Теоретико-графовый подход в моделировании структурного разрушения сложных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Салпагаров, Магометамин Бунияминович

• Салпагаров, Магометамин Бунияминович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Салпагаров, Магометамин Бунияминович

Введение.

Сетевые системы и структурное моделирование.

Структурная динамика и структурное управление.

Надежность, живучесть, стойкость.

Краткое содержание и структура диссертационной работы.

Глава I. Математическая модель структурного разрушения сложной системы.

1.1. Математическая модель структурного разрушения сложной системы.

1.2. Характеристики и особенности структурного разрушения сложной системы.

1.3. Структурное разрушение граф-цепей.

1.3.1. Структурное разрушение граф-цепей по критерию связности.

1.3.2. Структурное разрушение граф-цепей по компонентному критерию.

1.3.3. Структурное разрушение граф-цепей по диаметральному критерию.

1.3.4. Структурное разрушение граф-цепей по критерию полного разрушения.

1.4. Структурное разрушение деревьев.

1.4.1. Структурное разрушение деревьев по критерию связности.

1.4.2. Структурное разрушение деревьев по компонентному критерию.

1.4.3. Структурное разрушение деревьев по диаметральному критерию.

1.4.4. Структурное разрушение деревьев по критерию полного разрушения.

1.5. Структурное разрушение циклических графов.

1.5.1. Структурное разрушение циклов по критерию связности.

1.5.2. Структурное разрушение циклов по компонентному критерию.

1.5.3. Структурное разрушение циклов по диаметральному критерию.

1.5.4. Структурное разрушение циклов по критерию полного разрушения.

1.6. Структурное разрушение полных графов.

1.7. Структурное разрушение графов по критерию полного разрушения.

1.8. Выводы.

Глава II. Структурное разрушение предфрактальных графов поро/вдение одной затравкой).

2.1. Фрактальные и предфрактальные графы.

2.2. Структурное разрушение предфрактального графа, порожденного полной затравкой, с сохранением смежности старых ребер.

2.2.1. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах L-то ранга.

2.2.2. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах (L -1) -го ранга.

2.2.3. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах / -го ранга, где / = Z, -1,.,2.

2.2.4. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах первого ранга.

2.2.5. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах разных рангов.

2.3. Выводы.

Глава III. Структурное разрушение предфрактальных графов пороадение множеством затравок).

3.1. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах L-то ранга.

3.2. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах (L -1) -го ранга.

3.3. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах / -го ранга.

3.4. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах первого ранга.

3.5. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах разных рангов.

3.6. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-графовый подход в моделировании структурного разрушения сложных систем»

Сетевые системы и структурное моделирование

Эффективность функционирования большинства отраслей экономики государства зависит от пространственной распределенности и разветвленно-сти ее коммуникационных сетей (электроэнергетических, информационных, водо- и теплоснабжающих и т.п.). Чем шире зона покрытия коммуникационных сетей, тем выше конкурентоспособность соответствующей отрасли экономики как на внутреннем рынке государства, так и за его пределами.

Сети с большой зоной покрытия требуют больших затрат на обеспечение штатного функционирования с одной стороны, а другой такие коммуникационные сети имеют сложную многоэлементную структуру с нетривиальным набором связей, что существенно повышает риск возникновения чрезвычайных и внештатных ситуаций. Кроме того, сбои в функционировании коммуникационных сетей имеют значительные последствия, выходящие за пределы коммуникационных сетей.

Аварий в электроэнергетических системах крупных городов России (Москва, 2005 г.), Европы (Лондон, 2003 и 2006 гг.; Париж, 2006 г.), США и Канады (Детройт, Нью-Йорк, Кливленд, Оттава, Торонто, 2003 г.), показали, что развитие чрезвычайных ситуаций в коммуникационных системах с сетевой структурой проходит по "принципу домино" (в случае электроэнергетических систем - это веерные отключения). Один вышедший из строя объект (элемент системы) сильно повышает вероятность аварии на остальных, что приводит к возникновению лавины аварий. О последствиях таких аварий красноречиво свидетельствует следующий факт.

