах 01,02,-.,01 из траектории предфрактального графа Сь разбивает множество рёбер Еь на непересекающиеся подмножества подграф-затравок

) = {гР }, где I = \,Ь, - ранг подграф-затравки, а 5 = 1, п1~1 - её порядковый номер. Такое разбиение на подмножества позволит нам сохранить информацию о смежности «старых» рёбер на момент их появления в предфрак-

тальном графе. В порождающей траектории переход от графа к С/ осуществляется 1^.41 = п1Л операциями ЗВЗ, поэтому общее число использованных затравок в порождении предфрактального графа окажется равным

п1 -1

1 + п + п2 + ... + п1~1 =-. Тогда мощность множества Z(G£) всех под-

п-1

граф-затравок из траектории графа также равна IZ(GL )| =

п -1 п-1

а)01=Н(\У,д)

Рисунок 1.1 - Иллюстрация процесса порождения предфрактального графа множеством затравок одного сорта - 4-х-вершинным графом

На рис. 1.1 изображена траектория предфрактального графа С3 = (У3,Е3), порождённого затравкой Н = - 4-х-вершинным графом

(рис. 1.1). Самыми «жирными» линиями здесь и далее нарисованы рёбра подграф-затравки .

Будем говорить, что предфракталъный граф - (Уь,ЕЬ) - взвешен, если каждому его ребру е^ е Еь приписано действительное число

е [61~1а;61~1Ь], где / = \,Ь -ранг ребра, а > 0, и в < — . Либо каждойСг

Ъ

вершине V е Уь приписан вес м<у(/)) е [а^].

Обобщением описанного процесса порождения предфрактального графа Оь является такой случай, когда вместо единственной затравки Н используется множество затравок Н = } = {НхНТ}, Т > 2. Суть этого обобщения состоит в том, что при переходе от графа к графу 01 каждая вершина замещается некоторой затравкой Н[ е Н, которая выбирается случайно или согласно определённому правилу, отражающему специфику моделируемого процесса или специфику заданной структуры.

В общем случае процесс порождения предфрактального графа характеризуется случайными инцидентными соединениями «старых» рёбер с вершинами затравок, которыми замещаются концы «старых» рёбер. Но при исследовании структур сложных систем важны частные случаи порождения пред-фрактальных графов, когда не нарушается ни смежность всех «старых» рёбер предфрактального графа, ни смежность «старых» рёбер только одного ранга. Определим операцию "склеивания" двух произвольных графов С = (У',Е') и в" = (У",Е")[94, 140, 141].

Выбираются две вершины для слияния - у'еГ и у" е У" (рис. 1.2). Граф О = (У,Е' и Е"), полученный из графов С и С" слиянием вершин у' и

у" в некоторую вершину V еУ так, что все рёбра, инцидентные вершинам у' и у", становятся инцидентными вершине у , называется «склеенным» из гра-

фов а и с.

v

а) граф С

Ь) граф С

с) граф ё

Рисунок 1.2 — «Склеивание» подграфов Си С в один общий граф Сг Предфрактальный граф = (УЬ,ЕЬ), порождённый затравкой Н = (Ж, О), такой, что смежность его «старых» рёбер в процессе порождения не нарушается (сохраняется), можно получить «склеиванием» всех

п1-1 п-1

подграф-затравок Z{GL) = {г^}, I = 1,Ь, 5 = \,п1 1. Сначала подграф

/-1

затравка гр* = Н первого ранга «склеивается» в каждой своей вершине с подграф-затравками г^ = Н второго ранга, ^ = 1, п. Далее, каждый порож-

дённый таким образом на /-ом, / = 1,1,-1, шаге предфрактальный граф С1 «склеивается» в каждой своей вершине с подграф-затравками = Н,

м

5=1 ,П

В том случае, когда на каждом этапе I = \,Ь порождения предфрактального графа С/ = (Г/,Е{) подграф-затравки г(р = Н «склеиваются» с подграф-затравками ранних рангов в различных своих вершинах, говорят, что предфрактальный граф = (УЬ,ЕЬ) порождён с обязательным сохранением

смежности «старых» рёбер только одного ранга. Это условие порождения предфрактального графа является более «мягким», нежели предыдущее.

Под распознаванием предфрактального графа будем понимать определение порождающей траектории предфрактального графа при условии, что заданы затравки. Различают два вида распознавания: явное и неявное. Под неявным распознаванием подразумевается утверждение о том, что данный граф является фрактальным и базируется на некоторой п -вершинной затравке. Явное распознавание представляет в явном виде множество рёбер для каждого ранга или строит в явном виде траектории порождения графа О [92].

Рассмотрим следующую задачу. Пусть представлен в явном виде некоторый граф О = (У,Е), обладающий всеми необходимыми (но не являющимися достаточными) признаками предфрактального графа:

1 Для мощности множества вершин \У\ = N существует непустое множество пар или кортежей <п, Ь> таких, что N = Ы(п,Ь) и Ь11п п1 = 1п ТУ, /=1,2,...;

2 Для мощности множества рёбер т = \е\ существует хотя бы одна пара (кортеж) <п, Ь>, пе{п1,п2,...},Ь е{Ь1,Ь2,...}у, довлетворяющая равенству

\Еь\ = д(п,1); т = —-—п;

3 Множество вершин Vсостоит из двух подмножеств Уу и У2, где У1 (У2) - множество вершин V еУ степени с^у = п -1 (степени с1е§у > п) если затравка полная и п - натуральное число, удовлетворяющее вышеперечисленным признакам 1 и 2.

4 Множество рёбер ранга Ь состоит из объединения множеств рёбер затравок, появившихся в результате того, что каждая вершина ранга I -1 графа была замещена затравкой.