14 августа 2003 года в ряде крупнейших городов восточного побережья США и Канады - Детройте, Нью-Йорке, Кливленде, Оттаве, Торонто и др. -произошло 9-секундное отключение электроснабжения, приведшее к веерным отключениям электроэнергии на площади более 24 тыс. кв. км и получившее название "Блэкаут-2003". Причина-перегрузка на энергетическом каскаде Ниагара-Мохок (граница США и Канады). Авария затронула более 50 млн. человек в восьми штатах США и провинции Онтарио Канады, привела к остановке более 100 электростанций, в том числе 22 атомных реакторов. Ликвидация последствий аварии заняла более 30 часов. Сумма нанесенного США финансового ущерба составляет не менее 6 млрд. долларов.

Нередки чрезвычайные ситуации в России в сетях тепло-, водо- и газопроводного транспорта. Во многих случаях причиной аварий является изношенность самих сетей и узлового оборудования. Предотвращение, прогнозирование и профилактика чрезвычайных ситуаций с далеко идущими последствиями в сетевых системах со сложной структурой требует новых исследовательских подходов в моделировании [1 - 8] с учетом всех структурных особенностей моделируемой системы.

Структурная динамика и структурное управление

Современные исследования сложных систем, таких как информационные, электроэнергетические, WWW (Internet), коммуникационные, показывают, что структуры этих систем по истечении времени претерпевают определенные изменения, вызываемые различными внешними обстоятельствами, внутренней потребностью самой системы (см. [9-13]). Структуру системы произвольной природы (социальной, социально-экономической, технической, химико-биологической и т.п.) можно представить в виде графа. Граф (см. [14-40]) - это абстрактный объект, как правило, вершины графа соответствуют элементам системы, а ребра - связям между элементами этой системы. Изменения, происходящие в структуре сложной системы, могут быть описаны простейшими теоретико-графовыми операциями: стягивание ребра, удаление (добавление) ребра, удаление (добавление) вершины. Изменения структуры системы могут быть разовыми, а могут быть постоянными. Для второго случая разумно ввести понятие структурной динамики - изменение структуры системы с течением времени. Несомненно, для описания структурной динамики лучше всего подходит аппарат теории графов.

Одним из наиболее распространенных сценариев структурной динамики является рост структуры. Рост структуры - это регулярное появление новых элементов и связей в структуре системы. Рост структуры может происходить по строго сформулированным правилам, не исключая наличие в них фактора случайности.

Вместе с тем, в системах с быстроизменяющимися структурами целесообразно ввести контроль появляющихся связей между "старыми" и "новыми" элементами системы. При этом важно не допускать появления в системе особо уязвимых для внешних воздействий (угроз) и внутренних ошибок связей между элементами системы. Решение этих задач требует особых подходов структурного управления.

Одним из формальных представлений систем с динамически изменяющейся структурой являются масштабно-инвариантные или самоподобные графы (self-similar graphs) большой размерности, называемые фрактальными (предфрактльные).

Фрактальный граф - сложный абстрактный объект, совмещающий в себе свойства, характеристики и достоинства фракталов и "обычных" графов.

Понятие фрактал, введенное Бенуа Мандельбротом [41], объединило объекты, обладающие особым свойством, - свойством самоподобия (self-similarity) или масштабной инвариантности. Работы, связанные с исследованием фрактальных объектов (фрактальных множеств), долгое время считались занимательными, но не имеющими значительных приложений. Мнения в мировой научной среде изменились с изданием книги [41]. В настоящее время о перспективности и значимости исследований, связанных с фрактальными множествами, можно судить по регулярно проводимым конференциям, периодическим изданиям (см., например, журнал "Chaos, Solitons & Fractals"), целиком посвященным соответствующей тематике, и множеству книг (учебников и монографий) [41 -47]. Это позволяет говорить о сформировавшемся круге прикладных физических модельных задач на основе фрактальных множеств [48-60]. Среди них выделяются задачи и модели, где фрактальные множества представлены как самоподобные (фрактальные или масштабно-инвариантные) графы большой размерности, т.е. с большим количеством вершин. К ним относятся, например, задачи о броуновском движении (случайном блуждании), диффузии и просачиваемости. Кроме того, самоподобные графы нередко выступают в качестве моделей структур сложных многоэлементных систем, таких как коммуникационные сети. Первое упоминание о фрактальных графах можно найти в работе [48].

Активное изучение фрактальных графов и областей их приложения ведется в научной школе профессора Кочкарова A.M. Исследования ведутся по трем направлениям: распознавание фрактальных графов [61, 62], свойства и характеристики фрактальных графов [63 - 78], задачи многокритериальной оптимизации в системах с масштабно-инвариантной структурой [79- 106]. Надо отметить, что масштабная инвариантность структур моделируемых систем является следствием структурной динамики в этих системах.

Надежность, живучесть, стойкость

С точки зрения концепции безопасности [107], всякую сложную техническую систему следует изучать с трех основных позиций: надежности системы, живучести системы и ее безопасности. Каждая из этих позиций по-разному описывает связь и взаимодействие системы с окружающей ее средой. Исследование перечисленных свойств системы позволяет уменьшить риск возникновения чрезвычайных ситуаций (ЧС), возникающих в результате бедствий, аварий и катастроф.

С позиции классических моделей теории надежности система изучается изолированно от окружающей среды: ни система не подвергается воздействиям внешней среды, ни сама окружающая среда не испытывает на себе воздействий со стороны системы.

Надежность [108-114] - свойство системы сохранять в течение определенного промежутка времени значение параметров, характеризующих функционирование системы. Надежность - это комплексное свойство системы, зависящее от ее безотказности, ремонтопригодности, долговечности и т.д.

Теория надежности использует аппарат теории вероятностей и математической статистики. Как правило, для оценки возможности возникновения опасного для окружающей среды состояния системы используется дерево событий (отказов). Дерево событий {отказов) - это диаграммное представление всех событий (отказов), последовательное и(или) совместное появление которых в системе приводит к некоторому главному событию (возможно, потенциально опасному происшествию). Зная вероятности появления тех или иных событий (отказов), можно подсчитать возможность возникновения главного события (опасного происшествия). В зависимости от задачи и традиций той или иной области, главным событием называют либо отказ системы (выход из строя), либо адекватную реакцию на воздействие.

В сложных многоэлементных системах к потенциально опасному происшествию могут привести последовательные и(или) совместные отказы различных элементов системы. Поэтому для повышения надежности элементов (вероятности безотказной работы) системы и, как следствие, надежности самой системы, используются различные методы резервирования [108 - 114].

Для коммуникационной сети (как и для других сложных систем, представляемых в виде графов) численный расчет ее надежности может оказаться задачей, требующей значительных временных ресурсов. По сути, построение дерева отказов для коммуникационной сети сводится к простому перебору всех возможных вариантов недостижения информационного сигнала от одной вершины до другой.

Живучесть - свойство системы, характеризующее ее способность функционировать под влиянием внешних воздействий (нагрузок), возбуждаемых в окружающей систему среде.

Изучение живучести систем возможно с помощью вероятностных моделей, в рамках современной математической теории надежности [108 - 114], и детерминистических, в рамках механики катастроф [107].

Вероятностную модель, описывающую живучесть системы, называют "нагрузка - прочность" ("нагрузка - несущая способность", "нагрузка - сопротивляемость", прочностная модель) [107]. Под действием внешней нагрузки прочность системы постепенно уменьшается до тех пор, пока система не выйдет из строя. Внешние нагрузки описываются случайной величиной (функцией) и, как правило, не приводят к скачкообразному изменению прочности системы.

Детерминистическая модель живучести системы лежит в основе механики катастроф [107]. Объектами исследований механики катастроф являются системы, испытывающие постоянные внешние воздействия (нагрузки). Простыми примерами таких систем являются инженерные конструкции. В рамках механики катастроф исследуются процессы накопления повреждений, достижения предельного (критического) состояния, реакции элементов конструкций на внешние воздействия и т.д.