В задачах распознавания предфрактального графа следует всегда определиться с двумя важными вещами:

1 Является ли данный граф предфрактальным с определённой затравкой;

2 Можно ли построить достаточно эффективный алгоритм, который га-

рантированно построит процесс порождения предфрактального графа с определённой (фиксированной) затравкой.

1.2 Распознавание предфрактального графа с регулярной затравкой степени 5 = п - 2

Особый интерес представляет проблема распознавания предфрактального графа в случае, когда он порождается регулярной п -вершинной затравкой степени 5 = и - 2.

Пусть представлен в явном виде некоторый граф С = (У,Е), обладающий всеми необходимыми (но не являющимися достаточными) признаками предфрактального графа:

a) Для мощности множества вершин \У\ = N существует пара <п, Ь> таких, что N = пь;

b) Для мощности множества ребер |£| существует пара <п, Ь> удовлетво-

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Утакаева, Ирина Хайрлыевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе сформулированы правила построения новых математических моделей распространения инфекционных заболеваний в социальных сетях и вирусов в компьютерных сетях на основе предфрактальных графов, изучены их характеристики, надёжность и механизмы разрушения. При этом получены следующие новые научные результаты:

1 Построены теоретико-графовые модели структуры бытовых контактов людей в некоторой социальной сети и модели связей между узлами в компьютерной сети. Введено понятие эпидемического порога на взвешенных предфрактальных графах. Модель позволяет учитывать уровень иммунитета каждого отдельно взятого человека и степень защиты каждого компьютера в соответствующих сетях от определённого типа вируса. Рассчитаны условия локализации инфекции на каждом этапе развития эпидемии. Выявляются возможные кластеры заражения. Для безымунных эпидемий возможно выявление очагов заражения. Для реализации полученных моделей и расчётов всех описанных характеристик и их прогнозирования разработан комплекс программ, позволяющий чередовать программные модули в порядке, определяемом конкретной решаемой задачей.

2 Исследованы основные характеристики предфрактальных графов, порождённых различными классами затравок. Получены оценки метрических и числовых характеристик.

3 Разработан комплекс алгоритмов распознавания предфрактальных графов, порождённых различными классами затравок. Предложены и обоснованы алгоритмы распознавания.

4 Изучена надёжность и условия разрушения предфрактальных графов, порождённых различными классами затравок.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Утакаева, Ирина Хайрлыевна, 2011 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Albert R., Barabasi А. Statistical mechanics of complex networks // Reviews of Modern Physics. - 2002. - № 74. - P. 47-97.

2 Barlow M. T. Diffusions on fractals / Lectures on probability theory and statistics. - Berlin: Springer Verlag, 1998. - P. 1-121.

3 Bollt E.M., Ben-Avraham D. What is Special about Diffusion on Scale-Free Nets? // New Journal Physics. - 2005. - V. 7. - № 26. - P. 1-21.

4 Dorogovtsev S.N., Mendes J.F.F. Evolution of networks // Advanced Physics. - 2002. - № 51. - P. 1079-1187.

5 Dorogovtsev S.N., Mendes J.F.F. Evolution of networks: from Biological Nets to the Internet and WWW. - Oxford: Oxford University Press, 2003.

6 KigamiJ. Analysis on fractals / Volume 143 of Cambridge Tracts in Mathematics. - Cambridge: Cambridge University Press, 2001.

7 Kochkarov A., Perepelitsa V. Fractal Graphs and Their Properties // ICM 1998. - Berlin: International Congress of Mathematicians. Abstracts of Short Communications and Posters, 1998. - P. 347.

8 Krön В. Green Functions on Self-similar Graphs and Bounds for the Spectrum of the Laplacian // Annales Institution Fourier (Grenoble). - 2002. - № 52(6).-P. 1875-1900.

9 Krön В. Growth of self-similar graphs // Journal Graph Theory. - 2004. - № 45(3).-P. 224-239.

10 Krön В., Teufl E. Asymptotics of the Transition Probabilities of the Simple Random Walk on Self-similar Graphs // Transactions of American Mathematical Society. - 2004. - № 356(1). - P. 393-414.

11 Li L., Alderson D., Tanaka R., Doyle J.C., Willinger W. Towards a Theory of Scale-Free Graphs: Definition, Properties, and Implications (Extended Version) // Technical Report CIT-CDS-04-006, Cal Tech, 2005.

12 Malozemov L., Teplyaev A. Pure point spectrum of the Laplacians on fractal graphs //Journal of Functional Analysis. - 1995. - № 129(2). - P. 390-405.

13 Novikov S. New technologies for protection against new threads. - Praga:

Conference Security, 2005. - P. 28-41.

14 RiehlJ., Hespanha J. P. Fractal Graph Optimization Algorithms// Proceedings of the 44th Conference on Decision and Control. - 2005. - P. 21882193.

15 Schulman L.S., GaveauB. Complex Systems under Stochastic Dynamics// Att. Fond. G. Ronchi. - 2003. - Volume LVIII. - № 805. - P.

16 Song C., Havlin S., Makse H.A. Self-similarity of Complex Networks // Nature. - 2005. - № 433. - P. 392-395.

17 Strogatz S. Exploring Complex Networks// Nature. - 2001. - №410. -P. 268-276.

18 Watts D.J. Small Worlds. - Princeton: Princeton University Press, 1999.

19 Woess W. Random Walks on Infinite Graphs and Groups / Volume 138 of Cambridge Tracts in Mathematics. - Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

20 Авондо-Бодино Дж. Применение в экономике теории графов. - М.: Прогресс, 1966. - 162 с.