Особое место в механике катастроф занимает изучение процесса закри-тического поведения элементов конструкций (систем), которое и приводит к тем или иным нежелательным событиям (авариям, катастрофам и т.д.). Элементы конструкций (систем) в своей закритической области выходят из строя, оказывают влияние на другие элементы системы, порождая тем самым внутренние для самой конструкции (системы) негативные воздействия. Внешние и внутренние воздействия приводят к последовательности отказов элементов системы, инициирующих переход системы в аварийное состояние (ЧС).

Понятие живучести широко используется и при исследовании систем со сложной структурой, таких как коммуникационные сети систем управления и систем энергетики [115]. Нарушение функционирования этих систем возможно при нарушении связности их структур. Система не может выполнять свои функции, когда не существует взаимодействия между всеми или, по крайней мере, жизненно важными элементами. "Мерой живучести" в этом случае служит минимальное число элементов системы {вершинная связность) или связей {реберная связность), выход из строя которых под влиянием внешних воздействий приводит к нарушению связности структуры системы. Внешние воздействия делят на воздействия природного [107] и техногенного [107] характера. Ко вторым относятся и воздействия, вызываемые умышленными действиями человека. Во многих случаях, при создании сложных технических систем, приходится принимать во внимание и возможность террористических актов. В зависимости от интенсивности и мощности оказываемых на систему воздействий рассматриваются нормативные (проектные) и экстремальные (сверхнормативные) нагрузки. В первом случае изучается живучесть системы в штатных (нормальных) условиях функционирования, когда переход в аварийное состояние возможен при длительном накоплении системой повреждений и достижения предельного (критического) состояния. (Подобное поведение систем описывается и методами самоорганизованной критичности [116, 117].) Во втором случае изучается живучесть системы, когда возможен относительно быстрый переход в аварийное состояние - форс-мажорные обстоятельства.

Механика катастроф занимается не столько изучением воздействий различного рода, сколько созданием аппарата перехода от воздействий к расчетным действующим нагрузкам.

Живучесть и надежность систем являются теми характеристиками, которые позволяют оценить риск возникновения чрезвычайных ситуаций при

Рис. 1. Схема развития чрезвычайных ситуаций эксплуатации сложных технических систем. Используя эти критерии, возможно обеспечение безопасности систем при чрезвычайных ситуациях или наделение системы необходимыми качественными характеристиками, не допускающими возникновения чрезвычайных ситуаций. В схеме на рис. 1 надежность и живучесть описывают переход от первого этапа ко второму. Живучесть системы предполагает тщательное описание поведения систем (в отличие от надежности) при имеющихся внешних воздействиях на систему как в докритической области (до ЧС), так и в закритической (при развитии ЧС), когда система функционирует, достигнув предельного состояния. Третий этап предполагает изучение возможных последствий ЧС на окружающую систему среду и лежит в области обеспечения безопасности систем [107].

Безопасность системы можно обеспечить различными способами: не допустить развитие ЧС в системе, не допустить выхода ЧС за пределы системы, и свести к возможному минимуму влияние аварий на окружающую систему среду.

В рамках концепции моделей, предлагаемых в работах [118 - 132], исследованы сложные технические системы, подвергнутые внешним воздействиям. Это соответствует попаданию системы в зону "форс-мажорных обстоятельств", т.е. под влияние ненормативных, непредусмотренных при проектировании системы, экстремальных нагрузок, имеющих также внезапный характер. В основе моделей лежит формально представленная структура системы, что позволяет детально воспроизвести все возможные варианты распространения внешних воздействий по элементам системы. Модели, при заданных нагрузках на некоторое множество элементов системы, вызываемых различными внешними воздействиями, определяют темп и сроки достижения системой предельного состояния.