21 Айбазов Б.А., Кочкаров A.M. Экономико-математическая модель с виртуальными каналами // Труды IV-ой Научно-практической конференции «Решение научно-технических и социально-экономических проблем современности». - Черкесск: Издательство Карачаево-Черкесского технологического института, 2002. - С 235.

22 Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д. А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. - М.: Издательский дом Государственного университета «Высшая школа экономики», 2006. - С. 300.

23 Асанов М.О., Баранский В.А., Расин В.В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы. - Ижевск: Научно-исследовательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 362с.

24 Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. - М.: Наука, 1992. -511 с.

25 БарлоуР., ПрошанФ. Математическая теория надёжности. - М.: Советское радио, 1969. - 488 с.

26 Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надёжности и испытание на безотказность. -М.: Наука, 1984. - 328 с.

27 Бароян О.В., Рвачёв Л. А. Математика и эпидемиология. - М.: Знание, 1977.-63 с.

28 Бароян О.В., Рвачёв JT.A., Иванников Ю.Г. Моделирование и прогнозирование эпидемий гриппа для территории СССР. - М.: Институт эпидемиологии и микробиологии имени Н.Ф. Гамалеи, 1977. - 546 с.

29 Бароян О.В., Рвачёв JI.A. Прогнозирование эпидемий гриппа в условиях СССР / Вопросы вирусологии. - 1978. - № 2. - С. 131-137.

30 Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. - М.: Наука, 1974. - 367 с.

31 Батчаев КЗ. Об одной многокритериальной задаче покрытия пред-фрактальных графов звёздами одного рангового типа// Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2002. - Том 8. - № 1. -С. 1-5.

32 Батчаев КЗ., Кочкаров A.M. Математическая модель задачи размещения центров технического обслуживания автомобильной компании // Тезисы докладов П-ой международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». - Нальчик: Издательство НИИ МПиА КБНЦ РАН, 2001.-С. 14-16.

33 Батчаев КЗ., Кочкаров A.M. Об одной многокритериальной задаче покрытия минимального веса предфрактального графа звёздами ранговых типов // Тезисы докладов V-ro Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». - Кисловодск: Издательский центр Кисловодского института экономики и права, 2002.-С. 7-9.

34 Березина Л.Ю. Графы и их применение. - М.: Просвещение, 1979. -

143 с.

35 Безопасность России. Правовые, социально-экономические и научно-технические аспекты. Функционирование и развитие сложных народнохозяйственных, технических, транспортных систем, систем связи и коммуникаций / Под редакцией К В. Фролова. - М.: МГФ «Знание», 1998.

36 Бейли Н. Математика в биологии и медицине. - М.: Мир, 1970. - 326 с.

37 Беляков В.Д., Яфаев Р.Х. Эпидемиология. - М.: Медицина, 1989. - 416 с.

38 Берж К. Теория графов и её применения. - М.: Издательство иностранной литературы, 1962. - 320 с.

39 Боев Б. В. Современные этапы математического моделирования процессов развития и распространения инфекционных заболеваний // Эпидемиологическая кибернетика: модели, информация, эксперименты. - М.: 1991.-С. 6-13.

40 Божокин C.B., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск: Научно-исследовательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.- 128 с.

41 Воробьёв A.A. Оценка вероятности использования биоагентов в качестве биологического оружия // Эпидемиология и инфекционные болезни. - 2001.-№6. -С. 54- 56.

42 Воробьёв A.A., Боев Б.В., Бондаренко В.М., Гинцбург A.JI. Проблема биотерроризма в современных условиях // ЖМЭИ. - 2002. - № 3. - С. 3.

43 Губанов ДА., Новиков ДА Модели распределённого контроля в социальных сетях // Системы управления и информационные технологии. -2009.-3.1 (37).-С. 124-129.

44 Губанов ДА., Новиков ДА., Чхартшвили А.Г. Модели информационного влияния и информационного управления в социальных сетях // Проблемы управления. - 2009. - №5. - С. 28-35.

45 Губанов Д.А., Новиков Д.А., Чхартшвили А.Г. Модели влияния в социальных сетях (обзор) // Управление большими системами. - 2009.

46 Дистель Р. Теория графов. - Новосибирск: Издательство Института математики СО РАН, 2002. - 336 с.

47 Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. - М.: Наука, 1990. - 392 с.

48 Зыков A.A. Теория конечных графов. Том 1. - Новосибирск: Наука, 1969.-544 с.

49 Казиев Р.Ш., Салпагаров С.И. Математическая модель информационного потока на предфрактальных графах// Материалы Российско-Узбекского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». - Нальчик: Издательство НИИ МПиА КБНЦ РАН, 2003. - С. 119-121.

50 Кондратьев М.А., Ивановский Р.К, Цыбалова JJ.M. Применение агент-ного подхода к имитационному моделированию процесса распростра нения заболеваний / Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Серия «Наука и образование». - 2010. -№ 2-2 (100). - С. 189-195.

51 Кононова Н.В., Кочкаров A.M. Алгоритм раскраски предфрактального (п, ¿)-графа // Материалы VIII-ой региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону». Том I. - Ставрополь: Издательство Северо-Кавказского государственного технического университета, 2004. - С. 14.

52 Кононова Н.В., Узденов A.A. Эффективный алгоритм построения р-центра предфрактального графа с затравкой регулярной степени // Материалы XXXIV-ой научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сту дентов за 2004 год. Том I. - Ставрополь: Издательство СевероКавказского государственного технического университета, 2005. — С. 21.

53 КоркмазоваЗ.О. Алгоритм выделения максимального эйлерового предфрактального подграфа // Тезисы докладов V-ой научно-практи-

ческой конференции «От фундаментальной науки - к решению прикладных задач современности». - Черкесск: Издательство Карачаево-Черкесской государственной технологической академии, 2004. - С. 89.

54 Коркмазова 3.0. Быстрые полиномиальные алгоритмы решения задачи Эйлера на предфрактальных графах// Материалы ХХХГУ-ой научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов за 2004 год. -Ставрополь: Издательство Северо-Кавказского государственного технического университета, 2005. - С. 6.

55 Коркмазова 3.0. Выделение максимальных эйлеровых подграфов на предфрактальном графе. - Черкесск: Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, 2004. Депонировано в ВИНИТИ № 1731-В2004. - С. 1-25.

56 Коркмазова 3.0. Многокритериальная задача разбиения на эйлеровые подграфы предфрактального графа. - Черкесск: Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, 2004. Депонировано в ВИНИТИ № 1729-В2004. - С. 1-25.

57 Коркмазова 3.0. Оценка метрических характеристик эйлеровых предфрактальных графов // Материалы ХХХ1У-ой научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов за 2004 год. - Ставрополь: Издательство Северо-Кавказского государственного технического университета, 2005.-С. .

58 Коркмазова З.О. Параллельный алгоритм вычисления задачи Эйлера на предфрактальных графах. - Черкесск: Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, 2004. Депонировано в ВИНИТИ № 1730-В2004. - С. 1-20.

59 Коркмазова З.О., Кочкаров А.А. Максимальный эйлеров подграф // Материалы ХХХ1У-ОЙ научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сту-

дентов за 2004 год. - Ставрополь: Издательство Северо-Кавказского государственного технического университета, 2005. - С. .

60 Коркмазова З.О., Кочкаров A.A. Эйлеровы предфрактальные графы// Известия Таганрогского радиотехнического университета. Специальный выпуск. - 2004. - № 8. - С. 304-305.

61 Коркмазова 3.0., Кочкаров А.М. Задача Эйлера на фрактальных и предфрактальных графах// Тезисы докладов П-ой Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». - Нальчик: Издательство НИИ МПиА КБНЦ РАН, 2001. - С. .

62 Коркмазова 3.0., Кочкаров А.М. Полиномиально разрешимый класс многокритериальных задач покрытия предфрактальных и фрактальных графов эйлеровыми циклами (цепями) // Тезисы докладов Viro Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». - Кисловодск: Издательский центр Кисло-водского института экономики и права, 2004. - С. 13-15.

63 Коркмазова 3.0., Кочкаров P.A. Многокритериальная задача покрытия предфрактального графа эйлеровыми подграфами. Препринт № 208 Специальной астрофизической обсерватории РАН. - Нижний Архыз: 2005. - 15 с.

64 Коркмазова 3.0., Кочкаров P.A. Многокритериальная задача покрытия предфрактального графа эйлеровыми подграфами. Препринт № 209 Специальной астрофизической обсерватории РАН. - Нижний Архыз: 2005. - 27 с.

65 Коркмазова 3.0., Никищенко С.П. Двухпараметрическая трёхкритери-альная задача Эйлера на предфрактальных графах с полной двудольной затравкой // Материалы VIII-ой региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону». Том I. -Ставрополь: Издательство Северо-Кавказского государственного технического университета, 2004. - С. 11.

66 Коркмазова З.О., Никищенко С.П. Оценка числа эйлеровых циклов на предфрактальном (п, Х)-графе с затравкой «полный двудольный подграф» // Материалы VIII-ой региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону». Том I. -Ставрополь: Издательство Северо-Кавказского государственного технического университета, 2004. - С. 11-12.

67 Коркмазова 3.0., Салпагаров С.И. Параллельный алгоритм решения задачи Эйлера на предфрактальных графах// Материалы Российско-Узбекского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». - Нальчик: Издательство НИИ МПиА КБНЦ РАН, 2003. - С. 124-126.

68 Коркмазова 3.0., Тлябичева М.А. Р-адические деревья на предфрактальных графах // Материалы Российско-Узбекского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». - Нальчик: Издательство НИИ МПиА КБНЦ РАН, 2003. -С.154-155.

69 Коркмазова 3.0., Узденов A.A. /¿-медиана предфрактального графа с затравкой «лес» // Материалы Российско-Узбекского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». - Нальчик: Издательство НИИ МПиА КБНЦ РАН, 2003. -С.157-158.

70 Костюкова Н.И. Графы и их применение. Комбинаторные алгоритмы для программистов.-М.: БИНОМ, 2007. - 312 с.

71 Кочкаров A.A. Структурное управление и обеспечение стойкости сложных систем // Тезисы докладов Ш-ей Международной конференции по проблемам управления. Том I. - М.: Издательство Института проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН, 2006. - С. 121.

72 Кочкаров A.A. Когнитивное моделирование. Концепция стойкости и структурное управление // Материалы Международной междисциплинарной научной конференции «Вторые Курдюмовские чтения. Идеи

синергетики в естественных науках». - Тверь: Издательство Тверского государственного университета, 2006. - С. 74-75.

73 КочкаровА.А. Моделирование поведения региональных социально-экономических систем в условиях внешнего влияния // Модели экономических систем и информационные технологии. Сборник научных трудов / Под редакцией О.В. Голосова. Выпуск XIV-ый. - М.: Издательство Финансовой академии, 2006. - С. 97-104.

74 Кочкаров A.A. Плоские и планарные предфрактальные графы // Тезисы докладов V-ro Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». - Кисловодск: Издательский центр Кисловодского института экономики и права, 2002. - С. 35.