Стойкостью [118-132] системы называют ее способность противостоять внешним воздействиям и функционировать в штатном режиме на этапе инициирования ЧС, т.е. в докритической области функционирования системы. Другими словами, стойкость - это живучесть системы в докритичес кой области функционирования под влиянием внешних ненормативных воздействий (нагрузок). Поэтому основной характеристикой стойкости системы будет служить время достижения системой предельного состояния. Увеличение этого промежутка времени будет способствовать уменьшению риска развития ЧС в системе и обеспечению ее безопасности.

В настоящей работе предлагается модель структурного разрушения сложной системы, описывающая поведение и изменение состояния многоэлементной системы со сложной структурой на II этапе развития ЧС согласно схеме, представленной на рис 1.

Краткое содержание и структура диссертационной работы

Диссертационная работа посвящена моделированию структурного разрушения сложных систем. Рассмотрены различные сценарии структурного разрушения и достижения критериев выхода системы из строя.

Публикации. По результатам выполненной работы имеется 14 публикаций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, изложенных на 126 страницах, содержит 23 рисунка и библиографию из 141 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Салпагаров, Магометамин Бунияминович

3.6. Выводы

В третьей главе обобщены результаты исследования второй главы. Проведен анализ предфрактального графа, порожденного множеством полных затравок с сохранением смежности старых ребер. Доказаны теоремы структурного разрушения предфрактального графа по пяти различным критериям:

• критерий полного разрушения сг0 (к);

• критерий связности сг, (к);

• компонентному критерию а2(к,т);

• диаметральному критерию сг3 (к, D);

• ранговому критерию <т4 (к, I).

Четыре критерия введены в первой главе и могут использоваться для исследования как простых, так и предфрактальных графов. Пятый - ранговый критерий, применим только для случая предфрактальных графов.

Особый интерес представляет процесс разрушения предфрактального графа с сохранением смежности старых ребер, в котором эпицентры находятся в вершинах разных рангов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Салпагаров, Магометамин Бунияминович, 2007 год

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: идеи, методы, примеры. -М: Физматлит, 2001.

2. Краснощекое П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: Издательство МГУ, 1983.

3. Краснощекое П. С., Петров А.А., Федоров В.В. Информатика и проектирование.-М.: Знание, 1986.

4. Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1996.

5. Тихонов А.Н., Костомаров Д. П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984.

6. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979.

7. Моисеев Н.Н. Алгоритм развития. М.: Наука, 1987.

8. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.

9. StrogatzS. Exploring complex networks// Nature. 2001. - №410. -P. 268-276.

10. Watts D.J. Small Worlds. Princeton: Princeton University Press, 1999.

11. Dorogovtsev S.N., Mendes J.F.F. Evolution of networks // Adv. Phys. 2002 -№51.-P. 1079-1187.

12. Dorogovtsev S.N., Mendes J.F.F. Evolution of networks: From Biological Nets to the Internet and WWW. Oxford: Oxford University Press, 2003.

13. AlbertR., BarabasiA. Statistical mechanics of complex networks// Reviews of Modern Physics. 2002. - № 74. - P. 47-97.

14. Емеличев B.A., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.

15. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.

16. Асанов М.О., Баранский В.А., Расин В.В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы. Ижевск: НИЦ "РХД", 2001.

17. JloeacJI., ПлалшерМ. Прикладные задачи теории графов. Теория паро-сочетаний в математике, физике, химии. М.: Мир, 1998.

18. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984.

19. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на графах и сетях. М.: Мир, 1981.

20. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.

21. Фляйншнер Г. Эйлеровы графы и смежные вопросы. М.: Мир, 2002.

22. Татт У. Теория графов. М.: Мир, 1988.

23. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М.: Наука, 1974.

24. Зыков А.А. Теория конечных графов. Новосибирск: Наука, 1969.

25. Берж К. Теория графов и ее применения. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

26. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1968.

27. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977.

28. Березина Л.Ю. Графы и их применение. М.: Просвещение, 1979.

29. Листель Р. Теория графов. Новосибирск: Издательство Института Математики, 2002.