75 КочкаровА.А. Стойкость и моделирование систем, находящихся в условиях внешних воздействий // Труды XLVII-ой научной конференции Московского физико-технического института «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. - М.: Издательство МФТИ, 2004.-С. 190.

76 КочкаровА.А. Стойкость, графы, синергетика// Новое в синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение. Сборник статей. Часть 2 / Под редакцией Г.Г. Малинецкого. - М.: Радиотехника, 2006. -С. 3-18.

77 КочкаровА.А. Стойкость, графы, синергетика// Новое в синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение. Сборник статей / Под редакцией Г.Г. Малинецкого. - М.: Наука, 2007. - С. 187-202.

78 Кочкаров A.A. Число всевозможных предфрактальных графов // Тезисы докладов IV-ro Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Том 2. - Кисловодск: Издательский центр Кисловодского института экономики и права, 2000. - С. 7374.

79 Кочкаров A.A. Число точек сочленения предфрактального графа // Тезисы докладов П-ой международной конференции «Нелокальные крае-

вые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». - Нальчик: Издательство НИИ ПМА КБНЦ РАН,

2001.-С. .

80 Кочкаров A.A., Кочкаров P.A. Исследование связности предфракталь-ных графов // Тезисы докладов IV-ro Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Том 2. -Кисловодск: Издательский центр Кисловодского института экономики и права, 2000. - С. 74-75.

81 Кочкаров A.A., Кочкаров P.A. О критериях планарности фрактальных графов // Труды XLVI-ой научной конференции Московского физико-технического института «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. - М.: Издательство МФТИ, 2003. - С. 186.

82 Кочкаров A.A., Кочкаров P.A. О планарности и других топологических свойствах фрактальных графов. Препринт №83. - М.: Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, 2003.

83 Кочкаров A.A., Кочкаров P.A. Предфрактальные графы в проектировании и анализе сложных структур. Препринт №10. - М.: Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, 2003.

84 Кочкаров A.A., Кочкаров P.A. Топологические характеристики пред-фрактальных графов и предупреждение кризисов сложных систем // Труды Х-ой Международной конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем». Часть 1. - М.: Российский государственный гуманитарный университет. Издательский дом МПА-Прогресс,

2002.-С. 116-119.

85 Кочкаров A.A., Малинецкий Г.Г. Концепция стойкости для социально-экономических и технических систем // Труды Международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики». - М.: РГСУ, 2004. - С. 151-154.

86 Кочкаров A.A., Малинецкий Г.Г. Моделирование распространения

внешних воздействий по структуре сложной системы// Математическое моделирование. - 2006. - Т. 18. - № 2. - С. 51-60.

87 Кочкаров A.A., Малинецкий Г.Г. Моделирование стойкости сложных технических систем// Труды ХП-ой Международной конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем». - М.: Российский государственный гуманитарный университет, 2004. - С. 348-352.

88 Кочкаров A.A., Малинецкий Г.Г. Обеспечение стойкости сложных систем. Структурные аспекты. Препринт № 53. - М.: Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, 2003.

89 Кочкаров A.A., Малинецкий Г.Г. Стойкость и моделирование стойкости систем в условиях внешних воздействий // Тезисы докладов ХП-ой Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». - М.: - Ижевск: Научно-исследовательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. - С. 136.

90 Кочкаров A.A., Малинецкий Г.Г. Стойкость и обоснование стойкости сложных технических и социально-технических систем // Труды Х1-ой Международной конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем». Часть 1. - М.: Российский государственный гуманитарный университет, 2003. - С 50-53.

91 Кочкаров A.A., Малинецкий Г.Г. Стойкость, управление риском и обеспечение безопасности сложных технических систем // Проблемы безопасности и чрезвычайных ситуаций. - 2005. - № 4. - С. 12-25.

92 КочкаровА.А., Малинецкий Г.Г. Теория стойкости и структурное управление в сложных технических и социально-экономических системах // Известия Таганрогского радиотехнического университета. Тематический выпуск «Перспективные системы и задачи управления» -2006.-№3.-С. 100-107.

93 Кочкаров A.A., Малинецкий Г.Г. Управление безопасностью и стойкостью сложных систем в условиях внешних воздействий // Проблемы управления. - 2005. -№ 5. - С. 70-76.

94 Кочкаров A.A., Салпагаров М.Б. Моделирование разрушения сложных систем. Структурные аспекты. Препринт № 33. - М.: Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, 2007. - 22 с.

95 Кочкаров A.A., Салпагаров М.Б., Эльканова JI.M. Дискретная модель структурного разрушения сложных систем // Проблемы управления. -2007.-№5.-С. 70-76.

96 Кочкаров A.A., Салпагаров С.И. Число мостов предфрактального графа.

// Тезисы докладов V-ro Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». - Кисловодск: Издательский центр Кисловодского института экономики и права, 2002. -С. 36-37.

97 Кочкаров A.M. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. - Нижний Архыз: Издательство Специальной астрофизической обсерватории РАН, 1998. - с.

98 Кочкаров A.M. Топологические характеристики теоретико-графовой модели крупномасштабной кластеризации материи во Вселенной. Препринт. - Нижний Архыз: Издательство Специальной астрофизической обсерватории РАН, 1998. - 6 с.

99 Кочкаров A.M. Хроматическое число и хроматический индекс фрактальных графов // Тезисы докладов Республиканской конференции преподавателей и аспирантов Карачаево-Черкесского технологического института. - Черкесск: Издательство КЧТИ, 1997. - С.56-57.