30. МелиховА.И., БернштейнЛ.С., Курейчик В.М. Применение графов для проектирования дискретных устройств. М.: Наука, 1974.

31. СешуС., Рид М.Б. Линейные графы и электрические цепи. М.: Высш. шк., 1971.

32. Сушков Ю.А. Графы зубчатых механизмов. Д.: Машиностроение, 1983.

33. Применение теории графов связи в технике / Под ред. КернопаД., Ро-зенберга Р.-М.\ Мир, 1974.

34. Авондо-Бодино Дж. Применение в экономике теории графов. М.: Прогресс, 1966.

35. КочкаровР.А., КочкаровА.А. Формализация целевых программ// Модели экономических систем и информационные технологии: Сб. научныхтрудов / Под ред. О.В. Голосова. Вып. XII. М.: Финансовая академия, 2004.

36. Применение теории графов в химии / Под ред. Зефирова Н.С., Кучано-ва С. И. Новосибирск: Наука, 1988.

37. Химические приложения топологии и теории графов. Под ред. Кинга Р. М.: Мир, 1987.

38. Миркин Б.Г., Родин С.Н. Графы и гены. М.: Наука, 1977.

39. Костюкова Н.И. Графы и их применение. Комбинаторные алгоритмы для программистов. М.: БИНОМ, 2007.

40. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., ШварцД.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2006.

41. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: ИКИ, 2002.

42. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

43. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

44. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ «РХД», 2001.

45. Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества. Функции, распределения. Киев: Наук, думка, 1992.

46. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

47. Фракталы в физике / Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. М.: Мир, 1988.

48. Мелроуз Дж. Иерархические фрактальные графы и блуждания на них // Фракталы в физике / Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. М.: Мир, 1988.-С. 519-523.

49. RiehlJ., Hespanha J.P. Fractal graph optimization algorithms// Proc. of the 44th Conf. on Decision and Contr., 2005. P. 2188-2193.

50. Schulman L.S., Gaveau В. Complex systems under stochastic dynamics // Att. Fond. G. Ronchi, 2003. V. LVIII, № 805.

51. Li L., AldersonD., TanakaR., Doyle J. C., Willinger W. Towards a Theory of Scale-Free Graphs: Definition, Properties, and Implications (Extended Version) // Technical Report CIT-CDS-04-006, Cal Tech, 2005.

52. Bollt E.M., ben-Avraham D. What is Special about Diffusion on Scale-Free Nets? // New J. Phys., 2005. V. 7, № 26. - P. 1-21.

53. KronB. Green functions on self-similar graphs and bounds for the spectrum of the Laplacian // Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 52(6): 1875-1900, 2002.

54. Kron B. Growth of self-similar graphs // J. Graph Theory, 45(3):224-239, 2004.

55. Kron В., Teufl E. Asymptotics of the transition probabilities of the simple random walk on self-similar graphs // Trans. Amer. Math. Soc., 356(1):393—414, 2004.

56. Malozemov L., Teplyaev A. Pure point spectrum of the Laplacians on fractal graphs//J. Funct. Anal., 129(2):390^05, 1995.

57. WoessW. Random walks on infinite graphs and groups/ Volume 138 of Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

58. Barlow M.T. Diffusions on fractals / Lectures on probability theory and statistics. Springer Verlag, Berlin, 1998. P. 1-121.

59. KigamiJ. Analysis on fractals / Volume 143 of Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2001.

60. Song C., Havlin S., Mabe H.A. Self-similarity of Complex Networks // Nature 433, 392-395 (2005).

61. КочкаровА.М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. Нижний Архыз: РАН САО, 1998.

62. Салпагаров С.И., Кочкаров A.M. Распознавание предфрактального графа с полной двудольной затравкой. Черкесск, КЧГТА, 2003, Деп. в ВИНИТИ, №2322-В2003. С. 1-43.

63. Кочкаров А.А. Число всевозможных предфрактальных графов. // IV Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Тез. докл., том 2. Кисловодск: КИЭП, 2000. С. 73 -74.