100 Кочкаров A.M., Кочкаров A.A., Никищенко С.П. Структурная динамика и исследование структурно-временных характеристик дискретных систем // Известия Таганрогского радиотехнического университета. Тематический выпуск «Перспективные системы и задачи управления». -2006.-№3.-С. 235-238.

101 Кочкаров A.M., Перепелица В.А. О гамильтоновости фрактальных графов // Тезисы докладов Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии,

информатики и физики». - Нальчик: Издательство НИИ ПМиА КБНЦ РАН, 1996. - С.52-53.

102 Кочкаров A.M., Перепелица В.А. Число внутренней устойчивости пред-фрактального и фрактального графа // Сборник статей. - Нижний Ар-хыз: Издательство Специальной астрофизической обсерватории РАН, 1999.-С. .

103 Кочкаров P.A., Кочкаров A.A. Формализация целевых программ// Модели экономических систем и информационные технологии. Сборник научных трудов / Под редакцией О.В. Голосова. Выпуск ХП-ый. -М.: Издательство Финансовой академии, 2004. - С. .

104 Кочкаров P.A., Салпагаров С.И. Полиномиальные быстрые алгоритмы нахождения остовного дерева минимального веса. - Черкесск: Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, 2002. Депонировано в ВИНИТИ, №437-В2002. - С. 1-75.

105 Краснощекое П. С., Петров A.A. Принципы построения моделей. - М.: Издательство МГУ, 1983.-412 с.

106 Краснощекое П. С., Петров A.A., Федоров В.В. Информатика и проектирование. - М.: Знание, 1986. - с.

107 Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1978.-432 с.

108 Куюнджич С.М. Разработка и анализ моделей надёжности и безопасности систем. - М.: Физматлит, 2001. - 463 с.

109 Ловас Л., Пламмер М. Прикладные задачи теории графов. Теория паро-сочетаний в математике, физике, химии. - М.: Мир, 1998. - 653 с.

110 Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990.-272 с.

111 Майника Э. Алгоритмы оптимизации на графах и сетях. - М.: Мир, 1981.- 324 с.

112 Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов A.B. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. - М.: КомКнига, 2006. - с.

ИЗ Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: ИКИ, 2002. -565 с.

114 Мелихов А.И., Берштейн Л.С., Курейчик В.М. Применение графов для проектирования дискретных устройств. - М.: Наука, 1974. - 304 с.

115 Мелроуз Дж. Иерархические фрактальные графы и блуждания на них // Фракталы в физике / Под редакцией Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. - М.: Мир, 1988.-С. 519-523.

116 Миркин Б.Г., Родин С.Н. Графы и гены. - М.: Наука, 1977. - 240 с.

117 Моделирование живучести систем энергетики: методология, модель, реализация. Сообщения по прикладной математике. - М.: Вычислительный центр АН СССР, 1986. - с.

118 Моисеев H.H. Алгоритм развития. - М.: Наука, 1987. - с.

119 Моисеев H.H. Математика ставит эксперимент. - М.: Наука, 1979. - 224 с.

120 Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981.- 488 с.

121 Найманова И.Х., Кочкаров A.M. Об одной задаче распознавания пред-фрактального графа // Вестник Самарского государственного технического университета. - 2007. - № 1 . - С. 194-196.

122 Найманова И.Х. Алгоритм распознавания пред фрактального графа с затравкой регулярной степени // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Том 15. - Выпуск 3. - С. 531-533.

123 Найманова И.Х. Задача распознавания предфрактального графа с регулярной и-вершинной затравкой степени s=n-2 // Материалы Ш-ей Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». - Нальчик: Издательство НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2006. - С. 204-206.

124 Найманова И.Х. Распознавание предфрактального графа с регулярной затравкой // Труды V-ой Международной конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве». - Тирас-

поль: Издательство Приднепровского университета, 2007. - С. 23-24.

125 Новиков C.B. Базовые принципы компьютерных вирусов. Математическая модель распространения вирусных эпидемий // Труды научно-практической конференции «Информационные технологии - в науку и образование». - Харьков, 2005. - С. 102-104.

126 Новиков C.B. Эпидемиологические модели прогнозирования вирусных атак // Научные труды Х-ой Международной научно-практической конференции «Теория и технология программирования и защиты информации»/ - СПб.: 2006. - С. 35-36.

127 Новиков C.B. Прогнозирование вирусных атак // Труды XI-ой Международной научно-практической конференции «Теория и технология программирования и защиты информации». - СПб.: 2007. - С. 65-66.

128 Новиков C.B. Модель прогнозирования вирусных атак на основе расчёта длины гамильтонова пути // Материалы научно-практической конференции «Обеспечение информационной безопасности. Региональные аспекты». - Сочи: 2007. - С. 168-172.

129 Онищенко Г.Г., Сандахчиев Л.С., Нетесов C.B., Щелкунов C.B. Биотерроризм как национальная и глобальная угроза // ЖМЭИ. - 2000. - № 6.-С. 83-85.

130 Ope О. Теория графов. - М.: Наука, 1968. - 352 с.

131 Острейковский В.А. Теория надёжности. - М.: Высшая школа, 2003. -с.

132 Павлов Д. А. Нахождение диаметральной простой цепи на фрактальном и предфрактальном графах // Сборник трудов XVI-ой Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-16». - СПб.: Издательство Санкт-Петербургского государственного технологического института, 2004. - С. .

133 Павлов ДА. Полиномиальный алгоритм нахождения максимального паросочетания на предфрактальных графах // Сборник трудов XVII-ой Международной научной конференции «"Математические методы в

технике и технологиях - ММТТ-17». - Кострома: Издательство Костромского государственного технического университета, 2004. - С. .

134 Петров A.A. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. - М.: Наука, 1996.-251 с.

135 Применение теории графов в химии / Под редакцией Н.С. Зефирова., С.И. Кучанова. - Новосибирск: Наука, 1988. - с.

136 Применение теории графов связи в технике / Под редакцией Д. Керно-па, Р. Розенберга. -М.: Мир, 1974. - с.

137 Райншке К. Модели надёжности и чувствительности систем. - М.: Мир, 1979.. 454 с.

138 Райншке К., Ушаков И.А. Оценка надёжности систем с использованием графов. - М.: Радио и связь, 1988. - 208 с.

139 РябининИ.А. Надёжность и безопасность структурно-сложных систем. - СПб.: Политехника, 2000. - 278 с.

140 Салпагаров М.Б. Моделирование разрушения систем с масштабно-инвариантной структурой. - Черкесск: Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, 2007. Депонировано в ВИНИТИ № 745-В2007. - 36 с.

141 Салпагаров М.Б. Моделирование разрушения структурно-сложных систем. - Черкесск: Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, 2007. Депонировано в ВИНИТИ № 745-В2007. - 31 с.

142 Салпагаров М.Б., КочкаровА.А. Исследование структурного разрушения сложных коммуникационных систем // Материалы Международной научной конференции «Проблемы регионального и муниципального управления». - М.: Издательство Российского государственного гуманитарного университета, 2007. - С. 224-229.

143 Салпагаров М.Б., КочкаровА.А. Исследование структурного разрушения сложных систем // Материалы Х-го научно-практического семинара «Новые информационные технологии». - М.: Издательство Московского государственного института электроники и математики, 2007. -

С. 165-167.

144 Салпагаров М.Б., КочкаровА.А. Когнитивное моделирование региональных социально-экономических систем// Управление большими системами. Сборник научных трудов. Выпуск 16. - М.: Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН, 2007. - С. 137-146.

145 Салпагаров М.Б., КочкаровА.А. Когнитивное моделирование региональных социально-экономических систем // Труды VI-ой Международной конференции «Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций». - М.: Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН, 2006.-С. 132-141.

146 Салпагаров М.Б., КочкаровА.А. Моделирование структурного разрушения сложных систем // Материалы П-ой Всероссийской научно-практической конференции «Перспективные системы и задачи управления». - Таганрог: Издательство Таганрогского технологического института Южного федерального университета, 2007. - С. 156-159.

147 Салпагаров М.Б., КочкаровА.А. Моделирование структурного разрушения сложных систем // Материалы международной междисциплинарной научной конференции «Третьи Курдюмовские чтения. Идеи синергетики в естественных науках». - Тверь: Издательство Тверского государственного университета, 2007. - С. 80-84.

148 Салпагаров М.Б., Кочкаров A.A., Кочкаров P.A. Потоковое моделирование структурного разрушения сложных систем // Труды XIV Международной конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем». - М.: Издательство Российского государственного гуманитарного университета, 2006. - С. 454-456.

149 Салпагаров М.Б., Кочкаров A.A., Кочкаров P.A. Сетевое моделирование. Оптимизационные задачи на масштабно-инвариантых графах и параллельные алгоритмы их решения // Труды V-ой Московской международной конференции по исследованию операций. - М.: Издательство Макс Пресс, 2007. - С. 246-248.

150 Салпагаров М.Б., Кочкаров A.A., Кочкаров P.A. Топологические аспекты разрушения сложных систем с ациклической структурой // Управление большими системами. Сборник научных трудов. Выпуск 17. - М.: Издательство Института проблем управления имени В .А. Трапезникова РАН, 2007. - С. 103-120.

151 Салпагаров С.И. Задача о назначениях на фрактальных и пред фрактальных графах. Многокритериальная постановка. - Черкесск: Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, 2003, Депонировано в ВИНИТИ, №2323-В2003. - С. 1-34.

152 Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: идеи, методы, примеры. - М.: Физматлит, 2001. - 320 с.

153 СвамиМ., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. -М.: Мир, 1984. - с.

154 Сешу С., Рид М.Б. Линейные графы и электрические цепи. - М.: Издательство «Высшая школа», 1971. - 488 с.

155 Супотницкий М.В. Микроорганизмы, токсины и эпидемии. - М.: Вузовская книга, 2000. - 376 с.

156 Сушков Ю.А. Графы зубчатых механизмов. - Л.: Машиностроение, 1983.- 216 с.

157 Тарасевич Ю.Ю. Просачиваемость: теория, приложения, алгоритмы.-М.: Единтриал УРСС, 2002.

158 Tamm У. Теория графов. - М.: Мир, 1988. - 424 с.

159 Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. - М.: Наука, 1984. - 192 с.

160 Тлябичева М.А., Кононова Н.В. О полиномиальной разрешимости задач покрытия предфрактальных графов />-адическими деревьями // Материалы XXXIV-ой научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов за 2004 год. Том I. - Ставрополь: Издательство Северо-Кавказского государственного технического университета, 2005. - С. 18.

161 Турбин А.Ф., Працееитый H.B. Фрактальные множества. Функции, распределения. - Киев: Наукова думка, 1992. - 205 с.

162 Уилсон Р. Введение в теорию графов. - М.: Мир, 1977. -208 с.

163 Утакаева И.Х. Распознавание пред фрактального графа с регулярной затравкой // Труды V-ой Международной конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве». - Тирасполь: Издательство Приднепровского университета, 2007. - С. 23-24.

164 Утакаева И.Х. Алгоритм распознавания предфрактального графа с затравкой регулярной степени // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Том 15. - Выпуск 3. - С. 531-533.