64. Кочкаров А.А., Кочкаров Р.А. Исследование связности предфрактальных графов. // IV Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Тез. докл., том 2. Кисловодск: КИЭП, 2000.-С. 74-75.

65. Кочкаров А.А. Число точек сочленения предфрактального графа. //Вторая международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Тез. докл. Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2001.

66. Кочкаров А.А. Плоские и планарные предфрактальные графы. // V Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Тез. докл. Кисловодск: КИЭП, 2002. С. 35 - 35.

67. Кочкаров А.А., Салпагаров С.И. Число мостов предфрактального графа. // V Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Тез. докл. Кисловодск: КИЭП, 2002. С. 36 -37.

68. Кочкаров А.А., Кочкаров Р.А. О критериях планарности фрактальных графов. // Труды XLVI научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть VII. М.: МФТИ, 2003.-С. 186- 186.

69. Кочкаров А.А., Кочкаров Р.А. Предфрактальные графы в проектировании и анализе сложных структур. Препринт. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №10, 2003.

70. Кочкаров А.А., Кочкаров Р.А. О планарности и других топологических свойствах фрактальных графов. Препринт. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №83,2003.

71. Кочкаров A.M. Хроматическое число и хроматический индекс фрактальных графов. // Республиканская конференция преподавателей и аспирантов КЧТИ. Тез. докл. Черкесск: КЧТИ, 1997. С.56 - 57.

72. Кочкаров A.M. Топологические характеристики теоретико-графовой модели крупномасштабной кластеризации материи во Вселенной. Препринт. РАН С АО. Нижний Архыз. 1998. С. 1 - 6.

73. Кочкаров A.M., Перепелица В.А. Число внутренней устойчивости предфрактального и фрактального графа. Сб. статей. РАН САО. 1999.

74. Kochkarov A., Perepelitsa V. Fractal Graphs and Their Properties. // ICM 1998 Berlin, International Congress of Mathematicians, Abstracts of Short Communications and Posters, p. 347.

75. Кочкаров A.M., Перепелица В.А. О гамильтоновости фрактальных графов. //Международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Тез. докл. Нальчик: НИИ ПМиА КБНЦ РАН, 1996. С.52-53.

76. Айбазов Б.А., Кочкаров A.M. Экономико-математическая модель с виртуальными каналами// IV Научно-практическая конференция "Решение научно-технических и социально-экономических проблем современности". Труд. конф. Черкесск: КЧТИ, 2002.

77. Павлов Д.А. Нахождение диаметральной простой цепи на фрактальном и предфрактальном графах// XVI Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-16". Сб. труд. - С.-Пб.: СПбГТИ, 2004.

78. Павлов Д.А. Полиномиальный алгоритм нахождения максимального па-росочетания на предфрактальных графах// XVII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-17". Сб. труд. Кострома: КГТУ, 2004.

79. Салпагаров С.И. Задача о назначениях на фрактальных и предфрактальных графах. Многокритериальная постановка. Черкесск, КЧГТА, 2003, Деп. в ВИНИТИ, №2323-В2003. С. 1-34.

80. Кочкаров Р.А., Салпагаров С.И. Полиномиальные быстрые алгоритмы нахождения остовного дерева минимального веса. Черкесск, Карачаево-Черкесская Гос. Технолог. Ак., 2002. Деп. в ВИНИТИ, №437-В2002. -С. 1-75.

81. Батчаев И.З. Об одной многокритериальной задаче покрытия предфрактальных графов звездами одного рангового типа // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. Т. 8, № 1. - С. 1-5.

82. Коркмазова 3.0., Кочкаров А.А. Эйлеровы предфрактальные графы// Известия ТРТУ. Специальный выпуск. Таганрог, 2004. - № 8. -С. 304-305.

83. Коркмазова 3.0., Кочкаров А.А. Максимальный Эйлеров подграф// Материалы XXXIV научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов за 2004 год. Ставрополь: СевКавГТУ, 2005. С. -.

84. Коршазова З.О. Многокритериальная задача разбиения на эйлеровые подграфы предфрактального графа. Черкесск, Карачаево-Черкесская Гос. Технолог. Ак., 2004. Деп. в ВИНИТИ № 1729-В2004. С. 1-25.

85. Коршазова З.О. Параллельный алгоритм вычисления задачи Эйлера на предфрактальных графах. Черкесск, Карачаево-Черкесская Гос. Технолог. Ак., 2004. Деп. в ВИНИТИ № 1730-В2004. С. 1-20.

86. Коршазова З.О. Выделение максимальных эйлеровых подграфов на предфрактальном графе. Черкесск, Карачаево-Черкесская Гос. Технолог. Ак., 2004. Деп. в ВИНИТИ № 1731-В2004. С. 1-25.

87. Коркмазова З.О., Кочкаров Р.А. Многокритериальная задача покрытия предфрактального графа эйлеровыми подграфами: Препринт Спец. астрофиз. обсерватории РАН № 208. Нижний Архыз, 2005. 15 с.

88. Коркмазова 3.0., Кочкаров Р.А. Многокритериальная задача покрытия предфрактального графа эйлеровыми подграфами Препринт Спец. астрофиз. обсерватории РАН № 209. Нижний Архыз, 2005. 27 с.

89. Кононова Н.В., Кочкаров A.M. Алгоритм раскраски предфрактального (п, £)-графа // Материалы VIII региональной научно-технической конференции "Вузовская наука Северо-Кавказскому региону". Том I. Ставрополь: СевКавГТУ, 2004.-С. 14-14.

90. Острейкоеский В. А. Теория надежности. М.: Высшая школа, 2003.

91. Райншке К. Модели надежности и чувствительности систем. М.: Мир, 1979.

92. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. М.: Советское радио, 1969.

93. Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытание на безотказность. М.: Наука, 1984.1\2. Куюнджич С.М. Разработка и анализ моделей надежности и безопасности систем. М.: Физматлит, 2001.

94. Райншке К., Ушаков И.А. Оценка надежности систем с использованием графов. М.: Радио и связь, 1988.

95. ХА.Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. -СПб.: Политехника, 2000.

96. Моделирование живучести систем энергетики: методология, модель, реализация. Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ АН СССР, 1986.

97. П6.МалинецкийГ.Г., ПотаповА.Б., ПодлазовА.В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. -М.: КомКнига, 2006.

98. Лоскутов А.Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990.

99. Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Стойкость, управление риском и обеспечение безопасности сложных технических систем // Проблемы безопасности и чрезвычайных ситуаций. -2005. № 4. - С. 12-25.

100. Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Обеспечение стойкости сложных систем. Структурные аспекты: . М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 53, 2003.

101. Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Стойкость и обоснование стойкости сложных технических и социально-технических систем // Труды XI Meждународной конференции "Проблемы управления безопасностью сложных систем". Часть 1. М.: РГГУ, 2003. С 50-53.

102. Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Концепция стойкости для социально-экономических и технических систем // Труды Международной конференции "Математическое моделирование социальной и экономической динамики". М.: РГСУ, 2004. С. 151-154.

103. Кочкаров А.А. Стойкость и моделирование систем, находящихся в условиях внешних воздействий // Труды XLVII научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть VII. М.: МФТИ, 2004. С. 190-190.

104. Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Моделирование стойкости сложных технических систем // Труды XII Международной конференции "Проблемы управления безопасностью сложных систем". М.: РГГУ, 2004. -С. 348-352.

105. Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Моделирование распространения внешних воздействий по структуре сложной системы // Математическое моделирование. 2006. - Т. 18, № 2. - С. 51 -60.

106. КочкаровА.А. Стойкость, графы, синергетика// Новое в синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение: Сб. статей. Часть 2 / Под ред. Г.Г. Малжецкого. М.: Радиотехника, 2006. - С. 3-18.

107. Кочкаров А.А. Стойкость, графы, синергетика// Новое в синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение: Сб. статей / Под ред. Г.Г. Малинецкого. М.: Наука, 2007. - С. 187-202.