165 Утакаева И.Х., Кочкаров P.A. Алгоритмы распознавания пред фрактальных графов с различными затравками // Известия Южного федерального университета (г. Таганрог). - 2010. - Том 102. - № 1. - С. 2738.

166 Утакаева И.Х., Кочкаров A.A. К вопросу об алгоритмах распознавания предфрактальных графов // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. -2010. - Том 103. - № 4. - С. 139-142.

167 Утакаева И.Х., Кочкаров P.A. Алгоритмы распознавания предфрактальных графов с полными затравками // Известия Южного федерального университета (г. Таганрог). - 2011. - Том 115. - № 2. - С. 14-19.

168 Утакаева И.Х. Распознавание предфрактального графа с двумя затравками, если «старые» рёбра пересекаются // Материалы VI-ой научно-практической конференции «Проблемы синергетики в трибологии, трибоэлектрохимии, материаловедении и мехатронике», - Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ (НПИ), 2007. - С. 34-35.

169 Утакаева И.Х. Распознавание предфрактального графа с двумя затравками, если «старые» рёбра не пересекаются // Материалы VI-ой научно-практической конференции «Проблемы синергетики в трибологии, трибоэлектрохимии, материаловедении и мехатронике», - Новочер-

касск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ (НПИ), 2007. - С. 36-37.

170 Утакаева И.Х., Элъканова Л.М. Оценка оптимального потока на пред-фрактальных орграфах // Сборник трудов П-ой Всероссийской научно-практической конференции «Перспективные системы и задачи управления». - Таганрог: Издательство Таганрогского технологического института ЮФУ, 2007. - С. 180-183.

171 Утакаева И.Х., Элъканова Л.М. Распознавание пред фрактального графа с двумя затравками // Сборник трудов П-ой Всероссийской научно-практической конференции «Перспективные системы и задачи управления». - Таганрог: Издательство Таганрогского технологического института ЮФУ, 2007. - С. 190-191.

172 Утакаева И.Х. Об одной модели распознавания предфрактального графа // Тезисы докладов на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа. - Новосибирск: Редакционно-издательский центр НГУ, 2007. - С. 634-635.

173 Утакаева И.Х. Математические модели задач распознавания пред-фрактальных графов // Сборник трудов Ш-ей Всероссийской научно-практической конференции «Перспективные системы и задачи управления». - Таганрог: Издательство Таганрогского технологического института ЮФУ, 2008. - С. 231-235.

174 Утакаева И.Х. Числовые характеристики предфрактальных графов с различными затравками // Сборник трудов Ш-ей Всероссийской научно-практической конференции «Перспективные системы и задачи управления». - Таганрог: Издательство Таганрогского технологического института ЮФУ, 2008. - С. 248-251.

175 Утакаева И.Х. Пред фрактальный граф с регулярной затравкой и его распознавание // Современные наукоёмкие технологии. - 2008. - Выпуск 2.-С. 150-152.

176 Утакаева ИХ. Математическая модель задачи распознавания предфрактального графа с регулярной затравкой // Материалы VIII-ой Ме-

ждународной конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». - Новочеркасск: Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ (НПИ), 2008. - С. 19-21.

177 Утакаева И.Х., Болуров H.H. Числовые характеристики пред фрактальных графов с различными затравками и алгоритмы их распознавания // Материалы VIII-ой региональной научно-практической конференции «Рациональные пути решения социально-экономических и научно-технических проблем региона». - Черкесск: Издательство Карачаево-Черкесской государственной технологической академии, 2008. - С. 205-206.

178 Утакаева И.Х. Распознавание предфрактальных графов с полными затравками // Материалы Х-ой региональной научно-практической конференции «Рациональные пути решения социально-экономических и научно-практических проблем региона». - Черкесск: Издательство Карачаево-Черкесской государственной технологической академии, 2010. - С. 46-47.

179 Утакаева И.Х., Кочкаров A.M. Моделирование процесса распространения эпидемии и нахождения возможных очагов заражения на пред-фрактальном графе // Сборник трудов Ш-ей Всероссийской научно-практической конференции «Перспективные системы и задачи управления». - Таганрог: Издательство Таганрогского технологического института ЮФУ, 2011. - С.273-283.

180 Утакаева И.Х., Кочкаров A.A. Распознавание предфрактального графа с двумя полными чередующимися затравками. Свидетельство № 2011615242 от 10 мая 2011г., зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 5 июля 2011г.-23 с.

181 Утакаева И.Х. Распознавание предфрактального графа с регулярной затравкой. Свидетельство № 2011615243 от 10 мая 2011г., зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 5 июля 2011г. - 7 с.

182 Утакаева И.Х. Моделирование структуры распространения эпидемии

на пред фрактальных графах. Свидетельство № 201161524 от 10 мая 2011 г, зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 5 июля 2011г. -7 с.

183 Утакаееа И.Х. Структурный алгоритм распознавания предфракталь-ного графа // Вестник Самарского государственного технического университета. - 2011. - № 3 . - С. 208-221 с.

184 Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991.-254 с.

185 Фляйншнер Г. Эйлеровы графы и смежные вопросы. - М.: Мир, 2002. -335 с.

186 Фракталы в физике / Под редакцией Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. - М.: Мир, 1988. - с.

187 Харари Ф. Теория графов. - М.: Мир, 1973. - 300 с.

188 Химические приложения топологии и теории графов / Под редакцией Р. Кинга. - М.: Мир, 1987. - с.

189 Черкасский Б.Л. Инфекционные и паразитарные болезни человека.- М.: Медицинская газета, 1994. - 617 с.

190 Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. - Ижевск: Издательство научно-исследовательского центра «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 528 с.